Giá trị p adic của số schenker và giả thuyết của g mcgarvey

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA SỐ SCHENKER VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA SỐ SCHENKER VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: “Giá trị p-adic số Schenker giả thuyết G McGarvey” cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các nội dung kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Bùi Hồng Nhung LỜI CẢM ƠN Tơi xin thành kính gởi lời cảm ơn đến thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu thầy tổ Tốn Trường THPT Nguyễn Trãi – Thị xã Thuận An – Tỉnh Bình Dương nơi tơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo thuận lợi cho chúng tơi khóa học Tơi cảm ơn bạn, anh chị học Khóa 27 tơi chia sẻ buồn vui, khó khăn q trình học tập nghiên cứu, đặc biệt bạn Đào Thị Thu Hường lớp Đại số lý thuyết số đồng hành, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa vững Đặc biệt cảm ơn Má chỗ dựa tinh thần cho con, động lực để học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Bùi Hồng Nhung MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khai triển giá trị p-adic số tự nhiên 1.1.1 Định lí 1.1.2 Bổ đề 1.2 Lý thuyết chia hết 1.3 Chuẩn p-adic 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Chuẩn p-adic 1.3.3 Định lí Ostrowski 1.4 Tính chất 𝑣𝑝 (𝑥 ) 1.4.1 Tính chất 1.4.2 Hệ 1.5 Bổ đề Helsel Chương GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA TỔNG SCHENKER 2.1 Tổng Schenker 2.1.1 Bổ đề 2.1.2 Mệnh đề 10 2.2 Giá trị 2-adic tổng Schenker 11 2.2.1 Giả thuyết 11 2.2.2 Bổ đề 11 2.2.3 Bổ đề 11 2.2.4 Bổ đề 14 2.2.5 Chứng minh giả thuyết 2.2.1 15 2.3 Giá trị p-adic tổng Schenker 15 2.3.1 Định lí 16 2.3.2 Định lí 16 2.3.3 Ví dụ 17 2.3.4 Ví dụ 18 2.3.5 Ví dụ 18 Chương SỐ NGUYÊN TỐ SCHENKER 19 3.1 Định nghĩa số nguyên tố Schenker 19 3.1.1 Định nghĩa 19 3.1.2 Định lí 19 3.1.3 Ví dụ 19 3.1.4 Định lí 20 3.1.5 Giá trị 5-adic số Schenker 20 3.2 Một số giả thuyết số nguyên tố Schenker 22 3.2.1 Giả thuyết 22 3.2.2 Giả thuyết 22 3.2.3 Định lí 22 3.2.4 Chứng minh định lí 23 3.2.5 Chứng minh giả thuyết 3.2.1 26 3.2.6 Kiểm tra giả thuyết 3.2.2 27 3.2.7 Một số câu hỏi mở tổng Schenker 27 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỘT SỐ KÍ HIỆU : Tập số tự nhiên * : Tập số tự nhiên khác : Tập số nguyên p : Vành số nguyên p-adic : Tập số hữu tỉ p : Trường số p-adic : Chuẩn trường K p : Chuẩn p-adic v p  x  : Giá trị p-adic x s p  n  : Tổng chữ số n khai triển p-adic n n n : Phần nguyên  p p   : Kết thúc phép chứng minh MỞ ĐẦU Cho 𝑥 số tự nhiên Theo định lí số học 𝑥 viết dạng: 𝑥 = ∏𝑝 𝑝𝑛𝑝 , 𝑝 số nguyên tố 𝑛𝑝 số tự nhiên, 𝑛𝑝 gọi giá trị p-adic 𝑥 kí hiệu 𝑣𝑝 (𝑥 ) Cho trước dãy số nguyên dương 𝑎𝑛 số nguyên tố 𝑝 Việc khảo sát, nghiên cứu giá trị p-adic 𝑣𝑝 (𝑎𝑛 ) toán thú vị Lý thuyết số thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học Dưới hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang, định chọn đề tài luận văn : “Giá trị p-adic số Schenker giả thuyết G McGarvey” Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị số học hàm giá trị trường đặc biệt trường số hữu tỉ ℚ Chương Giá trị p-adic tổng Schenker Chương trình bày tổng Schenker, giá trị 2-adic tổng Schenker đặc biệt giá trị p-adic tổng Schenker với p số nguyên tố lẻ Chương Số nguyên tố Schenker Chương trình bày định nghĩa số nguyên tố Schenker định lí liên quan Đặc biệt quan trọng, chương trình bày số giả thuyết số nguyên tố Schenker G McGarvey, số chứng minh kiểm chứng giả thuyết Mặc dù cố gắng nhiều, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp từ q thầy đọc giả Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho  x  , định lí số học x phân tích dạng 𝑥 = ∏𝑝 𝑝𝑛𝑝 tích lấy theo số nguyên tố p n p  với hầu hết n p  (trừ số hữu hạn) Với số nguyên tố p , số np công thức gọi giá trị p-adic x ký hiệu v p  x  Để tiện lợi ta qui ước v p  0   Bài toán xác định giá trị p-adic số dãy số toán quan trọng thú vị Lý thuyết số ta xác định giá trị p-adic số với p ta xác định phân tích số thành tích số ngun tố cho phép tính chuẩn p-adic số Mục đích luận văn nghiên cứu giá trị p-adic tổng Schenker Từ nghiên cứu tính chất số nguyên tố Schenker Trước hết ta bắt đầu với số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khai triển giá trị p-adic số tự nhiên 1.1.1 Định lí Cho x  thỏa: i) x  an  ;   n ii) an  an1 mod p ; iii)  an  p n p , x p  tồn dãy số tự nhiên an n1 Chứng minh * Chứng minh nhất: Giả sử có dãy 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛′ thỏa i), ii), iii) ta chứng minh 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛′ với n Giả sử ngược lại, tồn 𝑛0 để 𝑎𝑛0 ≠ 𝑎𝑛′ Vì ≤ 𝑎𝑛0 , 𝑎𝑛′ < 𝑝𝑛0 nên 𝑎𝑛0 ≠ 𝑎𝑛′ mod 𝑝𝑛0 Với 𝑛 ≥ 𝑛0 ta có 𝑎𝑛 ≡ 𝑎𝑛0 ≢ 𝑎𝑛′ ≡ 𝑎𝑛′ (mod 𝑝𝑛0 ) Suy ra: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 : 𝑎𝑛 ≢ 𝑎𝑛′ (mod 𝑝𝑛0 ) ⟺ |𝑎𝑛 − 𝑎𝑛′ |𝑝 > 𝑝−𝑛0 , đó: {𝑎𝑛 } ≠ {̅̅̅̅̅̅ lim (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛′ ) ≠ (mâu thuẫn với i)) Do đó: ̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑛′ } 𝑛→∞ * Chứng minh tồn tại: Để chứng minh tồn ta cần bổ đề sau: 1.1.2 Bổ đề Cho 𝑢0 ∈ ℚ, |𝑢0 | ≤ Với số tự nhiên 𝑛 ≥ 1, tồn số tự nhiên 𝑟, 𝑟 ∈ {0,1, … , 𝑝𝑛 − 1} thỏa |𝑢0 − 𝑟|𝑝 ≤ 𝑝−𝑛 Chứng minh bổ đề Cho 𝑢0 = 𝑎 𝑏 với (𝑎, 𝑏) = Vì |𝑢0 |𝑝 ≤ nên (𝑏, 𝑝) = 1, suy ra: (𝑏, 𝑝𝑛 ) = Do đó, tồn 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ để: 𝑏 𝑢 + 𝑝𝑛 𝑣 = Suy ra: 𝑣 = 𝑢 + 𝑝𝑛 𝑏 𝑝 đó: 𝑎 𝑣 |𝑢0 − 𝑎𝑢|𝑝 = | − 𝑎𝑢| = |𝑎| | − 𝑢| = |𝑎| | | |𝑝𝑛 | ≤ 𝑝−𝑛 𝑏 𝑝 𝑝 𝑝 Gọi r dư phép chia au cho 𝑝𝑛 , ta có: 𝑎𝑢 ≡ 𝑟 (mod 𝑝𝑛 ) 𝑟 ∈ {0,1, … , 𝑝𝑛 − 1} đó: |𝑢0 − 𝑟| = |𝑢0 − 𝑎𝑢 + 𝑎𝑢 − 𝑟| ≤ max{|𝑢0 − 𝑎𝑢|, |𝑎𝑢 − 𝑟|} ≤ 𝑝−𝑛 nên 𝑟 ′ ∈ {0,1, … , 𝑝𝑛 − 1} thỏa |𝑢0 − 𝑟| ≤ 𝑝−𝑛 Do đó: |𝑟 − 𝑟′| = |𝑟 − 𝑢0 + 𝑢0 − 𝑟′| ≤ max{|𝑟 − 𝑢0 |, |𝑢0 − 𝑟′|} ≤ 𝑝−𝑛 , suy ra: 𝑟 ≡ 𝑟 ′ (mod 𝑝𝑛 ) hay 𝑟 = 𝑟′ Ta có: 𝑥 ∈ ℚ𝑝 nên 𝑥 = {̅̅̅̅̅̅ 𝑏𝑛 } với {𝑏𝑛 } ⊂ ℚ Vì {𝑏𝑛 } ∈ ℚ dãy Cauchy nên với 𝑘 ≥ tồn 𝑁𝑘 dãy tăng cho |𝑏𝑛 − 𝑏𝑚 | ≤ 𝑝−𝑘 với 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁𝑘 15 v p  tm,p  pm    v p  tm, p  pm   2.2.5 Chứng minh giả thuyết 2.2.1 Để chứng minh giả thuyết 2.2.1, ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Giả sử n lẻ, giả sử n  2m  Khi   an    n  x  e x dx   1  x  e x dx   mod n 0 Nếu m chẵn  an   1  x  e x dx   mod m lẻ  an     x  e x dx  78  mod Điều chứng minh giả thuyết n lẻ Trường hợp 2: Giả sử n chẵn, giả sử n  2m Khi  a2 m    2m  x  e x dx    2m   2m 2 mk   x k e x 2m 2m k 0  k  m 2m   mk    2m  k !  k 0  k  Đặt tk   2m   2m 2 mk k !, theo bổ đề 2.2.4 với p = ta có  k  v  tk   v  2m  , k  2m Suy v  a2 m   v  t2 m   v   2m !  v  n!  n  sn 2.3 Giá trị p-adic tổng Schenker Trong phần 2.2, giá trị 2-adic tồng Schenker tính cách tường minh cơng thức rõ ràng Một câu hỏi đặt cách tự nhiên 16 p số nguyên tố lẻ, có cơng thức tính giá trị p-adic cho tổng Schenker hay không? Rất tiếc vấn đề câu hỏi mở mục trình bày số kết trả lời cho phần câu hỏi 2.3.1 Định lí Cho p số nguyên tố lẻ giả sử n = pm với m Khi đó: v p  an   n  sp n p 1 Chứng minh Xét biểu thức tích phân pm pm   pm   pm  pm  k pm  k k x a pm    pm x e dx  pm  k!         k 0  k  k 0  k  (2.11) đặt  pm  pm k tm , p  k     pm  k !   