Tải Giải SBT Toán 12 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Giải SBT Toán lớp 12

[r]

(1)

Giải SBT Toán 12 5: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Bài 1.34 trang 33 Sách tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) y=x3+(m+3)x2+mx−2 đạt cực tiểu x = 1

b) y=−1/3(m2+6m)x3−2mx2+3x+1 đạt cực đại x = -1;

Hướng dẫn làm bài:

a)

y′=3x2+2(m+3)x+m

y′=0 3x⇔ 2+2(m+3)x+m=0

Hàm số đạt cực trị x = thì:

y′(1)=3+2(m+3)+m=3m+9=0 m=−3⇔

Khi đó,

y′=3x2−3

y′′=6x;y′′(1)=6>0

Suy hàm số đạt cực tiểu x = m =

b)

y′=−(m2+6m)x2−4mx+3

y′(−1)=−m2−6m+4m+3

=(−m2−2m−1)+4=−(m+1)2+4

y′=−(m2+6m)x2−4mx+3

Hàm số đạt cực trị x = -1 thì:

y′(−1)=−(m+1)2+4=0 (m+1)⇔ 2=4 [m=3;m=−1⇔

Với m = -3 ta có y’ = 9x2 + 12x + 3

(2)

⇒y′′(−1)=−18+12=−6<0

Suy hàm số đạt cực đại x = -1

Với m = ta có:

y′=−7x2−4x+3

⇒y′′=−14x−4 y″=−14x−4⇒

⇒y′′(−1)=10>0

Suy hàm số đạt cực tiểu x = -1

Kết luận: Hàm số cho đạt cực đại x = -1 m = -3

Bài 1.35 trang 33 Sách tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) y=x4+(m2−4)x2+5 có cực trị

b) y=(m−1)x4−mx2+3 có cực trị.

a) Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt, tức là:

y′=4x3+2(m2−4)x=2x(2x2+m2−4)=0 có nghiệm phân biệt

⇔x2+m2−4=0 có nghiệm phân biệt khác 0

⇔4−m2>0 −2<m<2⇔

Vậy với - < m < hàm số có cực trị

b) y′=4(m−1)x3−2mx=2x[2(m−1)x2−m]

Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm, tức là:

2x[2(m−1)x2−m]=0 có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = m/2(m−1)≤0 0≤m≤1⇔

Vậy với 0≤m≤10≤m≤1 hàm số cho có cực trị

(3)

Tìm m để hàm số: y=1/3mx3+mx2+2(m−1)x−2 khơng có cực trị

Hàm số cực trị phương trình:

y′=mx2+2mx+2(m−1)=0 khơng có nghiệm phân biệt.

Muốn vậy, phải có:

Δ′=m2−2m(m−1)=−m2+2m≤0 [m≤0;m≥2⇔

Vậy với m ≤ m ≥ hàm số cho cực trị

Chứng minh hàm số: y=x3−3(m−1)x2−3(m+3)x−5 ln có cực trị với mọi

giá trị m R∈

y′=3x2−6(m−1)x−3(m+3)

y′=0 x⇔ 2−2(m−1)x−m−3=0

Hàm số cực trị y’ = có nghiệm phân biệt

⇔Δ′=(m−1)2+m+3=m2−m+4≥0

Ta thấy tam thức Δ′=m2−m+4 ln dương với m R δ=1−16=−15<0 a∈

= >

Vậy hàm số cho ln có cực trị với giá trị

Cho hàm số: y=1/4x3−3/2x2+5

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = có nghiệm

thực phân biệt

a) Tập xác định: D = R; y′=3/4x2−3x

(4)

Hàm số đồng biến khoảng (−∞;0),(4;+∞)

Hàm số nghịch biến khoảng (0; 4)

Hàm số đật cực đại x = 0, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 4, yCT = -3

Đồ thị qua A(-2; -3); B(6; 5)

b)

x3−6x2+m=0

⇔x3−6x2=−m (1)

⇔1/4x3−3/2x2+5=5−m/4

Số nghiệm thực phân biệt phương trình (1) số giao điểm phân biệt đồ thị (C) đường thẳng (d): y=5−m/4

Suy (1) có nghiệm thực phân biệt khi: −3<5−m/4<5 0<m<32⇔

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y=−x3+3x+1

(5)

c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm phương trình: (x+1)3=3x+m

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) đồ thị (C’), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=−x/9+1

a)

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái đơn vị, ta đồ thị (C1)

hàm số

y=f(x)=−(x+1)3+3(x+1)+1 hay f(x)=−(x+1)3+3x+4 (C 1)

Lấy đối xứng (C1) qua trục Ox, ta đồ thị (C’) hàm số

y=g(x)=(x+1)3−3x−4

c) Ta có: (x+1)3=3x+m (1)

⇔(x+1)3−3x−4=m−4

(6)

y=g(x)=(x+1)3−3x−4 (C’) y = m – (d1)

Từ đồ thị, ta suy ra:

+) m > m < 1: phương trình (1) có nghiệm

+) m = m = 1: phương trình (1) có hai nghiệm

+) < m < , phương trình (1) có ba nghiệm

d) Vì (d) vng góc với đường thẳng y=−x/9+1 nên ta có hệ số góc

Ta có: g′(x)=3(x+1)2−3

g′(x)=9 [x=1;x=−3⇔

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

y–1=9(x–1) y=9x–8⇔

y+3=9(x+3) y=9x+24.⇔

Biện luận theo k số nghiệm phương trình:

a) (x−1)2=2|x−k|

b) (x+1)2(2−x)=k

a) Phương trình cho tương đương với phương trình:

2(x−k)=±(x−1)2

⇔[−x2+4x−1=2k;x2+1=2k

(7)

Từ đồ thị ta suy ra:

2k > 3: phương trình có hai nghiệm;

2k = 3: phương trình có ba nghiệm;

2 < 2k < 3: phương trình có bốn nghiệm;

1 < 2k < 2: phương trình có bốn nghiệm;

2k < 1: phương trình có hai nghiệm

(1): phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm;

(3): phương trình có hai nghiệm

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y=(x+1)2(2−x)

y=−x3+3x+2 y′=−3x⇒ 2+3

y′=0 [x=1;x=−1⇔

(8)

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

* k > k < 0: phương trình có nghiệm;

* k = k = 0: phương trình có hai nghiệm;

* < k < 4: phương trình có ba nghiệm

Cho hàm số: y=x3−(m+4)x2−4x+m (1)

a) Tìm điểm mà đồ thị hàm số (1) qua với giá trị m

b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hàm số (1) ln ln có cực trị

c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) (1) m =

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx ba điểm phân biệt

a) y=x3−(m+4)x2−4x+m

(9)

Đồ thị hàm số (1) luôn qua điểm A(x; y) với m (x; y) nghiệm hệ phương trình:

{x2−1=0;y−x3+4x2+4x=0

Giải hệ, ta hai nghiệm:

[x=1,x=−7;x=−1,y=−1

Vậy đồ thị hàm số luôn qua hai điểm (1; -7) (-1; -1)

b) y′=3x2−2(m+4)x−4

Δ′=(m+4)2+12

Vì ∆’ > với m nên y’ = ln ln có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu qua hai nghiệm đó) Từ suy đồ thị (1) ln ln có cực trị

c) Học sinh tự giải

d) Với m = ta có: y = x3 – 4x2 – 4x.

Đường thẳng y = kx cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 – 4x2 – 4x = kx.

Hay phương trình x2– 4x – (4 + k) = có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

{Δ′=k+8>0;k≠−4

⇔[−8<k<4;−4<k<+∞

Cho hàm số y=2x4−4x2(1)

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Với giá trị m, phương trình x2|x2−2|=m có nghiệm thực phân

biệt?

(Đề thi đại học năm 2009; khối B)

a) Tập xác định: D = R

(10)

Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1;+∞)

Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−1);(0;1)

Hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x=±1;yCT=−2

limx→±∞y=+∞

y′′=24x2−8;y′′=0 x⇔ 2=1/3 x=±√3/3⇔

Đồ thị có hai điểm uốn: I1(−√3/3;−10/9);I2(√3/3;−10/9)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại:

b) Ta có: x2|x2−2|=m

⇔2x2|x2−2|=2m

⇔|2x2(x2−2)|=2m

(11)

Từ đồ thị hàm số y = 2x4 – 4x2 suy đồ thị hàm số y=|2x4−4x2| như

sau:

Phương trình: |2x4−4x2|=2m có nghiệm phân biệt đường thẳng y

= 2m có nghiệm phân biệt với đồ thị (H)

⇔0<2m<2

⇔0<m<1

Cho hàm số: y=x4/4−2x2−94

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với trục Ox

c) Biện luận theo k số giao điểm (C) với đồ thị (P) hàm số: y=k–2x2

a) Học sinh tự giải

b) x4/4−2x2−94=0 x⇔ 4−8x2−9=0

⇔(x2+1)(x2−9)=0 [x=−3;x=3⇔

(C) cắt trục Ox x = -3 x =

Ta có: y′=x3−4x

(12)

y=y′(3)(x–3) y=y′(−3)(x+3)

Hay y=15(x–3) y=−15(x+3)

c) x4/4−2x2−9/4=k−2x2⇔x4=9+4k

Từ đó, ta có:

k=−9/4: (C) (P) có điểm chung (0;−9/4)

k>−9/4: (C) (P) có hai giao điểm

k<−9/4: (C) (P) không cắt

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	201,25 KB