1. Trang chủ
  2. » Nghệ sĩ và thiết kế

Toán 10 Bất đẳng thức DS10 C4 Phan1 www.MATHVN.com

13 17 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 282,47 KB

Nội dung

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳ[r]

Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương Nội dung a0  x ≤ −a x ≥a⇔  x ≥ a a − b ≤ a+ b ≥ a + b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > Trang 30 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình + a− b < c < a+ b; b− c < a < b+ c; e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki c− a < b < c+ a Với a, b, x, y ∈ R, ta có: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2 ) Dấu "=" xảy ⇔ ay = bx VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất • Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh • Một số BĐT thường dùng: + A2 ≥ + A2 + B2 ≥ + A.B ≥ với A, B ≥ + A2 + B2 ≥ AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho a, b, c, d, e ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) a2 + b2 + ≥ ab + a + b c) a2 + b2 + c2 + ≥ 2(a + b + c) d) a2 + b2 + c2 ≥ 2(ab + bc − ca) e) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 − a + c + 1) f) g) a2 (1 + b2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a2 ) ≥ 6abc h) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) i) a2 + b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc 1 1 1 với a, b, c > + + ≥ + + a b c ab bc ca k) a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ≥ HD: a) ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ b) ⇔ (a − b)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ c) ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ d) ⇔ (a − b + c)2 ≥ e) ⇔ (a − b ) + (a − c) + (a − 1) ≥ a  f) ⇔  − (b − c)  ≥ 2  2 2 2 g) ⇔ (a − bc)2 + (b − ca)2 + (c − ab)2 ≥ 2 2 a  a  a  a  h)⇔  − b  +  − c  +  − d  +  − e ≥ 2  2  2  2  2  1   1   1  i) ⇔  − − −  +  +  ≥0 b  b c  c a  a k) ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ Bài Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 a3 + b3  a + b  a) ≥  ; với a, b ≥   b) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 Trang 31 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng d) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc , với a, b, c > c) a4 + ≥ 4a e) a4 + b4 ≤ g) a2 + a2 + HD: a) ⇔ a6 b2 + b6 a2 ; với a, b ≠ >2 f) 1 + a2 + 1 + b2 ≥ ; với ab ≥ 1 + ab h) (a5 + b5 )(a + b) ≥ (a4 + b4 )(a2 + b2 ) ; với ab > (a + b)(a − b)2 ≥ b) ⇔ (a3 − b3 )(a − b) ≥ c) ⇔ (a − 1)2 (a2 + 2a + 3) ≥ d) Sử dụng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 − 3a2b − 3ab2 BĐT ⇔ (a + b + c)  a2 + b2 + c2 − (ab + bc + ca)  ≥ Bài (b − a)2 (ab − 1) e) ⇔ (a2 − b2 )2 (a4 + a2b2 + b4 ) ≥ f) ⇔ g) ⇔ (a2 + 1)2 > h) ⇔ ab(a − b)(a3 − b3 ) ≥ (1 + ab)(1 + a2 )(1 + b2 ) ≥0 Cho a, b, c, d ∈ R Chứng minh a2 + b2 ≥ 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: b) (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 8abc a) a4 + b4 + c4 + d ≥ 4abcd c) (a2 + 4)(b2 + 4)(c2 + 4)(d2 + 4) ≥ 256abcd HD: a) a4 + b4 ≥ 2a2b2; c2 + d ≥ 2c2d ; a2b2 + c2d ≥ 2abcd b) a2 + ≥ 2a; b2 + ≥ 2b; c2 + ≥ 2c c) a2 + ≥ 4a; b2 + ≥ 4b; c2 + ≥ 4c; d + ≥ 4d Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh a a a+ c (1) Áp dụng chứng < < b b b+ c minh bất đảng thức sau: a b c a b c d b) < a) + + abc = + + ≤ 1; 3 3 a + b + b + c + c + a3 + 1 1 với a, b, c > abc = c) + + ≤ 1; a+ b+1 b+ c +1 c + a+1 Bài d) e*) 4(a3 + b3 ) + 4(b3 + c3 ) + 4(c3 + a3 ) ≥ 2(a + b + c) ; sin A + sin B + sin C ≤ cos A B C + cos + cos ; 2 với a, b, c ≥ với ABC tam giác HD: (1) ⇔ (a2 − b2 )(a − b) ≥ a) Từ (1) ⇒ a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) ⇒ ≤ a3 + b3 + abc Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) ab(a + b + c) d) Từ (1) ⇔ 3(a3 + b3 ) ≥ 3(a2b + ab2 ) ⇔ 4(a3 + b3 ) ≥ (a + b)3 (2) Từ đó: VT ≥ (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2(a + b + c) e) Ta có: C A− B C sin = A + sin B 2cos cos ≤ 2cos 2 Sử dụng (2) ta được: a + b ≤ 4(a3 + b3 ) ⇒ sin A + sin B ≤ 4(sin A + sin B) ≤ 4.2.cos Tương tự, sin B + sin C ≤ 23 cos A , C C = 23 cos 2 sin C + sin A ≤ 23 cos B Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Bài Cho a, b, x, y ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2 + x2 + b2 + y2 ≥ (a + b)2 + ( x + y)2 (1) Trang 33 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) Cho a, b ≥ thoả a + b = Chứng minh: b) Tìm GTNN biểu thức P = a2 + 1 + a2 + + b2 ≥ + b2 + b2 a2 c) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Chứng minh: x2 + x2 + y2 + y2 + z2 + z2 ≥ 82 d) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức: P= 223 + x2 + 223 + y2 + 223 + z2 HD: Bình phương vế ta được: (1) ⇔ (a2 + b2 )( x2 + y2 ) ≥ ab + xy (*) • Nếu ab + xy < (*) hiển nhiên • Nếu ab + xy ≥ bình phương vế ta được: (*) ⇔ (bx − ay)2 ≥ (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có: + a2 + + b2 ≥ (1 + 1)2 + (a + b)2 =5 b) Sử dụng (1) P ≥  1   (a + b)2 +  +  ≥ (a + b)2 +  17  =  a b  a+ b 1 (với a, b > 0) + ≥ a b a+ b c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: Chú ý:  1 1 + y + + z + ≥ ( x + y + z) +  + +  x + 2 x y z  x y z 2 2 2 ≥ Chú ý:   ( x + y + z) +   =82  x + y + z 1 (với x, y, z > 0) + + ≥ x y z x+ y+ z d) Tương tự câu c) Ta có: P ≥ ( 223 ) + ( x + y + z)2 = 2010 Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab + bc + ca ≤ a2 +b2 + c2 d) a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > b − c ⇒ a2 > b2 − 2bc + c2 Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b) Ta có: a2 > a2 − (b − c)2 ⇒ a2 > (a + b − c)(a − b + c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm c) ⇔ (a + b + c)(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) > d) ⇔ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) > Bài a) Trang 34 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: a+ b + Với a, b ≥ 0, ta có: ≥ ab Dấu "=" xảy ⇔ a = b a+ b+ c + Với a, b, c ≥ 0, ta có: ≥ abc Dấu "=" xảy ⇔ a = b = c 3  a+ b  a+ b+ c + +  ≥ ab  ≥ abc     Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn ⇔ x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ ⇔ x = y Hệ quả: Bài Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) ≥ 9abc c) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc ) d) bc ca ab + + ≥ a + b + c ; với a, b, c > a b c e) a2 (1 + b2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a2 ) ≥ 6abc ab bc ca a+ b+ c ; với a, b, c > + + ≤ a+ b b+ c c+ a a b c g) + + ≥ ; với a, b, c > b+ c c+ a a+ b f) HD: a) a + b ≥ ab; b + c ≥ bc; c + a ≥ ca ⇒ đpcm b) a + b + c ≥ 33 abc; a2 + b2 + c2 ≥ a2b2c2 ⇒ đpcm • (1 + a)(1 + b)(1 + c) =1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc c) • ab + bc + ca ≥ 33 a2b2c2 • a + b + c ≥ 33 abc (1+ abc ) ⇒ (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ + 33 abc + 33 a2b2c2 + abc = d) bc ca abc2 ca ab a2bc ab bc ab2c + ≥2 =, 2c + ≥2 =, 2a + ≥2 = 2b ⇒đpcm a b ab b c bc c a ac e) VT ≥ 2(a2b + b2c + c2a) ≥ a3b3c3 = 6abc f) Vì a + b ≥ ab nên ⇒ ab ab ab bc bc ca ca Tương tự: ≤ = ≤ ; ≤ a + b ab b+ c c+ a ab bc ca ab + bc + ca a + b + c + + ≤ ≤ a+ b b+ c c+ a 2 Trang 35 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng (vì ab + bc + ca ≤ a + b + c )  a   b   c  g) VT =  + 1 +  + 1 +  + 1 −  b+ c   c+ a   a+ b   1 1  = [(a + b) + (b + c) + (c + a)]  + +  − 3≥ − = 2  b+ c c+ a a+ b • Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b  x y   z x   z y   Khi đó, VT =  +  +  +  +  +  − 3 ≥ (2 + + − 3) =  y x   x z   y z   2 Bài Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau:  1 1 a) (a3 + b3 + c3 )  + +  ≥ (a + b + c)2  a b c b) 3(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) c) 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c)3  a3 b3   b3 c3   c3 a3  HD: a) VT = a2 + b2 + c2 +  +  +  +  +  +   b a  c b  a c  Chú ý: a3 b3 + ≥ a2b2 = 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b a b) ⇔ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ ( a2b + b2a) + ( b2c + bc2 ) + ( c2a + ca2 ) Chú ý: a3 + b3 ≥ ab(a + b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c)2 ⇒ đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: + ≥ a b a+ b  1 1 1  a) + + ≥  + +  ; với a, b, c > a b c  a+ b b+ c c+ a   1 1 1 b) + + ≥ 2 + +  ; với a, b, c > a+ b b+ c c+ a  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  1 1 1 c) Cho a, b, c > thoả + + = + + ≤1 Chứng minh: a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ab bc ca a+ b+ c d) ; với a, b, c > + + ≤ a+ b b+ c c+ a 2xy 8yz 4xz e) Cho x, y, z > thoả x + 2y + 4z = + + ≤ 12 Chứng minh: x + 2y 2y + 4z 4z + x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:  1 1 1 + + ≥ 2 + +  p− a p− b p− c  a b c  1 HD: (1) ⇔ (a + b)  +  ≥ Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si  a b 1 1 1 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: + ≥ ; + ≥ ; + ≥ a b a+ b b c b+ c c a c+ a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) Bài Cho a, b > Chứng minh Trang 36 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình   1 1 1 + + ≥ 4 + +  a b c  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  ab 1 1 d) Theo (1): ≤ (a + b) ≤  +  ⇔ a+ b a+ b 4 a b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a + b + c = 12 ⇒ đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 Áp dụng (1) ta được: + ≥ = p − a p − b ( p − a) + ( p − b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Bài Cho a, b, c > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh + + ≥ a b c a+ b+ c BĐT sau:  1  a) (a2 + b2 + c2 )  + +  ≥ (a + b + c)  a+ b b+ c c+ a x y z Tìm GTLN biểu thức: P = b) Cho x, y, z > thoả x + y + z = + + x + y + z+ c) Cho a, b, c > thoả a + b + c ≤ Tìm GTNN biểu thức: 1 P= + + a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 1 1 d) Cho a, b, c > thoả a + b + c = + + + ≥ 30 Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab bc ca c) Áp dụng a) b) ta được: 1 + + ≥ + cos2 A + cos2B − cos2C  1 1 HD: Ta có: (1) ⇔ (a + b + c)  + +  ≥ Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si  a b c 1 a) Áp dụng (1) ta được: + + ≥ a + b b + c c + a 2(a + b + c) e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: 9(a2 + b2 + c2 ) 2(a + b + c) ⇒ VT ≥ = 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c) 2 a+ b+ c Chú ý: (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:  x + 1− y + 1− z + 1− 1  P= = 3−  + + + +  x +1 y +1 z+  x + y + z+ 1 1 9 Ta có: Suy ra: P ≤ − = + + ≥ = x + y + z+ x + y + z+ 4 Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: k số dương cho trước Tìm GTLN Cho x, y, z > thoả x + y + z = biểu thức: P = x y z + + kx + ky + kz + = ≥ a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab (a + b + c)2 d) VT ≥ + 2 ab + bc + ca a +b +c Trang 37 c) Ta có: P ≥ Bất đẳng thức – Bất phương trình Bài a) c) e) Trần Sĩ Tùng   1 = + + +   a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ab + bc + ca  ab + bc + ca 9 ≥ + ≥ + = 30 (a + b + c)2 ab + bc + ca 1 1 Chú ý: ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = 3 1 e) Áp dụng (1): + + ≥ + cos2 A + cos2B − cos2C + cos2 A + cos2B − cos2C ≥ = 6+ Chú ý: cos2 A + cos2B − cos2C ≤ Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x b) y = y =+ ; x > + ; x > x x −1 3x x d) y = = y + ; x > −1 + ; x> x +1 2x − x +1 x = ; x>0 f) y = y + ; 0< x 0 x h) y = x2 + x = −1 d) Miny = 30 + x = 5− f) Miny = ; x>0 x3 b) Miny = x = HD: a) Miny = x = c) Miny = 6− e) Miny = + x = g) Miny = x = h) Miny = 3 5 x = x = 30 + 27 Bài Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y = ( x + 3)(5 − x); − ≤ x ≤ b) y= x(6 − x); ≤ x ≤ c) y = ( x + 3)(5 − 2x); − ≤ x ≤ e) y= (6x + 3)(5 − 2x); − g) y = d) y= (2x + 5)(5 − x); − ≤ x≤5 x f) y ; x>0 ≤ x≤ = 2 x +2 x2 ( x2 + 2)3 HD: a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = − b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = Trang 38 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình e) Maxy = x = f) Maxy = x = ( + x2 ≥ 2 x ) 2 x2 g) Ta có: x2 + 2= x2 + + ≥ x2 ⇔ ( x2 + 2)3 ≥ 27x2 ⇔ ⇒ Maxy = ( x + 2) ≤ 27 x = ±1 27 Bài a) VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) • Với a, b, x, y ∈ R, ta có: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2 ) Dấu "=" xảy ⇔ ay = bx • Với a, b, c, x, y, z ∈ R, ta có: (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2 )( x2 + y2 + z2 ) Hệ quả: • (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ) Bài • (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3a2 + 4b2 ≥ , với 3a + 4b = c) 7a2 + 11b2 ≥ b) 3a2 + 5b2 ≥ 735 , với 2a − 3b = 47 2464 , với 3a − 5b = d) a2 + b2 ≥ , với a + 2b = 137 e) 2a2 + 3b2 ≥ , với 2a + 3b = f) ( x − 2y + 1)2 + (2x − 4y + 5)2 ≥ HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số ,− , 3a, 5b 5 c) Áp dụng BĐT (B) cho số ,− , 7a, 11b 11 d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 BĐT ⇔ a2 + b2 ≥ Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a) a2 + b2 ≥ , với a + b ≥ b) a3 + b3 ≥ , với a + b ≥ c) a4 + b4 ≥ , với a + b ≥ d) a4 + b4 ≥ , với a + b = HD: a) ≤ (1a + 1b)2 ≤ (12 + 12 )(a2 + b2 ) ⇒ đpcm b) a + b ≥ ⇒ b ≥ − a ⇒ b3 ≥ (1 − a)3 = − 3a + 3a2 − a3 Trang 39 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng  1 1 ⇒ b + a ≥ 3 a −  + ≥ 2 4  3 ⇒ đpcm c) (12 + 12 )(a4 + b4 ) ≥ (a2 + b2 )2 ≥ d) (12 + 12 )(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 = ⇒ a2 + b2 ≥ (12 + 12 )(a4 + b4 ) ≥ (a2 + b2 )2 ≥ ⇒ a4 + b4 ≥ Cho x, y, z ba số dương x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài P = 1− x + 1− y + 1− z P ≤ + + (1 − x) + (1 − y) + (1 − z) ≤ HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: Dấu "=" xảy ⇔ − x =1 − y =1 − z ⇔ x= y= z= Vậy Max P = x= y= z= Cho x, y, z ba số dương x + y + z ≤ Chứng minh rằng: Bài x2 + x + y2 + + z2 + y z2 ≥ 82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:    9  x +  (1 + ) ≥  x +  ⇒ x  x   Tương tự ta có: y2 + ≥ y x2 + x ≥  9  y +  (2), y 82   9 x+  x 82  z2 + ≥ z (1)  9  z+  z 82  (3) Từ (1), (2), (3) suy ra:  1   ( x + y + z) + 9 + +   = 82   x y z    1  80  1   ( x + y + z) +  + +  +  + +    x y z   x y z  82   1  80 2   ( x + y + z)  + +  +  ≥ 82 ≥ 82   x y z  x + y + z Dấu "=" xảy ⇔ x= y= z= P≥ Bài Cho a, b, c ≥ − thoả a + b + c = Chứng minh: (1) (2) < 4a + + 4b + + 4c + ≤ 21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a + 1; 4b + 1; 4c + ⇒ (2) Chú ý: x + y + z ≤ x + y + z Dấu "=" xảy ⇔ x = y = z = Từ ⇒ (1) Bài Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A= , với x + y = b) B= x + y , với + = + x y x 4y 2     HD: a) Chú ý: A =   +   x   y  Áp dụng BĐT (B) với số: x ; ta được: ; y; x y Trang 40 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình 4  25   ≤  x + y ≤ ( x + y)  +    y  x  x 4y  25 Vậy minA = khi= = ;y x = ;y 5 5 Dấu "=" xảy ⇔= x 2  2  3 b) Chú ý: = +   +  x y  x   y  Áp dụng BĐT (B) với số: x; y; ; x ta được: y  3  3 ( x + y)  +  ≥  x + y  = x y  x y  Bài ( + 3) ⇒ x + y ≥ 2 3+3 2 3+3 Dấu "="= xảy ⇔ x = Vậy minB = ;y 6 Tìm GTLN biểu thức sau: ( ( + 3) + 3) a) A= x + y + y + x , với x, y thoả x2 + y2 = HD: a) Chú ý: x + y ≤ 2( x2 + y2 ) =2 A≤ x+ y+2 ≤ ( x2 + y2 )(1 + y + + x) = 2+ Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: Dấu "=" xảy ⇔ x= y= Bài a) A = − x + + x , với –2 ≤ x ≤ b) B = x − + − x , với ≤ x ≤ x2 y2 c) C =y − 2x + , với 36x + 16y = + = d) D = 2x − y − , với HD: a) • A ≤ (12 + 12 )(7 − x + x + 2) = Dấu "=" xảy ⇔ x = 2 • A ≥ (7 − x) + ( x + 2) = Dấu "=" xảy ⇔ x = –2 x = ⇒ maxA = x = ; b)• B ≤ minA = x = –2 x = (62 + 82 )( x − + − x) = 10 Dấu "=" xảy ⇔ x = 43 25 • B ≥ ( x − 1) + (3 − x) + − x ≥ Dấu "=" xảy ⇔ x = ⇒ maxB = 10 x = 43 ; 25 minB = x = 1 4y − 6x c) Chú ý: 36x2 + 16y2 = (6x)2 + (4y)2 Từ đó: y − 2x= ( )  1 1 4y − 6x ≤  +  16y2 + 36x2 = 4  16  5 15 25 ⇒ − ≤ y − 2x ≤ ⇒ ≤ C = y − 2x + ≤ 4 4 ⇒ y − 2x= Trang 41 2 Bất đẳng thức – Bất phương trình ⇒ minC = Trần Sĩ Tùng 15 x = , y = − ; 20 ( maxC = 25 x = − , y = 20 ) x2 y2 d) Chú ý: + = (3x)2 + (2y)2 Từ đó: 2x −= y 3x − 2y 36 ( )  1 3x − 2y ≤  +  9x2 + 4y2=  4 ⇒ −5 ≤ 2x − y ≤ ⇒ −7 ≤ D = 2x − y − ≤ ⇒ 2x − = y ⇒ minD = –7 x = ; − , y= Bài a) Trang 42 maxD = x = , y= − 5 ... R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2 + x2 + b2 + y2 ≥ (a + b)2 + ( x + y)2 (1) Trang 33 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a)... đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho a, b, c, d, e ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a + b2... − a ) ≥ Bài Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 a3 + b3  a + b  a) ≥  ; với a, b ≥   b) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 Trang 31 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng d) a3 + b3

Ngày đăng: 13/01/2021, 10:25

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w