Tuyển tập đề thi toán cao cấp trường ĐHKT Quốc dân Hà Nội khóa 52

Với điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, hãy tìm nghiệm của hệ bằng cách chỉ ra hệ phương trình cơ sở và sử dụng quy tắc Cramer để giải hệ phương trình cơ sở [r]

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page TRƯỜNG ĐH KINH TẾ QUỐC DÂN

Khoa tốn kinh tế- Khóa 52

Đề số 5231 Thời gian 90’

Bài Cho phép biến đổi tuyến tính khơng gianR4

1

2

3

4

3

2

3

5

y x x x x

y x x x x

y x x x mx

y x x x x

   



    

 

   



    



a Tìm m để phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến

b Ký hiệu T ma trận phép biến đổi tuyến tính trên, T khơng suy biến tìm phần tử thuộc dòng cột ma trận nghịch đảo T

c Biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dạng ma trận từ tìm ảnh vectơ (1, 2, 0,3)

X   qua phép biến đổi tuyến tính

d Hãy tính 1

 

3 *

det

3 T T

 

 

  (với

*

M ma trận phụ hợp ma trận M)

Bài Biến đổi dạng toàn phương sau dạng tắc :

2 2

1 2 3 2

f x  x  x  x x  x x  x x

Bài Cho ma trận

2 2 A

 

 

  

 



  

 



 

2

4 B



 

 

  

  

 

a Tìm cở sở hệ vectơ cột B

b Tìm phần tử thuộc dòng cột ma trận '

BAB

c Cho C ma trận vuông cấp khơng suy biến, tìm hạng ma trận

C B d Tìm nghiệm tổng quát hệ tuyến tính nhận B làm ma trận hệ số Hãy cho

biết số chiều không gian nghiệm hệ đồng thời hệ nghiệm

Bài 4.Cho ma trậnAvuông cấp n (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện :

2010 n nx

A O Chứng minh ma trận

( ) ( )

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page Đề số 5232

Thời gian 90’

Bài Cho phép biến đổi tuyến tính khơng gian

R

1

2

3

4

2

2

2

3

y x x x x

y x x x x

y x mx x x

y x x x x

   

 

    

 

    



    



e Tìm m để phép biến đổi tuyến tính không suy biến

f Ký hiệu T ma trận phép biến đổi tuyến tính trên, T khơng suy biến tìm phần tử thuộc dịng cột ma trận nghịch đảo T

g Biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dạng ma trận từ tìm ảnh vectơ ( 1, 2, 0, 3)

X    qua phép biến đổi tuyến tính

h Hãy tính 1

 

*

det

2 T T

 

 

  (với

*

M ma trận phụ hợp ma trận M)

Bài Biến đổi dạng tồn phương sau dạng tắc :

2 2

1 2 3 2 2

f x  x  x  x x  x x  x x

Bài Cho ma trận

2

1 A

 

  

 



   

 



 

1 3

11 21 B

  

 

 



 

    

 

e Tìm cở sở hệ vectơ cột B

f Tìm phần tử thuộc dịng cột ma trận '

BAB

g Cho C ma trận vng cấp khơng suy biến, tìm hạng ma trận

C B h Tìm nghiệm tổng quát hệ tuyến tính nhận B làm ma trận hệ số Hãy cho

biết số chiều không gian nghiệm hệ đồng thời hệ nghiệm

Bài 4.Cho ma trậnAvuông cấp n (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện :

2010 n nx

A O Chứng minh ma trận

( ) ( )

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page Đề số 5233

Thời gian 90’

Bài Cho phép biến đổi tuyến tính khơng gian

R

1

2

3

4

2

3

2 3

4

y x x x x

y x x mx x

y x x x x

y x x x

   



    

 

    



   



i Tìm m để phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến

j Ký hiệu T ma trận phép biến đổi tuyến tính trên, T khơng suy biến tìm phần tử thuộc dòng cột ma trận nghịch đảo T

k Biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dạng ma trận từ tìm ảnh vectơ (1, 2, 0,3)

X   qua phép biến đổi tuyến tính

l Hãy tính det 1

 

2 *.

4 T T

 

 

  (với

*

M ma trận phụ hợp ma trận M)

Bài Biến đổi dạng toàn phương sau dạng tắc :

2 2

1 2

2

f  x x  x  x x  x x

Bài Cho ma trận

4 A



 

  

 



  

 



 

2 B



 

 

  

  

 

i Tìm cở sở hệ vectơ cột B

j Tìm phần tử thuộc dịng cột ma trậnBAB'

k Cho C ma trận vuông cấp khơng suy biến, tìm hạng ma trận

C B l Tìm nghiệm tổng quát hệ tuyến tính nhận B làm ma trận hệ số Hãy cho

biết số chiều không gian nghiệm hệ đồng thời hệ nghiệm

Bài 4.Cho ma trậnAvuông cấp n (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện :

2010 n nx

A O

Chứng minh ma trận

( ) ( )

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page Thời gian 90’

Bài Cho phép biến đổi tuyến tính không gian

R

1

2

3

4

2

2

1

3

y x x x x

y x x x x

y x x x x

y x mx x

    



    

 

   



   



m Tìm m để phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến

n Ký hiệu T ma trận phép biến đổi tuyến tính trên, T khơng suy biến tìm phần tử thuộc dòng cột ma trận nghịch đảo T

o Biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dạng ma trận từ tìm ảnh vectơ (1, 2, 0,3)

X   qua phép biến đổi tuyến tính

p Hãy tính det 1

 

* 2.

