+ Nếu thời gian chuyển động đến chậm hơn dự định thì : thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu + thời gian đến chậm = thời gian chuyển động sau khi đã giảm vận tốc + thời gian chuyển [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN LỚP
1 Phương trình bậc ẩn
* Định nghĩa: PT bậc ẩn phương trình có dạng ax + b = 0, a, b hai số tùy ý a ≠
* Phương pháp giải:
- Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:
+ Quy tắc chuyển vế : Trong phương trình, ta chuyển hạng tử từ vế sang vế kí đổi dấu hạng tử
+ Quy tắc nhân với số: Khi nhân hai vế phương trình với số khác 0, ta phương trình tương đương với phương trình cho
- Phương trình bậc ẩn dạng ax + b = có nghiệm
x = - b a
- Phương trình ax + b = giải sau:
ax + b = ax = - b
x = -b
a
Tập nghiệm S =
-b a
* Ví dụ: Giải phương trình sau: a) 3x - =
+ Chuyển - từ vế trái sang vế phải đồng thời đổi dấu, ta 3x =
+ Nhân vế với
3 , ta 3x
1 =
1
(2)Vậy tập nghiệm phương trình S = { }3 b) - 7x + 15 =
- 7x = -15
x = -15 -7
x = 15
Vậy tập nghiệm phương trình S =
15
2) Phương trình đưa dạng ax + b = * Phương pháp chung:
- Quy đồng mẫu hai vế
- Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu
- Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế
- Thu gọn dạng ax + b = giải
* Ví dụ: Giải phương trình sau:
a) 2x - ( - 3x ) = ( x + ) b) 5x-2
3 + x = + 3-5x
2
2x - + 3x = 3x + 5x-2+3x =
2+3-5x
2x + 3x - 3x = + 5x-2+3x
3 =
2+3-5x
2x = 11 ( 8x - ) = ( - 5x )
x = 11
2 16x - = 15 - 15x
(3)Phương trình có tập nghiệm 2 11
S 31x = 19
x = 19 31
Phương trình có tập nghiệm S =
19 31
* Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số ẩn
+ Dạng 1: 0x = + Dạng 2: 0x = c ( c ≠ )
Phương trình có vơ số nghiệm Phương trình vơ nghiệm
S = R S =
* Ví dụ: Giải phương trình:
a) 2( x + ) = 2( x - ) + 14 b) 2( x -
2 ) + 4(1 -
2 x) =
2x + = 2x - + 14 2x - + - 2x =
2x - 2x = -8 + 14 - 2x - 2x = + -
0x = 0x = -2
Phương trình có vơ số nghiệm Phương trình vơ nghiệm
S = R S =
* Sai lầm học sinh giáo viên cần sửa:
Sau biến đổi phương trình đưa dạng 0x = -2 x = -2 0 =
* Nâng cao: Giải biện luận phương trình: mx+5
10 + x+m
4 = m 20 ( 1)
Giải:
PT ( ) mx+5
10 20 + x+m
4 20 = m 20 20
2( mx + ) + ( x + m ) = m
(4) ( 2m + 5)x = m - 5m -10
( 2m + 5) x = -2( 2m +5 )
+ Nếu 2m + ≠ m ≠ -5
2 , phương trình có nghiệm x = -2
+ Nếu 2m + = m = -5
2 , phương trình có dạng 0x = hay phương trình có vơ số nghiệm
Kết luận: + Với m ≠ -5
2 , tập nghiệm phương trình S = { }-2
+ Với m = -5
2 , tập nghiệm phương trình S = R
* Nhận xét: Phương trình (1) gọi phương trình chứa tham số m
Sau thu gọn dạng ax + b = ax = -b, ta phải biện luận trường hợp:
+ Trường hợp a ≠ 0: phương trình có nghiệm x = -b a
+ Trường hợp a = 0, ta xét tiếp: nếu b ≠ 0, phương trình vơ nghiệm
Nếu b = 0, PT vô số nghiệm
3) Phương trình tích:
* Định nghĩa: Phương trình tích phương trình có dạng A(x).B(x) M(x) = Trong A(x), B(x), , M(x) đa thức biến x
* Phương pháp giải:
Muốn giải PT tích A(x).B(x) M(x) = 0, ta giải PT
A(x) = 0; B(x) = 0; ; M(x) = lấy tất nghiệm thu
* Ví dụ: Giải phương trình sau:
a) ( 3x - 2)( 4x + 5) = b) 2x( x-3 ) + 5( x - ) =
3x - = 4x + = ( x - )( 2x + ) =
+) 3x - = x =
(5)+) 4x + = x = -5
4 +) x - = x =
Vậy tập nghiệm pt S =
2 3;
-5
4 +) 2x + = x = -5
2
Vậy tập nghiệm pt S =
-5 2;3
4) Phương trình chứa ẩn mẫu: * Định nghĩa:
Phương trình chứa ẩn mẫu phương trình có dạng: A(x) B(x) =
C(x) D(x) Trong A(x); B(x); C(x); D(x) đa thức biến x
* Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế phương trình khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình nhận
Bước 4: ( Kết luận ) Loại giá trị không thõa mãn điều kiện xác định
phương trình; cịn lại giá trị thõa mãn ĐKXĐ nghiệm phương trình đã cho
* Ví dụ: Giải phương trình:
a) x+3 x =
5x+3 5x-1
(1)
+) ĐKXĐ phương trình: x ≠ 5x -1 ≠ x ≠ x ≠ 1
PT (1) (5x-1)(x+3) x(5x-1) =
x(5x-3) x(5x-1)
(6) 5x2 + 14x - = 5x2 + 3x
5x2 + 14x - 5x2 - 3x =
11x =
x = 11
Ta thấy x =
11 thõa mãn ĐKXĐ pt nên tập nghiệm (1) S =
3 11
b) x+1 x-1 -
x-1
x+1 =3x( - x-1 x+1 )
(2)
+) ĐKXĐ phương trình: x -1 ≠ x + ≠ x ≠1 x ≠ -1 Quy đồng khử mẫu ta được:
PT(2) (x + 1)2 - (x - 1)2 = 3x( x - 1)( x+1 - x + )
x2 + 2x + - x2 + 2x - = 6x ( x - )
4x = 6x2 - 6x
6x2 - 10 =
2x( 3x - ) =
2x = 3x - =
x = x =
Ta thấy x = x =
3 thõa mãn ĐKXĐ phương trình (2)
Vậy tập nghiệm (2) S =
0;5
5) Ứng dụng thực tế phương trình bậc ẩn: ( Giải tốn cách lập phương trình )
* Phương pháp giải:
Bước 1: ( Lập phương trình) Bao gồm:
(7)- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết
- Lập phương trình biểu thị tương quan đại lượng
Bước 2: ( Giải phương trình).Giải phương trình lập
Bước 3: ( Trả lời ) Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thõa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không trả lời
* Các dạng Toán thường gặp: a) Toán chuyển động:
VD 1: Một xe máy từ Hà Nội đến Nam Định với vận tốc 35km/h Sau xe máy khởi hành 24 phút, ô tô chạy từ Nam Định tới Hà Nội với vận tốc 45km/h Tính thời gian hai xe gặp kể từ lúc xe máy khởi hành Biết quãng đường HN - NĐ 90 km Hướng dẫn:
x
HN M ND
Đây dạng toán chuyển động ngược chiều, xe gặp M có nghĩa hai xe hết quãng đường từ HN đến NĐ
Lập phương trình theo cách bảng:
Cách v(km/h) t(h) s(km) Phương trình
1
Xe máy 35 x 35x
35x + 45(x -
5 ) = 90
Ơ tơ 45 x -
5 45(x - 5)
2
Xe máy 30 x
4 x x
4 - =
90-x Ơ tơ 45 90-x
5 90 - x
(8)Giải: Theo cách ( Chọn ẩn trực tiếp )
Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp x (x > )
Khi đó:
- Quảng đường xe máy từ khời hành đến gặp ô tô 35x (km)
- Thời gian từ ô tô chạy đến hai xe gặp : x -
- Quảng đường ô tô ô tô từ khời hành đến gặp xe máy là:
45(x -
5 ) km
- Hai xe ngược chiều đến gặp tổng quảng đường chúng quảng đường từ Hà Nội đến Nam Định, nên ta có PT:
35x + 45(x -
5 ) = 90
x = 27 20
Ta thấy x = 27
20 thoã mãn điều kiện
Vậy sau 27
20 (1 30') kể từ xe máy khởi hành hai xe gặp
VD 2: Một ca nô xuôi khúc sông hết chạy ngược khúc sơng hết Tính chiều dài khúc sơng, biết vận tốc dịng nước 2km/h
Hướng dẫn:
Lập phương trình theo cách bảng
(9)Vận tốc thực ca
nô x
4( x + 2) = ( x - 2)
1
Ca nơ xi dịng x + 4( x + 2)
Ca nơ ngược dịng x - 5(x - 2)
2
Ca nơ xi dịng x
4 x
4
x
- =
5
x
+
Ca nơ ngược dịng x
5 x
Giải
Theo cách ( Chọn ẩn gián tiếp )
Gọi vận thực Ca nô x km/h ( x > ) Khi đó:
Vận tốc Ca nơ xi dịng là: x + km/h Vận tốc Ca nơ ngược dịng là: x - km/h
Mà ca nơ xi dịng hết ngược dịng hết nên ta có phương trình: 4.(x + 2) = 5.(x - 2)
Giải phương trình ta x = 18 ( thõa mãn điều kiện ) Vậy: Chiều dài khúc sông (18 + 2).4 = 80 (km)
Lưu ý: Đối với dạng toán này, yêu cầu hs phải nắm được:
- Các đại lượng quãng đường,vận tốc, thời gian mối liên hệ đại lượng
( s = v.t )
- Cơ sở để biểu thị mối liên hệ lập phương trình:
(10)+ Nếu thời gian chuyển động đến chậm dự định : thời gian dự định với vận tốc ban đầu + thời gian đến chậm = thời gian chuyển động sau giảm vận tốc + thời gian chuyển động với vận tốc ban đầu
+ Nếu thời gian chuyển động nhanh dự định làm ngược lại phần
Nếu chuyển động dòng chảy:
Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng + vận tốc dịng nước
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng - vận tốc dòng nước
+ Nếu chuyển động ngược chiều lập phương trình : S = S1 + S2
b) Dạng toán liên quan đến số học:
VD 1: Mẫu số phân số lớn tử số Nếu tăng tử mẫu thêm
hai đơn vị phân số
2 Tìm phân số cho
Hướng dẫn hs cách đặt câu hỏi:
- Để tìm phân số cho, ta phải tìm thành phần nao? ( tử mẫu ) - Biết tử số, tìm mẫu số ngược lại?
- Sau tăng tử mẫu đơn vị ta có phân số ? Như vậy, chon ẩn tử mẫu phân số
Giải
Gọi tử phân số cho x ( x ≠ 0) mẫu phân số x + Tăng tử thêm đơn vị ta tử là: x +
Tăng mẫu thêm đơn vị mẫu là: x + + = x +5
Theo ta có phương trình : x+2 x+5 =
1
ĐKXĐ: x ≠ -5
2( x + ) = x +
(11) x = ( thõa mãn mãn điều kiện)
Vậy phân số cho 1+3 =
1
VD 2: Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số
Hướng dẫn:
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng
đơn vị Giá trị
Phương trình
Số
cho 3x x 10.3x + x 10.3x + x -18 = 10.x + 3x
Số x 3x 10.x + 3x
Giải:
Gọi chữ số hàng đơn vị số phải tìm x ( x N < x ) Thì chữ số hàng chục 3x
Số cho 10.3x + x
Số sau đổi vị trí : 10.x + 3x
Theo ta có phương trình: 10.3x + x -18 = 10.x + 3x Giải phương trình: 10.3x + x -18 = 10.x + 3x
31x - 18 = 13x
31x - 13x = 18
18x = 18
x =
(12)Lưu ý: Đối với dạng toán liên quan đến số học, yêu cầu hs hiểu mối quan hệ đại lượng hàng chục, hàng trăm, biểu diễn dạng tắc nó:
ab = 10a + b
abc = 100a + 10b + c
Khi đổi chỗ chữ số, thêm bớt chữ số, ta biểu diễn tương tự
c) Dạng tốn cơng việc làm chung, làm riêng
VD 1: Hai đội công nhân làm chung ngày xong cơng việc Nếu làm riêng, đội phải làm lâu đội ngày Hỏi làm riêng đội phải hồn thành cơng việc
Hướng dẫn:
Hai đội làm chung ngày xong công việc nên ngày đội làm
6 cơng việc
Lập phương trình theo bảng:
Đội Đội Phương trình
Số ngày làm riêng
xong công việc x ( x > 5) x -
1 x +
1 x-5 =
1 Phần công việc
làm ngày
1 x
1 x-5
d) Dạng toán suất, tỉ số phần trăm:
VD: Một xí nghiệp hợp đồng sản xuất số len 20 ngày, suất làm việc vượt dự tính 20% nên khơng xí nghiệp hồn thành kế hoạch trước ngày mà sản xuất thêm 24 len Hỏi theo hợp đồng xí nghiệp phải dệt len?
(13)Tổng sản
phẩm Năng suất Phương trình
Kế hoạch x ( x > 0) x
20 x
20 + x 20
20 100 =
x+24 18
Thực tế x + 24 (x+24)
18