số lelong và lý thuyết cắt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Chiến SỐ LELONG VÀ LÝ THUYẾT CẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Chiến SỐ LELONG VÀ LÝ THUYẾT CẮT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU T T CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T 1.1 Hàm chỉnh hình  n T T 1.1.1 Định nghĩa ([Ad]) T T 1.1.2 Bổ đề Osgood ([Ad]) T T 1.1.3 Định nghĩa ([Ad]) T T 1.2 Hàm đa điều hòa T T 1.2.1 Định nghĩa hàm đa điều hòa ([Kli]) T T 1.2.2 Ví dụ ([Kli]) T T 1.2.3 Định nghĩa: T T 1.2.4 Định nghĩa: T T 1.2.5 Định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hòa ([Kli]) 10 T T 1.2.6 Hệ ([Kli]) 10 T T 1.2.7 Hệ ([Kli]) 10 T T 1.2.8 Hệ ([Kli]) 10 T T 1.2.9 Nguyên lý cực đại cho hàm đa điều hòa ([Kli]) 10 T T 1.2.10 Định lý ([Kli]) 10 T T 1.3 Phân bố 11 T T 1.3.1 Không gian hàm thử ([Kli]) 11 T T 1.3.2 Mệnh đề 11 T T 1.4 Đa tạp phức 11 T T 1.4.1 Định nghĩa ([Ad]) 11 T T 1.4.2 Định nghĩa ([Ad]) 12 T T 1.4.3 Định nghĩa ([Ad]) 12 T T 1.4.4 Định nghĩa ([FG]) 12 T T 1.4.5 Định nghĩa ([Ad]) 12 T T 1.4.6 Định nghĩa ([FG]) 13 T T 1.4.7 Định lý (Nguyên lý đồng nhất) ([Kli]) 13 T T 1.4.8 Định lý (Nguyên lý cực đại) ([Kli]) 13 T T 1.5 Đa tạp Stein 13 T T 1.5.1 Định nghĩa ([De2]) 13 T T 1.5.2 Định nghĩa ([De2]) 14 T T 1.5.3 Định lý ([De2]) 14 T T 1.5.4 Định nghĩa ([De2]) 14 T T 1.5.5 Định lý ([De2]) 14 T T 1.5.6 Định nghĩa ([De2]) 14 T T 1.5.7 Định lý ([De2]) 15 T T 1.5.8 Mệnh đề ([De2]) 15 T T 1.6 Dạng vi phân đa tạp phức 15 T T 1.6.1 Định nghĩa ([De2]) 15 T T 1.6.2 Các toán tử vi phân ([De2]) 16 T T 1.6.3 Không gian dạng vi phân ([Kli]) 17 T T 1.6.4 Các phép toán dạng vi phân ([De2]) 17 T T 1.6.5 Công thức Stokes ([De2]) 18 T T 1.6.6 Công thức tích phân phần ([De2]) 18 T T 1.7 Dạng vi phân dương 18 T T 1.7.1 Định nghĩa ([De2]) 18 T T 1.7.2 Mệnh đề ([De2]) 18 T T 1.7.3 Định nghĩa ([De2]) 18 T T 1.7.4 Định nghĩa ([De2]) 19 T T 1.7.5 Mệnh đề ([De2]) 19 T T 1.8 Dòng 19 T T 1.8.1 Định nghĩa ([Kli]) 19 T T 1.8.2 Ví dụ ([Kli]) 20 T T 1.8.3 Định nghĩa ([Kli]) 20 T T 1.8.4 Đạo hàm tích ([De2]) 20 T T 1.8.5 Công thức Stokes ([De2]) 21 T T 1.8.6 Công thức tích phân phần ([Blo]) 21 T T 1.9 Dòng dương 21 T T 1.9.1 Định nghĩa ([LG]) 21 T T 1.9.2 Định lý ([LG]) 21 T T 1.9.3 Định lý ([LG]) 21 T T 1.9.4 Định lý ([LG]) 21 T T 1.9.5 Định lý ([LG]) 21 T T 1.9.6 Định nghĩa ([De1]) 22 T T 1.10 Dòng dương đóng 22 T T 1.10.1 Định nghĩa ([LG]) 22 T T 1.10.2 Định lý ([LG]) 22 T T 1.11 Đa tạp Hermit đa tạp Kahler ([De2]) 22 T T 1.12 Tập giải tích phức ([De2]) 23 T T CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ MONGE – AMPERE VÀ SỐ LELONG MỞ RỘNG 27 T T 2.1 Toán tử Monge - Ampere mở rộng ([De1]) 27 T T 2.1.1 Mệnh đề ([De1]) 27 T T 2.1.2 Định nghĩa ([De1]) 28 T T 2.1.3 Định lý (Bất đẳng thức Chern – Levine – Nirenberg) ([De1]) 29 T T 2.1.4 Hệ ([De1]) 29 T T 2.1.5 Định lý ([De1]) 30 T T 2.1.6 Bổ đề ([De1]) 31 T T 2.1.7 Hệ ([De1]) 32 T T 2.1.8 Mệnh đề ([De1]) 33 T T 2.1.9 Mệnh đề ([De1]) Giả sử: 34 T T 2.1.10 Hệ ([De1]) 35 T T 2.1.11 Mệnh đề ([De1]) 35 T T 2.1.12 Định lý ([De1]) 36 T T 2.1.13 Mệnh đề ([De1]) 36 T T 2.1.14 Hệ ([De1]) 36 T T 2.1.15 Hệ ([De1]) 36 T T 2.2 Số Lelong suy rộng 36 T T 2.2.1 Định nghĩa ([De1]) 37 T T 2.2.2 Định nghĩa ([De1]) 37 T T 2.2.3 Công thức ([De1]) 37 T T 2.2.4 Mệnh đề ([De1]) 39 T T 2.2.5 Định nghĩa ([De1]) 40 T T 2.2.6 Công thức Lelong – Jensen ([De1]) 41 T T 2.2.7 Định lý (Định lý so sánh số LeLong thứ nhất) ([De1]) 42 T T 2.2.8 Định lý (Định lý so sánh số LeLong thứ hai) ([De1]) 43 T T 2.2.9 Hệ ([De1]) 43 T T 2.3 Định lý phân tích Siu 44 T T 2.3.1 Định nghĩa 44 T T 2.3.2 Định nghĩa 44 T T 2.3.3 Định lý 44 T T 2.3.4 Bổ đề 45 T T 2.3.5 Hệ 45 T T 2.3.6 Định lý phân tích Siu 46 T T CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA SỐ LELONG TRONG LÝ THUYẾT SỐ 47 T T 3.1 Mệnh đề ([De1]) 48 T T 3.2 Định lý ([De1]) 49 T T 3.3 Bổ đề (Bổ đề Schwarz) ([De1]) 50 T T 3.4 Hệ ([De1]) 52 T T 3.5 Định lý ( Bombieri) ([De1]) 53 T T 3.6 Bổ đề ([De1]) 54 T T CHƯƠNG 4: LỚP GIAO (CẮT) TOÀN CỤC VÀ TỰ CẮT 55 T T 4.1 Định lý ([De1]) 63 T T 4.2 Định lý ([De1]) 64 T T 4.3 Hệ ([De1]) 65 T T 4.4 Định lý ([De1]) 66 T T 4.5 Hệ ([De1]) 67 T T KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 68 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 T T MỞ ĐẦU Số Lelong công cụ để nghiên cứu hình học vi phân phức lý thuyết đa vị Trong trường hợp đơn giản nhất, số Lelong cấp hàm chỉnh hình tập mở U ⊂  Theo định nghĩa cổ điển Lelong đưa ra, số Lelong dòng dương đóng T bậc p Ω ⊂  n x ∈ Ω xác định bởi: v (T , x ) lim = r →0+ r2 p ∫B( x,r ) ( T ∧ dd c z ) p Trong [De1], Demailly tổng quát số Lelong cho dòng dương đóng T song chiều ( p, p ) với khối ϕ = v (T , ϕ ) lim ∫ r →−∞ ϕ −1 hàm nửa vét kiệt: ( ( −∞,r )) ( T ∧ dd cϕ ) p Mục đích luận văn trình bày định nghĩa tính chất số Lelong suy rộng Demailly đưa trên, qua nêu ứng dụng chúng Lý thuyết số Lý thuyết cắt Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị U U Chương 2: Trình bày toán tử Monge – Ampere số Lelong suy rộng U U Chương 3: Trình bày ứng dụng số Lelong Lý thuyết số U U Chương 4: Trình bày ứng dụng số Lelong Lý thuyết cắt U U Luận văn trình bày dựa [De1], [De2] Cảm ơn tác giả TS Nguyễn Văn Đông tận tình hướng dẫn giúp đỡ để luận văn hoàn thành Tp Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 12 năm 2011 Người thực Nguyễn Quốc Chiến CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình  n 1.1.1 Định nghĩa ([Ad]) Hàm giá trị phức f xác định tập mở Ω ⊂  n gọi chỉnh hình Ω điểm a = ( a1 , a2 , , an ) ∈ Ω có lân cận mở U ⊂ Ω cho f có khai triển chuỗi lũy thừa: ∞ ∑ = f ( z) i1 ,i2 , ,in = hội tụ= với z ci1i2 in ( z1 − a1 ) ( z2 − a2 ) ( zn − an ) n (1) i i i ( z1 , z2 , , zn ) ∈ U Tập tất hàm chỉnh hình Ω ký hiệu O ( Ω ) Nếu = I n , z ( z1 , z2 , , zn ) ∈  n ( i1 , i2 , , in ) ∈ = Khi (1) viết dạng:= f ( z) ta định nghĩa: z I = z1i1 z2i2 znin ∑c ( z − a) I I I 1.1.2 Bổ đề Osgood ([Ad]) Nếu hàm giá trị phức f liên tục tập mở Ω chỉnh hình biến chỉnh hình Ω 1.1.3 Định nghĩa ([Ad]) Ánh xạ f = ( f1 , f , , f m ) : Ω →  m gọi ánh xạ chỉnh hình fi chỉnh hình với i = 1, 2, , m 1.2 Hàm đa điều hòa 1.2.1 Định nghĩa hàm đa điều hòa ([Kli]) Cho tập mở Ω ⊂  n u : Ω → [ −∞, ∞ ) hàm nửa liên tục không đồng −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa Ω với a ∈ Ω, b ∈  n hàm λ  u ( a + λb ) điều hòa đồng −∞ thành phần liên thông tập {λ ∈  : a + λb ∈ Ω} Họ tất hàm đa điều hòa Ω ký hiệu PSH ( Ω ) 1.2.2 Ví dụ ([Kli]) Nếu f ∈ O ( Ω ) log f ∈ PSH ( Ω ) 1.2.3 Định nghĩa:  −1t Đặt h :  → hàm xác định h ( t ) = e , t > 0 , t ≤ Dễ thấy h ∈ C ∞ (  ) ( Ta định nghĩa: χ= ( x ) C.h − x ) C = ( ) Dễ thấy χ ∈ C ∞  ∞ supp χ = B ( 0,1) , Với ε > , ta định nghĩa: χε ( x ) = Dễ thấy: (∫ ( B ( 0,1) h 1− x ) dx ) −1 ∫ χ ( x ) dx = x Khi χε gọi nhân trơn χ ε m  ε  ∫ χε ( x ) dx = supp χε = B ( 0, ε ) Cho tập mở Ω ⊂  m Nếu Ω ≠  m ta đặt: Ω= ε { x ∈ Ω : d ( x, ∂Ω ) > ε } với ε > Nếu Ω = m Ωε = m 1.2.4 Định nghĩa: ( ) Nếu u , v ∈ L1  m tích chập u * v u v định nghĩa sau: v )( x ) ∫ u ( x − y ) v ( y ) dy ( u *=  m ( ) Dễ thấy u * v = v * u Ngoài ra, tích chập u * v định nghĩa tốt u ∈ L1loc  m v ∈ L1 (  m ) , v có giá compact 1.2.5 Định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hòa ([Kli]) Cho tập mở Ω ⊂  n u ∈ PSH ( Ω ) Nếu ε > Ωε ≠ ∅ uε = u * χε ∈ C ∞  PSH ( Ωε ) Ngoài ra, uε đơn điệu giảm ε giảm limuε ( x ) = u ( x ) với x ∈ Ω ε →0 1.2.6 Hệ ([Kli]) Cho Ω Ω ' tập mở  n  m Nếu u ∈ PSH ( Ω ) f : Ω ' → Ω ánh xạ chỉnh hình u  f đa điều hòa Ω ' 1.2.7 Hệ ([Kli]) Nếu Ω tập mở  n PSH ( Ω ) ⊂ SH ( Ω ) ⊂ L1loc ( Ω ) 1.2.8 Hệ ([Kli]) Nếu u , v ∈ PSH ( Ω ) u = v hầu khắp nơi Ω u ≡ v 1.2.9 Nguyên lý cực đại cho hàm đa điều hòa ([Kli]) Nếu Ω tập mở liên thông bị chặn  n u ∈ PSH ( Ω ) u = const u ( x ) < sup u * ( y ) y∈∂Ω 1.2.10 Định lý ([Kli]) Cho Ω tập mở  n Khi đó: (1) Họ PSH ( Ω ) nón lồi (2) Nếu Ω liên thông {u j } j∈ ⊂ PSH ( Ω ) dãy giảm u = lim u j ∈ PSH ( Ω ) j →∞ u ≡ −∞ (3) Nếu u : Ω →  {u j } j∈ ⊂ PSH ( Ω ) hội tụ địa phương đến u u ∈ PSH ( Ω ) (4) Cho {uα }α∈A ⊂ PSH ( Ω ) cho u = sup uα bị chặn địa phương α ∈A CHƯƠNG 4: LỚP GIAO (CẮT) TOÀN CỤC VÀ TỰ CẮT Lý thuyết cắt vừa nhánh Hình học đại số, đa tạp cắt đa tạp đại số, vừa nhánh Tô-pô đại số, nơi phần giao (cắt) tính vành đối đồng điều William Fulton viết Lý thuyết giao (cắt) (1984) sau: “… A B đa tạp đa tạp không kỳ dị X, tích gaio A.B lớp tương đương xích đại số có liên hệ chặt chẽ với môn hình học nghiên cứu A ∩ B , A B X Hai trường hợp cực đoan quen thuộc Trường hợp phần cắt thực (proper), nghĩa dim( A ∩ B= ) dim A + dim B − dim X A.B tổ hợp tuyến tính thành phần bất khả quy A ∩ B , với hệ số số bội giao (cắt) Trường hợp A = B đa tạp không kỳ dị, công thức tự cắt A.B lớp Chern bậc cao bó vectơ A X” Trong chương trình bày số kết hai trường hợp Trước hết ta trình bày số kiến thức có liên quan Nhóm đối đồng điều De Rham ([De2]) Nhắc lại phức đối đồng điều K • với K p mô-đun vành đó, trang bị vi phân, nghĩa là, ánh xạ tuyến tính d p : K p → K p +1 cho d p +1  d P = Các mô-đun đối xích (đối dây chuyền), đối bờ, đối đồng điều Z p ( K • ) , B p ( K • ) H p ( K • ) định nghĩa sau Z p (K • ) = Kerd p : K p → K p +1 , Z p ( K • ) ⊂ K p B p (= K • ) Im d p −1 : K p −1 → K p , B p ( K • ) ⊂ Z p ( K • ) ⊂ K p H p (K • ) = Z p (K • ) / B p (K • ) Cho X đa tạp khả vi thuộc lớp C ∞ Phức De Rham X định nghĩa phức= K p C ∞ ( X , Λ pTX* ) với vi phân trang bị đạo hàm d p = d K p = {0} , d p = với p < Ta ký hiệu Z p ( X ,  ) đối xích ( p-dạng đóng) B p ( X ,  ) đối bờ (các p-dạng khớp) Ta quy ước B ( X ,  ) = {0} Nhóm đối đồng điều De Rham bậc p p H DR ( X ,  ) = Z p(X , ) / Bp(X , ) p Để đơn giản ta ký hiệu H DR ( X ,  ) = H p ( X , ) Ở  để nhấn mạnh p-dạng vi phân p lấy giá trị thực Ta giới thiệu nhóm tương tự H DR ( X ,  ) dạng lấy giá trị p p phức, nghĩa dạng lấy giá trị  ⊗ Λ pTX* tức H DR ( X ,  )=  ⊗ H DR (X , ) Ta có H DR ( X ,  ) đồng với không gian hàm địa phương X, ( X ,  ) = π ( X ) , với π ( X ) tập thành phần liên thông X H DR p Nhóm đối đồng điều De Rham với giá compact H DR ) = Z cp ( X , ) / Bcp ( X , ) , c ( X ,  tương ứng với phức De Rham K p Cc∞ ( X , Λ pTX* ) dạng vi phân trơn với giá compact = Cho X đa tạp khả vi paracompact n chiều Xét phép giải j d d → ε  → ε → → ε q  → ε q +1 → ε n → 0 →   q cho đạo hàm d tác động lên bó mầm dạng vi phân lớp C ∞ bậc q  q Theo định lý đẳng cấu DeRham- Weil có đẳng cấu H DR ( X ,  )  → H q(X , ) từ đối đồng điều De Rham lên đối đồng điều với giá trị bó  Thay sử dụng dạng C ∞ vi phân, ta xét phép giải  cho đạo hàm d tác động lên dòng d d →   → Dn'  → Dn' −1 → → Dn' − q  → Dn' − q −1 → D0' ε n →  Ta có đẳng cấu H q ( Dn' −• ( X ))  → H q(X , ) Định lý đối ngẫu PoinCaré ([De2]) Nếu M đa tạp đóng định hướng n chiều nhóm đối đồng điều thứ k M đẳng cấu với nhóm đồng điều thứ n – k M với k: H k ( M ) ≅ H n − k ( M ) (ở đồng điều đối đồng điều lấy vành số nguyên, đẳng cấu với vành hệ số) Tích hợp (Cup product) ([De2]) Nếu c p- đối xích c ' q- đối xích tích hợp c c’ p+q - đối xích c ∪ c ' xác định bởi: (c ∪ c ')α0 α p + q = cα0 α p ⊗ c 'α p α p + q U α0 α p + q = U α0 ∩ U α1 ∩ ∩ U α p + q Tích hợp có số tính chất: c ∪ c ' =− ( 1) p + q (c '∪ c) , ( c ∪ c ') ∪ c '' =c '∪ (c '∪ c '') δ p + q ( c ∪ c= ') δ p c ∪ (−1) p c ∪ (δ q c ')  q Từ đẳng cấu De Rham Weil H q ( X ,  → H DR )  ( X , ) ta có tích hợp c '∪ c '' biến thành tích f '∧ f '' lớp đối đồng điều De Rham Khi hai đa tạp đa tạp trơn cắt giao chúng lại đa tạp Lấy lớp đồng điều đa tạp dẫn đến tích song tuyến tính đồng điều Tích đối ngẫu với tích hợp, nghĩa lớp đồng điều giao hai đa tạp đối ngẫu PoinCare tích hơp đối ngẫu PoinCare Bó vectơ chỉnh hình ([De2]) Trong toán học bó vectơ cấu trúc tô pô thực ý tưởng học không gian vectơ tham số hóa không gian vectơ khác: Với điểm x không gian X gán với không gian vectơ V(x) cho không gian ghép với tạo thành không gian vectơ loại với X Cho M C ∞ - đa tạp khả vi có chiều m K =  hay K =  trường vô hướng Một bó vectơ (thực phức) hạng r M  ∞ - đa tạp E với i) Một C ∞ ánh xạ π : E → M gọi phép chiếu ii) Một K − không gian vectơ chiều r thớ Ex = π −1 ( x) cho cấu trúc vec- tơ tầm thường địa phương Nghĩa là, tồn phủ mở (Vα )α∈I M C ∞ vi phôi gọi tầm thường hóa : θα : E V → Vα × Κ r với E V = π −1 (Vα ) α α θα cho với x ∈ Vα ánh xạ Ex  → { x} × Κ r → Κ r đẳng cấu tuyến tính Với α , β ∈ I ánh xạ θαβ : θα  θ β−1 : (Vα ∩ Vβ ) × Κ r → (Vα ∩ Vβ ) × Κ r tự đồng cấu tuyến tính thớ { x} × Κ r Nó viết dạng = θαβ ( x, ξ ) ( x, gαβ ( x).