Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 5 : Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt... Trong đó f là hàm khả vi..[r]
Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH Câu : Tính tích phân tích phân suy rộng sau : +∞ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑥 −2𝑥+5; ∫3 𝑑𝑥 𝑥√1+𝑥 Câu : Xét hội tụ tích phân sau: sin4 (𝜋𝑥)𝑑𝑥 ∫ (𝑥 − 1)2 𝑙𝑛3 𝑥 Câu : Cho 𝑧 = 𝑦 + 𝑓(𝑥𝑦) với f hàm khả vi tính: 𝐴=𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑧 −𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu : Tìm cực trị hàm số : 𝑧 = 𝑥 𝑦 + 12𝑥 − 8𝑦 + Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (𝑆): 𝑒 𝑥 √𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3𝑒 − điểm M(-1,2,1) Câu : Tính tích phân tích phân suy rộng sau : +∞ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑥 −2𝑥+10 ; ∫4 𝑑𝑥 𝑥√1+𝑥 Câu 2: Xét hội tụ tích phân sau : +∞ ∫ (1 − 𝑥𝑠𝑖𝑛 ) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 Câu : Cho 𝑧 = 𝑥𝑓 ( ) − 2𝑥 − 𝑦 với f hàm khả vi Chứng minh : 𝑦 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 +𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑧 − 2𝑥 − 𝑦 Câu : Tìm cực trị hàm số : 𝑧 = (1 − 𝑥𝑦)(𝑥 − 𝑦) Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (𝑆): 𝑙𝑛(1 + √2𝑥 + 𝑦 ) − 2𝑙𝑛2 = 𝑧 + điểm M(2,1,-1) Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH Câu : Tính tích phân tích phân suy rộng sau : +∞ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑥 −4𝑥+8; 𝑑𝑥 ∫4 𝑥√1+𝑥 Câu : Xét hội tụ tích phân sau : +∞ ∫1 (1 − 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 2) 𝑑𝑥 Câu : Cho 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) hàm số ẩn xác định phương trình 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 = 𝑓(𝑥𝑦) với f hàm khả vi Hãy tính: 𝐴=𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 −𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 Câu : Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑥𝑦 + 12𝑦 − 8𝑥 + Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (𝑆): 𝑙𝑛(1 + √2𝑥 + 𝑦 ) − 2𝑙𝑛2 = 𝑧 + điểm M(-2,1,-1) Câu : Tính tích phân tích phân suy rộng sau : +∞ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑥 −2𝑥+2; ∫2 𝑑𝑥 𝑥√1+𝑥 Câu : Xét hội tụ tích phân sau : sin2 (𝜋𝑥)𝑑𝑥 ∫ (𝑥 − 1)2 𝑙𝑛𝑥 Câu : Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥 + 4𝑦 ) với f hàm khả vi tính: 𝐴=𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑧 − 4𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu : Tìm cực trị hàm số : 𝑧 = − 2𝑥 − 8𝑦 − 𝑥 − 2𝑦 Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (𝑆): 𝑒 𝑥 (𝑥 + 𝑦 ) = 2𝑧 điểm M(0,4,8) Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH Câu : Tính tích phân suy rộng sau : +∞ ∫ 𝑑𝑥 𝑥√1 + 𝑥 Câu : Xét hội tụ tích phân : +∞ √𝑥 +2 ∫1 𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥 √ Câu 3: Tìm cực trị hàm số : 𝑧 = 𝑥𝑦 (1 − 𝑥 − 𝑦), với x>0, y>0 Câu : Tìm đường bao họ đường cong : (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 = 4𝑐 Câu : Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong : 𝑥=1 𝑦= {𝑧 = 𝑒 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 √2 , điểm ứng với t=0 𝑒 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 √2 +∞ Câu 1: Tính tích phân suy rộng : 𝐼 = ∫1 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 (𝑥+1)2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 Câu : Xét hội tụ tích phân suy rộng : 𝐽 = ∫0 𝑑𝑥 𝑥−𝑙𝑛(𝑥+1) Câu : Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 4𝑥𝑦 + 𝑦 + − 𝑥 𝑦 𝑦 Câu : cho z=z(x,y) hàm số ẩn xác định phương trình : y-2z=z5+xf(arctan(xy), x2y2), f hàm khả vi, biểu diễn : 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 −𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 theo x,y,z Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (S) : 3y2 + z2 –x =1 điểm M(3,1,-1) Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH +∞ Câu : Tính tích phân suy rộng : 𝐼 = ∫1 𝑑𝑥 𝑥√1+𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥 Câu : Xét hội tụ tích phân suy rộng : 𝐽 = ∫1 𝑑𝑥 √1−𝑥 𝑙𝑛𝑥 Câu : Tìm cực trị hàm số z = 3x2 – 2x + xy2 – lnxy Câu : cho z=z(x,y) hàm số ẩn xác định phương trình : arctan xy=z5 + z+ yf(ln(xy), xy), f hàm khả vi, biểu diễn : 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 −𝑦 𝜕𝑧 theo x,y,z 𝜕𝑦 Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (S) : y= x2 + z2 +1 điểm M(1,3,1) +∞ Câu : Tính tích phân suy rộng : 𝐼 = ∫1 𝑑𝑥 𝑥√1+𝑥 +∞ Câu : Xét hội tụ tích phân suy rộng : 𝐽 = ∫1 𝑥2 Câu : Tìm cực trị hàm số z = x2 – 5x + xy +ln 𝑦 ( − 𝑙𝑛 𝑥 𝑥+1 𝑥 ) 𝑑𝑥 Câu : cho z=z(x,y) hàm số ẩn xác định phương trình : x – z3 =ez + yf(cos xy,arctan xy), f hàm khả vi, biểu diễn : 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 −𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 theo x,y,z Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (S) : √3𝑦 + 𝑧 − 𝑥 = −1 điểm M(3,-1,-1) Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH +∞ Câu : Tính tích phân suy rộng : 𝐼 = ∫1 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Câu : Xét hội tụ tích phân suy rộng : 𝐽 = ∫2 Câu : Tìm cực trị hàm số z =6y - 3y2 – x2y +ln 𝑡𝑎𝑛𝜋𝑥 (𝑥−1) √1−𝑥 𝑥 𝑦2 𝑑𝑥 Câu : cho z=z(x,y) hàm số ẩn xác định phương trình : ez + z - y = xf(cos xy, x3y3), f hàm khả vi, biểu diễn : 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 −𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 theo x,y,z Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (S) : √3𝑥 + 𝑦 = 𝑧 điểm M(1,1,2) 𝑥 Câu : Tính tích phân bất định 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 (𝑥−1)(𝑥 +1) +∞ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 Câu : Xét hội tụ tích phân suy rộng : 𝐽 = ∫1 +𝑥 𝑑𝑥 Câu : Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f(x,y)= x2y tập xác định x2 + y2 ≤ Câu : Tìm phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt cong 2x2 + y2 - 3z2 + xy – 2yz + zx + 8= điểm M(1,0,2) Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH Câu : Tính tích phân sau: √3 𝐼 = ∫0 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 Câu : Xét hội tụ : +∞ ∫1 𝑑𝑥 𝑥 𝛼 +𝑥 𝛽 , (𝛼, 𝛽 𝜖 𝑅 ) Câu : Tìm cực trị hàm biến : 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 − 10𝑙𝑛𝑥 − 4𝑙𝑛𝑦 Câu : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong 𝑥 𝑧 = 𝑦 + 𝑙𝑛 điểm M(1,1,1) 𝑧 Câu 5: Cho hàm z=z(x,y) thỏa mãn phương trình 𝑧 x2 + y2 + z2 = xf( ), với f: R→ 𝑅 hàm khả vi 𝑥 Chứng minh : 2xy𝑧𝑥′ + (−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 )𝑧𝑦′ = 2𝑦𝑧 Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH Câu Tính tích phân sau : ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥2 𝜋 ∫0 (𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 )2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ; Câu Xét hội tụ : +∞ 𝑥 𝛼 ∫1 1+𝑥 𝛽 𝑑𝑥, (𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅) Câu Cho 𝑢 = [𝑓(𝑥 + 𝑦) + ℎ(𝑥 − 𝑦)] , f h hàm có đạo hàm 𝑦 cấp Tính: 𝐴 = 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 − 𝜕 𝑦 𝜕𝑦 (𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 ) Câu Tìm cực trị hàm số: z=x2-xy với điều kiện 3x2+y2=12 Câu Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt: 𝑥 𝑧 ( ) +2 𝑦 𝑧 ( ) = điểm M(2,2,1) Câu Tính tích phân sau: ∫ 1+𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 1+𝑥 𝑑𝑥; ∫0 𝑥 (2 − 𝑥 )12 𝑑𝑥 Câu Xét hội tụ : +∞ ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥, (𝛼 ∈ 𝑅) 𝑥𝛼 Câu Cho hàm z=z(x,y) thỏa mãn phương trình: F(x-z,y+z)=0, với F(u,v) có đạo hàm riêng liên tục 𝐹𝑢′ + 𝐹𝑣′ ≠ Chứng minh : 𝑧𝑥′ − 𝑧𝑦′ = 2 Câu Tìm cực trị hàm số: z=x2+y2 với điều kiện (𝑥 − √2) + (𝑦 − √2) = Câu Viết phương trình tiêp tuyến pháp diện đường cong (𝐿): { 𝑧 = √6𝑥 + 3𝑦 điểm M(1,1,3) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11 Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH Câu Tính tích phân sau: 𝑥−𝑎 ∫ 𝑥 +𝑎2 𝑥 𝑑𝑥, ∫0 𝑑𝑥 (2−𝑥)√1−𝑥 Câu Xét hội tụ : +∞ ∫ 𝑥 √𝑥 + 𝑥 √𝑥 + 𝑑𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 +𝑦 ′′ Câu Cho z hàm số (x,y) đạo hàm 𝑧𝑥′ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ; 𝑧𝑦𝑦 = Tính d2z(0,1) tìm hàm số z Câu Cho hàm z=z(x,y) thỏa mãn phương trình : x+y+z=f(x2+y2+z2), f hàm khả vi Chứng minh rằng: (𝑦 − 𝑧) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + (𝑧 − 𝑥) 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥 − 𝑦 Câu Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt : 𝑧 = 𝑦 + 𝑙𝑛 𝑥 𝑧 điểm M(-1,-1,-1) Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH Đề thi cuối kì giải tích năm 2018-2019 ĐHBK-ĐHĐN (thiếu đề 01) +∞ 𝑑𝑥 Câu 1: (2,5 điểm) Tính tích phân : 𝐼 = ∫ √ 𝑥(√𝑥 +4+2) +∞ Câu 2: (1,0 điểm) Xét hội tụ tích phân : ∫1 𝑥+1 𝑥 𝑙𝑛(𝑒 𝑥 +𝑥 ) 𝑑𝑥 Câu 3: (1,5 điểm) Cho z=z(x,y) hàm số ẩn xác định phương trình : 3ez + z3 = x - y+ f(x2y2,e1+2xy) f hàm khả vi Hãy biểu diễn 𝐴 = 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 −𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 theo x,y,z Câu 4: (2,5 điểm) Tìm cực trị hàm số z = ln(xy2) - xy2 - 3x2 + 6x Câu 5: (2,5 điểm) Cho mặt (S) có phương trình : z=4-(4x2+y2) (1) Vẽ mặt (S) (2) Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện (S) điểm M(1,-2,-4) +∞ Câu 1: (2,5 điểm) Tính tích phân 𝐼 = ∫4 𝑑𝑥 (𝑥+1)(√𝑥+5+2) Câu 2: (1,0 điểm) Xét hội tụ tích phân +∞ 𝑒 𝑙𝑛 𝑥 : ∫1 𝑑𝑥 𝑥 𝑥+𝑙𝑛𝑥 Câu 3: (1,5 điểm) Cho z=z(x,y) hàm ẩn xác định phương trình : z 𝑦 +lnz = arctan +f(xy,cos(x2y2) Trong f hàm khả vi Hãy biểu diễn 𝐴 = 𝑥 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 −𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 theo x,y,z Câu 4: (2,5 điểm) Tìm cực trị hàm số z = exy – xy + x3 - 3x Câu 5: (2,5 điểm) Cho mặt (S) có phương trình: 𝑧 − = −√𝑥 + 3𝑦 (1) Vẽ mặt (S) (2) Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện (S) điểm M(-2,2,-3) Không có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH +∞ 𝑑𝑥 Câu 1: (2,5 điểm) Tính tích phân : 𝐼 = ∫ √ 𝑥(√𝑥 +9+3) Câu 2: (1,0 điểm) Xét hội tụ tích phân +∞ 𝑒 𝑙𝑛 𝑥 : ∫1 𝑑𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥+𝑙𝑛 𝑥 Câu 3: (1,5 điểm) Cho z=z(x,y) hàm ẩn xác định phương trình : 𝑥 𝑒 𝑧 + 2𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 + 𝑓(𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦, 𝑒 𝑥𝑦 ) Trong f hàm khả vi 𝑦 Hãy biểu diễn 𝐴 = 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 −𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 theo x,y,z 𝑥 Câu 4: (2,5 điểm) Tìm cực trị hàm số: 𝑧 = 𝑙𝑛 - xy -2y2 + 6y 𝑦 Câu 5: (2,5 điểm) Cho mặt (S) có phương trình : z = 3x2 + 2y2 -1 (1) Vẽ mặt (S) (2) Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt (S) M(1,-1,4) Câu 1: (2,5 điểm) Tính tích phân sau : 𝐼=∫ 2𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 √1+𝑥 𝑑𝑥; +∞ 𝐽 = ∫−2 𝑑𝑥 𝑥 −4𝑥+5 𝑙𝑛(1+𝑥) Câu 2: (1,0 điểm) Xét hội tụ tích phân ∫0 Câu 3: (1,5 điểm) Cho 𝑢 = 𝑥+𝑧 𝑦+𝑧 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 với z=z(x,y) hàm số ẩn xác định phương trình x + y = z + ez Hãy tính du Câu 4: (2,5 điểm) Tìm cực trị hàm số : z = x3 – 12xy + 8y3 Câu 5: (2,5 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường (𝐿): { 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = điểm M(1,2,2) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −1 10 Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH +∞ 𝑑𝑥 Câu 1: (2,5 điểm) Tính tích phân sau 𝐼 = ∫𝑙𝑛2 𝑥 −𝑥 3𝑒 −𝑒 −2 Câu 2: (1,0 điểm) Xét hội tụ tích phân : ∫0 𝑑𝑥 𝑒 √𝑥 −1−𝑠𝑖𝑛𝑥 Câu 3: (1,5 điểm) Cho z=z(x,y) hàm ẩn xác định phương trình 𝑧 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑓(√𝑥 + 𝑦, 𝑒 𝑥 Hãy biểu diễn 𝐴 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 − 3𝑥 2 +𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 ) Trong f hàm khả vi theo x,y,z 𝑦 Câu 4: (2,5 điểm) Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑙𝑛 - xy -3x2 + 8x 𝑥 Câu 5: (2,5 điểm) Cho mặt (S) có phương trình : : 𝑧 = − √2𝑥 + 𝑦 (1) Vẽ mặt (S) (2) Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện (S) điểm M(-2,1,-2) 11 Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N ... điểm M( -1, -1, -1) Khơng có thất bại tất thử thách – Jack001N Đại học Bách Khoa – Đại học Đà Nẵng Cuối kì GIẢI TÍCH Đề thi cuối kì giải tích năm 2 018 -2 019 ĐHBK-ĐHĐN (thi? ??u đề 01) +∞