Quỹ tích 1 điểm của vòng tròn (C) được gọi là epixicloit (ngoại xicloit)... Khi ấy ta có tọa độ cực mở rộng.[r]
(1)Chương 3: Ứng dụng đạo hàm
* Các bdt lồi:
* Bdt Jensen:
*/ BDT số trung bình:
* BDT Holder:
* BDT Minkowski:
* Cách tìm tiệm cận số hàm số:
6/ Điểm kì dị, điểm lùi:
7/ Khảo sát đường cong tọa độ cực:
8/ Đối xứng tọa độ cực: 11
9/ Tiếp tuyến đường cong tọa độ cực: 12
10/ Vi phân cung: 12
11/ Độ cong: 13
* Giải pt f(x) phương pháp Newton: 15
* Định lí Weiertrass: 17
Ta nói hàm f(x) tăng (a, b) nếu: x , x1 2a, b , x 1x2 f x 1 f x 2
Ta nói hàm f(x) tăng chặt (a, b) nếu: x , x1 2a, b , x x2 f x 1 f x 2
Định lí 1: Cho f(x) khả vi khoảng (a, b) Hàm f(x) tăng (a, b)
'
o o
' o
x
o o
o o
o o
' o
x
' '
2
f x 0, x a,b
f x x f x
Ta có : f x lim
x
Vì f x x f x 0, x
x f x x f x ham f x dong bien
f x x f x
f x lim
x
Nguoc lai, neu f x tren a, b , theo dinh lí Larrange ta có :
f x f x f c x x
(2)
'
'
1 1
1 / f x 0, x a,b
2 / Ko ton tai khoang a , b a,b cho f x tren a , b
Cho f(x) thỏa 1/ 2/, theo định lí hàm f(x) tăng (a, b)
1 2 2
'
1
2 x
2
x ' x '' x
' ' '
Gia su: x , x a, b x x : f x f x f x f x f x f x tren x , x trái voi 2/
x VD1: Cm voi x ta có :e x
2 x
Dat f x e x f x e x, f x e
2
f x tang tren 0, nhung f 0 f x x f x tang tren 0, f x f 0
Định lí: Cho f(x) khả vi lân cận x f xo ' o 0
1/ Nếu f x'' o 0 f(x) đạt cực đại xo
2/ Nếu f x'' o 0 f(x) đạt cực tiểu xo
Với f x' o 0 I use Taylor formula với n 2:
''
o 2
o o
2 ''
o
o o 2
2
''
o o o
2
f x
f x x f x x o x
2!
o x f x
f x x f x x
2! x
o x
Because : x nen f x x f x dau voi f x x
Định nghĩa: Hàm f(x) xác định liên tục (a, b) gọi lõm (a, b) nếu:
1 2
x , x a, b , c 0,1 f cx c x cf x c f x
Xét ý nghĩa hình học hàm lõm:
(3)
2
f cx c x tung độ điểm A x ,f xo o o đồ thị với
1 o o
1 2
1 2 2
x x x x cx c x voi c 0,1
x cx c x c x c x x x Vì c
cx c x x cx cx x x Vì c
Còn cf x 1 c f x 2 tung độ điểm B nằm dây trương cung A A1
(đoạn thẳng A A )1
Vậy hàm lõm (a, b) điểm A nằm điểm B hay cung o A A nằm
dây trương cung A A1
1 2 2
1 1
1 1 1
1
2
1
2 1 2 1
2 2 1
o B o
A A x x ,f x f x x x , y y
A x , y parametric equation of line segment
x x x x t x x y y
A A :
x x y y
y y y y t
y y x x y y y x x y x x
x y y y x x x y x y
B x , y , B A A x
1 o
1 2 2 1 B
1 2 2 1 2 1 B
1 2 2 B B
cx c x voi c 0,1 The x vào :
cx x cx y y x y x y y x x
cx y x y cx y cx y x y cx y x y x y y x x
x cy cy y x cy cy y y x x y cy c y
Parametric equation: pt tham số line segment: đoạn thẳng
Hàm gọi lồi (a, b) f cx 11 c x 2 cf x 1 c f x 2 Nói cách khác hàm f(x) lồi hàm – f(x) lõm
Định lí dấu hiệu lồi, lõm: Cho f(x) khả vi đến cấp (a, b) Khi hàm số lõm (a, b)
''
1 1 2
1 2
1 2
1
1 2 2
1
1 2
f x tren a, b
Ki hieu : x cx c x voi c 0,1 y f x y f x y f x
Khi ay f cx c x cf x c f x y cy y c
x x cx c x x x x c
y y y y
x x x x x x cx c x x c x x
y y y y
c y
x x c c x x
1
1 2
y c y y
cy y y cy y cy y c ta có lai
(4)
1
1
1 '
1
x x1 1 1 2
2 '
2
x x2 2 1 2
1
' ' ' ''
1 2
1
''
f x f x f x f x
x x x x
f x f x f x f x
Cho x x lim f x
x x x x
f x f x f x f x
Cho x x lim f x
x x x x
f x f x
f x f x x x f x dong bien f x
x x
f x loi neu f x
Ngược lại, cho f x'' 0 tren a,b Lay x x , x1 2 theo định lí Larrange ta có:
1 ' '
1
1
'' '
1 2
' '
1
f x f x f x f x
f c f c
x x x x
Voi x c x c x Vì f x nen f x dong bien
f c f c
* Cho f hàm số xác định liên tục [a, b] and f'' 0 a,b hàm số f lồi [a, b]
set dat : g t t.f a t f b f t.a t b muốn cm f lồi đoạn [a,
b], ta cm f(x) thỏa bdt lồi, nghĩa cm: g t 0 voi moi t0,1 , từ biểu thức định nghĩa, ta có:
' '
o o o
' '
' '
o o
g t f a f b a b f t.a t b
theo cong thuc Larrange,ton tai c t a t b, t 0,1 cho a c b and f a f b a b f c
the giá tri cua f a f b vào bieu thuc cua g t , ta dc:
g t a b t a t b f t.a t b
'' '
o
' ' ' '
o o o o o
o o
theo gia thiet: f f tang, a b and t.a t b t a b b t a b b
khi t t , ta có g t g t if t t , g t g t if t t g t tang 0, t and giam t ,1 , because g g g t with t 0,1
(5)Điểm uốn: điểm M x ,f x o o gọi điểm uốn phân cách cung lồi cung lõm đường cong f(x)
Định lí: Cho hàm f(x) có đạo hàm f x'' lân cận điểm x , qua o x đạo o
hàm cấp f x'' đổi dấu điểm M x ,f x o o điểm uốn * Các bdt lồi:
* Bdt Jensen:
1 n n
n n n
k k k k k
k k k
n
k k k
Cho f hàm so loi D a, b , with x , x , x D and a ,a , a 0,1 cho a 1, ta có : f a x a f x
Cm : with n 2, la dn tính loi cua f , bay gio ta se quy nap theo n : gia su bdt dung voi so nguyen n : f a x
n
k k
k
1 n n 1 n n
n
k i
k
a f x
ta cm cung dung voi n 1: lay x , x , x ,x D and a ,a , a ,a 0,1 cho a gia su a , i 1,n ko dong thoi 0, dat set :
n n
k n n k k
k k
n
k k n
k
n n n
n n
k k
k k
k k
n
k k k
1
c a a a c, and y a x
c dùng dn hàm loi, ta có:
f a x f c.y c x
c.f y c f x c.f y a f x
a x
dùng gia thiet quy nap, ta dc: f y f a f x
c c
f a x
1 n
k k
k
a f x
(6)
1 n
n n
i k k
k k
''
2 n
k i
k
1
Cho a 0; i 1, n set : A a , B a : B A n
1
Cm : Xét hàm f x ln x, x 1, , f x f x loi x
do dó có the dùng bdt Jensen dc, with b 1, b 0,1 , i 1, n
n n n n
bk
k k k k k k k
k k k k
1
n n n
i k k
k k
ln b a b ln a b a a ,
1
khi b , i 1, n so: a a
2 n
* BDT Holder:
n n
bk
k k k
k k
p q
p
1 q
1
n p n q
p q
k k
k k
1
Cho p 1, q cho : p q
Cho x 0, y 0, use BDT b a a
1 x y
with n 2, a x , a y , b , b , ta dc: x.y
p q p q
BDT van dung x or y=0
Put: a x , b y with a.b
(7)p q
p q
k k k k k k
p q
n n n
p q
k k p k q k
k k k
p q
p q
1
n n p n q
p q
k k k k
k k k
x y x y x y x y
x , y , x.y , k 1,n
a b p q ab p a q b
1 1
x y x y
ab p.a q.b
1 1
.a b
p q
p.a q.b
x y ab x y
1 22 12 12 22 22
n n n
p p p
k k k k k k k k
k k k
khi p q 2, bdt tren dc goi bdt Cauchy-schwartz:
x y x y x y x y
ta cung có : x y x x y y x y
p 1, q p
* BDT Minkowski:
1 1
n p n p n p
p p p
k k k k
k k k
x y x y
4/ Đường tiệm cận:
1/ Đường thẳng x a gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f(x) thỏa điều kiện:
x a x a
lim f x lim f x
2/ Đường thẳng y b gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f(x) thỏa điều kiện: x lim f x b x lim f x b
3/ Đường thẳng y ax + b gọi tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f(x)
xlim f x ax b
Cách tìm hệ số a, b đường tiệm cận xiên y ax + b
x x x
x x
lim f x ax b lim f x ax lim f x ax b b b
f x f x ax b b
lim lim a a
x x x
(8)* Cách tìm tiệm cận số hàm số: 5/ Pt tham số đường cong:
1/ Elip:
2
2
x y
1
a b Vì tổng bình phương x y
,
a b , nên coi chúng cost sint:
x y
cos t sin t t 0,2 Vay ta có pt tham so cua elip : x a cos t, y bsin t
a b
2/ Xicloit quỹ đạo điểm M nằm đường trịn bán kính a vịng trịn lăn ko trượt đường thẳng d Pt tham số xicloit:
x a t sin t y a cos t
3/ Epixicloit (ngoại xicloit) hypoxicloit (nội xicloit):
Cho vòng tròn (C) lăn ko trượt bề mặt vịng trịn khác Quỹ tích điểm vòng tròn (C) gọi epixicloit (ngoại xicloit) Trong trường hợp vòng tròn (C) lăn theo bề mặt trong, quỹ tích gọi hypoxicloit (nội xicloit)
Cho vịng trịn cố định có tâm tại gốc tọa độ O bán kính a, vịng trịn (C) lăn ngược chiều kim đồng hồ có bán kính m.a
Pt tham so cua epixicloit:
x a m cos mt m.cos m t y a m sin mt m.sin m t Pt tham so cua hypoxicloit:
x a m cos mt m.cos m t y a m sin mt m.sin m t
Các pt tham số hypoxicloit nhận từ pt epixicloit cách thay m – m
6/ Điểm kì dị, điểm lùi:
Định nghĩa: Điểm M x , y o o xo x t o yo y t 0 đường cong (C)
gọi điểm kì dị nếu: x t' o 0, y t' o 0
Xét điểm M x , y o o xo x t o yo y t 0 có tính chất x t' liên tục lân
cận t x to ' o 0 lân cận t hàm x(t) đơn điệu chặt nên tồn o
hàm ngược t a x Thay vào biểu thức y ta y hàm số x:
y y a x
Như lân cận t , hàm y biểu diễn tường minh qua xo
Tương tự trường hợp y t' o 0 ta có hàm tuong minh x x b y Như có trường hợp x t' o 0, y t' o 0 đường cong (C) ko thể có pt
(9)Tính chất tiếp tuyến: Giả sử x t' o 0 tiếp tuyến với C A x , y có hệ o o
số góc:
' o
' '
x ' o
o
y t
k y A Neu y t
x t
tiếp tuyến song song Ox
' o
' ' ' '
o o y ' x
o
x t
Neu x t mà y t ta có : x A 0, y A
y t
tiếp tuyến song song Oy Tiếp tuyến điểm kì dị
o o o o o 0 '' o '' o M x , y x x t y y t x t 0 or y t 0
Qua điểm M x , y o o N x t , y t cùa đường cong (C) ta có cát tuyến với pt:
o o
o o o o
o o
2
'' ''
o o o o
' '
o o o o o
2
'' ''
o o o o
' '
o o o o o
o o
'' ''
o o
x x y y
x x t y y t Theo cong thuc Taylor, ta có:
x t x y t y
x t t x t t
x t x x t t x t x Vì x
2! 2!
y t t y t t
y t y y t t y t y Vì y
2! 2!
x x y y
pt tiep tuyen tai M :
x t y t
Vì tiếp tuyến M vị trí tới hạn cát tuyến MN N M t to Điểm lùi: Giả sử x t'' o 0, hàm số x x(t) có cực tiểu
o o o
t x t x t x lân cận t o
Điều mặt hình học có ý nghĩa: chia đường cong (C) thành nhánh ứng với
1 o o
C : t t C : t t nhánh gặp t t o có chung tiếp tuyến Vì x t x t o voi t t t t o o nên cà nhánh nằm bên phải đường
thẳng x x o Khi điểm M x , y o o gọi điểm lùi đường cong (C)
7/ Khảo sát đường cong tọa độ cực:
Trong mặt phẳng chọn điểm O cố định gọi cực tia Ox gọi tia cực Vị trí điểm M mặt phẳng hoàn toàn xác định đại lượng:
r OM Ox,OM
Trong đó: r bán kính vector, φ góc cực điểm M
(10)Để biểu diễn tất điểm mặt phẳng cần hạn chế: r 0, 0 2 Công thức đổi từ hệ tọa độ Decaster Oxy sang tọa độ cực:
2 y
x r cos y r sin r x y tg
x
Ta chọn φ cho sinφ dấu với y
VD: điểm M tọa độ Descarter là:
1
x , y
2
2
1
1
Vay :r 1, tg ,
2 3
3 Ta chon sin dau voi y
3
Vay M 1,
Hệ tọa độ cực mở rộng:
Cho M(r, φ), với r, φ ko bị hạn chế mà lấy giá trị Khi ta có tọa độ cực mở rộng Như điểm có nhiều tọa độ cực khác
4 VD : Cho M 1,
3
tia Ou (kéo dài) tạo với Ox góc
3
, lấy điểm M có OM1
M phải ngược hướng với Ou
Đổi sang tọa độ Descarter:
4
x 1.cos y 1.sin
3
Điểm M có nhiều cách biểu diễn tọa độ cực mở rộng:
4
1, , 1, , 1,
3 3
VD1: lập pt đường trịn bán kính a qua cực O có tâm trục cực:
Cách 1: Cho tâm điểm I(a, 0) đường kính OA qua I M thuộc đường tròn với
Ox,OM xét tam giác vuong OMI r OM OA.cos 2a.cos
Cách 2: tọa độ Descarter đường tròn có pt: x a 2 y2 a2 Thế x r cos y r sin vào pt ta duoc : r 2a.cos
(11)2
2
2 2 2
Voi r ta có : r a sin r ar sin
a a
The r x y , y r sin ta duoc :x y ay x y
2
a a
duong trịn tâm 0, bán kính
2
VD3: Lập pt đường conic (parabol, elip, hyperbol) tọa độ cực
Cho trước đường chuẩn (L), tiêu cự F số e > (được gọi tâm sai) Khi đường conic quỹ tích tất điểm M cho: d M, F d M, L
d(M, (L)) khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn (L) d(M, F) khoảng cách từ điểm M đến tiêu cự F
Nếu < e < ta có elip, e 1: ta có parabol, e > 1: ta có hyperbol
Cho tiêu cự F trùng với cực O, đường chuẩn (L) cách cực O khoảng 2p tạo với trục cực góc α M(r, φ) điểm đường conic, r > 0, MF MO r
d M, L 2p r sin
Tu d M, F d M, L r 2pe resin 2ep
pt duong conic: r
1 esin
Ta xét trường hợp thường gặp: đường chuẩn vuông góc trục cực:
2
2 2 2
2
2ep
Khi ay ta có pt : r r e r cos 2p x y e x 2p
1 e cos
Voi dk x 2p x y e x 4px 4p
Neu e parabol , ta duoc : y 4p x p
Đó pt parabol, tiêu cự trùng với gốc tọa độ đường chuẩn có pt x – 2p
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2e p y 4e p
Cho e elip , ta dua ve dang : x
1 e e 1 e
2ep 2ep
Do elip voi bán truc : a , b ,
1 e 1 e
2e p c
c b a c e
a e
(12)8/ Đối xứng tọa độ cực:
1/ Nếu thay (r, φ) (r, π – φ) or (– r, – φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi đồ thị
đối xứng qua đường
x r cos r cos r cos y r sin r sin r sin
2/ Nếu thay (r, φ) (r, – φ) or (– r, π – φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi đồ thị đối xứng qua trục cực
x r cos r cos r cos y r sin r sin r sin
3/ Nếu thay (r, φ) (– r, φ) or (r, π + φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi đồ thị đối xứng qua cực O
x r cos r cos r cos
y r sin r sin r sin
4/ Nếu r f(sinφ) or r hàm lẻ theo φ đồ thị đối xứng qua đường
x r cos r cos r cos y r sin r sin r sin
x r cos f sin cos f sin cos f sin cos
y r sin f sin sin f sin sin f sin sin
Voi dk f hàm le theo , f sin f sin
5/ Nếu r f(cosφ) or r hàm chẵn theo φ đồ thị đối xứng qua trục cực
x r cos r cos r cos y r sin r sin r sin
x r cos f cos cos f cos cos f cos cos
y r sin f cos sin f cos sin f cos sin
9/ Tiếp tuyến đường cong tọa độ cực:
Gọi a góc bán kính vector OM với tiếp tuyến M(r, φ)
b góc tiếp tuyến M với Ox, tiếp tuyến M cắt Ox C, OMC góc MCO góc tam giác
góc MCO góc COM góc OMC b a a b
tgb tg
tg a tg b
1 tgb.tg
Đường cong r f(φ) viết dạng tham số sau:
' '
'
x ' '
y r sin r cos
x r cos y r sin he so goc : y tgb
x r cos r sin
' dr
r d
Thế vào (1) ta được: ' r tga
(13)Tiệm cận: coi φ tham số đưa đường cong dạng tham số:
x r cos
y r sin
a a.cos a.sin
VD : r Dua ve tham so : x , y
Khi x , y nên y tiem can ngang
10/ Vi phân cung:
Chia cung AB thành n phần điểm: A M , M , M , M o n ứng với B
giá trị:
o n
t t t t Gọi p độ dài đường gấp khúc:
o 1 n n
p M M M M M M
Đường gấp khúc gọi đường gấp khúc nội tiếp cung AB
Độ dài cung AB cận độ dài đường gấp khúc nội tiếp cung AB S Sup(p)
Giả thiết tồn đạo hàm liên tục x t , y t' ' Khi ta có:
n 2 2
k k k k
k
' '
k k k k k k k k k k
n 2 2
' '
k k k k
k
p x t x t y t y t
theo dinh lí Larrange, ta có :
x t x t x c t t y t y t y d t t
p x c y d t t
Kí hiệu m1 giá trị nhỏ x t' , M1 giá trị lớn x t' m2 giá trị nhỏ y t' , M2 giá trị lớn y t'
2 2
1 n o n o
2 2
1 n o n o
m m t t p M M t t
m m t t S M M t t
Kí hiệu M(t) điểm cung AB ứng với giá trị t, S(t) độ dài cung AM t Xét cung
2 2
1 2
(14)ở m , m , M , M giá trị nhỏ lớn của1 2
' ' 2 2
1 2
' ' ' '
1
2
' ' ' ' '
2
t
2
' ' 2
S
x t , y t doan t, t t vay : m m M M
t
Cho t 0, x t , y t lien tuc, nên m x t , M x t , S
m y t , M y t S t lim x t y t
t
vay : dS x t y t hay dS dx dy
11/ Độ cong:
a/ định nghĩa: đường cong (C) lấy điểm cố định I gọi gốc hồnh độ cong chọn hướng tính độ dài cung (1 hướng độ dài cung dương hướng độ dài cung âm) Cho A, B điểm (C) Kí hiệu góc tiếp tuyến dương
A B, ∆s độ dài cung AB Khi tỉ số s
gọi độ cong trung bình cung AB
VD1: Với (C) đường thẳng độ cong trung bình đoạn AB
(vì 0)
VD2: Cho (C) – đường trịn bán kính R Góc tiếp tuyến dương A B
tb
AOB s R C
s R
Vậy độ cong trung bình cung phụ thuộc bán kính Định nghĩa: độ cong đường cong (C) điểm A giới hạn độ cong trung
bình cung AB B tiến tới A (A, B thuộc (C)) s C lim
s
Công thức tính độ cong: gọi góc hướng dương trục Ox với tiếp tuyến dương A , B , ta có: (góc ngồi tam giác)
s
d
C lim
s d
(15) '' ' ' ' ' ' '
x x x 2
' ' x 2 ' x '' '' ''
2 2 3
' '
2 2 2
' '
d y
khi ay : tg y arctgy d dx arctgy
dx
1 y
dx
ds y dx
ds
1 y
y
d d dx y y
C
ds dx ds
1 y 1 y
1 y y
b/ Đường cong tham số: Cho (C) có pt tham số:
' '' ' '' '
' t ''
x ' x 3
'
t t
'' '' ' '' '
t
2 2 3
' ' '
2
t x t '
x
y y x x y
x x t , y y t y , y
x x
y
d d dx y x x y
ds dx ds
1 y 1 y x
1 y 3
3 2 2 2
' ' ' ' ' ' '
t x t t t x t
'' ' '' '
2 2 2
' '
t t
x y x y x y y
y x x y
C x y
c/ Trong tọa độ cực: Cho (C) có pt tọa độ cực r r(φ) Ta coi (C) có pt tham số sau: x r cos , y r sin Lấy đạo hàm thay vào (2), ta có:
2
2 ' ''
3 2
2 '
r r r.r
(16)
' '' ' ''
t t t t
'' ' 2 ' '' 2
t t t t
'' ' '' ' 2 2
2 2 2
' '
t t
VD : Tìm cong cua Xicloit
x a t sin t , y a cos t tai diem bat kì :
x a cos t , x a sin t , y a sin t , y a cos t y x a cos t , y x a sin t ,
y x x y a sin t cos t a
x y a cos t sin t
2 2
a sin t cos t 2cos t 2sin t
'' ' '' '
3 2
2 2 2
' '
t t
y x x y 1
C
2 a cos t
x y
* Giải pt f(x) phương pháp Newton: * định lí giá trị trung gian:
Cho f(x) hàm số xác định, liên tục khoảng I: [a, b], cho a b
f(a).f(b) Khi tồn điểm c (a, b) cho f(c)
o o
o o
o o o
o o o
1 o o o o o
suppose that f a f b f a trái dau voi f b and gia thiet f a if f a thi thay f boi f set c a and d b, theo gia thiet
c d
f c and f d 0, set u ,
2 if f u thi c u , if f u thi dat
c u , d d , if f u thi dat c c and d u
(17)
1 1
1 1 n n n n n n n n
Consider c ,d we have f c f d 0,
c d
therefore continuos putting u and continuos this progress
with this putting we have f c and f d
c d
continuos putting u
2
If f u c u is the solution of equation f x If f u so puttin
n n n n
n n n n n
g c u and d d
If f u so putting c c and d u
Bây ta giả sử trình ko kết thúc Khi ta có dãy số cn and d n
dãy hội tụ có chung giới hạn c
n n n
n n
Vi f c nen theo gia thiet lien tuc cua f x lim f c f lim c f c
lim f d f lim d f c f c
Thủ tục chọn điểm u gọi thủ tục phân đôin
Giả sử hàm số f(x) xác định, liên tục [a, b], khả vi (a, b), f(a).f(b) and
'
f x ko đổi dấu (a, b) Ta lấy điểm x tùy ý, xo oa, b với giả thiết có thể khai triển Taylor hàm số f(x) x có:o
' ''
o o o o
o
2
' ''
o o o o
n
o '
o o o 1 o
1
f x f x x x f x x x f d
2
with d o giua x and x the f x vào pt f x 0, dc:
f x x x f x x x f d
2
ta xây dung thu tuc tim day x hoi tu den ngiem c bang cách bo qa so hang bình phuong
f x ta dc: f x x x f x goi x ngiem, ta có:x x
f ' o x n
n n ' o o
n
n n n
n
n n '
n ' n ' ' n f x
x x with x chon truoc x a, b
f x
Cho x hoi tu den c lim x lim x c f x
lim x lim x lim f x
f lim x f c
0 f c vi f c c a, b
f lim x f c
(18)* Hệ quả: Cho f(x) hàm số xác định liên tục đoạn [a, b] Khi f(x) lấy lần giá trị nằm f(a) f(b)
Cm: giả sử f(a) t f(b) tồn điểm c: a c b cho f(c) t Đặt g(x) f(x) – t, g(a) f(a) – t and g(b) f(b) – t 0, theo định lí trên, tồn g(c) cho g(c) f(c) – t
* Định lí Weiertrass:
Cho f(x) hàm số xác định, liên tục đoạn [a, b], tập J {f(x) / x [a, b]} giới nội and tồn điểm c, d [a, b] cho f(d) sup f(x) and f(c) inf f(x), x [a, b]
1 hàm số liên tục f(x) khoảng đóng giới nội đạt cận cận Khi thay viết sup f(x) and inf f(x), ta viết max f(x) and f(x)
Ta cm J {f(x) / x [a, b]} giới nội Giả sử J ko giới nội có cận +∞ (khi có cận –∞ thay f –f) tìm xN [a, b] cho f(xN) N,
xét dãy {xN}, xN [a, b] dãy {xN} bị chặn, theo định lí Bolzano –
Weiertrass, tìm dãy xNk hội tụ tới điểm c [a, b], theo giả thiết f(x) liên tục [a, b]
Nk Nk Nk k k
f lim x limf x , becausef x N and day N dan toi
Điều mâu thuẫn với giả thiết f(x) xác định [a, b] So biểu diễn J (m, M) with m inf f(x), M sup f(x)
Tiếp theo, ta cm tồn c, d [a, b] cho f(c) m and f(d) M (chỉ cần cm tồn giá trị đó) Vì M sup f(x), x [a, b], nên theo định nghĩa với ε bé tùy ý, ln tìm u [a, b] cho M – f(u) ε
n n
n n nk
nk nk k nk
k
1 with n nguyen duong, luon ton tai u a, b cho M f u
n day u , u a, b day gioi noi có the trích day u hoi tu
1
0 M f u M lim f u n d lim u
n
Do tồn d [a, b] cho f(d) M
(19)