Chuyên đề: Các phương pháp tính thể tích khối chóp dành cho học sinh 12

- Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian, các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác:.. - Một số dạng tính thể tích khối chóp:.[r]

(1)

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH CHĨP

Tác giả: Nguyễn Minh Thành

1.Cơ sở lí luận:

- Các tính chất quan hệ vng góc, quan hệ song song khơng gian, cơng thức tính diện tích tam giác, tứ giác:

- Một số dạng tính thể tích khối chóp:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào cơng thức V=1 3B h

( B diện tích đáy,h chiều cao)

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ cạnh với

các cạnh khối chóp khác biết thể tích cơng thức:

' ' ' ' ' '

SA B C

SABC

V SA SB SC

V  SA SB SC

(A’,B’,C’ nằm cạnh SA,SB,SC hình chóp S.ABC)

Dạng 3:Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ cơng thức

thể tích khối chóp ABCD: V=1 , AB AC AD

  

2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện:

Bài giảng thực qua tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn, ôn tập phụ đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phối chương trình Cung cấp cho học sinh dạng tốn tính thể tích khối chóp (phương pháp, ví dụ minh họa tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ơn tập) :

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào cơng thức V=1

3B h (1)

( B diện tích đáy,h chiều cao)

(2)

Http://Baigiangtoanhoc.com Page Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400

a

b

b S

A

B

C

a

b c



S

A B

C

Trƣờng hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

Phƣơng pháp:

- Xác định đường cao (chính cạnh bên vng góc với đáy)

- Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng cơng thức (1) để tính thể tích khối chóp

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC SA vng góc với mặt phẳng

(ABC).SA=a, tam giác ABC vuông B BA=BC= b Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Ta có SA( ABC) nên SA đường cao hình chóp S.ABC

2

ABC

b S  BA BC

Ta tích khối chóp S.ABC là:V= SA.SABC

1

= 2

6

1

ab b

a  (đvtt)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC SA vng góc với mặt phẳng (ABC),

SA=a, tam giác ABC có A= AB=b, AC=c Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Ta có SA( ABC) nên SA đường cao hình chóp S.ABC

1 sin

sin

2

ABC

bc

S  AB AC   

(3)

S

A

B C

D

V= SA.SABC

1

=  sin

6 sin

abc bc

a  (đvtt)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA

vng góc với đáy.Góc SC đáy 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Vì SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA đường cao hình chóp S.ABCD

Mặt khác AC= 2

2

AB AC a

AC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng (ABCD) nên góc SC mặt phẳng (ABCD) góc SCA

Suy SCA =600 SA=AC.tanSCA=a 2.tan600=a

Diện tích đáy ABCD SABCD=AB

=a2

Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: V=1

3 ABCD 3

a

SA S  a a  (đvtt)

Bài tập áp dụng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết:

a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a

b) Cạnh đáy AB=a 3, AD=a, góc AC với mặt phẳng (SBC) 300

Trƣờng hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề vng góc với mặt đáy

Phƣơng pháp:

(4)

S

A

B C

D (chính cạnh chung hai mặt bên vng góc với mặt đáy) - Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng cơng thức (1) để tính thể tích khối chóp

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vng góc với

đáy SA =a, đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc A=1200 Tính thể tích khối chóp

S.ABCD

Lời giải:

Vì (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA đường cao hình chópS.ABCD

Ta có SABCD=2SACD mà

2

1 3

.sin

2 2

3

ABCD

a a

S DA DC D

a S

  

 

Suy thể tích khối chóp S.ABCD

2

1 3

3 ABCD 12

a a

V  SA S  a  (đvtt)

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Các

mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp

Lời giải:

Vì (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA

D

C A

(5)

N

M S

A

B

C vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay

SA đường cao hình chóp Ta có: SABCD=AB

2

=a2,

AC= 2

2

AB BC a SAAC (vì SA(ABCD) ), suy AC hình chiếu vng góc SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SCA 300

Xét tam giác SAC vng A có SA=AC.tanSCA = tan 30

3

a

a 

Suy thể tích khối chóp S.ABCD : 1 6

3 ABCD 3

a a

V  SA S  a  (đvtt)

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B,

AB=BC=2a Các mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc với mặt phẳng(ABC).Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600

Tính thể tích khối chóp S.BCMN

Lời giải:

Vì (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA đường cao hình chóp S.BCMN Vì ABBC (giả thiết) nên

SBBC (định lí ba đường vng góc)

Và góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc SBA Suy SA=AB.tan SBA = 2a.tan600 = 3a

Mặt khác MN// BC nên MN đường trung bình tam giác ABC

2

3 3

4 2

BCMN ABC

a

(6)

600

I

A

D

C

B S

Thể tích khối chóp S.BCMN: V=1

3 SA SBCMN a (đvtt) Bài tập áp dụng:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AC=a, hai mặt phẳng (SAC) (SAB) vng góc với đáy.Góc tạo SC mặt đáy 600.Tính thể tích khối chóp

Trƣờng hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng qua đỉnh (khơng chứa mặt bên) vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

Phƣơng pháp:

- Xác định đường cao (nằm giao tuyến hai mặt phẳng

cùng vng góc với mặt đáy)

- Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng cơng thức (1) để tính thể tích khối chóp

Ví dụ 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A ,

AB=AD=2a, CD =a, góc SC (ABCD) 600.Gọi I trung điểm cạnh

AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI

(7)

600

N M

A

D C

B S

Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc

giữa SC mặt phẳng (ABCD) góc SCI =600.Theo định lí Pitago ta có:

2 2

2

IC ID DC  a a a SI=IC tan SCI=

2 tan 60

a a

Tứ giác ABCD hình thang cân nên ta có

SABCD=

( ) (2 )2

3

2

ABCD

AB CD AD a a a

S      a

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1

6.3

3SI SABCD 3 a a a (đvtt)

Ví dụ 8:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M

trung điểm AB, hai mặt phẳng (SMC) (SMB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 450 Tính thể

tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI đường cao hình chóp S.ABCD Gọi N trung điểm BC ta có MN đường trung bình hình

vng ABCD nên MN BC suy SN BC góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc SNM= 450

Ta có MN=a SM=MN.tanSNM=a.tan450=a SABCD=AB.AD=a

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 3 ABCD

a

SM S  (đvtt)

(8)

S

O

A B

D C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD=1200

Gọi O giao điểm AC BD, hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc hai mặt phẳng SA (ABCD) 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO đường cao hình chóp S.ABCD

AO hình chiếu vng góc SA xuống mặt phẳng (ABCD) nên

góc SA mặt phẳng (ABCD) góc SAO = 600 Ta có OAB = 600

nên AO =

os60

a AB c 

SO=AO.tan SAO=

tan 60

2

a a

SABCD=AB.AD.sinBAD =a

.sin1200 =

2

a

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 3

3 ABCD 2

a a a

SO S   (đvtt)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a.Gọi M, N trung điểm AB AD H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH=a.Tính thể tích khối chóp S.CDMN

Trƣờng hợp 4: Khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy

Phƣơng pháp:

- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy giao

(9)

H A

C

B S

D K

- Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng cơng thức (1) để tính thể tích khối chóp

Ví dụ 10:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân có đáy lớn

AB = 2a, AD =CD =a hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) vng góc với nhau, tam giác SAB Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi H trung điểm AB SH AB suy SH (ABCD) hay SH đường cao hình chóp.SH=SA.sin600

=2 3

a a Gọi K hình chiếu vng góc D AB

KD

2

2 2

2

a a

AD AK a  

     

  SABCD=

2

1 3

.( )

2

a KD ABCD  Thể tích khối chóp S.ABCD:

V=

2

1 3

3 ABCD 4

a a

SH S  a  (đvtt)

Ví dụ 11:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a

SA=a,SB=a mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN

(10)

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 10 Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400

N M

A

C

B S

D

H

I A

C

B S

D

Gọi H hình chiếu S AB ta có SH(ABCD) hay SH đường cao hình chóp S.BMDN

Mặt khác tam giác SAB có SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2) Nên vng S suy

2 2

1 1

2

a SH

SH  SA SB  

SBMND=

1

2MN DB a

Thể tích khối chóp S.BMDN:

V=

3

1 3

.2

3 BMND 3

a a

SH S  a  (đvtt)

Ví dụ 12:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a SA=SB

mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy Góc SC mặt đáy 450

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi I trung điểm AB suy SI AB SI (ABCD) hay SI đường cao hình chóp S.ABCD

Góc SC mặt phẳng (ABCD) góc SCI =450

Xét tam giác vuông SCI vuông cân I

Có SI =IC= 2 2

2

CB BI  a a a , SABCD=AB

2

=4a2

a

SI S  (đvtt)

(11)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên (SAB) vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết

a) AB=2a, AD=2a, tam giác SAB

b) AB=2a, AD=a tam giác SAB cân S, góc SC mặt đáy 450

Trƣờng hợp 5: Khối chóp có cạnh bên vng góc với hai

đƣờng thẳng cắt thuộc mặt đáy

Phƣơng pháp:

- Xác định đường cao (chính cạnh bên )

Ví dụ 13:Cho hình chóp S.ABC SA, AB, AC đơi vng góc,

SA=AB=AC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Ta có SA ( ABC)

AC SA

AB SA

  

 

 

nên SA đường cao hình chóp S.ABC

2

ABC

a S  AB AC 

Thể tích khối chóp S.ABC là:

V= SA.SABC

1

=

6

1

a a

a  (đvtt)

Ví dụ 14:

a

a S

A

B

(12)

S

A

B

C

Cho hình chóp S.ABC SA, AB, AC đơi vng góc, SA=a, AB=AC= b Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Ta có SA ( ABC)

AC SA

AB SA

  

 

 

nên SA đường cao hình chóp S.ABC

2

1 b2

AC AB

SABC  

Thể tích khối chóp S.ABC là:VS.ABC= SA.SABC

3

= 2

6

1

ab b

a  (đvtt)

Cho hình chóp S.ABC SA,AB,AC đơi vng góc, SA=a, AB=b, AC=c.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Trƣờng hợp 6: Khối chóp đa giác

Phƣơng pháp:

- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm đa giác đáy )

Ví dụ 15:

Cho hình chóp tam giác S.ABC biết cạnh bên a ,góc tạo cạnh bên mặt đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

(13)

M A

C

B S

O

M

A

B

C D

S

O SA mặt phẳng (ABC) góc

SAO =450.Suy AO=SA.cosSAO=a , SO=SA.sin SAO=a Gọi M trung điểm BC ta có :

AM=3 , 0

2 sin 60

a AM

AO AB a

SABC=

2

1 3

2

a AM BC

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 3

3 ABC

a

SO S  (đvtt)

Ví dụ 16:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD biết cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi O tâm hình vng ABCD, SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO đường cao hình chóp Gọi M trung điểm

cạnh BC OMBC SMBC, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD)

góc SMO =600

Xét tam giác SOM vng O có

SO=OM.tan600= 3

2

a  a

SABCD=AB

=a2

a

SO S  (đvtt)

(14)

D' B'

A

B

C

D

Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ cạnh với

các cạnh khối chóp khác biết thể tích cơng thức:

' ' ' ' ' '

SA B C

SABC

V SA SB SC

V  SA SB SC

(A’,B’,C’ nằm cạnh SA,SB,SC hình chóp S.ABC)

Phƣơng pháp:

- Tính thể tích khối chóp S.ABC

- Lập tỉ số cạnh từ suy thể tích khối chóp S.A’B’C’

Ví dụ 17:

Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B’ D’ trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích hai phần

Lời giải:Ta có

' '

DD ' '

' ' 1

4

1

4

AB CD

AB CD ABCD

BC B

V AB AC AD

V V

V AB AC AD

V V V V

   

(15)

O

D' S

A

C

D

B

B'

C'

Ví dụ 18:Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng

góc với mặt đáy SA =2a Gọi B’,D’ hình chiếu A SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Lời giải:Ta có AB’SB AB’CB (CB(SAB) suy AB’SC Tương tự AD’SC suy SCAC’

Do tính đối xứng nên ta có VS.AB’C’D’=2VS.AB’C’.Mặt khác

' '

2

' ' ' '

S AB C

SABC

V SB SC SB SB SC SC

V  SB SC  SB SC

2 2

4

5 15

SA SA a a

SB SC a a

  

Suy VS.AB’C’=

15VS ABC mà

VS.ABC=

3

1 1

.2

3 ABC 3

a SA S  a a 

nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V=2 16 15 45

a a

 (đvtt)

Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 5, đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO=2 2(O tâm hình thoi) vng góc với

đáy.Gọi M trung điểm cạnh SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dạng 3:Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ công thức

thể tích khối chóp ABCD: V=1 , AB AC AD

  

(2)

Phƣơng pháp: - Chọn hệ trục tọa độ Đề vng góc Oxyz phù hợp

(16)

G H

F A

C D

B E

- Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp

Ví dụ 19:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Tính thể tich khối tứ diện ANIB

Lời giải:

Dựng hệ trục tọa độ Oxyz Sao cho O trùng với A,Ox Trùng với tia AD,Oy trùng với tia AB,Oz trùng với tia OS

Trong hệ trục ta có A(0;0;0), D(a 2;0;0),

B(0;a;0), C(a 2;a;0), S(0;0;a) Khi M(

2

a

;0;0), N( 2; ; 2

a a a

) Ta có MI=

1

( ; ; 0)

2 2

a a

IBIM   IBI ( 3; ; ), ( 2; ; )

2 2 2

a a a a a a

NA    NB  

 

2

, ( ; ; ) , ; 0;

2 2

a a a a a

NI    NA NB   

 

  

Thể tích khối tứ diện ANIB :

3 3

1 2

,

6 12 36

a a a

(17)

M

H

P N

A'

B'

C'

A

B

C Ví dụ 20:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm A’C’ I giao điểm AM AC Tính thể tich khối tứ diện ABCI

Lời giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz cho O trùng với B, Ox trùng với tia BC, Oy

trùng với tia BA,Oz trùng với tia BB’.Khi ta có A(0;a;0), B(0;0;0),C(2a;0;0).Do

A’M=1 2AA '

2 3

a

ACIH   Kẻ HN//BC HP//AB

2

1 2 2

, ( ; ; )

3 3 3 3

2 2

; ; , ; ; ,