TUYỂN CHỌN câu hỏi điểm 10 TRONG các đề THI

Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS TUYỂN CHỌN CÂU HỎI ĐIỂM 10 TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ VÀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Bài (PGD Đan Phượng 2015-2016) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x+ y+ z =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x Hướng dẫn x  xy  y  5 2  x  y   x  y   x  y 4 Chứng minh tương tự cho hai thức lại, sau cộng vế ta suy ra: P   x  y  z   P  Bài (PGD Đan Phượng 2013-2014) Giải phương trình: x  x   x  x  Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với   x2  x    Bài (PGD Đan Phượng 2014-2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  b  c  c  a  Chứng minh rằng: a  b2  c  Hướng dẫn Giả thiết tương đương: 2a  b2  2b  c  2c  a          b2  2a  b2  a   c  2b  c  b2   a  2c  a  c       b2  a     c2  b  1 a2  c  0   b2  a   c  b   a  c  Suy ra: a  b2  c  Bài (PGD Đan Phượng 2010-2011) Giải phương trình: Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với x   x  3.x4  x4  2010 x  2010 x    2010  x  1  Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343  Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS x  x  1   x4  2010  x  1    x  1   2010    x  x3 2  x3 2  Bài (PGD Đan Phượng 2011- 2012) Cho x  2, tìm giá trị lớn biểu thức P   x  x   x   2009 Hướng dẫn Ý tưởng: Biến đổi P dạng tổng bình phương cách tách hạng tử 2P  2 x  x   x   4018    P  4023  P     x  1   x    4023 4023 Bài (PGD Đan Phượng 2016-2017) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: ab  c  bc  a  ca  b  Hướng dẫn Đặt P  ab  c  bc  a  ca  b Vì a  b  c  nên ta có P  ab  c  a  b  c   bc  a  a  b  c   ca  b  a  b  c    a  c b  c    a  b  a  c    a  b b  c  Áp dụng bất đẳng thức cô si bản: CM tương tự có :  a  b  a  c   xy  x y ta có: 2a  b  c (2),  a  c  b  c    a  b  b  c   a  b  2c (1) a  2b  c (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ý giả thiết a  b  c  Suy đpcm Bài (PGD Quận Hoàn Kiếm 2016-2017) Cho a, b hai số thực thỏa mãn a2  b2  a  b  ab Tìm giá trị lớn biểu thức M  a3  b3  2000 Hướng dẫn Từ giả thiết ta có:  a  b   a  b  3ab Đặt S  a  b, P  ab , ta có S  S  3P S  4P Suy  S  Khi M  S  3SP  2000  S  3S S2  S  2000  S  2000  2016 Bài (THPT Chuyên Hà Nội AMSTERDAM) a) Giải phương trình: x   x   x   Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 b) Cho x, y hai số thực thỏa mãn Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS x   y    x  y  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  x  y Hướng dẫn x  1  x    a) Phương trình cho tương đương với  x  1    x  1   x   x  1  x  1  Suy  x  b) Từ giả thiết ta có: x  y   x  y   x  y   x  y   2 x  y  x  y   x  y   17   y    1    x   y  1 Áp dụng bất đẳng thức  a  b   a  b2 ta có:   x  y   x   2 Vậy max  x  y   2,min  x  y   2   x  y   x  y    x  y  2  17 Bài (PGD Quận Thanh Xuân 2016-2017) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác 1 abc Chứng minh rằng:    a  bc b  ca c  ab 2abc Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức si, ta có: a  bc  a 2bc  2a bc  Chứng minh tương tự, cộng vế lại ta được:  1  a  bc 2a bc 1 1 1      a  bc b  ca c  ab 2a bc 2b ca 2c ab 1 ab  bc  ca (1)    a  bc b  ca c  ab 2abc Mặt khác: ab  bc  ca  ab bc ca    a  b  c (2) 2 Từ (1) (2) suy đpcm Bài 10 (Quận Đống Đa Hà Nội 2016-2017) Giải phương trình x  3x    x  Hướng dẫn Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Ta phát x    Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS  x  3x    x     x  1 Do ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp Phương trình cho tương đương với   x  1 x 1  x  1  3x   x    x   3x   x   0 Kết luận: x  Bài 11 (Quận Hai Bà Trưng Hà Nội 2016-2017) Cho a, b > Chứng minh rằng: ab  a  3a  b   b  3b  a  Hướng dẫn x y với x, y  ta có: 4a  3a  b 7a  b (1) a  3a  b   4a  3a  b    4 Áp dụng bất đẳng thức Chứng minh tương tự có: xy  b  3b  a   Cộng vế theo vế (1) (2) ta được:  ab a  3a  b   b  3b  a   4b  3b  a 7b  a (2) 4b  3b  a    4 a  3a  b   b  3b  a    a  b  (đpcm) Bài 11 Cho x  , y  Tìm giá trị nhỏ của: M  x  y  x   y   13 Hướng dẫn      Ta có: 2M  x   2 x  1.1   y   10 y   25    2 x 1 1  Do M  MinM =  x  1, y  Bài 12 (Quận Ba Đình 2016-2017) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b3 c    a ac  b ba  c cb b c a Hướng dẫn a b3 c    a  b  c (1) • Chứng minh bổ đề: b c a 4y 3 5  Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 3 a3 b c  ab  2a ,  bc  2b ,  ac  2c Áp dụng bất đẳng thức cơsi, ta có: b c a Suy a b3 c    ab  bc  ca   a  b  c  mà a2  b2  c2  ab  bc  ca b c a Suy a b3 c    a  b2  c b c a • Chứng minh a2  b2  c2  a ac  b ba  c cb Thật vậy: a  b2  c   a  b2  c  Mà a  b2  c a  b2  c a  b2  c ab  bc  ca    2 2 1 a  a  c   b b  a   c  c  b  2 ac ba cb 2  ac ,  ba ,  cb suy a  b  c  a ac  b ba  c cb (2) 2 Từ (1) (2) suy đpcm Bài 12 Cho x     Tính giá trị biểu thức A   x3  3x  3 2017 Hướng dẫn   Ta có x3   3          3x Suy x3  3x    x3  3x   1   x3  3x  3 Bài 13 Tính giá trị biểu thức P  2017  1 1 1     1 3 77  99 79  81 Hướng dẫn 2P       79  77  81  79  81    P  Bài 14 Cho a, b, c  0, abc  1, 1  a 1  b 1  c   Giá trị biểu thức A  a  b2  c3 bao nhiêu? Hướng dẫn Từ giả thiết ta có: a    1   1  b 1  c   (1) bc  bc   b  1   c  1   bc  1   b  c  1 1 1  b  c  bc      bc b c b c bc 2 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Suy a  A  Bài 15 Tìm giá trị lớn biểu thức P  P z 1 x2   z x xy z   yz x   zx y  xyz Hướng dẫn y   z 1  x   y  1       y 2z 2 2 2x 3y Bài 16 (Phạm Như Tồn) Giải phương trình: x  x   Hướng dẫn Đk: x  Phương trình tương đương với x   x  x  3   x2  3x   x Điều kiện  x  Bình phương hai vế phương trình ta được: x2  3x   x  x2  x  Cách 2: Phương trình cho tương đương với x 1  x     x 1 x 1       x  1      x  x 1 x3 2 x3 2  x 1 Bài 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn Từ giả thiết ta có: 1 1    Chứng minh abc  1 a 1 b 1 c Hướng dẫn b c   1 a 1 b 1 c Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: Chứng minh tương tự, có: b c b c bc   2  1 a 1 b 1 c 1 b 1 c  b  c ca ab   1 b 1 c  c  a 1 a  b Nhân bất đẳng thức vế theo vế suy đpcm 36  x2 Hướng dẫn Bài 18 Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức  28  x   y  y 1 36     24    y   Đẳng thức cho tương đương  x   x2    2  x2 6 x2   y 1  y 1    x2 6  y 1     4   y 1  Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Suy x  11, y  Bài 19 Cho a, b số dương thỏa mãn a  b2  16 Tìm giá trị lớn biểu thức A  a b  a  8b   b a  b  8a  Hướng dẫn b  a  8b   Áp dụng bất đẳng thức cô si: 1 9b  a  8b 9b  a  8b   3 a  17ab Suy a b  a  8b   (1) Chứng minh tương tự ta có: b a  b  8a   Cộng vế (1) (2) ta được: A  b2  17ab (2) a  b  34ab mà 2ab  a  b2 nên A   a  b2   A  48 Bài 20 Cho  a, b, c  2, a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức A  a  b2  c Hướng dẫn Từ giả thiết ta có   a   b   c     abc   ab  bc  ca    a  b  c     ab  bc  ca   abc  Ta có A   a  b  c    ab  bc  ca     ab  bc  ca  Suy A   abc    abc  Max A =  a, b, c    0,1,  hốn vị Bài 21 Giải phương trình: x  x   x  x   Hướng dẫn Điều kiện: x  Khi phương trình tương đương với phương trình x 1  x 1   x 1  x 1       x 1 1  x 1    x 1 1   x 1  x 1 1   x 1   x  2 x 1 1    x 1   Kết hợp điều kiện suy giá trị cần tìm x  x  Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS x2  3 x2 Hướng dẫn Bài 22 Giải phương trình: x    x   Điều kiện: x2 x2  t  t  x  Khi phương trình trở thành: t  4t  3  Đặt  x   x2 x2 t  1   t  1 t  3    t  3 • Với t  1, ta có  x   x2  1 , 1  nên x    x  x2 Khi x2    x2   x   • Với t  3, ta có:  x   x2 x2  3   x     x  13  x   13 x2 x2   Vậy tập nghiệm phương trình S   5;  13 Bài 23 Tìm giá trị lớn biểu thức A  xyz  x  y  y  z  z  x  biết x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Hướng dẫn x yz  x yz Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho ba số dương có:  xyz  xyz     (1) 3   x y yzzx  x  y  y  z  z  x     x  y  z   (2)     27 Từ (1) (2) suy ra: A  MaxA =  x  y  z  Bài 24 Tìm giá trị lớn biểu thức A  x   y  biết x  y  Hướng dẫn  Áp dụng bất đẳng thức:  a  b   a  b2 Ta có: A2     (các em tự chứng minh) x   y    x   y  1   x  y  3  (vì x  y  ) Do A không âm nên từ A2   A  Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS max A   x  , y  2 Bài 25 Cho số không âm x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ lớn biểu x y thức P   y4 x4 Hướng dẫn Viết lại P  x y x y , sau sử dụng BĐT Cauchy-shwarzt    y  x  x  y y  2x Bài 26 (Phạm Như Tồn) Tìm giá trị lớn biểu thức A  2y  3x  z 1   x y z Hướng dẫn Sử dụng BĐT Cauchy Bài 27 Tìm giá trị lớn nhỏ y  x   x   x  với 2  x  Hướng dẫn Lập bảng xét dấu, ta có: • Với 2  x  1  y  • Với 1  x   y  4 x  • Với  x   y  2 x • Với  x   y  6 Vẽ đồ thị hàm số ta thấy max y  6,min y  6 Bài 28 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x   x   x   5x  10 Hướng dẫn Cách 1: Xét khoảng, dùng đồ thị hàm số để tìm Cách 2: Dùng tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: A  A với A P   x  x   x   10  5x   x  x   x   10  5x  Cách 3: Dùng bất đẳng thức trị tuyệt đối A  B  A  B Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x2  x   x2  x  Hướng dẫn Cách 1: Vì A  nên Amin  Amin Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS A2  x   x  x    A  Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A  x2  x  x2  x   x4  x2   Bài 30 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y biết x, y số dương thỏa mãn   x y Hướng dẫn 3 4 Cách 1: A   x  y        x y          y     x   y         x     32 (theo bất đẳng thức buhiacopxki) Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A   4x y 4x y  72 74 y x y x Bài 31 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn A  x  y  z  xy  yz  zx biết x2  y  z  Hướng dẫn Chú ý:  x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx  bất đẳng thức sau • x2  y  z  xy  yz  zx • x2  y  z  x  y  z •  x  y  z    xy  yz  zx  Bài 32 (Nâng cao phát triển tốn tập 1) Tìm giá trị lớn biểu thức A  a  b2  c biết 1  a, b, c  3, a  b  c  Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra:  a  1 a  3   b  1 b  3   c  1 c  3   a  b2  c2   a  b  c    A  11 MaxA  11   a, b, c    1, 1,3 hốn vị Bài 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1  biết x, y  0, x  y  x y Hướng dẫn 10 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS  x  y  2004  x   y  2004  Đặt y  x  2004 Ta thu hệ   y  x  2004  y  x  2004 x  y  Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: x  y   y  x   x  y  x  y  1    x  y 1  Đến e tự giải tiếp tốn trở nên đơn giản Bài 50 Giải phương trình a) x4  24 x  32 b) x4  x2  8x  Hướng dẫn a) Thêm bớt ta phương trình tương đương với  x     x   b) x  x  x    x  1   x   2 Bài 51 (ÔN CHUYÊN) Cho f  x   ax  bx  c có tính chất f 1 , f   , f   số hữu tỉ Chứng minh a, b, c số hữu tỉ Hướng dẫn giải f 1  a  b  c  (1) f    16a  4b  c  (2) f    81a  9b  c  (3) Từ (1),(2) suy 15a  3b   5a  b  (4) Từ (1), (3) suy 80a  8b   10a  b  (5) Từ (4), (5) suy 5a   a Từ (4) suy b  Từ (1) a, b  nên c  Bài 52 (ƠN CHUN) Tìm a để nghiệm phương trình x4  x2  2ax  a2  6a   (1) nhỏ nhất, lớn Hướng dẫn giải Coi (1) phương trình bậc hai ẩn a Ta viết lại a  2a  x  3  x4  x2   Phương trình có nghiệm (tức tồn a)    x  3  x  x    x  x  x     x  2 x  1  x  x      x   x  1  (vì x2  x   x ) Giải ta 1  x  Vậy nghiệm nhỏ lớn -1 Khi   suy a  2, a  5 Bài 53 Cho x, y, z  thỏa mãn    Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z 16 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS P  x  y2  z3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức côsi: y   y, z    3z Suy P  x  y  3z  3 1  2  3  Suy P   x  y  3z       x     y     3z         x y z x  y  z  (cô si) Suy P  Bài 54 Cho hai số thực x y thỏa mãn x2  xy  y  Tìm GTLN GTNN biểu thức sau B  x  xy  y Hướng dẫn giải Ta viết lại B  x  xy  y Nếu y  từ giả thiết ta x2   B  x  xy  y 2 x x  y  y 2 x Xét y  Chia tử mẫu B cho y ta B    ,đặt t  ta thu y x x  y   y 1   t2  t  B   B  1 t   B  1 t  B   (1) t  t 1 Coi (1) phương trình bậc ẩn t, ta có    B  1   B  1 B    B2  14B   B  7  14 Giải điều kiện    B  14 B      B  7  14 Dễ thấy B  nên ta chọn B  7  14 Bài 55 Cho x,y số thực không âm thỏa mãn x3  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Hướng dẫn giải x3  y3   x3   y3 (1) Vì x, y  nên từ (1) suy  x3    x  , tương tự ta có  y  Suy x2  x3 , y  y3  x2  y  x3  y3  P  Bài 56 