Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIASáng kiến kinh nghiệm, SKKN - TƯ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
+SÁNG KIẾN NĂM HỌC 2015 - 2016 I Tên sở đƣợc yêu cầu công nhận sáng kiến Trƣờng THPT KIM SƠN A – Sở GD&ĐT NINH BÌNH II Đồng tác giả sáng kiến - Họ tên: HOÀNG VĂN TƢỞNG - Chức vụ: Giáo viên - Đ/c: Thị trấn Phát Diệm – Kim Sơn – Ninh Bình ĐT: 0913042044 - Email: ltd.phatdiem@gmail.com - Đơn vị công tác: THPT Kim Sơn A – Ninh Bình - Phần trăm đóng góp: 80% - Họ tên: LÊ THỊ LAN ANH - Chức vụ: Phó hiệu trƣởng - Đ/c: Thị trấn Phát Diệm – Kim Sơn – Ninh Bình ĐT: 0972680376 - Email: minhphupa@gmail.com - Đơn vị công tác: THPT Kim Sơn A – Ninh Bình - Phần trăm đóng góp: 20% III Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng: - Tên sáng kiến: TƢ DUY ĐỘT PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA - Lĩnh vực áp dụng: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số IV Nội dung sáng kiến Giải pháp cũ thƣờng làm - Trong thực tế việc truyền thụ tới học sinh phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức, công việc khó khăn tất giáo viên mơn tốn Có q nhiều dạng, cịn có cách biến đổi khác chƣa kể đến giảng dạy, giáo viên khơng nhớ cách biến đổi mà có nhớ học sinh tiếp thu cách thụ động - Một giải pháp cũ để chứng minh bất đẳng thức dồn biến nhƣ t x y z t xy yz zx t x y z ,… để đạt đƣợc điều thật khơng đơn giản, qua ví dụ sau rõ Ví dụ Cho số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn biểu thức P 7( x y) x xy y Lời giải: Vì x, y số thực dƣơng nên 7( x y ) x xy y P ( x y) x y Đặt t y x xy y ( x y) x y y x xy y t 2t x , t 0 x y t 1 y Xét hàm số f (t ) Ta có f '(t ) (1) (2) t 2t với t t 1 7 t 2t 28 (t 1) t 2t ; f '(t ) t 2t t Ta có bảng biến thiên + + Từ bảng biến thiên ta suy f (t ) 3, t Dấu đẳng thức xảy t (3) Từ (1), (2), (3) ta say P ( x y)(7 3) x y x ,y Dấu đẳng thức xảy x 3 t y Vậy giá trị lớn P 8, đạt x , y 3 Cách làm biến học sinh thành “cỗ máy” ta chẳng thể giải thích phải nhân chia với ( x y) Ví dụ Cho x, y , z số thực dƣơng x 3y y z 3x3 z 3x y ( x y z ) Tìm giá trị nhỏ P x(13 y x) 36 yz 18 Hướng giải: Ta có 3x3 z 3x y 3( x y z ) (dấu “…” dùng bất đẳng thức khó) Do 3x3 z 3x y 3( x y z ) dấu xảy x y z Tƣơng tự để có đƣợc x 3y 2y z “là không đơn giản” x(13 y x) 36 yz 2( x y z ) 3( x y z ) ( x y z ) 2( x y z ) 18 t2 4t 3 2t t Đặt t 3( x y z ), t P 2t 18 2t 54 Lập bảng biến thiên t ta có kết Vậy minP đạt đƣợc x y z Suy P Ví dụ Cho x, y , z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x2 yz yz x yz x x y z (Trích KA–2014) Hướng giải: Dùng nhiều bất đẳng thức phụ để đƣa biểu thức P biến t x y z … P x yz ( x y z )2 t t2 với x y z t … x y z 1 36 t 36 Ba lời giải khó, để đưa biến người làm phải sử dụng khéo bất đẳng thức kinh điển Cauchy, Bunhia, bổ đề phụ … Trong phần giải pháp sử dụng cách làm hồn tồn Ví dụ Cho a, b, c số thực dƣơng thỏa mãn a2b2 c2b2 3b 4b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 (a 1) (1 2b) (c 3) (Trích đề thi thử lần - 2016 THPT Bình Phước) Lời giải: Ta có P Đặt d 4b2 1 2 2 2 (a 1) (1 2b) (c 3) (a 1) (c 3) 2b a2b2 c2b2 3b trở thành a2 c2 d 3d b Mặt khác: P 1 8 2 2 (a 1) d (c 3) d (c 3) 1 a 2 2 64 d a c 5 256 2a d 2c 10 Lại có: 2a 4d 2c a2 1 d c2 a2 d c2 3d Suy 2a d 2c Do P minP 1, a c 1, b Để ý người làm dồn biến t 2a d 2c tuyệt vời vấn đề với khác có dồn với học sinh có làm khơng ? Ví dụ Cho x, y thỏa