Tính chất của tứ diện vuông

Cách 1: Dựng hình hộp chữ nhật sao cho OM là đường chéo và các cạnh của hình hộp xuất phát từ O nằm trên các cạnh OA, OB, OC... S ABC , các trường hợp còn lại tương tự.[r]

Chuyên đề: Tứ diện vuông

1 Định nghĩa: Tứ diện vuông là tứ diện có một góc tam diện ba mặt vuông.

2 Tính chất: Giả sử OABC là tứ diện vuông, OA OB OA OC OB OC ,  ,  ;

OA a OB b OC c   Khi đó:

2.1 Các góc của tam giác ABC là các góc nhọn

2.2 H là trực tâm của tam giác ABC thế thì OH (ABC) và 2 2 2 2

2.3 Gọi   , , lần lượt là góc tạo bởi OH với OA, OB, OC, ta có cos2cos2 cos21

2.4 Gọi X, Y, Z lần lượt là góc giữa OA, OB, OC với mặt (ABC) ta có: sin2 X sin2Ysin2Z 1

2.5 Nửa đường thẳng Ot cắt mặt đáy (ABC) tại M và đặt Chứng minh rằng

cos  cos  cos  1

2.6 a2tanA b 2tanB c 2tanC

2.7 SOAB2 SHAB.SABC;SOAC2 SHAC.SABC;SOBC2 SHBC.SABC

2.8 SOAB2 SOAC2 SOBC2 SABC2

2.9 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh O, G, I

thẳng hàng.

2.10

Tương tự AC OH Do vậy OH (ABC)

+ Giả sử CK là đường cao của tam giác ABC thế thì H CK và

OK AB (vì AB(OCH)) Trong các tam giác vuông OCK và

là đường chéo và các cạnh của hình hộp xuất

phát từ O nằm trên các cạnh OA, OB, OC Gọi độ dài các cạnh của hình hộp là x, y, z Ta có

xOA y B zOC OCOM OC

Gọi L, J lần lượt là trung điểm của AB, OC Dựng điẻm I sao cho OJIL là hình bình hành.

Vì OJ (OAB) LI (OAB) LI là trục của tam giác OAB IOIA IB Mặt khác dễ thấy IJ là trung trực của tam giác OIC nên IO IC Do vậy I là tâm đường tròn

ngoại tiếp tứ diện.

Gọi G OI CL, G thuộc trung tuyến CL của tam giác

ABC Ta có

S  ab bc ca   a b a c b c

2.11

;

2 2 4

3(1 3)

r   Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.