k  (2.12) số hạng (2.11) Ta có tm, p  mp    pm ! Theo bổ đề 2.2.4, ta có v p  tm, p  k    v p  tm, p  pm    v p  n! (2.13) v p  a pm   v p  n!  n  sp  n p 1 (2.14) Như vậy, p | n v p  an  tính cơng thức rõ ràng Trường hợp p ∤ n sao? Ta có kết sau đây: 2.3.2 Định lí Cho p số nguyên tố n = pm + r với < r < p Khi p an p ar  pm  Chứng minh Vì p   với  k  pm nên ta có k    x  n n  x  r pm x  r đó, theo bổ đề 2.1.1 ta có r r r   x pm  r pm   x  r    x pm  r m   x  r  ; 17 an     n  x  n  e x dx  x pm  r m   x  r  e x dx r r  r    r r  j   x pm  r m x j e x dx j 0  j  r r    r r  j  pm  j ! r m j ! j 0  j  r r    r mr  j j ! j 0  j  r    r m j  r  j ! j 0  j  r r r!  rm  r j j 0 j !  r mar mod p 𝑝|𝑎𝑛 ⇔ 𝑝|𝑎𝑟 Nhờ định lí 2.3.2, ta có nhận xét rằng, p ∤ ar  r  0,1,2, , p  1 p ∤ an với n Hay nói cách khác, v p  ar   với r  0,1,2, , p  v p  an   với n Khi vấn đề tính v p  an  giải xong Vấn đề đặt ra: Khi khả xảy Ta xét vài ví dụ p số nguyên tố nhỏ: 2.3.3 Ví dụ Cho p = Theo định lí 2.3.1 ta có v3  a3n   3n  s3  n  (2.15) Giả sử n = 3m + r với r = 1, Khi an ar Ta có a1  khơng chia hết cho a2  10 Vì khơng chia hết an với n 18 Tóm lại, 𝑣3 (𝑎3𝑛 ) = { (𝑛 − 𝑠3 (𝑛)) 𝑛 ≡ mod 𝑛 ≢ mod (2.16) 2.3.4 Ví dụ Cho p = Đây vấn đề khó khăn bắt đầu với trường hợp đơn giản Định lí 2.3.1 đảm bảo v5  a5n    n  s5  n  (2.17) Theo định lí 2.3.2 từ số a1  2, a3  78, a4  824 không chia hết cho 5, cố định v5  an   n  1,3,4 mod (2.18) Còn lại trường hợp v5  a5n2  ta thảo luận chi tiết phần sau 2.3.5 Ví dụ Cho p = Bởi sáu số a1  2, a2  10, a3  78, a4  824, a5  10970 , a6  176112 không chia hết cho 7, (𝑛 − 𝑠7 (𝑛)) 𝑣7 (𝑎𝑛 ) = { 𝑛 ≡ mod 𝑛 ≢ mod Một phép tính trực tiếp giá trị a j mod 11 chứng minh a j không chia hết cho 11 với  j  11 Vì (𝑛 − 𝑠11 (𝑛)) 𝑛 ≡ mod 11 𝑣11 (𝑎𝑛 ) = { 10 𝑛 ≢ mod 11 Trường hợp p = 13 tương tự trường hợp p = 13 chia hết a3  78 19 Chương SỐ NGUYÊN TỐ SCHENKER Các kết mục trước v p  an  hồn tồn tính cơng thức p số nguyên tố không thỏa điều kiện sau: “Tồn  r  p  để p | ar ” Số nguyên tố thỏa điều kiện gọi số nguyên tố Schenker cụ thể sau: 3.1 Định nghĩa số nguyên tố Schenker 3.1.1 Định nghĩa Số nguyên tố p gọi số nguyên tố Schenker tồn  r  p  để p | ar Từ định lí 2.3.1, 2.3.2 ta có kết sau: 3.1.2 Định lí Nếu p số ngun tố khơng Schenker 𝑛 − 𝑠𝑛 𝑣𝑝 (𝑎𝑛 ) = { 𝑝 − 𝑝|𝑛 𝑝 ∤ 𝑛 Chứng minh Suy từ định lí 2.3.1 3.1.3 Ví dụ Số nguyên tố số nguyên tố Schenker chia hết a2  2.5 Số nguyên tố 17 số nguyên tố Schenker Kết phân tích thành thừa số nguyên tố số ar với  r  16 a1  a2  2.5 a  2.3.13 a4  23.103 a5  2.5.1097 a6  24.32.1223 a7  2.5.7.41.1153 a8  27.556403 a9  2.34.149.163.439 a10  28.52.7281587 a11  2.11.9431.6672571 a12  210.35.53.1443613 a13  2.13.179.339211523363 a14  211.72.595953719897 a15  2.36.53.317.13103 a16  215.13.179.116371.11858447 20 Số nguyên tố 17 không xuất phân tích thành thừa số nguyên tố nên khơng phải số ngun tố Schenker Danh sách tất số nguyên tố Schenker 200 {5,13,23,31,37,41,43,47,53,59,61,71,79,101,103, 107,109,127,137,149,157,163,173,179,181,191,197,199} Một vấn đề đặt tập số nguyên tố Schenker nào, hữu hạn hay vơ hạn Định lí sau trả lời cho câu hỏi trên: 3.1.4 Định lí Có vơ hạn số nguyên tố Schenker Chứng minh Giả sử có hữu hạn số nguyên tố Schenker, đặt p1 , , ps tất số nguyên tố lẻ theo thứ tự tăng dần Vì a1  nên theo định lí 2.3.2 suy p1 , , ps ∤ a p p 1 Đặt t : p1 ps  , rõ ràng số chẵn s Ta có 𝑡 𝑡𝑗 2𝑡! ≤ 𝑡! ∑ = 𝑎𝑡 = ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) 𝑗! 𝑗=0 𝑝 * = ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑎𝑡 )  ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) = ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑡!) ≤ 𝑡! 𝑝 𝑝|𝑡 𝑝 𝑝∤𝑡 𝑝 𝑝|𝑡 𝑝|𝑡 (*): 𝑝 ∤ 𝑡 suy 𝑝 = 𝑝𝑖 số nguyên tố Schenker 𝑝 ∤ 𝑎𝑡 nên 𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) = 0, 𝑝 ≠ 𝑝𝑖 𝑝 khơng số ngun tố Schenker, theo định nghĩa ta có 𝑝 ∤ 𝑎𝑡 , 𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) = 3.1.5 Giá trị 5-adic số Schenker Cho n số tự nhiên, giả sử khai triển 5-adic n là: n  x0  x15  x2 52   xn 5n  Khi tính tốn trực tiếp, tác giả Tewodros Amdeberhan, David Callan, and Victor H Moll báo [1] đưa kết sau: 21 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = (𝑛 − 𝑠5 (𝑛)) 𝑥0 = {1,3,4 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = phụ thuộc vào 𝑥1 Các bước 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = phụ thuộc vào 𝑥2 ≠2 𝑥0 = 𝑥1 = { 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = phụ thuộc vào 𝑥3 ≠0 𝑥0 = 2, 𝑥1 = 𝑥2 = { 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = phụ thuộc vào 𝑥4 ≠4 𝑥0 = 2, 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 𝑥3 = { Kết biểu diễn dạng sau: n x0  x0  0, 2 x0   n  s5  n  v5  an   ?? x1  x1  v5  an   ?? x2  x2  v5  an   ?? x3  x3  v5  an   ?? Cây giá trị với p = 22 3.2 Một số giả thuyết số nguyên tố Schenker Đầu tiên ta xét p = số nguyên tố Schenker, giá trị 5-adic số nguyên tố Schenker Từ kết 3.1.5, tác giả đưa giả thuyết sau giá trị 5-adic số nguyên tố Schenker 3.2.1 Giả thuyết Giả sử tồn số nguyên dương nk nhỏ k 5k cho | am.5k n , m  Khi đó, tồn số k nk 1 nk ,5k  nk ,2.5k  nk ,3.5k  nk ,4.5k  nk  cho 5k 1 | am.5k 1 n 1, m  k Nói cách khác, với k  , bất đẳng thức v5  an   k có nghiệm n (mod 5k ) với ∤ n Sau đó, tổng quát giả thuyết cho số nguyên tố Schenker bất kỳ, tác giả đưa giả thuyết sau: 3.2.2 Giả thuyết Cho p số nguyên tố Schenker lẻ Khi với k tồn nghiệm mod pk bất đẳng thức v p  an   k cho không đồng dư với mod p Trong phần luận văn này, chúng tơi trình bày kết Piotr Miska báo [5] nhằm đưa lời giải giả thuyết 3.2.1 3.2.2 Trước hết, ta có định lí sau: 3.2.3 Định lí Cho p số nguyên tố, với nk  cho p ∤ nk , p k | ank đặt qnk , p : ank  p  ank  nk  p  k nkpnk 2 n 2 đó:   Nếu qn , p ≢ mod p k p k 1 | ank 1 nk 1  nk  tồn số nk 1 mod p k 1 thỏa  mod p  ; k 23    Nếu qn , p  mod p p k 1 | an p k 1 | an k  k k 1 với nk 1 thỏa  k mãn nk 1  nk mod p ;    Nếu qn , p  mod p p k 1 ∤ an p k 1 ∤ an 1 với nk 1 thỏa k  k k  k mãn nk 1  nk mod p   Hơn nữa, p ∤ n1 , p | an qn , p ≢ mod p với k  1 * , bất đẳng thức v p  an   k có nghiệm nk (mod p k ) thỏa mãn nk  n1  mod p  3.2.4 Chứng minh định lí Đầu tiên, ta chứng minh với cặp số nguyên dương d, n nguyên tố Sự chia hết an cho d tương đương với chia hết an mod p cho d n! j n n j j 1 Ta có: an   n   n   n  i  j 0 j ! j 0 i 0 n * d 1  n n j j 0 j 1 n  i  n nd  i 0 d 1 n j 0 d  j 2 j 1   n  i   mod d  (3.1) i 0 đó, tương đương (*) suy từ kết tích d số nguyên liên tiếp chia hết cho d với d  * ta định nghĩa d 1 j 1 j 0 i 0 f d  X  :  X d  j 2   X  i  Với kí hiệu (3.1) viết lại sau: an  nnd 2 f d  n   mod d  Cho r  n  mod d  Nếu d , n ngun tố an  nnd 2 f d  n    mod d   f d  n    mod d  (3.2) 24  f d  r    mod d   ar  r r d 2 f d  r    mod d  Nếu d  p k với p số nguyên tố k số nguyên dương (3.2) trở thành an  n n p k 2 f pk  n   mod p k  (3.3)   Vì vậy, 𝑝 ∤ 𝑛, v p  an   k v p f pk  n   k Ngoài ra, với k1 , k2  n n p mà k1  k2 k1 2 f p k1  n   n n p k2 2 f pk2  n   mod p k1  Do đó, 𝑝 ∤ 𝑛 k1  k2 p k1 | f pk2  n   p k1 | f pk1  n    p Giả sử 𝑘 > 1, theo định lí nhỏ Fermat n  n  mod p  kết k tích p số nguyên liên tiếp chia hết cho 𝑝, ta có j 1 j 1 j 1   k k f ' pk  n     p k  j   n p  j 3   n  i   n p  j 2    n  i  j 0  h0 i 0,i  h i 0  p k 1 j 1 j 1 j 1    j 2  j 1     j   n   n  i   n    n  i   mod p  j 0  h 0 i 0,i  h i 0  p 1 Suy ra: f ' p Nếu f  k1  n  f ' pk2  n   mod p  với 𝑘1 , 𝑘2 > 𝑝 ∤ 𝑛  X  với x0  , tồn g  (3.4)  X  cho f  X   f  x0    X  x0  f '  x0    X  x0  g  X  Từ (3.3), áp dụng đẳng thức với f  f p , x0  n X  n  p ta có an p n  p n p  p  2  an n