*Cách 2: Từ một trong hai tích A.D hoặc B.C (cần có sự lựa chọn sao cho thuận lợi trong các biến đổi), bằng cách sử dụng các phép tính của đa thức như: phép nhân, phân tích đa thức [r]
Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao MỜI BẠN TÌM ĐỌC BỘ SÁCH CỦA THẦY NGUYỄN QUỐC TUẤN Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao LỜI NÓI ĐẦU Tiếp theo phần chương I sách Tác giả giới thiệu đến tất bạn đọc chương II phân thức đại số Nói chung sau tập I, giới thiệu đến tất bạn đọc hiểu cách thức thực hành kỹ cần có để thực giải toán Phân thức đại số này, đưa đến cho kỹ học từ phương pháp Đặc biệt phân tích đa thức thành nhân tử đẳng thức đáng nhớ Để từ quy đồng, đặt mẫu thức chung từ thực tốn rút gọn biểu thức đại số Đặc biệt hơn, phương pháp giải toán dạng tốn thường gặp, bạn đọc cịn gặp toán kỳ thi học sinh giỏi Tất nhiên giải thơng qua kỹ mà dạng toán phương pháp mà tác giả gom vào Tập sách chia thành mục sau: CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC Dạng 1: Chứng minh hai phân thức Dạng 2: Tìm biểu thức chưa biết dựa vào hai đẳng thức Dạng 3: Sử dụng tính chất phân thức đại số để chứng minh đẳng thức CHUYÊN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỂU PHÂN THỨC Dạng 1: Rút gọn phân thức Dạng 2: Chứng minh biểu thức phân thức không phụ thuộc vào biến Dạng 3: Chứng minh phân thức khơng thể rút gọn Dạng 4: Tính giá trị biểu thức Dạng 5: Quy đồng mẫu thức phân thức Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1: Thực phép tính biểu thức Dạng 2: Rút gọn biểu thức- Tính giá trị biểu thức sau rút gọn Dạng 3: Dựa vào cộng-trừ phân thức để chứng minh đẳng thức Dạng 4: Giải tốn cách lập phương trình CHUN ĐỀ 4: PHÉP NHÂN- CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1: Thực phép tính Dạng 2: Rút gọn biểu thức Dạng 3: Chứng minh đẳng thức CHUYÊN ĐỀ 5: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Dạng 2: Biến đổi biểu thức thành phân thức Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức phân thức nhận giá trị nguyên Dạng 4: Rút gọn biểu thức tốn liên quan ƠN TẬP CHƯƠNG II Thực tế tập tài liệu kết xuất để chạy trực tuyến gian hàng trực tuyến Do đó, thiết kế vừa phải cho tiện dụng đọc sách lẫn giá Nên em học sinh, quý vị phụ huynh lẫn giáo viên hồn tồn sử dụng học tập cách dễ dàng Do tài liệu phát triển đầu tay Nên tác giả mong nhận phản hồi tích cực từ phía độc giả Mọi đóng góp xin quý vị gửi địa email: quoctuansp@gmail.com Hoặc bạn mua trực tuyến theo số điện thoại: 090.567.1232 Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao Chương II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay gọi phân thức) biểu thức có dạng A , B A, B đa thức, B khác + A gọi tử thức (hay tử) + B gọi mẫu thức (hay mẫu) - Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức Một vài tính chất phân thức đại số a Với hai phân thức A C A C ta nói = A.D = B.C B D B D b Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho: A AM (M đa thức khác 0) = B BM c Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho: A A: N (N nhân tử chung N ≠ 0) = B B:N d Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho: A −A = B −B Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Chứng minh hai phân thức Phương pháp : - Để chứng minh hai phân thức đại số ta dùng định nghĩa để đưa chứng minh đẳng thức Ta có: + Với hai phân thức A C A C ta nói = A.D = B.C B D B D - Việc chứng minh hai đẳng thức nhau, tác giả trình bày phần I trọn sách Những phương pháp cách thực chứng minh đẳng thức, tác giả thực kỹ đầy đủ chương trước + Việc chứng minh đẳng thức ta áp dụng quy tắc để chứng minh Có ba trường hợp cần chứng minh đẳng thức là: Chứng minh vế trái vế phải, vế phải vế trái, hai vế vế + Tuy nhiên kinh nghiệm giải toán tác giả Để chứng minh đẳng thức ta cầm chứng minh vế phức tạp dùng quy tắc tính tốn để rút gọn ta đưa đến vế đơn giản + Cũng có nhiều dạng tốn mà ta áp dụng chứng minh đẳng thức để chứng minh đẳng thức Chẳng hạn: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x, chứng minh đẳng thức dương, chứng minh đẳng thức số ngun… Do đó, dạng tốn ta hoàn toàn đưa cách thức để chứng minh đẳng thức thường gặp Và tất nhiên dùng phương pháp mà ta vừa học Bài tập mẫu 1: Dùng định nghĩa hai phân thức chứng tỏ rằng: x x2 = a x + x + x b x ( x + 1) x = x−2 x − x−2 c x + y x + xy = xy − x y − x d ( x − 1)( y − x ) = − x x− y ( x − y) e x2 − 5x + x2 + x − = x+3 x−4 Hướng dẫn giải: a Ta cần chứng tỏ: x ( x + x ) = ( x + ) x 2 Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 10 Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao Cách 1: Ta có biến đổi tương đương: x x + x = x3 + x ( ) ( x + ) x = x3 + x Vậy x ( x + x ) = ( x + ) x Do đó: x x2 = x + x + 2x Cách 2: Ta có biến đổi: x x + x = x.x ( x + ) = x ( x + ) = ( x + ) x ( ) b Ta cần chứng minh : x ( x − x − ) = x ( x − )( x + 1) Cách 1: Thực phép nhân: x ( x − x − ) ( x − )( x + 1) Cách 2: Ta có: Vậy x x−2 ( x − )( x + 1) = x ( x − )( x + 1) = x ( x − x − ) x ( x + 1) = x2 − x − c Ta cần chứng minh : ( x + y ) ( x y − x ) = ( xy − 1) ( x + xy ) Cách 1: Thực phép nhân: ( x + y ) ( x y − x ) ( xy − 1) ( x + xy ) Cách 2: Ta có biến đổi: ( x + y ) ( x2 y − x ) = ( x + y ) x ( xy − 1) = ( x + xy ) ( xy − 1) = ( xy − 1) ( x + xy ) d Ta cần chứng minh : ( x − 1)( y − x )( x − y ) = ( x − y ) (1 − x ) Cách 1: Thực phép nhân: ( x − 1)( y − x )( x − y ) ( x − y ) (1 − x ) Cách 2: ( x − 1)( y − x )( x − y ) = − (1 − x ) − ( x − y ) ( x − y ) 2 = (1 − x )( x − y )( x − y ) = (1 − x )( x − y ) = ( x − y ) (1 − x ) e Ta cần chứng minh: (x − x + ( x + ) = ( x − 3) x + x − ) ( ) Cách 1: Thực phép nhân: Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 11 Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao (x Cách 2: − x + ( x + ) ( x − 3) x + x − ) (x ( ) − x + ) ( x + ) = ( x − 3x − x + ) ( x + ) = x ( x − 3) − ( x − 3) ( x + ) = ( x − 3)( x − )( x + ) = ( x − 3) ( x − )( x + ) = ( x − 3) x + x − ( Nhận xét: Để chứng tỏ hai phân thức ) A C nhau, ta dùng B D hai cách sau: *Cách 1: Tính A.D B.C để thấy tích cho ta kết *Cách 2: Từ hai tích A.D B.C (cần có lựa chọn cho thuận lợi biến đổi), cách sử dụng phép tính đa thức như: phép nhân, phân tích đa thức thành nhân tử … để biến đổi tích thành tích Bài tập mẫu 2: Các phân thức sau có hay khơng? a x − 3x + x − x − x + ; ; x2 − x x2 − 5x x 3x − x + 3x − x + x − ; ; x2 − 5x + x −3 b x − x + Hướng dẫn giải: a Để biết hai phân thức cần so sánh hai tích: Ta có: (x (x 2 x − 3x + x − có hay không, ta ; x2 − x x (x − x + ) x ( x − x ) ( x − 1) − 3x + x = x3 − 3x + x ) − x ) ( x − 1) = x − x + x Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 12 Toán đại số 8-Chương II: Phân thức đại số - Từ đến nâng cao Vậy x − 3x + x − = x2 − 2x x Thực tương tự hai phân thức: x − x2 − x + ; Ta có hai phân x2 − 5x x thức nhau: Do đó: x − 3x + x − x − x + = = x2 − 2x x x2 − 5x b Ta có biến đổi: 3x − x + = x2 − x + Với hai phân thức: 3x − x + 3x − ≠ x2 − 5x + x−3 Mặt khác: Vì vậy: 3x − x −3 3x − x + 3x − x + ≠ x2 − x + x − 5x + Nhận xét: Khi gặp dạng tập mà có nhiều hai phân thức ta cần lựa chọn phân thức trung gian để Thực phép nhân dễ dàng Chẳng hạn tập trên; a phân thức trung gian x −1 ; b x 3x − x −3 Bài tập mẫu 3: Dùng định nghĩa hai phân thức chứng tỏ rằng: a c x x2 + ( ) ( x − 3) ( x + 1) = 2x 2x − −x − x3 + 27 = x − (1 − x ) x − x + ( ) b x2 − x + x2 − x + = x−6 2x − d 2− x x3 − = x − (5 − x ) x2 + x + ( ) x−4 , x>4; = 3x − 3x − 36 x + 3 x−4 −1 , x