Đề thi Giải tích B1 năm học 1617 - ĐH Khoa học Tự Nhiên TPHCM

Đề thi Giải tích B1 năm học 1617 - ĐH Khoa học Tự Nhiên TPHCM tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, b...

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 7 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: a) Thực hiện phép tính ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = + + b) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dơng n thì n 2 n 2 n n 3 2 3 2 + + + chia hết cho 10 Lời giải : a) ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 12 4 12 4 10 3 10 3 6 3 12 5 12 5 9 3 9 3 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .7 A 2 .3 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 10 3 12 5 9 3 2 .3 3 1 5 .7 1 7 2 6 1 2 7 2 .3 3 1 5 .7 1 8 4 9 2 3 6 = = = + = + + b) Ta có ( ) ( ) n 2 n 2 n n n n n n n n 3 2 3 2 3 .9 2 .4 3 2 .1 3 9 1 2 4 1 + + + = + = + + ( ) n n 1 n n 1 10.3 10.2 10. 3 2 = = chia hết cho 10 Câu 2: Tìm x, biết a) ( ) 1 4 2 x 3,2 3 5 5 + = + b) ( ) ( ) x 1 x 11 x 7 x 7 0 + + = Lời giải : a) ( ) 1 7 x 2 x 1 4 2 1 4 14 1 3 3 x 3,2 x x 2 3 5 5 3 5 5 3 1 5 x 2 x 3 3 = = + = + + = = = = Vậy giá trị cần tìm là x = 7 3 ; 5 x 3 = b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 1 x 11 x 1 10 10 x 7 0 x 7 x 7 0 x 7 1 x 7 0 x 7 1 + + + + = = = = Với ( ) x 1 x 7 0 x 7 + = = . Với ( ) 10 x 7 1 x 8 x 7 1 x 7 1 x 6 = = = = = . Vậy giá trị cần tìm là { } x 6;7;8 Câu 3: a) Số A đợc chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Biết rằng tổng các bình phơng của ba số đó bằng 24309. Tìm số A b) Cho x, y, z là các số hữu tỉ khác 0, sao cho 2x 2y z 2x y 2z x 2y 2z z y x + + + + = = . Tính giá trị bằng số của biểu thức ( ) ( ) ( ) x y y z z x M 8xyz + + + = Lời giải : a) Gọi 3 số đợc chia ra từ số A lần lợt là x; y; z. Theo bài ra ta có 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z 24309 32400 2 3 1 4 9 1 4 9 1 2701 5 4 6 25 16 36 25 16 36 3600 + + = = = = = = = + + 2 2 x 32400 x 5184 x 72 4 25 = = = ; 2 2 y 32400 y 18225 y 135 9 16 = = = 2 2 z 32400 z 900 y 30 1 36 = = = Với x = 72; y = 135; z = 30 thì A = 237. Với x = -72; y = -135; z = -30 thì A = -237 b) Từ giả thiết ta có: ( ) 3 x y z 2x 2y z 2x y 2z x 2y 2z 3 z y x x y z + + + + + + = = = = + + 2x 2y z 3 x y 2z z + = + = ; 2x y 2z 3 x z 2y y + = + = ; x 2y 2z 3 y z 2x x + + = + = Do đó ( ) ( ) ( ) x y y z z x 2x.2y.2z M 1 8xyz 8xyz + + + = = = Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng c) Từ M kẻ tia Mx sao cho MA là tia phân giác của ã BMx . Gọi D là giao điểm của Mx với AC. Chứng minh rằng MB > MD Lời giải : a) Xét AMC và EMB có ã ã AM ME (gt) AMC EMB (đối đỉnh) MC=MB (gt) = = AMC = EMB (c g c) AC = EB và ã ã CAM BEM= mà ã CAM ; ã BEM là hai góc ở vị trí so le nên AC // BE b) Nối I với M và K với M Xét AMI và EMK có ả ã AM EM (gt) MAI MEK (so le) AI=EK (gt) = = AMI = EMK (c g c) ả ã AMI EMK= mà ã ã 0 EMK KMA 180+ = (Hai góc kề bù) ả ã 0 AMI KMA 180+ = . Vậy ba điểm I, M, K thẳng hàng c) Ta có ã ã MDC AMD> (Góc ngoài của AMD) ã ã MDC AMB> (Vì theo giả thiết ã ã AMB AMD= mà ã ã AMB DCM> (Góc ngoài của AMC). Từ đó suy ra ã ã MDC DCM> MC > MD (Quan hệ cạnh và góc trong