Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Giải SBT Toán 12 5: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Bài 1.34 trang 33 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Tìm m để hàm số
a) y=x3+(m+3)x2+mx−2 đạt cực tiểu x = 1
b) y=−1/3(m2+6m)x3−2mx2+3x+1 đạt cực đại x = -1;
Hướng dẫn làm bài:
a)
y′=3x2+2(m+3)x+m
y′=0 3x⇔ 2+2(m+3)x+m=0
Hàm số đạt cực trị x = thì:
y′(1)=3+2(m+3)+m=3m+9=0 m=−3⇔
Khi đó,
y′=3x2−3
y′′=6x;y′′(1)=6>0
Suy hàm số đạt cực tiểu x = m =
b)
y′=−(m2+6m)x2−4mx+3
y′(−1)=−m2−6m+4m+3
=(−m2−2m−1)+4=−(m+1)2+4
y′=−(m2+6m)x2−4mx+3
Hàm số đạt cực trị x = -1 thì:
y′(−1)=−(m+1)2+4=0 (m+1)⇔ 2=4 [m=3;m=−1⇔
Với m = -3 ta có y’ = 9x2 + 12x + 3
(2)⇒y′′(−1)=−18+12=−6<0
Suy hàm số đạt cực đại x = -1
Với m = ta có:
y′=−7x2−4x+3
⇒y′′=−14x−4 y″=−14x−4⇒
⇒y′′(−1)=10>0
Suy hàm số đạt cực tiểu x = -1
Kết luận: Hàm số cho đạt cực đại x = -1 m = -3
Bài 1.35 trang 33 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Tìm m để hàm số
a) y=x4+(m2−4)x2+5 có cực trị
b) y=(m−1)x4−mx2+3 có cực trị.
Hướng dẫn làm bài:
a) Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt, tức là:
y′=4x3+2(m2−4)x=2x(2x2+m2−4)=0 có nghiệm phân biệt
⇔x2+m2−4=0 có nghiệm phân biệt khác 0
⇔4−m2>0 −2<m<2⇔
Vậy với - < m < hàm số có cực trị
b) y′=4(m−1)x3−2mx=2x[2(m−1)x2−m]
Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm, tức là:
2x[2(m−1)x2−m]=0 có nghiệm x = 0
Muốn vậy, phải có m = m/2(m−1)≤0 0≤m≤1⇔
Vậy với 0≤m≤10≤m≤1 hàm số cho có cực trị
(3)Tìm m để hàm số: y=1/3mx3+mx2+2(m−1)x−2 khơng có cực trị
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số cực trị phương trình:
y′=mx2+2mx+2(m−1)=0 khơng có nghiệm phân biệt.
Muốn vậy, phải có:
Δ′=m2−2m(m−1)=−m2+2m≤0 [m≤0;m≥2⇔
Vậy với m ≤ m ≥ hàm số cho cực trị
Bài 1.37 trang 34 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh hàm số: y=x3−3(m−1)x2−3(m+3)x−5 ln có cực trị với mọi
giá trị m R∈
Hướng dẫn làm bài:
y′=3x2−6(m−1)x−3(m+3)
y′=0 x⇔ 2−2(m−1)x−m−3=0
Hàm số cực trị y’ = có nghiệm phân biệt
⇔Δ′=(m−1)2+m+3=m2−m+4≥0
Ta thấy tam thức Δ′=m2−m+4 ln dương với m R δ=1−16=−15<0 a∈
= >
Vậy hàm số cho ln có cực trị với giá trị
Bài 1.38 trang 34 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số: y=1/4x3−3/2x2+5
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho
b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = có nghiệm
thực phân biệt
Hướng dẫn làm bài:
a) Tập xác định: D = R; y′=3/4x2−3x
(4)Hàm số đồng biến khoảng (−∞;0),(4;+∞)
Hàm số nghịch biến khoảng (0; 4)
Hàm số đật cực đại x = 0, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 4, yCT = -3
Đồ thị qua A(-2; -3); B(6; 5)
b)
x3−6x2+m=0
⇔x3−6x2=−m (1)
⇔1/4x3−3/2x2+5=5−m/4
Số nghiệm thực phân biệt phương trình (1) số giao điểm phân biệt đồ thị (C) đường thẳng (d): y=5−m/4
Suy (1) có nghiệm thực phân biệt khi: −3<5−m/4<5 0<m<32⇔
Bài 1.39 trang 34 Sách tập (SBT) Giải tích 12
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y=−x3+3x+1
(5)c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm phương trình: (x+1)3=3x+m
d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) đồ thị (C’), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=−x/9+1
Hướng dẫn làm bài:
a)
b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái đơn vị, ta đồ thị (C1)
hàm số
y=f(x)=−(x+1)3+3(x+1)+1 hay f(x)=−(x+1)3+3x+4 (C 1)
Lấy đối xứng (C1) qua trục Ox, ta đồ thị (C’) hàm số
y=g(x)=(x+1)3−3x−4
c) Ta có: (x+1)3=3x+m (1)
⇔(x+1)3−3x−4=m−4
(6)y=g(x)=(x+1)3−3x−4 (C’) y = m – (d1)
Từ đồ thị, ta suy ra:
+) m > m < 1: phương trình (1) có nghiệm
+) m = m = 1: phương trình (1) có hai nghiệm
+) < m < , phương trình (1) có ba nghiệm
d) Vì (d) vng góc với đường thẳng y=−x/9+1 nên ta có hệ số góc
Ta có: g′(x)=3(x+1)2−3
g′(x)=9 [x=1;x=−3⇔
Có hai tiếp tuyến phải tìm là:
y–1=9(x–1) y=9x–8⇔
y+3=9(x+3) y=9x+24.⇔
Bài 1.40 trang 34 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Biện luận theo k số nghiệm phương trình:
a) (x−1)2=2|x−k|
b) (x+1)2(2−x)=k
Hướng dẫn làm bài:
a) Phương trình cho tương đương với phương trình:
2(x−k)=±(x−1)2
⇔[−x2+4x−1=2k;x2+1=2k
(7)Từ đồ thị ta suy ra:
2k > 3: phương trình có hai nghiệm;
2k = 3: phương trình có ba nghiệm;
2 < 2k < 3: phương trình có bốn nghiệm;
2k = 2: phương trình có ba nghiệm;
1 < 2k < 2: phương trình có bốn nghiệm;
2k = 1: phương trình có ba nghiệm;
2k < 1: phương trình có hai nghiệm
(1): phương trình có bốn nghiệm;
(2): phương trình có ba nghiệm;
(3): phương trình có hai nghiệm
b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y=(x+1)2(2−x)
y=−x3+3x+2 y′=−3x⇒ 2+3
y′=0 [x=1;x=−1⇔
(8)Đồ thị:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra:
* k > k < 0: phương trình có nghiệm;
* k = k = 0: phương trình có hai nghiệm;
* < k < 4: phương trình có ba nghiệm
Bài 1.41 trang 34 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số: y=x3−(m+4)x2−4x+m (1)
a) Tìm điểm mà đồ thị hàm số (1) qua với giá trị m
b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hàm số (1) ln ln có cực trị
c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) (1) m =
d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx ba điểm phân biệt
Hướng dẫn làm bài:
a) y=x3−(m+4)x2−4x+m
(9)Đồ thị hàm số (1) luôn qua điểm A(x; y) với m (x; y) nghiệm hệ phương trình:
{x2−1=0;y−x3+4x2+4x=0
Giải hệ, ta hai nghiệm:
[x=1,x=−7;x=−1,y=−1
Vậy đồ thị hàm số luôn qua hai điểm (1; -7) (-1; -1)
b) y′=3x2−2(m+4)x−4
Δ′=(m+4)2+12
Vì ∆’ > với m nên y’ = ln ln có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu qua hai nghiệm đó) Từ suy đồ thị (1) ln ln có cực trị
c) Học sinh tự giải
d) Với m = ta có: y = x3 – 4x2 – 4x.
Đường thẳng y = kx cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 – 4x2 – 4x = kx.
Hay phương trình x2– 4x – (4 + k) = có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
{Δ′=k+8>0;k≠−4
⇔[−8<k<4;−4<k<+∞
Bài 1.42 trang 35 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số y=2x4−4x2(1)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Với giá trị m, phương trình x2|x2−2|=m có nghiệm thực phân
biệt?
(Đề thi đại học năm 2009; khối B)
Hướng dẫn làm bài:
a) Tập xác định: D = R
(10)Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1;+∞)
Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−1);(0;1)
Hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ =
Hàm số đạt cực tiểu x=±1;yCT=−2
limx→±∞y=+∞
y′′=24x2−8;y′′=0 x⇔ 2=1/3 x=±√3/3⇔
Đồ thị có hai điểm uốn: I1(−√3/3;−10/9);I2(√3/3;−10/9)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành tại:
b) Ta có: x2|x2−2|=m
⇔2x2|x2−2|=2m
⇔|2x2(x2−2)|=2m
(11)Từ đồ thị hàm số y = 2x4 – 4x2 suy đồ thị hàm số y=|2x4−4x2| như
sau:
Phương trình: |2x4−4x2|=2m có nghiệm phân biệt đường thẳng y
= 2m có nghiệm phân biệt với đồ thị (H)
⇔0<2m<2
⇔0<m<1
Bài 1.43 trang 35 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số: y=x4/4−2x2−94
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với trục Ox
c) Biện luận theo k số giao điểm (C) với đồ thị (P) hàm số: y=k–2x2
Hướng dẫn làm bài:
a) Học sinh tự giải
b) x4/4−2x2−94=0 x⇔ 4−8x2−9=0
⇔(x2+1)(x2−9)=0 [x=−3;x=3⇔
(C) cắt trục Ox x = -3 x =
Ta có: y′=x3−4x
(12)y=y′(3)(x–3) y=y′(−3)(x+3)
Hay y=15(x–3) y=−15(x+3)
c) x4/4−2x2−9/4=k−2x2⇔x4=9+4k
Từ đó, ta có:
k=−9/4: (C) (P) có điểm chung (0;−9/4)
k>−9/4: (C) (P) có hai giao điểm
k<−9/4: (C) (P) không cắt