GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITB.. Giải và biện luận phương trình logarit: I.. Nhắc lại về hàm số logarit: 1.. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dướ
Trang 1GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
B Giải và biện luận phương trình logarit:
I Nhắc lại về hàm số logarit:
1 Khái niệm: Hàm số logarit có dạng y = logax ( a > 0, a ≠ 1)
TXĐ: x > 0
2 Tính chất:
a > 1: hàm số y = log a xlà hàm số đồng biến
0 < a < 1: hàm số y = logaxlà hàm số nghịch biến
logaa = 1, loga1 = 0, log ( a x ) x
a = , alog a x = x
log a ( x 1 x 2 ) = log a x 1 + log a x 2
2
1
x
x
log x m m loga x ( m R , x 0 )
loga x 1loga x ( x > 0 , α ≠ 0 )
α
=
α
loga x = logab logb x ( 0 < a , b , a , b ≠ 1 , x > 0 )
log b log1 a
b
a =
II Phương trình logarit:
1 Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.
2 Phương trình logarit đơn giản:
loga x = loga b(a > 0, a ≠ 1, b > 0)⇔x = b
a x c x a
log = ⇔ = (x > 0, a > 0, a ≠ 1)
Dạng tổng quát: logg(x) ( x ) = logg(x)h ( x ) ⇔
>
=
≠
>
0 )x (h )x (f
1 )x (g ,0 )x (g
3 Phương pháp giải:
a Phương pháp mũ hoá ( chuyển về cùng 1 cơ số):
Ví dụ 1 Giải phương trình:log2x + log3x + log4x = log10x ( 1 )
Giải
đk: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
x log log
x
log3 = 32 2 ; log4x = log42 log2x; log10x = log102 log2x
Trang 2(1) ⇔ log2x ( 1 + log32 + log42 − log102 ) = 0 ⇔ log2x = 0 ⇔ x = 1.
Ví dụ 2 (Đề 81) Giải phương trình
3 4
1 3 4
1 2
4
1 ( x 2 ) 3 log ( 4 x ) log ( x 6 )
log
2
Giải.
4 1 2
4
1(x+ ) = log x+
log
x log )
x (
4 1 3
4
1
6 3
6
4 1 3
4
1(x+ ) = log x+
log
Đk:
>
+
>
−
>
+
0 6
0 4
0 2
x
x
x
⇔
<
<
−
−<
<
−
4 2
2
6 x x
(1) ⇔ 3 log x 2 3 3 log ( 4 x ) 3 log ( x 6 )
4 1 4
1 4
)]
x )(
x [(
log x
4 1 4
1 + − = − + ⇔ log 4 x 2 log [( 4 x )( x 6 )]
4 1 4
0 6 4
2
⇔
− +
= +
+
−
−
= +
24 2 2
4
24 2 2
4
2 2
x x ) x
(
x x ) x
(
⇔
=
−
−
=
− +
0 22 2
0 16 6
2 2
x x
x x
⇔
±
=
−
=
=
33 1 8 2 x x x
⇒ nghiệm:
−
=
=
33 1
2 x x
Ví dụ 3 Giải và biện luận phương trình:
2 x x
3
2+ − + + log2− 3 x − 1 = log7−4 3[a ( x + 2 )], a > 0 (1)
Giải.
Đk: x – 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0 2 ⇒ x > 2
Ta có: ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1 ⇒ log2− 3 x − 1 = log(2 + 3)− 1 x − 1 = − log2+ 3 x − 1
2 3
2 3
2+ x − x +
1
2 3
2 3
+
−
x x
2
1
3
2+ − [a ( x )]
log7−4 3 + 2 = log(2− 3)2[a(x+2)] = log [a ( x 2 )]
2
1
3
2− + = log [a ( x 2 )]
2
1
3
(1) ⇔ log ( x 2 )
2
1
3
2+ − = log [a ( x 2 )]
2
1
3
2 −
x (
a
1 ⇔ x = 4 + 2 1a
a > 0 ⇒ nghiệm: x =
a
1
4 +
Trang 3x > 2 ⇒ x =
a
1
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình:
a) log (4x 1 4)
2 + + log2(4x +1) =
8
1 2 1 log
b) logx3 + log3x = log x 3 + log3 x +
2 1 c) logx(125x).log252 x = 1
d) log (sinx − sin x )
2
3 + log (sinx2 cos2x)
3
2) Xác định m để phương trình:
) m m x x (
2
có nghiệm x 1, x 2thoả mãn: x +12 x > 1.22
Hướng dẫn:
pt ⇔ log ( x2 x m m2)
⇔
>
− +
− +
=
− +
−
0 2
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
m mx
x
m mx x m m x
x
⇔
>
− +
=
− + +
−
0 2
0 2 2 1
2 2
2 2
m mx x
m m x) m (
x
⇔
>
−
+
−
=
=
) ( m
mx
x
m
x
m
x
2 0 2
1
2
2
2
2
1
phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 nên x 1, x 2 điều kiện (2) ⇒ – 1 < 0 ≠ m <
2 1
2
1
x +x22 > 1 ⇒
<
<
<
<
−
2
1 5
2
0 1
m m
3) Tìm a để phương trình
) x
(
log
) ax (
log
1
5
5
+ = 2 có nghiệm duy nhất (đề 120)
Hướng dẫn:
Trang 4pt ⇔
+
=
≠ +
>
+
>
2 5
1 1 0 1 0
) x ( log ) ax ( log
x
; x
ax
⇔ x + (2 – a)x + 1 = 0 (2)2
phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn:
≠
<
−
>
0 1
0 x
ax
4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)
b Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 1 Giải phương trình
[ ( x ) ]
log
)
x
( −1 2 4 −1 = 8( x − 1) 3
Giải.
Đk:
>
−
>
−
0 1
0 1
4
x
) x(
Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:
[ ( x ) ] log ) x
(
2 −1 2 − = [ 3]
2 8(x 1) log − ⇔ log2[4(x−1)].log2(x−1) = 3 + 3
)
x
(
log2 −1 ⇔ [2+log2(x−1)].log2(x−1) = 3 + 3log2(x−1) (1)
Đặt t = log2(x−1) ⇒ (1) ⇔ t – t – 3 = 0.2
⇒ phương trình có nghiệm:
2
13 1
1
−
=
2
13 1
2
+
= t
2
13 1
1
−
=
13 1
−
+
=
x
2
13 1
2
+
=
13 1
+
+
=
x
Ví dụ 2 Giải phương trình
2.2( x − 2 ) 2 = log 22( x)
Giải.
Đk:
≥
−
>
0 2
0
2
x
x
⇒ x≥2
Trang 5Đặt 2x−1 = y; y ≥ 2 ⇒ x = log2y + 1 ⇒ Ta được hệ phương trình:
=
=
y log x
x log
y
2
2
2
2
⇔
=
=
y
x
x
y
2
2
2
2
⇔ y.2 = x.y 2 (1)x
Xét hàm số: f(z) = z.e ; f'(z) = z e + 2z e > 0 z ∀z≥2
f(z) đồng biến trên [2; + ∞ ) Từ (1) ⇔ x = y ⇒ 2x =2x
Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = 2 tại 2 điểm: x x 1 = 1; x 2 = 2
từ x≥2 ⇒ x = 2 là nghiệm
Ví dụ 3 Giải phương trình
9
2
log
x = x 2 3log 2 x – xlog23 (1)
Giải.
Đk: x>0
áp dụng công thức: alog b c = clog b a
(1) ⇔ 9log 2 x = x 2 3log 2 x – 3log 2 x ⇔ 3log 2 x = x – 1.2
Đặt t = log2x ⇒ 3 t + 1 = 4 t ⇔ t
4
3
+
t
4
1
= 1 (2) Xét f(t) =
t
4
3
+
t
4
1
là hàm nghịch biến ⇒(2) có nghiệm duy nhất t = 1 ⇒ x = 2 là nghiệm của (1)
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a) log ( x x 2 1 )
2 − − log ( x x 2 1 )
log
b) log3( 3 x − 1 ) log ( 3 x 1 3 )
3 + − = 6 c) log4log2x + log2log4x = 2
d) logx3 + log3x = log x3 + log3 x +
2 1
2) Giải và biện luận theo a
a) logxax.logax = – 2
b) (loga2x + 2).loga2xa = logxa
a
x loga 2
3) Cho phương trình: (m – 3)log2(x 4)
2
1 − – (2m + 1)log (x 4)
2
1 − + m + 2 = 0
tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 4 < x 1 < x 2 < 6
c Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất:
Trang 6Ví dụ 1 Giải phương trình: lg( x 2 − x − 6 ) + x = lg( x + 2 ) + 4 (1)
Giải.
Đk: x 2 − x − 6 > 0, x + 2 > 0 ⇒ x > 3
(1) ⇔ lg( x 2 − x − 6 ) – lg( x + 2 ) = 4 – x ⇔
2
6 2
+
−
−
x
x x
lg = 4 – x ⇔ lg(x – 3) = 4 – x (2)
Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2)
y = lg(x – 3); y' =
3
1
−
x > 0 là hàm đồng biến
y = 4 – x là nghịch biến
⇒ x = 4 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 2 Giải phương trình
) x x (
3 2
2 + − − = log ( x 2 2 x 3 )
3
2+ − − (1)
Giải.
Đk:
>
−
−
>
−
−
0 3 2
0 2 2
2
2
x x
x
x
⇒
>
−
<
3
1 x x
(1) ⇔ log ( x 2 2 x 2 )
3 4
8+ − − = log ( x 2 2 x 3 )
3 4
7+ − − (2)
Đặt: a = 7 + 4 3; t = x 2 − 2 x − 3
(2) ⇔ loga+1(t+1) = logat (3)
Đặt: y = logat (3) ⇔
+
= +
=
y
y
) a(
t
a t
1
y
a = ( a + 1 ) y ⇔ y
a
a
+ 1 +
y
+ 1
1
= 1
(4)
y = 1 là nghiệm của (4)
y > 1 ⇒ VT < VP
y < 1 ⇒ VT > VP
⇒ y = 1 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 3 Giải phương trình: 2log5( x+3 ) = x
Giải.
Đk: x > – 3
– 3 < x ≤ 0: phương trình vô nghiệm
x > 0: Đặt log5( x + 3 ) = t ⇒
=
=
+
x
t ) x(
log
t
2
3
5
⇔
=
=
+
t
t
x
x 2
5
3
⇒ 3
t
5
1
+
t
5
2
=1 (*)
t = 1 là nghiệm VT của (*) là hàm nghịch biến ⇒ t = 1 là nghiệm duy nhất ⇒x = 2 là nghiệm duy nhất
Trang 7Bái tập áp dụng:
1) Tìm m để phương trình: lg 2 ( 10 x )
+ lgx = m a) có nghiệm
b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10
2) Giải phương trình: log ( x 3log x)
2 + 6 =log6 x