Cho x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm GTNN biểu thức P  x3  y3   x  y  xy  1  Hướng dẫn giải 17 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS  x, y  0  x   x  x    x  y  x4  y  Từ giả thiết    4  x  y  0  y   y  y Đặt x  y  a Viết lại P  x3  y3  3xy  x  y    x  y     x  y    x  y   Do P  a3  3a    a3   1  3a   3a  3a   1 (bđt côsi) Vậy P  1  a    x; y   0;1 , 1;0  Bài 57 Cho a, b, c số thực không âm không lớn thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b2  c2  Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có  a, b, c     a   b   c      a  b  c    ab  bc  ca   abc    ab  bc  ca   abc   2  ab  bc  ca   4  abc (1) Ta có a  b2  c2   a  b  c    ab  bc  ca     ab  bc  ca  (2) Từ (1) (2) suy a2  b2  c2    abc   abc abc  nên a  b2  c2  (đpcm) Bài 58 Cho x, y sô thực thay đổi thỏa mãn  x  y  Tìm GTNN biểu thức sau P   x  y    x  y  xy   Hướng dẫn P  2 x  y  4 x  y  Từ giả thiết  x  y   4  x  y  , đặt t  x  y Bài tốn trở thành tìm GTNN P  2t  4t  với 4  t  Có P   t  1   Vậy minP = x  y  1 Bài 59 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x2  y  z  200 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy  yz  zx Gợi ý 200  P   x  y  2 z   z  x  y  z   x  y    z2  2  18 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS  P  200 Dấu xảy  x; y; z  10; 10;0  ,  10;10;0  Bài 60 Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A  x2 x2  x  Gợi ý • MinA = • A x2 1    Suy max A  2 1 x  x 1 1  1 1 3 x x   x   Bài 61 Cho số dương x, y thỏa mãn x3  y3  x  y Chứng minh x  y  Gợi ý Từ giả thiết suy x  y  x3  y Ta cần chứng minh x  y  (1) Thật (1)  x3  x2 y  xy  y3  x3  y3 x y 2  xy  y  x   y (hiển nhiên với x  y  ) Bài 62 Cho số thực x, y thỏa mãn x  1, y  Tìm giá trị lớn biểu thức 1  x 1  y  T  xy  x  y  y  x  2 Gợi ý     sau áp dụng bất đăng thức  ab  cd   a  c b  d   1 y    y  1 y     T  x y   y   x2 y   y   ta có T   x   x   y   2 2 2 2 Suy max T  Bài 63 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh 1 1    a b c abc Gợi ý Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bc  ca  ab  Từ ta nghĩ xem kết nối với giả thiết để chứng minh bđt Có a  b2  c2 xuất bc  ca  ab ta nghĩ đến kết hợp để tạo đẳng thức Thật a  b2  c  2bc  2ca  2ab  a  b  c   19 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Suy a  b2  c   bc  ca  ab   bc  ca  ab  Bài 64 Giải phương trình Phương trình tương đương  x2   1     x   x x  Gợi ý  x2  x    1   x2 x  Áp dụng bất đẳng thức  a  b   a  b2 ta có Suy  x2  x  1 1 (đpcm)  1    a b c abc    x2  x    x2  x2   2  x  x  (1) Chứng minh tương tự ta có 2 1  2 x2 x Cộng vế theo vế (1) với (2) suy (2)  x2  x   1  4 x2 x   x2  x  Dấu ''  '' xảy  1  x 1  2  x x   Bài 65 Cho số thực x, y thỏa mãn x   y  y    x  Tính giá trị biểu thức P  x  y Gợi ý Bài 66 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a 1 b  c  b 1 c  a  c 1 a  b Gợi ý Sử dụng bất đẳng thức cô si:  b  c  1.1 1  b  c   Suy a  b  c  3b c 3a  ab  ac , thiết lập tương tự hai bất đẳng thức cịn lại sau cộng vế theo vế suy GTLN P x  x  2018 Bài 67 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  0 x2 Gợi ý 20 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 2018  2018 2018 1  2017 P          x x x x 2018 2018   2018  2018  2017 2017 P       x 2018 2018 2018   Bài 68 Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện a  b  1, a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  8a  b b 4a Gợi ý Từ giả thiết ta dự đốn minP a  b  Bây ta biến đổi P để xuất giả thiết P  2a  b b 1 ba a b  b2  2a    b2   2a   b2   a   a  b2  4a 4a 4 4a 4a 1  1 1 Pa   b  b   a   b     1  4a 4a  2 2 Bài 69 Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x  y  1  5x  y  y  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức S  x  y Gợi ý Từ giả thiết ta suy  x  y  1   x  y  1  4  y  4   x  y  1   x  y  1     x  y 1    x  y  Bài 70 Cho bốn số dương x, y, z, t có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x  y  z  x  y  P xyzt (Trích đề thi HSG Hà nội 2003-2004) Gợi ý Áp dụng bđt  a  b   4ab :  x  y  z   t    x  y  z  t (1) 2  x  y  z   x  y  z (2) ,  x  y  xy (3) Nhân (1), (2), (3) vế theo vế suy P  16 MinP = 16 x  y  1 z t 4 21 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS  x, y , z  Bài 71 Cho  Tìm GTNN biểu thức P   xy  yz  zx x  y  z x  y  z  (Đề thi thử vào 10 lần 4- THPT Lương Thế Vinh Hà Nội) Gợi ý a b2  a  b    Bổ đề: Ta chứng minh m n mn (1) với a, b m, n  Thật (1) tương đương với  a n  b2 m   m  n   mn  a  b   a2 n2  b2 m2  2abmn   an  bm   (đúng)   3 22 32 Áp dụng kết (1) ta có: P    2  xy  yz  zx  x  y  z  xy  yz  zx   x  y  z 2 P 25  x  y  z  25 Vậy P  25 Các em tự dấu ''  '' Chú ý: (1) gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức hiệu cho bai toán dạng phân thức Bài 72 Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab  bc  ca  3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a2 b2 c2   c  c  a  a  a  b2  b  b2  c  (Đề thi thử vào 10 - THCS Trưng Vương Hà Nội) Gợi ý Từ giả thiết suy Ta có 1   3 a b c a2  c2  c2 c 1  c a b    2 Do P        2 2 2 a b c  c a a b b c  c a  c  c a  c Ta ln có c  a  2ca  P c c , lập luận tương tự suy   c a 2ca 2a 1  1  11 1             a b c  2a 2b 2c   a b c  MinP   a  b  c  Bài 73 Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a2  b2  c2  abc Tìm giá trị lớn 22 Thầy Phạm Như Tồn ĐT 0988 819 343 biểu thức P  Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS a b c   a  bc b  ca c  ab (Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THCS Nguyễn Trường Tộ Hà Nội) Gợi ý Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: Chứng minh tương tự suy ra: P  a a bc   a  bc 2a bc 2bc ab bc ca ca.cb  ab.ac  ab.bc    2ab 2bc 2ca 2abc ac  bc ab  ac ab  bc   ab  bc  ca 2    (vì a2  b2  c2  ab  bc  ca ) 2 2 2 2a  b  c  2a  b  c  maxP   a  b  c  Bài 74 Cho a, b, c thực thỏa mãn điều kiện a, b  0,0  c  1, a  b2  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A  ab  bc  ca   a  b  c  (Đề thi thử vào 10 năm 2018 – THPT chun Hà Nội AMSTERDAM) Gợi ý • Tìm GTLN: Có ab  bc  ca  a  b2  c a  b  c   a  b2  c  Suy max P  12 • Tìm GTNN: A   a  b  c    a  b2  c    a  b  c    a  b  c    a  b  c   2  A   