CHUYÊN đề đại số 9

Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG CHỦ ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA Bài 1: CĂN BẬC HAI A CHUẨN KIẾN THỨC Căn bậc hai số học +) Căn bậc hai số không âm a số x cho x  a Ví dụ: Căn bậc hai 3  3  +) Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là  a Ví dụ: Số có hai bậc hai +) Với số duong a, số số học +) Ta có: a ; số âm kí hiệu  a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai a   a  a , a  So sánh bậc hai số học Với a  0, b  0, ta có: a  b  a  b Số hữu tỉ, số vô tỉ +) Số hữu tỉ số viết dạng số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Ví dụ: 0,333333  0,(3) hay 1, 25 số hữu tỉ +) Với r  , r viết dạng r  p p, q hai số nguyên, q   p, q   q ;  … số hữu tỉ, số hữu tỉ Số hữu tỉ r  gọi số hữu tỉ dương, r  gọi số hữu tỉ âm +) Số vô tỉ số viết dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Ví dụ: Ví dụ:  2, 745751311 số vơ tỉ Chú ý: Tổng, hiệu, tích, thương hai số hữu tỉ (số chia khác 0) số hữu tỉ Nếu p nguyên tố p số vô tỉ B PHÂN DẠNG BÀI TẬP Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Dạng 1: SỐ HỮU TỈ, SỐ VÔ TỈ I Phương pháp  Để chứng minh số a số vô tỉ ta thường áp dụng phương pháp chứng minh phản chứng: giả sử a số hữu tỉ dẫn đến mâu thuẫn a  Nếu a, b số hữu tỉ a  b; a  b ; ab ;  b   số hữu tỉ Nếu a số hữu tỉ, b b số vô tỉ a  b số vơ tỉ  Căn bậc hai số học số dương a số dương b cho b2  a , đó: a  b  a  b  a, b   II Bài tập mẫu Ví dụ Tìm số x khơng âm thỏa mãn: a) x  Ví dụ Tính b) x  12 c) x  d) x  1 a) 0,5 81  0, 25 b)  1  c)   : 16   0,01  0,09  0,16 Ví dụ Chứng minh a số tự nhiên không số phương a số vơ tỉ Ví dụ Cho a, b  Chứng minh a, b khơng đồng thời a  b số vơ tỉ Ví dụ Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng:  1  số hữu tỉ P    2 2   a  b   b  c   c  a   III Bài tập áp dụng Bài Tìm số x không âm biết rằng: a) x  Bài Tính b) c) x   12 x  x  18 b) B  a) A  0, 0001  0,5 1  3 16 Bài Cho a, b số hữu tỉ, p số nguyên tố thỏa mãn: a  b p  Chứng minh a  b  Bài Chứng minh    số vô tỉ Bài Chứng minh  a  (với a, b số hữu tỉ, b  0) số vô tỉ b Bài Cho ba số x, y, x  y số hữu tỉ Chứng minh x, y số hữu tỉ Bài Tìm tất số hữu tỉ a, b cho  nghiệm phương trình x3  ax2  bx   Khi tìm nghiệm lại Dạng 2: SO SÁNH HAI SỐ Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG I Phương pháp Áp dụng: a, b  0, ta có: a  b  a  b II Bài tập mẫu Ví dụ So sánh hai số a) b) c) 56 Ví dụ So sánh hai số 30  50 17 Ví dụ Cho a  a) Khẳng định: a  a hay sai? Vì sao? b) Với giá trị a III Bài tập áp dụng Bài So sánh hai số a) b) a  a 24  45 12 Bài Cho a, b  Hãy so sánh hai số không? Bài So sánh n  n  c) a  b 37  15 d)   a  b Nếu a, b  kết so sánh 4n  Dạng 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I Phương pháp  Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: Là biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh  Sử dụng bất đẳng thức cô si  Sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm  Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp  Bổ sung: AB  A B  A  0, B   , A A   A  0, B   B B II Bài tập mẫu Ví dụ Cho a, b  Chứng minh rằng: ab  ab (Bất đẳng thức Cô-si) a b   a  b b) b a a) Ví dụ Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca Ví dụ Cho n số tự nhiên lơn Chứng minh rằng: 1 1 1     n     n  a) b) n     n n 2n  1  Ví dụ Cho n  N * Chứng minh rằng: 2n 3n  III Bài tập áp dụng Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Bài Cho a, b, c, d tùy ý Chứng minh rằng: a  b2  c  d  ab  a b 1   Bài Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a b 1   Bài Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a b Bài Chứng minh với số nguyên dương n, Bài Cho a, b  Chứng minh rằng: a) b)  a  c   b  d  2 ab a b  c a b c ta có: 1     1   n  1 n  n n  1       n  1 n *Bài Cho a  Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:  4a  Dạng 4: TÌM x, y, z THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC a  a   a  I Phương pháp giải A  B A  B  A  B2 ; A  B    A   B A  2  A B 0 B  A   A B 0  B   Với B  0, ta có: II Bài tập mẫu Ví dụ Tìm x thỏa mãn: a) x   b) x  5x  20  Ví dụ Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: c) x2  x   x  y 1  z    x  y  z  III Bài tập áp dụng Bài Tìm x, y, z thỏa mãn: x  y  z  11  x  y   z  Bài Tìm x thỏa mãn: x  x    x  11 Bài Xác định a, b, c  thỏa mãn: a  b  c  a  b  c Bài 2: CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG A CHUẨN KIẾN THỨC Với A biểu thức đại số, người ta gọi thức bậc lấy hay biểu thức dấu Với số a, ta có: A thức bậc hai A, A gọi biểu a2  a B PHÂN DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC CĨ NGHĨA I Phương pháp giải  A có nghĩa A  0; có nghĩa A  A  A  B   B  A  B ( B  0) A  B  Với B  0, ta có: A  B    A  B II Bài tập mẫu Ví dụ Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a) x2  ; b) x  x  1; e) x  3; 2 x Ví dụ Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: d) a) 2x 1 ; 1 x b) 1 x  x ; c) f) c) x  x  15  x  x  2x 1 III Bài tập áp dụng Bài Tìm x để biểu thức sau có nghĩa ; a)  x  1 d) 5x  3x  8; b) 16 x  x  1; e) c) 3 x ; 3x  1 x  4x  Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC I Phương pháp giải Áp dụng công thức A2  A A  0, A2   A A  II Bài tập mẫu Ví dụ Tính a)  3; b) 13  30   ; c)   29  12 Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG  10    10  Ví dụ Tính 52 Ví dụ Tính 52 1   2 III Bài tập áp dụng Bài Tính a) 11  10 ; Bài Tính b) 14  5; a) 4  4 7; b) c)  48  10  ; d) Bài Tính a) 94  42  94  42 5; c) 3      c)  11        10  10    10   b)  15  ;  10    15; 10   Dạng 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC I Phương pháp Áp dụng công thức A2  A A  0; A2   A A  II Bài tập mẫu Ví dụ Cho biểu thức y  x   x  x  a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x để y  c) Vẽ đồ thị hàm số y Ví dụ Cho biểu thức A  a   a    a  a  a) Tìm điều kiện xác định A b) Rút gọn A c) Xác định a để A  Ví dụ Rút gọn biểu thức A  x  2 x   x  2 x  III Bài tập áp dụng Bài Rút gọn biểu thức A   x   x  x Bài Rút gọn biểu thức A  x   x   x   2 x  Bài Rút gọn biểu thức a) A  x   x   x   x  Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG b) B  x  2 x   x  2 x  1 Bài Cho y  x   x  x  a) Rút gọn b) Vẽ đồ thị hàm số y c) Tìm x để y  Bài Cho biểu thức A  x  x2  x  x  x2  2x x  x2  2x x  x2  2x a) Tìm giá trị x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A  Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Áp dụng: A2  A ; A2  B  A   B B   A B  A  B  A  B  A  B , dấu xảy AB  B  AB A  B Chú ý: A2  B2   A  B  A  B   A  B  II Bài tập mẫu Ví dụ Giải phương trình:  a) x  x   Ví dụ Giải phương trình: b) x  x   x  a) x   x   x   2 x   b) x   x   x   x   c) x   x  x   1 Ví dụ Giải phương trình: x  x   x   2 Ví dụ Giải phương trình: III Bài tập áp dụng 3x  x   x  x    x  x Bài Giải phương trình: x  10 x  25   x Bài Giải phương trình: x   x   x   x   Bài Giải phương trình x  x      Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Bài Giải phương trình 3x2  x  12  5x  10 x2    x  x Dạng 5: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I Phương pháp giải Cho k số • Giả sử f  x   k với x  D dấu xảy x  a  D giá trị lớn f  x  k x  a, kí hiệu max f  x   k , x  a • Giả sử f  x   k với x  D dấu xảy x  a  D giá trị nhỏ f  x  k x  a, kí hiệu f  x   k , x  a Chú ý: A  B  A  B , dấu xảy AB  II Bài tập mẫu Ví dụ Tìm giá trị lớn A   3x  Ví dụ Tìm giá trị nhỏ P   x  Ví dụ Tìm giá trị nhỏ Q  x  x  Ví dụ Tìm giá trị lớn A   x  x  Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A  x    x b) A   x  x  x  12 x  c) A  x2  x   x2  x   x  x  Ví dụ Cho biểu thức P   x  x2  a) Tìm x để P có nghĩa b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn A III Bài tập áp dụng Bài Tìm giá trị lớn A  x  x Bài Tìm giá trị nhỏ A  x  2x   x  x   x  x   x  8x  16 Bài Tìm giá trị nhỏ A  x  x   x  x  Bài Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức A   x  x2 Bài 3: LIÊN HỆ PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A CHUẨN KIẾN THỨC Qui tắc khai phương tích Muốn khai phương mơt tích số khơng âm, ta khai khai phương thừa số nhân kết với Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Nếu A  0, B  AB  A B Qui tắc nhân bậc hai Muốn nhân bậc hai số khơng âm, ta nhân số dấu với khai phương kết Nếu A, B  A B  AB B PHÂN DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CƠ BẢN Ví dụ Thực phép tính a)  c)    12  27     b)   2  2 Ví dụ Tính giá trị biểu thức a)  b)  2 c)  2   2 d)    NÂNG CAO Ví dụ Tính giá trị biểu thức    a) A     1   b) B        BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Thực phép tính a) b) 72 18  50   24  d)     e) c) 12,1 250 32 200  2   3    f)    5  g)     Bài Tính giá trị biểu thức A     Bài Tính giá trị biểu thức P     Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC CƠ BẢN Ví dụ Rút gọn tìm giá trị (làm trịn đến chữ số thập phân thứ ba) thức sau: Page Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG a) 1  x  x  x   b) 9a  b2   4b  a  2, b   NÂNG CAO Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: a) x  x  b) x   x  c) x   x   x  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Rút gọn tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) thức sau: a)  x  x x  b) x  y   y  x  2, y  Bài Rút gọn biểu thức sau: a) A  x  x   x  b) B  x  x   x  x  Bài Chứng minh a  b  c  1 1 1  2    a b c a b c Dạng 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CƠ BẢN Ví dụ Phân tích thành nhân tử a) x y  y x b) x  x Ví dụ Phân tích thành nhân tử a)  x  x   b)  x x NÂNG CAO Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Phân tích thành nhân tử a) x  x  y  y b) x  x  b) x x  y y c) x x  27 Bài Phân tích thành nhân tử a) b) x   y  xy x  x2 Dạng 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Chứng minh NÂNG CAO a   a  với a  a   a  với a  Page 10 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG b) Tìm GTLN GTNN biểu thức P   x   y Bài Cho số x, y thỏa mãn  x  3,0  y  Tìm GTNN: S  x  y  Bài Chứng minh sau P   a  c   b  d  a  b2  c  d  Gợi ý: Chứng minh bổ đề 3  x     y  2 1 với x, y  Áp dụng kết để tìm GTNN biểu thức   x y x y 35   2ab với a  0, b  0, a  b  a  b ab 3  x  Bài 10 Cho số thực x thỏa mãn P  x4    x   6x2 3  x   x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Gợi ý: Đặt t  x2    x    t   Khi P   t  5   t    2t  2t  41  41 2 Bài 11 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức P  x    x Gợi ý: Dùng tính chất a  b  a  b để tìm GTNN P    x 2  5 x  5 x  3 Bài 12 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn y  x  x  x Bài 13 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn y  x   x  2x2 Bài 14 Tìm GTLN,GTNN y  x4  8x  16  x  x3  13x  12 x  với  x  Bài 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A  x  5x  25  x  5x  25 b) B   x  x2  24  5x  x  x  14 x  59 c) C  x  x   x  x   x  x  13 d) D  x2  y  x  y   3x  y  x  y  19 Gợi ý: Sử dụng tính chất bất đẳng thức trị tuyệt đối a  b  a  b c) C  x    x   x  2   x    x   10 d) D   x  1   y  1   x  1   y    y    y  2 2 Bài 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A  x  y  xy  x  y  4 b) B  x x  x  13 x  x c) C   x y     x  y  xy Page 126 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Gợi ý: a) A     x  y 1     2 b) B   x  x    c) C   x      Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG  x 2 3 A 2 x   12 2 y    y 1        1     x y C  x  y  x  y     1    x 1 Bài 17 Tìm giá trị nhỏ P  x  với x  x2  x      x2  x  P x x 1 Bài 18 Tìm giá trị lớn biểu thức Gợi ý: x2  x  a) A  x  x  x  x   b) B  3x  25 2x Gợi ý: Dùng bđt cô si Bài 19 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức a) A   x   x   x b) B  x x  y y với x  y  Gợi ý: a) max A  3, A  , để tìm GTNN ta áp dụng a  b  ab b) Đặt a  x , b  y   a, b  1 , a  b2  Khi B  a3  b3 a  b3   a  b  a  b2    1   để tìm minB ý B  MaxB  1, B  ab 2  a  b2  Bài 20 Tìm giá trị lớn x a) A    2 x  x  b) B   x   x  x  Bài 21 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức a) A  x    x Gợi ý: a) A    b) B  x  x    x  x  3,0  x  x   12  x  12  x ,áp dụng bổ đề a  b  a  b suy A  để tìm max A ta áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ý A  x   12  x Bài 22 Tìm giá trị nhỏ y  x  x   x  x  Bài 23 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  x  2016 , gợi ý: đặt t  x  2016 Bài 24 Cho x, y số thực thỏa mãn x2  xy  21y  21 Tìm giá trị lớn 3x  y Bài 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Page 127 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 a) A  Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG x  21 ; x 2 x  10 x 2 b) B  Bài 26 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  Bài 27 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x2 x2  x2    x2  4 1 x 2x  2x 1 x 1   2 x 1 x  1  1 x 2x Gợi ý: Viết lại P  11 2    P  2 2x 1 x 1 2x 1 x 1 Bài 28 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  x  x  với *Bài 29 Cho x, y số thực dương thỏa mãn thức P    x 1  x 2 y   Tìm giá trị nhỏ biểu x y  (THPT chyên KHTN Hà Nội 2012-2013) y x x2 y  x  y  Gợi ý: P     x  y Đặt a  x , b  y , ta cần tìm GTNN P  a  b2 với y x x y a  b2 a, b   a  1 b  1  Dễ thầy   a  1 b  1   ab  a  b    a  b2    P  2P  P  2 a  b2 ab  ab ab *Bài 31 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x3  y3  xy  x  y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị Bài 30 Cho a, b hai số dương Tìm GTNN biểu thức S  nhỏ biểu thức P  1 x  x   y 1 y (đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015) Bài 32 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm GTNN A  Gợi ý: Dự đoán minA x  1, y  Ta có  x  1  x   3 x 3 x 3 x 3 x     xy y  x  1 y   y    y    3xy y 1 x 1 3 x    x x 1 x x 1 , Cô si chứng minh y4 7x  2 3 x  Suy A  … 7x  y  1  Bài 33 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x   y3  y   x3 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  3xy  x  y  2018 Page 128 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG xy  x  y   x  y Tìm GTNN P  x  y Bài 34 Cho hai số dương x, y thỏa mãn Gợi ý:  x  y Từ giả (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2012-2013) thiết ta có  xy  x  y    x  y   xy  x  xy  y  2  xy  x   xy  y  Suy 16P  P  P  4 Bài 35 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x   x  x (Đề thi vào 10 Hà Nội 2018) Gợi ý: P   x  x   x  x   x  x   x  , dấu xảy x  Chú ý tính chất: a  b  ab *Bài 36 Với x, y hai số thực dương Tìm GTNN P  x3  x3  y y3 y3   x  y  (Đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN Hà Nội 2011-2012) Gợi ý: Chứng minh bất đẳng thức x x2  x3  y x  y y3 y3   x  y  y2  x  y2 Bài 37 Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn a  1, b  1, c  ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P  a  b2  c (Đề thi vào 10 Hà nội 2017) Gợi ý: Từ giả thiết suy  ab  bc  ca    a  b  c   a 1 b 1  b 1 c 1   c 1 a 1   abc  Ta có P   a  b  c    ab  bc  ca   62  2.9  18 Vậy max P  18 Bài 38 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M   y  x  y  4x  y   x  8x  17 Gợi ý: A  22  y   x  2   y  2 2   x  4  12 Gọi A  2; y  , B  x; 2 , C  4;3 Khi A  OA  AB  BC  OC  Bài 39 Giả sử x, y, z số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y z   y z4 z x4 x y4 (Đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN 2014 -2015) Bài 40 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  a  b  b  c  c  a (Đề thi vào 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh năm 2014-2015) Gợi ý:  a  b, b  c, c  a   P   a  b    b  c    c  a   Dùng bất đẳng thức BCS để tim GTLN , P  Page 129 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Bài 41 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3x  y  z (đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN năm 2011-2012) P  x  5   y    z  Gợi ý: 3 x  y    x  z  2  y  z   3 y  x  Tương tự  y  5   y  z  y  x   3x  y  z 2z  x  y Suy P   z    z  x  z  y   9x  y  6z 2  x  5   x  xy  yz  zx    x  y  x  z   * Bài 42 Cho x, y, z số thưc dương thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biêu thức P  x  3xy  y  y  yz  z  z  3zx  4x Bài 43 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số y  x2  x2  x  Bài 44 Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x 16  x Bài 45 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn    Tìm GTNN P  x  y  z x y z Gợi ý: Dự đoán P x  y  z  Ta có P  x   y  1   z   1  Cô si ta được: P  x  y  3z   ; 1 3 1  x  y  3z        1   3   (BCS) 6 x y z Bài 46 Cho x   0;1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  1 x x Bài 47 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  12 Tìm GTNN P  Bài 48 Cho x  2, y  3, z  Tìm GTLN biểu thức P  1   x y z xy z   yz x   zx y  xyz Bài 49 Cho hai số x, y thỏa mãn x  y  xy   x  y  Tìm GTLN, GTNN số x y Đ/S:   x, y  Bài 50 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  t2  t 1 t2  t 1 Gợi ý: Dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai  x2 y   x y  Bài 51 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P         x   y x y x y Gợi ý: Đặt t    t   Khi P  3t  8t    t     t    10  10 y x Page 130 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG a  b  c  Bài 52 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn  Chứng minh  a; b; c  ab  bc  ca  Gợi ý: Từ giả thiết rút b  c bc theo a Chú ý  b  c   4bc từ suy đpcm Bài 53 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức A  x  xy  y x  xy  y Gợi ý: Xét y  0, xét y  chia tử mẫu cho y được: A  t2  t 1 x , t  trở lại 50 t  t 1 y   Bài 54 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  xy   với x  y  xy   Gợi ý:   x  y   xy  xy    1 255  1 , P  x2 y  2    x2 y  2  x y 256 x y  256 x y  Dùng bđt Cô si đánh giá ta P  289 16 *Bài 55 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  x  , x  x Gợi ý: Biến đổi  P  x   x  sau lập luận để phương trình có nghiệm x  (chú ý P  ) x Đ/S: P  Bài 56 Cho x, y, z số thực Tìm giá trị nhỏ A  3x  y  z  2xy  2xz  2x  Gợi ý: A  3x  x  y  z   y  z  x   3x  x  y  z  2 2  y  z  2  2x  yz  Hay A   x     x  1   2   Bài 57 Cho số thực a thỏa mãn  a  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 1 a T  (THPT Chun Tốn ĐHSP TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010)  a 1 a  Min T  , max T  Gợi ý: T  1  2a a Bài 58 Cho số thực x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ P  x  y  x  8y (THPT Chuyên Đại học Vinh năm 2009-2010) Gợi ý: P   x  y   y  y  x  8y AM GM  Bài 59 Giả sử a, b số thực dương thỏa mãn a 3b   Tìm giá trị lớn biểu thức 1 a 1 b P  ab3 Page 131 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Gợi ý: Chứng minh toán a, b, c, d  a b c d     abcd  1 a 1 b 1 c 1 d 81 81 Bài 60 Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy z  x z  y  3z Tìm giá trị Thay c  d  b ta suy P  z4 lớn biểu thức P   z  x4  y  (Vòng chuyên KHTN Hà Nội năm 2005-2006) Gợi ý: Từ giả thiết áp dụng cô si cho vế trái suy 3z  xy z  x2 z  y  3xyz  z  xy Khi P  z4 z4 z4 z4     2 4 6  z  x  y   z x y  z 1.z z Bài 61 Cho a, b, c, d  a  b  c  d  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  2b  b  2c  c  2d  d  2a Gợi ý: Điểm rơi a  b  c  d  Đánh giá a  2b  3 16  a  2b   4 a  2b  3 Bài 62 Với a, b số thực dương thỏa mãn 4a  b  ab  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016) ab 4a  b  ab 4a.b  ab   mà  4a  b  ab  ab  ab  ab  ab ab ab Suy P  25 1 Bài 63 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  biết , y, z     x2  y2  z2 Gợi ý: P  x  y  z  3 Gợi ý: A  (Trích THTT số 479) x x 6  x 2   y y 6  y 2   z z 6  z 2  x yz x2   x2  Có x   x    Đánh giá tương tự suy A  *Bài 64 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn biểu thức: T a b c  4  4 b  c  a a  c  b a  b4  c (Đề thi vào 10 chuyên Nam Định)     Gợi ý: b4  c4  a  b4  c4  a.abc  bc b2  c2  a 2bc  bc a  b2  c2 Suy a a a2   Tương tự suy T  b4  c  a bc  a  b2  c  a  b2  c Bài 65 Với a, b số thực dương thỏa mãn a  2b Tìm giá trị nhỏ P  a  b2 2ab Page 132 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Gợi ý: MinP đạt a  2b Bài 65 Với a, b số thực dương thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ab  2a b 2 2  a  2b  3c  4d  36 Bài 66 Cho bốn số nguyên không âm a, b, c, d thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ 2 a  b  d    2 2 biểu thức Q  a  b  c  d Gợi ý:Từ giả thiết cộng hai đẳng thức vế theo vế ta  a  b2  c  d   d  42  3Q  42  d  Q  14 Bài 67 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức sau P 2a a 3 2b  b 3 2c  c2  Gợi ý:  ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  2a Khi P   a  ab  bc  ca  AM GM 2a  a  b  a  c   a a  ab  ac  Bài 68 Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a3  b3  c3  Tìm giá trị lớn biểu thức P  2ab   ab  c  2bc   bc  a  2ca  ca  b  Gợi ý: P   2ab ab  6abc   ab  a  b   6abc    a3  b3    a3  b3  c3   12 Bài 69 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a3  b3  c3  6abc Gợi ý:  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc   ab  a  b   a3  3abc Suy a  6abc   a  b  c  ab  bc  ca    ab  bc  ca   ab  bc  ca   Chú ý: Từ  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc 1 Ta có bất đẳng thức tương đương + a  b  c   b2  c  a   c  a  b   a3  b3  c3  3abc (2) + Nếu ta thêm vào hai vế (2) đại lượng 3abc ta  a  b  c  ab  bc  ca   a3  b3  c3  6abc (3) + Do  a  b  c   a3  b3  c3   a  b  b  c  c  a  nên ta có (3) tương đương  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c    a  b b  c  c  a   6abc hay  a  b  c  ab  bc  ca   ab  a  b   bc b  c   ca  c  a    a  b  c  Hay  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c   9abc (4) Page 133 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Bài 70 Cho số thực dương x, y thỏa mãn   Tìm GTNN P  x2  xy  y  x x y 2 1 Gợi ý: P   x  y    x  y  Từ giả thiết suy           xy  x y  x  y xy 2 Khi x  y  x x x x   y2  33 y2   P  y 2  1 1 Bài 71 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  y  z      biết x, y, z số thực y z  x dương thỏa mãn x  y  z Gợi ý:  x4 y    x  y    32  z    x  y   x4  y P       z4        z4 2      x  y  z x y 8z x  x y  z  y 4 4  z  255t  t  255 t 297     5 2  Đặt t     t  1 suy P   32t    8t 8 8t  8t   x y Bài 72 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P  xy  yz  zx  xyz x, y, z số thực không âm thỏa mãn x2  y  z  Gợi ý: giả sử x  y  z    z  Khi P  xy 1  z   z  x  y   x2  y  z2 1  z   z  x  y   1  z  2 x2  y  x2  y   z mà x  y  x.1  y.1     2 2 Tìm max: P  xy 1  z   z  x  y   3  z  1  z   z 5  z     z 1 Suy P  2 2 2 2 1 1 Bài 73 Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN P   a  b  c       a b c Gợi ý: P   a  b  c   27 27 27  33 a  b  c   27 abc 2a  b  c 2a  b  c Bài 74 Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b3  c  Gợi ý: Chứng P    a  b3   Ta có  2a minh bổ ab bc ca  2 2 a  b b  c c  a2 đề  a  b3    a  b   a  b  Khi 4ab 4ab     2a    a  b   a b a  b2     a3  b3  c3   6abc  Page 134 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG   a  b   a  b2  4ab  4ab   3    2ab  a  b    ab ab    a  b  a  b2     a  b2      Suy 4P   ab ab  bc bc  ca ca   4.3 ab ab bc bc ca ca  18 Bài 75 Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ lớn Do P  biểu thức P  a  b  b  c  c  a Gợi ý: Dùng bđt bunhiacopxki ta max P  , để tìm P ta sử dụng tính chất x  x, 0  x  Khi P   a  b    b  c    c  a   Bài 76 Cho ba số dương x, y, z Tìm GTLN biểu thức A  Gợi ý: A  xyz x   1 x2  y  z  y  z   xy  yz  zx   xyz   xyz z  y  z  x  y  z x  y  z   xy  yz  zx   1 x  y  z  xy  yz  zx    1 Bài 77 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức a2 b2 c2   a2  b  c2 b2  c  a c  a  b2 Gợi ý: Dùng bất đẳng thức bunhiacopxki ta P a2  a  b  c  1  b  1   a  b  c   a2  b  c2  a b3 , tương tự ta suy 2 P a b2 b c2 c a2 a ab  2a  b bc  2b  c ca  2c  3 Tiếp tục sử dụng bđt BCS ta cm tử số  3  P  Bài 78 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  abc Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P    a2  b2  c2 Gợi ý: Từ a  b  c  abc áp dụng bất đẳng thức cô si ta 1  a2  abc  abc  a  a  b  c   bc 1 b c      Tương tự suy max P   a  b  a  c   a  b a  c  Bài 79 Cho x, y thỏa mãn x   x  y    y  Tìm GTNN biểu thức S  x  y t 1  1 Gơi ý: t  x   x   x  x   x   t   ta có y   y    y  y  t t 2 t  14 t   y     2 t 4 Page 135 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Bài 80 Cho số dương x, y, z thỏa mãn x2  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy yz zx   z x y x2 y y z z x2     x2  y  z  z x y Gợi ý: P  x2 y y z z x2 Cô si ta chứng minh được:    x  y  z Suy P  z x y *Bài 81 Cho ba số a, b, c thỏa mãn  a, b, c  a  b  c  Tìm GTLN P  a3  b3  c3 Gợi ý: giả sử  a  b  c  , suy  a  b  c  3a   a  Khi a3  b3  c3  a3   b  c   a3    a     a  1 a    3 Bài 82 Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P Gợi ý: a  3a  bc  a  a b c   a  3a  bc b  3b  ca c  3c  ab  a  b  a  c   a  ac  ab  a  a b c  a a  Tương tự suy P  a  3a  bc a b c Bài 83 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z  xyz (Đề thi vào 10 Chuyên Hùng Vương Phú Thọ 2018) Gợi ý: Bài 84 Cho ba số a, b, c  thỏa mãn 32abc  18  a  b  c   27 Tìm giá trị lớn biểu thức Suy a2 1 b2  c2  P   a b c Gợi ý: Sử dụng (Đề thi vào 10 THPT chuyên Hưng Yên năm 2017-2018) bổ đề x  y  z   x  y  z  , x, y, z  1   1  1 1 P        3             a b c a b c   a b c  ta có: 1  27  Từ giả thiết suy 32  18      , áp dụng kết  x  y  z    x  y  z   ab bc ca  abc 1 1  27  1 1  1 1 ,đặt t    ta có: 32  6t  t               a b c a b c  ab bc ca   a b c  abc Suy  t   t     t  Suy P  Bài 85 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn  a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  b2  c (THPT chuyên Vị thành) Gợi ý: giả sử  a  b  c  , suy  c  P  c  a  b  c  a  b2   a  1 b  1 2 2 Page 136 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG P  c2   a  b    a  b    c    c     c    2c  10c  26 2 Với  c  ta dễ dành chứng minh 2c2 10c  26  14  max P  14 a, b, c hoán vị 1; 2;3 Bài 87 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  2abc  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức P      a  b  c  (Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2016-2017) a b c Gợi ý: Ta ý đẳng thức  x  y  y  z  z  x   xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x   2xyz  xy  yz  zx  y  z  z  x   x  y  z  x   y  z  x  y   Do từ giả thiết ab  bc  ca  2abc  Đặt a  Khi P  xyz   x  y  y  z  z  x  x y z ,b  ,c  yz zx x y  x yz xz x y y z     2    với x, y, z  x y z  yz xz x y  1 yz zx x y 1 1 1 1    x    y    z   x y z x z x y  y z 2x 2y 2z 1 Áp dụng bất đẳng thức     m, n   P  yz zx x y m n mn Mặt khác áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: Ta có  x2  x  y  z  , lại x  y  z  xy  yz  zx nên y2 z2  P  2       2  xy  yz  zx   xy  xz yz  yx zx  zy  P  1 Bài 88 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn    Hãy tìm giá trị lớn biểu thức a b c 1 P   2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a (HSG TP Hà Nội 2014-2015) Gợi ý: a  ab  b2  ab 2    a  b   a  b  2 4 ab a  ab  b 1    1   1   1     Tương tự suy P                   ab bc ca    a b   b c   c a  1 Bài 89 Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn    Tìm giá trị lớn biểu thức a b c 1 P   5a  2ab  2b2 5b2  2bc  2c 5c  2ca  2a 2  1 1  1 1 Gợi ý: Tương tự 88 ý đánh giá          a b c a b c  Page 137 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Bài 90 Cho a, b, c số dương tùy ý Tìm giá trị lớn biểu thức S a b  c  7a 2   b c  a  7b Gợi ý: Dùng bđt BCS  b2  c  7a  12  12    c a  b2  7c a 3a   b  c  7a    2 b  c  7a b  c  7a 2 Bài 91 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức a3 b3 c3 P    18abc a  ab  ac  2bc b  ab  bc  2ca c  ca  cb  2ab a3 a3 a3 Gợi ý:   a  ab  ac  2bc a  a  b  c   ab  ac  2bc a  2bc Suy ra: P  a3 b3 c3 1      3abc   2abc      18abc 2 a  2bc b  2ca c  2ab  a  2bc b  2ac c  2ab  1   1  Theo bất đẳng thức BCS dạng phân thức:   9 a  2bc  a  2bc  a  b  c 2 Bài 92 Cho số thực x  1, y  1, z  thỏa mãn 3x2  y  5z  52 Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  z (Trích đề thi vào 10 chuyên Thái Bình vịng năm 2016-2017) Suy max P   a  b  c  Gợi ý: Từ giả thiết ta suy  x2  y  z   52  x  y  52    55  x  y  z  11 Có   x 1 y 1   xy  yz  zx   x  y  z   Suy x2  y  z   xy  yz  zx    x  y  z     x  y  z    x  y  z     x yz 5 Bài 93 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn biểu thức 1   2 a  b  c b  c  a c  a  b2 1 1 b2  c2    Gợi ý: Ta có 2  2 a a 2a a b c 2 2 2 a  b  c   b c b c b c abc bc b2  c 2 2 Mà 2a   b2  c    a  b2  c  (biến đổi tương đương) 3  1 Từ suy P  2 a b c 3 a 2b c P Bài 94 Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a b c abc    b c a a b c Page 138 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG a a b a2 3a , tương tự, sau cộng vế theo vế ta    33 3 b b c bc abc a  b  c abc AM GM a b c a bc  a b c  3 a  b  c  Suy T    3         3 abc b c a abc abc abc b c a *Bài 95 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức Gợi ý: P   ab  bc  ca   abc Gợi ý: giả sử a  b  c Khi a   c suy  a  1 c  1    ac  a  c    b    b Bài 96 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  4, x  y  z   z  b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y  z (Vòng chun ĐHSP TP Hồ Chí Minh) a) Tìm giá trị xy  yz  zx chứng minh Gợi ý: a) xy  yz  zx  ; b) P  3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   P  3xyz  Theo a) suy  x  2 y  2 z     xyz   P  10   2 50 86  Tương tự có  x   y   z     xyz  P   3 27  Page 139 Phạm Như Toàn SĐT:0988819343 Bổ trợ kiến thức, luyện thi đại học, luyện thi HSG Page 140 ... chứng: giả sử a số hữu tỉ dẫn đến mâu thuẫn a  Nếu a, b số hữu tỉ a  b; a  b ; ab ;  b   số hữu tỉ Nếu a số hữu tỉ, b b số vô tỉ a  b số vơ tỉ  Căn bậc hai số học số dương a số dương b cho... Tìm số a cho f  a   g  a  Câu Tìm hàm số f  x  biết f 1  x    8x ĐỀ KIỂM TRA 20 PHÚT Chương II-Bài 1-HÀM SỐ Đề số 02 Câu Cho hàm số f  x   2 x a) Tìm tập xác định hàm số b)... m  hàm số bậc m2 x  hàm số bậc m 1 Ví dụ Tìm m để hàm số y   2m x  hàm số bậc Ví dụ Tìm m để hàm số y    Ví dụ Chứng minh hàm số y  m  2m  x  m  hàm số bậc với m Hàm số đồng biến