DMC). Mặt khác MC = MB (gt). Vậy MB > ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN KÌ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN HỌC KÌ II Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: GIẢI TÍCH B1 Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: (4,0 điểm) 1) Khảo sát hội tụ chuỗi số sau: ∞ n3 − n2 + a) n n=1 + 3n + ln n ∞ b) (−1)n n=1 (n!)2 (2n)! (x − 1)n 3n n3 n=1 ∞ 2) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau: Câu 2: (2,5 điểm)    x − 5x + (x > 3) x−3 a) Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó: f (x) =   2x + (x ≤ 3) b) Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = 3x2 − x3 điểm (1; 2) Câu 3: (2,0 điểm) Các tích phân sau có hội tụ không? Nếu có tính giá trị nó: ln x a) √ dx x b) +∞ −∞ x3 e−x dx Câu 4: (1,5 điểm) Một thuyền kéo vào bến tàu sợi dây có đầu gắn vào mũi thuyền đầu gắn vào ròng rọc bến tàu (rồng rọc đặt cao m so với mũi thuyền) Nếu sợi dây kéo vào với tộc độ m/s thuyền tiến gần đến bến tàu nhanh thuyền cách bến tàu m? ——HẾT—— phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 8 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức = + ữ + + 2 2 2 2 2 2 4xy 1 1 A : y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị của A đợc xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y là các số thực thỏa m n ã + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 , h y tìm các giá trị nguyên đã ơng của A ? Lời giải : a) ĐKXĐ của A là: + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 y x 0 y x y 2xy x 0 y 0 1 1 0 y x y 2xy x b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = + + + 2 2 2 2 2 y x y x 4xy 2y 4xy A : . 2x 2xy y x y x y x 2y y x y x c) ĐK cần: Từ điều kiện ( ) + + = + + + + + = 2 2 2 2 2 3x y 2x 2y 1 2x 2xy x 2xy y 2 x y 1 2 ( ) ( ) ( ) + + + + = + + + = 2 2 2 2 2x 2xy x y 2 x y 1 2 2x 2xy x y 1 2 ( ) + = + 2 2 2x 2xy 2 x y 1 2 . Do đó 0 < A 2 nên giá trị A cần tìm là { } A 1;2 ĐK đủ: Với A = 1 ( ) 2 x y 1 1 + = Xét x y 1 1 x y + = = (loại vì x y) Xét x y 1 1 x y 2 + = = thay vào + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 đợc ( ) ( ) 2 2 3 y 2 y 2 y 2 2y 1 + + = ( ) 2 2 2 3 2 y 2y 3 2 2 4y 12y 7 0 4y 12y 9 2 2y 3 2 2y 3 2 3 2 y 2 + = = + = + = = = = 3 2 2 1 y x 2 2 + = = ; 3 2 2 1 y x 2 2 = = Với A = 2 ( ) 2 x y 1 0 x y 1 0 x y 1 + = + = = thay vào + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 đợc ( ) ( ) 2 2 3 y 1 y 2 y 1 2y 1 + + = ( ) 2 y 0 (loại) 1 4y 6y 0 2y 2y 3 0 x 3 2 y 2 = = = = = Vậy A = 1 khi ( ) 2 1 3 2 2 1 3 2 x;y ; ; ; 2 2 2 2 + ữ ữ ữ ữ A = 2 khi ( ) 3 1 x;y ; 2 2 ữ Câu 2: a) Giải phơng trình sau + = + 2 2 2 2 x 17 x 15 x 13 x 11 2008 2010 2012 2014 b) Tìm các số x, y, z biết + + = + + 2 2 2 x y z xy yz zx và + + = 2012 2012 2012 2013 x y z 3 Lời giải : a) Phơng trình tơng đơng + = + 2 2 2 2 x 17 x 15 x 13 x 11 1 1 1 1 2008 2010 2012 2014 ( ) + = + + = ữ 2 2 2 2 2 x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 1 1 1 x 2025 0 2008 2010 2012 2014 2008 2010 2012 2014 Vì > 1 1 2008 2012 và > 1 1 2010 2014 nên + > 1 1 1 1 0 2008 2010 2012 2014 Do đó ta có = = 2 x 2025 0 x 45 . Tập nghiệm của phơng trình là: { } = S 45;45 b) Từ giả thiết + + = + + + + = 2 2 2 2 2 2 x y z xy yz zx 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 ( ) ( ) ( ) + + = = = = = = 2 2 2 x y y z z x 0 x y y z z x 0 x y z Do đó 2012 2012 2012 2013 2012 2013 x y z 3 3x 3 x 3+ + = = = . Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3 Câu 3: a) Cho phơng trình = + 4x 1 m 3 x 1 , với m là tham số. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng b) Chứng minh rằng nếu + + a b c 3 thì + + + + 3 3 3 4 4 4 a b c a b c Lời giải : a) ĐKXĐ: x 1. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + + 4x 1 m 3 4x 1 x 1 m 3 4x 1 x m 3 m 3 x 1 ( ) ( ) ( ) = + + = +4x 1 x m 3 m 3 x m 1 m 2 Nếu m = 1 thì 0 = 3 nên phơng trình vô nghiệm Nếu m 1 thì + = m 2 x m 1 . Để phơng trình có nghiệm dơng thì +) ( ) ( ) + + > + + > + > ữ + > + > 2 2 2 m 2 1 m 1 9 1 9 m 1 m m 2 0 m m 0 m m 2 m 1 0 4 4 2 4 m 2 0 m 1 + > 1 3 m 2 2 m < -2; m > 1. Vậy giá trị m cần tìm là m < -2; m > 1 b) Ta dễ dàng chứng minh đợc + + 4 4 3 3 a b a b ab . Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( ) + + 4 4 3 3 3 3 3 3 a b a b ab a a b b a b 0 a b a b 0 ( ) ( ) ( ) + + + + ữ 2 2 2 2 2 2 b 3b a b a ab b 0 a b a 0 2 4 đúng với mọi a, b Chứng minh tơng tự ta cũng có + + 4 4 3 3 b c b c bc và + + 4 4 3 3 c a c a ca Do đó ( ) ( ) phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 9 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: a) Giải phơng trình x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + + = b) Với giá trị nào của tham số a thì phơng trình sau có nghiệm: ( ) + + = 2 2 a x 2a 3 1 x x 4 2 3 4 (*) Lời giải : a) Ta có ( ) ( ) 2 1 1 x 2 3 2x 5 2x 5 6 2x 5 9 2x 5 3 0 2 2 + + = + + = + ( ) ( ) 2 1 1 x 2 2x 5 2x 5 2 2x 5 1 2x 5 1 0 2 2 = + = ĐKXĐ: 5 2x 5 0 x 2 Phơng trình tơng đơng 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2x 5 4+ + + = ( ) ( ) 2 2 2x 5 3 2x 5 1 4 2x 5 3 2x 5 1 4 + + = + + = 1 2x 5 1 2x 5 = . Ta có 1 2x 5 1 2x 5 , do đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 2x 5 0 2x 5 1 2x 5 1 x 3 . Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm của phơng trình là 5 x 3 2 b) ĐKXĐ: x 4 0 x 4 Phơng trình tơng đơng ( ) 2 2 a x 2a 3 1 x 4 2 3 x 4+ + = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a x 2a 3 1 x 4 2 3 a x 2a 3 1 x 3 1 ax 3 1 0+ + = + + = + ; x 4 0 . Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 a x 2a 3 1 x 4 2 3 0 a x 2a 3 1 x 4 2 3 0 x 4 x 4 0 + + = + + = = = Để phơng trình (*) có nghiệm thì phơng trình ( ) 2 2 a x 2a 3 1 x 4 2 3 0+ + = có nghiệm x = 4 Dó đó ( ) ( ) 2 2 2 1 3 a 4 2a 3 1 4 4 2 3 0 4a 3 1 0 a 4 + + = + = = Bài 2: a) Tìm GTNN của biểu thức = + + + + 2 2 P 1 4x 4x 4x 12x 9 b) Tìm số thực a để phơng trình sau có nghiệm nguyên + + = 2 x ax a 2 0 Lời giải : a) ( ) ( ) 2 2 2 2 P 1 4x 4x 4x 12x 9 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3= + + + + = + + = + + 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 4= + + + + = GTNN của P là 4. Đạt đợc khi ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2x 1 3 2x 0 4x 4x 3 0 2x 1 4 2x 1 2 x 2 2 + b) Để phơng trình có nghiệm nguyên thì 0 ( ) 2 2 a 4a 8 0 a 2 12 a 2 2 3 a 2 2 3 ; a 2 2 3 + . Khi đó gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phơng trình. Theo hệ thức Viets ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 x x a x x x x 2 x x 1 x 1 3 x 1 x 1 3 x x a 2 + = + = = = = + x 1 1 và x 2 1 là ớc của 3. Giả sử x 1 x 2 thì x 1 1 x 2 1. Ta có 2 trờng hợp sau: 1 1 2 2 x 1 3 x 4 x 1 1 x 2 = = = = khi đó a = 6 và 1 1 2 2 x 1 1 x 0 x 1 3 x 2 = = = = khi đó a = -2 Đối chiếu điều kiện ta có { } a 2; 6 là giá trị cần tìm Bài 3: a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) có phơng trình ( ) ( ) m 3 x m 2 y m 1 0 + = (m là tham số) luôn đi qua một điểm cố định A. Tìm tọa độ A ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN – LÝ ĐỀ THI MẪU MÔN GIẢI TÍCH Học kỳ II, năm học 2014-2015 Ngày thi: / /2015 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (1,5 điểm) Hãy xác định cận cho tích phân bội sau (không cần tính I): I  f ( x, y)dxdy , với Dxy Dxy x  y  y  miền phẳng bị giới hạn bởi:  y  0; x   y   ( x  1)  Câu (2 điểm) Hãy tính tích phân đường loại sau: I   2 xy  x  y dl , với (C ) đoạn gấp khúc ABC, (C ) A(–4,0), B(0,4), C(8,0) Câu (2 điểm) Hãy tính tích phân đường loại sau: I  ye x     xy  x dx  e x  x  y dy , (C ) với (C ) nửa đường tròn x  y  , phần x  , nối từ A(0,2) đến B(0,2) Câu (2 điểm) Giải phương trình vi phân cấp một: ydx  ( x  x y )dy  Câu (2,5 điểm) Giải phương trình vi phân cấp hai: y"3 y'2 y  (2 x  3)e x -Hết Cán coi thi không giải thích thêm ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI MẪU MÔN GIẢI TÍCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Học kỳ II, năm học 2014-2015 BỘ MÔN TOÁN – LÝ Ngày thi: / /2015 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (1,5 điểm) Hãy xác định cận cho tích phân bội sau (không cần tính I): I    x  y  z   f ( x, y, z ) dxdydz , với  khối vật thể bị giới hạn bởi:  x  y  z  x  y  Câu (2 điểm) Hãy tính tích phân đường loại sau: I    x  1dl , với (C ) phần parabol y  x , nối từ A(–1,1) đến B(2,4) (C ) Câu (2 điểm) Hãy tính tích phân đường loại sau: I  e x y  y  e x  dx   e x  y  x  ye y  dy , (C ) , với (C ) nửa đường tròn x  y  , phần y  , nối từ A(2,0) đến B(2,0) Câu (2 điểm) Giải phương trình vi phân cấp một: ( x  xy )dy  y dx  Câu (2,5 điểm) Giải phương trình vi phân cấp hai: y" y '12 y  xe x -Hết Cán coi thi không giải thích thêm ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI MẪU MÔN GIẢI TÍCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Học kỳ II, năm học 2014-2015 BỘ MÔN TOÁN – LÝ Ngày thi: / /2015 Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (1,5 điểm) Hãy xác định cận cho tích phân bội sau (không cần tính I): I  f ( x, y)dxdy , với Dxy Dxy  x  ( y  1)   miền phẳng bị giới hạn bởi:  y  x x   Câu (2 điểm) Hãy tính tích phân đường loại sau: I   | x |  | y |  | xy |dl , với (C ) đoạn gấp khúc ABC, (C ) A(–3,0), B(0,3), C(3,0) Câu (2 điểm) Hãy tính tích phân đường loại sau:   x3  x y  ln x dx   x  y   y  1 dy ,   (C ) 2 , với (C ) nửa đường tròn x  y  x , phần x  , nối từ A(2,2) đến B(2,2) I  3 x y  Câu (2 điểm) Giải phương trình vi phân cấp một: y'2 y tan x  y sin x  Câu (2,5 điểm) Giải phương trình vi phân cấp hai: y"2 y '2 y  e x sin x -Hết Cán coi thi không giải thích thêm 10