a  b  c  3  12 Ta có a  b2  c2    a  b  c     ab  bc  ca     abc  bc  ca  (vì  c  1) Suy  a  b  c    2c  ab  b  a    a  b  c  Do A      12  A  3 Bài 75 Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức S  a  4ab  b2  b2  4bc  c  c  4ca  a (Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THPT Nguyễn Tất Thành Hà Nội) Gợi ý 23 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Áp dụng bất đẳng thức a  4ab  b2   x  y xy  ta có a  b Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS a  b  a  b 2  2ab  Chứng minh tương tự ta suy S   a  b  c   6 Bài 76 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  x  1  y  y  1  z  z  1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z (Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THPT Lương Thế Vinh Hà Nội) Gợi ý Ta có   xy  yz  zx   x  y  z (1) Áp dụng bất đẳng thức a2  b2  c2  ab  bc  ca, a, b, c (*) ta được: P  x2  y  z  xy  yz  zx  4P   xy  yz  zx  (2) (*)   a  b2  c    a  b  c    a  b2  c   a  b  c  a  b  c (**) Áp dụng (**) ta được: 3P   x  y  z   x  y  z (3)    Từ (1), (2), (3) suy ra: 4P  3P   P  3P    P  3 P    4P  3   P  Vậy P  3 (do P  ) 3 Bài 77 1) Cho x, y số dương Chứng minh rằng: x  y  nào? 2) Tìm cặp số  x; y  thỏa mãn x  y   x  y     x  y   Dấu ''  '' xảy  1 x  y  với x  , y  4 (Đề thi thử vào 10 năm 2013 – Sở GD Hải Phòng) Gợi ý 1) x  y    x  y 2    x 1  2) Từ phần 1) suy  x  y     y 1   x  y 1 24 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Tốn THCS 1 Ta có  x  y    x  y    x  y  x  y  Vì x  , y  nên 4 suy x  y  x  y     x  y   Do từ câu 1) ta   Suy x  y   x  y    x  y 1  x2  y   x  y    x  y 1 Dấu ''  '' xảy x  y  x3  y  x  y với x  1, y   x  1 y  1 (Đề thi thử vào 10 năm 2018 – Bình Phước Vịng 2) Gợi ý Bài 78 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A   x  y  , đặt x2 y2 A   t  x  y, với x  1, y   t  y 1 x 1 x  y  2 Khi A  t2 4  t 2  t 2 42 t 2 t 2 t 2 t  2 48 t 2 A   x  y  x2 y  x  y    Lời bình: Bài tốn sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức a b ab với a, b  x, y Ta xử lý toán theo hướng dự đoán minA đạt x  y tìm số m cho  x    với x2 x2 x2   m , dễ dàng tìm m  Thật 4 x  Từ x 1 x 1 y 1 x 1 ta tìm GTNN biểu thức A Bài 78 Cho  a, b, c  Chứng minh rằng: 2a3  2b3  2c3   a2b  b2c  c2 a (Sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi toán 9) Gợi ý Từ giả thiết ta có: 1  a  1  b     a 2b  a  b Chứng minh tương tự, suy  a2b  b2c  c2a  a  b2  c2  a  b  c Do  a, b, c  nên a  a3 , a  a3 , b  b3 , b2  b3 , c  c3 , c2  c3 Từ suy đpcm 25 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Bài 79 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tim GTLN GTNN biểu thức P  a  b  b  c  c  a (Phạm Như Tồn) Gợi ý Tìm GTLN Áp dụng bất đẳng thức  x  y  z    x  y  z  Ta có P   ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a   18 (vì a  b  c  ) Suy P  Tìm GTNN Từ giả thiết suy  a, b, c  P   a   b   c Ta chứng minh 3 a   a  Thật bđt tương đương với 3  a    a     a     a     a  a  (đúng với  a  ) CMTT ta suy P    a  b  c   3  3 Vậy P  đạt  a; b; c    0;0;3 hốn vị Bài 80 