Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
MỤC LỤC I Tên sở đƣợc yêu cầu công nhận sáng kiến II Tác giả sáng kiến: III Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng: IV Nội dung sáng kiến 1 Giải pháp cũ thường làm Giải pháp cải tiến 2.1 Cơ sở lý luận: 2.2 Nội dung biện pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số, phương trình lượng giác, mũ, chứng minh bất đẳng thức toán liên quan V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt đƣợc 21 Hiệu kinh tế: 21 Hiệu xã hội: 21 VI Điều kiện khả áp dụng 23 Khả áp dụng sáng kiến thực tiễn: 23 Điều kiện áp dụng sáng kiến: 23 PHỤ LỤC 01: ………………………………………………………………………………….…24 PHỤ LỤC 02: ………………………………………………………………………………….…25 PHỤ LỤC 03: ………………………………………………………………………………….…27 PHỤ LỤC 04: ………………………………………………………………………………….…29 PHỤ LỤC 05: ………………………………………………………………………………….…30 PHỤ LỤC 06: ………………………………………………………………………………….…31 PHỤ LỤC 07: ………………………………………………………………………………….…33 PHỤ LỤC 08: ………………………………………………………………………………….…34 PHỤ LỤC 09: ………………………………………………………………………………….…37 PHỤ LỤC 10: ………………………………………………………………………………….…39 PHỤ LỤC 11: ………………………………………………………………………………….…40 PHỤ LỤC 12: ………………………………………………………………………………….…42 PHỤ LỤC 13: ………………………………………………………………………………….…49 PHỤ LỤC 14: ………………………………………………………………………………….…64 PHỤ LỤC 15: ………………………………………………………………………………….…76 PHỤ LỤC 16: ………………………………………………………………………………….…82 PHỤ LỤC 17: ………………………………………………………………………………….…84 PHỤ LỤC 18: ………………………………………………………………………………….…85 PHỤ LỤC 19: ………………………………………………………………………………….…87 SÁNG KIẾN NĂM HỌC 2014 - 2015 I Tên sở đƣợc yêu cầu công nhận sáng kiến Trƣờng THPT KIM SƠN A – Sở GD&ĐT NINH BÌNH II Tác giả sáng kiến: - Họ tên: HOÀNG VĂN TƢỞNG - Chức vụ: Giáo viên - Đ/c: Thị trấn Phát Diệm – Kim Sơn – Ninh Bình - Email: ltd.phatdiem@gmail.com ĐT: 0913042044 - Đơn vị công tác: THPT Kim Sơn A – Ninh Bình III Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng: - Tên sáng kiến: KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ - Lĩnh vực áp dụng: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số, phương trình lượng giác, mũ, chứng minh bất đẳng thức phép toán liên quan IV Nội dung sáng kiến Giải pháp cũ thƣờng làm Trong thực tế việc truyền thụ tới học sinh phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, …, cơng việc khó khăn tất giáo viên mơn tốn Có q nhiều dạng, liên quan đến nhiều phép biến đổi thời gian cịn có cách biến đổi khác chưa kể đến giảng dạy, giáo viên khơng nhớ cách biến đổi mà có nhớ học sinh tiếp thu cách thụ động Ví dụ Khai triển đa thức: A (4 x) ( x 3x 10) (3 x) ( x x 21) Ví dụ Khai triển đa thức: P (a 3b 4) (2a b 2) (b 1) (b 3) x 3x3 x x Ví dụ Thực phép chia x2 x 1 Thực hiện: x4 3x3 x2 4x x4 x3 x2 x3 x 2 x3 x x 2x2 2x 2x2 2x “Phép chia hết” x2 x x2 x Ví dụ Thực phép chia: x 3x3 x x x2 x “Phép chia phần dư” x3 (2m2 1) x (m 1) x 2m3 2m2 m Ví dụ Thực phép chia: x2 m 1 Cả ví dụ áp dụng phương pháp cũ dễ thời gian vì: ví dụ ví dụ hai biểu thức dài rút gọn dễ dẫn đến nhầm lẫn, ví dụ cịn lại khơng dùng lược đồ Hoocler Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 12x4 2x3 2x2 x “Một biến” Phương pháp cũ nhóm nhân tử lớp ta được: 3x x 1 (2 x 1) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: xy ( x y ) ( x y ) 2 5 x y xy y 2( x y ) (1) 2 (2) xy ( x y ) ( x y ) “Trong hệ phương trình: “Hai biến” (Trích đề thi KA 2011)” “Trích lời giải Bộ giáo dục” Từ phương trình (2) ta có: ( xy 1)( x y 2) xy x y TH1: xy từ (1) suy ra: y y y 1 Suy ra: (x;y) = (1;1) (x;y) = (-1;-1) TH2: x y từ (1) suy ra: y (x y ) xy x y 2(x y) y xy x y 2(x y) (1 xy)(2 y1) xy (đã xét) x y Với x y , từ x y suy ra: 10 10 10 10 (x; y) ; ; (x; y) 5 10 10 10 10 ; ; , 5 Vậy hệ có nghiệm: (1;1), (1; 1), Sau đọc lời giải học sinh trung bình hiểu ngay, vấn đề lại biết phương trình (2) TH2 tách ? Ví dụ Bất phương trình, phương trình bậc có nghiệm vơ tỷ Ví dụ: Giải bất phương trình: x x x 3(x x 2) (Trích đề thi minh họa – kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2015 – BGDĐT) “Trích lời giải Bộ giáo dục” ĐK: x Bất phương trình: x x x(x 1)(x 2) 3(x x 2) x(x 1)(x 2) x(x 2) 2(x 1) x(x 2) (x 1) x(x 2) (x 1) Một tách thật tuyệt vời có nhiều học sinh hỏi “sao thầy, cô tách thế” câu trả lời giáo viên ? Bất phương trình so với phương trình khó nhiều, phần giải pháp ta đưa cách giải bất phương trình cách giải phương trình tương ứng 2 x y xy 3x y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình: y xy x y (2) Giải pháp cũ: Nhân hai vế phương trình (1) với 2, hai vế phương trình (2) với cộng lại ta được: 2( x xy y 3x y 1) 3( y xy x y ) x y xy 3x y ( x y 2)(2 x y 1) x y xy x y (1) Ví dụ 10 Giải hệ phương trình: x xy x 12 (2) Giải pháp cũ: Nhân hai vế phương trình (1) với trừ vế theo vế với phương trình (1) ta có: x3 xy x y x xy y 12 (x y 3) x (1 y) x y Hai ví dụ 10 làm theo giải pháp làm người làm chủ động biết phải nhân hai vế phương trình (1) với trừ cho nhau, không giải pháp cũ người dạy học khơng giải thích phải nhân với không nhân với số khác, khơng nhân với phương trình (2) mà phải phương trình (1), khơng cộng vào mà phải trừ? x x x 22 y y y (1) Ví dụ 11: Giải hệ: 2 (2) x y x y (Trích đề thi KA-2012) Giải pháp cũ: Pt(1): x3 3x x y y y 22 (*) VP(*) y a y a 9( y a) (viết lại cho dạng VT (*) ) y y a ya a3 y ya 3a y 9a y (3a 3) y (3a 6a 9) y a3 3a 9a 3a Đồng hệ số với VP(*) ta được: 3a 6a 9 a a3 3a 9a 22 Phương trình (1): x3 3x x y y y 3 Xét hàm số: f t t 3t 9t f '(t ) 3t 6t 9, t ; … 2 Ví dụ cho thấy dù học sinh biết cách làm biết phải khai thác phương trình (1) thời gian bước đồng thức, phương pháp dùng máy ta biết chắn phải khai thác phương trình (1) tốc độ đạt phương trình hàm tính giây, ngồi học sinh lớp 10 chưa học đạo hàm khơng giải phương pháp (4 x 1) x ( y 3) y Ví dụ 12 2 4 x y +2 x =7 (Trích đề thi KA-2010) “Trích lời giải Bộ giáo dục:” Điều kiện: x ; y Phương trình thứ tương đương: (4 x 1).2 x (5 y 1) y (1) Nhận xét: (1) có dạng f (2 x) f( y ) , với f (t) (t 1) t … Cách cũ thường làm có hai vấn đề làm học sinh gặp khó khăn tìm lời giải Thứ biết phương trình thứ tách vậy, thứ hai học sinh trung bình trở xuống khơng hiểu khó vận dụng phương trình hàm Ví dụ 13 Giải phương trình: x x 2 x x x Phương trình: 4 x x (9 x 1) x x 4( x 1)2 Đây dạng nhân liên hợp xuất nhiều đề thi đại học Tại phương trình lại tách tinh tế đến để nhân liên hợp ? Khi nhân liên hợp định phải tìm hết nghiệm, tìm nghiệm mà nhân liên hợp định toán phải làm lại từ đầu, vấn đề làm phương pháp cũ để tìm hết nghiệm nghiệm bội cực khó khăn! 2x Ví dụ 14 Tách phân số: tích phân ( x 1)( x 2)2 Ta có: 2x ( x 1)( x 2) dx 1 2x A B C ( x 1)( x 2) x x (x 2)2 2x A( x 2) B(x 1)(x 2) C (x 1) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) 2x ( A B) x (4 A B C) x A B C ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) A B A 1 Đồng hai vế ta được: 4 A B C B 1 4 A B C C 1 Ví dụ đơn giản học sinh trung bình trở xuống khơng, học sinh giỏi thời gian Ví dụ 15 Giải phương trình: sin x 4cos x sin 2x (Trích đề thi KA-2014) “Trích lời giải Bộ giáo dục” Phương trình: (2cos x 1)(sin x 2) Ví dụ 16 Giải phương trình: x x 4.2 x x 22 x (Trích đề thi KD-2006) “Trích lời giải Bộ giáo dục” Phương trình cho tương đương với: (22 x 4)(2 x 22 x 22 x 22 x 2x x 1 2x x x 1) x x x 0, x Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0, x Ví dụ 17 Cho x, y, z x y z x y z CMR: x y z 10 Ví dụ 18 Cho a, b,c Chứng minh a3 b3 c3 abc 2 2 a ab b b bc c c ca a Phương pháp cũ phải biết áp dụng thật khéo bất đẳng thức cosi, bunhia, Swash,… Tôi xin giới thiệu cách cần vài thao tác ta có kết cho câu trả lời cho câu hỏi 1.1 Nhược điểm: - Khi giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, …, theo phương pháp cũ học sinh bị thụ động cách giải, ví dụ lấy phương trình (1) nhân với cộng trừ phương trình (2), phải phân tích, nhóm, đổi biến thế kia,… - Đối với phần nhóm tách đa thức, nhân chia đa thức, phân tích phân số thành tổng phân số phương pháp cũ tính tốn thơng thường tay gây thời gian, dùng máy tính cầm tay nhanh xác 1.2 Khó khăn: - Thời lượng học phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trường THPT ít, đề thi ĐHCĐ, thi học sinh giỏi có tập dạng câu phân hoá học sinh quan trọng - Tỉ lệ học sinh hiểu khơng nhiều Khả vận dụng Vì tâm lí học sinh thi ĐHCĐ học sinh thường chủ động bỏ nội dung dù đề hay khó - Tài liệu cho nội dung phương trình, hệ phương trình, bất phương trình nhiều khơng đọng, khó hiểu với đa số học sinh Nội dung đề thi mức vận dụng, sáng tạo nội dung tập SGK thường nhận biết thông hiểu - Tài liệu giảng dạy phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mang tính chất hàn lâm Khó vận dụng rộng rãi Vì vậy, giáo viên thường quan tâm đến bồi dưỡng cho nhóm học sinh, khơng bồi dưỡng cho em lại Giải pháp cải tiến 2.1 Cơ sở lý luận: Để giải toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, …, học sinh phải hiểu vận dụng nhiều phương pháp, nhiều dạng Vừa nội dung khó, tập đa dạng, giáo viên tìm tịi, bổ sung cách điều cần thiết Ngoài cách thường dùng sách giáo khoa, sách tham khảo, tham khảo diễn đàn toán học tiếp thu vài thao tác máy tính cầm tay quan trọng sau phát triển, sáng tạo thành hệ thống, qui tắc bấm máy hoàn hảo ứng dụng để giải toán Các qui tắc dựa sở tính tốn đơn giản Máy vi tính máy tính cầm tay tính tốn phép toán ta phải nhập giá trị đầu vào giá trị cụ thể phép toán khai triển đa thức, tách nhân tử chung,… phép tốn thu chứa biến ta phải dùng giá trị cụ thể, theo toán học kinh nghiệm ta nên gán 100 1000 để trả lại cho biến dễ dàng 2.1.1 Khai triển đa thức biến Phương pháp: b1 – Đưa máy chế độ thường MODE b2 – Nhập biểu thức cần khai triển