Vấn đề 6: Phép vị tự và các dạng bài tập

Chứng minh rằng phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.. Định lý 1.[r]

(1)

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phép biến hình theo chương trình SGK 11

VẤN ĐỀ PHÉP VỊ TỰ

I Khái niệm phép vị tự

1 Cho điểm O cố định điểm M cho trước Dựng điểm M ' cho OM 'kOM với

a) k

 b) k 

2 Qua phép vị tự tâm O (gốc toạ độ) tỷ số k tìm ảnh điểm M x( ;0 y z0; 0)

II Tính chất phép vị tự

3 Cho phép vị tự tâm O tỷ số k hai điểm A, B

a) Dựng ảnh A’, B’ A, B qua V(O, k)

b) Chứng minh A ' B 'kAB A ' B ' k AB

b) V(O,k ): AA 'OA 'kOA, B B 'OB 'kOB Từ sử dụng A ' B '  OB ' OA '

4 Chứng minh phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng

Giả sử A, B, C ba điểm thẳng hàng, B nằm A C Gọi A ', B ', C ' ảnh

của A, B, C qua V(O,k) Sử dụng định lý để chứng minh A ', B ', C ' thẳng hàng B ' nằm

giữa A ', C '

5 Từ định lý suy kết luận ảnh đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, góc qua phép vị tự?

6 Chứng minh phép vị tự tâm O tỷ số k biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường

trịn tâm I ' bán kính R ' k R

Cho điểm O cố định số thực k0 Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành điểm M ' cho OM 'kOM gọi phép vị tự tâm O tỷ số k Ký hiệu V(O,k) V Như vậy:

(O,k )

V : M M 'OM 'kOM   

Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự tâm O tỷ số k biến hai điểm A, B thằnh hai điểm A ', B '

A ' B 'kAB A ' B ' k AB Định lý

Phép vị tự tâm O tỷ số k biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng

(2)

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phép biến hình theo chương trình SGK 11

(O,k )

V : II '  I ' cố định Lấy M (I, R) IMR Gọi M 'V(M) Phải chứng

minh M ' thuộc (I ', k R)

7 Cho phép vị tự tâm O tỷ số k Hỏi qua V(O, k ):

a) Những đường thẳng biến thành

b) Những đường trịn biến thành

8 Chứng minh thực liên tiếp hai phép vị tự tâm O phép vị tự tâm O

III Tâm vị tự hai đường tròn

9 Cho hai đường trịn (I, R) (I ', R ') Tìm phép vị tự biến (I, R) thành (I ', R ')

Xét trường hợp a) II ' R R ', b) II ' RR c) II ' RR '

IV Bài tập phép vị tự

10 Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng d : 2x 3y 5  0 Tìm d’ d qua phép vị tự tâm O

tỷ số k 

11 (ĐC HKI - AMS) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : (x2)2(y 1) 24

và (C ') : (x 8) 2(y 4) 216

a) Tìm phương trình trục đối xứng (C) (C ')

b) Tìm k cho (C ') ảnh (C) qua phép vị tự tỷ số k

c) Tìm ảnh (C) qua phép vị tự tâm I(3, 4) tỷ số k

d) Tìm toạ độ tâm vị tự (C) (C ')

12 Cho tam giác ABC với trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Sử dụng

phép vị tự, chứng minh GH 2GO (Nếu G, H, O khơng trùng chúng nằm đường thẳng, gọi đường thẳng Euler)

Gọi A ', B ', C ' trung điểm BC, CA, AB, chứng tỏ O trực tâm tam giác

A ' B 'C ' Tìm ảnh A ' B ' C ' O qua V(G , 2)

Phép vị tự tâm O tỷ số k biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường trịn tâm I ' bán kính R ' k R

Định lý

Nếu có phép vị tự tâm O biến đường trịn thành đường trịn kia O gọi tâm vị tự hai đường trịn Hơn nữa, tỷ số vị tự dương O gọi tâm vị tự ngồi, trái lại, ta có tâm vị tự

(3)

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phép biến hình theo chương trình SGK 11 13 Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định A chạy đường tròn (O, R) cố định

khơng có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC

14 (ĐC HKI - AMS) Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AB = a, AD = b, DC hai đỉnh A, B cố định c

a) Tìm quỹ tích điểm C D thay đổi

b) Tìm quỹ tích giao điểm I hai đường chéo hình thang C thay đổi

a) Gọi A' la đỉnh hình bình hành AA’CD, suy A’ cố định Đáp số

 C (A ', b)TAA '(A, b)

b) Chứng minh AI a AC a c 

  

Đáp số   a

(A, )

a c

I V ((A ', b))



