b) Tìm các cặp tiếp tuyến song song của ( ) C sao cho khoảng cách giữa chúng lớn nhất.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ – LỚP 12 Năm học 2014 – 2015
Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 02 – 10 – 2014 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang)
Câu (5,0 điểm)
Cho hàm số 1 − =
+ x y
x có đồ thị ( )C
a) Tiếp tuyến điểm M đồ thị ( )C cắt hai đường tiệm cận ( )C Avà B Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M ( I giao điểm hai đường tiệm cận ( )C )
b) Tìm cặp tiếp tuyến song song ( )C cho khoảng cách chúng lớn Câu (4,0 điểm)
a) Giải phương trình 2x2−3x+ −7 43 x+ =4
b) Giải hệ phương trình
2
2
2
12 (4 )
12 (4 )
12 (4 )
⎧ = +
⎪⎪
= +
⎨ ⎪
= +
⎪⎩
x y x
y z y
z x z
Câu (3,0 điểm)
Với ba số dương , ,a b c thỏa mãn a b c+ + =1, tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
1 1
= +
+ +
P
abc
a b c
Câu (4,0 điểm)
Cho hai điểm A B, cố định mặt phẳng ( )P , AB a Trên đường thẳng qua = Avng góc với mặt phẳng ( )P lấy điểm S cho
2 = a
SA Gọi Δ đường thẳng nằm ( )P qua
B (Δ khơng vng góc với AB) Đường thẳng qua A vng góc với AB cắt Δ D H
hình chiếu A lên Δ Trong mặt phẳng (SDB đường thẳng qua ) D vuông góc với SB cắt
,
SH SB ,I K
a) Chứng minh 12 = 12 + 12 + 2
AI AS AB AD
b) Xác định vị trí đường thẳng Δ để diện tích tam giác AIK lớn
Câu (4,0 điểm)
Cho dãy số ( )u thỏa mãn điều kiện: n
1
2
4
1, 1, 2,
+
= ⎧⎪ ⎨
= + + =
⎪⎩ n n n
u
u u u n
a) Chứng minh với số nguyên dương n ta có un+2 =4un+1−u n b) Chứng minh u2015 chia hết cho
- HẾT -
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ – LỚP 12 Năm học 2014 – 2015
Mơn thi: Tốn Ngày thi: 02 – 10 – 2014
Câu HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm
Câu 1a Chứng minh diện tích khơng đổi … 3 điểm
Xác định TCĐ x= −1, TCN y=2, I(−1;2 ) 0,5 điểm
Gọi ;
1
⎛ ⎞
−
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
M a
a thuộc ( )C
Tiếp tuyến M 2( ) ( 1)
= − + −
+ +
y x a
a a
0,5 điểm
Tìm giao với hai tiệm cận 1;2
⎛ ⎞
− −
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
A
a , B a(2 +1;2)
1,0 điểm
Tính
1 =
+ IA
a , IB=2a+1
0,5 điểm
Tính SIAB=6 0,5
điểm
Câu 1b Tìm cặp đường thẳng … 2 điểm
Gọi M a f a( ; ( )),N b f b với ≠( ; ( )) a b tiếp điểm tiếp tuyến Δ Δ 1, 2 Vì tiếp tuyến M N song song nên '( ), f a = f b'( )⇔ + = −a b
0,5 điểm Chứng minh I trung điểm MN
Suy d(Δ Δ1, 2)=2d I( ,Δ1)
0,5 điểm Gọi ,A B giao Δ với hai tiệm cân, 1 H hình chiếu I lên AB
Ta có 12 12 12
= + ≥ = ⇒IH ≤
IA IB IH IA IB
Suy khoảng cách Δ Δ lớn 1, 2 IA IB= ⇔ = − ±a
0,5 điểm
Vậy cặp tiếp tuyến cần tìm có phương trình y x= + −3 y x= + +3 0,5 điểm
Câu2a Giải phương trình … 2 điểm
Vì 2x2−3x+ >7 , ∀ ⇒ > −x x Ta có: 3 4(3 x+1) 2≤ + + + = +x 1 x 5
1,0 điểm
Suy 2x2−3x+ ≤ + ⇔7 x 2(x−1)2≤ ⇒ =0 x Thử lại thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x=1
1,0 điểm
Câu 2b Giải hệ phương trình … 2 điểm
Nhận xét x≥0,y≥0,z≥0 0,5
điểm Ta có 12 22
4
= ≤
+ x
y x
x , tương tự z y≤ , x z≤ Suy x=y z=
(3)Thay x= y z= vào ta
0
= = =
⎡ ⎢
⎢ = = = ⎣
x y z
x y z
Thử lại thỏa mãn
Vậy nghiệm hệ phương trình cho …
0,5 điểm
Câu Tìm giá trị nhỏ … 3 điểm
* Ta có:
2 2 2
1 1 1
= + + + ≥ +
+ +
+ + + +
P
ab bc ca ab bc ca
a b c a b c
1,0 điểm
2 2
2
1 1
9
( )
= + + +
+ + + + + +
+ +
≥ +
+ +
+ +
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
a b c
ab bc ca a b c
1,0 điểm
Ta có: 1( )2 21
3
+ + ≤ + + = ⇒ ≥
+ +
ab bc ca a b c
ab bc ca Suy P≥30
Vậy giá trị nhỏ P 30 đạt = = =
a b c
1,0 điểm
Câu 4a Chứng minh… 2 điểm
S
K
I
H
D
B A
Chứng minh AI ⊥(SBD ) 1,0 điểm
Ta có
2
2 2
1 1
1 1
= +
= + +
AI AS AH
AS AD AB
1,0 điểm
Câu 4b Xác định vị trí … 2 điểm
Chứng minh tam giác AIKvng có cạnh huyền
3 = a AK
Suy diện tích tam giác AIKlớn tam giác AIK vuông cân
1,0 điểm Khi
2
= a ⇒ =a
AI AH
Suy 300
= ABH
Vậy Δlà đường thẳng qua B tạo với AB góc 30
1,0 điểm
Câu 5a Chứng minh … 2 điểm
Ta có
2 2 2
1 ( ) 1 1
+ = + + ⇒ + − = + ⇒ + − + + =
n n n n n n n n n n
u u u u u u u u u u
Tương tự 2
2 1
+ − + + + + =
n n n n
u u u u
(4)Suy un+2,u nghiệm phương trinh n 2
1
4 + +
− n + n − =
X u X u
Theo vi ét ta có un+2+un =4un+1 ⇔un+2 =4un+1−u n
1,0 điểm
Câu 5b Chứng minh chia hết… điểm
Ta có: un+2 =4un+1−un =15un−4un−1=5(3un−un−1)+u n−1
2 1(mod5)
+ −
⇒un ≡un
1,0 điểm
2015 ≡ 2012 ≡ ≡ 2(mod5)
u u u
Mà u2 =15chia hết cho Vậy u2015chia hết cho