n p   f p2  n  p   f p2  n   pf p'  n   mod p  Nếu 𝑝 ∤ 𝑥, theo định lí Euler x p p   mod p  ta có (3.5) 25 an p n  p n  an n n p   pf p'  n   mod p  Do  an p an      f p'  n   mod p  n2 n  p   p   n  p  n  Từ kết ta có  an  p an  f  n    mod p        mod p  p   n  p n n n p   ' p2  an p n  p n  a n n n p 2 a n  p  an p  n n p  n  an p  an  n  p  Bây giả sử p k | an với nk  k n2 n (3.6)   mod p    mod p  n pn2   mod p  không chia hết cho 𝑝 ank  p  ank  nk  p  k nkpnk 2   mod p  n 2 ' ' Khi 𝑝 ∤ f p2  nk  , theo (2.5) 𝑝 ∤ f pk 1  nk  Theo bổ đề với f  f p , tồn k 1 nk 1  (mod p k 1 ) thỏa mãn p k 1 | an k 1 nk 1  nk  mod p k  Bằng cách qui nạp theo 𝑘, chứng minh nhận xét: Nếu 𝑝 ∤ 𝑛1 𝑝|𝑎𝑛1 đồng thời an1  p  an1  n1  p  n1pn1 2   mod p  n 2 tồn 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ) cho 𝑝𝑘 |𝑎𝑛𝑘 , 𝑛𝑘 ≡ 𝑛1 (mod 𝑝) ank  p ank   an1  p an1  1         mod p  p   nk  p nk  nknk  p   p   n1  p n1  n1n1  p   26 Thật vậy, nhận xét với 𝑘 = Nếu tồn 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ) thỏa mãn điều kiện tồn 𝑛𝑘+1 (mod 𝑝𝑘+1 ) cho 𝑝𝑘+1 |𝑎𝑛𝑘+1 , 𝑛𝑘+1 ≡ 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ) Kết hợp (3.6) ta ank 1  p ank 1  1     f p' k 1  nk 1   f p' k 1  nk  nk 1  nk  p   p   nk 1  p  nk 1  ank  p ank   an1  p an1  1         mod p  p   nk  p nk  nknk  p   p   n1  p n1  n1n1  p   Tóm lại, thấy trường hợp phát biểu định lí chứng minh Bây chúng tơi chứng minh phần cịn lại   k Cho 𝑝 ∤ 𝑛𝑘 , p k | an ank  p  ank  nk  p  nkp nk 2  mod p Áp n 2 k dụng bổ đề Helsel (1.5) ta có: +Nếu 𝑝𝑘+1 |𝑎𝑛𝑘 𝑝𝑘+1 |𝑎𝑛 với 𝑛 ≡ 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ); +Nếu 𝑝𝑘+1 ∤ 𝑎𝑛𝑘 𝑝𝑘+1 ∤ 𝑎𝑛 với 𝑛 ≡ 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ) Do đó, định lí chứng minh hồn tồn Chú ý Từ định lí 3.2.3, ta dễ dàng chứng minh giả thuyết G McGarvey Thật vậy, 𝑞1,2 = 𝑎3 − 𝑎1 31+2 12−1−2 = 78 − 2.27 = 24 ≡ (mod 4) 𝑎1 = nên ∤ 𝑛 𝑣2 (𝑎𝑛 ) = Từ định lí 3.2.3 ta dễ dàng kiểm tra tính đắn giả thuyết 3.2.1 3.2.5 Chứng minh giả thuyết 3.2.1 Áp dụng định lí 3.2.3 để chứng minh giả thuyết 3.2.1 ta cần kiểm tra 𝑞2,5 ≢ (mod 52 ) Bằng tính tốn trực tiếp ta có 𝑎7 = 3309110 nên 𝑞2,5 = 3261090 ≡ 15 ≢ (mod 52 ) Do đó, giả thuyết 3.2.1 chứng minh 27 3.2.6 Kiểm tra giả thuyết 3.2.2 Giả thuyết 3.2.2 với số nguyên tố Schenker p = (chứng minh giả thuyết 3.2.1) Tương tự, giả thuyết 3.2.2 với p = 13 Để chứng minh, theo định lí 3.2.3 ta cần kiểm tra 𝑞3,13 ≢ (mod 132 ) Thật vậy, tính tốn