ξ ) , ( x, ξ ) ∈ (Vα ∩ Vβ ) × Κ r ( gαβ )α ,β ∈I × J họ ma trận khả nghịch với hệ số C ∞ (Vα ∩ Vβ , Κ ) thỏa mối liên hệ đối xích gαβ g βγ = gαγ Vα ∩ Vβ ∩ Vγ (1.1) Họ ( gαβ ) gọi hệ ma trận biến đổi (transition) Ngược lại họ ma trận khả nghịch thỏa (1.1) xác định bó vectơ E, nhận dán đồ Vα × Κ r θαβ Ví dụ : Đa tạp tích E = M ×  k bó vectơ M gọi bó vectơ tầm thường U U hạng r M Ví dụ : Bó tiếp tuyến TM : Nếu τ α : Vα →  n họ đồ tọa độ M U U θα =π × dτ α : TM V α → Vα ×  m xác định tầm thường hóa TM ma trận biến đổi cho gαβ = dτ αβ ( x β ) với τ αβ = τ α  τ β−1 x β = Tβ ( x) Đối ngẫu T ∗ M TM gọi bó đối tiếp xúc lũy thừa thứ p: Λ PT ∗ M gọi bó dạng vi phân bậc p M Nếu Ω ⊂ M tập mở k số nguyên dương ∞ , ta ký hiệu C k (Ω, E ) không gian C k - thiết diện E Ω , nghĩa không gian C k - ánh xạ s : Ω → E cho s ( x) ∈ Ex với x ∈ Ω (nghĩa π  s = Id Ω ) Một phép nối tuyến tính D bó vectơ E toán tử vi phân tuyến tính cấp tác động lên C•∞ ( M , E ) thỏa tính chất sau : (2.1) D : Cq∞ ( M , E ) → Cq∞+1 ( M , E ) (2.1’) D( f ∧ s )= df ∧ s + (−1) p f ∧ Ds với f ∈ C p∞ ( M , K ) s ∈ Cq∞ ( M , E ) với df đạo hàm f Giả sử θ : E Ω → Ω × K r tầm thường hóa E Ω cho (e1 , , er ) hệ tọa độ tương ứng E Ω Khi với s ∈ Cq∞ (Ω, E ) viết = s σ λ ⊗ eλ , σ λ ∈ C ∑ λ 1≤ ≤ r Theo (2.1’)= có Ds ∞ q (Ω, K ) ( dσ λ ⊗ eλ + (−1) ∑ λ 1≤ ≤ r Nếu ta viết = Deµ Ds = aλµ ⊗ eλ ∑ λ 1≤ ≤ r     σ λ ⊗ Deλ ) với aλµ ∈ C1∞ (Ω, K ) ta có  dσ λ + ∑ aλµ ∧ σ µ  ⊗ eλ ∑ λ µ 1≤ ≤ r p Đồng E Ω với Ω × Κ r θ ký hiệu d phép nối tầm thường dσ = ( dσ λ ) Ω × Κ r Toán tử D viết Ds  θ dσ + A ∧ σ với A = (a ) ∈C λµ ∞ (Ω, Hom( K r , K r )) Chúng ta tính D : Cq∞ ( M , E ) → Cq∞+ ( M , E ) với tầm thường hóa θ : E Ω → Ω × Κ r Ta có D s  θ d ( dσ + A ∧ σ ) + A ∧ ( dσ + A ∧ σ ) = d 2σ + (dA ∧ σ − Adσ ) + ( A ∧ dσ + A ∧ A ∧ σ ) = (dA + A ∧ A) ∧ σ dẫn đến tồn 2- dạng Θ( D) ∈ C2∞ ( M , Hom( E , E )) gọi tenxơ độ cong D, cho D s = Θ( D) ∧ s với tầm thường hóa cho Θ( D)  θ dA + A ∧ A Nếu E có hạng r =1 A ∈ C1∞ ( M , K ) Hom( E , E ) đẳng cấu tắc với bó tầm thường M × K Đồng Hom( E , E ) = K tenxơ độ cong Θ( D) xem 2-dạng đóng với giá trị K: Θ( D) = dA Một bó vectơ π : E → X gọi bó vectơ chỉnh hình E đa tạp phức, ánh xạ chiếu π chỉnh hình tồn phủ (Vα )α∈I X họ tầm thường hóa chỉnh hình θα : E V → Vα ×  r α Ta ký hiệu O( E ) bó mầm thiết diện chỉnh hình E Trong trường hợp r = ta gọi bó vectơ chỉnh hình bó đường chỉnh hình Toán tử d’’ gọi phép nối (0,1) tắc bó chỉnh hình E Ta có H 0,q ( X , E )  H q ( X , O( E )) Ta đồng bó tự O(E) với bó vectơ E nên viết H 0,q ( X , E )  H q ( X , E ) Nếu X đa tạp phức, Ω PX ký hiệu bó vectơ Ta có đẳng cấu H p ,q ( X , E )  H q ( X , Ω Xp ⊗ E ) Đặc biệt H p ,0 ( X , E ) không gian thiết diện chỉnh hình toàn cục Ω Xp ⊗ E Cho π : E → X bó vectơ chỉnh hình Hermit hạng r Phép nối Hermit D cho D’’ = d’’ gọi phép nối Chern E Tenxơ độ cong phép nối ký hiệu Θ( E ) gọi tenxơ độ cong Chern ∞ Nếu Θ( E ) tenxơ độ cong Chern iΘ( E ) ∈ C1,1 ( X , Herm( E , E )) Nếu θ : E Ω → Ω ×  r tầm thường hóa chỉnh hình H ma trận −1 biểu diễn mê-tric dọc theo thớ E Ω iΘ( E ) = id ''( H d ' H ) Ω Trường hợp = r rankE = H hàm dương mà ta viết H = e −ϕ , id '' d 'ϕ ϕ ∈ C ∞ (Ω,  ) ta có iΘ( E ) = Ω Đặc biệt iΘ( E ) dạng thực (1,1) đóng X Lớp Chern ([De2]) Cho bó vectơ phức V không gian tô pô X, lớp Chern V dãy phần tử đối đồng điều X Lớp Chern thứ k V, thường ký hiệu ck (V ) phần tử H k ( X ,  ) , đối đồng điều X với hệ số nguyên Ta định nghĩa lớp Chern tổng c(V ) = c0 (V ) + c1 (V ) + c2 (V ) + Các lớp Chern thỏa số tính chất sau: a c0 (V ) = với V b Nếu f : Y → X ánh xạ liên tục f *V kéo ngược bó vectơ V ck ( f *V ) = f * ck (V ) c Nếu W → X bó vectơ phức khác lớp Chern tổng trực tiếp V ⊕ W cho c(V ⊕ W ) = c(V ) ∪ c(W ) , nghĩa là: = ck (V ⊕ W ) k ∑ c (V ) ∪ c i =0 i k −i (W ) d Nếu → E ' → E → E '' → dãy khớp bó vectơ c= ( E ) c( E ') + c( E '') e Nếu n hạng phức V ck (V ) = với k > n f Lóp Chern cao V ( nghĩa cn (V ) , với n hạng V lớp Euler bó vectơ thực Đối với bó đường bó Chern không tầm thường lớp Chern thứ , mà phần tử nhóm đối đồng điều thứ hai X Vì lớp Chern hạng đầu nên trùng với lớp Euler bó Lớp Chern thứ bất biến đầy đủ để phân loại bó đường phức Nghĩa có song ánh lớp đẳng cấu bó đường X phần tử H ( X ,  ) Hơn nửa nhóm đối đồng điều thứ trùng với tích tenxơ bó đường Định lý ([De2]) Cho E bó đường phức (hạng r = 1) Ảnh c1 ( E ) H DR ( M ,  ) qua đồng cấu tự nhiên H ( M ,  ) → H ( M , ) H DR ( M , ) trùng với lớp đối đồng điều De  i  Rham  Θ( D)  tương ứng với phép nối (Hermit) D E  2π  Sự phân loại (các lớp đẳng cấu) bó đường phức lớp Chern xấp xỉ với việc phân loại bó đường chỉnh hình lớp tương đương ước Ta giả sử M đa tạp có định hướng, Z đa tạp định hướng đối chiều M (hướng Z xác định M E) Ta ký hiệu [ Z ] dòng tích {[ Z ]} ∈ H phân Z Khi ta có: DR ( M ,  ) nhóm đối đồng điều {[ Z ]} = c ( E )  Phương trình Lelong- Poincare lớp Chern thứ ([De2]) Phương trình Lelong Poincare: Cho f ∈ M ( X ) hàm phân hình không triệt tiêu thành phần liên thông X cho ∑m Z j j ước f Khi hàm log f khả tích địa phương X thỏa phương trình: i π d ' d ''log f = ∑ m j [ Z j ] không gian D 'n −1,n −1 ( X ) dòng song chiều (n-1,n-1) Một thiết diện phân hình bó đường E → X thiết diện s xác định tập mở X cho với tầm thường hóa θα : E V → Vα ×  r α thành phần σ α = θα ( s ) hàm phân hình Vα Cho bó đường E → X s thiết diện phân hình E mà không triệt tiêu thành phần liên thông X Nếu = c1 ( E )  ∑ m [Z j j ]∈ H 2( X ,  ) ∑m Z j j ước f Ví dụ : Nếu ∆ =∑ m j Z j ước X, ta gán ∆ với bó O(∆) mầm hàm phân hình f cho divf + ∆ ≥ Cho (Vα ) phủ mở X uα hàm phân hình Vα cho divuα = ∆ Vα Xét bó đường E X xác định u đối xích gαβ :=α ∈ O* (Vα ∩ Vβ ) Khi bó O(∆) đẳng cấu với O( E ) uβ Cho X đa tạp phức tùy ý i Θ( E ) dạng (1,1) 2π a) Với bó đường héc-mít E M, dạng độ cong Chern thực đóng có lớp đối đồng điều De Rham ảnh lớp nguyên b) Ngược lại, cho ω dạng (1,1) thực  ∞ -đóng có lớp ω ∈ H DR ( X ,  ) ảnh lớp nguyên Khi tồn bó Héc-mít đường E → X cho i ω Θ( E ) = 2π Cho X đa tạp phức compact n chiều Với dòng đóng θ bậc k (tức dòng song bậc ( p, q ) với p + q = k ), ta liên kết với lớp đối đồng điều De Rham k {θ } ∈ H DR ( X ,  ) Các đối đồng điều De Rham tính phức dạng vi phân trơn phức dòng: hai bó phức phép giải tốt bó địa phương  Hơn nữa, phép gán θ  {θ } liên tục tôpô yếu dòng (suy từ đối ngẫu Poincare) Như việc nghiên cứu tính cắt đa tạp dẫn đến việc tính toán vành đối đồng điều Đặc biệt, xích giải tích A = ∑ λi Ai có số chiều p = X liên kết với lớp đối đồng điều De Rham { A} {∑ λ [ A ]} ∈ H i i n−2 p DR ( X , ) , hệ số λi số nguyên, lớp { A} nằm ảnh H n − p ( X ,  ) Khi xét trường hợp u j = log f j với hàm chỉnh hình khác X , thấy tích ước không  Z j  = dd cu j xác định giá Z j thỏa điều kiện co dim Z j1 ∩ ∩ Z jm1 = m với m Tương tự, Khi T = [ A] p - xích giải tích, hệ 2.1.14 [ Z ] ∧ [ A] xác định với ước Z cho dim Z ∧ A =p − Nhận xét dẫn đến: 4.1 Định lý ([De1]) Giả sử ước Z j thỏa mãn điều kiện đối chiều ( Ck )k ≥1 thành phần bất khả quy tập [ Z1 ]    Z q  Khi đó, tồn số nguyên dương mk cho: [ Z1 ] ∧ ∧  Z q  = ∑ mk [Ck ] (*) Số mk gọi bội lớp cắt Z1 , , Z q dọc theo Ck Chứng minh: ● Tích vế trái (*) có song bậc ( q, q ) có giá C = Ck , co dimC = q Do có dạng tổng vế phải với mk số thực dương ● Ta chứng minh số mk nguyên dương quy nạp theo q Ký hiệu A thành phần bất khả quy [ Z1 ]    Z q −1  Ta cần kiểm tra [ A] ∧  Z q  xích tích phân giải tích có đối chiều q với hệ số dương thành phần Ck lớp cắt + Ta có: dd c ( log [ A] ∧  Z q  = ) f q [ A] + Giả sử thành phần A  f q−1 ( ) chứa phần kỳ dị Asing ( ) + Áp dụng phương trình Lelong – Poincare Areg được: dd c log f q [ A] = ∑ mk [Ck ] X \ Asing , mk bậc triệt tiêu f q dọc theo Ck Areg + Vì C  Asing có đối chiều ≥ q + nên đẳng thức X + Trường hợp tổng quát: thay f q f q − ε cho ước f q − ε thành phần ( ) chứa Asing Khi đó: dd c log f q − ε [ A] xích tích phân đối chiều q với bội dương thành phần A  f q−1 ( ε ) Cho ε → ta có đpcm ■ Tích dạng vi phân trơn xác định cấu trúc vành đối đồng điều De Rham Cho hai dòng Θ1 , Θ X có lớp giao {Θ1} {Θ } vành đối đồng điều Θ1 ∧ Θ không dòng Nhận xét tích dòng đóng dương xác định giả thiết bổ sung Một cách tổng quát dòng (1,1) dương đóng T xấp xỉ tô- pô yếu với dòng đóng dương trơn: điều kiện cần {T } {Y } ≥ với đa tạp Y chiều p X Tuy nhiên dựa vào p kết Demailly (định lý 4.2) T xấp xỉ với dòng đóng mà có phần âm kiểm soát độ cong X Kết cho phép tính lớp tự cắt cách lấy giới hạn yếu tích mà dòng ban đầu thay quy hóa Kỹ thuật áp dụng nhận bất đẳng thức tự cắt cho dòng dương đóng song bậc (1,1) (định lý 4.4) Cho dòng T có song chiều ( p, p ) Ta nói T gần dương tồn dạng trơn v có song bậc ( n − p, n − p ) cho T + v ≥ Tương tự, hàm ϕ X gọi gần đa điều hòa ϕ địa phương tổng hàm đa điều hòa hàm trơn Khi đó, (1,1) - dòng dd cϕ gần dương Ngược lại, ϕ hàm khả tích địa phương dd cϕ gần dương ϕ hàm gần đa điều hòa hầu khắp nơi Nếu T dòng gần dương, đóng số Lelong v (T , x ) xác định Có thể tham khảo chứng minh định lý sau [De2]: 4.2 Định lý ([De1]) Cho T (1,1) - dòng gần dương, đóng α (1,1) - dạng thực trơn lớp dd c - đối đồng điều với T , tức T= α + dd cψ ψ hàm gần đa điều hòa Cho γ (1,1) - dạng thực liên tục cho T ≥ γ Giả sử OTX (1) trang bị metric Hermit trơn cho dạng độ cong thỏa mãn: c ( OTX (1) ) + π *u ≥ với π : P (T * X ) → X u (1,1) - dạng không âm X Khi với c > , tồn dãy (1,1) - dòng gần dương, đóng Tc ,k= α + dd cψ c ,k cho ψ c ,k trơn X \ Ec (T ) giảm đến ψ k → +∞ (đặc biệt Tc ,k trơn X \ Ec (T ) hội tụ yếu đến T X ), Tc ,k ≥ γ − λc ,k u − ε k ω , đó: i λc ,k ( x ) dãy giảm hàm liên tục X cho lim λc ,k ( x ) = ( v (T , x ) , c ) k →+∞ điểm ii lim ε k = k →+∞ iii v (= Tc ,k , x ) ( v (T , x ) − c ) + với x ∈ X OTX (1) bó đường gắn với TX bó siêu phẳng P(T*X) Nhận xét định lý đưa xấp xỉ đặc biệt Tc ,k trơn X c > maxν (T , x) Đẳng thức iii x∈X số Lelong nhỏ c bị loại bỏ chuyển số lại xuống c 4.3 Hệ ([De1]) Cho θ dòng gần dương, đóng song chiều ( p, p ) α1 , , α q (1,1) - dòng gần dương, đóng cho α1 ∧ ∧ α q ∧ θ xác định theo 2.1.10 2.1.12, với α j có biểu diễn địa phương α j = dd cu j {α Khi đó: ∧ ∧ α q ∧ θ } = {α1} {α q }.{θ } Chứng minh Định lý 4.2 định lý liên tục đơn điệu (Định lý 2.1.5) chương suy ra: α1 ∧ ∧ α q = ∧ θ lim α 1k ∧ ∧ α qk ∧ θ k →+∞ Trong α kj ∈ {α j } trơn Do kết cho dạng trơn Từ tính liên tục yếu lớp đối đồng điều ta có đpcm ■ Bây giờ, giả sử X đa tạp compact Kahler trang bị metric Kahler ω Bậc ( p, p ) - dòng dương đóng θ ω định nghĩa: deg= ωθ ∫ X θ ∧ωp Đặc biệt, bậc tập giải tích p chiều A ⊂ X ∫ω A p Xét dãy = b1 ≤ ≤ bn ≤ bn +1 cho chiều Ec (T ) giảm đơn vị c lớn bp , nghĩa co dim Ec (T ) = p với thành phần có đối chiều p c ∈ ( bp , bp +1  Đặt (Z ) p , k k ≥1 thành phần có đối chiều p Ec (T ) với c ∈ ( bp , bp +1  đặt = v p ,k v (T , x ) ∈ ( bp , bp +1  số Lelong chung T Z p ,k Khi ta có: x∈Z p , k 4.4 Định lý ([De1]) Giả sử X Kahler OTX (1) có metric Hermit cho c ( OTX (1) ) + π *u ≥ u (1,1) - dạng trơn đóng nửa xác định dương Với p = 1, , n lớp đối đồng điều De Rham ({T } + b {u}) ({T } + b {u}) p biểu diễn ( p, p ) - dòng dương đóng θ p cho: θ p ≥ ∑ ( v p ,k − b1 ) ( v p ,k − bp )  Z p ,k  + (Tabs + b1u ) ∧ ∧ (Tabs + bpu ) (4.1) k ≥1 Tabs ≥ phần liên tục tuyệt đối phân tích Lebesgue hệ số T thành độ đo kỳ dị liên tục tuyệt đối Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo p + Với p = 1, công thức phân tích Siu= suy ra: T ∑v 1, k  Z1,k  + R , ta có R ≥ Tabs phần khác có hệ số độ đo kỳ dị Do kết với θ1 = T + Giả sử ta xây dựng θ p −1 + Với c > bp , ta lấy Tc ,k= α + dd cψ c ,k dòng định lý 4.2 cho co= dim L (ψ c ,k ) co dim Ec (T ) ≥ p Do từ hệ 2.1.14 suy ra: θ p ,c ,k = θ p −1 ∧ (Tc ,k + cu + ε kω ) xác định ● Nếu ε k dần đến đủ chậm, Tc ,k + cu + ε k ω dương 4.2.i nên θ p ,c ,k ≥ ● Hơn nữa, lớp đối đồng điều θ p ,c ,k {θ }.({T } + c {u} + ε {ω}) p −1 k hội tụ đến {θ }.({T } + c {u}) p −1 Vì khối ∫ X θ p ,c ,k ∧ ω n− p bị chặn nên họ (θ p ,c ,k )c∈ b ( p ,b p +1  , k ≥1 compact tương đối tô pô yếu ● Đặt θ p = lim+ lim θ p ,c ,k Khi θ p xác định (nếu không thay (θ p ,c ,k ) dãy ) c →b p k →+∞ Ta có: {θ p } = {θ p −1} ({T } + bp {u} ) ⇒ {θ p } = ({T } + b1 {u} ) ({T } + bp {u} ) ● Hơn nữa: ( v (θ p , x ) ≥ limsup limsup v θ p −1 ∧ (Tc ,k + cu + ε k ω ) , x c →b +p k →+∞ ) ≥ v (θ p −1 , x ) limsup limsup v (Tc ,k , x ) c →b +p k →+∞ ≥ v (θ p −1 , x ) ( v (T , x ) − bp ) + (áp dụng 2.2.4, 2.2.9 4.2.iii) ● Do đó, quy nạp ta được: v (θ p , x ) ≥ ( v (T , x ) − b1 )+ ( v (T , x ) − bp ) + Đặc biệt, số Lelong chung θ p lấy theo Z p ,k với (v p ,k − b1 ) ( v p ,k − bp ) θ p ≥ ∑ ( v p ,k − b1 ) ( v p ,k − bp )  Z p ,k  Suy ra: k ≥1 Vì vế phải độ đo Lebesgue kỳ dị nên ta có điều phải chứng minh θ p ,abs ≥ (Tabs + b1u ) ∧ ∧ (Tabs + bpu ) Điều tương đương với θ p ,abs ≥ θ p −1,abs ∧ (Tabs + bpu ) (bằng quy nạp) (4.2) ● Để có (4.2), ta cần lim Tc ,k ,abs = Tabs hầu khắp nơi sử dụng quy nạp k →+∞ Do bước chứng minh không bị ảnh hưởng thay ψ c ,k = ψ c' ,k max {ψ ,ψ c ,k − Ak } Ak hội tụ (nhanh) đến +∞ Bằng cách chọn Ak thích hợp ta lim ( dd cψ c' ,k ) abs = ( dd cψ ) abs ■ h.k.n Bỏ qua số hạng thứ hai vế phải (4.1) lấy tích với ω n − p ta có hệ 4.5 Hệ ([De1]) Nếu ω metric Kahler X {u} lớp đối đồng điều nửa xác định dương cho c1 ( OTX (1) ) + π * {u} nửa xác định dương bậc thành phần Z p ,k ω thỏa mãn: +∞ ∑ (v k =1 p ,k − b1 ) ( v p ,k − bp ) ∫  Z p ,k  ∧ ω p ≤ ({T } + b1 {u} ) ({T } + bp {u} ) {ω} X n− p KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày tính chất số Lelong suy rộng số ứng dụng chúng Các kết nêu ứng dụng số Lelong Lý thuyết số Lý thuyết cắt là: Bổ đề Schwarz Định lý Bombieri Định lý tích ước không hàm chỉnh hình Định lý xấp xỉ dòng gần dương Bất đẳng thức lớp tự cắt tổng quát dòng dương đóng đa tạp Kahler compact Do giới hạn luận văn, nêu số kết Lý thuyết cắt định lý xấp xỉ dòng gần dương bất đẳng thức lớp tự cắt tổng quát dòng dương đóng đa tạp Kahler compact Chúng kiến nghị số ứng dụng khác số Lelong bó tiếp tuyến đa tạp đại số xạ ảnh TÀI LIỆU THAM KHẢO [Ad] Adamus J (2007), Complex analytic geometry, The University of Western Ontario [Blo] Blocki Z (1998), The complex Monge-Ampère operator in pluripotential theory, Jagiellonian University, Poland [BT1] Bedford E., Taylor B A (1976), The Dirichlet problem for a complex MongeAmpère equation, Invent Math37, pp 1-44 [BT2] Bedford E., Taylor B A (1982), A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math 149, pp 1-41 [De1] Demailly J P (1993), Monge-Ampère operators, Lelong numbers and Intersection theory, Université de Grenoble I Institut Fourier, France [De2] Demailly J P (2007), Complex analytic and differential geometry, Université de Grenoble I Institut Fourier, France [FG] Fritzche K., Grauert H (2001), From holomophic functions to complex manifolds, Springer, Germany [Ho] Hormander L (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland Math Lib, Holland [Ji] Ji Shanyu (2008), Complex analysis and complex geometry, Lecture notes [Kli] Klimek M (1991), Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford [Ko] Kolodziej S (1991), The complex Monge-Ampère equation, Jagiellonian University, Polland [LG] Lelong P., Gruman L (1986), Entire functions of several complex variables, Springer-Verlag, Berlin [...]... là một hàm chỉnh hình khả nghịch CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ MONGE – AMPERE VÀ SỐ LELONG MỞ RỘNG 2.1 Toán tử Monge - Ampere mở rộng ([De1]) Cho u ∈ PSH ( X ) và T là dòng dương đóng bậc n − p (song chiều ( p, p ) ) Ta muốn định nghĩa tích ngoài dd cu ∧ T ngay cả khi u và T không trơn Tích này không có nghĩa vì dd cu và T đều có hệ số độ đo và các độ đo không nhân được Do đó, ta không thể định nghĩa dd cu ∧... 