TOAN 8 DIỆN TÍCH đa GIÁC

Hình học CHỦ ĐỀ 10 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Mỗi đa giác có diện tích xác định Diện tích đa giác số dương có tính chất sau: + Hai tam giác có diện tích + Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác + Hình vng cạnh có độ dài có diện tích Các cơng thức tính diện tích đa giác + Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước S = a.b (a, b kích thước hình chữ nhật) + Diện tích hình vng bình phương cạnh S = a2 (a độ dài cạnh hình vng) a b a a d Chú ý: Diện tích hình vng có đường chéo dài d + Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng S a.b (a , b độ dài hai cạnh góc vng) + Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S (a, h độ dài cạnh đường cao tương ứng) b a h h a c  a  b  h + Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao: S = ( a, b độ dài hai đáy, h độ dài đường cao) a.h Hình học + Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = a.h (a, h độ dài cạnh đường cao tương ứng) h h a b d1.d + Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc nửa tích hai đường chéo: S = (d1 ; d2 độ dài hai đường chéo tương ứng) + Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo d1.d 2 S= (d1 ; d2 độ dài hai đường chéo tương ứng) d2 d2 d1 d1 Bổ sung + Hai tam giác có chung cạnh (hoặc cặp cạnh nhau) tỉ số diện tích tỉ số hai đường cao ứng với cạnh + Hai tam giác có chung đường cao(hoặc cặp đường cao nhau) tỉ số diện tích tỉ số hai cạnh ứng với đường cao + Tứ giác ABCD hình thang( AB // CD) Hai đường chéo AC BD cắt O S AOD  S BOC + Trong cách hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn + Hai hình chữ nhật có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy a2 + Tam giác cạnh a có diện tích B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG I/ MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 6,8 cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC Hình học a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác EHIK Giải Tìm cách giải Dễ dàng tính diện tích hình chữ nhật ABCD Mặt khác, đề xuất nhiều yếu tố trung điểm nên vận dụng tính chất : hai tam giác có chung đường cao tỉ số diện tích tỉ số hai cạnh đáy ứng với đường cao Từ rút nhận xét: đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích Từ nhận xét quan trọng đó, tính diện tích tam giác BCD, BCE, DBE, BEH, ECH, HKC, CKI, Trình bày lời giải B A a) ABCD hình chữ nhật nên 1 SBCD  SABCD = AB.AD= 12.6,8  40,8cm 2 H E trung điểm CD, suy ra: SBDE  SBCE  SBCD  20,4cm I D E K C 1 � SCHE  SBCE  20,4  10,2cm 2 b) H trung điểm BC � SHKC  SCHE  5,1cm K trung điểm CE � SCKI  SHKC  2,55cm I trung điểm CH Vậy SEHIK  SCHE  SCIK  10,2  2,55  7,65cm Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O trung điểm đường cao AH Các tia BO CO cắt cạnh AC AB D E Tính S ADOE ? Tìm cách giải Để tính diện tích tập học sinh phải nhận thấy S ABC biết nên ta cần tìm mối quan hệ SADOE với SABC Lại có H O điểm đặc biệt đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm mối quan hệ cách lấy thêm điểm N trung điểm DC Trình bày lời giải Gọi N trung điểm CD Hình học => AD = DN = NC = AC S AOD AD   S AC (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) => AOC => SAOD = SAHC (1) S AOC AO   S AHC AH (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) Mà SAHC = SABC (Chung chiều caoAH) (2) Từ (1) (2) => SAOD = 12 SABC Mà SAOE = SAOD => SADOE = SAOD = SABC Áp dụng đlí Pitago vào AHC vng H => AH = 4cm => SABC AH.BC 4.6  12cm2 2 = Vậy SADOE = 12 = cm2 Ví dụ Cho hbh ABCD có diện tích Gọi M trung điểm BC, AM cắt BD Q Tính diện tích MQDC ? Tìm cách giải Hs cần nhận thấy SABCD = nên dễ dàng suy SBCD = Để tính SMQDC phải thơng qua SBCD SBMQ Do ta cần phải tìm mối quan hệ SBMQ với SBCD Để tìm mối liên hệ ta phải xét xem Q nằm BD có vị trí đặc biệt khơng cách lấy thêm điểm N trung điểm AD Trình bày lời giải Lấy N trung điểm AD Chỉ AMCN hình bình hành => AM // CN Hình học => QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình) => BQ = QE = ED => SBMQ 1 = SBCQ ; SQBC = SBCD => SBMQ = SBCD 5 => SMQDC = SBCD = 12 SABCD = 12 Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh BC lấy M: BM = BC Trên cạnh CD lấy N cho CN = CD a) Tính SAMN theo SABCD b) BD cắt AM P, BD cắt AN Q Tính SMNQP theo SABCD Tìm cách giải (a) hs dễ dàng nhận phải sử dung tính chất 1: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác ( tính cộng) Nên để tính diện tích AMN ta có: SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN đỉnh tứ giác nằm cạnh  AMN Muốn tìm mối liên hệ rõ ràng phải thơng qua  APQ Ta nhận thấy  APQ  AMN có hai đáy thuộc đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vng góc PK MH Từ suy lời giải tốn Trình bày lời giải a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN SABM = 10 SABCD ; SCMN = 15 SABCD; SADN = SABCD 13 Do ta tính : SAMN = 60 SABCD Hình học 13 Vậy SMNPQ = 60 SABCD S APQ PK.AQ PK AQ   S AMN MH AN MH.AN b) Kẻ MH  AN ; PK  AN => PK AP  Vì PK// MH ( vng góc với AN) => MH AM.(Theo định lí Ta let) AP AD AP   Ddcm PM BM => AM= AQ AB AQ    Vì DN // AB => QN DN => AN SAPQ AP AQ 1 13    S Do AMN AM AN => SAPQ = SMNPQ = SAMN = 60 SABCD Ví dụ Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ đường phân giác AD, BE, CF Tính diện tích tam giác DEF (Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999) Tìm cách giải - Để tính diện tích  DEF ta phải tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC A Học sinh dễ dàng tính SABC, SAEF hai tam giác vng E F - Để tính SBFD, SDFC cần phải kẻ thêm đường cao Căn thêm vào giả thiết : có phân giác góc nên từ suy kẻ đường cao FH EK => FH = FA; EK = EA B Trình bày lời giải ABC có AB = 3, AC = 4, BC = Nên ddcm  ABC vuông A FA CA FA    Ta có CF phân giác ACB => FB CB => AB 4 3 => FA = => (*) SAEF == H D K C Hình học Cmtt => AE = Hạ FH  BC ; EK  BC => FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia pg góc) 15 Cmtt ta tính DB = ( Dựa vào định lí đường phân giác tam giác) 20 => DC = FH.BD 15 10   2 7 (*) SBFD = EK.DC 20 15   2 7 (*) SDFC = (*) SABC AB.AC 3.4  6 2 = => SDEF = SABC - ( SAEF + SBFD + SDFC) Vậy SDEF 10 = Ví dụ Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt O Đường trung trực AB cắt BD, AC M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích hình thoi theo a b Bài giải Gọi H trung điểm AB Dễ dàng nhận thấy: AN HN b   *) AHN ∽ MHN ( g.g) => MB HB a B H A b b HB HA => HN = a = a AH HN  *) AHN ∽ AOB (g.g) => AO OB OB HN HN b b    OA OA AH HB a a => => OB = *) AHN vuông H => HN2 + HA2 = AN2 ( Theo định lí Pitago) N O C D M Hình học b2 => HA2(1 + a ) = b2 a2b2 4a2b2 2 2 Do HA2 = a  b => AB2 = 4HA2 = a  b *) AOB vuông => OA2 + OB2 = AB2 b2 4a2b2 OA 2 => OA2 + a = a b 4a4b2 2a2b 2a b2 2 2 2 Do OA2 = (a  b ) => OA = a  b OB = a  b Mà SABCD = 2.OA.OB Vậy SABCD 8a3b3 2 = (a  b ) Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh 30cm Trên cạnh AB, BC, CD, DA thứ tự lấy điểm E, F, G, H: AE = 10cm; BF =12cm, CG = 14 cm, DH = 16cm a) Tính SEFGH 2MF 2EN b) Trên EF lấy hai điểm M, N : cho EM = , FN= 2MF Trên cạnh HG lấy hai điểm P, Q : GP = HQ = Tính SMNPQ Tìm cách giải a) Ta nhận thấy để tính SEFGH phải thơng qua A 10cm E B M SABCD, SAEH, SEBF, SFCG, SHGD hình tính diện tích N qua cơng thức học 12cm F H b) Vì tứ giác MNPQ có đỉnh nằm cạnh tứ giác EFGH vị trí đặc biệt theo gt nêu Do 16cm ta cần tìm mối liên hệ tứ giác MNPQ với EFGH Từ tính diện tích tứ giác MNPQ Trình bày lời giải a) Từ gt => EB = 20cm, CF = 18cm, DG = 16cm, AH = 14cm Q P D G 14cm C Hình học *) SABCD = 900 cm2 AE.AH EB.BF = 70 cm2; SEBF = *) SAEH = = 120cm2 SFCG FC.CG DH.DG = 126cm2; SHGD = = = 128 cm2 => SEFGH = 900 - ( 70 + 120 + 126 + 128) = 456 cm2 2 2MF EF S b) Vì EM = (gt) => EM = => SHEM = HEF => SHMF = HG HG GP = (gt) => PH = => SHFP = S HFE S HFG 3 => SHMF + SHFP = ( SHEF + SHFG) = SEFGH 1 1 HP MF Dd chứng tỏ PQ = , MN = => SMQP = SMHP ; SPMN = SMPF => SMQP 1 S EFGH S EFGH + SPMN = ( SMHP + SMPF.) = = 1 S EFGH => SMNPQ = = 456 = 91,2 (cm2) II/ BÀI TẬP VẬN DỤNG � Bài Cho hình thoi ABCD có A  60 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh đa giác EBFGDH lục giác Bài Cho tam giác ABC, O trọng tâm tam giác Gọi E, F, G điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm AB, BC, AC Chứng minh lục giác AEBFCG lục giác � � � Bài Cho ngũ giác ABCDE có cạnh A  B  C a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF ngũ giác Bài Cho ngũ giác ABCDE Gọi K giao điểm hai đường chéo AC BE a) Tính số đo góc ngũ giác b) Chứng minh CKED hình thoi Bài Cho hình chữ nhật ABCD E điểm nằm đường chéo AC Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB, DC F, G Đường thẳng qua E, song song với AB cắt AD, BC H, K Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK EGDH có diện tích Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC Vẽ BP  MN, CQ  MN (P, Q  MN) a) Chứng minh tứ giác BPQC hình chữ nhật Hình học b) Chứng minh SBPQC  SABC Bài Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh tứ giác � � ADCM ABCN có diện tích Cho hình thang vng ABCD ( A  D  90 ), AB = � 3cm, AD = 4cm ABC  135 Tính diện tích hình thang ĐS: SABCD  20cm2 Bài Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACFG, SBCHI  SABDE  SACFG BCHI Chứng minh Bài Diện tích hình bình hành 24cm Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến đường thẳng chứa cạnh hình bình hành 2cm 3cm Tính chu vi hình bình hành ĐS: PABCD  20cm Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Gọi K, O, E, N trung điểm AB, BC, CD, DA Các đoạn S  5.S MLPR thẳng AO, BE, CN DK cắt L, M, R, P Chứng minh ABCD Bài 11 Cho tam giác ABC Gọi E, F trung điểm BA, BC Lấy điểm M đoạn thẳng S S S MAC EF (M  E, M  F) Chứng minh AMB BMC Bài 12 Cho tam giác ABC cân A, điểm M thuộc đáy BC Gọi BD đường cao tam giác ABC; H K chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Chứng minh: MH  MK  BD Bài 13 Cho hình bình hành ABCD Gọi K L hai điểm thuộc cạnh BC cho BK = KL = LC Tính tỉ số diện tích của: a) Các tam giác DAC DCK b) Tam giác DAC tứ giác ADLB c) Các tứ giác ABKD ABLD ĐS: a) SDAC  SDCK b) SDAC  SADLB c) SABKD  SABLD Bài 14 Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt G Diện tích tam giác AGB 336cm Tính diện tích tam giác ABC ĐS: SABC  1008cm2 Bài 15 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = 3DA, cạnh BC lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F giao điểm AE CD a) Chứng minh: FD = FC b) Chứng minh: SABC  2SAFB Bài 16 Cho tam giác ABC, đường cao AH điểm M thuộc miền tam giác Gọi P, Q, R chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AC, AB Chứng minh: MP + MQ + MR = AH Bài 17 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Từ N kẻ đường thẳng song song với BM cắt đwòng thẳng BC D Biết diện tích tam giác ABC a(cm ) a) Tính diện tích hình thang CMND theo a Hình học b) Cho a  128cm BC  32cm Tính chiều cao hình thang CMND ĐS: a) SCMND  a(cm2) b) h  4(cm) Bài 18 Cho tứ giác ABCD Kéo dài AB đoạn BM = AB, kéo dài BC đoạn CN = BC, kéo dài CD đoạn DP = CD kéo dài DA đoạn AQ = DA Chứng minh HD: Từ SPDQ  2SDAC SMNB  2SABC SQAM  2SDAB SPNC  2SDBC , , , SMNPQ  5.SABCD  đpcm ... dàng nhận phải sử dung tính chất 1: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác ( tính cộng) Nên để tính diện tích AMN ta có: SAMN = SABCD - SABN - SCMN... 12 cm, AD = 6 ,8 cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC Hình học a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác EHIK Giải Tìm cách giải Dễ dàng tính diện tích hình chữ... diện tích N qua cơng thức học 12cm F H b) Vì tứ giác MNPQ có đỉnh nằm cạnh tứ giác EFGH vị trí đặc biệt theo gt nêu Do 16cm ta cần tìm mối liên hệ tứ giác MNPQ với EFGH Từ tính diện tích tứ giác