pt.bpt

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN Biến đổi cơ bản (2002-D) Giaỉ bpt: 2 2 ( 3 ) 2 3 2 0x x x x+ − − ≥ (1) Giải (1) ⇔ 2 2 ( ; 3] [0; ) ( 3 ) 0 ( ; 3] [2; ) 1 ( ; ] [2; ) 2 3 2 0 2 x x x x x x x ∈ −∞ − ∪ +∞   + ≥   ⇔ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞   ∈ −∞ − ∪ +∞ − − ≥     (2004-A) Giải bpt: 2 2( 16) 7 3 (1) 3 3 x x x x x − − + + > − − Giải Điều kiện: ( ; 4] [4; ) 3 [4; ) 3 x x x x ∈ −∞ − ∪ +∞   > ⇔ ∈ +∞   > −  (1) 2 2 2( 16) 3 7 2( 16) 10 2x x x x x⇔ − + − > − ⇔ − > − +) Nếu x>5 thì tập nghiệm là [4; )x ∈ +∞ +) Nếu 4 5x≤ ≤ thì bpt 2 20 66 0 10 34 10 34x x x⇔ − + < ⇔ − < < + Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bpt là: x > 10 34− . (2005-A) Giải bpt: 5x 1 x 1 2x 4 (1)− − − > − Giải: Điều kiện: 5x 1 0 x 1 0 x 2 2x 4 0 − ≥   − ≥ ⇔ ≥   − ≥  (1) 5x 1 2x 4 x 1⇔ − > − + − 2 2 2 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1) x 2 (2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4 x 10 0 0 x 10 ⇔ − > − + − + − − ⇔ + > − − ⇔ + + > − + ⇔ − < ⇔ < < Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của (1) là: [ ) 2;10 . (2006-B) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2 x mx 2 2x 1 (1)+ + = + Giải: (1) ⇔ ( ) 2 2 2 1 2x 1 0 x 2 x mx 2 2x 1 3x (m 4)x 1 0  + ≥  ≥ −   ⇔   + + = +  − − − =    Nhận xét (1) có hai nghiệm phân biệt phải thỏa mãn: 1 2 − ≤ x 1 <0<x 2 (giả sử x 1 < x 2 ). Đặt f(x)= 2 3x (m 4)x 1− − − . PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN Khi đó ta có: ( ) 2 (m 4) 12 0 0 m 4 1 9 1 f 0 m 2 6 2 2 S 1 3 m 4 0 1 0 2 2 4 2    − + >  ∆ >   −   − > ⇔ > − ⇔ ≥     −   − > + − ≥     Vậy với m ≥ 9/2 thì (1) có hai nghiệm phân biệt BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Giải phương trình và bất phương trình : a) 2 1 1 ( 7) 1 x x x x + − = + − b) 3 3 3 1 2 1 3 1x x x− + − = − c) 2 2 1 2 1 2 1x x x x x− − + + − = + d) 1 1 1 2 4 2 x x x+ + + + = Giải: a) 2 1 1 ( 7) 1 x x x x + − = + − (1) Ta có 2 1 1 ( 7) ( 1) 1 ( 7) 1 1 x x x x x x x x + − = + ⇒ − + = + + − ⇒ 1 1 7 x x x = −   − = +  Ta có 1 7x x− = + vô nghiệm Thế nghiệm 1x = − vào phương trình (1) thoả mãn nên 1x = − là nghiệm của pt (1) b) 3 3 3 1 2 1 3 1x x x− + − = − . Ta có 3 3 3 1 2 1 3 1x x x− + − = − ⇔ 3 3 3 1 2 1 3 ( 1)(2 1)( 1 2 1) 3 1x x x x x x x− + − + − − − + − = + ⇒ 3 3 ( 1)(2 1)(3 1) 3x x x− − + = ⇒ ( 1)(2 1)(3 1) 1x x x− − + = ⇒ 2 (6 2 9) 0x x x+ − = ⇒ 0 1 55 6 x x =   − ±  =   Vậy phương trình có 2 nghiệm 0x = ; 1 55 6 x − ± = c) 2 2 1 2 1 2 1x x x x x− − + + − = + (1) Ta có 2 2 1 2 1 2 1x x x x x− − + + − = + ⇒ 2 1 1 1 1 2 1x x x− − + − + = + ⇒ 2 1 2 1 1 2 1 (2) 2 2 1 1 1 2 1 (3) x x x x x x  − − + − + = +  − − + − + = +   + (2) ⇒ 2 3 1 2 2 4 13 0x x x x− = + ⇒ − + = phương trình vô nghiệm + (3) ⇒ 2 1 1 2 2 4 9 5 0 5 4 x x x x x x =   − = − ⇒ − + = ⇒  =  Thế nghiệm 1x = ; 5 4 x = vào phương trình (1) 5 4 x = không thoả mãn nên nghiệm của phương trình (1) là 1x = PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN d) 1 1 1 2 4 2 x x x+ + + + = (1) . Ta có: 1 1 1 2 4 2 x x x+ + + + = ⇒ 1 1 1 1 4 4 4 2 x x x+ + + + + = ⇒ 2 1 1 1 4 2 2 x x   + + + =  ÷  ÷   ⇒ 1 1 1 4 2 2 x x+ + + = ⇒ 1 1 1 4 2 2 x + + = ⇒ 1 0 4 x + = ⇒ 1 4 x = − . Thế nghiệm 1 4 x = − vào phương trình (1) thoả mãn nên 1 4 x = − là nghiệm của pt (1) 2. Giải phương trình và bất phương trình : a) 3 2 3 2 5x x x− − + = − b) 10 3 8 1 3 1 x x x x ≥ + + + + c) 2 ( 1 1)( 1 7)x x x x x+ + + + + − = d) 2 2 2 2 2 x x x x x + + − ≥ + − − e) 1 2 1 2 3 1 2 1 x x x x x + + + = + + − + g) 2 2 3 2 1 1x x x x+ + + − = + h) 2 2 2 5 3 1 2x x x x x− + + ≤ + − + k) 1 1 1x x x x x x − − − − > m) 2 2 2 1 3( 1 1 )x x x x− = − + − Giải: a) 3 2 3 2 5x x x− − + = − (1). ĐK: 2 3 x > Ta có 3 2 3 2 5x x x− − + = − ⇔ 3 2 3 3 2 ( 3)x x x x− − + = − − + Đặt 3 2 0u x= − > , 3 0v x= + > Ta có hệ 2 2 2 2 3 11u v u v u v  − = −   − = −   ⇔ 2 2 3 11 ( )( 1) 0 u v u v u v  − = −  − + − =  ⇔ 2 2 3 11 1 0 u v u v u v  − = −  =     + − =   ⇔ 2 2 2 2 (2) 3 11 1 0 (3) 3 11 u v u v u v u v  =    − = −    + − =     − = −   (2) ⇒ 11 2 u v= = ⇒ 5 2 x = (3) ⇒ 2 6 0v v+ − = ⇒ 2 3 v v =   = −  Nghiệm 3v = − (loại), với 2v = ⇒ 1u = − (loại) Vậy phương trình (1) có nghiệm là 5 2 x = b) 10 3 8 1 3 1 x x x x ≥ + + + + (1). ĐK: 1 8 x ≥ − PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN 10 3 8 1 3 1 x x x x ≥ + + + + ⇒ ( ) 8 1 3 1 10 3 8 1 (3 1) x x x x x x + − + ≥ + + − + ⇒ ( ) 2 8 1 3 1 3x x x+ − + ≥ + ⇒ ( ) 4 15 2 2 (8 1)(3 1) 3x x x x+ − + + ≥ + ⇒ 44 8 8 (8 1)(3 1) 3x x x x+ − + + ≥ + ⇒ 2 2 1849 430 25 1536 704 64 0x x x x+ + − − − ≥ ⇒ 2 313 274 39 0x x− − ≥ ⇒ [ ) 1;+∞ Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là [ ) 1;+∞ c) 2 ( 1 1)( 1 7)x x x x x+ + + + + − = . ĐK: 1x ≥ − Ta có 2 ( 1 1)( 1 7)x x x x x+ + + + + − = ⇔ 2 2 1 ( 6) 1 7x x x x x x x+ + + − + + + − = ⇔ 2 ( 6)( 1 1) 0x x x+ − + + = mà 1 1x+ + >0 nên 2 6 0x x+ − = ⇔ 2 3 x x =   = −  d) 2 2 2 2 2 x x x x x + + − ≥ + − − . ĐK: [ ] 0 2;2 x x ≠    ∈ −   Ta có 2 2 2 2 2 x x x x x + + − ≥ + − − ⇔ ( ) 2 2 2 2 2 x x x x + + − ≥ ⇔ 2 2 2 2 4 4 0 2 x x x x + + − + − − ≥ ⇔ 2 4 0 x x − ≥ ⇔ ( ] 0;2x ∈ e) 1 2 1 2 3 1 2 1 x x x x x + + + = + + − + (1). ĐK: 0 1 ; 2 x x ≠      ∈ − +∞ ÷      Ta có 1 2 1 2 3 1 2 1 x x x x x + + + = + + − + ⇔ ( ) 2 1 2 1 3 2 0 x x x x + + + − − = ⇔ 1 2 1 2 (1 2 )( 1) 3 2 0 x x x x x x + + + + + + − − = ⇔ 2 (1 2 )( 1) 0 x x x + + = ⇔ (1 2 )( 1) 0x x+ + = ⇒ 1 2 1 x x  = −   = −  Nghiệm 1x = − (loại) Vậy nghiệm của phương trình (1) là 1 2 x = − g) 2 2 3 2 1 1x x x x+ + + − = + (1) . ĐK: [ ) { } 1; 1x ∈ +∞ ∪ − Ta có 2 2 3 2 1 1x x x x+ + + − = + ⇔ ( 1)( 2) ( 1)( 1) 1x x x x x+ + + + − = + ⇔ ( ) 1 2 1 1 0x x x x+ + + − − + = ⇔ 2 1 1 0 1 0 x x x x  + + − − + =  + =   + 1 0x + = ⇔ 1x = − + 2 1 1 0x x x+ + − − + = vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình (1) là 1x = − h) 2 2 2 5 3 1 2x x x x x− + + ≤ + − + . ĐK: ( ] [ ) ( ] ; 2 1; 3 ;1 ; 2 x x  ∈ −∞ − ∪ +∞     ∈ −∞ ∪ +∞ ÷      PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN Ta có 2 2 2 5 3 1 2x x x x x− + + ≤ + − + ⇔ 3 1 2 1 2 0 2 x x x x     − + + − − − ≤  ÷  ÷  ÷     Vì 1 0x − ≥ nên 3 1 2 1 2 0 2 x x x x     − + + − − − ≤  ÷  ÷  ÷     ⇔ 3 2 1 2 0 2 x x x   + + − − − ≤  ÷   ⇔ 3 2 1 2 2 x x x   + + − ≤ −  ÷   ⇔ 3 2 1 2 ( 2)( 1) 2 2 x x x x x   + + − + + − ≤ −  ÷   ⇔ 2 ( 2)( 1) 4x x+ − ≤ − Vô nghiệm Vậy bất phương trình vô nghiệm k) 1 1 1x x x x x x − − − − > . ĐK: [ ) [ ) 1;0 1;x ∈ − ∪ +∞ Ta có 1 1 1x x x x x x − − − − > ⇔ ( 1)( 1) 1 1x x x x x x x − + − − − > ⇔ 1 1 1 1 0 x x x x x   − − + − − >  ÷  ÷   ⇔ 1 0 1 1 1 0 x x x x x  − >    −  + − − >   ⇔ 2 1 0 1 1 1 2 1 x x x x x x x  − >    − −  + + − >   ⇔ 1 0 1 1 2 1 0 x x x x x x  − >     − − − + >   ⇔ 2 1 0 1 1 0 x x x x  − >       − − >  ÷  ÷     Hệ bất phương trình thoả [ ) ( ) 1;0 1;x∀ ∈ − ∪ +∞ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ ) ( ) 1;0 1;x∀ ∈ − ∪ +∞ m) 2 2 2 1 3( 1 1 )x x x x− = − + − (1), ĐK: [ ] 1;1x ∈ − + Ta có 2 2 2 1 3( 1 1 )x x x x− = − + − ⇔ 2 2 2 2 1 2 1 1 3( 1 ) 3x x x x x x− + − + − = + − − ⇔ 2 2 2 ( 1 ) 1 3( 1 ) 3x x x x+ − − = + − − (2) + Đặt 2 1t x x= + − (2) ⇒ 2 3 2 0t t− + = ⇔ 1 2 t t =   =  + Với 1t = ⇒ 2 1 1x x+ − = ⇒ 1 0 x x =   =  + Với 2t = ⇒ 2 1 2x x+ − = ⇒ 2 2 4 3 0x x− + = Vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm 1 0 x x =   =  Đặt ẩn phụ (2005-D) Giải pt: 2 x 2 2 x 1 x 1 4 (1)+ + + − + = Giải Điều kiện: x 1≥ PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN (1) ⇔ ( ) 2 2 x 1 1 x 1 4+ + − + = x 1 2 x 3 ⇔ + = ⇔ = Vậy x = 3 là nghiệm cần tìm. (2004-B) Xác định (1) để pt sau có nghiệm: 2 2 4 2 2 ( 1 1 2) 2 1 1 1 (1)m x x x x x+ − − + = − + + − − ≥ Giải Điều kiện: 2 1 x− 0 ≥ ⇔ 1 ≤ x ≤ 1 Đặt t = 2 2 1 1x x+ − − 2 2 2 1 2 t x − ⇒ − = Thay vào (1) ta được: 2 2 2 ( 2) 2. ( 1) 2 2 0 (2) 2 t m t t t m t m − − = + ⇔ + − + − = (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ≥ 0 ( ) 2 2 1 4(2 2) 0 10 9 0 1 1 0 2 2 m m m m S m m  ∆ = − − − ≥  − + ≥  ⇔ ⇔   − < = >    (2006-D) Giải pt: 2 2x 1 x 3x 1 0 (1)− + − + = Giải : Điều kiện: x ≥ 1 2 Đặt t = 2x 1− , t ≥ 0 (1) ⇔ 4 t 4t 4t 1 0− + − = ( ) 2 2 t 1 (t 2t 1) 0 t 1 x 1 t 2 1 x 2 2 ⇔ − + − = = =   ⇔ ⇒   = − = −   Vậy x={1;2- 2 } là nghiệm của (1) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Giải phương trình và bất phương trình : a) 2 2 3 3 3 3 5x x x x− + ≤ − + b) 2 2 2 2 4 2 4 1 3 6 9x x x x x x− + + − + = − + c) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 2 1 3 1 x x x x x − + − + + ≤ + d) 2 2 1 2 3 3x x x x x+ + + = + + e) ( ) 2 2 2 1 3 1 1x x x x− = − + − Giải: a) 2 2 3 3 3 3 5x x x x− + ≤ − + , Đặt 2 3 3 3; 2 t x x t= − + ≥ ⇒ 2 3 2t t≤ + ⇒ ( ] [ ) ;1 2;t ∈ −∞ ∪ +∞ ⇒ [ ) 3 ;1 2; 2 t   ∈ ∪ +∞     + Với 3 1 2 t≤ ≤ ⇒ 2 3 3 3 1 2 x x≤ − + ≤ ⇔ 2 2 3 3 1 3 3 3 2 x x x x  − + ≤   − + ≥   PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN ⇔ 2 2 3 2 0 4 12 9 0 x x x x  − + ≤   − + ≥   ⇔ 1 2x x ≤ ≤   ∀ ∈  ¡ ⇒ 1 2x≤ ≤ + Với 2t ≥ ⇒ 2 3 3 2x x− + ≥ ⇔ 2 3 3 4x x− + ≥ ⇔ 2 3 1 0x x− − ≥ ⇒ 3 13 3 13 ; ; 2 2 x     − + ∈ −∞ ∪ +∞  ÷    ÷     Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ ] 3 13 3 13 ; ; 1;2 2 2 x     − + ∈ −∞ ∪ +∞ ∪  ÷    ÷     b) 2 2 2 2 4 2 4 1 3 6 9x x x x x x− + + − + = − + + ĐK: 2 2 2 2 ; ; 2 2 x     − + ∈ −∞ ∪ +∞  ÷    ÷     + Đặt 2 2 , 1t x x t= − ≥ − ⇒ 4 2 1 3 9t t t+ + + = + ⇔ ( ) ( ) 3 5 2 4 2 1 3 9t t t t+ + + + = + ⇔ ( ) ( ) 4 2 1 2t t+ + = ⇔ ( ) ( ) 4 2 1 4t t+ + = ⇔ 2 2 9 0t t+ = ⇔ 0 0 2 9 (l ) 2 x t x t oai  =  = ⇒   =    = −   Vậy nghiệm của phương trình là 0 2 x x =   =  c) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 2 1 3 1 x x x x x − + − + + ≤ + + ĐK: ( ] [ ) ; 1 3;x ∈ −∞ − ∪ +∞ + Đặt ( ) 3 1 1 x t x x − = + + ⇒ 2 2 3 0t t+ − ≤ ⇒ 3 1t − ≤ ≤ ⇒ ( ) ( ) 3 1 1 1 3 1 3 1 x x x x x x  − + ≤  +   −  + ≥ −  +  + Giải bất phương trình ( ) 3 1 1 1 x x x − + ≤ + - Với 1x < − ⇒ ( ) 3 1 1, 1 1 x x x x − + ≤ ∀ < − + (1) - Với 3x ≥ ta có ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 3 1 1 x x x x x − + ≤ ⇔ + − ≤ + ⇔ 2 2 4 0x x− − ≤ ⇔ 3 1 5x≤ ≤ + (2) + Giải bất phương trình ( ) 3 1 3 1 x x x − + ≥ − + - Với 3x ≥ ⇒ ( ) 3 1 3, 3 1 x x x x − + ≥ − ∀ ≥ + (3) PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN - Với 1x < − ta có ( ) 3 1 3 1 x x x − + ≥ − + ⇔ ( ) ( ) 1 3 9x x+ − ≤ ⇔ 2 2 12 0x x− − ≤ ⇒ 1 13 1 13x+ ≥ ≥ − do 1x < − ⇒ 1 1 13x− ≥ ≥ − (4) Từ (1),(2),(3),(4) ⇒ ) 1 13; 1x  ∈ − −  d) 2 2 1 2 3 3x x x x x+ + + = + + + ĐK: 0x ≥ + Đặt 0; 3 3u x v x= ≥ = + ≥ ⇒ 2 2 2 2 2 2 3 u v uv u v v u  + − + = +   − =   ⇒ ( ) ( ) 2 2 0u v u v+ − + − = ⇒ 1 2 u v u v + = −   + =  ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 2 u v v u u v u v v u u v  + − =    + = −    + − =      + =    ⇒ 2 (l ) 1 1 4 7 4 v oai u u v  = −    =     =        =     ⇒ 1 4 7 3 4 x x  =     + =   ⇒ 1 16 x = Vậy nghiệm của phương trình là 1 16 x = e) ( ) 2 2 2 1 3 1 1 (1)x x x x− = − + − Giải TXĐ: 1 1x− ≤ ≤ ( 1) ⇔ ( ) 2 2 3 1 3 3x x x− − = − ⇔ ( ) 2 3 2 1 3 3x x x− − = − (hai vế không âm bình phương hai vế) ⇔ 2 2 2 (9 12 4 )(1 ) 9 18 9x x x x x− + − = − + ⇔ 4 3 2 4 12 14 6 0x x x x− + − + = ⇔ 3 2 2 (2 6 7 3) 0x x x x− − + − = ⇔ 3 2 0 2 6 7 3 0 x x x x =   − + − =  ⇔ 2 0 ( 1)(2 4 3) 0 x x x x =   − − + =  ⇔ 2 0 1 0 2 4 3 0 ( ) x x x x vn  =  − =   − + =  Vậy nghiệm của phương trình là x=1, x=0 2. Giải phương trình và bất phương trình : a) 2 1 2 3 1 2 x x x x + − + = − + b) 4 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = c) 1 1 2 1 1 x x x x + − + = − + d) 2 2 (4 1) 2 2(2 )x x x x x− + + = + PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN e) 2 2 2 2 1x x x− = − f) 2 2 3 5 7 3 7 2 3x x x x− + + − + = g) 4 4 1 15 2x x− + + = h) 3 3 2 2 4x x+ + + = Giải: a) 2 1 2 3 1 2 x x x x + − + = − + , ĐK: ( ) ( ) ; 2 1;x ∈ −∞ − ∪ +∞ Đặt 2 0 1 x t x + = > − 2 1 2 3 1 2 x x x x + − + = − + ⇒ 2 3t t + = ⇔ 2 3 2 0t t− + = ⇔ 1 2 t t =   =  + Với 1t = ⇒ 2 1 1 x x + = − ⇒ 2 1x x + = − Vô nghiệm + Với 2t = ⇒ 2 2 1 x x + = − ⇒ 2 4 1 x x + = − ⇒ 2 4 4x x + = − ⇒ 2x = Vậy phương trình có nghiệm 2x = b) 4 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = (1) + Đặt 4 2 1 0t x x= + − ≥ mà ( ) ( ) 2 2 4 1 1 1x x x x+ − − − = + 4 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = ⇒ 2 1 2t t + = ⇒ 3 2 1 0t t− + = ⇒ 1 (2) 1 5 (3) 2 1 5 0 (4) 2 t t t   =  +  =   −  = <   (2) ⇒ 4 2 1 1x x+ − = ⇒ 2 1 1x x+ − = ⇒ 2 2 1 1 2x x x− = + − ⇒ 1x = (3) ⇒ 4 2 1 5 1 2 x x + + − = ⇒ ( ) ( ) 4 2 16 1 1 5x x+ − = + ⇒ 2 2 2 1 7 3 5x x+ − = + ⇒ ( ) 2 2 4 4 94 42 5 4 7 3 5 4x x x− = + − + + ⇒ 49 21 5 7 2 14 6 5 x + = = + Thế nghiệm 1x = và 7 2 x = thoả (1) nên 1x = và 7 2 x = là nghiệm của (1) c) 1 1 2 1 1 x x x x + − + = − + , ĐK: 1, 1x x> − ≠ + Đặt 1 1 x t x + = − ⇒ 1 2t t + = ⇒ 2 2 1 0t t− + = ⇒ 1t = ⇒ 1 1 1 x x + = − ⇒ 1 1x x+ = − ⇒ 2 2 1 1x x x− + = + ⇒ 2 3 0x x− = ⇒ 0 3 x x =   =  Nghiệm x = 3 loại Vậy phương trình có nghiệm là x = 3 d) 2 2 (4 1) 2 2(2 )x x x x x− + + = + (1) PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG VÀ NÂNG CAO KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHỨA CĂN + Ta có 2 2 (4 1) 2 2(2 )x x x x x− + + = + ⇔ 2 2 (4 1) 2 4 2x x x x x− + + = + ⇔ 2 2 2 (4 1) 2 3 2 2x x x x x x x− + + = + − + + + (2) + Đặt 2 2 0t x x= + + > (2) ⇒ 2 2 (4 1) 3 2 0t x t x x− − + + − = ta có 2 (2 3)x∆ = − ⇒ 1 (3) 3 2 (4) t x t x = +   = −  (3) ⇒ 2 2 1x x x+ + = + , ( ) 1x ≥ − ⇒ 2 2 2 2 1x x x x+ + = + + ⇒ x =1 (4) ⇒ 2 2 3 2x x x+ + = − , 2 3 x   ≥  ÷   ⇒ 2 2 9 12 4 2x x x x− + = + + ⇒ 2 8 13 2 0x x− + = ⇒ 13 105 16 13 105 16 x x  + =    − =   Nghiệm 13 105 2 16 3 x − = < loại Vậy nghiệm của phương trình (1) là x =1, 13 105 16 x + = e) 2 2 2 2 1x x x− = − , [ ) 2;x ∈ +∞ + Ta có 2 2 2 2 1x x x− = − ⇔ ( ) 2 2 2 1 1 1x x− = − − (1) + Đặt 1 2 1y x− = − , 1y ≥ , (1) ⇔ ( ) 2 1 2 1 2( 1) 1 1 y x y x  − = −   − = − −   ⇔ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 y x x y  − = −   − = −   ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 1 y x y x y x x y − + − + − =    − = −   ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 1 y x y x x y − + =    − = −   ⇔ ( ) 2 1 2 1 x y x y x y  =    = −    − = −  ⇔ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 x y x y x y x y  =     − = −      − = −     = −    ⇔ ( ) ( ) 2 2 (2) 1 2 1 1 2 1 (3) x y x x x x x y  =     − = −      − = − −     = −    + (2) ⇒ 2 2x y= = + + (3) Vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là 2 2x = + f) 2 2 3 5 7 3 7 2 3x x x x− + + − + = Ta có 2 2 3 5 7 3 7 2 3x x x x− + + − + = ⇒ 2 2 3 5 7 3 3 7 2x x x x− + = − − + ⇒ 2 2 2 3 5 7 9 3 7 2 6 3 7 2x x x x x x− + = + − + − − + ⇒ 2 6 3 7 2 4 2x x x− + = − ⇒ ( ) 2 2 36 3 7 2 16 16 4x x x x− + = − + ⇒ 2 26 59 14 0x x− + = ⇒ 7 26 x = , 2x = Vậy nghiệm của phương trình là 7 26 x = , 2x = g) 4 4 1 15 2x x− + + = , ĐK: [ ] 15;1x ∈ − PHẠM VĂN HÙNG ĐT:0122 55 77 235 Email:toanthpthung@gmail.com . ≤ thì bpt 2 20 66 0 10 34 10 34x x x⇔ − + < ⇔ − < < + Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bpt là: x > 10 34− . (2005-A) Giải bpt: 5x. +∞   + ≥   ⇔ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞   ∈ −∞ − ∪ +∞ − − ≥     (2004-A) Giải bpt: 2 2( 16) 7 3 (1) 3 3 x x x x x − − + + > − − Giải Điều kiện: ( ; 4]