mãn x y 2016 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x xy y 3x xy y x xy y x xy y (Trích đề thi thử lần - 2016 THPT chuyên Vĩnh Phúc) Lời giải: P A B A x xy y 3x xy y B x xy y x xy y A 180 x 36 xy 108 y 108x 36 xy 180 y (11x y ) 59( x y ) (11 y x) 59( y x) 11x y 11 y x 18( x y ) A 3( x y) 3.2016 6048 (*) dấu đẳng thức xảy x y 1008 Và B 16 x 16 xy 32 y 32 x 16 xy 16 y (3 x y ) 7( x y ) (3 y x) 7( y x) x y y x 8( x y ) B 2( x y) 2.2016 4032 (**) dấu đẳng thức xảy x y 1008 Từ (*) (**) ta đƣợc P A B 6048 4032 10080 , dấu đẳng thức xảy x y 1008 Vậy minP 10080 x y 1008 Ví dụ Cho a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 25a 2a 7b2 16ab 25b2 2b 7c 16bc c (3 a) a (Trích đề thi thử lần – 2016 THPT Trần Hưng Đạo – Đak Nông) Lời giải: Ta có (a b) 2ab a b Nên ta có 2a 7b 16ab 2a 7b 2ab 14ab 3a 8b 14ab (a 4b)(3a 2b) Vậy ta có 25a 2a 7b2 16ab Tƣơng tự ta có: 4a 6b 2a 3b 25a (1) 2a 3b 25b2 25b2 (2) 2b2 7c 16bc 2b 3c Mặt khác theo Cauchy – Shwarz ta có: 3c 25c 3 2 2c c a a c 3a 2c (3) Từ (1), (2) (3) ta có P 25a 25b 25c 25(a b c) c 2c c 2c 15 c 2c 2a 3b 2b 3c 3a 2c 5(a b c) P c 2c 15 (c 1) 14 14 Vậy minP 14 đạt đƣợc a b c Hai ví dụ lời giải dùng đến phương pháp hệ số bất định phải thông qua bất đẳng thức kinh điển khó học sinh trở xuống 1.1 Nhược điểm: Khi chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức, theo phƣơng pháp cũ học sinh bị thụ động cách giải, biến đổi phức tạp, phải nhớ nhiều bất đẳng thức áp dụng chúng thật khéo làm đƣợc tốn yêu cầu 1.2 Khó khăn: - Thời lƣợng học chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ trƣờng THPT ít, nhƣng đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi ln có tập dạng câu phân hoá học sinh quan trọng - Tỉ lệ học sinh hiểu khơng nhiều, khả vận dụng kém, tâm lí học sinh thi THPT Quốc gia học sinh thƣờng bỏ nội dung dù đề hay khó - Tài liệu cho nội dung chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhiều nhƣng khơng đọng, khó hiểu với đa số học sinh Nội dung đề thi mức vận dụng, sáng tạo nhƣng nội dung tập SGK thƣờng nhận biết thông hiểu - Tài liệu giảng dạy chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mang tính chất hàn lâm Khó vận dụng rộng rãi Vì vậy, giáo viên thƣờng quan tâm đến bồi dƣỡng cho nhóm học sinh, khơng bồi dƣỡng cho em cịn lại Giải pháp cải tiến 2.1 Cơ sở lý luận: Để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức, học sinh phải hiểu vận dụng nhiều phƣơng pháp, nhiều dạng Vừa nội dung khó, tập đa dạng, giáo viên tìm tịi, bổ sung cách điều cần thiết Ngoài cách thƣờng dùng sách giáo khoa, sách tham khảo, đƣa giải pháp hoàn toàn mà chƣa tài liệu có, mang tính đột phá tƣ giải toán bất đẳng thức, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận tính tƣờng minh Giáo viên học sinh trƣờng gọi “Phƣơng pháp cực trị HỒNG MINH” dựa sở tảng dùng đạo hàm phƣơng pháp đƣợc phát biểu, trình bày đơn giản nhƣ sau: + Khi chứng minh bất đẳng thức ta thƣờng đƣa biến theo biểu thức đó, để làm đƣợc điều cần có nhìn tổng quát áp dụng nhiều bất đẳng thức nhƣ Cauchy– Schwarz, Bunyakovsky, bất đẳng thức đặc biệt, bổ đề… mà bất đẳng thức chứng minh đến bƣớc cuối có dạng ( x y ) “dạng đẳng cấp”, + ( x y ) đƣợc hiểu nghiệm bội, mà nghiệm bội liên quan đến tiếp xúc, tiếp xúc liên quan đến đạo hàm qua xâu chuỗi tƣ có phƣơng pháp đƣa biểu thức biến cách tìm bổ đề trung gian, cụ thể ta tìm hệ số cho phù hợp với bất đẳng thức phụ + Các bƣớc tìm bất đẳng thức phụ tìm hệ số nhƣ sau: Bƣớc 1: Dự đốn biểu thức cần “nguồn” đƣa biểu thức “đích” (có dạng đẳng cấp - nhất) Bƣớc 2: Tìm bất đẳng thức “nguồn” “ đích”, vào biểu thức cần tìm giá trị lớn hay nhỏ nhất, tử hay dƣới mẫu, trƣớc có dấu “+” hay “–“ Bƣớc 3: Vì biểu thức có dạng đẳng cấp lên ta thƣờng cho a b c “chuẩn hóa” đặt x ac, y bc , rút vào biểu thức cho giảm biến Bƣớc 4: Tính đạo hàm biểu thức vừa tìm đƣợc cho không, suy giá trị biến số, thay ngƣợc lại ta đƣợc Bƣớc 5: Chứng minh bổ đề vừa tìm đƣợc, áp dụng vào tốn Chú ý: – Ký hiệu d f ( x) đạo hàm hàm số f ( x) theo biến x dx – Áp dụng phƣơng pháp ta đƣợc bổ đề cho 2.2 Nội dung biện pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức PHƢƠNG PHÁP “CỰC TRỊ HỒNG MINH” Ví dụ Cho số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn biểu thức P 7( x y) x xy y Phân tích: Ta tìm biểu thức: 7( x y ) x xy y ( x y ) Ta thấy 7( x y) x xy y ( x y) bậc, cho x y y x 7( x y) x xy y ( x y) 14 x x 14 x d 28 x 28 Cách 1: Ta có: 7(2 x) x 14 x 7 dx x 14 x nhập vào máy 7 28 x 28 x 14 x SHIFT SOLVE X đƣợc x Cách 2: Trong biểu thức tìm mà có hai biến ngồi cách ta cịn có cách khác cho hai biến giá trị thỏa điều kiện, thay vào biểu thức làm tương tự Cách 3: Nhập máy MODE f ( x) 7( x 2) x x Start ? 0.1 x 1 End ? 1.9 Step ? 0.1 Nhìn cột F ( X ) ta thấy giá trị lớn “đẹp” “xem thêm phần phụ lục 2” Lời giải: Xét 7( x y) x xy y 4( x y) 3x 10 y x xy y x 60 xy 100 y 16( x xy y ) x 28 xy 28 y 7( x y ) x, y , P 7( x y) x xy y 4( x y ) x y Vậy MaxP đạt đƣơc x , y 3 x y “xem thêm phần phụ lục 1” Phương pháp biết trước kết để từ dễ dàng chứng minh bổ đề mà ta cần dù học sinh khá, khơng phương pháp cũ kể học sinh giỏi bị động khơng biết điểm rơi dễ dẫn đến sai lầm Ví dụ Cho x, y , z số thực dƣơng Tìm giá trị nhỏ P x 3y y z 3x3 z 3x y ( x y z ) x(13 y x) 36 yz 18 Phân tích: – – Biểu thức P phức tạp, biến khơng có dạng đối xứng, khơng đẳng cấp khó dự đốn đƣợc điểm rơi x 3y 2y z Tƣ theo cách ta cần có bậc phải x(13 y x ) 36 yz x yz tìm hệ số y ax 3a 3a 2a b 2a b Đặt (1 a b) 4(13a 1) 36ab a b z bx 4(13a 1) 36ab Sử dụng máy tính ta có a b x y z “xem thêm phần phụ lục 2” – Tiếp đến biểu thức 3x3 z 3x y ( x y z ) ? Rất đơn giản với x y z 3; 3x3 z 3x y 3( x y z ) Lời giải: Ta có 3x3 z 3x y 3( x y z ) (3x3 3x 3x 3) ( z 3z 2) 3( x 1) ( x 1) ( z 1) ( z 2) 0, x, y, z Do 3x3 z 3x y 3( x y z ) dấu xảy x y z Xét x 3y 2y z (1) x(13 y x) 36 yz 2( x y z ) y ax 3a 2a b 3a 2 (1) (2) Đặt 13a 9ab a b 13a 9a 9b a b z bx, a, b Mà 3a (a 1)2 13a 9a (2) Suy P 2 2 1 9a 9b a b a b a b 1 3( x y z ) ( x y z ) 2( x y z ) 18 Đặt t 3( x y z ), t t2 4t 3 2t t P 2t 18 2t 54 (t 3) (t 6t 9) với t Vậy minP đạt đƣợc x y z Ví dụ Cho x, y , z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x2 yz yz x yz x x y z (Trích KA–2014) Phân tích: Để ý hai biểu thức yz x y z Ta mong có đƣợc yz x2 y z yz ta đƣợc dạng đẳng cấp x2 y z yz ( x y z )2 x ( y z )2 2 ( x y z )2 Cho x y z x (1 x)2 2 d 1 x (1 x)2 x x dx yz ( x y z )2 , dùng MODE để tìm “xem thêm phần phụ lục 2” x2 yz yz Tiếp đến biểu thức xuất x y z dƣới mẫu x yz x x y z x y z 1 tử cịn thiếu x Nếu ta có đƣợc x yz x yz tốt ? x y z 1 x y z 1 x y z 1 x2 x Do bất đẳng thức mong đợi là: x yz x x y z x x xy xz x x yz x x yz x x y z x y z x y z yz x ( y z )2 2 x yz ( x y z )2 t t2 x ( y z ) x( y z ) x ( y z ) P x y z 1 36 t 36 xy xz yz yz Ta đưa hết t x y z