Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳng

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳng

I TÊN SÁNG KIẾN PHÉP ĐỒNG DẠNG VÀ HÌNH VNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG II CÁC TÁC GIẢ CỦA SÁNG KIẾN Đỗ Thị Bích Thảo Chức danh: Tổ trưởng tổ Toán - Tin trường THPT Nho Quan B Học vị: cử nhân toán Địa chỉ: trường THPT Nho Quan B Hòm thư điện tử: toantinnqb@gmail.com Số điện thoại: 0975805618 Nguyễn Văn Sáng Chức danh: giáo viên Học vị: cử nhân toán Địa chỉ: trường THPT Nho Quan B Hòm thư điện tử: quangsang19@gmail.com Số điện thoại: 0947378873 III NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN Thực trạng giải pháp cũ thường làm- hạn chế giải pháp cũ 1.1 Thực trạng Các tốn hình học giải tích Oxy đề thi THPT Quốc gia ln câu hỏi khó mang tính phân loại cao có xu hướng khai thác sâu Để giải toán học sinh phải nắm kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng, tính chất học vận dụng linh hoạt phương pháp, công cụ khác để giải toán Trên thực tế học sinh trường THPT Nho Quan B trải qua trình học tập rèn luyện từ lớp 10 đến lớp 12 có học sinh giải thành thạo toán đề thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp trường tỉnh Nguyên nhân sâu xa vấn đề nằm việc kết hợp nhiều kiến thức hình học phẳng vào tốn, vận dụng cách khéo léo phương pháp công cụ để giải toán 1.2 Giải pháp cũ thường làm Trong chương trình hình học lớp 10, nội dung phương pháp tọa độ mặt phẳng giải vấn đề đường thẳng, đường tròn, elip,… để đáp ứng toán thực tế, đề thi, diễn đàn,… kiến thức mở đầu, đòi hỏi người học phải tìm hiểu sâu nữa, nắm bắt nhiều kiến thức, kỹ năng, phương pháp cơng cụ hồn thành tốn cách thục Một số tốn khó địi hỏi học sinh phải có kỹ năng, khả vận dụng cao như: phán đốn tính chất, chứng minh tính chất giải tốn Điều địi hỏi học sinh phải có kỹ vẽ hình, cảm nhận hình phán đốn xác, có kiến thức sâu học học để chứng minh giải vấn đề Ở khâu giải vấn đề (chứng minh tính chất) nhiều học sinh nhất sử dụng hình học túy đề chứng minh, điều địi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ phân tích hình học phải tốt, dẫn đến nhiều khó khăn Ví dụ toán sau: (khối A - 2012) Cho hình vng ABCD,  11  ; ÷là trung điểm BC, N điểm thuộc cạnh CD cho CN = 2ND,  2 M phương trình AN: 2x - y - = Tìm tọa độ điểm A Phương pháp giải đáp án sau: + Gọi H = AN ∩ BD Chưng minh AH A B vng góc với HM + Tìm A∈ AN, tìm AM = 10 , từ M suy điểm A D N C Vấn đề đặt học sinh có phát mối quan hệ điểm A, H M cách đơn giản hay khơng? Nếu phát giải vấn đề nào? Hiện có nhiều phương pháp để giải vấn đề điểm A, H M như: sử dụng tính chất vectơ, tọa độ hóa, túy hình học phẳng, đại số hóa cơng cụ hệ thức lượng tam giác đường tròn,… Nhưng khó chỗ phát điểm H 1.3 Hạn chế phương pháp cũ Với tốn hình vng xuất nhiều tập, đề thi đơn giản có tính đối xứng cao nên xuất nhiều tính chất ẩn Người đề xuất phát từ tính chất dễ dàng tốn khó cho học sinh Mà điều nói việc phát chứng minh tính chất khơng dễ dàng Khi thực phương pháp cũ, học sinh bắt buộc phải thực bước sau: Bước 1: vẽ hình (chính xác) Bước 2: + Phân tích đề - kiện, định hướng lời giải; + Phán đốn tính chất: có sẵn (nhìn thấy) phải dựng thêm hình (như ví dụ trên); Bước 3: chứng minh tính chất (bước khó nhất) Ở bước học sinh phải thục phương pháp, công cụ nêu trên; Bước 4: tiến hình giải tốn theo tính chất chứng minh; Bước 5: loại nghiệm, kết luận Qua đó, thực tế dạy học