1 Chuyên đề : Đa thức Baứi 1: Tớnh giaự trị biểu thức: a A = x4 17x3 17x2 17x 20 taïi x = 16 b B = x5 15x4 16x3 29x2 13x taïi x = 14 c C = x14 10x13 10x12 10x11 10x2 10x 10 taïi x = d D = x15 8x14 8x13 8x12 8x2 8x taïi x = Bài 2: Tính giá trị biểu thức: 1 650 4 315 651 105 651 315.651 105 546 b N = 547 211 547 211 547.211 a M = Bài 3: Tính giá trị biểu thức: 2 3 a A = x x y y x y với x = 2; y b M.N với x 2.Biết raèng:M = 2x2 3x ; N = x2 x Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5: a x x 2 y y 2 2xy 65 b x y y 2x 75 Bài 5: Tính giá trị đa thức: x 1 y y xy 1 x2y biết x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a x a x b x b x c x c x a ab bc ca x ; biết 2x = a + b + c 2 b 2bc b c a 4p p a ; biết a + b + c = 2p Bài 7: a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia hết cho b Cho số tự nhiên a b số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hỏi tích ab có chia hết cho không? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M a a b a c ; N b b c b a ; P c c a c b Baøi 9: Cho biểu thức: M = x a x b x b x c x c x a x2 Tính M theo a, b, c, biết 2 raèng x a b c Bài 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y số nguyên A chia hết cho 13 B chia hết cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 A chia hết cho 13 Bài 11: Cho biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a Rút gọn biểu thức 7A – 2B b Chứng minh rằng: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17 Bài 12: Chứng minh rằng: a 817 279 913 chia heát cho 405 b 122n1 11n chia hết cho 133 Bài 13: Cho dãy số 1, 3, , 10, 15,…, n n 1 ,… Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy số chớnh phửụng Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a b)2 = a2 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a2 + + an )2 = = a12 a22 a2n 2(a1a2 a1a3 a1an a2a3 a2an an1an ); (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 b3 3ab(a b); (a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + b2k) ; II B¶ng c¸c hƯ sè khai triĨn (a + b)n – Tam giác Pascal Đỉnh Dòng (n 1) Dòng (n 2) Dßng (n 3) Dßng (n 4) = = = = 1 Dßng (n = 10 10 5) Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn dòng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triĨn (x + y) n thµnh tổng hệ số hạng tử số dòng thứ n bảng Ngời ta gọi bảng tam giác Pascal, thờng đợc sử dụng n không lớn Chẳng hạn, víi n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II Các ví dụ Ví dụ Đơn giản biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 4b) Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ Chứng minh đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lời giải Vì x + y + z = nªn x + y = –z (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z) T¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm) Bài tập: Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 a b x, y khác = x y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 a b c x, y, z khác th× = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Chøng minh đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính giá trị biểu thức : C = a2 + b9 + c1945 11 Hai số a, b lần lợt thỏa mÃn hệ thức sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b 12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 13 Cho x + y = a + b x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị biểu thức sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x x d, x 13 x 36 b, 3x x e, x x 18 c, x x f, x x 24 g , 3x 16 x h, 8x 30 x i, 2x x 12 k, 6x x 20 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, x3 x x 2, x x 3, x3 5x x 4, x x 5, x3 x x 16 6, 4x 13 x x 18 7, x3 x x 8, x x x 9, 6x x 486 x 81 10, x x 11, x3 x 12, x3 x 3x 13, x3 x 17 x 10 14, x x x 15, x3 x 16, 2x3 12 x 17 x 17, x3 x 18, x x x 19, x x 26 x 24 20, 2x3 x x 21, 3x3 14 x x 22, x x x x (Đa thức đà cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ) II- Phơng pháp thêm bớt hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phơng: A2 B2 = (A B)(A + B) Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, (1 x ) x(1 x ) 2, x 36 3, x 4, x 64 5, 64x 6, 81x 7, 4x 81 8, 64x y 9, x y 10, x x 4 2) Dạng 2: Thêm bớt hạng tử làm xuất thừa số chung Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: 1, x x 2, x x5 3, x x 4, x x 5, x8 x 6, x x 7, x5 x 8, x10 x5 III- Phơng pháp đổi biến Bài 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1, x( x 4)( x 6)( x 10) 128 2, (x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 24 3, ( x x 8) 3x ( x x 8) x 4, ( x x) x x 12 5, x xy y x y 15 6, (x a)( x a)( x 3a)( x 4a) a 7, x 11x 8, ( x x) 3( x x) 9, x xy y x y 10 10, ( x x) x 18 x 20 11, x xy y x y 35 12, (x 2)( x 4)( x 6)( x 8) 16 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1, x x x x 2, ( x y z )( x y z ) ( xy yz zx )2 IV- Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a, P = x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) b, Q =a(b c a) b(c a b) c(a b c) (a b c) (b c a)(c a b) Gi¶i a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = y ( y z ) y ( z y ) Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P không đổi(ta nói đa thức P hoán vị vòng quanh biến x, y, z) Do P đà chúa thùa số x y cịng chóa thõa sè y – z, z – x Vậy P phải có dạng P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải số(không chúa biến) P có bậc tập hợp biến x, y, z tích (x y)(y – z)(z – x) cịng cã bËc ba ®èi với tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thøc x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) k ( x y )( y z )( z x ) ®óng với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta ®ỵc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) Các toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M a(b c a ) b(c a b) c(a b c) (a b c)(b c a )(c a b) N a(m a) b(m b)2 c(m c)2 abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ) A ( a b c)( ab bc ca) abc b) B a( a 2b)3 b(2a b) c )C ab( a b) bc(b c) ac(a c) d ) D ( a b)( a b2 ) (b c)(b c ) ( c a)(c a ) e) E a ( c b ) b3 ( a c ) c (b a ) abc( abc 1) f ) f a (b c) b(c a) c( a b)3 g )G a 2b ( a b) b 2c (b c) a 2c (c a ) h) H a (b c) b4 (c a ) c (a b) V-Phong pháp hệ số bất định Bi 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ) A x x 12 x 14 x b) B x x x x c)C x 22 xy 11x 37 y y 10 d ) D x x 14 x x e) E x x 63 Bµi tËp: VÝ dơ Phân tích biểu thức sau thành nhân tử : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lời giải Đặt S = a + b P = ab, th× a2 + b2 = S2 - 2P ; a3 + b3 = S3 - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S2 - 2P )x + 2( S3 - 3SP ) = (x3 - S3) - (3S2x - 3S3) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x2 + Sx + S2) - 3S2(x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x2 + Sx - 2S2 + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x 2(a2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x3 + 4x2 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + ; h) x12 + ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 y5 z5 Chuyên đề: Xác định đa thức * Định lí Beout (BêZu) ứng dụng: 1) Định lí BêZu: D phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a f(a) (giá trị f(x) x = a): f ( x) ( x a)q( x) f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp) Hệ quả: Nếu a nghiệm đa thừc f(x) f(x) chia hết cho x - a áp dụng: Định lí BêZu dùng để phân tích đa thức thành nhân tư Thùc hiƯn nh sau: Bíc 1: Chän mét gi¸ trị x = a thử xem x = a có phải nghiệm f(x) không Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta cã: f ( x ) ( x a ) p( x ) Để tìm p(x) thực phép chia f(x) cho x - a Bíc 3: TiÕp tơc ph©n tích p(x) thành nhân tử phân tích đợc Sau viết kết cuối cho hợp lí Dạng 1: Tìm đa thức thơng phơng pháp đồng hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức *Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau : Nếu hai đa thức P(x) Q(x) nhau: P(x) = Q(x) hạng tử bậc hai đa thức phải có hệ số phải có hệ sè b»ng VÝ dô: P( x) ax 2bx ; Q( x) x x p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2) 2b = - (hƯ sè cđa lịy thõa bËc 1) - = - p (hƯ sè h¹ng tư bËc không hay hạng tử tự do) *Phơng pháp2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gọi thơng d phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt M(x) N(x) Khi ta cã: P( x) Q( x).M ( x) N ( x) (Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) với x nên ta cho x lấy giá trị : x ( số) Sau ta giải phơng trình hệ phơng trình để tìm hệ số hạng tử đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d) Ví dụ: Bài 1(Phần tập áp dơng) Gäi th¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã: a x 3ax x 2a ( x 1).Q( x ) Vì đẳng thức với x nên cho x = -1 ta dược: a a 3a 2a 0 a a 0 a 3 Với a = -2 A 4 x x x 4, Q( x) 4 x 10 x Với a = A 9 x x x 6, Q( x) 9 x *Ph¬ng pháp 3:Thực phép chia đa thức (nh SGK) Bài tËp ¸p dơng Bài 1: Cho đa thức A( x) a x 3ax x 2a (a �Q) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x + Bµi 2: Phân tích đa thức P( x) x x3 x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x dx 10 Bài 3: Với giá trị a b đa thức : x3 ax x b chia hÕt cho ®a thøc: x x H·y gi¶i toán nhiều cách khác Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x) x x3 21x x k chia hÕt cho ®a thøc: g ( x) x x Bài 5: Tìm tất số tự nhiên k đa thức: f (k ) k 2k 15 chia hết cho nhị thức: g (k ) k Bài 6: Với giá trị a b đa thức: f ( x) x 3x 3x ax b chia hết cho đa thức: g ( x) x 3x Bài 7: a) Xác định giá trị a, b c để đa thức: P( x) x ax bx c Chia hết cho ( x 3)3 b) Xác định giá trị a, b để đa thức: Q( x) 6 x x3 ax 3x chia hết cho đa thức M ( x) x x b c) Xác định a, b để P( x) x x x a chia hết cho M ( x) x x b Bài 8: Hãy xác định số a, b, c để có đẳng thức: x ax bx c ( x a )( x b)( x c) (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x x a chia hết cho x b) x ax chia cho x dư c) ax x chia hết cho x Bài 10: Xác định số a b cho: a) x ax b chia hết cho x x b) ax bx x 50 chia hết cho x 3x 10 c) ax bx chia hết cho ( x 1) d) x chia hết cho x ax b Bài 11: Tìm hăng số a b cho x ax b chia cho x dư 7, chia cho x dư -5 Bài 12: Tìm số a, b, c cho ax bx c chia hết cho x , chia cho x dư x (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: P( x) x x x ax b Q( x) x x Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác định a b cho đa thức P( x) ax bx chia hết cho đa thức Q( x) ( x 1) Bài 15: Cho đa thức P( x) x x ax 3x Q( x) x x b Xác định a b để P(x) chia hết cho Q(x) (23 chuyên đề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C , C3 ,, C n1 ta biểu diễn P(x) dạng: 11 P( x) b0 b1 ( x C1 ) b2 ( x C1 )( x C ) bn ( x C1 )( x C ) ( x C n ) Bằng cách thay x giá trị C1 , C , C3 ,, C n1 vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0 , b1 , b2 ,, bn Bµi tËp ¸p dơng Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0) 25, P(1) 7, P(2) Giải P ( x ) b b x b x ( x ) Đặt (1) b0 25 Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: 25 b1 b1 18 25 18.2 b2 2.1 b2 1 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P( x) 25 18 x x( x 1) P( x) x 19 x 25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0) 10, P(1) 12, P(2) 4, P(3) 1 Hướng dẫn: Đặt P( x) b0 b1 x b2 x( x 1) b3 x( x 1)( x 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x 1), ( x 2), ( x 3) dư P(-1) = - 18 Hướng dẫn: Đặt P( x) b0 b1 ( x 1) b2 ( x 1)( x 2) b3 ( x 1)( x 2)( x 3) (1) P ( 1) 0 Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P( x) P( x 1) x( x 1)(2 x 1), (1) a) Xác định P(x) b) Suy giá trị tổng S 1.2.3 2.3.5 n(n 1)(2n 1), (n N * ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : P ( 1) P ( 2) 0 P ( 2) 0, P (0) P( 1) 0 P (0) 0 P (1) P (0) 1.2.3 P (1) 6 P (2) P (1) 2.3.5 P (2) 36 Đặt P( x) b0 b1 ( x 1) b2 ( x 1) x b3 ( x 1) x( x 1) b4 ( x 1) x( x 1)( x 2) (2) Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: b0 b1 b1 0, b2 2.1 b2 3, 36 3.3.2 b3 3.2.1 b3 3 3.( 1)( 2) 3.( 1)( 2)( 3) b4 ( 1)( 2)( 3)( 4) b4 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 1 P ( x ) 3( x 1) x 3( x 1) x ( x 1) ( x 1) x( x 1)( x 2) x( x 1) ( x 2) 2 (Tuyển chọn thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x) ax bx c, (a, b, c 0) Cho biết 2a 3b 6c 0 1 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) 2 12 1 2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) âm dương 2 P (0) 19 Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: P(1) 85 P (2) 1985 Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ Ví dơ a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n + phân số tối giản 5n + nN ; n2 + b) Cho ph©n sè A = (nN) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n n+ nhỏ 2009 cho phân số A cha tối giản Tính tổng tất số tự nhiên Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) d hay d d = 3n + Vậy phân số phân sè tèi gi¶n 5n + 29 29 b) Ta cã A = n- 5+ §Ĩ A cha tèi giản phân số n+ n+ phải cha tèi gi¶n Suy n + ph¶i chia hÕt cho ớc dơng lớn 29 Vì 29 số nguyên tố nên ta có n + 29 n + =29k (k N) hay n=29k – Theo ®iỊu kiƯn đề n = 29k < 2009 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa mÃn điều kiện đề Tổng số lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 VÝ dô Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn 1 1 + + = a b c a+ b + c 13 Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã hai sè ®èi Tõ ®ã suy r»ng : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 =0 Ta cã : + + = + + a b c a+ b + c a b c a+ b + c c(a+ b + c) + ab a+ b a+ b + = (a+ b) =0 ab c(a+ b + c) abc(a+ b + c) � � a+ b = a =- b � � b+ c = � b =- c (a + b)(b + c)(c + a) = � � � � � c + a= c =- a � � ®pcm 1 1 1 + 2009 = 2009 Tõ ®ã suy : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + 2009 a b c a (- c) c a 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 2009 + 2009 + 2009 = 2009 a b c a + b2009 + c2009 Ví dụ Đơn giản biÓu thøc : � � � � 1� � 1� �1 + � � � A= + + + + � � � � � � 3� 3 2 � � � � � � (a+ b) � a b � (a+ b) � a b � (a+ b) a b Lời giải Đặt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2 - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 - 3SP 1 a+ b S 1 a2 + b2 S2 - 2P = ; 2+ 2= 2 = Do ®ã : + = ; a b ab P a b ab P2 1 a3 + b3 S3 - 3SP + = 3 = a3 b3 ab P3 S3 - 3SP S2 - 2P S Ta cã : A = + + S P3 S P2 S P = 2 S - 3P 3(S - 2P) (S4 - 3S2P) + (3S2P - 6P2) + 6P2 S4 + + = = S2P3 S4P2 SP S4P3 SP 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dơ Cho a, b, c lµ ba sè phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : 14 S(x) = (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) + + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) Lời giải Cách x2 - (a + b)x + ab x2 - (b + c)x + bc x2 - (c + a)x + ca S(x) = + + = (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) Ax2 – Bx + C 1 + + víi : A = ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) a+ b b+ c c+ a B= + + ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) ab bc ca C= + + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) b- a+ c- b + a- c = 0; Ta cã : A = (a- b)(b- c)(c- a) (a+ b)(b- a) + (b + c)(c- b) + (c + a)(a- c) B= (a- b)(b- c)(c- a) 2 2 b - a + c - a + a2 - c2 = =0 ; (a- b)(b- c)(c- a) ab(b- a) + bc(c- b) + ca(a- c) ab(b- a) + bc[(c- a) + (a- b)] + ca(a- c) = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(bc- ab) + (c- a)(bc- ca) (a- b)(b- c)(c- a) = = = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) VËy S(x) = 1x (đpcm) Cách Đặt P(x) = S(x) đa thức P(x) đa thức có bậc không vợt Do đó, P(x) có tối đa hai nghiÖm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = x Suy S(x) = x ®pcm VÝ dô Cho x + = TÝnh giá trị biểu thức sau : x 1 a) A = x2 + ; b) B = x3 + ; c) C = x4 + ; d) x x x D = x5 + x Lêi gi¶i C= 15 � � 1� a) A = x + = � x+ � � � x� � x � � � b) B = x + = � x+ � � � � x� � x � 2= 9- 2= ; � 1� � 3� x + = 27- 9= 18 ; � � � x� � � �2 � c) C = x + = � x + 2� � � �- = 49- = 47 ; � x � x � �2 � �3 � 1 � � � x + x + = x + + x + = D + D = 7.18 – d) A.B = � � � � � � � � � x� � x � � x x5 = 123 Ví dụ Xác định số a, b, c cho : ax + b c = + (x2 +1)(x - 1) x2 + x - Lêi gi¶i Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x2 +1) (a+ c)x2 + (b- a)x + (c- b) + = = x2 +1 x - (x2 + 1)(x - 1) (x2 +1)(x - 1) Đồng phân thức với phân thức , ta đợc (x +1)(x - 1) : a+ c = � a=- � � � - x- 1 � � = + b- a = � � b =- VËy � � � (x +1)(x - 1) x + x - � � c- b = � c=1 � � � Chuyên đề: Giải phơng trình I/Phng trỡnh ax+b=0 (1) phương trình đưa dạng (1) 16 *Cách giải: (Biến đổi đưa hết vế sau rút gọn thành dạng ax+b=0) TH1:a=0 b �0 phương trình (1)vơ nghiệm b=0 phương trình (1) vơ số nghiệm TH2:a �0 phương trình (1) có nghiệm x= b a *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0) b3: x= 12 3 4 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) � 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 � x+3,8=0 � x= -3,8 *Các tập tương tự: a)7x+21=0 c)5x-2=0 e)0.25x+1,5=0 g) x b)12-6x=0 d)-2x+14=0 f)6,36-5,3x=0 h) 5 x x 10 i)11-2x=x-1 l)2(x+1)=3+2x n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x k)5-3x=6x+7 m)2(1-1,5x)+3x=0 o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 13 � � � � v) �x � � x � 5 � � � � 7x 20 x 1,5 s) 5( x 9) x3 1 2x 6 3x 2( x 7) 5 w) 5( x 1) x 2(2 x 1) 5 y) II/Phương trình tích: A0 � *Cách giải: Pt:A.B=0 � � (A=0 (1) B=0 (2) ) B0 � Ta có pt (1),(2) phương trình bậc cách giải tương tự phần (Chú ý phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử ) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0 17 x 10 (1) � � � 24 x (2) � 10 Từ (1) x= (2) � x= 24 Vậy phương trình có nghiệm x= 10 24 x= b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) � (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 � (x-1)(2x+11)=0 � x 1 �x � � 11 � x 11 � x � *Các tập tương tự: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 �2( x 3) x � � � � b)(3x-2) � �7 x 2(1 x) � � d) ( x 5)(2 x 1) � � e) (2 x 7)( x 10 3) f) (2 3x 5)(2,5 x 2) c)(3,3-11x) � g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 n)x3+1=x(x+1) p)x3+x2+x+1=0 r)4x2-12x+5=0 t)2x2+5x+3=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 q)x2-3x+2=0 s)-x2+5x-6=0 y) x 3( x 2) 18 ... bc(c- b) + ca(a- c) ab(b- a) + bc[(c- a) + (a- b)] + ca(a- c) = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(bc- ab) + (c- a)(bc- ca) (a- b)(b- c)(c- a) = = = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c-... (b- c)(b- a) b- a+ c- b + a- c = 0; Ta cã : A = (a- b)(b- c)(c- a) (a+ b)(b- a) + (b + c)(c- b) + (c + a)(a- c) B= (a- b)(b- c)(c- a) 2 2 b - a + c - a + a2 - c2 = =0 ; (a- b)(b- c)(c- a) ab(b-... b)(a- c) (b- c)(b- a) Ax2 – Bx + C 1 + + víi : A = ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) a+ b b+ c c+ a B= + + ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) ab bc ca C= + + (c- a)(c- b) (a- b)(a-