Vấn đề lại t x y z thuộc từ đâu đến đâu ? vấn đề ! Để tránh điều ta làm theo cách trên, cực trị khơng đạt biên ! Ta cần có d t t2 t t t2 t t2 t dt t 36 (t 1)2 18 t 36 t 36 324t 9t 9t 180t 180 9t 9t 144t 180 (t 2) (t 5) t Lời giải: Xét x2 y z 1 yz ( x y z )2 yz ( x y z )2 x ( y z )2 x ( y z ) 4 x 2( y z ) x ( y z ) x( y z ) x ( y z ) x ( y z ) x ( y z ) Lại có x2 x x x xy xz x x yz x x yz x x y z x yz x x y z xy xz yz yz x y z x y z yz x ( y z )2 2 x ( y z )2 x( y z ) x ( y z ) P Mặt khác t 0 x yz ( x y z )2 t t2 với x y z t x y z 1 36 t 36 t t2 324t 9t 9t 180t 180 9t 9t 144t 180 với t 36 (t 2) (t 5) P t t2 t 36 Vậy MaxP , đạt x y 1, z Ví dụ Cho a, b, c số thực dƣơng thỏa mãn a2b2 c2b2 3b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4b 2 (a 1) (1 2b) (c 3) (Trích đề thi thử lần - 2016 THPT Bình Phước) Phân tích: Xét a 2b c 2b 3b c 3b a thay vào b2 1 4b dùng máy tính ta đƣợc minP 1, a c 1, b P 2 2 (a 1) (1 2b) 3b a b “xem thêm phần phụ lục 2” Từ đơn giản ta có 1 , 1 ; , hai biểu thức d dx ( x 1)2 x 1 1 , Chỉ cách bấm máy d x x dx 3b 1 2b 1a 1 2 b (a 1) x2 1 , tƣơng tự cho x 1 (x 1) , “xem thêm phần phụ lục 4” Lời giải: Từ giả thiết a 2b2 c 2b2 3b (a c )b2 3b a c a2 (a 1) (a 4a 5) (a 1) 8 5c (c 1) (c 8c 19) 0, a, c (c 3) Vì 3b b2 P Lại có P a2 c2 4b 3b 4b 1 (1 2b) 8b (1 2b) 3b 4b 4b 3b (2b 1) (8b 5b 1) 0, b 2 8b (1 2b) (1 2b) 8b Vậy minP 1, a c 1, b Ví dụ Cho x, y thỏa mãn x y 2016 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x xy y 3x xy y x xy y x xy y (Trích đề thi thử lần - 2016 THPT chuyên Vĩnh Phúc) Phân tích: Theo đề ta dự đốn điểm rơi x y Tìm , biểu thức x xy y x y d 11 Tìm : Nhập vào máy 5x xy y CALC X=1,Y=1 dx x y d Tìm : Nhập vào máy y xy 3x CALC X=1,Y=1 dx x y Tƣơng tự ba biểu thức lại ta có 11x y x 11y ; 3x xy y x xy y 6 x y x 3y x xy y x xy y 4 Lời giải: Xét x xy y 11x y (1) 36(5 x xy y ) (11x y ) 59 x 118 xy 59 y 59( x y ) với x, y Chứng minh tƣơng tự ta có x xy y x 11y (2) 5x y (4) x xy y 3x xy y 3x y (3) Từ (1), (2), (3) (4) Ta đƣợc P 11x y x 11y 3x y 5x y 3( x y) 2( x y) 5( x y) 10080 6 4 dấu đẳng thức xảy x y 1008 Vậy minP 10080 x y 1008 “xem thêm phần phụ lục 3” Ví dụ Cho a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 25a 2a 7b2 16ab 25b2 2b 7c 16bc c (3 a) a (Trích đề thi thử lần – 2016 THPT Trần Hưng Đạo – Đak Nơng) Cách 1: Ta phải tìm , biểu thức 2a2 7b2 16ab a b 10 1 a b c a b c Chứng minh: (ab bc ca) 2 1 b 1 c 1 a Ví dụ Cho a, b, c thỏa mãn 1 (1 1)2 Lời giải: Ta có: abc a b c a bc “Nhập vào máy: “dự đoán a b c “ d 1 x CALC X “ dx x x 1 1 x a a(1 a ) 2(1 a ) a 2a a a (a 1) Xét 1 0, a a2 2(1 a ) 2(1 a ) 2(1 a ) Tƣơng tự a c ac 1 c 2 1 a 1 a b cb a ab b b 2 1 c 1 b Cộng vế theo vế lại ta đƣợc điều phải chứng minh, dấu “=” xảy a b c Ví dụ 10 Cho a, b, c thỏa mãn a b c 1 a b c Chứng minh rằng: 2 a b c a b c2 Phân tích: Bất đẳng thức viết lại: 1 a b c 0 2 a b c a b c2 Ta cần tìm , cho: Tìm : nhập a a a a2 d x nhấn ta dx x x x 1 Tìm : nhập vào máy: x 1 cho x 1 x 1 x 4 Lời giải: Xét a a 4(1 a ) 4a(1 a) a(1 a)(1 a ) (1 a)(1 a ) a a2 4 4(1 a)(1 a ) Tƣơng tự: a 4a (a 1) (a 2a 3) a a 0 2 4(1 a)(1 a ) 4(1 a)(1 a ) 1 a 1 a 4 b b 1 c c 2 1 b 1 b 4 1 c 1 c 4 Do ta có: 1 a b c (a b c) 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 4 3 Lại có: a b c (a b c) (a b c) 4 4 77 đạt đƣợc khi: a b c Ví dụ 11: Cho x, y, z số dƣơng thoả mãn x y z Chứng minh: P Lời giải: Ta có: P x y z 2 y z x 2 z x y 2 3 x y z 2 1 x 1 y 1 z2 “Tìm : nhập vào máy d x dx x x d x dx x nhấn ta 2.598076211 3 , Tìm : nhập vào máy: x 3 ” x cho x 1 x x 3x 2 x 3x (1 x ) 3x 3x x Xét x2 2(1 x ) 2(1 x ) x(3 3x3 3x 2) x( 3x 1)2 ( 3x 2) (vì x, y, z x y z nên x (0;1) ) 2 2(1 x ) 2(1 x ) x 3x Dấu “=” xảy x 1 x 2 y 3y z 3z Tƣơng tự: , 2 1 y 1 z Nên Do đó: P x y z 3 3 (x y2 z2 ) 2 1 x 1 y 1 z 2 , x yz 3 Ví dụ 12 Cho ba số thực dƣơng a, b, c thoả mãn a + b + c = a 1 b 1 c 1 Chứng minh b c2 a2 Phân tích: Dự đoán a b c Nhập vào máy: d 1 x x CALC X ? dx x x 1 1 x Lời giải: Xét x x(1 x ) 2(1 x ) x3 x x x( x 1) x 0, x 1 2 2 1 x 2(1 x ) 2(1 x ) 2(1 x ) 1 x b a 1 b ab b a 1 (a 1) a 2 1 b 1 b 2 b 1 bc c c 1 ca a b c 1 Tƣơng tự 2 1 c 2 1 a 2 a 1 b 1 c 1 1 (ab bc ca) (b c a) (a b c) Cộng lại ta đƣợc: b 1 c 1 a 1 2 Mặt khác (ab bc ca) (a b c)2 a b c Do a 1 b 1 c 1 3 b2 c a , dấu “=” xảy a b c 78 Ví dụ 13: Cho x y hai số dƣơng thoả mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Lời giải: Ta có: P x3 y x y 3 2 x y 2x y x3 (2 x) (2 y ) y 3 2 x y 2x y x3 (2 x)2 x x2 2x “Tìm , cho: Tìm : Nhấn SHIFT d dx Tìm : Nhấn AC Nhập Xét nhập d x (2 x ) nhấn ta dx x x x 1 x3 (2 x)2 x , nhấn CALC cho x ” x2 2x x3 (2 x)2 x 11x3 14 x x ( x 1) (11x 8) 0 x2 2x 2 x2 x2 x3 (2 x)2 9x 8 x 2x Tƣơng tự: y (2 y ) 9y 8 y 2y Do đó: P ( x y) 16 9 16 minP đạt đƣợc x y Ví dụ 14: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: ab bc ac abc Lời giải: Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi a, b, c a b c 1 Bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng: 1 1 a b c “Tìm , cho: Tìm : Nhấn SHIFT d dx nhập x x d 1 nhấn ta 9 dx x x Tìm : Nhấn AC Nhập 1 9x , nhấn CALC cho x ” x 1 x x (3x 1)2 0, x (0;1) 9 x Xét x x x x x Áp dụng: 1 9a ; 9b ; 9c a b c Cộng vế theo vế ta đƣợc 1 9(a b c) 18 a b c 79 Ví dụ 15: Cho số thực dƣơng x, y thỏa mãn x y Chứng minh rằng: x y Đẳng thức xảy ? 2x y x y y 3 x x Phân tích: Trƣớc hết ta dự đoán 9 9 3 y x y 2x y x x Ta cần tìm , cho: x Tìm : Nhấn SHIFT x 2x d dx nhập Tìm : Nhấn AC Nhập x 1 x , nhấn CALC cho x đƣợc x 1 2x 2x Tƣơng tự: Tìm a,b cho: y Tìm a : Nhấn SHIFT d dx Tìm b : Nhấn AC Nhập x Lời giải: Xét x x Lại có y d nhấn ta đƣợc x dx x x 1 2 ay b y nhập d 2 nhấn ta đƣợc a x dx x x2 2 x y , nhấn CALC cho x đƣợc b y x y x x x x x x ( x 1) 1 x 2x 2x 2x 2x x (1) 2x 2 y y y y y y ( y 2) 2 y y 2y 2y 2y y (2) Từ (1) (2) ta có x y ( x y) 2x y 2 y Dấu “=” xảy x 1; y y Ví dụ 16: Cho số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh: N a b2 c bc ca a b Vì a, b, c a b c a, b, c 0;3 Ta có: N a b2 c 3 a 3b 3c “Ta cần tìm , cho: Tìm : Nhấn SHIFT d dx nhập x2 x 3 x d x2 nhấn ta dx x x 1 x2 x , nhấn CALC cho x ” Tìm : Nhấn AC Nhập 3 x 80 Xét x2 x x x 3x x 3( x 1)2 2x 0, x (0;3) 3 x 3 x 3 x 3 x a2 x2 b2 c2 2a ; 2x 2b 2c 3 a 3 x 3b 3c N 2(a b c) , dấu xảy a b c Ví dụ 17: Cho số thực dƣơng a, b thỏa mãn 2a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S a a 3b 9 a b 2a b Phân tích: Dự đoán dấu xảy 9 2 S a a 3(7 2a) a 2a a a a 2a 30 Vào MODE nhập f ( x) x x 30 x 2x Start ? 0.2 End ? Step ? 0.2 Nhìn vào cột F ( x) ta thấy x f ( x ) nhỏ y Ta cần tìm , cho: a a x a nhập d 9 nhấn ta đƣợc x x dx x x 3 Tìm : Nhấn AC Nhập x x x , nhấn CALC cho x đƣợc 3 x Tìm : Nhấn SHIFT Lời giải: Xét a a a2 a d dx a3 5a 3a (a 3)2 (a 1) 4a x a a a 4a a Ta cần tìm , cho: 3x Tìm : Nhấn SHIFT d dx nhập Tìm : Nhấn AC Nhập 3x d 1 nhấn ta 3x dx x x 1 x , nhấn CALC cho x x 1 b2 2b (b 1)2 b 3b 2b Xét 3b 2b b b b b S a a 3b 4a 2b 2(2a b) 14 22 a b minS 22 đạt đƣợc x 3; y 81 x x Ví dụ 18: Cho x, y x y Tìm giá trị nhỏ A 3x y 4x y2 Phân tích: Dự đốn x y – d 3x 3x x Nhập vào máy: CALC X dx x x 2 4x – Nhập vào máy: d x3 x3 x x CALC X dx x x 2 x 2 Lời giải: 3x x x x ( x 2)2 3x x Ta có: 1 ln với x 1 4x 4x 4x 4x 2 y y 2(2 y ) y y y y ( y 2)2 ( y 1) Và với y y2 2 y2 y2 y2 y3 y 3x y x y 5 9 A 2 A 2 y 2 4x y 2 2 Vậy minA đạt đƣợc x y Ví dụ 19 Cho số thực dƣơng x, y , z thỏa mãn x y z x y z Chứng minh x y z Phân tích: Từ điều kiện ta có x3 x y y z z Mà điều cần chứng minh x3 y z Từ ta nghĩ đến phải tìm , biểu thức: x3 x x3 ; y y y ; z z z Dự đoán dấu “=” xảy x y z x x3 x x x x x x x x d x x x1 1 dx Nhập vào máy: d 3 x x dx Lời giải: Xét x3 x Tƣơng tự: y y3 z z x3 (1) 3x3 3x x3 ( x 1)2 (2 x 1) x 3 y3 (2) y y ( y 1) (3 y y 1) 0, y 3 z3 (3) 3z 3z z ( z 1) (3 z z z 1) 0, z 3 Lấy (1)+(2)+(3) vế theo vế ta đƣợc: x3 x y y z z ( x3 y z ) ( x3 y z ) x y z dấu xảy x y z 82 Ví dụ 20 Cho x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x x yz y y zx z z xy (1 x)2 (1 y)2 x, y, z Tƣơng tự zx 4 x y z (1 z )2 Do P xy 2 3x x 3y y 3z z Lời giải: Ta có: y z x yz yz “Nhập: d x x 4x 1 CALC X “ 2 dx 3x x x 3 3x x 3 Ta phải chứng minh – Nếu x – Nếu x 3x x 2 9x x 12 x (*) 3x x bất đẳng thức (*) hiển nhiên 12 x bình phƣơng hai vế bất đẳng thức (*) ta đƣợc: (3 x 1) (48 x 40 x 2) 12 19 x điều chứng tỏ bất đẳng thức (*) x 0; 12 48 x 40 x Tƣơng tự y, z cộng lại ta đƣợc: x y z 4 P ( x y z ) (do x y z ) 3 3x x 3y2 y 3z z minP Đẳng thức xảy x y z Vấn đề lại ta phải chứng minh bất đẳng thức: P Do x 3x x 2 19 12 y 3y y 2 0.779908 0.75 TH1: x y z z 3z z 2 19 x 1, y, z (0;1) 12 3 nghĩa bất đẳng thức (*) với x 0; 4 vơ lý x y z z vơ lý x y z 3 1 TH3: x y z x y z y z y z 4 4 TH2: x y Lại có z z z y z Xét hàm số: f ( x) x 3x x 2 1 3 1 1 z 0; x ;1 , y ; , z 0; 8 4 8 8 f '( x) 2x (3x x 2) 3x x 3 P minf ( x) minf ( y ) minf ( z ) f 4 1 f f (0) 8 83 0, x (0;1) Ví dụ 21 Cho số dƣơng x, y z thoả mãn x y z x2 Chứng minh rằng: Phân tích: Nhập vào máy: 1 y z 82 x y z d x dx x (Trích KA–2003) 40 82 8.834522086 41 x1 x2 40 x 82 27 82 CALC X x 41 41 Lời giải: Ta chứng minh Xét hàm số f ( x) x Cho f '( x) x Bảng biến thiên: x2 40 82 27 82 x , x (0;1) x 41 41 40 82 27 82 x , x (0;1) f '( x) x 41 41 x4 1 x3 x x2 40 82 41 + 0 f ( x) x 40 82 27 82 40 82 27 82 x 0, x (0;1) x x , x (0;1) x 41 41 x 41 41 Tƣơng tự y, z cộng lại ta đƣợc: 1 40 82 27 82 y2 z2 ( x y z) 82 x y z 41 41 Dấu “=” xảy x y z x2 Ví dụ 22 Cho số dƣơng x, y z thoả mãn Chứng minh rằng: 1 1 x2 y z x y z 3 9 x 1 y 1 z 1 Phân tích: – – Dự đốn dấu xẩy x y z Để ý điều kiện dạng x y z ta nhập máy d f ( x) x x0 dx d f ( x) x x0 dx x d x x x0 dx d f ( x) x x0 2 dx x2 Dạng x y z ta nhập máy d x x x0 dx 84 d f ( x) x x0 1 Cịn dạng ta nhập máy dx … x d x y z 2 dx x x x0 – Nhập vào máy: d x dx x x d dx x x 4.848076211 CALC X Lời giải: Xét Tƣơng tự: 96 x 96 x 1 x2 x 96 3 ( x 3)2 ( x 3) với x x 1 4x z 96 3 y 96 3 z 1 4z2 y 1 4y x y z 96 1 93 x 1 y 1 z 1 x y z Dấu xảy x y z Do 96 , gán 4.848076211 vào biến A, đổi cận 27 27 x2 x 0.3480762114 gán vào biến B A B ; AB 16 16 Chú ý: Tìm 4.848076211 1 1 a 4 b 4 c 4 1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 Ví dụ 23 Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện Phân tích: Dự đốn dấu xẩy a b c Tìm , biểu thức: a2 a 4 d dx x x 5 Nhập vào máy 10 10 d dx x x 5 Lời giải: Xét Tƣơng tự (a 5) 0, a a 10(a 4) 10 10( a 4) 1 2 b 10(b 4) 10 c 10(c 4) 10 1 9 1 3 a b c 10 a b c 10 Dấu xảy a b c 85 thành đƣợc Ví dụ 24 Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn xy yz zx Chứng minh ( x x 3)( y y 3)( z z 3) 27 Phân tích: Dự đoán dấu xảy x y z Nếu ta có x x x ; y y y ; z z z 3; đến đánh giá 27 xyz 27 xyz , mà từ điều kiện xy yz zx 3 x y z xyz dẫn đến mâu thuẫn Tƣơng tự x x x chƣa đủ mạnh mà ta phải tìm , biểu thức: d x x4 x 1 x x x3 Nhập vào máy: dx 1 d x x1 dx Lời giải: Xét x x x ( x 1) ( x 1)( x x x x 1) 0, x ( x x 3)( y y 3)( z z 3) ( x3 2)( y 2)( z 2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho số ta có: ( x3 2)( y 2)( z 2) ( x3 13 13 )( y 13 13 )( z 13 13 ) ( x.1.1 y.1.1 z.1.1) ( x y z) Mà a b c ab bc ca (a b c) 3(ab bc ca ) a b c ( x7 x4 3)( y y 3)( z z 3) ( x3 2)( y3 2)( z 2) 33 27 Dấu “=” xảy x y z Ví dụ 25 Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: x2 y2 P x y x yz y xz Phân tích: Nhìn tổng quan tốn ta thấy x y có vai trị nhƣ nhau, cịn z khơng ta khơng dự đốn điểm rơi dễ nhƣ đƣợc nhƣng thƣờng biến mà khơng âm có biến dự đoán x y; z x x y , z0 1 P đạt điểm rơi x y , z 0 2 x2 y2 x y x, y, z Với phân tích ta có P 2x 1 y 1 Nhập vào máy d dx x x d x x dx 1 ; x2 y2 x y Lời giải: Do x, y, z P 2x 1 y2 1 x2 x2 (2 x 1)2 với x 0; 2x 1 1 1 y2 y2 1 P ( x y ) x y (1 z ) x y Tƣơng tự 2 y 1 4 4 Xét 86 Lại có z x y ( x y)2 ( x y)2 z x y z 2 1 z2 P (1 z ) z z 4 z z Xét hàm số f ( z ) z với z 0;1 Ta có f '( z ) 2 z 2z 2 với z (0;1] P P , z 0 dấu “=” xảy x y 2 Ví dụ 26 Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab bc ca b c a 4 c a b bc ca ab Lời giải: TH1: a b c áp dụng bất đẳng thức tam giác b c a a 2a a Bất đẳng thức: 3c 3 a 3b b c a 4 c a b 3 a 3b 3c a 4a b 4b c 4c 0 a 3 a b 3b c 3c Ta cần tìm , cho: Tìm : Nhấn SHIFT d dx Tìm : Nhấn AC Nhập nhập x 4x x x 3 x d x 4x nhấn ta 6 dx x x x 1 x 4x x , nhấn CALC cho x x 3 x a 4a 6a 21a 24a 3(a 1) (2a 3) 3 6a , a 0; Xét a 3 a a(3 a) a(3 a) 2 a 4a a 4a 6a 6a a 3 a a 3 a Tƣơng tự ta có: Do b 4b c 4c 6b 6c b 3b c 3c a 4a b 4b c 4c 6(a b c) 18 a 3 a b 3b c 3c TH2: a b c 3 , a b c đặt a x; b y; c z x y z 3, x, y, z Tƣơng ứng với x, y , z ba cạnh tam giác x x y yz zx y z 4 z x y yz zx x y Hoàn toàn tƣơng tự ta đƣợc điều phải chứng minh Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta đƣợc 87 Ví dụ 27 Cho x, y , z ba số thực dƣơng thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ P x y z 2 ( y z ) ( z x) ( x y ) Phân tích: Trƣớc hết ta đƣa biến cho phân số ( y z) x2 y z ( y z) 2x 2 P x y z 2 2x y 2z2 d x dx x x 1 x x2 Nhập máy: 3x x3 ( x 1) ( x 2) 0, x d x x x1 dx Lời giải: Từ giả thiết x y z Xét ( y z) x y z ( y z) 2x P 2 2x y 2z2 x x2 3x x3 ( x 1)2 ( x 2) 0, x x2 x2 y z P 4 Vậy minP , a b c Ví dụ 28 Cho a, b, c ba số thực dƣơng thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ P 1 4a 9b 36c Phân tích: Những tính đối xứng ta dự đốn đƣợc điểm rơi, phải dự đoán máy 1 1 tính “xem phần dƣới” ta đƣợc minP , a , b , c 2 Theo cách bấm máy ta đƣợc: Lời giải: Ta có Mặt khác Lại có a b 1 c ; 4a 9b 4 36c a (1) 2a (2a 1)2 4a 2a b (2) b (3b 1)2 9b 4 9b c (3) (6c 1) 36c Từ (1), (2) (3) ta có P 1 1 3 ( a b c) 4a 9b 36c 4 4 1 1 Vậy minP , a , b , c 2 88 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Cho a, b, c, d thỏa mãn a b c d Chứng minh a b c d 2 2 3a 3b 3c 3d Cho bốn số thực dƣơng a, b, c, d thỏa mãn a b c d Chứng minh rằng: 4(a3 b3 c3 d ) a b2 c d 16 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a a a b2 b c c b 1 a bc b ca c a b Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: Cho a,b,c số thực dƣơng Chứng minh rằng: a b c 10 (a b c) ( a c b) (c b a ) c (b a ) b (a c) a (b c) Cho ba số thực dƣơng a, b, c thoả mãn a4 b4 c4 Chứng minh: 1 ab bc ca 1 1 Cho a, b, c a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2(a b c) a b c Cho số thực dƣơng x, y , z thỏa mãn x y 3z 18 Chứng minh y 3z 3z x x y 51 1 x 1 y 3z Cho a, b thỏa mãn a2 b2 a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 a b2 ab P ( a b) a a b b 10 Cho x, y x y Chứng minh rằng: 3x y 4x y2 11 Cho số thực x, y, z (0;1) xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z 2 x y z2 12 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x2 y z 1 x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 8( x y z ) 1 y z 1 1 8a 8b 8c 13 Cho a, b, c thoả mãn a2 b2 c2 Chứng minh rằng: 14 Cho a, b, c thoả mãn a b c Chứng minh rằng: 15 Cho số dƣơng a, b, c biết a b c Chứng minh rằng: 89 a a 1 b b 1 c c 1 a b c ab bc ca 10 16 Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 4 a b c abc a b bc c a 17 Cho a, b, c a2 b2 c2 12 Tìm giá trị nhỏ P 18 Cho a, b, c b 1 c 1 1 2 a 1 b 1 c 1 Chứng minh rằng: 19 Cho a, b, c a 1 1 1 4a 4b 4c a b c a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a2 b2 c2 a 1 b 1 c 1 20 Cho a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ P a3 b3 c3 (a 1) a (b 1) b (c 1) c 21 Cho a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 a b c a4 b4 c4 Tìm giá trị nhỏ P a b2 c 22 Cho a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca Tìm giá trị lớn biểu thức: P ( a b) (b c)3 (c a ) 2(a b) 2(b c) 2(c a ) 23 Cho a, b, c thỏa mãn abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a3 b3 c3 a a b2 b c c 24 Cho a, b, c thỏa mãn (a 2)(b 2)(c 2) 27 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a3 b3 c3 a2 b2 c2 25 Cho a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P (a 1)(b 1)(c 1) 26 Cho a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a2 b3 (c 1)2 b2 c3 (a 1)2 c2 a3 (b 1)2 27 Cho a, b, c 1 thỏa mãn 2(a b c ) 5(a b c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 1 a 1 90 b 1 b 1 c c3 I Tên sở đƣợc yêu cầu công nhận sáng kiến II Đồng tác giả sáng kiến III Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng: IV Nội dung sáng kiến 1 Giải pháp cũ thƣờng làm Giải pháp cải tiến 2.1 Cơ sở lý luận: 2.2 Nội dung biện pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt đƣợc 14 Hiệu kinh tế: 14 Hiệu xã hội: 14 VI Điều kiện khả áp dụng 14 Khả áp dụng sáng kiến thực tiễn: 14 Điều kiện áp dụng sáng kiến: 14 PHỤ LỤC 16 PHỤ LỤC 39 PHỤ LỤC 57 PHỤ LỤC 72 91 ... (điểm thứ 9-1 0) đề thi thử, đề thi THPT Quốc gia năm gần b Đối với giáo viên: Nội dung phƣơng pháp chuyên đề, tài liệu giảng dạy chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu... nhiều bất đẳng thức áp dụng chúng thật khéo làm đƣợc tốn u cầu 1.2 Khó khăn: - Thời lƣợng học chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ trƣờng THPT ít, nhƣng đề thi THPT Quốc gia, thi. .. bổ đề cho 2.2 Nội dung biện pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức PHƢƠNG PHÁP “CỰC TRỊ HỒNG MINH” Ví dụ Cho số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn