- Nếu miền giới hạn bởi ba đường trở lên thì ta phải vẽ đồ thị để xác định cận. B.[r]
(1)CHUN ĐỀ
TÍCH PHÂN
A LÝ THUYẾT CẦN NẮM
I - NGUYÊN HÀM
- Tính chất nguyên hàm:
f(x)dx
1) ()’ = f(x)
af(x)dx
f(x)dx
2) = a (a0)
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
3)
f(t)dt F(t) C
f(u)du F(u) C
4)
- Bảng nguyên hàm thường gặp
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
Hàm số hợp tương ứng
(dưới u = u(x))
dx
x
C
(2)( -1)
(x 0)
( -1)
(u 0)
C
x
dx
x
1
1
dx
x
C
x
ln
1
C
u
du
u
1
1
du
u
C
u
ln
(3)(0 < a 1)
(0 < a 1)
e
x
dx
e
x
C
C
a
a
dx
a
x
x
ln
e
u
du
e
u
C
C
a
a
du
a
u
u
(4)
cos12x dx=tan x +C
sin12x dx=−cot x +C
cos2u du=tan u+C
sin2udu=− cotu+C
Hệ quả:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
sin
xdx
cos
x
C
cos
xdx sin
x
C
sin
udu
cos
u
C
cos
udu sin
u
C
sin(
ax
b
)
C
a
1
dx
)
b
ax
(5)
cos2(ax+b)1 dx=1
atan(ax +b)+C
(
-1)
cos2(ax+b)1 dx=1
atan(ax +b)+C
sin2(ax+b)dx=−
acot(ax+ b)+C
C
a
ln
a
.
m
1
dx
a
n
mx
n
mx
e
C
a
1
dx
e
ax
b
ax
b
a
ln
ax
b
C
1
dx
b
ax
1
cos(
ax
b
)
C
a
1
dx
)
b
ax
(6)II – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1 – Định nghĩa:
(Trong F(x) nguyên hàm f(x))
2 – Tính chất tích phân xác định
(1)
a
a
dx
x
f
(
)
0
b
f(x)dx
a
¿ab
(7)(2)
(3)
(4)
b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
(
)
(
)
b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
kf
(
)
(
)
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
(8)(5)
(6) f(x)
0,
x [a; b]
c
a
b
a
c
b
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
b
a
dx
x
(9)(7) f(x)
g(x),
x [a; b]
(8) m
f(x)
M ,
x [a; b]
B CÁC DẠNG TOÁN
Chủ điểm 1
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp công thức vi phân
Bài 1:
Tính tích phân bất định sau:
b
a
b
a
x
g
dx
x
f
(
)
(
)
b
a
a
b
M
dx
x
f
a
b
(10)4 2
x
2x
x
2x 1
dx
x
3
3
1
x
dx
x
1) 2)
2010
ln
x
dx
x
1 sin x
cos x
dx
3)
4)
2
3
3x
1
dx
x
x
21
dx
(x
3x 2)
5)
6)
(
√
x +31√
x)
2
dx
4 x5−3 x4−1x4 dx
7)
8)
(
x+√
x)
3
dx
(
√
x +23√
x)
3dx9)
10)
(
√
3x +1)
(
x-√
x +2)
dx
(
√
x +√
x)
3
dx
11)
12)
(
x2+1
x
)
4
dx
x2+4 xx dx
13)
14)
(
ax3+b)
2dx
√
x4
+x− 4+2
x3 dx
15)
16)
x (x +a)( x +b )dx
2xexdx17)
18)
(
2x− ex)
2dx
√
ex+e-x+2 dx19)
20)
√
ex+e-x−2 dx
e2-5x+1
ex dx
21)
22)
x-1√
x +1dx
√
1-cos2x dx23)
24)
2009
1
dx
2010
x
e
4sin2x1+cosxdx
25)
26)
Bài 2:
Tìm nguyên hàm hàm số sau:x x3
3 − 3 x2
2 +ln x +C f(x) = x2 – 3x + ﾧ ĐS F(x) = ﾧ 2 x4+3
x2
2 x3 −
3
x+C f(x) = ﾧ ĐS F(x) = ﾧ x −1
x2
1
(11)x2−1
¿2 ¿ ¿ ¿
x3
3 − x +
x+C f(x) = ﾧ ĐS F(x) = ﾧ
√
x+√
3 x +√
4x 2 x3
3 + 3 x
4
4 + 4 x
5
5 +C
5 f(x) = ﾧ ĐS F(x) = ﾧ
1
√
x−2
3
√
x 2√
x −33
√
x2+C f(x) = ﾧ ĐS F(x) = ﾧ√
x −1¿2 ¿ ¿ ¿x − 4
√
x+ln x+C f(x) = ﾧ ﾧ ĐS F(x) = ﾧ x −13
√
x x5 3− x
2
+C f(x) = ﾧ ĐS F(x) = ﾧ sin2x
2 f(x) = ﾧ ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
1 2x+
1
4sin x+C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = ﾧ 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
1
sin2x cos2x 13 f(x) = ﾧ ĐS F(x) = tanx - cotx + C
cos x
sin2x cos2x 14 f(x) = ﾧ ĐS F(x) = - cotx – tanx + C
−1
3cos x +C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = ﾧ
−1
5cos x −cos x +C 16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = ﾧ
2e
2 x− ex
+C 17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = ﾧ
e− x
cos2x ¿ 18 f(x) = ex(2 + ﾧ ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
2ax ln a+
3x
ln 3+C 19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = ﾧ
3e
3 x+1
+C 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = ﾧ
Bài 3:
Tìm hàm số f(x) biết1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x + 2 x −x
3
3 +1 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = ﾧ
√
x − x 8 x√
x3 −
x2
2 − 40
3 f’(x) = ﾧ f(4) = ĐS f(x) = ﾧ
x2+2 x2
2 +
x+2 x −
3
2 f’(x) = x - ﾧ f(1) = ĐS f(x) = ﾧ f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x +
b
x2, f ' (1)=0 , f (1)=4 , f (−1)=2 x2
2 +
x+
5
(12)Bài 4:
Tính tích phân bất định sau:x
e
x
e
1
2
dx
x
2 3
x x 1
dx
1
2
2
dx
x.ln x
x 2x
e dx
e
1
3
4
Bài 5:
Tính tích phân sau:2
x
x
sin
cos
dx
2
2
2
x
sin
dx
2
cos 2x
2 2dx
cos x.sin x
1
2
cos 2x
dx
sin x cos x
cot x dx
2
tan x dx
34
5
9
cot x
dx
1 sin x
cos x dx
3
sin x dx
47
8.
5
tan x dx
dx
sin x cos x
ln(ex)
dx
1 x ln x
10
11
12
π
4 π
dx
sin x
π
4
dx
cos x
π
3
2
3 π
3
sin x sin x
cotx dx
sin x
13 I =
14 15
dx
π
cos x.cos(x
)
4
π
π
dx
3
(ds:2.ln )
π
2
sin x.sin(x
)
6
16
17
4
3
4
3
1
8 3
ĐS (TPXĐ):
13 ()
14 ()
15 (
Bài 6:
Tính tích phân bất định sau:2
3
x
1
dx
x
4
2
x
2x
x 2
dx
x
x 1
dx
x
x
(13)3
dx
x
x
3
x
dx
x
2
(3x 1)
dx
(x 1)
5
6
dx
x 2
x 1
2x
dx
x
x
1
(4x
2
4x 1) dx
(2x 3) 2x dx
dx
3 2x
3x 1
dx
2x 3
8
9.
10
11
12
2
2x
7x 7
dx
x 2
4x 7
dx
2x
7x 7
x 2
dx
x
3x 2
13
14
15
n m
dx
x(x
a)
x x
1 e
dx
1 e
2xdx
dx
e
3
16
17
18
Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số
A Phương pháp: Bài giảng lớp.
B Bài tập tự luyện:
Bài 1:
Tính tích phân sau:
(5 x −1)dx3 −2 x¿5 ¿ ¿
dx
¿
¿
√
5 −2 x dx 1) ﾧ 2) ﾧ 3) ﾧ
dx√
2 x − 12 x2+1¿7xdx ¿
¿x3+5¿4x2dx ¿
¿4) ﾧ 5) ﾧ 6) ﾧ
√
x2+1 xdx
xx2+5dx
3 x2√
5+2 x3dx 7) ﾧ 8) ﾧ 9) ﾧ 1+√
x¿2¿
√
x¿dx
¿
¿
ln3
x
x dx
x ex2
+1
(14)4
sin xcosxdx
x ln
x
1 e
dx
1 e
sin xcos5x dx
13) ﾧ 14) ﾧ 15)
2
tan cos
xdx x
tan xdxtan
cos
x
e dx x
dxsin x
dxcos x
e√x
√
xdx
exdx√
ex− 3
√
1− x2
dx
dx√
4 − x2
x2√
1 − x2 dx
dx1+ x2
x2dx
√
1 − x2
dx
x2+x +1
cos3
x sin2xdx
x√
x −1 dx
dxex+1 16 ) ﾧ 17) ﾧ 18) ﾧ 19) ﾧ 20) ﾧ 21) ﾧ 22) ﾧ
23) ﾧ 24) ﾧ 25) ﾧ 26) ﾧ 27) ﾧ 28) ﾧ 29) ﾧ 30) ﾧ 31) ﾧ
5 2
33 2x x 1dx x x dx x x 2dx 36
1
xdx2) 34) 35) ) x
3
2
37
1 5x
x
x xdx dx
x x x
4
2 2
xdx x dx x dx (6x-5)dx
) 38) 39) 40)
x x x 3x
cosxdx ln dx 41) sin cos 42) 43) 44)
cos tan
sin x
exsin(e dxx) 3x2
(2x-3)dx x
47
12
xdx x dx ) 48)
1 x x
x3
√
x2+1 dx32) ﾧ
45) 46)
x 2x x 2x
2
49 xdx xdx
e e a
3xdx 2x dx dx 56 x x
e dx e dx
) 50) 51) tan 52) cot sin2x dx
53) tan 54) cot( ) 55) ) l cos
m x x2 x3 2x
dx e xdx e xdx e x dx x
sin
n
lnx
57) 58) cos 59) 60)
(3 x+ 1)4dx
x22 x − 4− x+2dx
dx
xlnx
2 xx+
√
x2− 1dx61) 62) 63) 64)
x√
x +1 dx
(
ex+1)
3dx
1+ xx 2dx
x+4
x2−2 x+1dx
65)
66)
67)
68)
x3
x2−2 x+1dx
x7
(
x4+1)
2dx
xdx
( x+1 )3
x√
x2+1 dx
69) 70)
71)
(15)
cos(axb)Ca 1 dx ) b ax sin(
cos4xdx
dxsin2xcos2x
x√
2x-1dx
❑ ❑x3dx
(
x4−4)
2
(
2 x3+1)
3x2dx
sin5x cos xdx
√
x e√xdx
73)
74)
75) 76)
77)
78) 79) 80)
etgx
cos2x dx
1 1− x2ln
1+x
1 − xdx
x3 3√
1+ x2dx
dxx ln x ln( ln x )
81)
82) 83)
84)
Bài 2: Tính tích phân sau:
3
(2x 3) x
3x dx
dx
x ln x
1
2
dx
1 x
1) I = 2) J =
3) T =
2
x
1
dx
x
1
3
6
x
x
dx
x
4x
4x
1
X1
dx
1 8
4
X
x
dx
1 2
4) K = 5) L = 6) 7)
2
HD ĐS: 3) Đặt x = tant T = ln( + 1)
4) Giả sử x 0, chia tử mẫu cho x
21
x
2
2
1
x
2x 1
ln |
| C
2 2
x
2x 1
Sau đặt u = x + ĐS: K =
1
x
5) Giả sử x 0, chia tử mẫu cho x
3, Sau đặt u = x +
4
4
1
x
2x
1
ln
C
2
x
2x
1
ĐS: K =
1
ln
8
ln8 8
x
x
C
Câu 6; 7: Đặt t = -x ; câu 7: ĐS: 1/5 ; câu 6: ĐS:
Vấn đề 3: Phương pháp tích phân phần
(16)B Bài tập tự luyện:
Tính tích phân sau:
Bài 1:
1
2 x
0
(x
2x).e dx
e
1
(1 x).ln x dx
e
ln x dx
1)
2)
3)
2
e
5
4
4
HD-ĐS: 1) e 2) 3) Đặt u = ln
2x, dv = dx: ĐS: e-2
Bài 2:
1
2 2x
0
(1 x) e dx
(1 x)
2
e
2
x.ln x dx
1) (Đặt u = , dv = e
2xdx)
2)
e
2
e
ln x
dx
(x 1)
2
1
(1 x)
2
ln x
dx
x
3) (Đặt u = lnx , dv = dx)
4)
1
x
1 dx
2x
1
6
π
3
dx
cos x
π
2
x.cos x dx
π
2
x.sin x.cos x dx
2sin x.cos x dx
π
x
0
e cos x dx
5) (Đặt u = , dv = dx) ) 6)
7) (Đặt u = x, dv = ) 8)
π
e
1
cos(lnx) dx
2
1
x ln(1+ ) dx
x
9) (Đặt u = cos(lnx), dv = dx) 10)
π
x
1 sin x
e dx
1 cos x
2
e
2
x
(x
1)
e dx
(x 1)
11) ĐS: 12) ĐS: 1
(17)2
5e
1
4
e
21
4
1
(1 ln 2)
2
2
π
1
16 4
1)
2)
3)
4) 5)
6
1
cos x
dx
cos x
2 1
ln( 1)
2
2
π
3
π
1
(2e
3)
5
) Đặt u = , dv = , ĐS: 7) 8)
π
1
(e
1)
2
1
ln(1+ )
x
10
3
1
6
9) -
10) Đặt u = , dv = x
2dx, ĐS: 3ln3-ln2+
Vấn đề 4: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
A Phương pháp: Bài giảng lớp.
0
b
b
0
k
b
b
0
b
b
1
b
b
- Nắm dạng bản: , , ,
m n
P (x)
dx
Q (x)
- Dạng tổng quát:
B Bài tập tự luyện: Tính tích phân sau:
4x 3
dx
2x 1
dx
x
4x 1
2x 3
dx
x
x
2x
1) I =
2) I =
3)
I =
2
3
x
4x 2
dx
(x 1)
5
4
x
dx
x
3x
2
2
3x
3x 3
dx
x
3x 2
4) I =
5) I =
6)
I =
1
5x 13
I
dx
x
5x 6
e
3
1
2x 5
I
dx
x
3x
4
3
2
x
I
dx
x
2x 1
4
6
x
1
I
dx
x
1
3
2
3x
I
dx
x
2x 1
2
2
x
I
dx
x
7x 12
7) 8) 9)
10)
(18)1
1
I
dx
x
x 1
x3−14x3− x dx
13)
14)
1
ln | 2x 1| C
2
1
x 2
3
ln |
| C
2 3
x 2
3
HD ĐS: 1) I = 2x +
2) I
=
3
2x 3
A
B
C
x
x x 2
x
x
2x
3
2
5
3
1
6
3) A = - , B = , C = -
2
A
B
C
I
x (x 1)
(x 1)
4) A = 1, B = 2, C = - 1
2
Ax B Cx D
I
x
2
x
1
5) B = D = 0, C= -1, A = 4
2
2
x
1
-2ln(x +2)+ ln(x +1)+C
2
2
ĐS:
2
A
B
C
I
x x 1
(x 1)
6) A = 3, B = 2, C = 1
1
7
x 2
ln |
|
3(x 2) 9
x 1
9
4
7) -ln18 8) + C
9) 3ln4 -
π
3
9
2
3
9
10) 11) – + ln9
12) + 25ln2 – 16ln3 13)
Vấn đề 5: Tích phân hàm vơ tỉ
A Phương pháp:
Bài giảng lớp.
- Nắm số dạng tiêu biểu sau:
( ,n )
f x ax b dx
1)
1
( ,k n k ) k
f x ax b x dx
2)
1
(m k ,n k ) k
f ax b ax b x dx
3)
2
a x dx
4)
2
dx a x
5)
2
dx x a
6)
α β
√
x2 (19)
α β
√
x2+k dx8)
α β
√
ax2+bx +c dx9)
α β
√
ax2+bx +c dx
10)
α β
√
ax2+bx +c dx
11)
(x a x b dx)( )
12)
(x a x b)( ) dx
13)
, a>0
x a dx x a
14)
( ) dxmx n ax bx c
15)
( ) ( ) dxp x a p x b
16)
2( ) ( )
dx
p x p x b
17)
B Bài tập tự luyện:
Tính tích phân sau đây:
Bài 1:
2
(2x 3) dx
dx
(2x 3)
(x 2) 2x dx
1)
2) 3)
1
0
dx
1
x
3x 1
dx
3x 1
x x dx
4)
5) 6)
3
5
0
x x dx
x
dx
1 x
1
2
(1 x ) dx
7)
8) 9)
2 2
x
1
dx
x x
eln x
dx
x ln x
x
1
dx
x 1
10)
11)
12)
2
3
1
x
x
1dx
2dx
dx
x x
1
2 2x
dx
1 x
13)
14) 15)
2 /2 2 x dx x
17) dx x
18)
1 x dx16)
2 19) dx x x
2
2
0
20) x
4 x dx
1
2
3x 2
dx
(x 1) x
3x 3
21)
(20)(Cbú ý: Ngoài căn, bậc nên dùng hàm lượng giác)
46
15
2
15
141
20
2.( 1)
3
5 ln
( 1)
2
(2
2)
3
106
15
8
15
4) 2(1 – ln2)
5) 6)
7)14,2
8)
10)) 11) 12)
13)
π
12
1π
(
1)
4 2
14)
15)
2
dx
x x
2
x
2x 3
dx
x 1
2
2
0
x
4 x dx
Bài 2: 1) 2) 3) ()
3
dx
2x 1
2x 1
dx
2x 1
2x 1
Bài 3: 1) 2)
3
dx
x( x
x)
dx
3x
x
Bài 4: 1) 2)
2
1 x
C
x
HD – ĐS:
Bài 2: 1) ĐS: Với x = sint
1
u 1
1
2[ ln |
|
] + C
2
u 1
u
2
2) ĐS: Với u = cost, x + =
tgt
3
t
t
[
t ln | t 1| ] C
3
2
2x 1
Bài 3: 1) ĐS: Với t = )
4
2x 2x 2ln | 2x 1| C
2) ĐS:
2
t
[
t ln | t 1| ] C
2
12x
Bài 4: 1) ĐS: -12 Với t =
6
x
3
t
t
[
t ln | t 1| ] C
3
2
2) ĐS: Với t = )
Vấn đề 6: Tích phân hàm số lượng giác
(21)(sin, cos, )ndx
1)
(tan, cot, )ndx
2)
1
(sin, cos, )
n
dx
3
(
tích
sin, cos)dx
4)
dx
a sin x bcosx c
5)
a sin x bcosx c
dx
msin x pcosx q
6)
sin(ax
).sin(
)
dx
ax
7)
sin(ax
).cos(
)
dx
ax
8)
cos(ax
).cos(
)
dx
ax
9)
tan(ax
).tan(
ax
)
dx
10)
tan(ax
).cot(
ax
)
dx
11)
cot(ax
).cot(
ax
)
dx
12)
π α α
2
α α
0
sin x / cos x
dx
sin x cos x
13)
2
asin sin cos cos
dx
I dx x b x x c x
14)
B Bài tập tự luyện:
Tính tích phân
π
5
0
I
sin x dx
8
15
2dx
I
sin x.cos x
3
3 3
sin x dx
I
cosx cosx
Bài 1:
()
2
4 6
sin x
I
dx
cos x
5
I
cos x dx
I
6
sin x.cos x dx
22
7
I
sin x.cos x dx
dx
I
sin x.cos x
I
9 3dx
5sin x.cos x
10
dx
I
sin x.cosx
3
11 2
sin x.cos xdx
I
1 cos x
π
4 12
0
I
cos 2x dx
3π
16
()
13
dx
I
sin 2x 2sin x
π
3
14
4sin x
I
dx
1 cos x
π
6
4
15 x
π
sin x cos x
I
dx
6
1
1
I
sin 2x.cos5x dx
x
x
I
cos x.cos cos dx
2
4
(22)π
3 0
π
I
tan x.tan(x
)dx
4
π
4 π
6
dx
I
π
sin x.cos(x
)
6
1
dx
I
1 sin x cosx
dx
I
(m 1)
sin x m
dx
I
sin x
Bài 3:
π
π
1 sin 2x cos2x
I
dx
sin x cosx
π
4
2
I
cos 2x(sin x cos x) dx
Bài 4: (1)
(0)
π 3
0
sin x
I
dx
sin x cosx
π
2
4
I
cos x.cos 2x dx
π
8
()
0
4
π
I
(sin x cos x) dx
π 2
0
sin x 7cos x 6
I
dx
4sin x 3cosx 5
Bài 5:
π
5
3 5
0
sin x
I
dx
sin x cos x
π
2
4
cos x
I
dx
sin x
3cosx
b
a
| f(x) | dx
Vấn đề 7: Tích phân hàm trị tuyệt đối
A Phương pháp:
Bài giảng lớp.
B Bài tập tự luyện:
1
2
4x
4x dx
1
2
π
0
1 cos2x dx
2
I
1= (ĐS: )
I
2= (ĐS: 2)
3π
π
| sin 2x | dx
π0
1 sin 2x dx
2
I
3= (ĐS: 1)
I
4= (ĐS: 2)
π
0
| cos x | sin x dx
4
3
2π
0
1 sin x dx
2
I
5= (ĐS: )
I
6= (ĐS: 4)
(23)ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng
A Phương pháp
Diện tích hình thang cong S giới hạn đường:
x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) y = g(x) = (trục hoành) cho
bởi công thức sau:
b
| f(x) | dx
a
S =
(1)
Tổng qt: Diện tích hình phẳng S giới hạn đường: x = a ; x = b
(a < b) ; y = f(x) y = g(x) cho công thức sau:
b
| f(x) - g(x) | dx
a
S = (2)
Chú ý: Công thức (2) trở thành công thức (1) g(x) = 0.
Tính tích phân (1), (2): Dùng pp vấn đề tính tích phân
hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối.
b
| f(x) | dx
a
Dùng (1): Nếu (S) giới hạn (C): y = f(x) trục Ox (C)
phải cắt Ox hai điểm có hồnh độ a, b S =.
Dùng (2): Gọi (C): y = f(x), (C
’): y = g(x) ta phải tìm điểm
chung (C) (C
’) [a, b]:
b
| f(x) - g(x) | dx
a
Nếu tìm hai điểm chung mà hoành độ
a, b
khơng có điểm chung S =.
Nếu tìm điểm chung c [a, b]
b
| f(x) - g(x) | dx
c
c
| f(x) - g(x) | dx
a
b
| f(x) - g(x) | dx
a
S = =+
(24)Nói chung:
-
|
|
n
x x
S
f g dx
1
n
x
x
x
Nếu miền giới hạn hai đường, khơng cho
a, b: Tìm nghiệm Khi =…
- Nếu miền giới hạn ba đường trở lên ta phải vẽ đồ thị để xác định cận.
B Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = x
2– 2x + 2,
4
3
trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = (S = đvdt)
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = x
4– 2x
2+ 1,
16
15
trục hoành
(S = đvdt)
2x
x 2
Bài 3: Tính diện tích giới hạn (H): y =
trục hoành Ox đường thẳng x = 2.
(S = 4(1-ln2) đvdt)
Bài 4: Tính diện tích giới hạn (C): y = - x
3+ 3x
2- 2, (0 x 2)
5
2
trục hoành Ox, trục tung Oy đường thẳng x = (S = đvdt)
2
x
2x
x 1
Bài 5: a) Vẽ (C): y = f(x) =
b) Tính diện tích S(a) giới hạn (C), tiệm cận xiên (C) hai
đường thẳng x = a, x = 2a (a > 1) Tìm a để S(a) = ln3
2a 1
a 1
b
( S(a) = ln đvdt, a = 2)
9
2
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = - x
2đường thẳng
(d): y = x
(S = đvdt)
Bài 7: Cho (C): y = f(x) = (x
2– 1)
2(P): y = g(x) = - 3x
2+ 2x + 1
a) Tìm điểm chung (C) (P)
(25)c)
7
15
Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) (P) (S = đvdt)
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình:
27
x
2
x
27
y = x
2, y = , y =
(S = 27.ln3 đvdt)
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình:
2
a
3
ax = y
2, ay = x
2(a > 0)
(S = đvdt)
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình:
7 x
y
x 3
2
x
8x 7
3
3
3
y = -
và
(S = – 8ln2 đvdt)
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình:
8
3
2
3
x
x 1
2
x
25
x 1
2
y = y = -
(S = đvdt)
Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
64
3
x
3
2x
2
4x 3
y = (C) tiếp tuyến đường cong (C)
điểm có hồnh độ
(S = đvdt)
Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
4
3
(P): y
2= 2x
, trục Ox tiếp tuyến (P) A(2; 2) (S = đvdt)
Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
39
9
(P): y = x
2– 4x + 5
hai tiếp tuyến (P) kẻ hai điểm A(1; 2)
và B(4; 5)
(S = đvdt)
Bài 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong:
2
x
3
y
x 1
(C) đường thẳng y = - x + 3
(S = – 4ln2 đvdt)
Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong sau đây:
1
6
y = 2x
2x = y
2(S = đvdt)
(26)A.Phương pháp
b 2
f (x)dx
a
π
Thể tích vật thể trịn xoay V
oxsinh hình phẳng giới
hạn
đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = y = f(x) quay xung quanh
trục Ox, cho công thức sau đây: V
ox =
b 2
g (y)dy
a
π
Thể tích vật thể trịn xoay V
oysinh hình phẳng
giới hạn
đường: y = a ; y = b (a < b) ; x = x = g(y) quay
xung
quanh trục Oy, cho công thức sau đây:
V
oy =π
π
b
2
2
b
2
b
2
[ f (x) - g (x) ]dx
f (x) dx
g (x) dx
a
a
a
π
Nếu hình phẳng
giới hạn (C): y = f(x) (C
’): y = g(x) liên tục
[a ,b] f(x) >
g(x) x[a ,b] hai đường thẳng x = a, x = b Khi
thể tích vật thể
trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox
tính
bởi: V
ox =(V = V
1– V
2)
(Tượng tự hai đường quay quanh Oy)
B Bài tập tự luyện
Bài 1: Miền D giới hạn đường y = y = 2x – x
2Tính thể tích
vật thể tròn xoay tạo D quay:
16π
15
a) Quanh trục Ox
(ĐS: đvtt)
8π
3
b) Quanh trục Oy
(ĐS: đvtt)
Bài 2: Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox
hình phẳng S giới hạn (C): y = lnx , trục Ox , đường thẳng x = e.
π(e 2)
(ĐS: đvtt)
π
3
Bài 3: Cho hình phẳng D giới hạn y = tgx , x = 0, x = , y = 0
a) Tính diện tích D
(27)π
3
3
( ĐS: S = ln2 đvdt , V = () đvtt )
3π
10
x
Bài 4: Tính thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn
bởi
hai đường cong y = x
2, y =
quay quanh trục Ox (ĐS: đvtt)
Bài 5: Miền D giới hạn đường y = y = (x – 2)
2Tính thể tích
vật thể tròn xoay tạo D quay:
256π
5
a) Quanh trục Ox
(ĐS: đvtt)
128π
3
b) Quanh trục Oy
(ĐS: đvtt)
Bài 6: Miền D giới hạn đường x
2+ y – = x + y - =
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo D quay quanh Ox
153π
5
(ĐS: đvtt)
Bài 7: Miền D giới hạn đường y = - x y = x
2+ 2
Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo D quay quanh Ox
(ĐS: 16 đvtt)
3
x
3
Bài 8: Miền D giới hạn đường y = y = x
2Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo D quay quanh Ox
5
2.3π
35
(ĐS: đvtt)
TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :
109
S y x 3
yx2 2x3 ĐS :
Bài (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :
4
3
S
2
4
x
y 4
x y
(28)Bài (ĐH A2003) : Tính tích phân :
1 ln
I
2
dx I
x x
ĐS : Bài (ĐH B2003) : Tính tích phân :
1 ln 2
I
2
0
1 2sin sin
x I dx
x
ĐS :
Bài (ĐH D2003) : Tính tích phân :
1
I
2
I
x x dxĐS : Bài (ĐH A2004) : Tính tích phân :
11
4ln
I
2
11
x I
x
ĐS : Bài (ĐH B2004) : Tính tích phân :
116 135
I
0
1 3ln ln
e
x x I dx
x
ĐS : Bài (ĐH D2004) : Tính tích phân :
3ln
I
3 2
ln( )
I
x x dxĐS : Bài (ĐH A2005) : Tính tích phân :
34 27
I
0
sin sin 3cos
x x I dx
x
ĐS :
Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân :
2ln
I
2
sin cos cos
x x I dx
x
ĐS : Bài 11 (ĐH D2005) : Tính tích phân :
1
I e
2 sinx
( cos ) cos
I e x xdx
ĐS :
Bài 12 (ĐH A2006) : Tính tích phân :
2
I
2
2
sin os 4sin
x
I dx c x x
ĐS :
Bài 13 (ĐH B2006) : Tính tích phân :
3 ln
2
I
ln ln
x x
dx I
e e
(29)Bài 14 (ĐH D2006) : Tính tích phân :
2
5
e I
1
2
( 2) x
I
x e dxĐS : Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
1
e S
(1 x)
y e x y(e1)x , Error: Reference source not found.
ĐS :
x e y 0 y x lnxBài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn đường , , Error: Reference
source not found Tính thể
3
(5 2) 27
e V
tích khối trịn xoay tọa thành quay hình H quanh trục Ox ĐS : Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân :
4
5 32
e
I
1
ln
e
I
x xdxĐS : Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân :
1 10 ln(2 3)
I
4
tan os2
x I dx
c x
ĐS : Bài 19 (ĐH B2008) : Tính tích phân :
4
I
4
sin( )
sin2 2(1 sinx cos )
x dx
I dx x x
ĐS : Bài 20 (ĐH D2008) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
3 2ln 16
I
2
ln x
I dx x
ĐS :
Bài 21 (ĐH A2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
8 15
I
2
3
( os 1) os
I c c xdx
ĐS :
Bài 22 (ĐH B2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
1 27 (3 ln ) 16
I
3
2
3 ln ( 1)
x I dx
x
ĐS :
Bài 23 (ĐH D2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
2
ln( 1)
I e e
3 x
dx I
e
ĐS :
Bài 24 (ĐH A2010) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
1 1 n 3
e I l
1 2
2
x x
x
x e x e I dx
e
ĐS :
(30)1 n
I l ln (ln 2) e x I dx x x
ĐS :Bài 26 (ĐH D2010) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
2
1
e I
1
3 (2 ) ln
e
I x xdx x
ĐS :
Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
2
n 4
I l
4
sin ( 1) cos sin cos
x x x x I dx
x x x
ĐS :Bài 28 (ĐH B2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
2
3 n 3
I l
3 sin os x x I dx c x
ĐS :Bài 29 (ĐH D2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
34 10 n
I l
4
4 2
x I dx x
ĐS :Bài 30 (ĐH A2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
2 n ln 3
I l
3
2
1 ln(x 1)
I dx x
ĐS :
Bài 31 (ĐH B2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
3 n ln
2
I l
1 x I dx x x
ĐS :Bài 32 (ĐH D2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
2 1
32
I
/
I x(1 sin 2x)dx
ĐS :
Bài 33 (ĐH A2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
5 ln 2
I
2 2 1 ln
xI x dx
x ĐS :
Bài 34 (ĐH B2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
2
I
1
2
2
I
x x dxĐS :
Bài 35 (ĐH D2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found
1 ln
I
1 2 ( 1) x I dx x
ĐS :I
y 2x 1
y x
2
x 3
Bài 36 (ĐH A, A12014) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (31)2 2
3
x x xx dxBài 37 (ĐH B2014) : Tính tích phân ĐS: + ln3
3
I
π
(x 1)sin 2xdx
Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I = ĐS :
MỘT SỐ ĐỀ CĐ, ĐH KHÁC
Bài Tham khảo 2005
141
10 x dx x I
7
0
2
KQ: Bài Tham khảo 2005
3 ln2
8
3
2
sin
xtgxdx I
KQ: Bài Tham khảo 2005
1
ln e 1
4
sin .cos
dx x e
tgx I x
KQ: Bài Tham khảo 2005
3
2e 9
e
xdx x
I
1 2ln
KQ:
Bài CĐ Khối A, B – 2005
6
I x x dx
1
2 3. 3
KQ: Bài CĐ Xây Dựng Số – 2005
6ln3 8
3
13
3 dx x x
x I
KQ: Bài CĐ GTVT – 2005
8
105 I
x x dx1
2 1
KQ:
Bài CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
3
3.e 34
2
3 sin5
xdx e
I x
(32)848
105 I x x dx
5
0
3 1.
KQ: Bài 10 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
1 ln2
2
2 sin sin dx x x I KQ: Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 20053 18
2 2x 4
x dx I
KQ: Bài 12 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
2 e
e dx x x I ln KQ: Bài 13 CĐSP Vĩnh Long – 200546
15 x dx x I
0 3
1
KQ: Bài 14 CĐ Bến Tre – 2005
2 3ln 2
2
0sin
3 cos dx x x I KQ: Bài 15 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
I ln2 , J
3 2 2 0 sin sin ,
sin cos sin 2cos cos
2
xdx x xdx I J
x x x x x
KQ: Bài 16 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 20052 e
e xdx x I ln KQ: Bài 17 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 20052
4
I xsin xdx
4
KQ: Bài 18 CĐSP Hà Nội – 20056
x dx x x x I
2 KQ:Bài 19 CĐ Tài Chính – 2005
x xdx I KQ: (33)
e
x x
dx I
1 ln2
KQ: Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005
2
2004 2004
2004
cos sin
sin
dx x x
x I
4
KQ: Bài 22 CĐSP KonTum – 2005
2
3
cos
sin
dx x x I
KQ:
Bài 23 Tham khảo 2006
6
dx I
2x 4x
ln32 12 KQ:
Bài 24 Tham khảo 2006
2
I x sin2x dx
1
KQ: Bài 25 Tham khảo 2006
2
I
x ln x dx ln44 KQ:
Bài 26 Tham khảo 2006
10
dx I
x x
2 ln 1 KQ:
Bài 27 Tham khảo 2006
e
3 ln x I dx
x ln x
10 113 KQ:
Bài 28 CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
1
2
I
x ln x dx ln 2 2
t x KQ: (Đổi biến , phần)
Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006
2
ln x I dx
x
3ln 2 3ln3 KQ: Bài 30 CĐ Nông Lâm – 2006
1
I
x x 1dx 2
KQ:
Bài 31 ĐH Hải Phòng – 2006
1
x I dx
1 x
ln22 (34)2
sin x cosx I dx
1 sin 2x
ln KQ:
Bài 33 CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006
3
2
I
x ln x 5 dx 14ln14 5ln5 9
2 KQ:
Bài 34 CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006
2
3
cos2x
I dx
sin x cosx
32 KQ:
Bài 35 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006
4
I x cosx dx
8
KQ: Bài 36 CĐ KTKT Đông Du – 2006
4
cos2x I dx
1 2sin2x
ln34KQ: Bài 37 CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006
ln2 2x x
e
I dx e
KQ: Bài 38 CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006
3
4sin x I dx
1 cosx
KQ: Bài 39 CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006
4
x I dx
cos x
ln
KQ: Bài 40 CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006
3
x
I dx x x
6ln3 8 KQ:
Bài 41 CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006
9
I
x x dx 4687
KQ:
Bài 42 CĐ Bến Tre – 2006
e
x
I ln x dx x
2e93 1811 (35)1
2
I
x x dx 3 2
9 Bài 43 KQ:
2
2
cos
xdx x
I 2
Bài 44 KQ:
1
3
2 x 1dx
e x
I x e2
4 14 Bài 45 KQ:
Bài 46 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006
2
sin3x I dx
2 cos3x
KQ: Không tồn
Bài 47 CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006
1
2
I
x ln x dx ln 2 KQ: Bài 48 CĐ Xây dựng số – 2006
2
x x I dx
x
32 10ln33 KQ: Bài 49 CĐ Xây dựng số – 2006
1
3
I
x cos x sin x dx4 KQ:
Bài 50 CĐ GTVT III – 2006
2
cosx I dx
5 2sin x
5ln2 KQ:
2
J
2x ln x dx 24 ln3 14 KQ:
Bài 51 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
4
8
I tg x dx
76105 KQ:
Bài 52 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006
4
4x I dx
x 3x
18ln2 7ln3 KQ:
Bài 53 CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006
3
0
sin3x sin 3x I dx
1 cos3x
1 ln26 3KQ: Bài 54 CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006
e
ln x ln x I dx
x
3 2
8 KQ:
(36)
4
4
I cos x sin x dx
2 KQ:
Bài 56 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
4
cos2x I dx
1 2sin2x
ln34KQ: Bài 57 CĐSP Trung Ương – 2006
2
I sin xsin 2xdx
3 KQ:
Bài 58 CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
1
2
x I dx
x
ln43 4 KQ :
Bài 59 CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006
2
I x cosxdx
2
2
KQ: Bài 60 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
e
2
dx I
x ln x
4
KQ: Bài 61 CĐKT Y Tế I – 2006
2
sin x cosx I dx
1 sin 2x
ln KQ:
Bài 62 CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006
3
ln tgx I dx
sin 2x
2
1 ln
16 KQ:
Bài 63 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
2 3
I sin 2x sin x dx
154 KQ:
Bài 64 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006
e
ln x I dx
x
4 e KQ:
Bài 65 CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
1
I dx x 2x
4 (37)7 3
x I dx
3x
4615KQ:
Bài 67 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006
4
x I dx
cos x
ln
KQ:
Bài 68 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006
2
I
4x ln x dx6 ln2 2 KQ:
Bài 69 CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006
3
dx I
sin x.sin x
2 ln23 KQ:
Bài 70 Tham khảo khối A – 2007
4
2x dx
1 2x
2 ln2 KQ:
Bài 71 Tham khảo khối B – 2007
2
1
1
x x y v y
x 21ln2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường KQ: Bài 72 Tham khảo khối B – 2007
2 à 2
y x v y x
1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường KQ: Bài 73 Tham khảo khối D – 2007
1
x x dx
x
ln2 23ln3KQ: Bài 74 Tham khảo khối D – 2007
2
x cosxdx
2
2
KQ:
2
y x y x; x 1; x 0
6Bài 75 CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các
đường có phương trình ; KQ:
Bài 76 CĐ GTVT – 2007
3
4cos x dx sin x
KQ:
Bài 77 CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
x dx x
23110KQ:
(38)2007
2
1 1 dx x x
32008 220082008
KQ: Bài 79 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
e
2
x ln x dx
5e 2
27 KQ:
Bài 80 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
4
2
x sin x dx
3 1
384 32
KQ: Bài 81 CĐ Khối B – 2007
y x y x cos x x 0 x Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường , , ,
KQ: Bài 82 CĐ Khối D – 2007
0
x dx
KQ: Bài 83 CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
3 2
dx x x 1
3 12
KQ: Bài 84 CĐ Hàng hải – 2007
3
x x 1dx
14 35KQ: Bài 85 CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
0 2x
x e x dx
3e 314 60
KQ:
Bài 86 CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007
1 x
xe dx
KQ: Bài 87 CĐ Khối A, B, D – 2008
P y: x2 4x d y x:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol đường thẳng
9
2 KQ: (đvdt)
100 BÀI TẬP TÍCH PHÂN THAM KHẢO
1.
2
1 1
dx A
x x
1( 27 1) (39)2.
/2 /4
1 cos
B x dx
2 1 đs:
3. 2 x x C dx x
3ln 2 đs : 4. /2 /6cos cos
D x x dx
đs : 5. /2 4 /6cos (sin cos )
E x x x dx
32 đs: 6. sinF x dx
4 2 đs:
7. /2 4sin cos xdx G x
đs: 8. 2| |
H
x x dxđs:
9.
5
(| | | |)
I x x dx
đs:
10.
1
2
(| 1| | |)
K x x dx
đs: 5/2
11 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx
a) Tìm số A , B cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)
b) /4 ( ) ( ) g x dx f x
1ln 10
Tính đs:A =2/5,B = –1/5 ,
12.
2
( )
f x dx
Tìm số A,B để hàm số f(x) = Asinx + B thỏa mãn đồng thời điều kiện f ’(1) = đs: A = –2/ , B =
13. 1/2 2 /2 M dx x x
2
đs:
14. 1 ln2
e dx N x x
đs : 15.2 /2 2 x O dx x
đs: 16. x P dx x
16 đs: 17. x Q dx x
20 18
(40)18.
4/ 3 x R dx x
24 16 đs: 19. 2/ 2 dx R x x
12 đs: 20. dx S x
ln( 1)đs: 21.
T
x dx 1ln( 1)2 đs:
22. 2 x U dx x
3 đs: 23. 4dx V x x
36 đs : 24. /2 1 x X dx x
đs : 25. ( 2) x Y x dxx
4
đs:
26.
0
1
dx A x x
183đs :
27.
1
3
1
B
x dx16 đs: 28. 1 x C dx x
3 đs: 29. /2 sin sin x D dx x
2 đs: 30. 10 2 1 x E dx x
62đs: 31. 1 x F dx x
dx
e
e
x 5x -21
đs: 32. 2A
x x dx 3215 đs:
33. 1 x B dx x
10615 đs:
34. 3 4 x C dx x
995 (41)35. 3 x D dx x
đs: 141/20 36. 01 dx E x
đs: 2(1 – ln2)
37. dx F x x
ln94 đs:
38.
1
3 0( 1)
x G dx x
8 đs:
39. 7/3 3 x H dx x
đs: 46/15 40. 3 3x I dx x x
đs: 6ln –
41.
/2
3
cos (sin cos 3)
x K dx x x
32 đs:
42. /2 /3sin dx I x
1ln 32 đs :
43.
/3
tan
L x dx
ln 22 đs:
44.
/4
tan
M x dx
đs: 45. /4 tan N xdx
13 15 đs: 46. /2sin sin 3cos x x O dx x
3427 đs:
47.
1
3
1
P
x x dx ( 1)15 đs:
48. ln 1 x x e Q dx e
đs: ln
49.
2
11
x R dx
x
11 4ln3 đs:
50. 2ln 2ln e x S dx x x
10 113đs: 51. dx T x x
1ln8 (42)52.
1 dx U x x
16ln3 đs:
53.
ln
2 ( 1)
x x e V dx e
6 đs :
54. /4 cos dx X x
3 đs :
55.
1 3ln ln
e
x x Y dx
x
116135 đs:
56.
3
0 2
dx A
x x
ln3 2−1
3 đs:
57.
5
1
dx B
x x
ln 3 đs: 58. /2 3(cos sin )
C x x dx
3 đs:
59.
2 2
1 12
x
R dx x x
25ln 16ln 1 đs 60. 64 dx D x x
11 6ln2 đs: 61.ln ln
e
x x E dx
x
3( 16 1)38 đs:
62.
ln 2 x x e F dx e
đs 63. /2 /6 cos sin x G dx x
195 10 2 đs:
64.
/2
cos sin cos sin
x x x H dx x
ln2 đs: 65. /4 6 sin sin cos x I dx x x
đs: ln
66. /2 sin cos x K dx x
đs: 3ln2 –
67.
ln ln e ex L dx x x
đs: ln
68.
3
sin sin sin
M x x x dx
(43)69.
/2
cos
13 10sin cos
x dx N x x
1ln42 3 đs:
70.
0
/4cos cos
4 dx O x x
2 ln 2 đs:
71.
/2
sin sin cos
x S dx x x
ln8
đs:
72.
2ln
ln x
dx P e
đs: 73. /20 cos
dx Q x
9 đs: 74. 2 x dx R x x
3 đs:
75. /6 tan cos x S dx x
1ln(2 3) 102 27 (A–2008) đs:
76.
3
1 2
dx T
x x
ln( 2)đs : 77. 2 1/2 x U dx x x
đs: 78. x V dx x
3ln đs : 79. /2 2cos cos
I x x dx
/2
2
sin cos
J x x dx
Cho hai tích phân: ; a) Tính I + J I – J
b) Tính I , J đs: /4 ; ; /8
80 Giả sử f(x) hàm số liên tục [0;] Chứng minh rằng:
/2 0
(sin ) (sin ) (sin )
x f x dx f x dx f x dx
sin cos x x J dx x
Áp dụng : đs: 2/4
81. 2 2cos 2x
3 /2 /2
( )
f x dx
Cho hàm số f(x) liên tục R với x thuộc R ta có : f(x) + f(–x)= Tính đs:
82.
1
2 x
dx X e x
(44)83. /2 6 sin sin cos x Y dx x x
đs: 84. ln( 1)A
x x x dx 3ln 34 12 đs: 85. 2 1 ln
B x dx x
3ln 10ln đs: 86. sin cosC x x x dx
đs: 87. cos(ln ) eD x dx
1( 1) e đs: 88. 2 ln( )E
x x dxđs: 3ln3 –
89. /2 sin sin cos x
F e x xdx
đs: 1/2
90.
/4
tan
G x xdx
1ln 2 32 đs: 91. /2 cos xH e xdx
2 e
đs:
92. 2 1 ln ln e e I dx x x
2
2
e e
đs: 93. sin cos x x K e dx
x
2 e đs:94.
1 2 x x e L dx x
3 e đs: 95. 2 cosM x dx
đs: –
96.
2
0
sin
N x x dx
2 π2−8 đs 97. ln e
O
x x dx 1( 1)4 e đs:
98.
1
( ) x
P
x x e dx (45)99.
1
2
ln( )
Q
x x dxln(1 2) 1 đs:
100.
1
ln( 1)
x
x
R dx e
