Vẽ đồ thị hàm số - Bài tập khảo sát hàm số bậc nhất

b) Chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang, Trung tâm g[r]

Bài giảng số 2: HỆ SỐ GÓC CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1 Góc tạo bởi đường thẳng  d : yax b và Ox

Cho đường thẳng  d yax b cắt Ox tại A Điểm T d có tung độ dương Khi đó góc tạo bởi đường thẳng  d yax b và Ox chính là góc TAx

2 Hệ số góc

Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau và a gọi là hệ số góc của đường thẳng

yax b 

Chú ý: Hệ số góc  d : yax b là tan a

- Nếu a 0 thì 90  180

- Nếu a 0 thì 0 90

3 Phương pháp tính góc của đường thẳng  d : yax b với trục hoành Ox

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số với 2 điểm đặc biệt:

+ Giao điểm A của  d với trục hoành Ox : A b; 0

a



 

+ Giao điểm B của  d với trục tung Oy : B0;b

Bước 2: Xác định góc, dùng hình học tính tan

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hàm số  d : y 2x3

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tính góc của đường thẳng  d với trục hoành Ox (làm tròn đến phút)

Giải

a) TXĐ: DR

Ta có: a   2 0hàm số nghịch biến

Bảng giá trị:

2

y  x 3 0

Đồ thị của hàm số y 2x là đường thẳng đi qua 2 điểm 3

 

3

; 0 , 0;3

2

A  B

b) Xét AOB vuông tại O, ta có: tan OB 2  63 26

     BAx180A116 34 

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng  d :yx3 và  d1 :y 2x

a) Vẽ đồ thị    d , d1 trên cùng mặt phẳng Oxy

b) Tìm tọa độ giao điểm của    d , d1 bằng phép tính

c) Tính góc của đường thẳng  d với trục hoành Ox

Giải

a)

Xét  d :yx3

TXĐ: DR

Ta có a  1 0 hàm số đồng biến

Bảng giá trị:

Xét  d1 :y 2x

TXĐ: DR

Ta có a   2 0 hàm số nghịch biến Bảng giá trị:

x 0 3

3

y  x -3 0

Đồ thị của hàm số y  là đường thẳng đi qua x 3

hai điểm A0; 3 ,  B3; 0

x 0 1 2

y  x 0 -2

Đồ thị của hàm số y 2x là đường thẳng đi qua hai điểm O0;0và 1; 2  

Vẽ đồ thị:

-2

x y

-1

-3

O

B

A

(d )

(d)

1

b) Hoành độ giao điểm của    d , d1 là: x  3 2x 3x 3 x1y  2

Vậy giao điểm của    d , d1 là 1; 2 

c) Trong AOB vuông tại O, ta có: tan 3 1

3

OAB

OA

OAB

Vậy  d ,Ox  45

Ví dụ 3: Cho 2 đường thẳng  d : y  x 3 và  : 2

2

x

d y  

a) Vẽ đồ thị    d , d  trên cùng mặt phẳng Oxy

b)  d và  d cắt trục hoành lần lượt tại A , B  d cắt  d tại C Tính các góc của ABC (làm tròn đến phút)

c) Tìm tạo độ điểm C

d) Tính chu vi và diện tích ABC

Giải

Xét  d : y  x 3

TXĐ: D  

Ta có a   1 0 hàm số nghịch biến

Bảng giá trị:

x 0 3

3

y   x 3 0

Đồ thị của hàm số y   là đường thẳng đi x 3

qua hai điểm D0;3 , 3; 0  

2

x

d y  

TXĐ: D  

2

a     hàm số nghịch biến

Bảng giá trị:

x 0 4

2 2

x

y    2 0

Đồ thị của hàm số 2

2

x

y    là đường thẳng đi qua hai điểm K0; 2 và 4; 0 

Vẽ đồ thị:

x

y

O

4

2

1 3

B

C

A

(d)

(d')

b) Dựa vào đồ thị ta có: A3;0, B4; 0

Trong AOD vuông tại O ta có:  3

3

OD OAD

OA

BAC

Trong OBK vuông tại O ta có:  2 1

tan

OK OBK

OB

   OBK26 34 

Trong ABC: ACB180 ABCBAC 18013526 34 18 26 

c) Hoành độ giao điểm C của  d và  d là:

3 2

2

x x

Vậy C2;1

d) Dựa vào hình vẽ ta có: AB 1, AC  2, BC  5

Diện tích ABC là: 1

2

ABC

S  Chu vi ABC là: PABC  1 2 54, 65

Ví dụ 4 :Lập phương trình đường thẳng d 1

a) Đi qua điểm M'1;1 và có hệ số góc bằng 4

3

b) Chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24

c) Khoảng cách từ O đến d bằng 1 12

5

Giải

a) Đi qua điểm M'1;1

Đường thẳng d có hệ số góc bằng 1 4

3 có phương trình 1

4 : 3

d y x b vì

4

3

M  d    b b Vậy ta được 1: 4 1

3

d y x

b) Chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24

Gọi I J theo thứ tự là giao điểm của , d với các trục 1 Ox Oy ta được ,

3

I x  y  b b do đó I0;b

b

J y    x b  x  do đó 3 ;0

4

b

J 

Diện tích OIJ được cho bởi

2 2

OIJ

b b

S  OI OJ   b   b  b  Khi đó

Với b 8, ta được đường thẳng d :y 4x8

Với b   ta được đường thẳng 8, 1: 4 8

3

d y x

c) Khoảng cách từ O đến d bằng 1 12

5

Gọi I J theo thứ tự là giao điểm của , d với các trục 1 Ox Oy ta được ,

3

I x  y  b I b

b

J y    x b  x  do đó 3 ;0

4

b

J 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d trong 1 OAB vuông tại O ta có

2

3

4

b b

OA OB

b



  

Khi đó

Với b 4 ta được đường thẳng 1'': 4 4

3

d y x

Với b  4 ta được đường thẳng 1'': 4 4

3

d y x

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số  d : y 4x3

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tính góc của đường thẳng  d với trục hoành Ox (làm tròn đến phút) ĐS: 104 2

Bài 2: Cho hàm số  d : y2x5

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tính góc của đường thẳng  d với trục hoành Ox (làm tròn đến phút) ĐS: 63 26

Bài 3: Cho hai đường thẳng  d :y2x1 và  d1 :y  x 5

a) Vẽ đồ thị    d , d1 trên cùng mặt phẳng Oxy

b) Tìm tọa độ giao điểm của    d , d1 bằng phép tính ĐS:  2; 3

c) Tính góc của đường thẳng    d , d1 với trục hoành Ox ĐS: 63 26 , 135  

Bài 4: Cho đường thẳng có phương trình: ax2a1y 3 0

a) Xác định giá trị của a để đường thẳng đi qua điểm A1; 1  Tìm hệ số góc của đường thẳng

7

a hsg 

b) Chứng minh khi a thay đổi thì các đường thẳng có phương trình ở trên luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5: Cho hai điểm có toạ độ A1; 2, B2;1m

a) Xác định giá trị của m để đồ thị  d1 của phương trình: mx3y đi qua điểm A 5

ĐS: m 11

b) Với m tìm được, lập phương trình đường thẳng  d2 đi qua A và B ĐS: 10x3y16 0 c) Khi m 11, không cần làm phép tính thì giao điểm của  d1 và  d2 là điểm nào? Toạ độ là bao

Bài 6: Cho đường thẳng  d có phương trình: x 3y40

a) Vẽ  d trên hệ trục toạ độ Oxy và tính góc tạo bởi  d với trục Ox ĐS: 45

b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng  d ĐS: 2

c) Chứng tỏ rằng đường thẳng  d1 có phương trình: x4  3y chỉ cắt 0  d tại 1 điểm trên trục

3

Bài 7: Cho hàm số: ymx2m1 m0  1

a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O Vẽ đồ thị  d1 với m tìm được

2

m  

b) Tính theo m toạ độ giao điểm A B của đồ thị hàm số ,  1 lần lượt với trục Ox Oy Xác định m để ,

AOB có diện tích bằng 2(đv dt) ĐS: A 2 1 ;0

m



 , B0; 2 m1, 2 3

2

m  c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số  1 luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

ĐS: 2; 1 

Bài 8: Cho các hàm số  d1 :y2x1,  d2 :y 3x4,  3  

d y  m x m

a) Gọi A là giao điểm của  d1 và  d2 Tìm toạ độ của A ĐS: A 1;1

b) Xác định giá trị của m để      d1 , d2 , d3 đồng quy tại một điểm ĐS: m  1

c) Minh hoạ hình học kết quả tìm được

Bài 9: Cho đường thẳng  d có phương trình: ym2xm2  1

a) Xác định giá trị của m , biết rằng  d đi qua điểm A3;0 ĐS: m  1

b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng  d đi qua một điểm cố định trong mặt phẳng

Bài 10: Cho các đường thẳng có phương trình như sau:  d1 :2xy5,  d2 : 3 x2y 4,

 d3 :xy1

a) Chứng minh rằng      d1 , d2 , d3 đồng quy tại một điểm ĐS : 2;1

b Minh hoạ hình học kết quả vừa tìm được

Bài 11: Cho điểm B' 4; 1    Lập phương trình đường thẳng d đi qua 3 B' cắt Ox Oy theo thứ tự tại ,

I a J b với a b  sao cho: , 0

4

d y  x

2

d y  x

c) 12 12

1

4

d y  x

d) Đi qua B" 4;1  và tạo với Ox một góc  có tan  3 ĐS: y 3x13

- Tìm trên đường thẳng d điểm 3 I"x I";y I" sao cho x I"2 y I"2 nhỏ nhất ĐS: " 117 13;

20 10

I  

Bài 12: Lập phương trình đường thẳng d biết 4 d 4

a) Đi qua A" 1; 2  có hệ số góc bằng 3 ĐS: y3x 1

b) Đi qua B"3; 2 và tạo với tia Ox một góc 0

c) Đi qua C" 3; 2  và tạo với tia Ox một góc 60 0 ĐS: y 3x 2 3 3

Bài 13: Tính số đo góc tạo bởi các đường thẳng sau với Ox: y 2x1 và 3 1

3

y    ĐS: 54 44 ; 90  

Bài 14: Cho 2 đường thẳng:  d1 :y 4xm1,  2

4

3

d y x  m

a) Tìm m để  d1 cắt  d2 tại điểm C trên trục tung ĐS: 7; 0;9

m C 

b) Với m vừa tìm được, tìm giao điểm A B của 2 đường thẳng ,    d1 , d2 với Ox

ĐS: 9;0 , 27; 0

A  B 

8

P S 

d) Tính các góc của ABC ĐS: A75 58 ,  B53 8 ,  C50 54 