• Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. – Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường h[r]
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < Điều kiện Kết tập nghiệm b S = −∞; − a>0 a b S = − ; +∞ a x+ −2x + > 5 5( x − 1) 2( x + 1) 3( x + 1) x −1 d) + −1< < 3− Giải biện luận bất phương trình sau: m( x − m) ≤ x − b) mx + > 2x + 3m c) (m + 1) x + m < 3m + d) mx + > m2 + x m( x − 2) x − m x + f) − mx < 2( x − m) − (m + 1)2 + > Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: e) a) m2 x + 4m − < x + m2 b) m2 x + ≥ m + (3m − 2) x Trang 42 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình d) − mx < 2( x − m) − (m + 1)2 c) mx − m2 > mx − Bài a) VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc ẩn Bài a) d) g) Bài a) Bài a) Giải hệ bất phương trình sau: 4 4x − 15x − − 12x ≤ x + 8x − > < x+3 b) c) 3 x + 4x − < − x 2(2x − 3) > 5x − > 2x − x 11 − x 2 ≤ x + ≥ 2x − 15x − > 2x + e) f) 2x − < 19 + x 2 ( 3x + 1) ≥ x − 2 ( x − 4) < 3x − 14 2 3x − 3( x − 2) 2x − 3x + − 3x −1 > − < 3x + ≥ 2x + h) i) 4x + > 2x + 19 3 − 4x − > x − − − 5x 3x + < − x 18 12 Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau: 6 x + > x + 15x − > 2x + b) 8x + < 2x + 25 2( x − 4) < 3x − 14 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: x + m −1 > x −1 > b) c) x + 4m ≤ 2mx + 3m − − x > mx − > 3x + > 2x − 7x − ≥ −4x + 19 d) 2x − 3m + < mx − > e) (3m − 2) x − m > Bài a) VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui bất phương trình bậc ẩn Bất phương trình tích • Dạng: P(x).Q(x) > (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) • Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu P( x) • Dạng: (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) > (2) Q( x) • Cách giải: Lập bảng xét dấu P( x) Từ suy tập nghiệm (2) Q( x) Trang 43 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ • Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ g( x) > • Dạng 1: f ( x) < g( x) ⇔ − g( x) < f ( x) < g( x) g( x) < f ( x) cónghóa • Dạng 2: f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ f ( x) < − g( x) f ( x) > g( x) Chú ý: Với B > ta có: A < B ⇔ −B < A < B ; A < −B A >B⇔ A > B Bài Giải bất phương trình sau: a) ( x + 1)( x − 1)(3x − 6) > b) (2x − 7)(4 − 5x) ≥ d) 3x(2x + 7)(9 − 3x) ≥ e) Bài Giải bất phương trình sau: (2x − 5)( x + 2) a) b) >0 −4x + 3x − d) e) >1 x−2 c) x2 − x − 20 > 2( x − 11) x3 + 8x2 + 17x + 10 < x−3 x+5 > x +1 x − 2x − ≥ −1 2− x −4 x2 + x g) h) < ≥ 1− x 3x + − x − 2x Bài Giải bất phương trình sau: a) 3x − > b) 5x − 12 < x +1 d) 3x + 15 ≥ e) x − > g) 2x − ≤ x + h) 2x + ≤ x Bài Giải biện luận bất phương trình sau: 2x + m − mx − m + b) a) >0 0 (a1x + b1)(a2 x + b2 ) > , a2 x + b2 x f) x3 + 6x2 + 11x + > x − − 2x < x+5 x−3 f) ≤ x − 2x − c) i) 2x − 3x + < 3x + 2x − c) 2x − ≤ x f) x − < i) x − > x + c) x − 1( x − m + 2) > (hoặc < ≥ 0, ≤ 0) b b – Đặt x1 = − ; x2 = − Tính x1 − x2 a1 a2 – Lập bảng xét dấu chung a1.a2 , x1 − x2 – Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta a x + b1x xét dấu (a1x + b1)(a2 x + b2 ) (hoặc ) nhờ qui tắc đan dấu a2 x + b2 x Trang 44 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình m < 3: S = a) m > 3: S= m 3:= = S 3− m (−∞; −1) ∪ ; +∞ 3− m −∞; ∪ (−1; +∞) R \ { − 1} m−1 ; +∞ m < : S = (−∞;1) ∪ m m − b) m > : S = ;1 m m = : S = (−∞;1) m < 3: S = (1; +∞) c) S (m − 2; +∞) m ≥ 3: = Bài Giải bất phương trình sau: a) III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dấu tam thức bậc hai ∆0 f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) a.f(x) > 0, ∀x ∈ R b a.f(x) > 0, ∀x ∈ R \ − 2a a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞) a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2) a > Nhận xét: • ax2 + bx + c > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < • ax2 + bx + c < 0, ∀x ∈ R ⇔ a < ∆ < Bất phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c > (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau: a) 3x2 − 2x + b) − x2 + 4x + c) −4x2 + 12x − d) 3x2 − 2x − e) − x2 + 2x − f) 2x2 − 7x + g) (3x2 − 10x + 3)(4x − 5) h) (3x2 − 4x)(2x2 − x − 1) i) Bài Giải bất phương trình sau: (3x2 − x)(3 − x2 ) x2 + x − a) 2x2 − 5x + < b) −5x2 + 4x + 12 < c) 16x2 + 40x + 25 > d) −2x2 + 3x − ≥ e) 3x2 − 4x + ≥ f) x2 − x − ≤ g) −3x2 − x + >0 h) 4x2 + 3x − x2 + 3x + x2 + 5x + Bài Giải biện luận bất phương trình sau: >0 i) 5x2 + 3x − x2 − 7x + b) (1 + m) x2 − 2mx + 2m ≤ c) mx2 − 2x + > HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a ∆ – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT Bài Giải hệ bất phương trình sau: Trang 45 Bất đẳng thức – Bất phương trình 2x2 + 9x + > a) x + x − < x2 + x + ≥ d) 2x2 − x − 10 ≤ 2x2 − 5x + > g) −4 ≤ Trần Sĩ Tùng 2x2 + x − > b) 3x − 10x + ≥ −2x2 − 5x + < c) − x − 3x + 10 > − x2 + 4x − < e) x − 2x − ≥ x2 + x + < f) x − 6x + > x2 − x − x2 − x − 10x2 − 3x − h) i) −1 < ≤1 ≤ ≤1 b) x2 + (m + 1) x + 2m + > c) 2x2 + (m − 2) x − m + > d) mx2 + (m − 1) x + m − < e) (m − 1) x2 − 2(m + 1) x + 3(m − 2) > f) 3(m + 6) x2 − 3(m + 3) x + 2m − > Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) (m + 2) x2 − 2(m − 1) x + < b) (m − 3) x2 + (m + 2) x − > c) (m2 + 2m − 3) x2 + 2(m − 1) x + < d) mx2 + 2(m − 1) x + ≥ e) (3 − m) x2 − 2(2m − 5) x − 2m + > f) mx2 − 4(m + 1) x + m − < Bài a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ f ( x) ≥ C1 g( x) ≥ C2 f ( x) = g( x) • Dạng 1: f ( x) = g( x) ⇔ f ( x) = g( x) ⇔ f ( x) = − g( x) f ( x) < f ( x) = − g( x) f ( x) = g( x) f= ( x) g( x) ⇔ • Dạng 2: f ( x) = − g( x) g( x) > • Dạng 3: f ( x) < g( x) ⇔ − g( x) < f ( x) < g( x) Trang 46 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình g( x) < f ( x) cónghóa f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ f ( x) < − g( x) f ( x) > g( x) • Dạng 4: Chú ý: • A = A ⇔ A≥ 0; A =− A ⇔ A ≤ • Với B > ta có: A < B ⇔ −B < A < B ; • A + B = A + B ⇔ AB ≥ ; A < −B A >B⇔ A > B A − B = A + B ⇔ AB ≤ Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu g( x) ≥ f= ( x) g( x) ⇔ • Dạng 1: f ( x) = [ g( x)] f ( x) ≥ (hoaë c g( x) ≥ 0) g( x) ⇔ f ( x) = g( x) t = f ( x), t ≥ a f ( x) + b f ( x) + c = ⇔ at + bt + c = u = f ( x) f ( x) ± g( x) = h( x) Đặt ; u, v ≥ đưa hệ u, v v = g( x) f ( x) ≥ f ( x) < g( x) ⇔ g( x) > f ( x) < [ g( x)]2 g( x) < f ( x) ≥ f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ f ( x) > [ g( x)]2 • Dạng 2: = f ( x) • Dạng 3: • Dạng 4: • Dạng 5: • Dạng 6: Bài Giải phương trình sau: a) x2 − 5x + = x2 + 6x + b) x2 − = x2 − 2x + c) − 3x2 − − x2 = d) x − x − = e) x2 − =1 − x f) x2 − + x + =2 x ( x − 2) Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x2 − 5x − < b) x − > x2 + 3x − c) x2 − − 2x < d) x2 + 4x + > x2 − 4x − e) x − − x + < f) x2 − 3x + + x2 > 2x g) x2 − x ≤1 h) 2x − = x − b) x + x+2 Bài Giải phương trình sau: a) 2x − +1> x−3 5x + 10 =8 − x Trang 47 i) x−2 x − 5x + ≥3 c) x − 2x − = Bất đẳng thức – Bất phương trình d) x2 + x + = 2− x g) 3x + − x + = Trần Sĩ Tùng e) 3x2 − 9x + = x − f) h) x2 + − x2 − = i) 3x2 − 9x + = x − 21 + x + 21 − x 21 + x − 21 − x Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) x + + x + 6= 2x + 11 b) x + + 3x + 1= = 21 x x − c) + x + − x = x +1+ x + + x + = Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn) d) a) x − + 2x − + x + + 2x − = b) x + 5− x +1 + x + − x +1 = 2x − 2x − − 2x + − 2x − + 2x + − 2x − = Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) c) b) ( x + 4)( x + 1) − x2 + 5x + = a) x2 − 6x + = x2 − x + d) ( x + 1)( x + 2) = x2 + 3x − c) ( x − 3)2 + 3x − 22= x2 − 3x + Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) a) 3x2 + 5x + − 3x2 + 5x + = b) 5x + − 5x − 13 = d) 24 + x − + x = c) 9− x +1 + 7+ x +1 = e) 47 − 2x + 35 + 2x = 4 f) x2 + 4356 + x − x x2 + 4356 − x2 = x Bài Giải bất phương trình sau: a) x2 + x − 12 < − x b) x2 − x − 12 < − x c) − x2 − 4x + 21 < x + d) x2 − 3x − 10 > x − e) 3x2 + 13x + ≥ x − f) x + x2 + > x + − x > − x − −3 − 2x i) h) x + − − x > 2x − Bài Giải bất phương trình sau: g) a) ( x − 3)(8 − x) + 26 > − x2 + 11x b) ( x + 5)( x − 2) + x( x + 3) > c) ( x + 1)( x + 4) < x2 + 5x + 28 Bài 10 Giải bất phương trình sau: a) x2 − x ≤2 3− x c) ( x + 3) x − ≤ x − 2 Bài 11 Giải bất phương trình sau: a) x + ≤ x2 + Bài 12 Giải phương trình sau: a) b) 2x + + x + ≤ d) 3x2 + 5x + − 3x2 + 5x + ≥ b) −2x2 − 15x + 17 ≥0 x+3 d) − x2 + x + − x2 + x + ≥ 2x + x+4 2x2 + ≥ 3x2 − Trang 48 c) x +1 > x − Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c , với a, b, c > xyz = a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c b) + + ≥ , với a, b, c > a b c 1 1 1 c) + + ≥ + + , với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi p− a p− b p− c a b c d) a b − + b a − ≤ ab , với a ≥ 1, b ≥ HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + c3 ≥ a3b3c3 = ⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ (1) a3 + + ≥ a3 ⇒ a3 + ≥ 3a (2) Tương tự: b3 + ≥ 3b (3), c3 + ≥ 3c (4) Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm b a b c c a b) BĐT ⇔ + + + + + ≥ Dễ dàng chứng minh a b c b a c 1 1 4 c) Áp dụng BĐT: + ≥ , ta được: + ≥ = x y x+ y p− a p− b p− a+ p− b c Tương tự: 1 1 + ≥ ; + ≥ Cộng BĐT ⇒ đpcm p− b p− c a p− c p− a b d) Áp dụng BĐT Cô–si: a = b −1 a ab − a ≤ a + ab − a ab = 2 ab Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy ⇔ a = b = 2 Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) A= x + , với x > x −1 b) B= , với x, y > x + y = + x 4y Tương tự: b a − ≤ c) C = a + b + 1 + , với a, b > a + b ≤ a b d) D = a3 + b3 + c3 , với a, b, c > ab + bc + ca = HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = ( x − 1) + +1≥ +1= x −1 Dấu "=" xảy ⇔ x = Vậy minA = Trang 49 Bất đẳng thức – Bất phương trình b) B = Trần Sĩ Tùng 4 + 4x + + 4y − ≥ 4x + 4y − = x 4y x 4y Vậy minB = 1 4 3 c) Ta có + ≥ ⇒ B ≥ a+ b+ ≥ 2+ = a+ b+ + ≥ a b a+ b a+ b a+ b a+ b a+ b Dấu "=" xảy ⇔ a = b = Vậy minC = Dấu "=" xảy ⇔= x 1;= y d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + ≥ 3ab , b3 + c3 + ≥ 3bc , c3 + a3 + ≥ 3ca ⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) + ≥ 3(ab + bc + ca) = ⇒ a3 + b3 + c3 ≥ Dấu "=" xảy ⇔ a = b = c = Vậy minD = Bài Tìm GTLN biểu thức sau: a + + b + , với a, b ≥ –1 a + b = b)= B x2 (1 − 2x) , với < x < c) C =( x + 1)(1 − 2x) , với −1 < x < a) A= HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a + 1, b + ta được: = A a + + b + ≤ (1 + 1)(a + + b + 1) = ⇒ maxA = Dấu "=" xảy ⇔ a = b = x + x + − 2x b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x.x(1 − 2x) ≤ = 27 1 Vậy maxB = 27 1 2x + + − 2x c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = (2x + 2)(1 − 2x) ≤ = 2 Dấu "=" xảy ⇔ x = − Vậy maxC = Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: a) x + 4m ≤ 2mx + b) x − 3x − ≤ 3x + > 2x − (m − 1) x − ≥ 7x − ≥ −4x + 19 c) d) 2x + > x − 2x − 3m + < m + x > Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm: a) mx + < 3x + m b) x + 10x + 16 ≤ mx > 3m + 4x + < − x + Bài Giải bất phương trình sau: 2x − a) < x − 6x − x − 2x − c) − ≥ x − x + x + x3 + b) x2 − 5x + ≥ x +1 x x + 5x + 1 d) + − ≤0 x x −1 x +1 Trang 50 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) (m − 1) x2 − 2(m + 3) x − m + = b) (m − 1) x2 + 2(m − 3) x + m + = 0 Bài Tìm m để biểu thức sau không âm: a) (3m + 1) x2 − (3m + 1) x + m + b) (m + 1) x2 − 2(m − 1) x + 3m − Bài Tìm m để biểu thức sau âm: a) (m − 4) x2 + (m + 1) x + 2m − b) (m2 + 4m − 5) x2 − 2(m − 1) x + Bài 10 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) x2 − 8x + 20 mx2 + 2(m + 1) x + 9m + 0 2x2 + mx − x + 3(4x2 − 9) 3x − ≤ 2x + x − 3x − < f) x − > x2 − 5x + h) x + < x − + 3x + b) 2x + + x + = 3x + (2x + 3)( x + 1) − 16 d) x + + − x + ( x + 1)(4 − x) = f) 3x − + x − = 4x − + 3x2 − 5x + h) x( x − 4) − x2 + 4x + ( x − 2)2 = i) x2 + x2 + 11 = k) 31 Bài 16 Giải bất phương trình sau a) 2x − c) x − − 3x + ≤ x + b) x + − x = − x2 + 9x + 5x2 + 61x < 4x + e) ( x − 3) x2 + ≤ x2 − Bài 17 Trang 51 c) f) − x + 4x − ≥2 x 9x2 − 5x − ≤ 3x + Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng a) Trang 52 ... + x+4 2x2 + ≥ 3x2 − Trang 48 c) x +1 > x − Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c , với a, b, c > xyz... (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu P( x) • Dạng: (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) > (2) Q( x) • Cách giải: Lập bảng xét dấu P( x) Từ suy tập nghiệm (2) Q( x) Trang 43 Bất đẳng thức – Bất. .. biện luận nghiệm BPT Bài Giải hệ bất phương trình sau: Trang 45 Bất đẳng thức – Bất phương trình 2x2 + 9x + > a) x + x − < x2 + x + ≥ d) 2x2 − x − 10 ≤ 2x2 − 5x + > g) −4 ≤ Trần