5 T T

 

 

  (với

*

M ma trận phụ hợp ma trận M)

Bài Biến đổi dạng tồn phương sau dạng tắc :

2 2

1 3

3 2

f  x  x x  x x  x x  x x

Bài Cho ma trận

3

2 A



 

   

 



   

 



 

5 16 3 B

 

 

 

   

  

 

m Tìm cở sở hệ vectơ cột B

n Tìm phần tử thuộc dịng cột ma trậnBAB'

o Cho C ma trận vng cấp khơng suy biến, tìm hạng ma trận

C B p Tìm nghiệm tổng quát hệ tuyến tính nhận B làm ma trận hệ số Hãy cho

biết số chiều không gian nghiệm hệ đồng thời hệ nghiệm

Bài 4.Cho ma trậnAvuông cấp n (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện :

2010 n nx

A O

Chứng minh ma trận

( ) ( )

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page Đề số 5238

Thời gian 90’

Bài Cho ma trận

m A

 

 

  

 



   

 

 

a Tùy theo m tìm hạng ma trận A

b Tìm m để phần tử dịng 1, cột ma trận phụ hợp A có giá trị c Nếu ma trận A khả nghịch hệ vectơ dòng ma trận phụ hợp A độc lập tuyến

tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải thích sao?

Bài Cho ma trận

B



 

 

  

   

 

q Biết Blà ma trận phếp biến đổi tuyến tính f

R , tìm vectơ

3

XR cho f X( )E12E24E3 (trong đó



E E E1, 2, 3



là sở đơn vị

R )

r Tìm ma trận

3

CE BB (E ma trận đơn vị cấp với B)

Bài Cho P ma trận vuông thỏa mãn

P O Hãy tìm ma trận nghịch đảo ma trận (3PE) ? (E ma trận đơn vị cấp với P)

Bài Cho hệ phương trình tuyến tính :

1

1

1

1

2

3

3

3

x x x x

x x x x m

x x x x

x x x x

    

 

   

 

    



     



a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.Khi hệ phương trình có nghiệm hay vơ số nghiệm ? Gỉa thích ?

b Tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết với hệ phương trình nói

Bài Tìm k để dạng tồn phương sau xác định âm





2

1, 2, 3 2

f x x x   x kx  x  x x  x x  x x

Bài Giả sử H ma trận vuông cấp thỏa mãn điều kiện :

2

H  H O( '

H ma trận chuyển vị H) Hãy tính

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page Thời gian 90’

Bài Cho ma trận

m 2 A

 

 

   

 



   

 

 

 

d Tùy theo m tìm hạng ma trận A

e Tìm m để phần tử dịng 3, cột ma trận phụ hợp A có giá trị -3 f Nếu ma trận A khả nghịch hệ vectơ dịng ma trận phụ hợp A độc lập tuyến

tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải thích sao?

Bài Cho ma trận

2 B



 

 

  

  

 

s Biết Blà ma trận phếp biến đổi tuyến tính f

R , tìm vectơ

3

XR cho f X( )2E13E22E3 (trong đó



E E E1, 2, 3



là sở đơn vị

R )

t Tìm ma trận

4

CE BB (E ma trận đơn vị cấp với B)

Bài Cho P ma trận vuông thỏa mãn

M O Hãy tìm ma trận nghịch đảo ma trận (4M E) ? (E ma trận đơn vị cấp với M )

Bài Cho hệ phương trình tuyến tính :

1

1

1

1

2

3

3

4

x x x x

x x x x

x x x x m

x x x x

   

 

   

 

   



    



c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.Khi hệ phương trình có nghiệm hay vơ số nghiệm ? Giải thích ?

d Tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết với hệ phương trình nói

Bài Tìm k để dạng tồn phương sau xác định âm





2

1, 2, 3 4

f x x x   x  x kx  x x  x x  x x

Bài Giả sử T ma trận vuông cấp thỏa mãn điều kiện : '

2T T O( '

T ma trận chuyển vị T) Hãy tính

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page Đề số 5245

Thời gian 90’

Bài Cho vectơ:X1



2, 1,1, ;



X2(1, 3,1, 1); X3



0, 2,1, 5



g Tìm vectơ B thỏa mãn điều kiện: 3(BX12X2)2(X32 )B 2X1

h Gọi A ma trận vectơ X X1, 2,X3 thứ tự vectơ cột coi Blà ma trận cột Hãy giải phương trình ma trận : AXB

Bài Cho hệ phương trình tuyến tính (với m tham số thực) :

2 mx y

x y m

x my    



 



  



u Chúng minh hệ phương trình có nghiệm định thức ma trận mở rộng hệ phương trình không

v Với điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm nhất, tìm nghiệm hệ cách hệ phương trình sở sử dụng quy tắc Cramer để giải hệ phương trình sở

Bài Cho ma trận vuông cấp :

1 2

k k

D

k k

 

 

 

 



   

 

 

 

e Tính định thức ma trận D

f Tìm điều kiện k để vectơ dòng ma trận D biểu diễn tuyến tính qua vectơ dịng ma trận

g Tìm thành phần định thức ma trậnD chứa k2

Bài Cho phép biến đổi tuyến tính 3

:

F R R sau :



x x x1, 2, 3



(x1x x2, 2x x3, 3x1)

Và dạng toàn phương 2

1 2 3

3

f  x  x x x  x x  x x

a Tìm ma trận phếp biến đổi ngược phép biến đổi tuyến tính F

b Tìm dạng tồn phương nhận từ dạng toàn phương f qua phép biến đổi tuyến tính F