1.9.2 Định lý ([LG]) Mọi dòng dương bậc n − p có các hệ số độ đo 1.9.3 Định lý ([LG]) Mỗi dòng dương bậc n − p trên X là giới hạn trên mỗi tập compact của một dãy {T } gồm các dòng sinh bởi các dạng ψ ψj j ∈ Φ +p ( X ) 1.9.4 Định lý ([LG]) Nếu u ∈ PSH ( X ) thì dd cu ∈ Tn+−1 ( X ) 1.9.5 Định lý ([LG]) a Nếu T ∈ Tp+ ( X ) và ϕ ∈ Φ1+ ( X ) thì T ∧ ϕ ∈ Tp++1 ( X ) b Nếu T ∈ T1+ ( X ) và ϕ ∈ Φ +p (... tọa độ địa phương 1.4.7 Định lý (Nguyên lý đồng nhất) ([Kli]) Nếu X liên thông và f , g ∈ O ( X ) , f = g trên một tập mở khác rỗng U ⊂ X thì f = g trên X 1.4.8 Định lý (Nguyên lý cực đại) ([Kli]) Cho X liên thông, f ∈ O ( X ) Giả sử tồn tại p ∈ X sao cho f đạt cực đại địa phương tại p Khi đó f là hằng trên X 1.5 Đa tạp Stein 1.5.1 Định nghĩa ([De2]) Cho X là đa tạp phức và K là tập con compact của... phương Cho T là dòng dương đóng bậc n − p và u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương trên X Khi đó dòng uT là xác định vì u là hàm Borel bị chặn địa phương và T có các hệ số độ đo Theo Bedford – Taylor ta định nghĩa: dd cu ∧ T = dd c ( uT ) , trong đó dd c ( ) được hiểu theo nghĩa lý thuyết phân bố 2.1.1 Mệnh đề ([De1]) Cho T là dòng dương đóng bậc n − p và u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa... địa phương hữu hạn trên X 2.1.13 Mệnh đề ([De1]) Với giả thiết của định lý 2.1.12, các kết quả ở định lý 2.1.5 vẫn đúng 2.1.14 Hệ quả ([De1]) Cho T là dòng dương đóng song chiều ( p, p ) , u ∈ PSH ( X ) và L ( u )  supp T là tập con của một tập giải tích có số chiều không vượt quá p − 1 Khi đó: các dòng uT và dd cu ∧ T xác định và có khối lượng địa phương hữu hạn trên X 2.1.15 Hệ quả ([De1]) Cho u1... = max {dim( A , x)} , cod im( A, x)= n − dim( A, x) 6 Một không gian tôpô cùng với một bó vành trên X được gọi là không gian vành Không gian phức là một không gian vành Hausdorff mà về địa phương ( như là một  vành ) được xem là tập không điểm của hữu hạn hàm chỉnh hình trong miền nào đó của không gian các số phức  n Theo định nghĩa không gian phức đẳng cấu địa phương với một tập giải tích Do đó... ta có thể chọn w bé tùy ý với ε > 0 đủ bé Vậy u k Tk  → uT ( u − uε ) Tk K ■ Định lý liên tục sau đây thuộc Bedford-Taylor chỉ ra rằng giả thiết về tính liên tục và hội tụ đều có thể bỏ nếu mỗi dãy ( u kj ) giảm và Tk là dãy hằng 2.1.5 Định lý ([De1]) Giả sử u1 , , uq là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và u1k , u2k , , uqk lần lượt là các dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới hội tụ điểm đến... chính quy hóa tăng và hội tụ đến u kj khi ε → 0 sao cho − M ≤ u kj ,ε ≤ −1 trên Ω Đặt A= M δ với δ > 0 bé và thay u kj bởi v kj = max { Aψ , u kj } và u kj ,ε bởi v kj ,ε = max ε { Aψ , u kj ,ε } trong đó max ε = max* ρε là chính quy hóa của hàm max Khi đó v kj = u kj trên Ωδ vì Aψ < − Aδ = − M trên Ωδ , và v kj = Aψ trên Ω \ Ω δ M Không mất tổng quát, ta có thể giả sử tất cả các u kj và u kj ,ε đồng... cho Ωδ ⊃ L ( u j ) ∀j ∈1, q ■ 2.1.12 Định lý ([De1]) Cho u1 , , uq là các hàm đa điều hòa dưới trên X Giả sử ( ( ) ( ) ( ) q ≤ p và ) H 2 p − 2 m+1 L u j1  L u j2   L u jm  supp T = 0 với mọi cách chọn các chỉ số j1 , j2 , , jm ∈ {1, 2, , q} thỏa j1 < j2 < < jm Khi đó: các dòng u1dd cu2 ∧ ∧ dd cuq ∧ T và dd cu1 ∧ dd cu2 ∧ ∧ dd cuq ∧ T là xác định và có khối lượng địa phương hữu hạn trên X... miền tọa độ và β = dd c z C1 , C2 sao cho: C1 T K ≤ ∫ T ∧ β p ≤C2 T K K 2 thì tồn tại các hằng số dương 1.10 Dòng dương đóng 1.10.1 Định nghĩa ([LG]) Dòng T được gọi là dòng dương đóng bậc n − p nếu T ∈ Tn+− p ( X ) và dT = 0 + Tập tất cả các dòng dương đóng bậc n − p được ký hiệu là T n − p ( X ) 1.10.2 Định lý ([LG]) + Nếu u ∈ PSH ( X ) thì dd cu ∈ T n −1 ( X ) 1.11 Đa tạp Hermit và đa tạp Kahler ... Trình bày toán tử Monge – Ampere số Lelong suy rộng U U Chương 3: Trình bày ứng dụng số Lelong Lý thuyết số U U Chương 4: Trình bày ứng dụng số Lelong Lý thuyết cắt U U Luận văn trình bày dựa [De1],... 40 T T 2.2.6 Công thức Lelong – Jensen ([De1]) 41 T T 2.2.7 Định lý (Định lý so sánh số LeLong thứ nhất) ([De1]) 42 T T 2.2.8 Định lý (Định lý so sánh số LeLong thứ hai) ([De1])...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Chiến SỐ LELONG VÀ LÝ THUYẾT CẮT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN