Đại số Banach và Lý thuyết phổ

Chuyên ngành: Khoa học tự nhiên Toán học Sơ lược: Lời mở đầu Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về đại số Banach và lý thuyết phổ Chương 2. Phương trình hàm Cauchy và một số nửa nhóm Chương 3. Bài toán Cauchy đối với toán tử tuyến tính không giới nội Chương 4. Nửa nhóm nhân trên C0(Ω) Kết luận Tài liệu tham khảo

Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Một số kiến thức đại số Banach lý thuyết phổ 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Không gian tuyến tính 1.1.2 Không gian định chuẩn Đại số Banach 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số ví dụ Đại số Banach 10 1.2.3 Phổ giải thức 11 1.2.4 Một số tính chất phổ toán tử tuyến tính 11 1.2.5 Tích phân Bochner 15 1.2 Ph-ơng trình hàm Cauchy số nửa nhóm 18 2.1 Ph-ơng trình hàm Cauchy 18 2.2 Nửa nhóm ma trận 23 Mục lục 2.3 Nửa nhóm toán tử liên tục 28 Bài toán Cauchy toán tử tuyến tính không giới nội 35 Nửa nhóm nhân C0 () 48 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Lời cảm ơn Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn tận tình, chu đáo TS Đặng Anh Tuấn đồng thời giúp đỡ dậy quý báu Thầy PGS.TS Đặng Đình Châu mà nhận đ-ợc suốt trình làm luận văn Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng biến ơn sâu sắc kính trọng tới hai Thầy Mặc dù bận nhiều công việc nh-ng hai Thầy bảo ban dẫn tận tình, đồng thời động viên hoàn thiện đ-ợc luận văn Tôi xin đ-ợc gửi lời cám ơn chân thành đến thầy Bảy Ng-ời tận tình cho nhiều thiếu xót để sửa chữa, khắc phục sai sót hoàn thành đ-ợc khoá luận Tôi xin cám ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học giảng dạy dìu dắt năm qua, để có đ-ợc ngày hôm nay, hoàn thành khoá luận này.Và nhiều động viên từ gia đình, bạn bè Cám ơn tất ng-ời! Một lần cho đ-ợc gửi lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến tất cả! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2009 Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh Thuý Lời mở đầu Lời mở đầu Lý thuyết nửa nhóm tham số toán tử tuyến tính không gian Banach bắt đầu xuất từ nửa đầu kỉ XX, đạt đến cốt lõi vào năm 1948 với định lý sinh Hille-Yosida, sau đạt tới đỉnh vào năm 1957 với xuất "Semigroups and funtional Analysis" E Hille R S Philips Vào năm thập kỉ 70 80 kỉ XX, nhờ cố gắng nghiên cứu nhiều trung tâm nghiêm cứu, tr-ờng học khác nhau, lý thuyết nửa nhóm đ-ợc đạt tới trạng thái hoàn hảo, đ-ợc thể tốt chuyên khảo E B Davies[Dav80], J A Goldstein[Gol85], A Dazy[Paz83], nhiều nhà toán học khác Nửa nhóm trở thành công cụ quan trọng ph-ơng trình vi tích phân ph-ơng trình hàm vi phân, học l-ợng tử lýthuyết điều khiển vô hạn chiều Ph-ơng pháp nửa nhóm đ-ợc ứng dụng với thành công lớn để cụ thể hoá ph-ơng trình, ,trong hệ động lực dân số lý thuyết vận tải Trong khoá luận này, xin trình bày dùng ph-ơng pháp nửa nhóm để nghiên cứu nghiệm toán Cauchy Cấu trúc khoá luận gồm ch-ơng: Ch-ơng 1: Một số kiến thức đại số Banach lý thuyết phổ Trong phần này, trình bày định nghĩa, ví dụ, định lý, bổ đề không gian tuyến tính, định chuẩn, Banach, đại số Banach lý thuyết phổ Ch-ơng 2: Ph-ơng trình hàm Cauchy số nửa nhóm Lời mở đầu 2.1 Ph-ơng trình hàm Cauchy 2.2 Nửa nhóm ma trận 2.3 Nửa nhóm toán tử liên tục Trong phần này, nghiên cứu số nửa nhóm, nghiệm toán Cauchy từ tính chất nửa nhóm ta suy tính chất nghiệm toán Cauchy Ch-ơng 3: Bài toán Cauchy toán tử tuyến tính không giới nội Trong ch-ơng tr-ớc, ta nghiên cứu nửa nhóm toán tử tuyến tính giới nội Trong phần này, nghiên cứu với toán tử tuyến tính không giới nội, từ ta nghiên cứu tính chất nhiệm toán Cauchy Ch-ơng 4: Nửa nhóm nhân C0 () Từ tính chất phổ nửa nhóm nhân, ta suy tính chất nửa nhóm nhân, từ ta nghiên cứu nghiệm toán Cauchy suy đ-ợc tính chất ổn định nghiệm toán Cauchy Mặc dù cố gắng nhiều, nh-ng trình độ thời gian hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu xót, mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn! Ch-ơng Một số kiến thức đại số Banach lý thuyết phổ 1.1 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn Không gian tuyến tính Cho X tập tuỳ ý, K tr-ờng số (C, R) Định nghĩa 1.1.1 Không gian tuyến tính tập X, xác định hai phép toán cộng hai phần tử X phép nhân phần tử X với số thuộc tr-ờng số K Hai phép toán đ-ợc xác định nh- sau: Phép cộng: Đó ánh xạ : : XìX X (x, y) = x + y thoả mãn tiên đề sau: (a) x + y = y + x với x, y X; (b) (x + y) + z = x + (y + z) với x, y, z X; 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn (c) Tồn phần tử X thoả mãn: x + = + x = x với x X; (d) Với phần tử x X tồn phần tử đối, kí hiệu (x) thoả mãn x + (x) = Phép nhân với số: Đó ánh xạ: :XìK X (kí hiệu (x, ) = x x, x K, K) thoả mãn: (a) (x) = (x) = (x) với x X; , K; (b) Tồn phần tử K thoả mãn 1.x = x với x X; (c) ( + )x = x + x với x X, , K; (d) (x + y) = x + y với x X, K K = R không gian tuyến tính X gọi không gian tuyến tính thực K = C không gian tuyến tính X gọi không gian tuyến tính phức Ví dụ 1.1.2 (a) R không gian tuyến tính thực (b) C không gian tuyến tính phức (c) K n = {(x1 , x2 , , xn ), xi K, i = 1, n} không gian tuyến tính (d) C[a,b] tập hợp hàm thực (hoặc phức) liên tục [a, b] không gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số nhân thông th-ờng (e) l2 = {(x1 , x2 , , xn , ), |xi |2 < +, xi K} không gian i=1 tuyến tính với phép cộng phép nhân với số theo toạ độ 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian tuyến tính Một ánh xạ : X R đ-ợc gọi chuẩn X thoả mãn tiên đề sau: (ta kí hiệu (x) = x ) x với x X (x) = x = 0; x = || x với x X với K; x + y x + y với x, y X Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính X với chuẩn ã xác định gọi không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.5 Dãy {xn } n=1 X với X không gian tuyến tính định chuẩn đ-ợc gọi dãy (dãy Cauchy) > cho tr-ớc tồn n0 (phụ thuộc ) cho với n, m > n0 ta có: xn xm < Định nghĩa 1.1.6 Không gian X đ-ợc gọi không gian đầy đủ dãy hội tụ Định nghĩa 1.1.7 Nếu không gian định chuẩn X không gian đầy đủ X đ-ợc gọi không gian Banach hay Banach không gian Ví dụ 1.1.8 Trong R C đặt x = |x| ta có R C không gian Banach R C Trong K n đặt n |xi |2 x = (x1, x2 , , xn ) = i=1 1/2 , 1.2 Đại số Banach suy ã chuẩn Cn gọi chuẩn Euclide Suy d(x, y) = x y = ( n i=1 |xi yi|2 ) khoảng cách Euclide biết Vậy K n không gian Banach C[a,b] với x = max |x(t)| không gian Banach với atb d(x, y) = max |x(t) y(t)| atb khoảng cách biết l2 = {(x1 , x2 , , xn , ), xn K, Trong l2 đặt x = ( |xn |2 < } n=1 |xi |2 )1/2 với x = (x1 , x2 , , xn , ) ta suy i=1 l2 không gian Banach 1.2 Đại số Banach 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Không gian tuyến tính B đ-ợc gọi đại số đ-a thêm phép toán đại số nữa-phép nhân, thoả mãn tiên đề sau: (f g)h = f (gh) f, g, h B; a, f(g + h) = f g + f h f, g, h B; b, (f + g)h = f h + gh f, g, h B; (f g) = (f)g C, f, g B; Nếu tồn phần tử e B cho ef = f e = f với f B e đ-ợc gọi đơn vị đại số B thân đại số đ-ợc gọi đại số có đơn vị; 1.2 Đại số Banach 10 Nếu thân phép nhân giao hoán, tức thoả mãn: f g = gf f, g B, đại số B đ-ợc gọi đại số giao hoán; Không gian định chuẩn B đ-ợc gọi đại số định chuẩn đại số có đơn vị thoả mãn thêm tiên đề: e = 1; f g f g f, g B; Nếu đại số định chuẩn B mà đầy đủ (tức không gian Banach) đ-ợc gọi Đại số Banach 1.2.2 Một số ví dụ Đại số Banach a, Tr-ờng C Các số phức z cho ví dụ đơn giản Đại số Banach trang bị chuẩn cho theo công thức: z = |z| = (x2 + y ), (z = x + iy) Các số phức tạo thành tr-ờng, ta kí hiệu tr-ờng C Trong C phần tử, trừ phần tử 0, ta định nghĩa phép chia ng-ợc phép nhân Đơn vị C e = b) Đại số Banach toán tử tuyến tính bị chặn Giả sử X không gian Banach Ta xét không gian L(X, X) không gian tất toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ từ X vào Với phép toán cộng nhân toán tử với số phép nhân thông th-ờng với toán tử 10 44 đ-ợc U (t)Ax0 liên tục định lý đ-ợc chứng minh Bây ta xét ph-ơng trình vi phân có chậm có dạng: dx = Ax + f (t, x(t + )), dt t 0, h (3.16) với x(.) X, A : X X, X không gian Banach f (t, x(t + )) toán tử phụ thuộc vào x(t + ) với h không gian Banach X Giả thiết rằng, toán tử f (t, x(t + )) thoả mãn tất điều kiện sau: f (t, 0) = f(t, y(t + )) f (t, z(t + )) L suph với điều kiện ban đầu x(t) = (t), h t y(t + ) z(t + ) 0; (.) C([h, 0], X) Khi ph-ơng trình (3.16) có nghiệm khoảng (0, ): f (t, x(t + ))(t)(h 0) thoả mãn điều kiện sau: f(t, x(t + )) g(t) x(t + ) với g hàm thoả mãn g( )d m < Giả sử (T (t))t0 nửa nhóm liên tục họ toán tử tuyến tính không gian Banach X A toán tử sinh T (t) Chúng ta giả thiết (T (t))t0 nửa nhóm liên tục mạnh (C0 - nửa nhóm) Khi đó, dễ thấy ph-ơng trình ((3.16)) thoả mãn điều kiện nêu nghiệm ph-ơng trình (3.16), với điều kiện ban đầu x(t) = (t); h t 0, tồn nhất, có dạng sau: x(t) = T (t)(0) + t T (t s)f (s, x(s + ))ds, t 0, x(t) = (t), h t 0, 44 (3.17) 45 (.) C([h, 0], E) Từ bất đẳng thức Grown-Belmann cho ph-ơng trình vi phân có chậm tính chất C0 nửa nhóm, có kết sau: Định lý 3.0.14 Nếu T (t) M, t nghiệm x(t) của(3.16) ổn định Nếu lim T (t) = nghiệm x(t) (3.16) ổn định t mũ Chứng minh: 1.Ta có: t T (t s)f (s, x(s + ))ds; t x(t) = T (t)(0) + Do vậy: t x(t) T (t) (0) + T (t s) f(s, x(s + )) ds; t 0 Do C0 nửa nhóm (T (t))t0 bị chặn đều, ta suy ra: t x(t) M f(s, x(s + )) ds; t M (0) + Do đó: t x(t) M (0) + M g(s) x(s + ) ds; t 0 áp dụng bất đẳng thức Grown-Belmann cho ph-ơng trình vi phân có chậm ta có: x(t) M M (0) e t t0 g(s) ds Mà ta có: x(t) Đặt = x(t) M eM m M (0) eM m Do đó, với (0) cho (0) Điều chứng minh x(t) ph-ơng trình (3.16) 45 46 ổn định Từ lim T (t) = suy tồn C t Cet , T (t) t > Giống nh- chứng minh phần ta có: t x(t) T (t) T (t s) (0) + f(s, x(s + )) ds; t 0 Do t t x(t) Ce(ts) f (s, x(s + )) ds; t (0) + Ce và: t x(t) t Ce Ce(ts) g(s) (0) + x(s + )) ds; t 0 Do , t t x(t) e Ce(s) g(s) C (0) + x(s + )) ds; t 0 áp dụng bất đẳng thức Grown-Belmann cho ph-ơng trình vi phân có chậm ta có: x(t) et C (0) eC t t0 g(s) ds Mà , x(t) C (0) eCm et Điều chứng minh x(t) ph-ơng trình (3.16) ổn định mũ Định lý đ-ợc chứng minh Giả sử X = Rn , ta có hệ sau: Hệ 3.0.15 Những khẳng định sau t-ơng đ-ơng: a) T (t) M; t 46 47 b) Nghiệm x(t) ph-ơng trình 3.16 ổn định c) Nghiệm x(t) ph-ơng trình 3.16 ổn định d) Tất giá trị riêng A thỏa mãn Re 0, với Re = 0, = giá trị riêng bình th-ờng Hệ 3.0.16 Những khẳng định sau t-ơng đ-ơng: a) lim T (t) = t b) T (t) C.et ; t c) Nghiệm x(t) ph-ơng trình 3.16 ổn định tiệm cận d) Nghiệm x(t) ph-ơng trình 3.16 ổn định mũ e) Tất giá trị riêng A có phần thực Re < 0; (A) 47 Ch-ơng Nửa nhóm nhân C0() Chúng ta bắt đầu việc cân nhắc không gian Banach: C0 () = f C() : với > tồn tập compact K cho |f (s) < | với s \K tất hàm liên tục, giá trị phức không gian compact địa ph-ơng triệt tiêu vô hạn Định nghĩa 4.0.17 Toán tử nhân Mq thuộc vào C0 () cho hàm liên tục q : C xác định bởi: Mq := q ã f, với f miền: D(Mq ) = {f C0 () : q.f C0 ()} Mệnh đề 4.0.18 Giả sử có Mq với miền xác định D(Mq ) toán tử nhân C0 () cho hàm liên tục q Khi khẳng định sau xảy ra: Toán tử (Mq , D(Mq )) đóng xác định trù mật Toán tử Mq bị chặn (với D(Mq ) = C0 ()) hàm q bị chặn Trong tr-ờng hợp ta có : ||Mq || = ||q|| := sup |q(s)| s 48 49 Toán tử Mq có nghịch đảo bị chặn hàm q có nghịch đảo bị chặn 1/q, nh- / q() Trong tr-ờng hợp ta có: Mq1 = M1/q Phổ Mq bao đóng q, nh- (Mq ) = q() Chứng minh: Giả sử ta có {fn} D(Mq), fn f C0 () cho Mq fn = q.fn g C0 () q.f = g C0 () ta suy f D(Mq ) Mq f = q.f = g Suy Mq toán tử đóng Nếu q bị chặn ta suy q.f C0 () Với f C0 () suy D(Mq ) = C0 () Ta có: Mq f = sup |q(s)f(s)| q f s với f C0 () Ta suy Mq bị chặn Mq q Ng-ợc lại, giả sử Mq bị chặn, áp dụng bổ đề Uryson: Suy tồn fs với giá compact (do thuộc C0()) cho : fs = = fs (s) Vậy Mq Mq fs |q(s).f(s)| = |q(s)| với s Suy q bị chặn q Mq suy Mq = q 49 50 Nếu / q() suy Mq liên tục bị chặn M1/q nghịch đảo bị chặn q Ng-ợc lại giả sử Mq có nghịch đảo bị chặn Mq1 Khi ta có f = Mq1 Mq f với f D(Mq ) Suy với f D(Mq ), = f = ta có: sup |q(s).f (s)| Mq1 s (2) Giả sử inf |q(s)| < s Suy tồn tập mở O cho q(s) < liên tục với s O q áp dụng bổ đề Uryson ta có f0 C0() cho f0 = 1, f0 (s) = với mọis \O Suy sup |f (s)f0(s)| , mâu thuẫn với (2) Suy < |q(s)| 2 s với s Suy q() Suy M1/q bị chặn nghịch đảo Mq Ta có: (Mq ) Điều t-ơng đ-ơng với: I Mq = Mq không khả nghịch áp dụng cho hàm ( q) ta suy điều xảy : / q() = q() 50 51 q() Vậy (Mq ) = q() Định lý đ-ợc chứng minh Với hàm liên tục q : C nghiên cứu hàm mũ: etq : s etq(s) , với s .t 0, toán tử nhân t-ơng ứng: Tq (t)f := etq f, f C0 () Định nghĩa 4.0.19 Giả sử q : C hàm liên tục cho : sup Re q(s) < s Khi nửa nhóm (Tq (t))t0 xác định bởi: (Tq (t))t0 := etq f, với t f C0 () đ-ợc gọi nửa nhóm nhân sinh toán tử nhân Mq C0 () Mệnh đề 4.0.20 Giả sử có Mq toán tử sinh nửa nhóm nhân (Tq (t))t0 X = C0 () xác định hàm riêng q : C Khi ta có điều sau: (Tq (t)) = et(Mq ) với t Chứng minh: Trong định lý trên, ta chứng minh đ-ợc phổ toán tử nhân bao đóng (essential) hàm t-ơng ứng, tức (Mq ) = q() 51 52 Do đó, ta thu đ-ợc kết sau: (Tq (t)) = etq(ess)() = etq(ess)() = etq(Mq ) với t Mệnh đề 4.0.21 Nửa nhóm nhân (Tq (t))t0 sinh q : C liên tục q bị chặn Chứng minh: Nếu q bị chặn Mq bị chặn, dễ dàng nhận thấy Tq (t) hàm mũ etMq Do tính liên tục nửa nhóm nhân đ-ợc chứng minh Bây giả sử có q không bị chặn chọn (sn)nN cho |q(sn) | n Khi lấy tn := 1/|q(sn )| Từ ez = với |z| = 1, tồn > cho: |1 etn q(sn ) | với n N Với hàm fn C0() thoả mãn fn = = fn (sn ), cuối đánh giá: Tq (0) Tq (tn ) fn etn q fn |1 eTn q(sn ) | > với n N, (Tq (t))t0 không liên tục Mệnh đề 4.0.22 Giả sử có (Tq (t))t0 nửa nhóm nhân sinh hàm liên tục q : C thoả mãn: := sup Re q(s) < s Khi ánh xạ: R+ t Tq (t)f = etq f C0() liên tục với f C0 () 52 53 Chứng minh: Giả sử f C0 () với ||f || Với > lấy tập compact K cho |f (s)| với s \K Từ hàm (e|| + 1) mũ liên tụ tập compact Do tồn t0 (0, 1] cho: |etq(s) 1| với s K t t0 Do vậy, có: etq f f sup |etq(s) 1|.|f (s)| + (e + 1) sup |f (s)| sK s\K với t t0 Định lý đ-ợc chứng minh Định lý 4.0.23 Với t giả sử có mt : C hàm liên tục bị chặn giả sử rằng: Toán tử nhân t-ơng ứng: T (t)f := mt ã f nửa nhóm (T (t))t toán tử bị chặn C0 () ánh xạ: R+ t T (t)f C0 () liên tục với f C0 () Khi tồn hàm liên tục q : C thoả mãn: sup Re q(s) < cho mt (s) = etq(s) với s , t 53 54 Chứng minh: Với s chọn f C0 () cho f lân cận s Khi đó, giả thuyết ii), R+ t (T (t)f)(s) = mt (s) C hàm liên tục thoả mãn ph-ơng trình hàm (1.1) (1.2) toán Từ ta suy tồn hàm q(s) C cho mt (s) = etq(s) với t Từ ánh xạ s mt (s) lân cận s trùng với s (T (t)f )(s) C0() , hàm s etq(s) C liên tục với t Mà ta có, K compact, (T (t))t thuộc vào nửa nhóm liên tục (TK (t))t C(K) cho bởi: (TK (t)f)(s) = etq(s) f (s), f C(K), s K đánh giá t-ơng tự ta có q bị chặn K Điều kéo theo : etq(s) = q(s) lim t0 t hội tụ tập compact Từ điểm có lân cận compact, khẳng định q, có giới hạn (trên tập etq(s) , liên tục compact) hàm liên tục s t Cuối cùng, toán tử nhân T (t)f = etq f bị chặn, phần thực q bị chặn Xét toán Cauchy sau: Bài toán 4.0.24 x(t) = q(t).x(t), (4.1) x(0) = f (4.2) với t 54 55 Ta thấy hàm x(t) = etq f thoả mãn điều kiện toán cauchy nghiệm toán Cauchy Từ tính chất nửa nhóm nhân Tq (t) = (etq )f ta có tính chất nghiệm toán Cauchy: i) Nghiệm ổn định khi: lim sup Re q(s) < t với s ; ii) Nghiệm ổn định mũ : Re q(s) với s 55 > 0; Kết luận 56 Kết Luận Mục đích khoá luận giới thiệu ph-ơng pháp nửa nhóm để giải toán Cauchy Khoá luận trình bày vấn đề: Một số kiến thức đại số Banach lý thuyết phổ Ph-ơng trình hàm Cauchy số nửa nhóm toán tử tuyến tính bị chặn Bài toán Cauchy với toán tử không giới nội Nửa nhóm nhân C0 () 56 Tài liệu tham khảo 57 Tài liệu tham khảo [1].Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel, One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer [2].Wolfgang Arendt, Charles J K Batty, Matth Hieber, Frank Neubrander, Vector -valued Laplace Tranforms and Cauchy problems, Basel, Boston, Berlin [3].A N Kolmogorov - S.V Fomine (1983), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Nhà xuất Giáo Dục 57 Tài liệu tham khảo 58 58 [...]...1.2 Đại số Banach 11 Đơn vị trong L(X, X) là toán tử đồng nhất Chuẩn trong L(X, X) đ-ợc định nghĩa nh- sau: A = sup Ax x 1 Ta biến L(X, X) thành một đại số Banach với đơn vị là I 1.2.3 Phổ và giải thức Định nghĩa 1.2.2 Cho B là đại số Banach và f B Phổ của f là tập: B (f ) = { C : f e là không khả nghịch trong B}, và tập giải của f là tập: B (f) = C\B (f) Nếu... là giải thức của phần tử đó Hơn nữa bán kính phổ của f đ-ợc xác định là : rB (f ) = sup{|| : B (f)} Để đơn giản từ giờ về sau ta sẽ kí hiệu (f), (f), r(f ) lần l-ợt là tập phổ, tập giải và bán kính phổ của f 1.2.4 Một số tính chất của phổ của toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.3 Giả sử X là không gian Banach phức, A X D(A) là tập con của X 11 1.2 Đại số Banach 12 Ta có A : D(A) X X là toán tử tuyến... A)xn = x n n Vậy x D(A) Và (I A)x = (I A)B(x y) = (x y) Suy ra Ax = y Từ đó ta có A là toán tử đóng Định lý đ-ợc chứng minh 12 1.2 Đại số Banach 13 Ta xét một số tính chất sơ cấp sau: Giả sử có A : D(A) X X là toán tử đóng và (A) Ta kí hiệu :R(, A) = (I A)1 Nhân 2 vế với (I A) ta có: (I A)R(, A) = I Nhân phân phối và chuyển vế ta có: A.R(, A) = R(, A) I Chuyển vế và nhân 2 vế của đẳng thức... (1.1) và (1.2) ta có: R(, A) R(à, A) = (à )R(, A)R(à, A) (Hệ thức Hilbert) Suy ra R(, A), R(à, A) giao hoán với nhau Mệnh đề 1.2.5 Phổ (A) của phần tử A của Đại số Banach X là tập compact không rỗng trong C Chứng minh: Ta đ-a ra một số bổ đề sau tr-ớc khi chứng minh: Bổ đề 1.2.6 Ta giả thiết 0 < < 1, A L(X), A < Khi đó phần tử (I A) khả nghịch và (I A)1 = I + A + A2 + A3 + + An + 13 1.2 Đại số. .. các giá trị chính quy đ-ợc kí hiệu là (A) và C\(A) = (A) là tập phổ của A D(A) X; A : D(A) X đ-ợc gọi là một toán tử đóng nếu: xn D(A) mà xn x và Axn y thì x D(A) và Ax = y Định lý 1.2.4 Nếu toán tử A không có phổ là toàn thể mặt phẳng phức thì A là toán tử đóng Chứng minh: Giả sử / (A) Xét ánh xạ: B : X D(A), B = (I A)1 L(X) Giả sử {xn } D(A), xn x và Axn y Đặt hn = (I A)xn ta có: lim... C, || > A ta sẽ chứng minh (A) Suy ra (A) nằm trong hình tròn r = A Tức là: (A) { sao cho || < A } Mặt khác ta có: 1 I A = (I A), 14 1.2 Đại số Banach 15 A 1 A = < 1 || 1 1 Ta suy ra rằng :(I A) khả nghịch và (I A)1 L(X) Do đó (I A) khả nghịch và (I A)1 = Vậy : 1 1 (I )1 L(X) (A) + Chứng minh (A) đóng Tính chất đóng của (A) đ-ợc suy ra ngay từ bổ đề 2: nếu 0 chính quy thì lân cận... f : [0, 1] X liên tục với X là không gian Banach phức Xét hàm đơn giản: n gn (t) = Xi XIi (t) i=1 với [0, 1] = ni=1 Ii , Ii Ij = với i = j n 1 gn (t) = 0 m(Ii )Xi i=1 Hàm f đ-ợc gọi là tích phân Bochner nếu {gn } là các hàm đơn giản sao cho: lim gn (t) = f (t), n 1 ||gn(t) f (t)||dt = 0 lim n 0 15 1.2 Đại số Banach 16 1 gn (t) n 0 Khi đó lim tồn tại và ta gọi đó là tích phân Bochner của f trên... (t))dt = 0 (Yj Zj )m(Ij ) j=1 Suy ra: p 1 (gn (t) gm (t))dt 0 Yj Zj m(Ij ) j=1 Mà: p gn (t) gm (t) = Yj Zj XIj (t) j=1 1 gn (t) gm (t) dt 0 0 16 1.2 Đại số Banach 17 Suy ra ta có điều phải chứng minh 17 Ch-ơng 2 Ph-ơng trình hàm Cauchy và một số nửa nhóm 2.1 Ph-ơng trình hàm Cauchy Bài toán 2.1.1 Tìm tất cả các ánh xạ T (.) : R+ C thoả mãn ph-ơng trình hàm: T (t + s) = T (t)T (s) t, s 0, (2.1)... tử liên tục đều Bây giờ, chúng ta lấy X là không gian Banach phức với chuẩn ã Ta kí hiệu L(X) là đại số Banach của tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên 28 2.3 Nửa nhóm các toán tử liên tục đều 29 X với chuẩn cũng đ-ợc kí hiệu là ã Bài toán 2.3.1 Tìm tất cả các ánh xạ T (.) : R L(X) với L(X) = {A : X X tuyến tính liên tục, X là không gian Banach} T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s 0, (2.14)... trên không gian Banach X đ-ợc gọi là một nửa nhóm (một tham số) trên X nếu nó thoả mãn ph-ơng trình hàm (2.14) (2.15) Nếu (2.14) (2.15) xảy ra với mọi t, s R, chúng ta gọi (T (t))t0 là một nhóm (một tham số) trên X Định nghĩa 2.3.3 Giả sử có A L(X), ta kí hiệu tập (A) = { C : I A : X X là song ánh và nghịch đảo (I A)1 L(X)} đ-ợc gọi là tập giải của A (A) = C \ (A) đ-ợc gọi là tập phổ của A Định