Bài giảng số 1: Các dạng giới hạn dãy số

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân -Vũ Thanh Hà.. Dãy số có giới hạn vô cực..[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân -Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 01: CÁC DẠNG GIỚI HẠN DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Dạng 1: Dãy số có giới hạn

a) lim1

n b)

1

lim k

n  với k số nguyên dương c) lim

n  d)

1

lim

k

n  với k số nguyên dương e) limq n với |q| < g) lim c = c, với c số

h) lim ck

n  với k số nguyên dương i) limk c

n  với k số nguyên dương

k) lim( 1)

n

k n



 ,với k số nguyên dương l) lim( 1)

n

k n



 , với k số nguyên dương

m) Nếu un vn n lim = lim un = Dạng 2: Giới hạn hữu hạn dãy số

a) Nếu lim un = a lim = b

lim (un + vn) = a + b lim (un vn) = a.b

lim (un – vn) = a – b lim n n

u a

v  b (nếu b 0) lim (c un) = c.a, với c số

b) Nếu lim un = a lim2k 1un 2k 1a 

  với k số nguyên dương

c) Nếu un 0 n lim un = a a 0 lim2kun 2ka,với k số nguyên dương e) Nếu un zn lim = lim zn = a lim un = a (nguyên lý kẹp giữa)

(2)

a) Nếu lim un = a lim = 

,

lim

,

n

a u

a v

 

  

 



b) Nếu lim un = a lim = 

,

lim

,

n

a u

a v

 

  

 



c) Nếu lim un = a > 0, lim = > với n lim n n u v   c) Nếu lim un = a < 0, lim = > với n lim n

n u v   d) Nếu limun  lim = a > lim (un vn) = 

e) Nếu limun  lim = a > lim (un vn) =  h) lim nk = với k số nguyên dương

k) lim qn = nếu q > B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn

Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau

a) n

4 n cos lim



b)

5

) (

lim n

n

 

Bài giải:

a) Ta có: cos

1

5

4 4

n

n n

n

       

Mà

os

1 5

lim lim

4

n

n n c   

  

   

b)

1

( 1)

lim lim

5

2

1

n



 

 

  

  



(3)

Dạng 1: Giới hạn 



Phương pháp:

Cách 1: ( sử dụng cho phân thức đại số ) Ta chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao n có mặt phân thức

Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, ta thực bước sau:

Bước 1: Chọn hai hàm số g(x), h(x) thỏa mãn g x( ) f x( )h x( )

Bước 2: Khẳng định lim ( )g x lim ( )h x L Bước 3: Kết luận: lim ( )f x L

Ví dụ 2:

a

3

2

lim

4

n n

n n n

 

    b

s inn lim

s inn n n





Bài giải:

a Chia tử mẫu cho n3, ta

3

2

lim

4

n n

n n n

 

    =

3

2

3

2

lim

2

4

n n

n n n  

 

 

   

b Ta có: s inn 1 s inn , n

n  n   n  n  n  

Mặt khác: lim lim

n n

   

  

   

   

s inn

lim

n

 

Khi đó:

s inn s inn

lim lim

s inn s inn

1

n n

n

 

 

(4)

Ví dụ 3:

a

2

lim n

n n

b

2

3

1 lim

2

n n

n n n  

  

Bài giải:

a Ta có:

2

lim lim lim

1

n n n

n n

  



 

b Ta có:

2 2

3

2

1

lim lim

2

1

2

n n n n

n n n

n n n    

 

  

Ví dụ

a.lim2 3.51

3

n n

n n



 b

4 lim

2.3

n

n n



Bài giải:

a Chia tử mẫu cho 5n ta

1

2 3.5

lim

3

n n

n n



 =

2

3

lim

5

n

n  

  

   

      

b Chia tử mẫu cho 4n được:

4 lim

2.3

n

n n



1

lim

3

2

4 n

 

      

(5)

Phương pháp: Sử dụng phương pháp biết để tính giới hạn 

, tính giới hạn

dạng    thơng qua phép nhân liên hợp

Ví dụ 5: Tính giới hạn sau

a lim n2 n 2 n1 b lim( n2 2n3n)

Bài giải:

    

 

2 2

2

) lim lim

2

1 1

lim lim

1

2 1 1

1

n n n n n n

a n n n

n n n

n n

n n n

       

    

   

 

 

       



b) Nhân chia biểu thức cho với liên hợp ta

2

2 3

2

2 3

n n n n

n n n

n n n n n n

    

    

     

Vậy lim( n2 2n3n)=

2

3

2

lim lim

2

1

n n

n n n

n n

 

  

  

Ví dụ 6: Tính giới hạn

3

lim( n 3n  2 n)

Bài giải:

(6)

3 3 2 3 2

3

3 2 2

3

2

3

3 2 2

3

3 ( 2)

3

( 2)

3

( 2)

n n n n n n n n n

n n n

n n n n n n

n

n n n n n n

        

   

     

 



     

Vậy ta có:

3 2

3

2

lim( ) lim

3

1 1

n

n n n

n n n n

 

     

 

     

 

 

Ví dụ : Tính giới hạn: 3

lim( n  1 n 1)

Bài giải:

Ta có:

3 3

1 1

n   n   n    n n n 

Khi đó:

   

3 3

lim( n n 1) lim n n lim n n

         

Dùng kỹ thuật nhân liên hợp, ta có:

3 

3

1

lim lim

( 1)

n n

n n n n

   

   

Và  

2

1

lim lim

1

n n



   

 

3

lim( n n 1)

    

Ví dụ : Tính giới hạn

2

1

lim

3

n n

n

  

(7)

Bài giải:

Nhân chia biểu thức cho với

1

n   n , ta

2

1

3 (3 2)( 1 1)

n n n n

   



    

2 1

3 1

n

n n n

 

 

     

 

   

Vậy

2

1

lim

3

n n

n

  



2 1

1 lim

3

2 1

3 1

n

n n n



 

 

     

 

   

Dạng 3: giới hạn vô

Ví dụ 9

a

3

2

3

lim

n n

 

 b  

3

lim 2n 3n5 c lim(2n + cosn)

Bài giải:

a Chia tử mẫu phân thức cho

n , ta được:

3 2 3

2

3

lim lim

2

n n n n

n n

 

 



Vì lim 22 13 0, lim 12

n n n n

   

     

   

   

2

nn > 0, n nên

2

3

lim

n n

 

  

b  

2

3

lim 2n 3n lim[ n (2 )]

n n

(8)

Vì

2

3

lim( n ) , lim 2

n n

 

       

  nên  

3

lim 2n 3n5  

c Ta có: lim 2 n cosn limn cosn

n

 

    

 

Vì limn , lim cosn

n

 

     

  nên lim 2 ncosn 

Ví dụ 10:

a  

lim n  n 2 n1 b lim

2

n  n c

3

7

lim

12

n n n

n

  



Bài giải:

a Ta có:

2

1 1

2 1

n n n n

 

          

 

Mặt khác lim n   lim 1 22 12

n n n n

 

     

 

 

Vậy  

lim n  n 2 n1  

b lim lim lim( 1) ,

2

n n

n n n

n n

  

       

  

  

c Chia tử mẫu phân thức cho

n , ta

3 3 5 6

2

7

1

7

lim lim

1 12

12

n n n n n n

n

n n

  

 



Vì 3

3

7 12

lim 1 0, lim

n n n n n

 

        

 

1 12

nn > 0, n nên

3

7

lim

12

n n n

n

  

(9)

Dạng 4: giới hạn dãy số cho dạng truy hồi

Ví dụ 11:

Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi

    

 

 

 n

2 u u

2 u

n n

Tìm số hạng tổng quát

của dãy (un) từ tìm lim un Bài giải:

 Ta có:

1

2

3

2

2 2

2

1

2

u

  

 

 

 



 

Dự đoán 2

2

n

n n

u   , n N (1)

 Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp

Với n = 1, theo giả thiết ta có u 1 Vậy (1) với n =

Giả sử (1) với n = k, kN Ta chứng minh (1) với n = k + Thật ta có:

1

2

1

1 2 2

2 2

k

k k

k

k k

u u



 

  

Vậy (1) n = k + (đpcm)

 Ta có: lim lim2 2

n

n n

u   

(10)

Phương pháp: Sử dụng công thức: S =

1 ,

1

u

u u q

q

   



Ví dụ 12: Tính tổng vơ hạn sau

a 1

2

S     b S10,9(0,9)2  (0,9)n1

Bài giải:

a Xét cấp số nhân (un) có u1 = cơng bội

1

q   , ta

S = 1

2

1 1

2

u

q  



b Xét cấp số nhân  un có u1= cơng bội q 0,9 1 , ta

S = 1

10

1 0,

u

q 

 

Ví dụ 13: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số

a) 0,777… b) 0,2121…

Bài giải:

a Ta có: 0, 777 72 73

10 10 10

   

Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu

7 10

u  công bội

1 10

q  Do đó:

7 10 0, 777

1

1 10

 



b Ta có 0, 2121 21 212

100 100

(11)

Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu

21 100

u  công bội

100

q  Do 21

21 100

0, 2121

1 99 33

1 100

  



Ví dụ 14: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

3, tổng ba số hạng 39 25

Tính số hạng đầu cơng bội cấp số

Bài giải:

Theo ta có:

 

1

3

1

5

1 5 39 2

1

3 25

(1 ) 39

1 25

u q

q q

u q

q

    

    

 

 

 



1 u

 

Vậy cấp số có số hạng đầu u 1 công bội

2

q 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính giới hạn

a

2

(1 )(1 ) (3 )

lim

(2 )(3 ) (4 )

x

x x x



  

   b

3 2.5

lim

7 3.5

n n

n x



 c

2 lim

2

n n n

  

d  

lim n nn e

sin lim

3n

n

 

 

  f

2

1

lim

1

n

a a a

b b b

   

    , với a 1,b 1

g

3

1

lim

3

n n

n

  

 h

1 lim

1

n



 i

1

2

3

lim

3

n n



(12)

ĐS: a) b)

3 

c) d) e) f) g) h) -1 i) -4

Bài 2: Tính giới hạn sau

a) lim(n2 2n5) b) lim(n33n25) c) 3 2 n n n n lim    d) n n n lim 2    e) n n n n lim 2 

 g)

2 n ) n ( ) n ( lim   

h) )

n

lim( n  i) lim(4n (2)n) k) lim n n n n   

l) lim(( n

n n )  

 ) m) lim

3 n n n

n2

    

n) lim n n2 1 n2 2 p)lim 

1 n 1n  

q) lim 2 n n ) ( n   

r) lim 2

n n ) ( n   

s) lim(0,99)ncosn t) lim(5n cos n)

ĐS: 16a) , 16b) , 16c) – 3, 16d), 16e) 0, 16g)

4 27

, 16h) , 16i) , 16k) –

2

,

16l) 0, 16m) –1, 16n) –

2

, 16p) 0, 16q) 0, 16r) 0, 16s) 0, 16t) 

Bài 3: Tính giới hạn sau:

a) lim( n22n ) n b) lim( n2 2n  ) n c) lim( 4n2 2n2n )

d)lim(3 2nn3   ) n e)lim(1n2 n4 3n ) f) lim 2n n

2

+ n

3n2 +2n +

g) lim n n n n n

3



 

(13)

k) lim 4n

2

+ – 2n –

n2 + 4n + – n m) lim(1 + n

2

– n4 + 3n + ) n)lim n

2

+ – n6

n4 + – n2

Đs: a) 1, b) , c)

2, d) -1, e) 1, f) g)

4

3 h)

1 k)

1

 m)

Bài 4: Tính tổng vơ hạn sau

a

3 27

1

S     n 

b

2 1 2

S     

c )

2 ( 1

S       n 

d d Ssinsin2 sinn với  k

ĐS: a)

2 b) 2

 c)

d)

 

 sin

sin

Bài 5: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số

a) 0,444… b) 0,32111

ĐS: a)

9 b) HD:

2

32 1 1

0, 32111

100 1000 1000 10 1000 10

   

       

    ĐS:

289 900

Bài 6: Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng công bội

3

q 

1 n

n )

3 (

u  

(14)

Bài 8: Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi

    

 

 

 u n

u u

n

1 Biết dãy số

đã cho có giới hạn n, tìm giới hạn

ĐS: cos 1

2

n n

u   lim un =

Bài 9: Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi       

 

 

 n

u

1 u

2 u

n

Dãy số cho

có giới hạn hay khơng n? Nếu có, tìm giới hạn

ĐS: ,limu

1 n

n

un n 





Bài 10:

a) Tính lim 1 1.32.43.4 n n( 2)

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	588,58 KB