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tim GTLN GTNN biểu thức P  a  a   b2  b   c  c  (Phạm Như Tồn) Gợi ý Dự đốn với a  b  c 1 A  , với A  6, max A  Tìm GTNN Ta chứng minh a2  a   26 a  b  0, c   A  Do ta dự đốn Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS Bài 80 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  7, ab  bc  ca  15 11 Chứng minh : a  Gợi ý   b  c   a b  c   a b  c   a Từ giả thiết ta có: b  c   a (1)     bc  a  7a  15 bc  a  b  c   15  bc  15  a   a  Ta ln có  b  c   4bc    a    a  7a  15  3a  14a  11    a  2 11 Suy đpcm Bài 81 Cho x  0, y  0, x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức A  x y  y 1 x 1 Gợi ý Từ giả thiết ta suy  x  1,0  y  Ta có A  Bài 82 a) Với a, b  Chứng minh rằng: b) Cho x, y, z  Chứng minh rằng: x y  2 x 2 y  a  b a b  ab ab 1 1 1         x x y y y z z x z (Trích đề thi vào 10 Hải Phòng) Lời giải a) Biến đổi tương đương b) Theo a)  a  b a b 1 1 2 1 (1)        2  ab a b a b a b a b ab tương tự : 2 1  2  b c b c (2) ; 2 1  2  c a c a (3) Cộng (1), (2), (3) suy đpcm Bài 83 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x2  y  z  12 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  x  y  z  x  y  z Hướng dẫn 2 1  1  1  P  x   y   z    2  2  2  27 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS P    x  y  z   P  x  y  z  x  y  z   x  y  z   x  y  z  18 max P  18  x  y  z  2 x  y  xy xy (Trích đề thi vào 10 trường THCS Cầu Giấy) Hướng dẫn Bài 84 Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y Tìm GTNN P  Dự đoán P x  y , P  P 2x y 2x y 2x x y 2.2 y  2   2  2 y x y x y y x y Cách 2: P  P x2  y  x  x  y  x2  y x y    xy xy y x 3x  x y  x y       4y  4y x  4y x 2t  2t  1 x x  2t   Cách 3: x  y   2, đặt t  , t  Khi P  t t y y Bài 85 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu ab  3c  2a  2b thức P   ab (Trích thi thử 2018 trung tâm Học Mãi) Hướng dẫn Ta có ab  3c  ab   a  b  c  c  Do P   c  a  c  b   c  ab  a  b2   a  b c  ab  a  b 1  ab Bài 86 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ab  3c  2a  2b  ab Hướng dẫn 28 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Ta viết lại biểu thức P  Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS ab   a  b  c  c   a  b   ab  Áp dụng bất đẳng thức:  a  b2  x  y    ax  by  suy ra:  c  a  c  b   Mặt khác: Suy P   c  a  a  b2    a  b c  b 2  c ab  ab c  ab  a  b 1 a  b  c  ab 29  c  a  c  b    a  b2  a  b  c  ab Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS 30 ...  10 Hướng dẫn Cách 1: Xét khoảng, dùng đồ thị hàm số để tìm Cách 2: Dùng tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: A  A với A P   x  x   x   10  5x   x  x   x   10  5x  Cách... 18 Thầy Phạm Như Toàn ĐT 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức luyện thi Toán THCS  P  200 Dấu xảy  x; y; z  ? ?10; ? ?10; 0  ,  ? ?10; 10;0  Bài 60 Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A  x2 x2  x  Gợi... luyện thi Toán THCS  x, y , z  Bài 71 Cho  Tìm GTNN biểu thức P   xy  yz  zx x  y  z x  y  z  (Đề thi thử vào 10 lần 4- THPT Lương Thế Vinh Hà Nội) Gợi ý a b2  a  b    Bổ đề: