TUYỂN CHỌN câu hỏi điểm 10 TRONG các đề THI học kì TOÁN 9

Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT TUYỂN CHỌN CÂU HỎI ĐIỂM 10 TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ LỚP THÀNH PHỐ HÀ NỘI Bài (PGD Đan Phượng 2015-2016) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x+ y+ z =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x Hướng dẫn x  xy  y  5 2  x  y   x  y   x  y 4 Chứng minh tương tự cho hai thức cịn lại, sau cộng vế ta suy ra: P   x  y  z  P  Bài (PGD Đan Phượng 2013-2014) Giải phương trình: x  x   x  x  Hướng dẫn Phương trình cho tương đương với   x2  x    Bài (PGD Đan Phượng 2014-2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  b  c  c  a  Chứng minh rằng: a  b2  c  Hướng dẫn Giả thiết tương đương: 2a  b2  2b  c  2c  a          b2  2a  b2  a   c  2b  c  b2   a  2c  a  c       b2  a     c2  b  1 a2  c  0   b2  a   c  b   a  c  Suy ra: a  b2  c  Bài (PGD Đan Phượng 2010-2011) Giải phương trình: Hướng dẫn x  3.x4  x4  2010 x  2010 Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Tốn THCS THPT Phương trình cho tương đương với x    x    2010  x  1  x  x  1   x4  2010  x  1    x  1   2010    x  x3 2  x3 2  Bài (PGD Đan Phượng 2011- 2012) Cho x  2, tìm giá trị lớn biểu thức P   x  x   x   2009 Hướng dẫn Ý tưởng: Biến đổi P dạng tổng bình phương cách tách hạng tử 2P  2 x  x   x   4018    P  4023  P     x  1   x    4023 4023 Bài (PGD Đan Phượng 2016-2017) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: ab  c  bc  a  ca  b  Hướng dẫn Đặt P  ab  c  bc  a  ca  b Vì a  b  c  nên ta có P  ab  c  a  b  c   bc  a  a  b  c   ca  b  a  b  c    a  c b  c    a  b  a  c    a  b b  c  Áp dụng bất đẳng thức cô si bản: CM tương tự có :  a  b  a  c   xy  x y ta có: 2a  b  c (2),  a  c  b  c    a  b  b  c   a  b  2c (1) a  2b  c (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ý giả thiết a  b  c  Suy đpcm Bài (PGD Quận Hoàn Kiếm 2016-2017) Cho a, b hai số thực thỏa mãn a2  b2  a  b  ab Tìm giá trị lớn biểu thức M  a3  b3  2000 Hướng dẫn Từ giả thiết ta có:  a  b   a  b  3ab Đặt S  a  b, P  ab , ta có S  S  3P S  4P Suy  S  Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT Khi M  S  3SP  2000  S  3S S2  S  2000  S  2000  2016 Bài (THPT Chuyên Hà Nội AMSTERDAM) a) Giải phương trình: x   x   x   x   y    x  y  Tìm giá trị lớn nhỏ b) Cho x, y hai số thực thỏa mãn biểu thức P  x  y Hướng dẫn a) Phương trình cho tương đương với  x  1    x  1  x    x  1   x   x  1  x  1  Suy  x  b) Từ giả thiết ta có: x  y   x  y   x  y   x  y   2 x  y  x  y   x  y   17  y    1  Áp dụng bất đẳng thức  a  b   a  b2 ta có:   x  y   x   2  12   x   y  1   x  y   x  y    x  y  2 Vậy max  x  y   2,min  x  y    17 Bài (PGD Quận Thanh Xuân 2016-2017) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác 1 abc    Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab 2abc Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức si, ta có: a  bc  a 2bc  2a bc  Chứng minh tương tự, cộng vế lại ta được: 1 1 1      a  bc b  ca c  ab 2a bc 2b ca 2c ab  1 ab  bc  ca (1)    a  bc b  ca c  ab 2abc 1  a  bc 2a bc Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Mặt khác: ab  bc  ca  Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT ab bc ca    a  b  c (2) 2 Từ (1) (2) suy đpcm Bài 10 (Quận Đống Đa Hà Nội 2016-2017) Giải phương trình x  3x    x  Hướng dẫn Ta phát x     x  3x    x     x  1 Do ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp Phương trình cho tương đương với   x  1 x 1  x  1  3x   x    x   3x   x   0 Kết luận: x  Bài 11 (Quận Hai Bà Trưng Hà Nội 2016-2017) Cho a, b > Chứng minh rằng: ab  a  3a  b   b  3b  a  Hướng dẫn x y với x, y  ta có: 4a  3a  b 7a  b a  3a  b   4a  3a  b    (1) 4 Áp dụng bất đẳng thức Chứng minh tương tự có: xy  b  3b  a   Cộng vế theo vế (1) (2) ta được:  ab a  3a  b   b  3b  a   4b  3b  a 7b  a 4b  3b  a    (2) 4 a  3a  b   b  3b  a    a  b  (đpcm) Bài 11 Cho x  , y  Tìm giá trị nhỏ của: M  x  y  x   y   13 Hướng dẫn      Ta có: 2M  x   2 x  1.1   y   10 y   25    2 x 1 1  4y 3 5  Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT Do M  MinM =  x  1, y  Bài 12 (Quận Ba Đình 2016-2017) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b3 c    a ac  b ba  c cb b c a Hướng dẫn • Chứng minh bổ đề: a b3 c    a  b  c (1) b c a Áp dụng bất đẳng thức cơsi, ta có: a3 b3 c3  ab  2a ,  bc  2b ,  ac  2c b c a a b3 c Suy    ab  bc  ca   a  b  c  mà a2  b2  c2  ab  bc  ca b c a Suy a b3 c    a  b2  c b c a • Chứng minh a2  b2  c2  a ac  b ba  c cb Thật vậy: a  b2  c  a  b2  c a  b2  c a  b2  c ab  bc  ca    2 2 1  a  b2  c  a  a  c   b  b  a   c  c  b  2 Mà ac ba cb  ac ,  ba ,  cb suy a2  b2  c2  a ac  b ba  c cb (2) 2 Từ (1) (2) suy đpcm Bài 12 Cho x     Tính giá trị biểu thức A   x3  3x  3 2017 Hướng dẫn   Ta có x3   3          3x Suy x3  3x    x3  3x   1   x3  3x  3 Bài 13 Tính giá trị biểu thức P  2017  1 1 1     1 3 77  99 79  81 Hướng dẫn Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT 2P       79  77  81  79  81    P  Bài 14 Cho a, b, c  0, abc  1, 1  a 1  b 1  c   Giá trị biểu thức A  a  b2  c3 bao nhiêu? Hướng dẫn Từ giả thiết ta có: a  1   1   1  b 1  c   (1) bc  bc   b  1   c  1   bc  1   b  c  1 1 1  b  c  bc      bc b c b c bc 2 Suy a  A  xy z   yz x   zx y  xyz Hướng dẫn Bài 15 Tìm giá trị lớn biểu thức P  P z 1 x2   z x y   z 1  x   y  1       y 2z 2 2 2x 3y Bài 16 (Phạm Như Toàn) Giải phương trình: x  x   Hướng dẫn Đk: x  Phương trình tương đương với x   x  x  3   x2  3x   x Điều kiện  x  Bình phương hai vế phương trình ta được: x2  3x   x  x2  x  Cách 2: Phương trình cho tương đương với x 1  x     x 1 x 1       x  1      x  x 1 x3 2 x3 2  x 1 1 1    Chứng minh abc  1 a 1 b 1 c Hướng dẫn Bài 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn Từ giả thiết ta có: b c   1 a 1 b 1 c Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: b c b c bc   2  1 a 1 b 1 c 1 b 1 c  b  c Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Chứng minh tương tự, có: Bổ trợ kiến thức Tốn THCS THPT ca ab   1 b 1 c  c  a 1 a  b Nhân bất đẳng thức vế theo vế suy đpcm 36  x2 Hướng dẫn Bài 18 Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức  28  x   y  y 1 36    Đẳng thức cho tương đương  x    24    y   x2    2  x2 6 x2   y 1   y 1   4   y 1    x    y 1   Suy x  11, y  Bài 19 Cho a, b số dương thỏa mãn a  b2  16 Tìm giá trị lớn biểu thức A  a b  a  8b   b a  b  8a  Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức cô si: Suy a b  a  8b   b  a  8b   1 9b  a  8b 9b  a  8b   3 a  17ab (1) Chứng minh tương tự ta có: b a  b  8a   Cộng vế (1) (2) ta được: A  b2  17ab (2) a  b  34ab mà 2ab  a  b2 nên A   a  b2   A  48 Bài 20 Cho  a, b, c  2, a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức A  a  b2  c Hướng dẫn Từ giả thiết ta có   a   b   c     abc   ab  bc  ca    a  b  c     ab  bc  ca   abc  Ta có A   a  b  c    ab  bc  ca     ab  bc  ca  Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT Suy A   abc    abc  Max A =  a, b, c    0,1,  hoán vị x  x   x  x   Hướng dẫn Bài 21 Giải phương trình: Điều kiện: x  Khi phương trình tương đương với phương trình x 1  x 1   x 1  x 1       x 1 1  x 1    x 1 1   x 1  x 1 1   x 1   x  2 x 1 1    x 1  2 Kết hợp điều kiện suy giá trị cần tìm x  x  x2  3 x2 Hướng dẫn Bài 22 Giải phương trình: x    x   Điều kiện: x2 x2  t  t  x  Khi phương trình trở thành:  Đặt  x   x2 x2 t  4t  3 t  1   t  1 t  3    t  3 • Với t  1, ta có  x   x2  1 , 1  nên x    x  x2 Khi x2    x2   x   • Với t  3, ta có:  x   x2 x2  3   x     x  13  x   13 x2 x2   Vậy tập nghiệm phương trình S   5;  13 Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT Bài 23 Tìm giá trị lớn biểu thức A  xyz  x  y  y  z  z  x  biết x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Hướng dẫn x yz  x yz  xyz  xyz     (1) 3   Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho ba số dương có: x y yzzx  x  y  y  z  z  x       x  y  z   (2)   27 Từ (1) (2) suy ra: A  MaxA =  x  y  z  Bài 24 Tìm giá trị lớn biểu thức A  x   y  biết x  y  Hướng dẫn  Áp dụng bất đẳng thức:  a  b   a  b2 Ta có: A2     (các em tự chứng minh) x   y    x   y  1   x  y  3  (vì x  y  ) Do A không âm nên từ A2   A  max A   x  , y  2 Bài 25 Cho số không âm x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ lớn biểu x y thức P   y4 x4 Hướng dẫn Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức a b2  a  b    , x, y  0, a, b  x y x y  x  y x2 y2   ta có: P  xy  x xy  y xy   x  y  1 2 Do xy  xy   x  y  x  y  nên P  2 Đẳng thức xảy x  y  Cách 2: Viết lại P  x2 y2  xy  x xy  y Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Áp dụng bất đẳng thức cô si: tương tự ta được: Vì x2 xy  x x2 xy  x x  2  (1) Chứng minh xy  x 36 xy  x 36 y2 xy  y y2 xy  y y  2  (2) xy  y 36 xy  y 36 Từ (1) (2) suy P   x  y xy  Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT xy x  y x  y xy    P   x  y  18 9 18 x  y  nên P  Đẳng thức xảy x  y  Bài 26 (Phạm Như Tồn) Tìm giá trị lớn biểu thức A  2y  3x  z 1   x y z Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức cô si: Suy 3x   1  3x  x  3x     3 2 3x   Chứng minh tương tự suy A  x Vậy max A   x6, y  4, z  Bài 27 Tìm giá trị lớn nhỏ y  x   x   x  với 2  x  Hướng dẫn Lập bảng xét dấu, ta có: • Với 2  x  1  y  • Với 1  x   y  4 x  • Với  x   y  2 x • Với  x   y  6 Vẽ đồ thị hàm số ta thấy max y  6,min y  6 Bài 28 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x   x   x   5x  10 Hướng dẫn 10 Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT Cách 1: Xét khoảng, dùng đồ thị hàm số để tìm Cách 2: Dùng tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: A  A với A P   x  x   x   10  5x   x  x   x   10  5x  Cách 3: Dùng bất đẳng thức trị tuyệt đối A  B  A  B Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x2  x   x2  x  Hướng dẫn Cách 1: Vì A  nên Amin  Amin A2  x2   x  x    A  Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A  x2  x  x2  x   x4  x2   Bài 30 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y biết x, y số dương thỏa mãn   x y Hướng dẫn 3 4 Cách 1: A   x  y        x y          y     x   y         x     32 (theo bất đẳng thức buhiacopxki) Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A   4x y 4x y  72 74 y x y x Bài 31 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn A  x  y  z  xy  yz  zx biết x2  y  z  Hướng dẫn Chú ý:  x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx  bất đẳng thức sau • x2  y  z  xy  yz  zx • x2  y  z  x  y  z •  x  y  z    xy  yz  zx  11 Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT Bài 32 (Nâng cao phát triển tốn tập 1) Tìm giá trị lớn biểu thức A  a  b2  c biết 1  a, b, c  3, a  b  c  Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra:  a  1 a  3   b  1 b  3   c  1 c  3   a  b2  c2   a  b  c    A  11 MaxA  11   a, b, c    1, 1,3 hốn vị 1  biết x, y  0, x  y  x y Hướng dẫn Bài 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  P 1 2     2  A 2 mà xy  x  y  xy  x y xy xy Bài 33 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  3x  3y với x  y  Hướng dẫn A  3x  34 x  3x  81  81  18 3x Bài 34 Chứng minh rằng: P  Đặt Q  1    3 7 99  101 Dễ thấy P  Q  2P  P  Q  2P  1 1      1 5  11 97  99 Hướng dẫn 1    1 3 99  101 3 5 101  99 101  9      P 2 2  Bài 35 Cho x  2011  x  y   2011  y  2011 Tính giá trị A  x 2011  y 2011 Hướng dẫn Từ giả thiết ta có y  2011  y  2011 x  2011  x 12 (1) Phạm Như Toàn/ 0988 819 343  Lại có: y  2011  y   y  Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT  2011  y  2011 (2) (1) (2) suy ra: x  2011  x   y  2011  y  x  y  x2  y 2011  x  2011  y 0 x  y   y  x  x y   2 1 0  2011  x  x  2011  y  y  2  2011  x  2011  y • Với y   x  A  • Với 2011  x2  x  2011  y  y   2011  x2  x  y  2011 y  Khi x  2011  x  y    2011  y  y  2011  y  y   2011  y  2011 (vô lý) Vậy A = Bài 36 Giải phương trình  x   3x   3x  x  (1) (Đề thi vào 10 chuyên toán TP HCM 2017-2018) Hướng dẫn Ý tưởng: Tạo đẳng thức cách thêm bớt  (1)   x     x   3x   3x   x  x   3x    2x  x   3x   x  3x   x     x   3x   2 x  3x   3x  OK! 10   x  y  x  1 Bài 37 Giải hệ phương trình  20 y  xy  y   (Trích đề thi vào 10 chuyên toán TP.HCM 2017-2018) Hướng dẫn  x  xy  y  1  10 y   x y  x  10 y   xy   Hệ cho tương đương với   2   20 y   y  xy 20 y   y  xy 13 Phạm Như Toàn/ 0988 819 343 Bổ trợ kiến thức Tốn THCS THPT Thế phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta giải xy  , thay trở lại pt thứ hai xong  x   x  4  x  x  y  3  Bài 38 a) Giải phương trình  x  x  5   b) giải hệ phương trình  2   x  xy  y  (Trích đề thi vào 10 chuyên tốn TP HCM vịng năm học 2017-2018) Hướng dẫn  x2  x   a) Phương trình tương đương với  (Chú ý điều kiện: x  )  x   x   b) Tự giải Bài 39 Cho x  28   28   Tính giá trị biểu thức A  x3  x2  21x  2018 Hướng dẫn  x  2   33   28   28   x      x     x  2   x  2  A   x     x    2044   2044  2046 14 ... rằng: P  Đặt Q  1    3 7 99  101 Dễ thấy P  Q  2P  P  Q  2P  1 1      1 5  11 97  99 Hướng dẫn 1    1 3 99  101 3 5 101  99 101  9      P 2 2  Bài 35... P  2017  1 1 1     1 3 77  99 79  81 Hướng dẫn Phạm Như Toàn/ 098 8 8 19 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT 2P       79  77  81  79  81    P  Bài 14 Cho a, b, c  0,... biểu thức P  x   x   x   5x  10 Hướng dẫn 10 Phạm Như Toàn/ 098 8 8 19 343 Bổ trợ kiến thức Toán THCS THPT Cách 1: Xét khoảng, dùng đồ thị hàm số để tìm Cách 2: Dùng tính chất bất đẳng thức