diện tich đa giác

BDHSG Năm học GV: Lương Công Hiển Chuyên đề: CÁC BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC I/ LÝ THUYẾT 1/ Cơng thức diện tích hình: (Hình học 8) 2/ Các tính chất để giải tốn Tính chất 1: Nếu hai tam giác có chiều cao(hoặc chiều cao nhau) tỉ số hai diện tích tỉ số hai đáy tương ứng VD: A a/ Hình bên(H1) ∆ ABC ∆ ADC chiều cao vẽ từ A ⇒ S ( ABC ) BC = S ( ADC ) DC H1 b/ Hình bên (H2) AB//CE ⇒ đường cao từ A từ B đến CE ⇒ C D B A S ( ADE ) ED = S ( BCE ) CE B H2 C E D Tính chất 2: Nếu hai tam giác có chiều cạnh đáy(hoặc cạnh đáy nhau) tỉ số hai diện tích tỉ số hai chiều cao tương ứng VD: A Hình bên (H3) ∆ ABD ∆ ACD có đáy AD ⇒ S ( ADB ) BH = S ( ADC ) CF H3 B H C D F Tính chất 3: E µ Â+ D µ = 1800 Cho ∆ ABC ∆ DEF có Â= D S ABC AB AC = S DEF DE.DF µ Chứng minh: TH 1: Â= D Trên tia AB, AC lấy điểm M N cho AM = DE AN = DF ⇒ ∆ AMN = ∆ DEF ⇒ µ = 1800 TH2: Â+ D S ABC S ABC S ABC S ABN AC AB = = = S DEF S AMN S ABN S AMN AN AM BDHSG cấp huyện Hòa GV: Lương Công Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Trên tia AC tia đối tia AB lấy M N cho AM = DE AN = DF ⇒ ∆ AMN = ∆ DEF ⇒ S ABC S ABC S ABC S ABN AC AB = = = S DEF S AMN S ABN S AMN AN AM Ví dụ: S ( ACB) AB AC = S ( ADE ) AD AE S ( ACB ) AB AC = H5: Có Â = Â’ ⇒ S ( A ' B ' C ') A ' B ' A ' C ' H4 H6 ⇒ A A A' E D B B C C B' C' H5 H4 D E A B H6 C 3/Chú ý số tính chất thường dùng tốn diện tích 1/ Hệ định lý Ta let: AB AC BC = = Hình bên BC // DE ⇒ BE CD BC + DE D E A B C BDHSG cấp huyện Hòa GV: Lương Công Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh H1 d P IA=x CK=z BJ=y A I N J C M B H2 K 2/ Định lý Menelaus ∆ ABC điểm M; N;P nằm đường thẳng chứa cạnh ∆ Nếu M;N;P thẳng hàng MB PC NA =1 MC PA NB C/m: Vẽ AI; BJ; CK vng góc với đường thẳng d Đặt AI =x; BJ = y; CK = z ta tính mồi tỉ số định lý theo x;y;z nhân lại sẻ KL ( Chú ý ĐL dùng nhiều diện tích, Nhưng phải phát biểu dạng bổ đề, chứng minh Áp dụng II/ BÀI TẬP Bài tập 1: Cho ∆ ABC, cạnh BC lấy K cho cho KB = , cạnh AC lấy H KC HA = Gọi O giao điểm AK BH Biết SABC = S Tính SAOB? HC Giải: ∆ ABK ∆ ABC đường cao vẽ từ A ⇒ A S ( ABK ) BK = = ⇒ S(ABK) = S:3 S ( ABC ) BC H ∆ AOB ∆ ABK đường cao vẽ từ B ⇒ O S ( AOB) AO = Vì ta cần tính tỉ AO:AK S ( ABK ) AK + Phát biểu C/m ĐL Menelaus C B K + Trong ∆ AKC có điểm thẳng hàng nằm cạnh điểm H;O B nên theo định lý Menelaus ta có S ( AOB) AO OA BK HC OA OA = =1⇔ =1⇔ =1 ⇔ =1/2 S ( ABK ) AK OK BC HA OK OK BDHSG cấp huyện GV: Lương Công Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Hòa ⇒ S(ABO) = 1/2 S(ABK) = S:6 Chú ý toán dùng Talet ( Khơng dùng Menelaus) Nhưng tập dùng Menelaus Thời gian sẻ quen thấy gọn Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD có diện tích S Gọi M trung điểm BC, AM cắt đường chéo BD Q Tính SMQDC theo S Gọi N trung điểm AD Ta có: NP, MQ, MI đường trung bình ∆ ADQ, ∆ BCP ∆ BCK nên BQ = QP = PD BQ MI BM = , = = BD CK BC S BMQ MI BQ MI BQ 1 = = = = S BCD CK BD CK BD ⇒ S BMQ = S BCD 1 1 Lại có: SBCD = SABCD = S ⇒ S BMQ = S = S 2 12 1 ⇒ SMQDC = SBCD – SBMQ = S – S = S 12 12 Bài tập 3: Trên cạnh AB, BC, AC ∆ ABC ta lấy lần ⇒ P cho: lượt điểm M, N, AM BN CP = = = k (k > 0) MB NC PA a/ Biết SABC = S Tính SMNP theo S k b/ Tìm k biết SMNP = S AM AM MB AB AM k =k⇒ = = ⇒ = MB k k +1 AB k + BM AB − AM k ⇒ = = 1− = AB AB k +1 k +1 BN CP AM k = = = Tương tự: ; BC AC AB k + CN AP BM = = = BC AC AB k + 1 MH AP S AMP MH AP k k = = = ⇒ S AMP = S 2 S ABC BK AC ( k + 1) ( k + 1) BK AC k k Tương tự: S BMN = (k + 1)2 S ; SCNP = (k + 1) S k k − k +1 ⇒ S MNP = S ABC − ( S AMP + S BMN + SCNP ) = S − S = S (k + 1) (k + 1) a/ Ta có: BDHSG cấp huyện GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Hịa k − k +1 = ⇔ (k2 – k + 1)4 = k2 + 2k + ⇔ k2 – 2k + = (k – 1) = b/ SMNP = S ⇒ (k + 1) 4 ⇔ k=1 Bài tập 4: Cho ∆ ABC cân C, cạnh AB = , đường cao CH = Gọi M trung điểm HB, N trung điểm BC; AN cắt CM K, O giao điểm CH AN a/ Tính SAOH b/ Chứng minh: KA = 2.KM a/ ∆ ABC cân C, CH ⊥ AB ⇒ HA = HB Lại có: NB = NC nên O trọng tâm ∆ ABC CH = , HA = HB = 3 1 = OH AH = = 2 12 ⇒ OH = SAOH b/ Chứng minh: KA = 2.KM gợi ý: Vì HA = 2.HM nên ta C/m: KA HA = KM HM Muốn ta C/m : KH phân giác góc AKM Vẽ HI ⊥ KM HJ ⊥ KA ∆ OHA vuông H sẻ tính HJ ∆ CHM vng H tính HI Bài tập 5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Đường trung trực AB cắt BD AC O1 O2 Biết O1B = a, O2A = b Tính diện tích hình thoi theo a b gợi ý: B Gọi trung điểm AB M I giao điểm đường chéo hình thoi.AB = x M AC.BD IA AB = x ⇒ IA2= ∆ O2MA~ ∆ BIA ⇒ IA= 2b x2 ⇒ IB2= ∆ BMO1 ~ ∆ BIA ⇒ IB= 2a Ta có S ( ABCD) = C O2 I A D O1 Từ IA2 +IB2 = x2 tính x2 ⇒ tính IA;IB S Bài tập 6: Một hình thang có đường chéo vng góc với Tính diện tích hình thang biết độ dài đường chéo đường cao gợi ý: A Từ B vẽ đường thẳng song song AC cắt đường thẳng DC E ⇒ BE = AC( ABEC hình bình hành) Vẽ BH ⊥ CD ⇒ BH = Nếu AC = ⇒ BE = Chú ý ∆ DBE vuông ( suy từ GT) tính BD ⇒D S B H C E BDHSG cấp huyện GV: Lương Công Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Hòa Nếu BD =5 ∆ DBE tính BE ⇒ AC ⇒ S Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD, M điểm cạnh CD, AM cắt BD O Chứng minh rằng: SABO = SDMO + SBMC Kẻ MN // BC, ta có BCMN, ANMD hbh Lại có: SBCM = SMNB, SANM = SMDA (Cminh được) Nên: SABM = SMNB + SANM 1 SBCMN + SANMD = SABCD 2 Hay SABO + SBOM = SABCD (1) Mặt khác: SBCD = SDAB, tức SBCD = SABCD Hay SBCM + SBMO + SDMO = SABCD (2) = Từ (1) (2) suy ra: SABO = SDMO + SBMC Bài toán 8: Cho ∆ ABC, cạnh AB AC lấy hai điểm M N tương ứng cho MB , AN = NC , O giao điểm CM BN Chứng minh: SBOC = SAMON BM BM BM = ⇒ = = Ta có: AM AB AM + BM AN AN AN = ⇒ = = NC AC AN + NC SBMC MH.BC MH BM 3 = = = = ⇒ SBMC = SABC SABC AK.BC AK AB 5 SABN AN 3 = = ⇒ SABN = SABC Tương tự: SABC AC 5 AM = Suy ra: SBMC = SABN (1) Mặt khác: SABC = SAMON + SBMC + SONC = SBOC + SABN + SONC (2) Từ (1) (2) suy ra: SAMON = SBOC (đpcm) Bài tập 9: Cho ∆ ABC với ba trung tuyến AE, BM CF 1/ Chứng minh tồn tam giác với độ dài ba cạnh độ dài đoạn AE,BM,CF A 2/ Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh độ dài đoạn AE, BM, CF theo S = SABC a/Gọi G trọng tâm ∆ ABC Trên tia đối tia EG lấy K choEK = EG M F G C B E K BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Xét ∆ BGK có : 2 BM; cạnh GK = GA = AE; 3 cạnh BK = CG = CF Cạnh BG = ⇒ Tồn tam giác có độ dài cạnh đường trung tuyến ∆ ABC ∆ BGK Ta vẽ ∆ PQT ~ ∆ BGK với tỉ đồng dạng 3 ⇒ PQ = BG= BE=BE .Vậy tồn 2 ∆ PQT thỏa yêu cầu đề b/Gọi diện tích ∆ ABC = S Dể C/m: S(BGE) = S : ⇒ S(BGK) = (2S) : = S :3 S ( PQT )   9 S =  ÷ = ⇒ S ( PQT ) = S ( BGK ) = = S Ta có : S ( BGK )   4 4 Bài tập 10: Cho tứ giác lồi ABCD, M N trung điểm AB CD, AN cắt MD P, BN cắt MC Q Chứng minh: SMPNQ = SAPD + SBQC B M gợi ý: a A c gP Q d b gọi diện tích đa giác BMQ; BCQ; AMP;MPNQ;NQC;DPN;APD f e a,b,c,d,e,f,g D Ta có S(MDB) = ½S(ADB) N C S(BND) = ½S(BCD) S(BMDN) = ½ S (với S = S(ABCD) ⇒ S(BMDN) =S(BNC) +S(AMD) ⇒ a+d+f= b+e+c+g (1) Tương tự: S(AMC) = ½S(ABC) S(ANC) = ½S(ACD) ⇒ S(AMCN) = ½ S (với S = S(ABCD) ⇒ S(AMCN) =S(BMC) +S(AND) ⇒ c+d+e= a+b+f+g (2) Từ (1) (2) ⇒ a+d+f = a+b+f+g ⇒ d = b+g (ĐPCM) B Bài tập 11: Trên cạnh AB CD tứ giác ABCD lấy cácMđiểm M N cho AM CN a A = = k (k > 0) Các đoạn thẳng AN DM cắt E, đoạn thẳng BN c AB CD E g CM cắt F Chứng minh: SMENF = SADE + SBCF F d f b e D N C BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh gợi ý: giống 10 gọi diện tích đa giác BMF; BCF; AME;MENF;NFC;DEN;AED a,b,c,d,e,f,g AM S ( ADM ) AM =k⇒ = =k AB S ( DAB) AB ⇒ S ( ADM ) = k S ( DAB) Tương tự ⇒ S ( BCN ) = k S ( DCB ) Suy ⇒ S(ADM) +S(BCN)= k.S ⇒ c+g+b+e=kS ⇔ b+g=k.S-(c+e) (1) Tương Tự: S(AMC) +S(ANC) = k.S ⇔ S(AMCN) = k.S ⇔ c+d+e = k.S ⇒ d= k.S-(c+e) (2) Từ (1) (2) ⇒ ĐPCM Bài tập 12: Trên cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác ABCD lấy điểm M, N, P, Q cho: AM CN CP AQ = = = = k (k > 0) Gọi O giao điểm MP BM BN DP DQ NQ Biết SAMOQ + SCPON = S Tính SABCD theo k S Ta kí hiệu diện tích tam giác hình vẽ S 1, S2, S3, S4, R1, có: R2, R3, R4 Ta S AM h AM h.BM ⇒ 1= =k ; R1 = R1 BM 2 ⇒ S1 = kR1 (1) S1 = Tương tự: S = kR2 (2); S3 = kR3 (3); S = kR4 (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: S = SAMOQ + SCPON = S1 + S2 + S3 + S4 = k(R1 + R2 + R3 + R4) = k(SBNOM + SDQOP) Suy ra: SBNOM + SDQOP = k +1 ⇒ S ABCD = S + S = S k k S k Bài tập 13: Trên cạnh AB, BC, AC ∆ ABC lấy điểm D, E, F cho AD BE CF = = = k (k > 0) Gọi G trọng tâm ∆ ABC Cm: SGFAD = SGDBE = SGECF DB EC FA = SABC BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh AD AD DB AD + DB AB =k⇒ = = = DB k k +1 k +1 k ⇒ AD = AB k +1 k AB = AB BD = AB – AD = AB – k +1 k +1 k k BC;CF = AC Tương tự: BE = k +1 k +1 1 CE = BC;AF = AC k +1 k +1 Do G trọng tâm ∆ ABC nên: SABC (Cminh được) 1 k 1 AB + GK SGFAD = SADG + SAGF = GH.AD + GK.AF = GH AC = 2 k +1 k +1 k k 1 = SAGB + SAGC = ( + )SAGB = SAGB = SABC k +1 k +1 k +1 k +1 1 Tương tự: SGDBE = SABC ; SGECF = SABC Vậy SGFAD = SGDBE = SGECF = SABC 3 SAGB = SBGC = SAGC = Bài tập 14: Cho ∆ ABC Trên cạnh BC, AC AB điểm A1, B1, C1 cho BA1 = 1 BC , CB1 = CA , AC1 AB ; AA1 CC1 cắt P, đồng thời hai lấy = đường cắt BB1 M N Chứng minh: SMNP = SA1MB + SB1CN + SC1AP Ta có: SMNP = SABC – ( SAA B + SAPC + SA MNC ) = (S AA1B S ABC + SAC1C − SAC1P + SBB1C − SBA1M − SCNB1 ) – = SABC – ( SAA B + SAC C + SBB C ) + SAC P + SBA M + SCNB Mặt khác: SAA1B SABC SAA1B = 1 1 SAC1C AC1 BA1 1 = ⇒ SAA1B = SABC ; = = ⇒ SAC1C = SABC ; BC 6 SABC AB 2 BA1 1 = ⇒ SAA1B = SABC SABC BC 6 Suy ra: SAA1B + SAC1C + SBB1C = SABC ⇒ SMNP = SA1MB + SB1CN + SC1AP = Bài tập 15: Cho tứ giác ABCD Gọi A1, B1, C1, D1 trung điểm cạnh BC, CD, AD AB ; CC1 cắt BB1 DD1 P Q ; AA1 cắt BB1 DD1 N M Chứng minh: SMNPQ = SAMD1 + SBNA1 + SCPB1 + SDQC1 gợi ý: BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Gọi diện tích đa giác :AMD1; MD1BN; B NA1; NA1CP; PNMQ;MQC1A; CPB1; PB1DQ; DQC1 a;b;c;d;e;f;g;h;k Tương tự 10 chứng minh S(BB1Đ1) = S: ⇒ S(BB1DD1) =S( BB1C) +S(ADD1) ⇔ b+e+h=c+d+g+a+f+k tương tự S(AC1CA1)=S:2 ⇒ S(AC1CA1)=S(ABA1) +S(CDC1) ⇔ f+e+d=a+b+c+g+h+k ⇒ b+e+h= a+b+c+g+h+k ⇒ e= a+c+g+k B D1 A a b M c N f A1 e C1 k Q d h P g D B1 Hình 15 C Bài tập 16: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC CD lấy hai điểm tương ứng M N cho CN MB = Đường chéo BD cắt AM AN P Q ND MC Chứng minh: SAMN = 2.SAPQ gợi ý: Đặt Ta CN MB ND ND MB k MB k = = ⇒ = = ⇒ = =k suy ; ND MC CN k CD k + MC BC k + S ( AMN ) AN AM có : = S ( APQ ) AP.AQ AN AB + ND DN k+2 = =1+ =1+ = AQ AB CD k +1 k +1 AM BM + AD BM k 2(k + 1) = =1+ =1+ = Từ ta có ĐPCM AP AD BC k+2 k+2 10 BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh A B P M Q D C N Hình 16 Bài tập 17: Cho ∆ KLM Trên hai cạnh KL LM lấy hai điểm A B cho KA: AL = 1:3 LB : BM = 4:1 Gọi C giao điểm KB MA Biết S KLC = Tính diện tích ∆ KLM? gợi ý: Từ SKLC = AK : AL = 1:3 ta tính SKAC) = ½ ; S( CAL) = 3/2 Muốn tính diện tích ∆ KLM ta cần tính diện tích CKM CLM Muốn ta cần tính CA: CM Trong ∆ ALM có C;B;K nằm cạnh thẳng hàng nên theo Định lý Menelaus ta CA BM KL CA CA =1⇔ =1⇒ = CM BL KA CM CM S ( KCA) CA = = ⇒ S ( KCM ) = S ( KCA) = S ( KCM ) CM 5 Ta có : S ( LCA) CA = = ⇒ S ( LCM ) = S ( LCA) = S ( LCM ) CM 5 Từ tính diện tích ∆ KLM K A C M L Hình 17 B Bài tập 18: Cho ∆ ABC với độ dài ba cạnh BC = a, AC = b AB = c Gọi F giao điểm phân giác AD CE Tính tỉ số diện tích ∆ DEF ∆ ABC theo a, b, c 11 BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh gợi ý: S ( DEF) S ( DEF) S ( ADE ) S ( ADB ) DF AE BD = = = (*) S ( ABC ) S ( ADE ) S ( ADB ) S ( ABC ) AD AB BC Chú ý khoảng cách từ chân phân giác đến đỉnh ∆ ln tính theo độ dài cạnh( Bằng cách dùng tính chất phân giác) Vậy: ∆ ABC tính AE;BE;DC; BD Cịn ∆ ADC có FD CD FD = tính theo a;b;c ⇒ tính theo a;b;c Sau FA AC AD thay kết vào (*) A E B F C D Hình 18 AC = k (k ≠ 1) Các phân giác tam AB SABC ( k + 1) = giác cắt cạnh AB, BC, AC M, N, P Chứng minh: SMNP k Bài tập 19: Cho ∆ ABC cân C, biết gợi ý: Ta có MA = MB ; Ta có PC CB k CP k CN k = = ⇒ = = PA AB CA k + CB k + S ( MNP ) S ( ABC ) − [ S (CPN ) + S ( APM ) + S ( BMN ) ] = = S ( ABC ) S ( ABC )  S (CPN ) S ( APM ) S ( BMN )   CP.CN AM AP BM CN  =1−  + + = 1−  + +  AB.BC   CA.CB AB AC  S ( ABC ) S ( ABC ) S ( ABC )   k2 1 1  k =1−  + +  = = 2 k + k +  ( k + 1)  ( k + 1) 12 BDHSG cấp huyện Hòa GV: Lương Công Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh C N P A B M Hình 19 Bài tập 20: Trong ∆ ABC, đường thẳng qua đỉnh A cắt cạnh BC K cắt đường trung tuyến BM I cho S BI = Tính ABK ? SABC IM gợi ý: Ta cần tính KB: KC ∆ MBC có K;I;A thẳng hàng nằm cạnh theo định lýMenelaus ta KB AC IM KB 2 KB =1⇔ =1⇔ = ⇒ S(ABK) : S(ABC) = KB: BC = 1:5 KC AM IB KC 1 KC A M I B C K Bài tập 21: Hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB = 5CD Phân giác góc · ABC cắt cạnh AD E cho EA = 3ED Đoạn thẳng BE chia hình thang thành hai đa giác Tính tỉ số diện tích hai đa giác gợi ý: C Đặt CD = x ⇒ AB = 5x D Vẽ DH EK vng góc AB ⇒ DH//EK ⇒ EK:DH= AE: AD= 3:4 ⇒ EK=3y DH = 4y E Ta có S(BCDE) : S(BEA) = ( x + x ) y : x.3 y = 2 B H K A 13 BDHSG cấp huyện GV: Lương Công Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Hòa Bài tập 22: Cho ∆ ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm P, Q (P B Q), cạnh AC lấy điểm R cho BP: PQ: QC = 1: 2: AR: RC = 1: Gọi T K giao điểm BR với AP AQ Tính SPQKT SABC gợi ý: Ta có S(APQ):S(ABC) = PQ:BC= 2:6=1:3 ⇒ S(APQ) = S ( ABC ) Ta cần tính S(ATK) :S(APQ)=(AT.AK): (AP.AQ) ∆ APC có R;T;B thẳng hàng nằm đường thẳng chứa cạnh ⇒ TA BP RC TA TA TA =1⇔ =1⇔ = ⇒ = TP BC RA TP TP AP ∆ AQC có R;K;B thẳng hàng nằm đường thẳng chứa cạnh ⇒ KA KA BQ RC KA KA = =1⇔ =1⇔ = ⇒ AQ KP BC RA KP KP S ( PQKT ) S ( PQKT ) S ( PQKT ) S ( ATK ) 3 = ⇔ = ⇔ = = = ⇒ S ( ABC ) Vậy : S ( APQ) S ( ABC ) 24 S ( APQ ) A R K T B C Q P Bài tập 23: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình thang ABCD với đáy lớn CD Các đường thẳng kẻ từ A B song song BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E 1/ Chứng minh: EF // AB 2/ AB2 = EF.CD 3/ Gọi S1, S2, S3 S4 diện tích ∆ OAB, ∆ OCD, ∆ OAD ∆ OBC Cm: S1 S2 = S3 S4 (Trích đề thi HSG huyện Ninh Hoà năm học 2006 – 2007) gợi ý: a/ Ta có CE’=AB=DF’ =x EA AB x FA AB x = = ; = = EE ' DE ' x + E ' F ' FC CF ' x + E ' F ' EA FA ⇒ = ⇒ EF / / CE ' EE ' FC A B O F E b/Ta có: 14 D F' E' C BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh EF EF AE AB AB AB = = = = = AB E ' C AE ' AB + DE ' E ' C + DE ' CD ⇒ AB2 = EF.CD c/ S3 OA S1 = = ⇒ S1 S2 = S S4 S OC S Bài tập 24: Cho ∆ ABC có cạnh Trên cạnh AC lấy điểm D E · · cho ABD = CBE = 200 Gọi M trung điểm BE N điểm cạnh BC cho BN = BM Tính ∆ BCE + ∆ BEN (Trích đề thi HSG huyện Ninh Hồ năm học 2008 – 2009) gợi ý: ∆ BAD= ∆ BCE (g-c-g) ⇒ BD=BE Trên AB BC lấy T K cho BE= BK=BD=BT Ta cm N trung điểm BK , ∆ BEK= ∆ BDE = ∆ TBD ⇒ S(BEK)=S(BDE)=S(TBD)=x ∆ ATD= ∆ CKE ⇒ S(ATD)=S(CKE)=y Vậy S = S(ABC) = 3x+2y Ta C/M S(BEN) = x:2 x Ta có S( ∆ BCE) + S( ∆ BEN)=x+y+ = x + y S 3⇒ S x+ y= = S( ∆ BCE) + S( ∆ BEN)= = 2 Mà S=3x+2y ⇒ A T D E M B N K C Bài tập 25: Cho hình vng ABCD có cạnh 1, I trung điểm AD, M điểm cạnh CD, MA MB cắt IC J K Đặt DM = x (0 < x < 1) Tính diện tích ∆ MJK theo x (Trích đề thi HSG tỉnh KHánh Hoà năm học 2008 – 2009) gợi ý: 15 BDHSG cấp huyện Hòa GV: Lương Công Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Ta có SMAB = ½ AB.AD= ½ SMJ K MJ MK = SMAB MA MB (*) Vì ta tìm cách tính tỉ số: MJ :MA MK:MB Trong ∆ AMD có điểm nằm đường thẳng chứa cạnh thẳng hàng điểm J,I C Theo định lý Men ne la us ta có : J M IA CD JM JM = 1⇔ = 1⇒ = 1− x J A ID CM J A 1− x JA ⇒ JM MA = 1− x 2− x Kéo dài CI cắt đường AB E ⇒ ∆ IDC = ∆ IAE ⇒ AE = Trong ∆ MAB có K;J;E thẳng hàng EB J A KM KM 1− x = 1⇔ = 1⇒ = KB EA J M KB 1− x KB KM ⇒ KM MB = D 1− x I 3− x Lấy kết thay vào (*) E A C M K J B Bài tập 26: Trên cạnh BC AB ∆ ABC lấy hai điểm A1 C1, AA1 CC1 cắt O Gọi diện tích ∆ ABC, ∆ A1BC1, ∆ A1C1O ACO S, S1, S2, S3 Chứng minh rằng: S S3 = S1 S2 A O C1 S3 S2 S1 B A1 C Hình 26 gợi ý: Ta có S AB.BC S3 AO.OC = ; = (*) S1 BC1 BA1 S2 OA1 OC1 ∆ AA1B có điểm nằm cạnh thẳng hàng C;C1 O nên ta có: OA CA1 C1 B OA CB C1 A =1⇔ = (1) OA1 CB C1 A OA1 CA1 C1 B ∆ BCC1 có điểm nằm cạnh thẳng hàng A;A1 O nên ta có: 16 BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh OC AC1 A1 B OC AB A1 C =1⇔ = (2) OC1 AB A1 C OC1 AC1 A1 B Thay (1) (2) vào (*) ta có ĐPCM Bài tập 27: Cho ∆ ABC Qua điểm E nằm cạnh AC kẻ đường thẳng song song với AB BC cắt BC AB F D Chứng minh rằng: 1/ SBDEF = SADE SEFC 2/ SABC = SADE + SEFC A D E C B F Hình 27 a/ Gọi S(BEF) = S1 ; S(BED) = S2 C/m S1 = S2 ⇒ ĐPCM ⇔ 2S1 = SADE SEFC ⇔ S1 = SADE SEFC ⇔ S12 = S( ADE) S(EFC) ⇔ S2 S (EFC ) DB FC = ⇔ = S ( ADE ) S1 DA BF Thật Ta có DE//BC ⇒ BD EC FC EC = = Ta có EF//AB ⇒ từ suy ĐCCM DA AE BF AE b/ S(ABC) = S(ADE)+S(EFC) +S(BDEF)= S(ADE)+S(EFC+ SADE SEFC S(ABC)= ( S ( ADE ) + S (EFC ) ) ⇒ ĐCCM Bài tập 28: Qua điểm nằm tam giác kẻ đường thẳng song song với cạnh tam giác Các đường thẳng chia tam giác thành phần, có tam giác với diện tích S1, S2, S3 Tính diện tích tam giác cho theo S1, S2, S3 A I D E S2 S1 H O S3 B F Hình 28 C G 17 BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Tương tự câu a 27 ∆ DGB ta S(BFOE)=2 S1 S3 Trong ∆ IFC có S(OHCG) = Trong ∆ AEH có : S(ADOI) =2 S S3 S1 S Từ ⇒ S(ABC) = ( S1 + S + S3 ) Bài tập 29: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB;BC;CA lấy điểm K;L;M cho tam giác KLM vuông cân K Xác định vị trí K;L;M cho diện tích tam giác LKM đạt giá trị nhỏ (Trích Đề thi học sinh giỏi thành phố Nha Trang năm 2011-2012) Gợi ý: (Tự vẽ hình) Vẽ LH vng góc AB c/m : VAMK = VHKL ⇒ HL =AK, HK=AM Có HL = HB 1 AB = ( AK + HK ) = ( AK + AM 2 5 ≤ ( AK + AM ) = MK = 5S KLM 2 S ABC = ) = 5( AK + AM ) − ( AK − AM ) ) ( Bài tập 30: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 450 cho cạnh góc cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: S∆MEF < S ∆ABC – 2010) (Trích đề thi HSG huyện Ninh Hoà năm học 2009 B P E A M x N K Q F C Hình 31 Kẻ MP ⊥ AB P, MQ ⊥ AC Q Kẻ Ex // AC, Ex cắt MQ K cắt MF N ⇒ MPEK hình chữ nhật Do ∠ EMF = 450 nên tia ME, MF nằm hai tia MP MQ S MPEK = SQAEK ( S ∆FEN < S ∆QEK có chiều cao đáy EN bé đáy ⇒ S ∆MEN < S ∆MEK = S∆FEN < S ∆QEK EK) 18 BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh 2 Suy ra: S ∆MEN + S ∆FEN < S APMQ ⇔ S ∆MEF < S APMQ (*) Chứng minh được: S∆MAP = S ∆MAB S ∆MAQ = S∆MAC ⇒ S APMQ = S ∆ABC (**) Từ (*) (**) ta có: S∆MEF < S ∆ABC Bài 31: Gọi O giao điểm đường chéo tứ giác ABCD Cho biết diện tích ∆ AOB = 4cm2, diện tích ∆ COD = 9cm2 Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD(Trích đề thi HSG huyện Ninh Hoà năm học 2011 – 2012) B A S2 O S1 C Hình 32 D Gọi diện tích tam giác hình vẽ S1 OA = = ⇒ S1 S = 36 Ta có S(ABCD) =4+9+S1+S2 ≥ 13+ S1 S =25( Cô Si) OC S Dấu “=” xảy ⇔ S1 = S2 ⇒ S(ACD) = S(BCD) ⇒ AB//CD Vậy S(ABCD) = 25 ABCD hình thang hai đáy AB CD Bài 32: Cho hình vng ABCD, hai tia Ax Ay quay quanh A ln tạo với góc 450, chúng cắt cạnh BC, CD E F Xác định vị trí tia Ax Ay để diện tích tam giác AEF nhỏ (Trích đề thi HSG huyện Vạn Ninh năm học 2009 – 2010) A B E x I H P K D Q C F y Trên tia đối tia DC lấy DK = BE ⇒ ∆ABE = ∆ADK (c.g c) · · ⇒ ∆EAF = ∆KAF (AFchung;AE=AK; KEF = EAF = 450 ) ⇒ ·AFE = ·AFK Kẻ AH vng góc EF ⇒ AH = AD (khơng đổi)Vậy S AEF nhỏ EF nhỏ nhất, mà EF = KF Ta chứng minh tam giác AKF cân A KF nhỏ Thật xét tia qua A tạo với góc 450 cắt đường thẳng CD P Q, giả sử AQ < AP Ta chứng minh PQ > KF 19 BDHSG cấp huyện Hịa GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh Trên tia AP lấy điểm I cho AI = AQ ⇒ ∆AIK = ∆AQF (c.g.c) ⇒ KI = FQ (1) · · µ ⇒ PK > IK (2) Ta có PIK > IKA = ·AFK = ·AKF > P Từ (1) (2) suy PK > FQ Do PQ > KF Vậy S AEF nhỏ EF lấy giá trị nhỏ DF = BE, nghĩa EF // BD, Ax, Ay hai tia phân giác góc BAC CAD Bài 33: Cho ABCD tứ giác lồi , có đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác có diện tích Chứng minh ABCD hình bình hành (Trích đề thi HSG huyện Vạn Ninh năm học 2005 – 2006) Vì AC chia tứ giác thành hai tam giác có diện tích Vẽ DE ⊥ AC E BF ⊥ AC F (*) 2 Từ (*) DE / / BF BF = DE (cmt) ⇒ DEBF hình bình hành ⇒ OB=OD (1) Vì S ABC = S ADC ⇔ BF AC = DE AC ⇔ BF = DE Tương tự: Đối với đường chéo BD ta chứng minh OA=OC (2) Từ (1) (2) ta có ĐCCM Cho ∆ ABC có góc B góc C hai góc nhọn, BC = a, đường cao AH = h Lấy M ∈ AB, N ∈ AC, dựng hình chữ nhật MNPQ với P, Q ∈ BC Xác định vị trí M, N để hình chữ nhật có diện tích lớn (Trích đề thi HSG huyện Ninh Hồ năm học 2012 – 2013) Bài tốn 34: Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AD; BE;CF cắt H Chứng minh rằng: a) HB.HC HA.HC HA.HB BC AC AB + + = b) + = AB AC BC AB AC.BC AH HB FH Giải: · · · a)Ta có ·ACB + ·AHB = 1800 ; BAC + BHC = 1800 ; ABC + ·AHC = 1800 Theo tốn ta có HB.HC HA.HC HA.HB S HBC S HAC S HAB S ABC + + = + + = =1 AB AC BC AB AC.BC S ABC S ABC S ABC S ABC b)Phân tích: Nhìn vào hệ thức cần chứng minh ta chưa biết vận dụng tỉ số diện tíc tam giác nào, Vì ta cố gắng nghĩ cách đưa dạng giống câu a cách 20 BDHSG cấp huyện Hịa nhân hai vế cầnC/m với: GV: Lương Cơng Hiển- THCS Văn Lang- Vạn Ninh – Khánh HA.HB.HF Ta hệ thức cần chứng minh sau đây: AB.BC AC HB.HF HA.HF HA.HB + = AB AC AB.BC AC.BC · · · ·ACB + ·AHB = 1800 Áp dụngbaif1 được: = BHF ; ·ABC = AHF; Dễ dàng C/m: BAC S HBF + S HAF = S HAB ⇒ ⇒ S HBF S HAF S HAB HB.HF HA.HF HA.HB + = ⇒ + = S ABC S ABC S ABC AB AC AB.BC AC.BC BC AC AB + = AH HB FH 21 ... tập 28: Qua điểm nằm tam giác kẻ đường thẳng song song với cạnh tam giác Các đường thẳng chia tam giác thành phần, có tam giác với diện tích S1, S2, S3 Tính diện tích tam giác cho theo S1, S2, S3... ABCD có hai đáy AB CD với AB = 5CD Phân giác góc · ABC cắt cạnh AD E cho EA = 3ED Đoạn thẳng BE chia hình thang thành hai đa giác Tính tỉ số diện tích hai đa giác gợi ý: C Đặt CD = x ⇒ AB = 5x D... tứ giác ABCD Cho biết diện tích ∆ AOB = 4cm2, diện tích ∆ COD = 9cm2 Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD(Trích đề thi HSG huyện Ninh Hoà năm học 2011 – 2012) B A S2 O S1 C Hình 32 D Gọi diện