Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa mãn điều kiện:.[r]
(1)Chương Lượng giác
Câu 1: Hàm số 1
tan cot
sin cos
y x x
x x
= + + + không xác định khoảng khoảng sau đây?
A ;
2
k k
ổ
+
ỗ ÷
è ø B
3
2 ;
2
k k
ỉ
+ +
ỗ ữ
ố ứ.C ;
2
k k
ỉ
+ +
ỗ ữ
ố ứ D
2 ; 2
k k
+ +
Lời giải Chọn D
Hàm số xác định sin
sin ,
2 cos
x k
x x k
x
ì ¹
Û ẻ
ớ ạ
ợ Â
Ta chọn
3
2
k = đ ạx nhng im
thuc khoảng +k2 ; +k2 Vậy hàm số không xác định khoảng +k2 ; +k2
Câu 2: Tìm tập xác định D hàm số 5 cot2 sin cot
2 y= + x- x+ ổỗ +xửữ
ố ứ
A \ ,
2 k
D= ỡớ kẻ ỹý
ợ þ
¡ ¢ B \ ,
2 k
D= ỡớ- kẻ ỹý
ợ ỵ
Ă Â C D =Ă D D=Ă\ k k, ẻÂ Lời giải
Chọn A
Hàm số xác định điều kiện sau thỏa mãn đồng thời
2
5 2cot+ x-sinx³0, cot x ổ +
ỗ ữ
ố ø xác định cot x xác định Ta có
2
2
5 2cot sin
5 2cot sin 0, sin sin
x x
x x x
x x
ì + - ³
Þ + - " ẻ
ớ - ị - ³
ỵ ¡
cot
2 x ổ +
ỗ ữ
ố ứxỏc nh sin x x k x k k,
ổ
ỗ + ữạ + - + ẻ
ố ứ ¢
cot x xác đinh Ûsinx¹ Û ạ0 x k k, ẻÂ
Do ú hm s xác đinh ,
2
x k x k k
x k ì ¹ - +
ù ạ ẻ
ớ ù ợ
¢
Vậy tập xác định \ , k
D= ỡớ kẻ ỹý
ợ ỵ
¡ ¢
Câu 3: Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung? A 12
sin y
x
= B sin
4 y= ổỗx+ ửữ
è ø C y cos x
æ
= ỗ - ữ
ố ứ D y= sin 2x
(2)Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 3 Viết lại đáp án B sin sin cos
4
y= ổỗx+ ửữ= x+ x
ố ø
Kết đáp án A hàm số chẳn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung Ta kiểm tra đáp án B C hàm số không chẵn, không lẻ Xét đáp án D
= Hàm số xác định sin 2 ; ;
2
x x k k x ék k ù
Û ³ Û Ỵ + Û Ỵê + ú
ë û
;
2
D ék k ự k
ắắđ =ờ + ỳ ẻ
ở û ¢
= Chọn D
4
x = Ỵ D
4 x
- = - Ï Vậy y= sin 2x không chẵn, không lẻ
Câu 4: Số có ánh sáng thành phố A ngày thứ t năm 2017được cho hàm số
4sin 60 10
178
y= t- + , với t ZỴ 0< £t 365 Vào ngày năm thành phố A có nhiều ánh sáng mặt trời nhất?
A 28 tháng B 29 tháng C 30 tháng D 31 tháng Lời giải
Chọn B
Vì sin 60 4sin 60 10 14
178 t- £ Þ =y 178 t- + £ Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều
14 sin 60 60 149 356
178 178
y t t k t k
Û = Û - = Û - = + Û = +
Mà 365 149 356 365 149 54
356 89
t k k
< £ Û < + £ - < Ê Vỡ k ẻÂ nờn k =0
Với k= Þ =0 t 149 tức rơi vào ngày 29 tháng (vì ta biết tháng có 31 ngày, tháng có 30 ngày, riêng năm 2017 khơng phải năm nhuận nên tháng có 28ngày dựa vào kiện 0< £t 365 ta biết năm tháng có 28ngày)
Câu 5: Hằng ngày mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h(mét) mực nước kênh tính thời điểm t (giờ) ngày công thức 3cos 12
7 t
h= ổỗ + ư÷+ =
è ø Mực
nước kênh cao khi:
A t =13(giờ) B t =14(giờ) C t =15(giờ) D t =16(giờ) Lời giải
Chọn B
Mực nước kênh cao h lớn
cos
8
t t k
ỉ
ỗ + ữ= + =
ố ứ vi 0< Êt 24 v k ẻÂ Ln lt thay đáp án, ta đáp án B thỏa mãn
Vì với t =14
(3)Câu 6: Hàm số
2
2 tan
4cot
tan x
y x
x
-= - đạt giá trị nhỏ
A B 3- C 2 2- D -1 Lời giải
Chọn D
Ta có cot tan2 tan
x x
x -=
Từ suy
2
2 tan
3cot 3cot 2 cot
2 tan x
y x x x
x
-= - =
-2
3 cot 2x 1 1, x = - - ³ - " Ỵ¡
Vậy cot y= - Û x=
Câu 7: Hm s 2cos sin y= x+ ổỗx+ ửữ
è ø đạt giá trị lớn
A 2- B 2+ C 2+ D 2- Lời giải
Chọn C
Ta có 2cos sin 2cos sin
4
y= x+ ỗổx+ ửữ x+ ổỗx+ ửữ
ố ứ ố ứ
1
2cos sin cos
2
x x x
Û + +
1
2 cos sin
2 x x
æ
ỗ + ữ +
ố ứ
Ta có
2
2 2 1 5 2
2
y Êổỗ + ửữ +ổỗ ửữ y Ê +
è ø è ø
Do ta có- 2+ £ £y 2+ Vậy giá trị lớn hàm số 2+
Câu 8: Giá trị nhỏ hàm số y=sin4x+cos4x+sin cosx x
A
8 B
5
4 C D
4 Lời giải
Chọn A
Ta có y=sin4x+cos4x+sin cosx x Û = -y 1 2sin cos2x 2x+sin cosx x
1
1 sin sin
2
y x x
Û = - +
2
1 1 1
1 sin sin
2 2
y éỉ x ù y ỉ x
= - ờỗố - ữứ - ỳ = - ỗố - ữứ Ê
ờ ỳ
ë û
(4)Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 5 Câu 9: Giá trị nhỏ hàm số y=sinx cosx+cos sinx x
A B C 42 D 6
Lời giải Chọn A
Ta có sinx cosx+cosx sinx ³2 sin cosx x sin cosx x
1
2 sin sin
2
y x x
Û ³ ³ Dấu xảy sin 2x =0
Câu 10: Cho , ,x y z >
2
x y z+ + = Tìm giá trị lớn
1 tan tan tan tan tan tan
y= + x y+ + y z+ + z x
A ymax = +1 2 B ymax =3 C ymax = D ymax =2
Lời giải Chọn D
Ta có tan tan
2 2
x y z+ + = Û + = - Þx y z x y+ = ổỗ -zửữ
ố ứ
tan tan
1 tan tan tan
x y
x y z
+
Û =
-tan -tanx z tan tany z tan tanx y
Û + = - Û tan tanx z+tan tany z+tan tanx y=1
Ta thấy tan tan ; tan tan ; tan tanx z y z x y xuất hàm số đề cho thức, tương tự ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho số ta có:
1 tan tan+ x y+1 tan tan+ y z+1 tan tan+ z x£
2 2 1.tan tan 1.tan ta
1 1 x z+ y nz+1.tan tanx y
£ + + =
tan tan tan tan tan tan
3 x z+ y z+ x y
= + =
Vậy ymax =2
Câu 11: Phng trỡnh
3
tanx+tanỗổx+ ửữ+tanỗổx+ ö÷=3
è ø è ø tương đương với phương trình A cotx = B cot 3x = C tanx = D tan 3x =
Lời giải Chọn D
Điều kiện: cos
cos
3
cos
3 x
x
x ì
ï ¹
ù
ù ổ + ửạ ỗố ữứ ï
ï ỉ ư
+ ¹
ï ỗố ữứ ợ
sin
sin sin 2sin
pt 3 3
2
cos cos cos cos cos 2 cos
3 3
x
x x x
x x x x x
+
Û + = Û - =
ỉ + ỉ + + + ổ
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
(5)sin 4sin 3 3 sin 2sin cos 4sin cos 3 3
cos 2cos cos 2cos
sin sin sin 2sin 2sin 3 3 3tan 3 3 3 tan 3 3 cos cos cos3
x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x
-
-Û - = Û =
-
+ -
-Û = Û = Û =
-
-Câu 12: Phương trình 2cot 2x-3cot 3x=tan 2x có nghiệm là: A
3
x k= B x k= C x k= D Vô nghiệm
Lời giải Chọn D
Điều kiện phương trình sin2x¹0,sin3x¹0,cos2x¹0 Phương trình tương đương 2cot 2x-tan 2x=3cot 3x
sin cos2 sin cos3
2 cos2
sin cos2 sin3
sin3 x
x x x x
x x x
x ¹ ì
ï
Û - = í ¹
ù ạ
ợ
2
2cos sin 3cos3 3cos4 3cos3 sin cos2 sin sin sin
x x x x x
x x x x x
- +
Û = Û =
3
sin3 3sin3 cos4 3cos3 sin sin3 3sin
3sin 4sin 3sin sin
x x x x x x x
x x x x
Û + = Û =
Û - = Û =
x k
Û = ( loại sin2x ¹0)
Vậy phương trình vơ nghiệm
Câu 13: Giải phương trình
2
4 cos cos
3
x = x
A
3
5 3
4 x k
x k
x k
é ê = ê
ê = ± + ê
ê
ê = ± + ë
B
4 x k
x k
x k
é ê = ê
ê = ± + ê
ê
ê = ± + ë
C
3 x k
x k
= é ê
ê = ± + ë
D
3
5 3
4 x k
x k
= é ê
ê = ± + ë
Lời giải Chọn A
2
4 cos 2
cos cos cos 2cos cos3
3 3
x = xÛ x = + x Û x = + x
22 32 32 22
2 2cos 1 4cos 3cos 4cos 4cos 3cos
3 3 3
x x x x x x
é ù
Û ê - = +ú - Û - - + =
ë û
2 2
2
cos
2
3 2
3
2
cos 2 5
3 2
3
x k x
x k
x
x k
é =
ê
é = ê
ê ê
ê
Û ê = ± + Û
ê = ± ê
êë ê = ± +
êë
3
5 3
4 x k
x k
x k
é ê = ê
ê = ± + ê
ê
ê = ± + ë
(6)Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 7 Câu 14: Giải phương trình
2
4 cos cos
3
x = x
A 3 3 x k x k x k é ê = ê ê = ± + ê ê ê = ± + ë
B
4 x k x k x k é ê = ê ê = ± + ê ê ê = ± + ë
C
3 x k x k = é ê ê = ± + ë
D
3 3 x k x k = é ê ê = ± + ë Lời giải Chọn A
4 2 2.2 1 3.2
3 3
x x cos x x x
cos =cos xÛcos = + Û cos = +cos
22 32 32 22
2 1 4 3
3 3 3
x x x x x x
cos cos cos cos cos cos
é ù
Û ê - = +ú - Û - - + =
ë û
2 2
2 1
2
3 2
3
2
2
3 2
3 x k x cos x k x cos x k é = ê é = ê ê ê ê Û ê = ± + Û ê = ± ê êë ê = ± + êë 3 3 x k x k x k é ê = ê ê = ± + ê ê ê = ± + ë
Câu 15: Hàm số 2sin cos sin cos
x x
y
x x
+ =
- + có tất giá trị nguyên?
A
1.
B2.
C3.
D4.
Lời giải Chọn B
Ta có 2sin cos 2 sin cos sin cos
x x
y y x y x y
x x
+
= Û - - + =
+
Điều kiện để phương trình có nghiệm Û y-2 2+ y+1 2³ -3y Û7y2+2y- £ 5 0
5
1 1;0
7
y
y Ỵ y
- Ê Ê ắắắÂđ ẻ - nờn có giá trị ngun
Câu 16: Phương trình cos sin cos sin
x
x x
x
+ =
- có nghiệm là:
A x k x k x k é = - + ê ê ê = + ê ê ê = êë
B
2 x k x k x k é = + ê ê ê = + ê ê = ê êë
C 2 x k x k x k é = + ê ê ê = - + ê ê = ê êë
D x k x k x k é = + ê ê ê = + ê ê ê = êë Lời giải
Chon C
(7)2
2
cos2 cos sin
cos sin cos sin
1 sin sin cos
x x x
x x x x
x x x
-+ = Û + =
-
-2 cos sin cos sin cos sin
sin cos
x x x x
x x
x x
- +
Û + =
-cos
sin
1
cos
sin
cos
sin
1
0
sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
ỉ
ư
Û
+
= -
+
ỗ
+
ữ
=
-
ố
-
ứ
2 sin
cos sin
sin cos
2 sin
4 x
x x
x x
x
é ổ + ử=
ỗ ữ
ờ
+ =
é ê è ø
Ûê Û
- = - ê ỉ
ë - =
-ờ ỗố ữứ
3
4 4
2 2
4
3
5 2 2
2
4
x k x k x k
x k k x k k x k k
x k
x k
x k
é + = é é = +
ê ê = - + ê
ê ê ê
ê ê
Ûê - = - + Ỵ Û ê = Ỵ Ûê = - + Ỵ
ê
ê ê = + ê =
ê - = + ë ê
ê ê
ë ë
¢ ¢ ¢
Câu 17: Phương trình 2sin 2cos3
sin cos
x x
x x
- = + có nghiệm là:
A
x= +k B 12
x= +k C
x= +k D
x= - +k Lời giải
Chọn A
ĐK
sin2
x ¹
0
1 1
2sin 2cos3 sin cos3
sin cos cos sin
x x x x
x x x x
- = + Û - = +
3 sin cos
2 3sin 4sin 4cos 3cos
sin cos
x x
x x x x
x x +
é ù
Û ë - - - û=
3 sin cos
2 sin cos sin cos
sin cos
x x
x x x x
x x +
é ù
Û ë + - + û=
2 sin cos
2 sin cos sin cos sin sin cos cos
sin cos
x x
x x x x x x x x
x x +
é ù
Û ë + - + - + û=
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos
x x
x x x x x x
x x +
Û éë + - + - ùû=
sin cos sin cos sin cos
sin cos
x x
x x x x
x x +
(8)Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 9
1
sin
cos
6 sin cos
0
sin cos
x
x
x
x
x
x
é
ù
Û
+
ê
-
-
-
ú
=
ë
û
1
sin
cos
2 8sin cos
0
sin cos
x
x
x
x
x
x
é
ù
Û
+
ê
- +
-
ú
=
ë
û
2
2sin
2sin cos
8 sin cos
1 0
4
x
x
x
x
x
ổ
ửộ
ự
ỗ
+
֑
-
+
- =
û
è
ø
2
sin
2sin sin2 0
4
x
x
x
ổ
ửộ
ự
ỗ
+
֑
-
- =
û
è
ø
4
sin
4 2 2
2
sin
2
1
sin 12
2 7 7
2
6 12
x k x k
x
x k x k
x k k
x k x k
x
x k x k
é + = é = - +
ê ê
é ỉ + ư= ờ ờ
ỗ ữ
ờ ố ứ ờ = + ê = +
ê ê ê
Ûê = Ûê Ỵ Ûê Ỵ
ê ê = - + ê = - +
ê = - ê ê
ê ê ê
ë
= + = +
ê ê
ë ë
¢ ¢ Khơng có đáp án
đúng
Câu 18: Để phương trình
sin
6x
+
cos
6x a
=
|sin2 |
x
có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:A
8 a
£ < B
8< <a C
a < D a ³ Lời giải
Chọn D
3
6 2 2 2
sin x+cos x a= | sin |x Û sin x+cos x -3sin cosx x sin x+cos x =a| sin |x
2
3
1 sin | sin | 3sin | sin |
4 x a x x a x
Û - - = Û + - =
Đặt sin 2x t t= Ỵ 0;1 Khi ta có phương trình3t2+ - =4 1t
Phương trình cho có nghiệm phương trình có nghiệm
2
4 12
1
0;1
4
1
a
t f a
f a
ì ¢D = + > ï
Ỵ Ûí = - < Û ³
ï = - ³
ỵ
Câu 19: Cho phương trình:
sin cos sin
x
x
-
x
-
cos
x m
+ =
0
, m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m là:A 2
2 m
- £ £ - - B
2 m
- - £ £ C 1 2 m
£ £ + D
2 m
- + £ £ Lời giải
(9)Đặt sin cos sin cos 2 t
x+ x t t= £ Þ x x= - Khi ta có phương trình
2
2
1 0 2 2 1 *
2
t - - + = Û - + - =t m t t m
Phương trình cho có nghiệm phương trình * có nghiệm
2
2
1
2; 1
2
2 2 2
2 2
m
s m
t m
m
f m
f m
¢
D = - > ì
ï
ï- < = < ì £
ï ï
é ù
Ỵ -ë ûÛí Ûí Û - + £ £
³ - +
- = + + ³
ï ïỵ
ï
ï = - + ³
ỵ
Câu 20: Cho phương trình: 4 sin4x+cos4 x -8 sin6 x+cos6 x -4 sin 42 x m= m tham số Để
phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là: A m< -4hay m> B
2 m
- £ £ - C
2 m
- £ £ - D m< -2hay m> Lời giải
Chọn A Ta có:
2
4 2 2
3
6 2 2 2
1
sin cos sin cos 2sin cos sin
2
3
sin cos sin cos 3sin cos sin cos sin
4
x x x x x x x
x x x x x x x x x
+ = + - =
-+ = + - + =
-Phương trình cho trở thành
2 2
1
3
4 1
sin 2
8 1
sin 2
16sin cos 2
2
x
4
x
x
x m
æ
-
ử ổ
-
-
ử
-
=
ỗ
ữ ỗ
÷
è
ø è
ø
2 2
4 sin 2x 16 sin sin 2x x m
Û - - - =
4
16sin 2x 12sin 2x m
Û - - - =
Đặtsin 22 x t t= Ỵ 0;1 Khi phương trình trở thành16t2-12t m- - =4 *
* vô nghiệm khi:
TH1: 100 16 25
4
m m
¢
D = + < Û < -
TH2:
25
100 16
4
0 0
m m
f f m m m
é ¢
D = + ³
ì - £ <
-ï Ûê
í = + > ê
ïỵ ë >
(10)Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 11 Câu 21: Cho phương trình: sin62 cos62 tan
cos sin
x x m x
x x
+ =
- , m tham số Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m là:
A 1
8
m£ - hay m³ B 1
8
m< - hay m> C 1
2
m£ - hay m³ D m£ -1hay m³1 Lời giải
Chọn B
ĐK:
cos2 0
x ¹
3
2 2 2
6
2
sin cos 3sin cos sin cos
sin cos 2 tan 2 2 tan 2
cos sin cos2
x x x x x x
x x m x m x
x x x
+ - +
+ = Û =
-2
2
3
1 sin 3
4 2 tan 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 8 sin 2 4 0.
cos
x
m x x m x x m x
x
-Û = Û - = Û + - =
Đặtsin 2x t t= Ỵ -1;1 Khi phương trình trở thành: 3t2+8mt- =4 *
Phương trình cho có nghiệm phương trình * có nghiệmt Ỵ -1;1
TH1: * có nghiệm
1
1;1 1 8
1
m
t f f m m
m é > ê Ỵ - Û - < Û - - - < Û ê
ê < -êë
TH2: * có nghiệm 1 816 12 01 0 18
1;1 1 8 1 0
8
4 3
1
2 4
m m
f m
t f m m VN
s m
m ì ¢
ìD = + > > ï ï
= - > ï
ïï ï
Ỵ - Ûí - = - - > Ûí <
-ï ï
ï- < = - < ï- < <
ï ï
ỵ ỵ
Câu 22: Cho phương trình 1cos4 4tan2
2 tan
x
x m
x
+ =
+ Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m phải thỏa mãn điều kiện:
A
2 m
- £ £ B
0
< £
m
1
C m< £ D
2
m< - hay m> Lời giải
Chọn D
ĐK:
cos
x ¹
0.
2
2
1cos 4 tan 1cos 4 tan 1cos 4 4sin cos
2 tan 2
cos
x x
x m x m x x x m
x
x
+ = Û + = Û + =
+
2
1 1 2sin 2 2sin 2 sin 2 2sin 2 0
2 x x m x x m
Û - + = Û - + - =
Đặt sin 2x t t= Ỵ -1;1 Khi phương trình trở thành: 2 0(*)
(11)Phương trình (*)vơ nghiệm:
TH1: 3
2 m m
¢
D = - < Û >
TH2:
3
5
5 .
5
1 2
2 3
2 m
m m
f f m m
m ì £ ï ¢
D ³
ì ï
ï Ûïé < - Û <
-í - =ỉ + ưỉ - ử> ớờ
ỗ ữỗ ữ
ù ố øè ø ïê
ỵ
ïê > ïêë ỵ
Câu 23: Để phương trình: 4sin .cos 3sin2 cos2
3
x x a x x
ỉ + ỉ - ư= +
-ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ cú nghiệm, tham số a phải
thỏa điều kiện:
A - £ £1 a B - £ £2 a C 1 a
- £ £ D - £ £3 a
Lời giải Chọn B
Phương trình tương đương 2 sin 2 sin 2sin 2
6
x a x
é ỉ + ư+ ù= + ổ -
ỗ ữ ỗ ữ
ê è ø ú è ø
ë û
2
2
2 sin 2sin
6
2 sin sin 2
6
x a x
x x a
é ỉ ù ỉ
Û ờ ỗ + ữ+ =ỳ + ỗ - ữ
è ø è ø
ë û
é ỉ
ờ ỗ + ữ- ỗ - ÷ú=
-è ø è ø
ë û
2
2
4.cos2 sin
2 cos2
2
x a
a x
Û =
-Û =
Để phương trìnhcó nghiệm 2 2
a - a
- £ £ Û - £ £
Câu 24: Để phương trình 2 sin2 2
1 tan cos2
a x a
x x
+
-=
- có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: A | | 1a ³ B | | 2a ³ C | | 3a ³ D a >1,a¹ ±
Lời giải Chọn D
Điều kiện phương trình cosx¹0,cos2x¹0,tan2x¹1
Phương trình tương đương
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
sin sin
cos cos cos cos
sin sin
1
cos c
1 tan tan
os
x a x a
x x x
a a
x x x x
x x
x
-
-+ +
= Û =
-2 tan2 ( 2 t)( an2 ) ( 1 tan) 2
a x a x a x
(12)Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 13 · Nếu a2- £ Û £ Þ (1) vơ nghiệm 1 | | 1a
· Nếu
2
2 1: (1) tan
1
a x
a
> Û =
- Phương trình có nghiệm
2 1 3
1 a
a - ¹ Û ¹ Vậy phương trình cho có nghiệm a >1,a¹ ±
Câu 25: Tìm m để phương trình cosx+1 cos 2x m- cosx =msin2x có nghiệm ;2
3
0
é ù
Ỵ êë úû
x
A - < £1 m B
< £m C 1
2
- < £ -m D 1
- < £m Lời giải
Chọn C
Ta có cosx+1 cos 2x m- cosx =msin2x
cosx cos 2x mcosx m cosx cosx
Û + - = - +
cos cos
cos cos cos cos
x x
x m x m m x x m
= - =
-é é
Ûê Ûê
- = - =
ë ë
Với cosx= - Û = +1 x k2 : khơng có nghiệm ;2
0
é ù
Ỵ êë úû
x
Với cos 2 cos2
2 m x m= Û x= +
Trên 0;2
é ù
ê ú
ë û, phương trình cos x a= có nghiệm với a é ;12 ù Ỵ -ê ú
ë û
Do đó, YCBT
1
1 1
1 1 1
1 1
2 2
2
2
1 1 1
2
m
m m
m m
m m
m ì
ï >
-ï- + ì > - ì >
-ï ï ï
Ûí £ £ Ûí + Ûí Û < £
£ -£
ï ïỵ ïỵ
ï- £ - + £ ï
ỵ
Câu 26: Tìm m để phương trình cos2x- 2m-1 cosx- + = có nghiệm m ; 2
xỴ êé- ùú
ë û A - < £1 m B 0£ <m C 0£ £m D - < <1 m
Lời giải Chọn B
2 0 12.
c
cos2 cosx 1
os
x m m cos x m cosx m cosx
x m
é =
- - - + = Û - - = Ûê
-ê =
ë
-Vì ;
2
xỴ êé- ùú
ë û nên 0£cosx£1 Do cosx = - (loại) 12
Vậy để phương trình (1) có nghiệm ; 2
xỴ êé- ùú
(13)Câu 27: Tìm m để phương trình 2sinx m+ cosx= -1 m có nghiệm ; 2 x éỴ -ê ùú
ë û
A - £ £3 m B - £ £2 m C 1£ £m D - £ £1 m Lời giải
Chọn D Đặt tan
2 x
t = , để ;
2 x éỴ -ê ùú
ë û t Ỵ -1;1
2
2
2
2
2
t 1
1 p
1
t m t m t m mt m m t
t t
Û + - = - Û + - = +
-+ +
2 4 2
t t+ m
Û - =
Vậy để yêu cầu tốn xảy f t t2 4 1t
= - + 1;1 -Ta có 'f t = -2 4; 't f t = Û = 0 t
Vậy để yêu cầu toán xảy - £2 2m£ Û - £ £6 m
Câu 28: Gọi x0 nghiệm dương nhỏ cos2x+ 3sin 2x+ 3sinx-cosx=2 Mệnh đề sau õy l ỳng?
A x ổ0ẻỗ0;12ửữ
ố ứ B x0ẻ ờộở12 6; ựỳỷ C x0ẻỗổố6 3; ựỷỳ D x0ẻỗổố3 2; ựỳỷ Li gii
Chn B
Phng trình 1cos 3sin 3sin 1cos
2 x x x x
Û + + - =
sin sin
6 x x
ỉ ỉ
ỗ + ữ+ ỗ - ữ=
ố ứ è ø
Đặt 2 2
6 6
t x= - ¾¾® = + ®x t x= + ®t x+ = +t
Phương trình trở thành sin sin cos sin
t t t t
ổ
ỗ + ữ+ = + =
è ø
2
2sin t sint sin 2sin 0.t t
Û - = Û - =
= sin 0
6 6
k
t= =t k ắắđ = +x k > > - ắắắk ẻÂđk = đ =x
=
min
1
2 0
1 6
sin
5
2 2 2 0 0 .
6
k
k
t k x k k k x
t
t k x k k k x
Ỵ
Ỵ
é = + ắắđ = + > > - ắắắđ = ® = ê
= Û ê
ê = + ắắđ = + > > - ắắắđ = đ = ờở
Â
Â
(14)Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 15 Suy nghiệm dương nhỏ phương trình ;
6 12 x= Ỵ êé ùú
ë û
Câu 29: Phương trình
2sin 3
1 8sin cos 2
24
x
x
x
ỉ
+
ư
= +
ỗ
ữ
ố
ứ
cú nghim l:A
5
x k
x k
é = + ê
ê
ê = + êë
B 12
5 12
x k
x k
é = + ê
ê
ê = + êë
C
2 12
7 2
12
x k
x k
é = + ê
ê
ê = - + êë
D 24 24
x k
x k
é = + ê
ê
ê = + êë
Lời giải Chọn C
2
2
sin
4 2sin 8sin cos
4
4sin 8sin cos *
x
x x x
x x x
ỡ ổ + ử
ỗ ữ
ùù è ø
ỉ + ư= + Û í
ỗ ữ
ố ứ ù ổ + ử= +
ỗ ữ
ù ố ứ
ợ
1 cos
1 cos
* 8sin
2
x
x x
ổ
- ỗ + ữ
+
è ø
Û = +
2 sin 6x 4sin 2x 4sin cos4x x
Û + = + +
2 2sin 6x 4sin 2x sin 6x sin 2x
Û + = + +
-2sin2 0
x
Û
- =
2
1 12
sin
5
2 2 2 2
6 12
x k x k
x k k
x k x k
é = + é = +
ê ê
Û = Ûê Ỵ Ûê Ỵ
ê = + ê = +
ê êë
ë
¢ ¢
+
k
chẵn1
2
sin 3
1 0
12
4
x
n
æ
x
ử
= +
ị
ỗ
+
ữ
= >
è
ø
+
k
lẻ1
2 1
11
2
sin 3
1 0
12
12
4
x
n
n
ỉ
x
ư
Û = +
-
= -
+
ị
ỗ
+
ữ
= - <
è
ø
+
k
chẵn2
5
2
sin 3
1 0
12
4
x
n
ỉ
x
ư
Û =
+
ị
ỗ
+
ữ
= - <
ố
ứ
+
k
lẻ2
5
2 1
7
2
sin 3
1 0
12
12
4
x
n
n
ỉ
x
ư
Û =
+
-
= -
+
ị
ỗ
