Dao động tử điều hòa

27 Chơng IV: Dao động tử điều hoà 4.1. Dao động tử điều hoà một chiều Một vi hạt có khối lợng m chuyển động trong trờng có thế năng 2 2 x K V = . Toán tử Hamilton của hạt là 2 2 22 x K m p H += . (1) Từ đó, phơng trình Schrodinger mô tả chuyển động của hạt có dạng: ( ) ( ) ( ) xExx K x x m =+ 2 2 22 22 h . (2) Ta tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamilton bằng phơng pháp đại số, dựa vào các toán tử sinh và huỷ. Ta định nghĩa các toán tử + 0 2 m pi xa , + 0 2 m pi xa , (3) trong đó h 0 2 m . (4) Dễ thấy rằng + aa , do đó a không phải là toán tử éc-mít. Từ hệ thức giao hoán giữa toán tử toạ độ và toán tử xung lợng [ ] h ipx = , , ta chứng minh đợc hệ thức giao hoán giữa a và + a : 28 [ ] .1 , = + aa (5) Từ biểu thức định nghĩa của a và + a , ta suy ra 2 + + = aa x ; 2 0 + = aa i m p ; += + 2 1 0 aaH h . (6) Nh vậy bài toán tìm trị riêng của H trở thành bài toán tìm trị riêng của toán tử aaN + = . Giả sử n là hàm riêng của toán tử N tơng ứng với trị riêng n : nn nN = . (7) Cho toán tử N tác động lên ( ) n a , ta có ( ) ( ) nnnn aaaaaaaaaaN 1 1 === +++ = = ( ) ( ) ( ) nnn annaNa 11 1 == . (8) Hệ thức trên cho thấy rằng n a là hàm riêng của toán tử N ứng với trị riêng 1 n , nghĩa là: 1 = nn a (ta đ bỏ qua thừa số chuẩn hoá). Tơng tự, 21 = nn a . Vì lí do đó, toán tử a đợc gọi là toán tử huỷ. Chứng minh tơng tự, ta đợc: ( ) nn anaN ++ += 1 , (9) n a + là hàm riêng của toán tử N ứng với trị riêng 1 + n : 1 + + = nn a . Tơng tự, 21 ++ + = nn a . Toán tử + a đợc gọi là toán tử sinh. 29 Do H là tổng các bình phơng của 2 toán tử éc-mít nên 0 H . Khi hệ ở trong trạng thái riêng n thì nnn nNH ) 2 1 () 2 1 ( 00 +=+= hh . (10) Từ đó: 0) 2 1 ( 0 += nH nn h . (11) Suy ra trị riêng n phải thoả mn điều kiện 2 1 n . Mọi trạng thái riêng của H tơng ứng với trị riêng 2 1 <n phải bằng 0. Với dao động tử điều hoà, những trạng thái nh thế không tồn tại. Điều kiện này đợc đảm bảo nếu ta đặt 0 0 = a . Từ đó: 0 ,0 2110 ==== aa . (12) Ngoài ra: 000 .00 === + aaN , (13) ( ) 1100001 .1 1 ===+=== ++++++ aaaaaaaaNN (14) Nh vậy, chỉ số n , đánh dấu hàm riêng n , là số nguyên. Trở lại phơng trình trị riêng nnn nNH ) 2 1 () 2 1 ( 00 +=+= hh , (15) ta suy ra trị riêng năng lợng của dao động tử điều hoà là: 30 += 2 1 0 nE n h , .2,1,0 = n (16) Ta có nhận xét rằng các mức năng lợng của dao động tử điều hoà cách đều nhau; khoảng cách giữa các mức là 0 h . Để tìm hàm riêng của dao động tử điều hoà, ta đặt 222 0 2 xx m h . (17) Khi đó, các toán tử a và + a có dạng += += + 2 1 2 2 00 xm x m pi xa h , (18) = = + 2 1 2 2 00 xm x m pi xa h . (19) Phơng trình Schrodinger mô tả chuyển động của hạt trở thành 0 22 1 2 2 00 = += + + hh EE aa . (20) Hàm sóng ở trạng thái cơ bản 0 thoả mn 0 0 = a , hay, một cách tơng đơng 0 2 1 0 = + . (21) Phơng trình này có nghiệm 2 00 2 .)( = eA . (22) Từ điều kiện chuẩn hoá ta suy ra 0 A = 4 1 . Vậy 31 24 1 0 2 .)( = e . (23) Nếu viết theo biến x thì ( ) ( ) 2 4 1 2 2 0 2 00 22 2 )( xx eeBeBx === . (24) Từ biểu thức của 0 ta suy ra đợc biểu thức của các trạng thái riêng còn lại: 01 + = a , ( ) 0 2 12 2 1 2 1 ++ == aa , ( ) 0 ! 1 n n a n + = . (25) Nếu viết theo biến thì: 2 2 )( = eA n nn . (26) Ta đ biết rằng toán tử vi phân bậc n , ( ) n a + , tác động lên hàm mũ 2 2 e , cho ta cùng hàm mũ đó, nhân với đa thức bậc n theo : 22 22 )( = eHe n n . (27) Vậy hàm riêng của dao động tử điều hoà là 2 2 ).(.)( = eHA nnn . (28) Trong đó hệ số chuẩn hoá ( ) 2 1 !2 = nA n n , 32 còn đa thức )( n H là nghiệm của phơng trình Hermite 0)(2)('2)( " =+ nnn nHHH (29) và đợc gọi là đa thức Hermite bậc n . 4.2. Dao động tử điều hoà 2 chiều Đối với dao động tử điều hoà 2 chiều, toán tử Hamilton của hệ 22 2 2 222 2 ),( y K x K m p m p yxH y x +++= (30) đợc tách thành 2 phần độc lập )( xH và )( yH , tơng ứng với dao động tử điều hoà một chiều theo phơng x và y . Do đó, từ nghiệm của bài toán dao động tử điều hoà một chiều đ xét ở phần trên, ta suy ra nghiệm của bài toán dao động tử điều hoà 2 chiều nh sau: Hàm riêng: 2 22 21 21 21 ).()(.),( + = eHHA nnnn nn , (31) Trị riêng: ( ) 1 210 21 ++= nnE nn h , (32) trong đó: 222 0 2 xx m h , 222 0 2 yy m h , (33) )( n H là là đa thức Hermite bậc n (biến , = ). 21 nn A là hệ số chuẩn hoá. Ta có nhận xét: Các hàm riêng tơng ứng với trị riêng năng lợng 21 nn E có dạng tích ' 2 ' 1 . nn sao cho 21 ' 2 ' 1 nnnn +=+ . Nh vậy trạng thái riêng tơng ứng với trị riêng năng lợng 21 nn E bị suy biến bội 1 21 ++ nn . . Chơng IV: Dao động tử điều hoà 4.1. Dao động tử điều hoà một chiều Một vi hạt có khối lợng m chuyển động trong trờng có thế năng 2 2 x K V = . Toán tử Hamilton. đợc gọi là đa thức Hermite bậc n . 4.2. Dao động tử điều hoà 2 chiều Đối với dao động tử điều hoà 2 chiều, toán tử Hamilton của hệ 22 2 2 222 2 ),( y