vào máy b3 – Nhấn phím CALC máy X? (tương tự với biến khác) b4 – Nhập X = 1000 dùng phương pháp tách số ta hệ số: Xem thêm phần PHỤ LỤC – Trang 25 an , an 1 , an , , a1 , a0 b5 – Điền hệ số vào P an xn an1 xn1 an2 x n2 a1x a0 ta kết 2.1.2 Chia đa thức cho đa thức biến (phép chia khơng cịn phần dư) Phương pháp: b1 – Đưa máy chế độ thường MODE b2 – Nhập phép chia vào máy b3 – Nhấn phím CALC máy X? (tương tự với biến khác) b4 – Cho X = 100 1000 2.1.3 Tách nhân tử chung (hai biến hữu tỷ với hệ số nguyên) Phương pháp: Ta nên chọn biến có số mũ thấp ẩn biến lại cho 1000, dùng lệnh MODE , MODE SHIFT SOLVE VD Tách thành nhân tử x y xy x y Vào giải phương trình bậc MODE Nhập hệ số a 2; b 1000 7; c 10002 2000 Cho nghiệm x 1003; x 999 Ta có 2( x 1003)( x 999 ) ( x 1003)(2 x 999) Trả lại: thay 1003 1000 y 999 1000 1 y 1 vào Kq: x y xy x y ( x y 3)(2 x y 1) 2.1.4 Phương pháp giải phương trình bậc đầy đủ nghiệm vơ tỷ 2.1.5 Hệ phương trình hai biến bậc hai hữu tỷ với hệ số nguyên 2.1.6 Hệ phương trình hai biến bậc cao hữu tỷ với hệ số nguyên 2.2 Nội dung biện pháp giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình đại số, phƣơng trình lƣợng giác, mũ, chứng minh bất đẳng thức toán liên quan Xuất phát từ yêu cầu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có dạng: Phương trình biến: f ( x) f ( x, y) g ( x, y) Hệ phương trình: Bất phương trình: f ( x) 0, f ( x) 0, f ( x) 0, f ( x) Thực chất tìm biến x, y thỏa mãn toán Để đạt mục đích ta phải sử dụng nhiều đến biến đổi toán học như: - Khai triển đa thức - Chia đa thức cho đa thức - Nhóm nhân tử chung để đưa tích biểu thức… Khi giải hệ phương trình, phương trình, bất phương trình vấn đề cực quan trọng ta phải có hướng giải Tôi xin đưa phương pháp sau: Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Nhập hai phương trình hệ, phương trình, bất phương trình nhập tương tự vào máy (cụ thể đây) Bước 3: Sử dụng cách cũ (lũy thừa hai vế,đổi biến, nhân liên hợp, phương trình hàm…) Bước 4: Dùng máy để thử lại nghiệm thỏa mãn điều kiện kết luận Trong bước 2, phương trình hữu tỷ với hệ số nguyên phương trình bậc hai bậc ba ta dùng lệnh MODE , MODE , cịn lại dùng lệnh SHIFT SOLVE cho Y ?, X ? phải vào điều kiện đề bài, ta phân làm dạng sau: Hàm số f(x) liên tục phương trình f(x)=0 vô nghiệm khoảng 1 D ; (2;3) (3; ) nên khoảng hàm số không đổi dấu 2 1 Mà f(-1) > 0, f(2,5) < 0, f(4) > KL: Tập nghiệm S ; 3; 2 VD5: x x x TXD: x (Trích KA-2005) Xét hàm số f ( x) 5x 1 x 1 x liên tục D 2; Xét phương trình f ( x) x x x x x x ( x 1)(2 x 4) ( x 1)(2 x 4) x x 10 x x 10 (vì x ) Bảng xét dấu f(x): - x + 10 + f(x) - Hàm số f(x) liên tục phương trình f(x)=0 vơ nghiệm khoảng 2;10 , (10; ) nên khoảng hàm số không đổi dấu Mà f(3) > 0, f(12) < KL: Tập nghiệm S [2;10) VD6: 2( x 16) x 3 7x x 3 x 3 Xét hàm số f ( x) 2( x 16) x 3 Xét phương trình f ( x) TXD: x x 3 2( x 16) x 3 (Trích KA-2004) 7x liên tục D 4; x 3 x 3 7x x 3 2( x 16) ( x 3) x 2( x 16) 10 x 10 x 4 x x 10 34 2 2( x 16) (10 x ) x 20 x 66 Bảng xét dấu f(x): x f(x) - + 10 - 34 - + Hàm số f(x) liên tục phương trình f(x)=0 vơ nghiệm khoảng 4;10 34 ,(10 34; ) nên khoảng hàm số không đổi dấu Mà f(4,1) < 0, f(5) > KL: Tập nghiệm bất phương trình S (10 34; ) 78 VD7: x x 2( x x 1) Xét hàm số f ( x) TXD: D 0; 1 x x 2( x x 1) Xét phương trình f ( x) (Trích KA – 2010) liên tục D 0; x x 2( x x 1) 1 x x 2( x x 1) 2( x x 1) x x Đặ t x , t x t 2 t t 2t 2t t t 4 2t 2t t t 2t 2t 2t 1 1 1 3 0 t 0 t 0 x x 2 t 2t t 2t (t t 1) ( x x 1) Bảng xét dấu f(x): (không cần được) x - f(x) - 3 + - Hàm số f(x) liên tục phương trình f(x)=0 vơ nghiệm khoảng 3 3 ; nên khoảng hàm số không đổi dấu 0; , Mà f(0,2) < 0, f(1) < KL: Tập nghiệm bất phương trình S x x x 41 169 x TXD: x VD8: 13 x Xét hàm số f ( x) x3 x x 41 169 x liên tục x 13 x Xét phương trình: f ( x) f ( x) x3 x x 41 x 1 13 x x3 x x 41 13x 13 3x x x Đặt t x , t 13 Phương trình: t t 3t 14t 3t 54 (t 2)(t 2t 5t 13t 12t 27) t x 2 x 4 t 2t 5t 13t 12t 27 (VN , t 0) 79 Bảng xét dấu: - x 169 - f(x) + - + Hàm số f(x) liên tục vô nghiệm khoảng (0; 4);(4; 169 169 ; nên ) khoảng hàm số không đổi dấu 169 18, 777 Mà f(1) = -6 < 0, f(9) =180 > 0, f(25) =-8118 < 0, 169 ; KL: Tập nghiệm bất phương trình S [0; 4] x x x 3(x x 2) VD9: (Đề thi minh họa – kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2015 – BGDĐT) TXD: D [1 3; ) Xét hàm số f ( x) x x x 3(x x 2) liên tục D Xét phương trình: f ( x) x x x 3(x x 2) x x x 3(x x 2) ( x x)(x 2) x x x x3 13x 18 x (x x 1)(x x 4) 13 13 (loại), (loại), 13 (TM), 13 (loại) 2 Bảng xét dấu: x - 13 1+ + f(x) + - Hàm số f(x) liên tục vô nghiệm khoảng (1 3;3 13);(3 13; ) nên khoảng hàm số không đổi dấu Mà f 3 , f (9) 1.396 KL: Tập nghiệm bất phương trình S [1+ 3;3 13] VD10: x x x3 x x3 x x (Đề thi thử THPT Quốc Gia chuyên Lê Quý Đôn-2015) TXD: D (0; ) x x3 x Xét hàm số f (x) x xác định liên tục D x 2x2 2x Xét phương trình f (x) x x x3 x x3 x x 80 x x3 x x x(x x 2) Nên phương trình: x x x3 x x ( x x x) x x x x 2x 2x Đặt t x , t x t Phương trình: t (t 2t 2t ) t 2t 2t t t 2t 2t 2t 2t t2 t1 (t t 1)(t t t t 1) t t t t (*) Ta chứng minh phương trình (*) vơ nghiệm: TH1: t (t t ) 0, (t t ) t t t t TH2: t t 0, t t t t (t t 1) t x x3 x 1 (TM) t 1 3 Do đó: t t x x 2 1 (L) t 3 Bảng xét dấu: x - f(x) + KL: Tập nghiệm bất phương trình S 0; + - 3 81 PHỤ LỤC 16: PHÉP CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC CÕN PHẦN DƢ KỸ THUẬT 11 Ta biết VD1: A A D C dư D C A C.B D B B B x 3x3 x x x2 x 1 + Nhập vào máy: ( x 3x3 x x 5) ( x x 1) + Nhấn CALC gán X 1000 1001998 1| 001| 998 x x phần nguyên + Nhập lại: ( x 3x3 x x 5) ( x x 2)( x x 1) + Nhấn CALC gán X 1000 máy -7 + Thử lại: ( x 3x3 x x 5) ( x x 2)( x x 1) + Nhấn CALC gán X bất kỳ, cho kết xác Kết quả: VD2: x 3x3 x x ( x x 2) 2 x x 1 x x 1 x x3 x x x2 x + Nhập vào máy: ( x x3 x x 7) ( x x 3) + Nhấn CALC gán X 1000 990018.99 990019 990 | 019 x 10 x 19 + Nhập lại: ( x x3 x x 7) ( x 10 x 19)( x x 3) + Nhấn CALC gán X 1000 máy 10050 10 | 050 (10 x 50) + Thử lại: ( x x3 x x 7) ( x 10 x 19)( x x 3) (10 x 50) + Nhấn CALC gán X bất kỳ, máy x x3 x x 10 x 50 Kết quả: ( x 10 x 19) 2 x 2x x 2x Nhận xét: Ta không nhập phép chia dạng x3 x x mà nhập dạng để x 1 dễ sửa Không bỏ qua bước thử lại 82 VD3: x5 x x3 x x3 x x Nhận xét: Bài mũ lớn, dùng KỸ THUẬT có lỗi nhỏ chưa giải thích có cách khắc phục thông qua bước thử lại + Nhập vào máy: ( x5 x x3 x 5) ( x3 x x 6) + Nhấn CALC gán X 1000 hiện: 998000.006 998000 998 | 000 x x phần nguyên + Nhập lại: ( x5 x x3 x 5) ( x x)( x3 x x 6) + Nhấn CALC gán X 1000 máy 5988000 | 988 | 000 x 12 x + Thử lại: ( x x3 x x 7) ( x 10 x 19)( x x 3) (6 x 12 x) + Nhấn CALC gán X nhỏ 640, máy 5, ta trừ nghĩa là: ( x x3 x x 7) ( x 10 x 19)( x x 3) (6 x 12 x 5) Kq: x5 x x3 x x 12 x ( x x ) x3 x x x3 x x “Đây kết xác, bước thử lại khơng rõ nguyên nhân thử với x 640 cịn x 640 sai, nghĩa A A 0, A 641 , bước máy phải cho 998005.006 thay vào máy lại cho 998000.006 ” x3 x VD4: (Ta nhân tử số với 32 mục đích ngun) 3x x + Nhập vào máy: 9( x3 x 1) (3 x x) + Nhấn CALC gán X 1000 2997.997333 2998 | 998 3x phần nguyên + Nhập lại: 9( x3 x 1) (3x 2)(3x x) + Nhấn CALC gán X 1000 máy 7991 (8x 9) Kq: x3 x 3x 8x 3x x 9(3 x x) 83 PHỤ LỤC 17: TÁCH PHÂN SỐ THÀNH TỔNG CÁC PHÂN SỐ KỸ THUẬT 12 Mẫu tích đơn thức 4x 1 A B ( x 1)( x 2) x x x x Để tính A ta nhân hai vế với mẫu A cho mẫu A (tương tự cho B, C) Ta được: A 4x 1 cho x A ; ( x 2) B 4x 1 cho x 2 B ( x 1) Mẫu chứa nghiệm bội 1 4x 1 A B C 2 ( x 1)( x 2) x x ( x 2) x x ( x 2) Ta tính nhẩm A Cịn B dùng máy: B 4x 1 ( x 2)2 cho x 1 4x 1 C ( x 1) cho x=-2 d 4x 1 dx x x 2 3 Mẫu chứa đa thức vô nghiệm 4x 1 A Bx C x 2 ( x 1)( x 2) x x x x 4x 1 ( x 2) - Tìm A: A - Nhập vào máy: cho x=1 y 1 By C (thay x y) 2 ( y 1)( y 2) y y + Tìm C trước thay C X y 1 By X , ta nhấn 2 ( y 1)( y 2) y y SHIFT SOLVE cho y = 0, B = 0, X ta C = X = + Tìm B: Sửa lại C thay 3, B thay X SHIFT y 1 Xy nhấn 2 ( y 1)( y 2) y y SOLVE cho y = khác khác nghiệm mẫu, X = ta B = X = -1 84 PHỤ LỤC 18: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KỸ THUẬT 13 Trong phương trình đại số hay phương trình vơ tỷ, nhẩm nghiệm x=a ta tách, ghép, thêm, bớt để biến đổi phương trình có nhân tử chung (x-a) Tuy nhiên biết nghiệm phương trình lượng giác nhiều cách làm xuất nhân tử chung khác Chẳng hạn, ứng với nghiệm x=30o hay x nhân tử chung 2sin x 1, 2cos x 3,cos x sinx, - Tùy theo đề hệ số nguyên hay hệ số hữu tỷ mà ta chọn cho thích hợp, tất nhiên có nhẩm nghiệm “đẹp” ta khó tách thành nhân tử chung cho dù theo lý thuyết tách tách làm tốn thêm phước tạp VD1: 1-sinx-cosx=0 Nhẩm nghiệm x=0 x=90o, ta có nhân tử chung (1-sinx) (1-cosx) (sinx) (cosx) Ta chọn mà tách phước tạp VD2: (1-sinx)- (1 sin x)(1 sin x) =0 rõ ràng xuất nhân tử (1-sinx) Nhưng làm theo cách dài “Thường gặp loại ta giải theo cách phương trình a.sinx+b.cosx+c=0 đại số hóa” - Khi ta nhẩm nghiệm x=60o tức x= ta có nhân tử chung (2cosx-1) (2sinx- )… Tương tự x=45o, x=135o,… bạn tự suy nhân tử chung ? - Cách nhẩm nghiệm máy tính bỏ túy em dùng lệnh SOLVE Nên cho X=60 30 45 thường phương trình có nghiệm để máy tính nhẩm cho nhanh, (Phải để chế độ độ) VD1: Giải phương trình: 9sinx + 6cosx -3sin2x + cos2x = Nhận xét: ta nhẩm nghiệm x=90o, hệ số nguyên, ta có nhân tử chung (sinx-1) (cosx) Ở ta chọn (sinx-1) Pt: (9sinx-9) + (6cosx-6sinx.cosx) + 2-2sin2x=0 đến dễ dàng! VD2: Giải phương trình: cot x cos x sin x sin x tan x Nhận xét : “Ta nhẩm ngiệm x=45o ta có nhân tử chung (sinx-cosx)” 85 HD: Điều kiện: sin x.cos x tanx PT 1 cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x ĐS: x k VD3: (Trích đề KA-2012): sin x cos2x=2cosx-1 sin x (cos2x+1)-2cosx=0 Nhận xét: “Ta nhẩm nghiệm x=90o nhân tử chung cosx (sinx-1) ta nhìn cos2x+1 sin2x có cosx nên chọn cosx nhân tử dễ không chấp kiếm khó ít” VD4: Giải phương trình: sinx(cos 2x 2cos x) cos2xcosx 1 Phương trình viết: sin x cos 2x 2sin x cos x cos2xcosx 1 Nhận xét: “Ta nhẩm nghiệm x=45o nhân tử chung (sinx-cosx)” Nhìn lại ta thấy: số hạng thứ thứ nhóm vào xuất (sinx-cosx) lại 1- 2sin x cos x = (sinx-cosx)2 VD5: Giải phương trình: 3(2cos2 x cos x 2) (3 2cos x)sin x Nhận xét: “Ta nhẩm nghiệm x=60o nhân tử chung (2sin x 3) (2cosx-1) Trong phương trình ta thấy xuất ta chọn (2sin x 3) nhân tử” Phương trình: 3cos x 3cosx 3sin x 2sin x cos x sin x 3sin x cosx( 2sin x) s inx( 2s inx) cosx( 2s inx) 86 PHỤ LỤC 19: ÁP DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƢƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN KỸ THUẬT 14 Cho x1 x2 x3 xn k Tìm Min, Max của: P f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( xn ) f ( x1 ) ax1 b với x1 Dấu xảy x1 Cách làm: Tìm a, b cho: k n Tương tự ta chứng minh được: f ( x2 ) ax2 b f ( xn ) axn b Suy P ( x1 x2 x3 xn ) nb k nb d dx + Tìm a: Nhấn SHIFT x nhập máy d ( ) |x ( ) nhập biểu thức f ( x) , dx k nhấn giá trị a n + Tìm b: nhập vào máy f ( x) ax (a giá trị vừa tìm được) CALC cho x= k nhấn n giá trị b VD1: Cho x, y, z x y z x y z CMR: x y z 10 Nháp: Ta tìm a, b biểu thức: Tìm a: Nhấn SHIFT d dx x ax b x 1 nhập d x 18 nhấn ta a dx x x 25 Tìm b: Nhấn AC Nhập x 18 x cho x b x 25 50 Lời giải: x 18 x 50 x 36 x( x 1) 3( x 1) 36 x3 x 14 x x 25 50 50( x 1) 50( x 1) Xét: 36 x3 3x 14 x (4 x 3)(3x 1) x 2 50( x 1) 50( x 1) x 18 x z 18 z y 18 y Và Tương tự: x 25 50 z 25 50 y 25 50 Từ đó: x y z 18x 18 y 18 z x y z 25 50 25 50 25 50 87 18 18 9 Đạt khi: x y z ( x y z) (1) 25 50 25 50 10 Bài Tập trƣơng tự: Cho x y z x, y, z CMR: 1 1 x yz y zx z x y 3x y Cho x>0, y>0 x y CMR: 4x y2 VD2: Cho a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 CMR: a2 b2 c2 1 b2 bc c a ac c a ab b2 Lời giải: (Trước hết ta đưa phân số biến) Ta có: a2 a2 (vì a2 b2 c2 ) 2 b bc c a bc Mặt khác: a b c 2bc bc a2 a2 a2 b bc c a bc a2 a2 a2 a2 2a b2 2b2 c2 2c Tương tự: b bc c 3a a ac c 3b2 a ab b2 3c 2a 2b2 2c a2 b2 c2 Ta phải chứng minh: 1 với a, b, c 2 2 2 3a 3b 3c 3 a 3b 3c thỏa mãn a2 b2 c2 Đặt: x a , y b , c z x, y, z 0, x y z “nhập x y z 3 x 3 y 3 z d x x 3x nhấn ta a , tìm b: nhập vào máy: cho x dx x x 1 3 x 4 b ” Xét: x 3x x x(3 x) (3 x) x x 3( x 1) (vì x y z ) 3 x 4 4(3 x) 4(3 x) 4(3 x) x 3x z 3z y 3y Tương tự: 3 x 4 3 z 4 3 y 4 Do đó: x y z 3x y z 3 3 ( x y z ) 3 x 3 y 3 z 4 4 4 4 4 Đạt khi: x y z a b c 88 VD3 Cho x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ của: 1 1 P x y z 2 x y z 1 1 Lời giải: P x y z x y z x2 y z x y z x2 d x2 “nhập nhấn ta a 17 , tìm b: nhập vào máy: 17 x cho dx x x x x b 12 ” Xét: x2 18x 12 x 2(9 x x 1) 2(3x 1)2 17 x 12 (vì x y z ) x x x x y2 x2 z2 17 y 12 17 x 12 Tương tự: 17 z 12 y x z Do đó: P 17( x y z) 3.12 17 36 19 Vậy MinP 19 đạt x y z 1 1 VD4 Cho a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 CMR: P 3(a b c) 15 a b c Nháp: Do biểu thức điều kiện a2 b2 c2 nên dạng có khác biệt chút Ta cần tìm , cho: 3a a2 a d 2 3x dx x x 1 x2 Nhập nhấn ta , tìm : nhập vào máy: 3x cho x d 2 x x x 1 dx 2 x Lời giải: Xét: 3x x x x3 x x3 x x (4 x)( x 1) 0 2 2x 2x 2x (vì a, b, c 0, a b2 c a, b, c ) y2 x2 z2 Suy ra: 3x Tương tự: y và: 3z y 2 x 2 z 2 Do P ( x y z ) 27 15 Đạt a b c 89 VD5 Cho x, y > thỏa mãn x x 1 y y 1 x2 y x y ( x y)2 x x y y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Từ giả thiết ta có: x2 y x y ( x y) x y ( x y)2 (x y) 2(x y) x y “nhập d 2x2 2x2 nhấn ta , tìm b: nhập vào máy: a x cho x dx x x x 1 x2 x b ” Xét: x2 x3 3x (x 1)2 ( x 2) x2 x 0, x x x2 x x2 x x2 x x2 x Tương tự: y2 x y y suy P (x y) y y (x y) Đặt x y t, t (0;2] Xét hàm số: f (t) t t2 1 - 4- x y VD6 Cho a, b, c thỏa mãn a b c CMR: 1 a b c 2 a b c a b c2 1 a b c 0 2 a b c a b c2 Nháp: Ta cần tìm , cho: Nhập + f (t ) BĐT , t (0; 2] 2t f '(t ) Vậy MinP t2 1 t 1 0, t (0; 2] 2 t 1 (t 1) t Ta có: f '(t) 1 t t a a a a2 d x nhấn ta , dx x x x 1 tìm : nhập vào máy: x 1 cho x 1 x 1 x 4 Lời giải: 90 Xét: a a 4(1 a ) 4a(1 a) a(1 a)(1 a ) (1 a)(1 a ) a a2 4 4(1 a)(1 a ) a 4a (a 1) (a a 3) 0 4(1 a)(1 a ) 4(1 a)(1 a ) Suy ra: a a 1 b b 1 c c Tương tự: 2 1 a 1 a 4 1 b 1 b 4 1 c 1 c 4 Do ta có: 1 a b c (a b c) 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 4 4 4 Lại có: a b c (a b c) (a b c) dấu xảy khi: a b c VD7: Cho x, y, z số dương thoả mãn x y z Chứng minh: P x y z Lời giải: ta có: P x x2 “Tìm a: nhập vào máy Tìm b: nhập vào máy: Xét y z x y y2 z x y x 3 z2 z d x dx x x d x dx nhấn ta a 2.598076211 3 , x 3 b ” x cho x 1 x x 3x 2 x 3x (1 x ) 3x 3x x x2 2(1 x ) 2(1 x ) x(3 3x3 3x 2) x( x 1) ( x 2) (vì x,y,z>0 x y z nên x (0;1) ) 2 2(1 x ) 2(1 x ) Nên x 3x Dấu “=” xảy x 1 x Tương tự: y 3 y2 z 3z , 1 y2 1 z2 Do đó: P x y z 3 3 ( x y z2 ) 2 2 1 x 1 y 1 z 91 VD8: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c Chứng minh rằng: 1 27 ab bc ca Hướng giải: Vì a, b, c thoả mãn a b c a, b, c Ta có: (1 c)2 (1 c)2 2c c c a b ab ab ab 4 ab 2c c Tương tự: 4 bất đẳng thức cần chứng minh bc 2a a ca 2b b2 tương đương: 1 27 … 2 2a a 2b b 2c c 32 VD9 Cho a,b,c Chứng minh rằng: thoả mãn a 2b 3c 2 54 a(4 b 6c 3) b(3c a 1) c(2a 4b 1) Lời giải: Bất đẳng thức: 54 a[2(2 b 3c) 3] b(3c a 1) c[2(a 2b) 1] 54 a[2(2 a) 3] b(2 2b 1) c[2(2 3c) 1] 54 a(1 2a) b(1 2b) c(1 2c) “Nháp: Ta cần tìm , cho: d nhấn ta 27 , dx x(1 x) x 13 Nhập tìm : nhập vào máy: Xét: 27 x cho x ” x(1 x) 1 27a (1 2a) 54a 27a (6a 1)(3a 1) 27a a a(1 2a) a(1 2a) a(1 2a) a(1 2a) Do 27a a(1 2a) Tương tự: Nên a a(1 2a) 1 27b 27c b(1 2b) c(1 2c) 27a 2.27b 3.27c 27(a 2b 3c) 54 a(1 2a) b(1 2b) c(1 2c) 92 ... - Email: ltd.phatdiem@gmail.com ĐT: 0913042044 - Đơn vị công tác: THPT Kim Sơn A – Ninh Bình III Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng: - Tên sáng kiến: KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN... thao tác máy tính cầm tay quan trọng sau phát triển, sáng tạo thành hệ thống, qui tắc bấm máy hồn hảo ứng dụng để giải tốn Các qui tắc dựa sở tính tốn đơn giản Máy vi tính máy tính cầm tay tính tốn... CỦA CƠ QUAN, ĐƠN VỊ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN HOÀNG VĂN TƯỞNG 23 PHỤ LỤC MỘT SỐ THAO TÁC CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN MODE Đưa máy tính chế độ tính tốn thường ALPHA X Nhập biến