+
ữ
= >
ố
ø
Vậy tập nghiệm 12
7 2
12
x k
x k
é = + ê
ê
ê = - + êë
(15)Câu 30: Phương trình:
4sin sin
.sin
2
cos3 1
3
3
x
ổ
ỗ
x
+
ử
ữ
ổ
ỗ
x
+
ử
ữ
+
x
=
ố
ứ
ố
ø
có nghiệm là:A
2
6
2
x k
x k é = + ê
ê ê = êë
B
3
x k
x k é = + ê
ê ê = êë
C x k2 x k é = + ê
ê = ë
D
2
4
x k
x k é = + ê ê ê = êë
Lời giải
Chọn A
2
4sin sin
.sin
cos3 1
3
3
x
ổ
ỗ
x
+
ử
ữ
ổ
ỗ
x
+
ử
ữ
+
x
=
ố
ứ
ố
ứ
2sin cos cos cos3
3
xổ ổ x x
ỗ ỗ- ÷- + ÷+ =
è ø
è ø
1
2sin
cos2
cos3 1
2
x
ổ
x
ử
x
ỗ
+
ữ
+
=
è
ø
sinx sin 3x sin x cos3x
Û + + - + =
sin3 cos3 1
x
x
Û
+
=
2sin 3
1
4
x
ổ
ử
ỗ
+
÷
=
è
ø
sin 3
sin
4
4
x
ổ
ử
ỗ
+
÷
=
è
ø
2
3 .
2
6
x k
k
x k
é = ê
Ûê Ỵ
ê = + êë
¢
Câu 31: Giải phương trình
10 10 6
2
sin cos sin cos
4 4cos sin
+ = +
+
x x x x
x x
A x k= ,
2
= +
x k B
2 = k
x
C = +
x k D x k= ,
2
= +
x k
Lời giải Chọn B
Ta có 4cos 22 x+sin 22 x=3cos 22 x+ > " Ỵ1 0, x
¡
10 10 6 10 10 6
2
2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos
4 4cos sin 4 cos sin 4sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x
+ = + Û + = +
(16)Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 17
2 2
10 10
4 2
sin cos sin sin cos cos
sin cos
4 cos sin cos cos
x x x x x x
x x
x x x x
+ - +
+
Û =
- +
10 10
sin x cos x
Û + =
Ta có
10
10 10 2
10
sin sin
sin cos sin cos
cos cos
x x
x x x x
x x
ì £
ï Þ + £ + =
í
£ ïỵ
Do
2
2
10 2
10 2
2
sin
sin
sin sin sin
1 sin 2
2
cos cos cos cos
cos
x x
x x x x x k x k
x x x x
x
ìé =
ïê
=
ì = ï é =
ï ë
Ûí Ûí Ûê Û = Û = Û =
= é = =
ïỵ ï ë
ê
ï =
ë î
Câu 32: Cho phương trình: sin sin3 cos3 cos2
1 2sin
x x x
x
x
+ +
ổ + ử=
ỗ + ữ
ố ø Các nghiệm phương trình thuộc khoảng 0;2 là:
A ,5
12 12 B ,
6 C
5 ,
4 D
5 , 3 Lời giải
Chọn C
Điều kiện: 2sin 2+ x¹0
Phương trình tương đương sin5 2sin sin sin cos3 cos2 2sin
x x x x x x
x
+ + +
ổ ử = +
ỗ + ữ
è ø
2
sin cos cos3 sin3 cos3
5 cos2
1 2sin 2sin cos
5 cos2
1 2sin
5cos cos2 2cos 5cos
1 cos
2
3 cos ( )
x x x x x x
x
x x
x x
x x x x
x
x k
x loai
+ - + +
ổ
ỗ ữ= +
+
è ø
+
æ
ỗ ữ= +
+
ố ø
Û = + Û - - =
é =
ê
Û Û = ± +
ê =
ë
Vì 0;2 ,
3
xẻ ị =x x= (tha iu kiện)
Chương Tổ hợp
Câu 33: Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số 2011 chữ số có hai chữ số
A 92011 2019.92010
- + B 92011 2.92010 8
9
- + C 92011 92010 8
9
- + D 92011 19.92010 8
9
- +