trực tiếp ta 𝑞3,13 = 52 (mod 132 ) Vậy giả thuyết 3.2.2 với p = 13 Áp dụng định lí 2.3.2 tính tốn trực tiếp ta có: 37 ∤ 𝑛, 37|𝑎𝑛 ⇔ 𝑛 ≡ 25 (mod 37) Mặt khác, 𝑞25,37 = 𝑎62 − 𝑎25 6227 2510 ≡ (mod 372 ) 𝑎25 ≡ 851 = 23.37 (mod 372 ) nên theo định lí 3.2.3 trường hợp 3) ta có 𝑣37 (𝑎𝑛 ) = với 𝑛 ≡ 25 (mod 37) Suy giả thuyết 3.2.2 không 3.2.7 Một số câu hỏi mở tổng Schenker Câu hỏi 1: Tồn hay không số nguyên tố Schenker 𝑝 lớn 37 cho có số n * mà 𝑝 ∤ 𝑛, 𝑝|𝑎𝑛 𝑞𝑛,𝑝 ≡ (mod 𝑝2 )? Câu hỏi 2: Có vơ số số ngun tố mà khơng phải số nguyên tố Schenker không? 28 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày số kết giá trị p-adic tổng Schenker số nguyên tố Schenker Luận văn tính giá trị 2-adic tổng Schenker công thức tường minh Luận văn nêu số giả thuyết G McGarvey số nguyên tố Schenker, giả thuyết 2.2.1, giả thuyết 3.2.1 giả thuyết 3.2.2 Luận văn chứng minh giả thuyết 2.2.1 giả thuyết 3.2.1 Tuy nhiên, kiểm chứng giả thuyết 3.2.2 ta thấy giả thuyết không p  37 Luận văn nêu tất số nguyên tố Schenker 200 Luận văn chứng minh có vơ số số ngun tố Schenker Vì vậy, đọc giả dựa định nghĩa số nguyên tố Schenker mà tìm thêm nhiều số nguyên tố Schenker lớn 200 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tewodros Amdeberhan, David Callan, and Victor H Moll, P-adic analysis and combinatorics of truncated exponential sums, Mathematics Subject Classification, June 9, 2012 [2] T Amdeberhan, D Manna, and V Moll, The 2-adic valuation of Stirling numbers, Experimental Mathematics, 17:69-82, 2008 [3] A Berribeztia, L Medina, A Moll, V Moll, and L Noble, The p-adic valuation of Stirling numbers, Journal for Algebra and Number Theory Academia, 1:1-30, 2010 [4] K Ireland and M Rosen (1982), A Classical Introduction to Modern Theory, Springer, New York [5] Piotr Miska (Kraków), A note on p-adic valuations of Schenker sum, Mathematics Subject Classification, 2010 ... MỘT SỐ KÍ HIỆU : T? ?p số tự nhiên * : T? ?p số tự nhiên khác : T? ?p số nguyên p : Vành số nguyên p- adic : T? ?p số hữu tỉ p : Trường số p- adic : Chuẩn trường K p : Chuẩn p- adic v p  x  : Giá trị p- adic. .. chuẩn bị số học hàm giá trị trường đặc biệt trường số hữu tỉ ℚ Chương Giá trị p- adic tổng Schenker Chương trình bày tổng Schenker, giá trị 2 -adic tổng Schenker đặc biệt giá trị p- adic tổng Schenker. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung GIÁ TRỊ P- ADIC CỦA SỐ SCHENKER VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104