chúng tơi thấy, hình vng việc làm theo bước túy tạo nhiều khó khăn cho em, bước 2, bước có tính chất định cho tốn Đơi lúc em nản tốn khơng giải Những giải pháp yêu điểm giải pháp 2.1 Những nội dung giải pháp Thay gắn hệ trục vào hình đề bài, ta dựng hình vng đồng dạng với hình cho Hình tọa độ hóa cụ thể, ta gọi hình sở Do ta giả sử hình vng ABCD : A’B’C’D’ Khi ta có tỉ số đồng dạng: k = AB CD MA = = = = A 'B' C'D' M 'A ' Khi tìm tỉ số đồng dạng, ta suy độ dài cạnh hình vng Dựa vào giả thiết ta tìm tọa độ đỉnh cần tìm Ngồi từ hình vng sở ta xác định góc, từ chứng minh tính chất vng góc, số đo góc,… Vì qua phép đồng dạng biến góc thành góc với  11  ; ÷là trung điểm  2 Ví dụ 1: (khối A - 2012) Cho hình vng ABCD, M  BC, N điểm thuộc cạnh CD cho CN = 2ND, phương trình AN: 2x - y - = Tìm tọa độ điểm A Phân tích: Bài toán cho điểm M cố định trung điểm BC, điểm N đặc biệt thỏa mãn CN = 2ND; Có thể tính khoảng cách từ M đến AN Như xét hình vng sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vng cho, điểm hình vng biến thành điểm tương ứng Khi xác định khoảng cách từ M’ đến A’N’ Vì hai hình vng ln đồng dạng nên có tỉ số đồng dạng k = d( M,AN ) AB = , từ suy A 'B' d( M ',A 'N') độ dài cạnh hình vng Dựa vào giả thiết ban đầu ta tìm điểm A cách nhanh chóng Lời giải: Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y A B B'(1;1) A'(0;1) ( ) M' 1; D'(0;0) ( ) N' ;0 M x C'(1;0) D Phương trình A’N’: 3x + y - = Suy d( M ',A 'N') = Mà d ( M,AN ) = C N 10 15 Do hai hình vng đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với theo tỉ số k = d( M,AN ) AB = = ⇒ AB = 2A 'B' = , BM = A 'B' d( M ',A 'N') 3 10 AB = ⇒ AM = 2 Điểm A nằm AN: 2x - y - = nên A(t; 2t - 3), AM = 10 ⇔  t = t =  Vậy có hai điểm A(1; -1) A(4; 5) 2.2 Những ưu điểm giải pháp Giải pháp giúp học sinh giảm bớt gánh nặng phải phán đốn, tìm tịi tính chất chứng minh Điều nói khó khăn, khơng phải học sinh thực Nếu phải chứng minh tính chất bước ta hồn tồn áp dụng phương pháp để chúng minh cách nhanh chóng Khi tiếp cận phương pháp học sinh dễ dàng tự chủ động tìm tịi lời giải độc lập khơng máy móc dựa vào việc chứng minh tính chất cách khó khăn; Ở ví dụ nêu trên: để giảm tải bớt khó khăn việc tìm điểm H, phán đốn tính chất vng góc, ta chuyển tốn việc tìm độ dài cạnh hình vng để tìm điểm A theo yêu cầu toán Cụ thể, biết độ dài hình vng, ta suy AM suy điểm A cách nhanh chóng khơng thời gian tìm hiểu tính chất IV HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC Hiệu kinh tế Học sinh sử dụng nhiều tài liệu, kết hợp nhiều phươp pháp, không nhiều thời gian để giải toán hình vng Từ áp lực kinh tế khơng cịn vấn đề quan trọng Giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp cận cách nhanh chóng, không nhiều thời gian, công sức Giúp học giảm thời gian đầu tư cho việc học thêm tràn lan Hiệu xã hội Sáng kiến mang tính thực tiễn cao, kiến thức phù hợp cho học sinh Trung bình khá, giỏi Phù hợp cho giáo viên tham khảo áp dụng vào thực tế giảng dạy Giúp giải nhanh chóng tốn hình vng thi THPT quốc gia năm gần đây; Đề tài trải qua thực tế giảng dạy nhóm tác giả, đồng môn trường THPT Nho Quan B việc ôn thi THPT Quốc gia ôn thi học sinh giỏi bước đầu đạt hiệu cao; V ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài mà nhóm tác giả trình bày dễ dàng áp dụng thực tế, phù hợp với giáo viên học sinh THPT Kiến thức đề tài nằm hoàn toàn chương trình hình học lớp 10, đầu năm lớp 11 nên dễ dàng cho học sinh tiếp cận, giải vến đề Phù hợp với nhiều đối tượng VI NỘI DUNG CỦA GIẢI PHÁP Phần A: Kiến thức liên quan đề tài Phương pháp tọa độ mặt phẳng, SGK hình học lớp 10 hành; Phép dời hình phép đồng dạng, chương I SGK hình học 11 hành Phần B: Một số nguyên tắc q trình tìm lời giải tốn Hướng nhận định ban đầu: Dựa vào giả thiết toán hình vng, phân tích tìm mối liên hệ yếu tố biết Xác định điểm cố định (hay khơng cố định) vị trí đặc biệt (hay khơng đặc biệt), tìm yếu tố khoảng cách, góc có sẵn (hoặc tính tốn đơn giản) Ngun tắc thực Vẽ mơ tả hình học giả thiết Xét hình vng sở (có tọa độ cố định), hình vng ln đồng dạng với hình vng đề Tìm mối quan hệ góc, khoảng cách xây dựng cách giải cụ thể Phần C: Một số kiến thức thường dùng Tính chất hình học học * Phép đồng dạng tỉ số k: + Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm ấy; + Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; + Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; + Biến đường trịn thành đường trịn bán kính R thành đường trịn có bán kính kR * Nhận xét: Hai hình vng ln đồng dạng với Kiến thức hình học dạng tọa độ Lập phương trình đường thẳng qua điểm biết vtcp, vtpt; song song vng góc với đường thẳng cho trước, biết góc hai đường, khoảng cách,… Bài tốn tìm điểm bản: tìm giao điểm hai đường thẳng, điểm hình chiếu, điểm đối xứng,… Bài tốn khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, góc hai đường thẳng: Bài tốn vectơ: tích vơ hướng, góc hai vectơ, độ dài vectơ Phần D: Mô tả trình thực nội dung xây dựng hoạt động học tập học sinh tốn hình giải tích gắn với nội dung hình học Bước 1: vẽ hình Bước 2: phân tích hình vẽ, tìm yếu tố: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách hai điểm, góc hai đường thẳng,… Bước 3: Xây dựng hình vng sở (có tọa độ cụ thể) đồng dạng với hình vng cho Các điểm biến thành điểm tương ứng hình vng sở Bước 4: Tìm tỉ số đồng dạng xác định góc hai đường thẳng (quy góc hai vectơ) Bước 5: Chuyển toán ban đầu, giải tốn Phần E: MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Hình vng có điểm hình xác định rõ tỉ lệ Ta tạm gọi hình vng có điểm nằm cạnh có vị trí cụ thể có tỉ lệ cho trước Ví dụ Cho hình vng ABCD có A(1;1), điểm M thuộc CD cho DM = 2CM Biết phương trình cạnh BM: x + 3y - 19 = Tìm tọa độ đỉnh C hình vng biết C thuộc d: x - y = Phân tích: Bài tốn cho điểm A điểm M có tỉ lệ nằm CD phương trình BM Dó ta hồn tồn tính khoảng cách từ A đến BM, cách xét hình vng sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vng cho ta tìm cạnh hình vng Bài giải: Ta có: d ( A, BM ) = 15 10 Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y B A B'(1;1) A'(0;1) D ( ) D'(0;0) M M' C Phương trình B’M’: 3x - y - = Suy ra: d ( A ', B'M ') = ;0 x C'(1;0) 10 Do hai hình vng ln đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với theo tỉ số k = d ( A, BM ) AB = = ⇒ AB = 5A 'B' = ⇒ AC = A 'B' d ( A ', B'M ' )  c = −4 c = Khi gọi C(c,c)∈ d : x − y = Mà AC = ⇒  Vậy có hai điểm C(-4; 4) C(6; 6) Bình luận: tốn mà điểm M thuộc CD có tỉ lệ cho trước, biết điểm đường thẳng cố định cho trước Ví dụ (Nho Quan B - 2016) Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi M đối xứng với B qua C Từ D, C kẻ đường vng góc với AM cắt AM P Q Biết Q(-1; 0), đường thẳng qua P tâm I hình vng có phương trình d: x - y - = điểm P có hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh hình vng Phân tích: Hướng 1: giả thiết cho đường thẳng PI với P có vị trí cố định, I đặc biệt điểm Q cố định cho trước Do tính khoảng cách từ Q đến PI Nhưng xét hình vng sở liệu có tìm P’ Q’ khơng? Câu trả lời có, lập phương trình A’M’, tìm hình chiếu C’ D’ Q’ P’ A’M’ Do tính khoảng cách từ Q’ đến P’I’ Cuối tìm tỉ số đồng dạng tìm độ dài PQ dựa vào tỉ số đồng dạng Hướng 2: quan sát thấy PI trung trực DQ Khi ta hồn tồn chứng minh điều từ hình vng sở Bài giải 1: (theo hướng 1) Ta có d ( Q, PI ) = Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y B A P A'(0;1) B'(1;1) P' Q ( ) I' D C M 1 ; 2 Q' x D'(0;0) C'(1;0) M'(2;0) Phương trình A’M’: x + 2y - = Đường thẳng qua D’ vng góc với A’M’: 2x - y = Khi P’ giao điểm A’M’ đường thẳng trên, có tọa độ  x=   x + 2y − =  2 4 ⇔ ⇒ P ' ; ÷ nghiệm hệ:  5 5 2x − y = y =   10 Đường thẳng qua C’ vng góc với A’M’ cắt A’M’ Q’ có phương trình: 2x   - y - = Suy Q’  ; ÷ 5   Phương trình P’I’: 3x + y - = Ta có: d ( Q ', P 'I ' ) = 10 Do hai hình vng ln đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với theo tỉ số k = d ( Q, PI ) AB = = ⇒ AB = 5A 'B' = A 'B' d ( Q ', P 'I ' ) Dễ dàng tính PQ = ⇒ P(3;0) Từ ta tìm M(-5;0) Tiếp tục ta tìm A(5;0), B(1;2), C(-1;-2), D(3;-4) Bài giải 2: (theo hướng 2) Bài toán xoay quanh điểm P, I Q Như hoàn toàn cho ta gợi ý: phải tìm mối liên hệ điểm này, quan hệ vng góc, quan hệ tạo góc,… Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ Phương trình A’M’: x + 2y - = Đường thẳng qua D’ vng góc với A’M’: 2x - y = Khi P’ giao điểm A’M’ đường thẳng trên, có tọa độ  x =   x + 2y − =  2 4 ⇔ ⇒ P ' ; ÷ nghiệm hệ:  5 5 2x − y = y =   Đường thẳng qua C’ vng góc với A’M’ cắt A’M’ Q’ có phương   trình: 2x - y - = Suy Q’  ; ÷ 5   P 'Q ' = P 'D ' Khi dễ dàng thấy  uuur uuuuur nên P’I’ đường trung trực D’Q’ P 'I '.D 'Q ' = Do hai hình vuông đồng dạng nên ta suy PI đường trung trực DP Từ dễ dàng viết phương trình DQ, tìm giao điểm J = DQ ∩ PI Suy điểm D(3;-4) uuu r uuu r Mặt khác PD.PQ = ⇒ P(3;0) , suy điểm M(-5; 0), từ suy C(-1;-2) Tiếp tục ta tìm điểm cịn lại cách dễ dàng Bình luận: Như qua ví dụ ta thấy việc sử dụn tính chất phép đồng dạng với nhận xét hai hình vng ln đồng dạng giúp ta giải tốn cách nhanh chóng Ngồi ta dùng hình vng sở để chứng minh tính vng góc, xác định góc hai đường 11 Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, đỉnh A(-1;2) Gọi N  19  ; − ÷ hình chiếu vng góc B lên CN  5 trung điểm AD, điểm H  Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vng, biết trung điểm M BC nằm đường thẳng x + 2y + = Phân tích: ta suy luận tốn theo hai hướng sau Hướng 1: Rõ ràng toán cho biết điểm cố định A H hình chiếu B lên CN, N cho trước vị trí trung điểm AD Như lầm bì tốn theo cách hình vng sở A’B’C’D’ đồng dạng với ABCD ta hồn tồn tìm H’ Do tính A’H’ tìm tỉ số đồng dạng Suy độ dài cạnh tính AM, tìm điểm M Hướng 2: ta thấy tốn xoay quanh điểm A, H, M trực quan thấy AH vng góc với HM Ta chứng minh điều hình vng sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vng cho ABCD Bài giải: Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y A B I B'(1;1) A'(0;1) N M N' ( ) 0; ( ) M' 1; H H' C D D'(0;0) x C'(1;0) Phương trình C’N’: x + 2y - = H’ hình chiếu B’ lên C’N’ nên có tọa   độ H '  ; ÷ 5 5 Lúc ta có hướng giải tốn: Hướng 1: tính độ dài AH = 6, A’H’ = Do hai hình vng ln đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với nên suy tỉ số đồng dạng k = AB AH = = ⇒ AB = A 'B' A 'H ' Suy ra: AM = AB2 + BM = Điểm M thuộc đường thẳng x + 2y + = nên từ suy điểm M Tương tự ta tìm điểm hình vng 12 Hướng 2: Để ý thấy toán xoay quanh điểm H, A, M nên ta xét: uuuuur   uuuuur   uuuuur uuuuur A 'H ' =  ; − ÷, M 'H ' =  − ; − ÷⇒ A 'H '.M 'H ' = nên A’H’ ⊥ M’H’ 5 5  10  Do hai hình vng ln đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với nên suy AH ⊥ MH Từ viết phương trình HM, suy tọa độ điểm M(2;-4) Do CH//AM nên CH: 2x + y - = Gọi N trung điểm AD, N thuộc CH AN ⊥ MN từ suy N(2;2) Suy D(5;2), B(-1; -4), C(5;-4) Bình luận: tốn theo hai hướng đơn giản, dễ dàng khai thác ví dụ Ví dụ Trong hệ trục Oxy cho hình vng ABCD, có điểm N(1; 2) trung điểm BC, trung tuyến kẻ từ A tam giác AND có phương trình d: 5x - y + = Tìm tọa độ đỉnh hình vng Phân tích: Giả thiết cho điểm N cố định có vị trí cho trước, đường trung tuyến kẻ từ A tam giác AND cho trước Vậy ta tính khoảng cách từ N đến đường trung tuyến Trong hình vng sở ta viết đường trung tuyến tam giác A’N’D’ cách dễ dàng, tính khoảng cách từ N’ đến đường trung tuyến Bài giải: Hướng 1: dùng hình vng đồng dạng Ta có d ( N,d ) = 26 Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ 13 y A B I A'(0;1) B'(1;1) M ( ) N' 1; C D x D'(0;0) C'(1;0) d Phương trình đường trung tuyến hạ từ A’ tam giác A’D’N’ d’: 3x + 2y - = Ta có: d ( N ',d ' ) = 13 Do hai hình vng ln đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với nên suy tỉ số đồng dạng k = Suy ra: AN = d ( N,d ) AB 2 = = ⇒ AB = A 'B' d ( N ',d ' ) 2 10 Vì A thuộc d nên A(a, 5a + 1), từ có phương trình AN = 10 Tìm A Từ tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình vng Ví dụ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi F điểm cạnh AB thỏa mãn: 7BF = 5FA, đường thẳng qua trung điểm E cạnh AD trọng tâm G tam giác ABC có phương trình 11x - 7y + = 0, F  13   − ; ÷, điểm B có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh hình vng   Bài giải: Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh 12 Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ 14 y C D I D'(12;12) C'(0;12) I I' E E'(12;6) G G'(4;4) J J' L B F L' A B'(0;0) F'(5;0) x A'(12;0) uuuuu r G'E' = (8;2) G'E' ⊥ G'F' ⇔ GE ⊥ GF ⇒ r Ta có:  uuuuu G'E': x − 4y + 12 = G'F' = ( 1;−4) Từ ta có sơ lược cách giải: Ta có: d(F’,G’E’) = 17 , d(F,GE) = 170 Hai hình vng ln đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng theo tỉ số k= AB d( F’,G’E’ ) 10 10 = = ⇒ AB = 12x = 10 A 'B' d( F,GE ) 6 Ta có B’J’ = 12 12 170 L ∈ GF ⇒ , suy BJ = k = Từ suy 17 17 17 GL = BJ phương trình BL, suy B BL = k B’L’ Với B suy A, suy AD, BC Suy C D Nhận xét chung: Qua ví dụ ta thấy hình vng cho trước, có điểm thỏa mãn yêu cầu cho trước vị trí cố định tỉ lệ ta hồn tồn giải tốn nhanh chóng hướng giải nêu Phương pháp giúp học sinh nặng nề việc phát yếu tố vng góc, tạo góc hay đường đặc biệt,… mà phải tính độ dài cạnh, khéo léo lồng ghép vào hình vng để tìm lời giải ngắn gọn Ngồi với phương pháp xét hình vng sở ta tìm góc, chứng minh vng góc, đường trung trực, phân giác cách dễ dàng Hình vng có điểm hình khơng xác định rõ tỉ lệ 15 Với hình vng dạng này, việc tính tốn có phức tạp số điểm khơng cố định ta phải xác định tọa độ điểm số thực chưa xác định Từ ta tiếp tục khai thác kiện để tìm khoảng cách, góc hay mối tương quan cần thiết khác Ta xét số ví dụ sau:  7 Ví dụ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, có C(1; -1), N  1; ÷  2 ( ) nằm AD, M thuộc AB cho AN + AM + MN = 2AB Điểm H 1− 5;1 hình chiếu B lên MN Tìm tọa độ điểm B Phân tích: Bài tốn cố định điểm N, N khơng vị trí đặc biệt biết tỉ lệ rõ ràng Để tìm tính chất đặc biệt tốn Ta thử N vào vị trí đặc biệt: N ≡ D ⇒ M ≡ A · Dễ thấy hai trường hợp góc NCM  = 450 Từ ta có N ≡ A ⇒ M ≡ D  · thể phán đốn góc NCM = 450 Bài giải: Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y M A I B C'(1;1) D'(0;1) N' N b C D x a M' A'(0;0) B'(1;0) Đặt A’M’ = a, A’N’ = b Ta có: a + b + a2 + b2 = ⇔ a2 + b2 = − a − b ⇔ + ab = 2(a + b) · · · · 'B'C' = tanN'C'D' + tanM 'B'C' = − a − b = +M Ta có tan N'C'D' ( ) · · 'B'C' 1− tanN'C'D'.tanM · 'C'N' = 450 · · 'B'C' = 450 ⇔ M Vậy: N'C'D' +M a + b + ab Do hai hình vng đồng dạng nên ABCD đồng dạng với A’B’C’D’, suy · góc tương ứng MCN = 450 Ta có lược đồ cách giải: 16  M ∈ NH B ∈ HB r ⇒ M ⇒ B :   uuur uuu · BM.BC = cos NCM = cos45 ( ) Ví dụ 8: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, có điểm C thuộc đường x + 2y - = Điểm M ( 1; ) thuộc canh BD Hình chiếu M lên AB, AD nằm đường thẳng x + y - = Tìm tọa độ điểm C Phân tích: Gọi F, G hình chiếu M lên AB, AD Bài toán xoay quanh điểm C, M, G F Xây dựng hình vng sở ta dê dàng suy CM vng góc với GF Bài giải: Gọi F, G hình chiếu M lên AB, AD Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ u điểm G’ uuuur hình vẽ.uuM’(a uur ; a), F’ (a; 1) uuu,uu r ( u0; uuua) r Ta có: C 'M ' = ( a − 1; −a ) ;G 'F' = ( a;1 − a ) ⇒ C 'M ' ⊥ G 'F' hay suy CM ⊥ GF CM ⊥ GF uuuu rCuuu rthuộc đường uuuu r uurthẳng x + 2y - = nên gọi C(6-2t; t) Vì ⇒ CM.GF = ⇔ CM.u d = ⇒ C Bình luận: tốn việc xác định độ dài cạnh khó khăn vướng tham số điểm khơng cố định Ví dụ 9: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, hai điểm E, F tương ứng thuộc hai cạnh AD AB cho AE = AF Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống BE CH cắt AD M Tính tọa độ đỉnh hình vng, biết  7 M  ;− ÷, F(2; 0) C thuộc đường thẳng d: x - 2y + 1=  3 Phân tích: Bài toán xoay quanh điểm F, M C Bằng cách dựng hình vng sở ta suy MF vng góc với FC Bài giải: 17 y F' A'(0;1) F A B M' M E B'(1;1) H' E' H D'(0;0) D x C'(1;0) C Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ M’(0;b), F’(1-a;1), E’(0;a) Ta tìm tọa độ H’ sau: Phương trình B’E’: (a - 1) x + y - a = 0, phương trình C’M’: bx + y - b =  ( 1− a) ( 1− a) + ( 1− a) + 1 ; ÷ Khi H’ = B’E’ ∩ C’M’ ⇒ H’  2 ÷ + − a + − a ( ) ( )   ( ) Ta có H’∈ C’M’ ⇒ b = ( 1− a) + ( 1− a) + ⇒ M ' 0;( 1− a) + ( 1− a) + uuuuur uuuur Từ tính F 'M '.F'C' = ⇔ F'M ' ⊥ F'C' Do hai hình vng đồng dạng nên: FM ⊥ FC Từ ta định hướng giải sau: + Tìm C + Giải sử CB: a ( x − xc ) + b( y − yc ) = 0, CD: -b ( x − xc ) + a ( y − yc ) = + Ta có d(M, CB) = d(F, CD), suy a b tìm B, D, A Ví dụ 10: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, có đỉnh C(-4; -3) điểm M điểm nằm cạnh AB (M không trùng với đỉnh) Gọi E, F hình chiếu A, C lên DM I giao điểm CE BF Tìm tọa độ A, B, C biết I(2; 3) đỉnh B nằm đường thẳng x - 2y + 10 = Phân tích: Bài tốn xoay quanh điểm B, I, C Dựng hình dự đốn CI vng góc với IB Ta chứng minh điều dự đoán Bài giải: 18 y A'(0;1) M A B M' B'(1;1) E' E I' I F' F x D'(0;0) D C'(1;0) C Xét hình vng A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ M’(a; 1)  a a2  ;1 − Ta có D’M’: x - ay = Từ suy điểm E’  ÷và F’ 1+ a2   1+ a a    1− 1+ a2 ;1+ a2 ÷   uuuuu r uuuur Tính C'E'.F 'B' = ⇔ C’E’ ⊥ F’B’ Do hai hình vng ln đồng dạng nên CE ⊥ BF Ta có định hướng cách giải sau: + Viết phương trình BI suy điểm B phương trình BA, CD + Có BA = CD = BC suy A D Nhận xét chung: với toán trên, điểm M N khơng vị trí đặc biệt vị trí xác định rõ tỉ lệ, thơng thường ta thường đặt tọa độ theo tham số chứng minh, tính chất hình Việc sử dụng tính đồng dạng hai hình vng để chứng minh tính chất nét điển hình việc giải tốn hình học giải tích mặt phẳng Đối với tốn tam giác ta hồn tồn sử dụng phương pháp trên, nhiên hạn chế tam giác vng, cân hay Đối với hình chữ nhật biết tỉ lệ độ dài hai cạnh tốn xây dựng tương tự hình vuông, tỉ lệ độ dài hai cạnh ta cố định cạnh 1, cạnh cịn lại tùy ý vấn đề giải hình vng 1  2  Ví dụ 11: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có tâm I  ;0÷, AB = 2AD đường thẳng AB có phương trình x - 2y + =0 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật, biết đỉnh A có hồnh độ âm Phân tích: 19 Bài tốn cho hình chữ nhật có tỉ lệ hai cạnh, có tâm I, đường thẳng AB Như ta hồn tồn dựng hình chữ nhật sở đồng dạng với hình chữ nhật cho tính độ dài cạnh hình chữ nhật cho Bài giải: y A B A'(0;1) B'(2;1) I ( ) I' 1; C D x C'(2;0) D'(0;0) Dựng hình chữ nhật sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình chữ nhật ABCD Gắn vào hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có phương trình A’B’: y - = 0, d(I’, A’B’) = Mặt khác d(I, AB) = AB d(I,AB) = = ⇒ AB = 5A 'B' = A 'B' d(I ',A 'B') BD = Vì A∈ AB ⇒ A(2t − 2;t) Suy AD = ⇒ BD = ⇒ IA = 2 Giải phương trình IA = ⇒ A(−2;0) , B(2;2), C(3;0),D(-1;-2) Từ suy tỉ số đồng dạng k = Bình luận: Đối với tốn thuận lợi tỉ số hai cạnh biết, dễ dàng tìm đỉnh A suy đỉnh cịn lại Ví dụ 12: Cho tam giác ABC vuông cân C Hai điểm D, E thuộc CA CB cho CD = CE Đường thẳng qua C vuông với AE cắt AB L Đường thẳng qua D vuông với AE cắt AB L Chứng minh LK = LB Hướng dẫn: 20 Xét tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC gắn vào hệ trục hình vẽ uuur A’B’: x + y - = 0, AE = ( a;−1) y A(0;1) C'L ': ax − y = D'K ': ax − y + a = K' Suy ra:  Gọi I’ trung điểm K’B’, K’ ∈ A 'B' nên suy K’ D'(0;a) L' a   1− a 2a    1+ a;1+ a ÷ ⇒ I ' 1+ a;1+ a ÷ suy     ≡ ∈ C'L ' ⇒ I ' ≡ L ' I’ hay I L Điều phải chứng minh x C'(0;0) E'(a;0) B'(1;0) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A(−1;2) ; C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, BM đường thẳng vng góc với CE M ; N trung điểm củaBM P giao điểm AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM: x − y − = Tìm tọa độ điểm P Bài Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, hai điểm E, F tương ứng hai cạnh AB, AD cho AE = AF Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống 7  7 BE CH cắt AD M Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết M  ;− ÷, F(2; 3  0), C thuộc đường thẳng d: x - 2y + = Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD , biết M (1; 2) N (2; −1) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Gọi I giao điểm CM DN Chứng minh AI = AD 21 Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M , N   trung điểm cạnh AB CD Biết M  − ; ÷ đường   thẳng BN có phương trình x + y − 34 = Tìm tọa độ điểm A, B biết điểm B có hồnh độ âm Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Có đường chéo AC: x + y - = Trên tia đối tia CB lấy điểm M, tia đối tia DC lấy điểm N cho DN = AM Đường thẳng song song với AN kẻ từ M đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt F(0; -3) Biết điểm M thuộc trục hoành, tìm đỉnh hình vng Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có M(7; 3) trung điểm AB Gọi E giao điểm MC AD, N hình chiếu vng góc A lên MC, I(2; 5) giao điểm AN BE Biết B thuộc đường thẳng d: 2x + 3y - 44 = 0, tìm tọa độ đỉnh hình vng Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A(-1; 2)  19  ; − ÷ hình chiếu vng góc B lên  5 Gọi N trung điểm AD; điểm H  CN Xác định tọa độ đỉnh hình vng, biết trung điểm M BC nằm đường thẳng: x + 2y + = Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có A(4;6) · Gọi M, N điểm nằm BC, CD cho MAN = 450 , M(-4;0) đường thẳng MN có phương trình 11x + 2y + 44 = Tìm tọa độ điểm B, C, D Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD tâm I, gọi G  10 11  ; ÷ tâm đường trịn ngoại tiếp tam  3 trọng tâm tam giác ADC, điểm J   11  giác AGB, M  ; ÷ trung điểm đoạn BI Tìm tọa độ đỉnh hình  2 vng, biết G có hồnh độ số ngun Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A(1;2), C(3;-2) Gọi E trung điểm AD, BM đường thẳng vng góc với CE M, N trung điểm BM P giao điểm AN DM Biết phương trình đường thẳng BM: 2x - y - = Tìm tọa độ điểm P 22 VII HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Trên số ví dụ điển hình sử dụng tính chất đồng dạng tọa độ hóa để giải tốn hình học giải tích hình vng, nhiên chưa thể diễn tả định người viết đề tài Tôi nhận thấy rằng: tập cụ thể ta phải linh hoạt sử dụng phương pháp cho hợp lí, việc chứng minh tính chất đó, tọa độ hóa đơi làm cho tốn trở nên phức tạp nhiều so với việc dùng hình học túy Trong q trình giảng dạy chúng tơi hướng dẫn học sinh nắm ý tưởng, cách thức thực giải tốn phương pháp trình bày Qua thực hành học sinh thích thú đam mê giải toán, toán hình vng trở thành tốn giải ngắn gọn, đơn giản không nhiều công sức suy nghĩ, phân tích chứng minh tính chất VIII KẾT LUẬN Sáng kiến trình bày số kiến thức phương pháp tọa độ hóa ứng dụng phép đồng dạng, nghiên cứu toán hình vng hình học giải tích lớp 10 Sáng kiến xây dựng hệ thống câu hỏi tập Hình học 10 Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập, giúp em hiểu rõ chất, phương pháp giải dạng toán này, từ em tự xây dựng toán tương tự, toán Chính điều kích thích say mê, tìm tịi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh Sáng kiến trước hết có ý nghĩa tác giả nội dung quan trọng chương trình giảng dạy Hi vọng sáng kiến tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh, bạn đồng nghiệp Sáng kiến cố gắng trình bày vấn đề cách chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu, có nhiều hình vẽ minh họa thông qua hệ thống tập phong phú Qua mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp quan tâm đến tốn học nói chung, hình học giải tích mặt phẳng nói riêng để chúng tơi hoàn thiện sáng kiến tốt Xác nhận quan Nho Quan, tháng năm 2016 Người viết sáng kiến Đỗ Thị Bích Thảo 23 Nguyễn Văn Sáng 24 ... tốn khơng giải Những giải pháp yêu điểm giải pháp 2.1 Những nội dung giải pháp Thay gắn hệ trục vào hình đề bài, ta dựng hình vng đồng dạng với hình cho Hình tọa độ hóa cụ thể, ta gọi hình sở Do... dạng, nghiên cứu tốn hình vng hình học giải tích lớp 10 Sáng kiến xây dựng hệ thống câu hỏi tập Hình học 10 Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập, giúp... góp ý kiến đồng nghiệp quan tâm đến tốn học nói chung, hình học giải tích mặt phẳng nói riêng để chúng tơi hồn thiện sáng kiến tốt Xác nhận quan Nho Quan, tháng năm 2016 Người viết sáng kiến Đỗ