Chuyên đề: Các phương pháp tính thể tích khối đa diện ôn thi đại học năm 2015

Trong các bài toán tính thể tích khối đa diện đôi khi việc xác định chiều cao và diện tích đáy gặp rất nhiều khó khăn, khi đó chúng ta có thể tính một cách gián tiếp bằng cách chia khố[r]

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

PHƯƠNG PHÁP 1: TÍNH ĐƯỜNG CAO VÀ DIỆN TÍCH ĐÁY

Để tính thể tích khối đa diện, phương pháp quan trọng ứng dụng rộng rãi q trình tính tốn tính trực tiếp, tức dựa vào chiều

cao khối diện tích đáy Như mấu chốt phương pháp phải xác định chiều cao diện tích đáy, ta xét số ví dụ minh họa

sau: Các thí dụ minh họa

Thí dụ Cho khối chóp S ABC có BC2a, BAC 90 ,0 ACB Mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác SAB cân S tam giác SBC vuông Tính thể tích khối chóp

S ABC

Lời giải (h.1)

Tam giác ABC có AB2 sin ,a  AC2 cosa  nên

sin ABC

S a 

Vì (SAB)(ABC) SA SB nên SH(ABC) với H trung điểm cạnh AB

Bây ta xác định tam giác SBC vuông đỉnh

Nếu SBC vuông đỉnh B CBBA (theo định lí ba đường vng góc), điều vơ lý ABC vng A

Tương tự, SBC vng C 

90

HCB (Vơ lí) Từ suy SBC vuông S

Gọi K trung điểm cạnh BC

s

Hình A

B

C

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 2

2 2 2

1

, / / cos

2

sin sin

SK BC a HK AC v HK AC a

SH SK HK a

SH a

 



   

   

 

Từ đó:

2

3

1

sin sin

1

= sin sin

S ABC ABC

V S SH

a a

a

 

 





Nhận xét: Ở ví dụ dễ dàng nhận thấy SH chiều cao khối chóp từ giả thiết (SAB)(ABC) SA SB việc lại xác định SH

Thí dụ Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 có cạnh a Gọi M N, theo

thứ tự trung điểm cạnh

,

AB BC O O1, thứ tự tâm mặt

1 1 1, 1

A B C D ADD A Tính thể tích khối tứ diện MNO O1

Lời giải (h.2)

Ta có mp NO O( 2)mp ABCD( ) chúng

cắt theo giao tuyến NE (E trung điểm cạnh AD)

Gọi O tâm hình vng ABCD MONE Suy MO đường cao hình chóp M N O O1

Ta có:

1 1 1 1 2

O O EE

2 2

2

2

( )

1

( )

2

3

N N N NN O E O O ENO

S S S S S

a a a

a a

   

   



A

C

Hình O1 O2

D

B

A1 D1

B1 C1

E

N

N1 E1

M

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 3

1 2

O O O O

2

3

1

Nên

3

16

M N N

V S MO

a a

a 





Nhận xét: Khi gặp toán nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tính gián tiếp, nhiên khối “bù” với khối MNO O1 nhiều phức tạp Nếu để

ý mặt phẳng (NO O1 2) nằm mặt phẳng (NEE N1 1) việc xác định chiều cao

và diện tích đáy hình chóp M N O O1 trở nên đơn giản

Thí dụ Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Giả sử H trung điểm cạnh AB hai mặt phẳng (SHC), (SHD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp hình chóp có ba mặt bên tam giác

vuông

Lời giải (h.3)

Vì (SHC) (SHD) vng góc với đáy (ABCD) nên SH đường cao khối chóp

Hai tam giác SAD SBC vng A B(theo định lí ba đường vng góc)

Tam giác SCD có SCSD (vì HCHD) nên khơng thể vng C D

Nếu SCD vng S

SCCDa Nhưng SBC vng B nên SCSBa Từ SCD khơng tam giác vuông

Từ giả thiết suy SAB phải tam giác vuông

S

Hình

B C

A

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 4

Do SASB, (vìHAHB) nên SAB vng S, suy

2

a SH  AB

Vậy

1

3

S ABCD ABCD

a a

V  S SH  a 

Thí dụ Xét khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với

,

2 a

ABa SASBSC SD Khối chóp tích lớn tính giá trị

lớn Lời giải (h.4)

Vì khối chóp S ABCD có

cạnh bên nên đáy phải nội tiếp

Suy ABCD hình chữ nhật Gọi H giao ACvàBD

( )

SH  ABCD

Đặt BCx x( 0)

2

2 2

, ( )

4 ABCD

a x

S ax SH SA AH   x a

2

2 2

1

(4 )

3

S ABCD

a x a

V ax  x a x

   

Vì 2 2

(4 )

x  a x  a nên theo BĐT Cauchy VS ABCD đạt giá trị lớn

khi 2

4

x  a x  x a

Lúc ax

3 S ABCD

a

M V 

Bài tập tự luyện

x

a

S

H

Hình B

C

A

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 5

Bài (Đề thi ĐH khối A năm 2012) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác đều cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H

thuộc cạnh AB cho HA2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng

(ABC) 600 Tính thể tích khối chóp .S ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a

Bài Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình thoi cạnh a 

60 BAD Hai mặt chéo (ACC A' ') ( DD' ')B B vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M N, trung điểm CD B C, ' ' MNBD' Tính thể tích hình hộp

Bài 3 Cho khối chóp S ABC có

  

1, 2, 3, AS 60 , AS 90 , 120

SA SB SC B C BSC Tính thể tích khối chóp Bài Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a



60

BAD Các mặt phẳng (SAB), (SBD), (SAD) nghiêng với đáy (ABCD) góc  Tính thể tích khối chóp

Bài Cho khối chóp S ABCD có đáy hình thang cân, đáy lớn AB lần

đáy nhỏ CD, chiều cao đáy a Bốn đường cao bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài b Tính thể tích hình chóp

Bài Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB cân đỉnh S mặt phẳng (SAB)(ABC) Giả sử E trung điểm SC hai mặt phẳng (ABE), (SCD) vng góc với Tính thể tích khố chóp

Bài Hình chóp S ABC có SAa, SA tạo với đáy góc  ,

 90 ,o 

ABC ACB G trọng tâm ABC Hai mặt phẳng (SGB), (SGC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S ABC

Bài Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Các cạnh ' , ' , '

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 6

Bài Cho hình chóp S.A A A nn( 3) có diện tích đáy D, chu vi đáy P Các mặt bên nghiêng đáy góc  Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy nằm đa giác A A An Tính thể tích hình chóp

PHƯƠNG PHÁP 2: TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHẦN BÙ

Trong tốn tính thể tích khối đa diện đơi việc xác định chiều cao diện tích đáy gặp nhiều khó khăn, tính cách gián tiếp cách chia khối cần tính thành nhiều khối nhỏ tính thể tích khối “bù” với khối cần tính Từ cơng thức cộng thể tích ta suy thể tích khối cần tính Sau số thí dụ minh họa cho phương pháp thứ

Thí dụ minh họa

Thí dụ Cho khối chóp S ABC

với tam giác ABC vuông cân B,

2

AC a, SA(ABC) SA a Giả sử I điểm thuộc cạnh SB

cho

SI SB Tính thể tích khối tứ

diện SAIC Lời giải (h.5)

Tam giác ABC vuông cân B có AC2a nên ABBC a

Do

ABC

S  AB BCa

Vì SA(ABC) nên SA chiều cao hình chóp S ABC Suy

3

1

3

S ABC ABC a

V  SA S 

Mặt khác

1

3 S AIC

S ABC

V SA SI SC

V  SA SB SC 

A

Hình

C

B S

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 7

Vậy 3

1

3 3

S AIC S ABC

a a

V  V  

Nhận xét: Trong tốn ta hồn tồn tính trực tiếp, nhiên việc tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích tính tốn trở nên đơn giản nhiều Thí dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,

2 , ;

AB a BC a SA SB  SCSD a Giả sử E điểm thuộc cạnh SC cho

SE SC, F điểm thuộc cạnh SD

cho

SF FD Tính thể tích khối đa diện

SABEF Lời giải (h.6)

Ta có

ABCD

S  AB BC a

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác

vuông ABD ta có

2

5

BD AB AD a

Gọi OACBD

2

a

BO BD

Xét tam giác SBD cân S có SO trung tuyến nên SO đồng thời đường cao tam giác SBD Suy SOBD

Chứng minh tương tự SOAC Suy SO(ABCD) hay SO đường cao

hình chóp S ABCD

Ta có 2

( 2) ( )

2

a a

SO SB BO  a  

3

1

.2

3 3

S ABCD ABCD

a a

V  S SO a 

Mặt khác

2

3 S ABE

S ABC

V SA SB SE

V  SA SB SC 

3

2

3 3

S ABE S ABC S ABCD a

V V V

    (1)

S

Hình O A

D

B

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 8

A'

C'

Hình

D'

B'

A D

B

C

N

K M

2 1

3

S AEE S ACD

V SA SE SF

V  SA SC SD  

3

EF

1

6 12 12

S A S ACD S ABCD a

V V V

    (2)

Từ (1) (2) ta có:

3 3

5

36 3 12

SABEF S ABE S AEF

a a a

V V V   

Nhận xét: Khối đa diện cần tính thể tích khơng thuộc khối quen thuộc

(khơng có cơng thức tính trực tiếp), nên ta phải tìm cách chia thành khối nhỏ quen thuộc, ta tính gián tiếp cách dễ dàng dựa vào tỷ lệ thể tích Thí dụ Chi hình lập phương

' ' ' '

ABCD A B C D cạnh a Gọi M trung điểm cạnh BB' Mặt

phẳng ( 'A MD) chia hình lập phương thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện

Lời giải (h.7)

Gọi N giao điểm A M' AB, K giao điểm DN BC

Mặt phẳng ( 'A MD) chia hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' thành hai khối đa diện

'

A MKDAB khối diện A B C D MKCD' ' ' '

Do A B' '/ /BN nên A B' ' MB' BN A B' ' a BN  MB    

Do BN/ /CD nên

2

BK BN AB a

BK CK CK CD CD    

Ta có

3

1

6 24

B MNK

a

V  BM BN BK  ;

3 '

1

AA'

6

A A ND

a

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 9

3 3

' '

7

3 24 24

A MKDAB A A ND B MNK

a a a

V V V   

Thể tích khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' '

a Từ VABCD A B C D ' ' ' ' VA MKDAB' VA B C D MKCD' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' '

3

3 17

24 24

A B C D MKCD ABCD A B C D A MKDAB

V V V

a a

a

  

  

Suy ' ' ' ' '

7 17 A MKDAB

A B C D MKCD V

V 

Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thí dụ ta dựa vào việc tính thể tích khối “bù” với khối cần tính

Thí dụ Chi hình chóp O ABC có

, ,

OA OB OC đôi vuông góc với nhau, OA a OB b OC c ,  ,  ; OA OB OC', ' ' đường cao tam giác

, ,

OBC OAC OAB Tính thể tích khối chóp O A B C ' ' '

Lời giải (h.8)

Ta có

1

6

O ABC

abc

V  OA OB OC

Do OAOB OA, OC OB, OC, nên tam giác OAB OBC OAC, , vuông O Áp dụng định lý Pythagore ta có:

2 2 2

, ,

AC a c AB a b BC b c Xét tam giác OBC vng O có OA' đường cao nên:

2

2

2

2 2 2 2

1 1

' '

b c OB OC

OA

OA OB OC  OB OC b c

Áp dụng định lý Pythagore tam giác vuông OA C' ta có

2

2 2 2

2

' ' ' ' c

OC OA CA CA OC OA

b c

     

 Hình

G

A

B

C

C'

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 10

Chứng minh tương tự ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2

' c ; ' a ; ' a ; ' b ; ' b

CB AB AC BC BA

a c a c a b a b b c

    

    

Mặt khác

4

' ' ' '

2 2

' '

( )( )

O CA B C OA B O ABC C OBA

V V CO CA CB c

V  V CO CB CA  b c a c

Suy

4

' ' 2 2

( )( )

O CA B O ABC

c

V V

b c a c



 

Chứng minh tương tự, ta được:

4

' ' 2 2

4

' ' 2 2

;

( )( )

( )( )

O AB C O ABC

O BA C O ABC

a

V V

a b a c

b

V V

a b b c



 



 

Do

' ' ' ' ' ' ' ' '

4 4

2 2 2 2 2 2

( )

[1 ( )]

( )( ) ( )( ) ( )( )

O A B C O ABC O CA B O AB C O BA C

V V V V V

a b c abc

a b a c a b b c b c a c

   

   

     

Nhận xét: Trong thí dụ ta áp dụng việc tính thể tích khối “bù” với khối cần tính thí dụ ta thấy phương pháp hiệu

Bài tập tự luyện

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), G trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng

(SBG) cắt SC M, mặt phẳng (ABG) cắt SD N Tính thể tích khối chóp

S ABMN; biết SAABa, góc đường thẳng AM mặt phẳng (ABCD)

30

Bài Cho hình chóp O ABC có OA OB OC, , đơi vng góc với nhau;

, , ; ', ', '

OAa OBb OCc OA OB OC đường phân giác tam giác OBC OCA OAB, , Tính thể tích khối chóp O A B C ' ' '

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAa 3,

( )

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 11

cạnh SB SD, Mặt phẳng (AHK) cắt SC I Tính thể tích khối chóp

S AHIK

Bài Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình vng tâm O SA vng góc

với đáy SA = a 2 Cho ABa Gọi H, K hình chiếu A

SB, SD CM: SA  (AHK) Tính thể tích hình chóp OAHK

Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có hình chóp A1ABC hình chóp tam giác cạnh đáy AB = a, AA1 = b Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC)

và (A1BC) Tính tan thể tích hình chóp A1BB1C1C

PHƯƠNG PHÁP 3: TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ Trong buổi trước, rèn luyện phương pháp tính thể tích tính trực tiếp tính gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện, tốn thi đại học học sinh giỏi cịn sử dụng phương pháp hiệu phương pháp tọa độ hóa, nội dung phương pháp gồm bước:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Bước 2: Xác định tọa độ điểm liên quan, chuyển tốn hình học khơng gian thơng thường thành tốn hình học tọa độ

Bước 3: Tính tốn dựa vào cơng thức hình học tọa độ không

gian

Bước 4: Kết luận

Sau số thí dụ minh họa tập rèn luyện: Thí dụ minh họa

Thí dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy

ABCD hình chữ nhật, SA=AB=a, AD=a 2, gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC

a) CMR: (SAC)(SMB)

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 12

Lời giải (Hình 9) Chọn hệ tọa độ với Axyz vớiDAx B, Ay S, Az

Khi đó:

2

(0;0;0), (0; ;0), ( 2; ;0), (0;0; ), ( ;0;0),

a

A B a C a a S a M

2 ; ; 2 2 2

a a a

N 

 

a) Ta có:mp(SAC) có vtpt n1(1; 2;0)

mp(SMB) có vtpt 



2 ( 2;1;1)

n Hình

n n 1. 2   0 n1 n2 Hay (SAC)(SMB)

b) Ta có mp(SAC) có phương trình:x 2y0, BM có phương trình:

  

  

  

2 x t

y a t

z

Vì I BM(SAC) ( 2; ;0) 3

a a

I

3

1 2

, .

6 36

ANIB

a

V AN AI AB

     

Thí dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy có cạnh a Gọi M, N trung điểm SB, SC Biết (AMN)(SBC) Tính thể tích hình

chóp

Lời giải (Hình 10)

Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ (h.10) Đặt SO = h Khi ta có:

( ;0;0), ( ; ;0),

3

a a a

C A 

( ; ;0), (0;0; ) 2

2 3

a a

B   S h ,

( ; ; ), ( ;0; )

4 2

4 3

a a h a h

M   N

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 13

C'

M y

N

C

B

A A'

B' z

x

Ta có ( ; ; ), ( ; ; )

4 2

4 3

a a h a a h

AM  AN  

 



    

 

  

1

3 5

, ( ; ; ) ( ) có vectơ phá p tuyến là: n ( ; 3; )

8 8 3

ah ah a a

AM AN mp AMN h h

mp(SBC) cắt Oy (0; ;0)

a

K  , Ox ( ;0;0) a

C , Oz S(0;0;h) nên có phương trình theo đoạn chắn là:

2

3 3

1 ( )cã vectơ phá p tuyến là: n ( ; ; )

3

x y z

x y z mp SBC

a a h a a h a a h



         

Ta có

1

3 5

( ) ( ) ( ) 3.( )

12

a

AMN SBC n n h h h a

a a h



         

Vậy

2

1 1 5 3 5

. . . .

3 3 12 4 24

S ABC ABC

a a

V  SO S  a 

Thí dụ (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013)

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cân C, cạnh đáy AB 2a ABC 300 Tính thể tích khối lăng trụ

' ' ',

ABC A B C biết khoảng cách hai đường thẳng AB CB' a

Lời giải (H.11)

Gọi M, N trung điểm AB A’B’ Ta có MN đường cao lăng trụ Giả sử MN h

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O trùng với M, điểm A, C, N thuộc

tia Ox, Oy, Oz (Hình 11)

Khi đó: A a( ;0;0), (B a;0;0),B'(a;0; )h

Thầy Nguyễn Sỹ Tam: Giáo viên THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá 14

Dễ có:

3

a

CM  nên (0; ;0)

a

C

2

1

2 3

ABC

a

S  CM AB

Ta có

2

2

[ , '] (0; ; ), [ , '] '

3

a a h

AB CB   ah  AB CB BB 

  

Suy ra:

2

[ , '] '

d(AB, CB') =

[ , '] 3

AB CB BB ah

AB CB  a  h

 



Từ giả thiết khoảng cách hai đường thẳng AB CB’ a

Ta suy ha

Vậy: ' ' ' 3

ABC A B C ABC

a

V MN S 

Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy việc gắn hệ trục tọa độ để đưa tốn hình học khơng gian thơng thường thành tốn hình học tọa độ giúp việc giải toán trở nên đơn giản nhiều, ví dụ khơng dùng tọa độ việc tính chiều cao h khó khăn Điều quan trọng cần xác định yếu tố vng góc hình để lựa chọn hệ trục tọa độ hợp lý

Bài tập tự luyện

Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng

góc với đáy SA = a () mặt phẳng qua A vuông góc với SC, () cắt SB, SC, SD H, I, K CM: AH  SB, AK  SD Tính thể tích khối chóp AHIKBCD

Bài Cho hình lập phương ABCDA B C D' ' ' ' cạnh a , M N, trung điểm AA ' BC; P, Q trọng tâm tam giác A AD' C BD' Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a

Bài (Đề khối A năm 2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB BC 2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song

song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)

0