Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1.4: Một vật đƣợc ném lên trên theo phƣơng thẳng đứng. Ngƣời quan sát thấy vật đó đi qua vị trí có độ cao h hai lần và khoảng thời gian giữa hai lần đó là t. Tìm vận tốc ban đầu và[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VẬT LÝ ĐẠI CƢƠNG
CƠ – NHIỆT
Hà Nội, 03/2014 Chu trình Carnot
H
Q
V
const T
C
Q Tconst
0 Q
Q
P
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VẬT LÝ ĐẠI CƢƠNG
CƠ – NHIỆT
(Dành cho sinh viên khoa Vật lý)
SINH VIÊN : HOÀNG VĂN TRỌNG
NGÀNH : Địa lý tự nhiên
ĐIỆN THOẠI : 0974 971 149
EMAIL : hoangtronghus@gmail.com
(3)Lời chia sẻ
Vật lý học môn khoa học nghiên cứu cấu trúc dạng vận động tổng quát
nhất giới vật chất Nhận thức Vật lý học giúp hiểu biết chất giới tự nhiên có biện pháp ứng xử, vận dụng cho phù hợp Trong khn khổ chƣơng trình đào tạo theo tín chỉ, sinh viên khoa Vật lý đƣợc trang bị kiến thức Vật lý đại cương thông qua môn học: Cơ Nhiệt Điện Quang Hầu hết kiến thức đƣợc giới thiệu chƣơng trình trung học phổ thông nhƣng đại học có điều kiện tìm hiểu sâu sắc chất sở toán học tƣợng vật lý
Môn học Cơ Nhiệt nghiên cứu vấn đề sau:
+ Cơ học (hay Cơ học cổ điển) nghiên cứu dạng chuyển động vật vĩ mô, giúp nhận biết quy luật chuyển động vật mà hàng ngày tiếp xúc nhiều chịu tác động từ Tại xe phanh gấp ngƣời ngồi xe lại có xu hƣớng đổ phía trƣớc? Tại Trái Đất quay quanh Mặt Trời 365 ngày Sao Mộc quay quanh Mặt Trời lại 4329 ngày? Nguyên nhân đâu mà xuất lực Coriolis làm lệch hƣớng chuyển động vật? Các kiến thức Cơ học giúp ta giải thích đƣợc nhiều tƣợng chuyển động tự nhiên
+ Nhiệt học nghiên cứu mối quan hệ dạng lượng hệ vật chất
(nhiệt lượng, công, nội năng) sở Vật lý phân tử Những phát minh làm thay
đổi giới nhƣ: động nƣớc, động đốt trong, máy lạnh,…đều dựa vào nguyên lý mối quan hệ tất yếu
Phần Cơ học tập trung thời lƣợng cho Cơ học cổ điển Newton, sau giới thiệu Cơ học tƣơng đối tính Einstein ba định luật Keppler Phần Nhiệt học nhìn chung dễ so với Cơ học, với nội dung xoay quanh nguyên lý nguyên lý nhiệt động lực học
Để trình tiếp thu đƣợc hiệu trƣớc hết cần nắm vững lý thuyết lớp, sau tùy tập cụ thể mà vận dụng cho linh hoạt Nền tảng Tốn học đạo hàm, vi phân, tích phân, phép tốn véctơ (cộng, trừ, tích vơ hƣớng, tích có hƣớng) cần thiết cho mơn học Nội dung lý thuyết không sở để giải tập liên quan mà đề thi cuối kỳ yêu cầu thiết lập biểu thức vận dụng để giải thích tƣợng
Những dịng chữ nhỏ phía cuối trang phần giải thích dẫn Sau tập thƣờng có mục “hƣớng dẫn” giải dạng khái quát Khi cần tham khảo tài liệu này, bạn truy cập vào “Link download” cuối file để tải cập nhật
Trên chút kiến thức ỏi mà muốn chia sẻ bạn Do hạn chế nhận thức môn học nên chắn cịn nội dung viết chƣa chƣa đầy đủ, mong bạn thông cảm góp ý để hồn thiện thêm
Mọi thắc mắc xin gửi địa email: hoangtronghus@gmail.com hoangtronghus@yahoo.com.vn
Sinh viên
(4)(5)MỤC LỤC
PHẦN I: CƠ HỌC
CHƢƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 1
A LÝ THUYẾT
1.1 Các khái niệm
1.2 Véctơ vận tốc véctơ gia tốc
1.3 Một số dạng chuyển động thƣờng gặp
B BÀI TẬP
Bài 1.1: Một ngƣời chạy đua với vận tốc thay đổi theo thời gian đƣợc minh họa đồ thị hình vẽ Hỏi ngƣời chạy đƣợc quãng đƣờng 16 giây
Bài 1.2: Đồ thị phụ thuộc vận tốc vật vào thời gian có dạng nhƣ hình vẽ Vận tốc cực đại vật v0, thời gian chuyển động t0 Hãy xác định quãng đƣờng mà vật đƣợc thời gian
Bài 1.3: Một ngƣời quan sát đứng ngang với đầu tàu hỏa lúc bắt đầu chuyển động nhận thấy toa chạy ngang qua khoảng thời gian t = 4s Hỏi toa tàu thứ n = chạy ngang qua ngƣời khoảng thời gian lâu? Biết chuyển động tàu nhanh dần đều, độ dài toa nhƣ bỏ qua độ dài chỗ nối toa
Bài 1.4: Một vật đƣợc ném lên theo phƣơng thẳng đứng Ngƣời quan sát thấy vật qua vị trí có độ cao h hai lần khoảng thời gian hai lần t Tìm vận tốc ban đầu thời gian chuyển động vật từ lúc ném đến vật rơi vị trí ban đầu
Bài 1.5: Hai vật đƣợc ném đồng thời từ điểm Vật thứ đƣớc ném thẳng đứng lên với vận tốc v0 = 25m/s, vật thứ hai đƣợc ném với vận tốc ban đầu v0 tạo với phƣơng ngang góc = 600 Xác định khoảng cách hai vật sau thời gian t = 1,7s 10
Bài 1.6: Một đá đƣợc ném với vận tốc ban đầu v0 = 20m/s theo phƣơng hợp với phƣơng nằm ngang góc = 600 Xác định bán kính cong R quỹ đạo đá điểm cao điểm rơi xuống mặt đất Bỏ qua sức cản khơng khí 11
Bài 1.7: Một tàu chuyển động dọc theo xích đạo hƣớng đơng với vận tốc v0 = 30km/h Trong lúc có luồng gió với vận tốc v = 15km/h thổi đến từ hƣớng đơng nam hợp với phƣơng xích đạo góc = 600 Hãy xác định vận tốc v' luồng gió so với tàu ' góc hƣớng gió xích đạo hệ quy chiếu gắn với tàu 11
CHƢƠNG 2: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 13
A LÝ THUYẾT 13
2.1 Lực khối lƣợng 13
2.2 Ba định luật Newton 13
2.3 Động lƣợng, xung lƣợng, định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng 13
2.4 Chuyển động chất điểm hệ quy chiếu phi quán tính 15
B BÀI TẬP 16 Bài 2.1: Một vật A khối lƣợng m1 = 3kg nằm mặt phẳng nghiêng góc = 300 so với
phƣơng nằm ngang Vật A đƣợc nối với B có khối lƣợng m2 = 2kg sợi dây
(6)sát dây với ròng rọc Cho biết hệ số ma sát vật A mặt phẳng nghiêng = 0,1 16 Bài 2.2: Một vật đƣợc ném lên theo mặt phẳng nghiêng tạo với phƣơng nằm ngang góc = 150 Tính hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng Biết thời gian xuống vật n = lần thời gian lên 17 Bài 2.3: Một vật khối lƣợng m = 1kg buộc vào đầu dây có chiều dài l = 30cm, đầu
dây đƣợc giữ cố định điểm O Cho vật chuyển động tròn mặt phẳng ngang, sợi dây hợp với phƣơng thẳng đứng góc = 600 Hãy xác định vận tốc v, sức căng T dây 18 Bài 2.4: Một ngƣời khối lƣợng m1 = 60kg đứng thang máy có khối lƣợng m2 =
300kg Thang máy chuyển động lên với gia tốc a = 0,8 m/s2 Tính lực căng dây cáp treo thang máy, lực ngƣời nén lên sàn, hai trƣờng hợp thang máy chuyển động: 19 a) Nhanh dần 19 b) Chậm dần 19 Bài 2.5: Một ngƣời nặng 72kg ngồi sàn treo nặng 12kg nhƣ hình vẽ Hỏi ngƣời
phải kéo dây với lực để sàn chuyển động nhanh dần lên cao đƣợc 3m thời gian 2s Tính áp lực ngƣời lên sàn 20 Bài 2.6: Hãy xác định gia tốc vật m1, m2 lực căng T dây hệ
mô tả hình vẽ Cho biết dây khơng co giãn, bỏ qua ma sát, khối lƣợng ròng rọc dây không đáng kể 20 Bài 2.7: Một vật A khối lƣợng m1 buộc vào đầu dây vắt qua ròng rọc, đầu vòng
B khối lƣợng m2 trƣợt dọc sợi dây Tính gia tốc chuyển động vòng B, lực ma
sát sợi dây vòng B A chuyển động đều, ban đầu hệ đứng yên Bỏ qua khối lƣợng ròng rọc ma sát 21 Bài 2.8: Một vật khối lƣợng m đứng yên đỉnh mặt phẳng nghiêng nhờ lực ma sát
Cho biết chiều dài mặt phẳng nghiêng S = 1m, góc = 300, hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng = 0,6 Hỏi: 22 a) Mặt phẳng nghiêng chuyển động với gia tốc amax (so với mặt đất)
để vật đứng yên nêm 22 b) Nếu gia tốc chuyển động mặt phẳng nghiêng a0 = m/s2 lâu
vật trƣợt đến chân mặt phẳng nghiêng 22 Bài 2.9: Một chậu nƣớc trƣợt mặt dốc có góc nghiêng so với phƣơng ngang Hệ
số ma sát trƣợt chậu mặt dốc < tan Hãy xác định góc nghiêng mặt nƣớc so với mặt dốc 24 Bài 2.10: Một ngƣời đứng cân bàn đặt xe nhỏ Khi xe chuyển động không ma sát
trên mặt phẳng nghiêng góc so với phƣơng nằm ngang ngƣời thấy trọng lƣợng cịn 3/4 trọng lƣợng xe đứng yên Hãy xác định góc 25 Bài 2.11: Một sợi dây không co giãn vắt qua rịng rọc cố định có khối lƣợng không
đáng kể Một đầu dây treo vật khối lƣợng m, đầu dây có khỉ khối lƣợng 2m bám vào Con khỉ leo lên dây với gia tốc a’ so với dây Hãy tìm gia tốc a khỉ mặt đất 26 Bài 2.12: Sự quay Trái Đất xung quanh trục làm mặt nƣớc sơng
không nằm mặt phẳng nằm ngang Hãy xác định phía bờ sơng bên mức nƣớc cao tính độ chênh lệch mức nƣớc đó, biết sơng nằm bán cầu phía bắc chảy từ bắc xuống nam Độ rộng sông l, vận tốc dịng chảy v, vĩ độ nơi , vận tốc góc Trái Đất quay quanh trục , bỏ qua lực quán tính ly tâm 27 Bài 2.13: Một đoàn tàu hỏa khối lƣợng m chuyển động dọc theo đƣờng xích đạo từ
(7)quanh trục với vận tốc , bỏ qua ma sát, xác định lực tác dụng
đƣờng ray lên đoàn tàu 28
Bài 2.14: Một cốc đựng nƣớc hình trụ quay quanh trục đối xứng hƣớng theo phƣơng thẳng đứng với vận tốc góc Hãy xác định phƣơng trình mơ tả dạng mặt nƣớc cốc 29
CHƢƠNG 3: CÔNG VÀ NĂNG LƢỢNG 30
A LÝ THUYẾT 30
3.1 Năng lƣợng, công công suất 30
3.2 Động năng, định lý biến thiên động 30
3.3 Thế năng, định lý biến thiên 31
3.4 Cơ năng, định luật bảo toàn 32
3.5 Va chạm 32
B BÀI TẬP 34
Bài 3.1: Một vật khối lƣợng m đƣợc ném lên dọc mặt phẳng nghiêng góc so với phƣơng nằm ngang Cho biết vận tốc ban đầu v0, hệ số ma sát , tính quãng đƣờng đƣợc vật đến dừng lại công lực ma sát quãng đƣờng 34
Bài 3.2: Một vật chuyển động từ đỉnh dốc phẳng DC có độ cao h dừng lại sau đƣợc đoạn nằm ngang CB Cho AB = s, AC = l, hệ số ma sát xe mặt đƣờng đoạn DC CB Tính hệ số ma sát gia tốc xe đoạn đƣờng nói 35
Bài 3.3: Từ độ cao H dọc theo mặt phẳng nghiêng dài l = H/3 tạo với phƣơng ngang góc = 300 ngƣời ta cho cầu trƣợt không ma sát sau rơi mặt phẳng nằm ngang Va chạm đƣợc coi hồn tồn đàn hồi Tìm độ cao hmax mà cầu nâng lên đƣợc sau va chạm 36
Bài 3.4: Một vòng đệm nhỏ A trƣợt từ đỉnh đồi nhẵn độ cao H tới bờ dốc thẳng đứng chuyển động tiếp không gian rơi xuống bãi đất nằm ngang nhƣ hình vẽ Hỏi độ cao h bờ dốc thẳng đứng phải để trƣợt xuống khỏi bờ dốc vòng đệm A bay xa đạt đƣợc khoảng cách Smax, tính khoảng cách 37
Bài 3.5: Hai nặng m1 m2 = nm1 đƣợc nối với hai đầu dây đƣợc vắt qua rịng rọc Giả thiết dây khơng co giãn khối lƣợng ròng rọc đƣợc bỏ qua Vật m2 đƣợc nâng lên độ cao h2 = 30cm cho m1 chạm đất, sau thả cho m2 rơi xuống Hỏi độ cao h1 mà m1 đạt đƣợc m2 chạm đất 38
Bài 3.6: Một cầu nhỏ trƣợt không ma sát theo máng nghiêng mà phần cuối uốn thành vịng trịn bán kính R Hỏi: 38
a) Phải thả cầu cho trƣợt khơng vận tốc ban đầu độ cao H để khơng rời khỏi máng điểm cao quỹ đạo 38
b) Trong trƣờng hợp vật thả độ cao h không thỏa mãn điều kiện câu a, tính độ cao h’ mà vật rời khỏi rãnh 38
Bài 3.7: Một viên đạn khối lƣợng m bay theo phƣơng nằm ngang đâm vào vật khối lƣợng M đƣợc treo sợi dây độ dài l (hình vẽ) dừng lại Ngƣời ta thấy sợi dây bị lệch góc so với phƣơng thẳng đứng Hãy xác định vận tốc viên đạn trƣớc đâm vào vật M số phần trăm động ban đầu viên đạn biến thành nhiệt 40 Bài 3.8: Một hạt neutron khối lƣợng m va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử C khối
(8)Bài 3.9: Một ngƣời khối lƣợng M = 70kg đứng yên mặt băng Ngƣời ném theo phƣơng ngang hịn đá khối lƣợng m = 3kg với vận tốc ban đầu v = 8m/s Tìm
khoảng giật lùi ngƣời trƣợt băng Cho biết hệ số ma sát = 0,02 42
Bài 3.10: Một súng đƣợc đặt xe chuyển động theo quán tính đƣờng sắt với vận tốc V Nòng súng hƣớng theo chiều chuyển động xe tạo với sàn xe góc Khi súng bắn viên đạn khối lƣợng m, vận tốc xe chở súng giảm lần Tìm vận tốc v viên đạn (so với súng) khỏi nòng Khối lƣợng xe súng M 42
CHƢƠNG 4: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 43
A LÝ THUYẾT 43
4.1 Khối tâm hệ chất điểm 43
4.2 Vật rắn, chuyển động tịnh tiến vật rắn 44
4.3 Phƣơng trình vật rắn quay xung quanh trục cố định 44
4.4 Mơmen qn tính vật rắn, định lý Steiner – Hugen 45
4.5 Mômen động lƣợng vật rắn, biến thiên bảo tồn mơmen động lƣợng 45
4.6 Động vật rắn quay quanh trục cố định 46
B BÀI TẬP 47
Bài 4.1: Tính tọa độ khối tâm vật đồng tính có chiều dày khơng đổi, kích thƣớc nhƣ hình vẽ 47
Bài 4.2: Một thuyền đứng yên mặt nƣớc lặng Khối lƣợng thuyền M = 140kg, chiều dài thuyền L = 2m, mũi thuyền có ngƣời khối lƣợng m1 = 70kg, thuyền có ngƣời khác khối lƣợng m2 = 40kg Hỏi hai ngƣời tiến lại đổi chỗ cho thuyền dịch đoạn bao nhiêu? Bỏ qua sức cản nƣớc 48
Bài 4.3: a)Tìm mơmen qn tính đồng chất trục vng góc với qua trung điểm thanh, khối lƣợng m độ dài L 49
b) Tìm mơmen qn tính khối trụ đồng chất khối lƣợng m, bán kính R, trục đối xứng dọc 49
c) Tìm mơmen qn tính khối cầu đồng chất khối lƣợng m, bán kính R, trục đối xứng 49
Bài 4.4: Trong đĩa đồng chất hình trịn bán kính R, khối lƣợng m, ngƣời ta kht hai lỗ trịn bán kính r có tâm đối xứng với qua tâm đĩa cách tâm đĩa khoảng a Hãy tính mơmen qn tính phần đĩa cịn lại trục qua tâm đĩa vng góc với mặt phẳng đĩa 50
Bài 4.5: Hai vật khối lƣợng m1 m2 nối với dây vắt qua ròng rọc khối lƣợng m Dây khơng co giãn, ma sát trục rịng rọc bỏ qua Tìm gia tốc góc rịng rọc tỷ số sức căng T1/T2 phần dây nối với vật trình chuyển động 51
Bài 4.6: Trên hình trụ đặc đồng chất khối lƣợng m1 bán kính R, ngƣời ta quấn sợi mảnh Một đầu sợi có buộc vật có khối lƣợng m2 Tại thời điểm t = hệ bắt đầu chuyển động Bỏ qua ma sát trục hình trụ, tìm phụ thuộc theo thời gian của:52 a) Vận tốc góc hình trụ 52
b) Động tồn hệ 52
Bài 4.7: Hai đĩa nằm ngang quay tự xung quanh trục thẳng đứng qua tâm chúng Các mơmen qn tính đĩa với trục I1 I2, vận tốc góc 1 2 Sau đĩa rơi xuống đĩa dƣới, hai đĩa ma sát chúng sau thời gian bắt đầu quay nhƣ vật thống Hãy tìm: 53
a) Vận tốc góc hệ hai đĩa đƣợc hình thành nhƣ 53
(9)Bài 4.8: Tính gia tốc khối tâm viên bi lăn không trƣợt mặt phẳng nghiêng
một góc so với phƣơng nằm ngang 54
CHƢƠNG 5: DAO ĐỘNG VÀ SÓNG CƠ 56
A LÝ THUYẾT 56
5.1 Dao động điều hòa, biến đổi bảo toàn lƣợng 56
5.2 Tổng hợp hai dao động phƣơng có tần số gần nhau, tƣợng phách 57
5.3 Sóng ngang sóng dọc 58
5.4 Phƣơng trình truyền sóng đại lƣợng đặc trƣng 58
5.5 Hiện tƣợng giao thoa sóng, sóng dừng 59
5.6 Hiệu ứng Doppler 61
B BÀI TẬP 61
Bài 5.1: Xác định chu kỳ dao động bé cột thủy ngân có khối lƣợng m = 200g đƣợc đổ vào vào ống cong (hình vẽ) có nhánh bên phải tạo góc = 300 so với phƣơng thẳng đứng Diện tích thiết diện lòng ống S = 0,5cm2 Bỏ qua độ nhớt thủy ngân 61
Bài 5.2: Một hệ học đƣợc bố trí nhƣ hình vẽ Góc mặt phẳng nghiêng mặt phẳng ngang Hệ số đàn hồi lò xo k Khối lƣợng vật m1 m2 Khối lƣợng lị xo rịng rọc khơng đáng kể Dây khơng co giãn Chứng minh hệ dao động điều hoa kéo vật khỏi vị trí cân đoạn nhỏ Xác định tần số góc dao động 62
Bài 5.3: Năng lƣợng toàn phần dao động tử điều hòa đơn giản E0, biên độ dao động dao động tử x0 Tính động Eđ Et dao động tử x x Li độ x dao động tử Eđ = Et? 63
Bài 5.4: Một cầu đƣợc treo vào lò xo, thực dao động điều hòa theo phƣơng thẳng đứng với tần số xác định Nếu truyền cho điểm treo dao động điều hòa theo phƣơng thẳng đứng với tần số 20 Hz 24 Hz hai trƣờng hợp phách đƣợc sinh có tần số Hỏi với tần số dao động điểm treo, tần số phách lớn gấp đôi 64
Bài 5.5: Khi cộng hai dao động điều hịa phƣơng dao động tổng hợp điểm có dạng x = a cos 2,1t cos 50t, t tính giây Tìm tần số góc dao động thành phần chu kỳ phách dao động tổng hợp 64
Bài 5.6: Hai lắc vật lí thực dao động bé xung quanh trục nằm ngang với tần số 1 2 Các mơmen qn tính chúng trục tƣơng ứng I1 I2 Ngƣời ta đƣa lắc trạng thái cân bền gắn chặt chúng với Tần số dao động bé lắc hợp thành 65
Bài 5.7: Để xác định vận tốc âm khơng khí phƣơng pháp cộng hƣởng âm, ngƣời ta dùng ống có pittơng màng âm bịt kín đáy ống Tìm vận tốc âm, khoảng cách vị trí pittơng mà ngƣời ta quan sát đƣợc tƣợng cộng hƣởng tần số f = 2000 Hz l = 8,5cm 66
Bài 5.8: Một ngƣời đứng cạnh đƣờng ray vị trí A quan sát tàu hỏa chạy qua Khi tàu tiến lại phía A, ngƣời đo đƣợc tần số còi tàu f1 = 219 Hz Khi tàu chạy xa khỏi A, ngƣời đo đƣợc tần số cịi tàu f2 = 184 Hz Tìm vận tốc u đoàn tàu tần số f0 cịi tàu (nếu tàu đứng n) Biết vận tốc sóng âm khơng khí v0 = 340m/s 66 Bài 5.9: Một ngƣời đứng vị trí P sân ga quan sát hai đoàn tàu A B chuyển
động ngƣợc hƣớng nhƣ hình vẽ Vận tốc đồn tàu A vA = 15m/s, cịi tàu A phát
(10)khơng khí v = 340m/s Hỏi ngƣời quan sát đo đƣợc bƣớc sóng 1 tần số f1
đồn tàu A bao nhiêu? Ngƣời lái tàu B nghe đƣợc tần số f2 từ còi tàu A bao nhiêu?67
CHƢƠNG 6: TRƢỜNG HẤP DẪN 68
A LÝ THUYẾT 68
6.1 Định luật vạn vật hấp dẫn 68
6.2 Trƣờng hấp dẫn, trƣờng hấp dẫn 68
6.3 Các định luật Keppler chuyển động hành tinh trƣờng hấp dẫn 69
6.4 Các vận tốc vũ trụ 69
B BÀI TẬP 70
Bài 6.1: Tính lực hấp dẫn đồng tính có chiều dài L, khối lƣợng m1 lên cầu nhỏ khối lƣợng m2 đặt cách đầu khoảng a 70
Bài 6.2: Bên cầu đồng tính tâm O, bán kính R, khối lƣợng M có lỗ hình cầu bán kính r R/2 Tính lực hút phần cịn lại cầu lên cầu nhỏ khối lƣợng m đặt cách tâm O khoảng d = 2R nhƣ hình vẽ 71
Bài 6.3: Chứng minh lực hấp dẫn lớp vỏ hình cầu đồng tính khối lƣợng M tác dụng lên hạt khối lƣợng m nằm vỏ cầu 71
Bài 6.4: Một điểm phải cách tâm Trái Đất khoảng để lực hấp dẫn tổng hợp Trái Đất Mặt Trăng khơng? Cho biết khối lƣợng Trái Đất lớn khối lƣợng Mặt Trăng 81 lần, khoảng cách tâm hành tinh lớn bán kính R Trái Đất 60 lần 72
Bài 6.5: Một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời theo elip cho khoảng cách cực tiểu Mặt Trời r, cịn khoảng cách cực đại R Tìm chu kỳ quay xung quanh Mặt Trời (khối lƣợng Mặt Trời M) 73
Bài 6.6: Một thiên thể chuyển động tới Mặt Trời; cách xa Mặt Trời có vận tốc v0, cánh tay đòn véc tơ v0 tâm Mặt Trời l Tìm khoảng cách nhỏ mà thiên thể lại gần Mặt Trời 74
CHƢƠNG 7: CƠ SỞ CỦA THUYẾT TƢƠNG ĐỐI HẸP 76
7.1 Phép biến đổi Galileo 76
7.2 Các tiên đề thuyết tƣơng đối hẹp Einstein 77
7.3 Phép biến đổi Lorentz 77
7.4 Cơ học tƣơng đối tính 77
PHẦN II: NHIỆT HỌC 79
CHƢƠNG 8: NHIỆT LƢỢNG VÀ NGUYÊN LÝ THỨ I CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 79
A LÝ THUYẾT 79
8.1 Nguyên lý thứ nhiệt động lực học 79
8.2 Nguyên lý thứ nhiệt động lực học 79
8.3 Áp dụng nguyên lý cho số trình đặc biệt 80
8.4 Nhiệt dung nhiệt chuyển trạng thái 81
B BÀI TẬP 82
Bài 8.1: Một cầu kim loại lọt khít qua vịng dây kim loại nhiệt độ phịng 82
Nung nóng cầu, khơng nung vịng dây, cầu lọt qua vòng dây kim loại đƣợc không? 82
(11)Bài 8.2: Giả sử có thang nhiệt độ ký hiệu Z Nhiệt độ sôi nƣớc theo thang Z
600Z, điểm ba nƣớc –150Z 82
Tìm thay đổi Z vật theo thang Z, thay đổi theo thang Fahrenheit F = 560F 82
Nhiệt độ vật theo thang Fahrenheit tính theo thang Z -960 Z 82
Bài 8.3: Độ dài ray 00C 12m Nhiệt độ cao năm nơi đặt ray 420C Nhiệt độ lúc đặt ray 200C Hỏi phải đặt ray với khoảng cách tối thiểu hai để đảm bảo an toàn Cho hệ số nở dài vật liệu làm ray = 11.10-6K-1 82
Bài 8.4: Khối lƣợng riêng vật hàm số nhiệt độ Hệ số nở khối vật Hỏi nhiệt độ biến thiên T biến thiên theo T nhƣ nào? 83
Bài 8.5: Tính nhiệt lƣợng cần cung cấp cho miếng nƣớc đá khối lƣợng m = 720g nhiệt độ –100C để biến thành lỏng 150 C 83
Giả thiết ta cung cấp cho miếng nƣớc đá nhiệt lƣợng 210 kJ Hỏi trạng thái nƣớc nhƣ nhiệt độ bao nhiêu? Cho nhiệt dung riêng đá c1 = 2,22 kJ/kg.K, nhiệt dung riêng nƣớc c3 = 4,186 kJ/kg.K, nhiệt nóng chảy đá = 333 kJ/kg 83
Bài 8.6: Một tƣờng cách nhiệt gồm lớp: 84
Lớp thứ dày La, hệ số dẫn nhiệt ka Lớp thứ tƣ dày Ld = 2La, hệ số dẫn nhiệt kd = 0,5ka Lớp thứ hai lớp thứ ba có độ dày nhƣ làm chất Nhiệt độ T1 = 250C, T2 = 200C T5 = –100C Sự dẫn nhiệt trạng thái dừng Hỏi nhiệt độ T4 T3 84
Bài 8.7: Một chất khí giãn từ thể tích 1m3 tới 4m3 theo đƣờng B giản đồ PV nhƣ hình vẽ Sau đƣợc nén trở thể tích 1m3 theo đƣờng A C Tính cơng khí thực chu trình 85
Bài 8.8: Một chất khí chịu trình biến đổi theo đồ thị giản đồ PV Tính nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc chu trình 86
Bài 8.9: Một chất khí bị biến đổi từ trạng thái đầu A tới trạng thái cuối B theo ba cách khác nhƣ mô tả giản đồ PV Trong q trình theo đƣờng 1, khí nhận nhiệt lƣợng 10PiVi Tính theo PiVi nhiệt lƣợng khí nhận đƣợc biến thiên nội khí trình theo đƣờng đƣờng 87
Bài 8.10: Khí thực chu trình nhƣ hình vẽ Tính nhiệt lƣợng khí trao đổi q trình CA, biết trình AB hệ nhận nhiệt lƣợng QAB = 20J, trình BC đoạn nhiệt cơng hệ thực tồn chu trình 15J 88
CHƢƠNG 9: THUYẾT ĐỘNG HỌC CHẤT KHÍ 89
A LÝ THUYẾT 89
9.1 Chất khí lý tƣởng Quãng đƣờng tự trung bình 89
9.2 Phƣơng trình thuyết động học phân tử 90
9.3 Định luật phân bố phân tử theo vận tốc Maxwell 92
9.4 Định luật phân bố phân tử theo Boltzmann 92
9.5 Sự phân bố lƣợng theo bậc tự 93
9.6 Nhiệt dung khí lý tƣởng 93
9.7 Cơng q trình đẳng nhiệt, đoạn nhiệt 94
B BÀI TẬP 95
Bài 9.1: Một xylanh chứa 12l ôxi nhiệt độ 200C, áp suất 15atm Nếu nhiệt độ tăng lên đến 350C thể tích giảm xuống cịn 8,5l áp suất cuối khí 95
(12)Bài 9.3: Khơng khí tích 0,2 m3
áp suất 1,2.105 Pa đƣợc giãn đẳng nhiệt đến áp suất khí sau đƣợc làm lạnh dƣới áp suất khơng đổi đạt đƣợc thể
tích ban đầu Tính cơng khí sinh 96
Bài 9.4: Một mol khí ơxi ban đầu 00C đƣợc đốt nóng áp suất khơng đổi Tính nhiệt lƣợng cần cung cấp để thể tích khí tăng lên gấp đôi 96
Bài 9.5: Do nhận nhiệt lƣợng 22J nên khối khí thay đổi từ thể tích 50cm3 đến 100cm3 áp suất đƣợc giữ khơng đổi 1atm 97
a) Tính độ biến thiên nội khối khí 97
b) Nếu lƣợng khí 2.10-3 mol nhiệt độ thay đổi 97
c) Nhiệt dung mol đẳng áp 97
Bài 9.6: Một hệ chứa mol khí Heli giãn nở dƣới áp suất không đổi nhiệt độ tăng lên lƣợng T = 200C 98
a) Tính nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ q trình 98
b) Tính độ biến thiên nội hệ 98
c) Tính cơng khí thực giãn nở 98
Bài 9.7: Ở nhiệt độ 200C, dƣới áp suất 75cmHg quãng đƣờng tự trung bình phân tử khí Nitơ Argon là: N = 27,5.10-6cm Ar = 9,9.10-6cm 98
a) Tính tỷ số bán kính phân tử N2 Ar 98
b) Tính qng đƣờng tự trung bình phân tử khí Argon 200C dƣới áp suất 15cmHg 400C dƣới áp suất 75cmHg 98
CHƢƠNG 10: ENTROPI VÀ NGUYÊN LÝ THỨ II CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC100 A LÝ THUYẾT 100
10.1 Quá trình thuận nghịch bất thuận nghịch 100
10.2 Động nhiệt máy lạnh Hai cách phát biểu nguyên lý II nhiệt động lực học100 10.3 Chu trình Carnot 101
10.4 Biểu thức định lƣợng nguyên lý II nhiệt động lực học Entropy 103
B BÀI TẬP 106
Bài 10.1: Một tủ lạnh dùng công 150J để lấy nhiệt lƣợng 560J từ buồng lạnh Tính: 106
a) Hệ số làm lạnh tủ 106
b) Nhiệt lƣợng tỏa môi trƣờng 106
Bài 10.2: Một mol khí đơn nguyên tử đƣợc đun nóng đẳng tích từ nhiệt độ 300K đến nhiệt 600K sau giãn đẳng nhiệt đến áp suất ban đầu đƣợc nén đẳng áp đến thể tích ban đầu Hãy tính: 106
a) Nhiệt lƣợng hệ hấp thụ chu trình 106
b) Cơng hệ sinh chu trình 106
c) Hiệu suất chu trình 106
Bài 10.3: Một hệ khí đơn nguyên tử thực chu trình nhƣ hình vẽ Quá trình BC đoạn nhiệt với PB = 10 atm, VB = 10-3 m3 VC = 8.10-3 m3 Tính: 108
a) Nhiệt lƣợng hệ hấp thụ đƣợc chu trình 108
b) Nhiệt lƣợng hệ tỏa môi trƣờng chu trình 108
c) Hiệu suất chu trình 108
Bài 10.4: Một động nhiệt chạy theo chu trình Stirling nhƣ hình vẽ Các trình AB CD đẳng nhiệt Các q trình BC DA đẳng tích Động sử dụng n = 8,1.10-3 mol khí lý tƣởng, thực 0,7 chu trình 1s Nhiệt độ nguồn nhiệt động T1 = 950C T2 = 240C, VB = 1,5VA Tính: 109
a) Cơng động thực chu trình 109
b) Công suất động 109
c) Nhiệt lƣợng cung cấp cho khí chu trình 109
(13)Bài 10.5: Tính độ tăng entropi q trình biến đổi 1g nƣớc 00C thành nƣớc
1000C Biết nhiệt hóa nƣớc 2,25.106J/kg nhiệt dung riêng nƣớc
4,18.103 J/kg.K 110
Bài 10.6: Tính độ biến thiên Entropi q trình thuận nghịch biến đổi 6g khí H2 từ thể tích V1 = 10l, áp suất P1 = 1,5 atm đến thể tích V2 = 60l áp suất P2 = atm 111 Bài 10.7: Một hệ gồm n mol khí lƣỡng nguyên tử thực chu trình gồm trình AB, BC, CD, DA nhƣ hình vẽ Hãy tính cơng hệ sinh ra, nhiệt hệ nhận đƣợc biến thiên nội hệ trình theo giá trị nhiệt độ T1, T2 giá trị Entropi S1, S2, S3 hệ 111
Bài 10.8: Một hệ khí thực chu trình nhƣ hình vẽ Tính: 113
a) Công sinh chu trình 113
b) Nhiệt lƣợng hệ nhận từ nguồn nhiệt độ cao chu trình 113
c) Hiệu suất chu trình 113
Bài 10.9: Q trình biến đổi mol khí đa nguyên tử đƣợc trình bày giản đồ TS nhƣ hình vẽ Biết nhiệt lƣợng hệ nhận q trình AB gấp đơi nhiệt lƣợng tỏa q trình BC Tính: 114
a) Nhiệt lƣợng hệ trao đổi chu trình 114
b) Cơng hệ nhận đƣợc q trình BC 114
KẾT LUẬN 115
NỘI DUNG ÔN TẬP 116
1 Nội dung ôn tập kỳ II năm học 2013 – 2014 116
2 Nội dung ôn tập kỳ I năm học 2014 – 2015 117
3 Nội dung ôn tập kỳ II năm học 2014 – 2015 118
4 Nội dung ôn tập kỳ I năm học 2015 – 2016 119
MỘT SỐ ĐỀ THI CUỐI KỲ 120
1 Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 120
2 Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 (đề riêng cho K56 CLC KHMT) 124
3 Đề thi cuối kỳ I năm học 2012 – 2013 129
4 Đề thi cuối kỳ I năm học 2013 – 2014 132
5 Đề thi cuối kỳ II năm học 2013 – 2014 136
6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 140
7 Đề thi cuối kỳ II năm học 2014 – 2015 144
8 Đề thi cuối kỳ phụ – hè năm 2015 149
9 Đề thi cuối kỳ I năm học 2015 – 2016 156
PHỤ LỤC: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 160
(14)(15)PHẦN I: CƠ HỌC1
CHƢƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM2
A LÝ THUYẾT
1.1 Các khái niệm
a) Chuyển động học:
Chuyển động vật dịch chuyển vị trí vật so với vật khác không gian theo thời gian
b) Chất điểm:
Khi kích thƣớc vật chuyển động nhỏ nhiều so với quỹ đạo chuyển động coi vật chất điểm Chất điểm điểm vật chất khơng có kích
thước khối lượng khối lượng vật c) Hệ quy chiếu:
Để nhận biết đƣợc chuyển động vật ta cần có vật mốc quy ƣớc đứng yên, để định lƣợng đƣợc chuyển động ta cần có hệ tọa độ đồng hồ gắn với vật mốc Vật mốc, hệ tọa độ đồng hồ gắn liền với gọi hệ quy chiếu
- Các hệ tọa độ thƣờng dùng: Hệ tọa độ đề Oxyz:
Vị trí chất điểm đƣợc đặc trƣng véctơ bán kính r với x, y, z thành phần véctơ r trục Ox, Oy, Oz Khi tọa độ chất điểm x, y, z
Ký hiệu: M(x, y, z)
Hệ tọa độ cầu:
Vị trí chất điểm đƣợc cho ba tham số: r, ,
1 Nội dung phần Cơ học nằm chƣơng: 2, 3,
Chƣơng khảo sát chuyển động mà không xét đến tác nhân gây chuyển động (lực) Cần hiểu khái niệm nhớ công thức phục vụ cho chƣơng sau Bài thi kỳ cuối kỳ hầu nhƣ không rơi vào chƣơng
y r
x
y
x z
O
M z
x
M
y z
θ
x
y z
(16)Mối liên hệ hệ tọa độ đề Oxyz hệ tọa độ cầu:
r z cos arc θ
x y arctan
z y x r
rcosθ z
rsinθsin y
cos rsinθ x
2 2
d) Véctơ dịch chuyển:
Phƣơng pháp chung để xác định vị trí chất điểm khơng gian sử dụng véctơ bán kính r, có điểm đầu gốc tọa độ điểm cuối vị trí chất điểm
z k y j x i
r
(với i, j,k véctơ đơn vị ứng với trục Ox, Oy, Oz)
+ Tại thời điểm t1, vị trí chất điểm đƣợc xác định r1
+ Tại thời điểm t2, vị trí chất điểm đƣợc xác định r2
Véctơ dịch chuyển r sau khoảng thời gian t = t2 – t1 là:
1
2 r
r Δr
e) Phương trình chuyển động chất điểm:
Khi chất điểm M chuyển động, tọa độ x, y, z hệ tọa độ thay đổi theo thời gian t hay x, y, z hàm t:
) (t r r z(t)
z
y(t) y
x(t) x
(1.1)
Phƣơng trình (1.1) phƣơng trình chuyển động chất điểm M g) Quỹ đạo:
Quỹ đạo chất điểm đƣờng tạo tập hợp tất vị trí chất điểm khơng gian suốt q trình chuyển động
1.2 Véctơ vận tốc véctơ gia tốc
a) Véctơ vận tốc:
Véctơ dịch chuyển r sau khoảng thời gian t: Δrr(tΔt)r(t)
x
Δr
2
r
1
r
y
z
(17)+ Véctơ vận tốc trung bình tỷ số véctơ dịch chuyển Δr khoảng thời
gian t xảy dịch chuyển đó:
Δt Δr vtb
+ Vận tốc tức thời:
dt dr Δt Δr lim v
0
Δt
(1.2)
Véctơ vận tốc có phƣơng trùng với phƣơng tiếp tuyến đƣờng cong quỹ đạo thời điểm t
b) Véctơ gia tốc:
+ Véctơ gia tốc trung bình tỷ số thay đổi véctơ vận tốc Δv khoảng thời gian t xảy thay đổi vận tốc đó:
Δt Δv atb
+ Véctơ gia tốc tức thời: 2
Δt dt
r d dt
v d Δt Δv lim
a
(1.3)
Một số công thức chuyển động thẳng có gia tốc khơng đổi (chuyển động
đều chuyển động biến đổi đều):
Gọi: t thời gian chuyển động
v0, vt vận tốc ban đầu vận tốc thời điểm t
a gia tốc chuyển động (a = const)
S quãng đƣờng vật đƣợc sau khoảng thời gian t Thì ta có1:
2aS v
v
at t v S
at v v
2 t
2
0 t
(1.4)
c) Véctơ gia tốc tiếp tuyến véctơ gia tốc pháp tuyến2:
1 Một số công thức quan trọng chƣơng 1: (1.4); (1.6); (1.9); (1.13) 2 Mục không cần nhớ cách chứng minh
τ
R τ'
d τ
(18)Xét chất điểm chuyển động quỹ đạo cong với vận tốc thay đổi theo thời gian hƣớng độ lớn
Giả thiết chất điểm chuyển động đƣờng tròn tâm O bán kính R Độ cong quỹ đạo ký hiệu k (đặc trƣng véctơ đơn vị tiếp tuyếnτ) đƣợc xác định nghịch đảo bán kính R quỹ đạo điểm
dS d R
1
k (với dS vi phân độ dài cung tròn)
Véctơ vận tốc: v vτ
Gia tốc:
dt dτ v τ dt dv dt
) τ d(v dt
dv
a (1)
Xét:
R v d
dτ dt dS dS d d
dτ dt dτ
(2) (vì
R dS d
v
dt dS
)
Véctơ τ véctơ đơn vị nên: τ2 1
Vi phân hai vế ta đƣợc: 2τdτ0τ dτ
Từ hình vẽ ta có: dττd ddτnd (3)
(với n véctơ đơn vị pháp tuyến vng góc với véctơ đơn vị tiếp tuyến điểm quỹ đạo bán kính cong R)
Từ (1), (2) (3) suy ra:
n t
a a n R v τ dt dv
a (1.5) Độ lớn: a a2t an2
Gia tốc chất điểm chuyển động đƣờng cong tổng hợp gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến Khi chất điểm chuyển động đƣờng thẳng gia tốc pháp tuyến 0, chất điểm chuyển động trịn gia tốc tiếp tuyến (chỉ cịn thành phần gia tốc pháp tuyến góc quay thay đổi)
1.3 Một số dạng chuyển động thƣờng gặp1
a) Chuyển động vật bị ném xiên lên góc 0, vận tốc ban đầu v0:
Giả sử ban đầu vật gốc tọa độ O Phân tích vận tốc vật theo hai phƣơng Ox Oy:
1 Bài tập thi cuối kỳ thƣờng kết hợp với dạng chuyển động ném xiên ném ngang
L y
x
0
θ
0x
v O
0
v
0y
(19) 0 0y 0 0x θ sin v v θ cos v v
- Xét theo phương nằm ngang (hình chiếu vật Ox chuyển động đều):
0 0 0x θ cos v x t t θ cos v t v
x (1)
- Xét theo phương thẳng đứng: vật chuyển động chậm dần với gia tốc a = – g
(chọn chiều dƣơng hƣớng lên trên)
2 0 0y t g t sinθ v t g t v
y (2)
Thay (1) vào (2) ta đƣợc:
2 0 0 0 θ cos v x g θ cos v x sinθ v y 2
0 θ x
cos 2v g θ tan x
y (1.6)
Phƣơng trình có dạng: y = ax + bx2 (với a, b số) Do quỹ đạo
chuyển động có dạng parabol
Độ dài L theo phương nằm ngang: Tại x = L y = 0:
0 x θ cos 2v g tanθ x y 2
0
) (2θ sin g v θ sin θ 2cos g v x x x θ cos 2v g tanθ x 0 0 2 0
Vậy quãng đƣờng vật đƣợc là: sin(2θ ) g v L 0 (1.7)
Lmax sin(20) = 0 = 450 Độ cao lớn (h) mà vật đạt được:
Tại độ cao h: vy = (vận tốc theo phƣơng Oy 0)
g v t gt v
vy 0y 0y
2g θ sin v 2g v g v g g v v gt t v y 2 0y 0y 0y 0y 0y
max
(20)Vậy độ cao là:
2g θ sin v
h
2
(1.8)
b) Chuyển động vật bị ném ngang1, vận tốc ban đầu v0:
Giả sử vật khối lƣợng m bị ném ngang từ điểm O có độ cao h Sau truyền vận tốc ban đầu v vật chịu tác dụng trọng lực P (bỏ qua sức cản
của không khí) Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ
- Xét theo phương nằm ngang:
t v
x 0 (1)
- Xét theo phương thẳng đứng: vật rơi tự với gia tốc g (chọn chiều dƣơng
hƣớng xuống dƣới)
2
gt
y (2)
Thay (1) vào (2) ta đƣợc:
2
0
v x g
y 2
0
x 2v
g
y (1.9)
(quỹ đạo chuyển động vật có dạng parabol) + Tầm ném xa:
g 2y v x x 2v
g
y 2 0
0
Nếu vật độ cao h tầm ném xa là:
g 2h v
L 0 (1.10)
+ Thời gian từ lúc ném đến chạm đất: thời gian vật rơi tự độ cao ban đầu:
g 2h
t (1.11)
1 Có thể suy từ chuyển động ném xiên mục a, góc ném
0
v
x
y O h
(21)c) Chuyển động tròn đều:
Xét chất điểm chuyển động tròn với vận tốc không đổi Hai điểm P, Q gần đối xứng với qua trục Oy Ta có thành phần x, y véctơ vận tốc P, Q là:
sinθ v v
cosθ v v ; sinθ v v
cosθ v v
Qy Qx Py
Px
Thời gian cần thiết để chất điểm chuyển động từ P Q:
v R2θ v
PQ cung Δt
Véctơ gia tốc trung bình theo phương:
+ Theo phƣơng Ox:
0 Δt
cosθ v cosθ v Δt
v v
atb(x) Qx Px
+ Theo phƣơng Oy:
Δt sinθ v Δt
sinθ v sinθ v Δt
v v
atb(y) Qy Py
Về độ lớn: sinθθ
R v
v R2θ 2vsinθ Δt
2vsinθ a
2
tb(y)
Khi P Q 00 Ta có:
R v θ sinθ R v lim a
2
0
θ
(1.12)
Trong chuyển động trịn đều, gia tốc ln hƣớng vào tâm quỹ đạo trịn ln vng góc với véctơ vận tốc
Một số công thức chuyển động tròn biến đổi (nhanh chậm dần đều) Gọi: t thời gian chuyển động
0, t vận tốc góc ban đầu vận tốc góc thời điểm t gia tốc góc chuyển động ( = const)
lƣợng góc quay đƣợc sau khoảng thời gian t
Thì ta có:
2β ω ω
βt t ω
βt ω ω
2 t
2
0 t
(1.13)
x y
O
P vP Q
Q
v θ
(22)B BÀI TẬP
Bài 1.1: Một ngƣời chạy đua với vận tốc thay đổi theo thời gian đƣợc minh họa bằng đồ thị hình vẽ Hỏi ngƣời chạy đƣợc quãng đƣờng trong 16 giây1
Quãng đƣờng ngƣời chạy đƣợc 16 giây là:
16
0
dt v S
Vận tốc chạy lần lƣợt là: nhanh dần đều, đều, chậm dần đều; ứng với khoảng thời gian [0, 2], [2, 10], [10, 12], [12, 16] giây Quãng đƣờng đƣợc tổng diện tích đa giác: (a), (b), (c), (d) nhƣ hình vẽ
Quãng đƣờng đƣợc:
(m) 100 4.4 2
4 8.8 2.8 S S S S
S (a) (b) (c) (d)
Bài 1.2: Đồ thị phụ thuộc vận tốc vật vào thời gian có dạng nhƣ hình vẽ Vận
tốc cực đại vật v0, thời gian chuyển động t0 Hãy xác định quãng đƣờng
mà vật đƣợc thời gian đó2
Đồ thị thể phụ thuộc vận tốc theo thời gian có dạng nửa hình elip, hai bán trục v0 t0/2 Quãng đƣờng
đƣợc diện tích nửa hình elip Diện tích hình elip có hai bán trục v0
và t0/2 là3:
2 t v π
0
Quãng đƣờng đƣợc:
4 t v π S 0
(m)
Bài 1.3: Một ngƣời quan sát đứng ngang với đầu tàu hỏa lúc bắt đầu chuyển động nhận thấy toa chạy ngang qua khoảng thời gian t = 4s Hỏi toa tàu thứ n = chạy ngang qua ngƣời khoảng thời gian bao nhiêu lâu? Biết chuyển động tàu nhanh dần đều, độ dài
toa nhƣ bỏ qua độ dài chỗ nối toa4
Hướng dẫn5
: Vì tàu chuyển động nhanh dần nên toa sau
chuyển động nhanh qua người quan sát Thời gian toa thứ n chạy qua thời
1
Giống với trang 180, giáo trình Q1 Hoặc tƣơng tự trang 36, giáo trình Q2
2Giống với trang 180, giáo trình Q
1 (xem tên giáo trình mục “Tài liệu tham khảo”, cuối file này)
Công thức đƣợc chứng minh áp dụng ln
4 Giống với trang 181, giáo trình Q
5 Mỗi tập thƣờng có mục “Hướng dẫn” để khái quát hƣớng giải cho tập
v (m/s)
4
16 t (s) 12
8
0
(a)
(b)
(c) (d)
v
t v0
0
(23)gian n toa chạy qua trừ thời gian (n – 1) toa chạy qua Sử dụng công thức chuyển động biến đổi để biểu diễn thời gian n toa chạy qua theo thời gian toa chạy qua (t = 4s)
Gọi gia tốc chuyển động a
+ Chiều dài toa đầu tiên: at12
2
l (với t1 thời gian toa chạy qua)
+ Chiều dài n toa đầu tiên: n at2n
l (với tn thời gian n toa chạy qua)
+ Chiều dài (n – 1) toa đầu tiên: n-1 at2n-1
l
Mà chiều dài toa nên ta có:
2
1 -n n 2
1 -n n 2
1 -n
n at t t t t t t
2 at
2 at
1
Suy ra: t2n-1 t2n-2 t2 Do đó:
2 2
-3 n 2
2 -n
n t 2t t 3t nt
t
n t tn
(vì t1 = t = 4s)
Tƣơng tự ta có: tn1 t n1 Do đó, thời gian toa thứ n chạy qua:
n n 1
t t
tn n1
Vậy, thời gian toa thứ chạy qua: 4 7 60,785(s)
Bài 1.4: Một vật đƣợc ném lên theo phƣơng thẳng đứng Ngƣời quan sát thấy vật qua vị trí có độ cao h hai lần khoảng thời gian hai lần t Tìm vận tốc ban đầu thời gian chuyển động vật từ lúc ném đến vật rơi vị trí ban đầu
Hướng dẫn: Viết phương trình chuyển động vật, phương trình có dạng bậc hai theo thời gian t Sau biểu diễn hai nghiệm t1 t2 theo vận tốc ban đầu v0
và tham số biết
Gọi v0 vận tốc ban đầu, chọn chiều dƣơng
hƣớng lên Ta có:
0 2h t 2v gt
gt t v
h 0
2
0
Bài tốn tƣơng ứng với việc tìm v0 cho
phƣơng trình có hai nghiệm t1 t2 thỏa mãn:
(t2 – t1) = t
Tính: Δ'b'2acv20 2gh
Khi ' > phƣơng trình có nghiệm t1, t2 Áp dụng hệ thức Vi – ét: )
(
2 gt t v h
2
0
max
h
0
(24) g 2h a c t t g 2v a b t t 2
Mà: (t2 – t1) = t
2 2 2 2
1 t t t t 4t t t
t
2 2 2 2 g t g g 8gh g 4v t g 8h g
4v
8gh t g v 2
(thỏa mãn điều kiện ' > 0)
8gh t g v 2 2 g 8h t g v
Vật mặt đất (h = 0) thì: gt22v0t 0t =
g 2v t
Do đó:
2 g 8h t 2g 2g g 2v t 2 g 8h t t
Bài 1.5: Hai vật đƣợc ném đồng thời từ điểm Vật thứ đƣớc ném
thẳng đứng lên với vận tốc v0 = 25m/s, vật thứ hai đƣợc ném với vận tốc
ban đầu v0 tạo với phƣơng ngang góc = 60
0 Xác định khoảng cách hai
vật sau thời gian t = 1,7s
Hướng dẫn: Viết phương trình chuyển động hai vật theo phương Ox Oy để xác định tọa độ vật sau khoảng thời gian t Khoảng cách hai vật được xác định thông qua tọa độ chúng
Phƣơng trình chuyển động hai vật theo phƣơng Ox, Oy:
Đối với vật (vật ném đứng):
gt t v y : Oy x : Ox 1
Đối với vật (vật ném xiên góc 600
): gt sinθ t v y : Oy cosθ t v x : Ox 2 x 60 ) y , (x1 1
) y , (x2 2 y
(25)Khoảng cách hai vật sau khoảng thời gian t = 1,7s là:
2 2
0 2 2 2
2 x y y v t cos θ v t sinθ
x
d
sinθ 2 t v
d 0 25.1,7 2 22(m)
Bài 1.6: Một đá đƣợc ném với vận tốc ban đầu v0 = 20m/s theo phƣơng hợp
với phƣơng nằm ngang góc = 600 Xác định bán kính cong R quỹ đạo hịn
đá điểm cao điểm rơi xuống mặt đất Bỏ qua sức cản khơng khí
Hướng dẫn: Bán kính cong quỹ đạo điểm xác định thông qua gia tốc pháp tuyến an
Tại điểm tổng gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyền gia tốc trọng trường1: a a g
n t
Chiếu vận tốc lên trục Ox, Oy:
* Bán kính cong điểm cao A:
g v a v R g a v cosθ v v Ax n A A n Ay Ax g θ cos v R 2
A 10,2 m
8 , 202
* Bán kính cong điểm mặt đất B:
gcosθ θ sin v θ cos v a v R gcosθ a sinθ v v cosθ v v 2 2 n B B n By Bx gcosθ v R
B 81,6 (m)
Bài 1.7: Một tàu chuyển động dọc theo xích đạo hƣớng đông với vận tốc v0
= 30km/h Trong lúc có luồng gió với vận tốc v = 15km/h thổi đến từ
hƣớng đông nam hợp với phƣơng xích đạo góc = 600 Hãy xác định vận
tốc v' luồng gió so với tàu ' góc hƣớng gió xích đạo hệ
quy chiếu gắn với tàu2
Hướng dẫn: Các vận tốc thể qua hình vẽ Sử dụng định lý cosin tam giác để tìm vận tốc v', định lý sin tam giác để tìm góc '
1 Thống lấy gia tốc trọng trƣờng: g = 9,8m/s2
2Giống với trang 182, giáo trình Q
1
θ θ'
v v'
0 v A B θ v x y O Ax v g an
g
n
a
B
(26)* Vận tốc luồng gió so với đồn tàu có phương chiều hình vẽ:
0
0 v' v v
v ' v
v
Độ lớn:
0
0
cos120 v
2v v v
v' 1575 (theo định lý cosin)
(km/h) 39,7
v'
* Góc hướng gió xích đạo hệ quy chiếu gắn với tàu:
Áp dụng định lý sin tam giác ta có:
0,3273 1575
2 / 15 v'
sin120 v
' sinθ sin120
v' '
sinθ
v
0
θ'arcsin0,3273
0
(27)CHƢƠNG 2: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM1
A LÝ THUYẾT
2.1 Lực khối lƣợng
Lực đại lƣợng đặc trƣng cho tác dụng vật lên vật khác gây gia tốc
Khối lƣợng đại lƣợng đặc trƣng cho vật khác chịu lực nhƣ nhƣng nhận đƣợc gia tốc khác
2.2 Ba định luật Newton
a) Định luật I Newton:
Vật đứng yên hay chuyển động thẳng khơng chịu tác dụng ngoại lực tổng hợp lực tác dụng lên vật
0 F
a (2.1)
Định luật I đƣợc gọi định luật quán tính2 Hệ quy chiếu xác định định luật
này gọi hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu mà
chuyển động chất điểm không chịu tác dụng lực nào) b) Định luật II Newton:
Lực tổng hợp tác dụng lên vật tích khối lượng vật với gia tốc mà vật nhận tác dụng lực tổng hợp
a m
F (2.2)3
c) Định luật III Newton:
Khi hai vật tương tác với lực mà vật tác dụng lên vật ngược chiều với lực tác dụng từ vật lên vật 1:
21
12 F
F (2.3)
Chú ý: Mặc dù hai lực có độ lớn ngƣợc chiều nhƣng không điểm đặt nên chúng không triệt tiêu với Định luật áp dụng đƣợc khoảng thời gian mà lực truyền từ vật sang vật ngắn so với khoảng thời gian tƣơng tác hai vật
2.3 Động lƣợng, xung lƣợng, định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng
a) Động lượng chất điểm:
Động lƣợng chất điểm đƣợc định nghĩa bởi: Pmv
1
Chƣơng khảo sát chuyển động chất điểm mối liên hệ với tác nhân gây chuyển động (lực)
2 Qn tính có nghĩa là: vật khơng chịu tác dụng lực trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng
nó đƣợc bảo tồn
3 Phƣơng trình định luật II Newton đƣợc coi phương trình động lực học chất điểm Thực ra, định
luật II Newton đƣợc phát biểu dƣới dạng tổng quát hơn: “biến thiên động lượng chất điểm tổng hợp lực
tác dụng lên chất điểm đó” Nhƣng mơn học khảo sát chất điểm có khối lƣợng khơng thay đổi
(28)b) Xung lượng lực:
Gọi (t)F lực tác dụng lên chất điểm, lực thay đổi phụ thuộc vào thời gian t
Xung lƣợng lực tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian t = t2 – t1:
1
t
t
(t)dt F
J (2.4)
c) Định luật biến thiên bảo toàn động lượng:
Độ biến thiên động lƣợng chất điểm theo thời gian:
(t) F a m dt dv m dt
) v d(m dt
dP
2
1
1
t
t t
t
(t)dt F dP (t)dt
F
dP P2P1 J (2.5)
Độ biến thiên động lượng chất điểm khoảng thời gian xung lượng ngoại lực tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian
Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm động lượng bảo tồn:
const P
0 F dt
dP
(2.6)
d) Chuyển động vật có khối lượng thay đổi (tên lửa)1:
Xét khối lƣợng tổng cộng tên lửa M0 Trong trình chuyển động khối
lƣợng tên lửa giảm dần đồng thời vận tốc tăng dần Tìm vận tốc v tên lửa khối lƣợng M
Động lƣợng tên lửa thời điểm có khối lƣợng M, vận tốc v: P1 Mv
Sau khoảng thời gian dt, tên lửa khối lƣợng khí dM
Nếu vận tốc khí so với tên lửa u vận tốc khí so với hệ quy chiếu xét là: uv
Động lƣợng khí ra: dM uv
Lúc khối lƣợng tên lửa M – dM, vận tốc tên lửa vdv
Động lƣợng tên lửa sau khí: MdMvdv
Tổng động lƣợng hệ sau khí:
u v M dMv dv dM
P2
Vì hệ kín nên động lƣợng đƣợc bảo tồn: P1P2
(29)
u v M dMv dv dM
v
M
dMdv dM
v dv M v M dM v dM u v
M
dMdv dv
M dM u
0
Bỏ qua thành phần vô nhỏ bậc (dMdv) ta đƣợc:
M
M v
0
u M dM dv
u M dM dv
dv M dM
u
M
M0 M
dM u
v
Về độ lớn:
M M ln u
v (2.7) (Công thức Xioncopsky)
Để có v lớn phải tăng u tăng tỷ lệ M M0
2.4 Chuyển động chất điểm hệ quy chiếu phi quán tính1
Hệ quy chiếu phi quán tính hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc so với hệ quy chiếu qn tính Có hai dạng đơn giản hệ quy chiếu phi quán tính:
+ Chuyển động thẳng có gia tốc + Chuyển động quay
a) Hệ quy chiếu phi quán tính dạng chuyển động thẳng có gia tốc:
Giả sử hệ quy chiếu K, chất điểm có vận tốc v gia tốc a Trong hệ quy
chiếu K', chất điểm có vận tốc v' gia tốc a' Hệ K' có vận tốc v0, gia tốc a0 so với
hệ K thì:
0
a ' a a
v ' v v
(2.8)
a' m a m F a
m a' m a
m
Biểu diễn đại lƣợng: Fqt ma0 nhƣ lực gọi lực quán tính, ta đƣợc:
a' m F
F qt (2.9)
Tổng lực tác dụng lên chất điểm khối lượng chất điểm nhân với gia tốc hệ quy chiếu phi quán tính Phƣơng trình (2.9) phƣơng trình định luật II
Newton hệ quy chiếu phi quán tính dạng chuyển động thẳng có gia tốc
b) Hệ quy chiếu phi quán tính dạng chuyển động quay đều, lực quán tính ly tâm lực Coriolis:
Xét hệ quy chiếu K K' có Oz trùng với O'z'
1 Các tập thi kiểm tra thƣờng không vào dạng Tuy nhiên, chuyển động hệ quy chiếu phi quán
(30)Các trục O'x' O'y' quay xung quanh O'z' với vận tốc góc Gọi alà gia tốc
của chất điểm hệ K a'là gia tốc hệ K', biến đổi ta đƣợc:
a' m ' r mω ] ω ' v 2m[ a
m
FFC FL ma' (2.10)
Trong đó:
a m
F tổng lực thật tác dụng lên vật hệ K
] ω ' v 2m[
FC lực coriolis, v' vận tốc hệ K'
' r mω
FL lực quán tính ly tâm, 'r vị trí chất điểm K' B BÀI TẬP
Bài 2.1: Một vật1 A khối lƣợng m1 = 3kg nằm mặt phẳng nghiêng góc = 300
so với phƣơng nằm ngang Vật A đƣợc nối với B có khối lƣợng m2 = 2kg
một sợi dây không co giãn qua ròng rọc cố định Hãy xác định gia tốc chuyển động vật, lực căng sợi dây áp lực lên ròng rọc Bỏ qua khối lƣợng sợi dây, ròng rọc ma sát dây với ròng rọc Cho biết hệ số ma sát vật
A mặt phẳng nghiêng = 0,1
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho vật Chiếu lên chiều chuyển động giải hệ phương trình
* Gia tốc chuyển động vật:
Chọn chiều dƣơng chiều chuyển động vật nhƣ hình vẽ Chiếu lực tác dụng lên chiều chuyển động:
+ Đối với vật A, khối lƣợng m1:
a m T F
Pt ms 1
(1) a m T F
Pt ms 1
(vì T1 = T2 = T)
+ Đối với vật B, khối lƣợng m2:
a m T
PB 2
(2) a m T PB 2
Cộng vế (1) (2) ta đƣợc:
)a m (m P F
Pt ms B 1 2
1 Thuật ngữ “vật” chƣơng chƣơng đƣợc coi nhƣ chất điểm
ms
F
A
P
B
P
N
n
P
t
P
1
T
2
T
0
30
F
1 m
(31))a m (m g m cosθ g μm sinθ g
m1 1 2 1 2
1 m m cosθ μm sinθ m m g a
0,47(m/s )
5 cos30 0,1.3 sin30 9,8 0
* Lực căng T sợi dây có độ lớn là:
a) (g m T a m P T a m T
PB 2 B 2 2
1 2 m m cosθ μm sinθ m m g m T 1 2 m m cosθ μm sinθ m m m m g m T 2 m m cosθ μ sinθ g m m T (N) 18,7 cos30 0,1 sin30 , T 0
* Áp lực tác dụng lên ròng rọc:
) T T (
F 1 có phƣơng, chiều nhƣ hình vẽ
Độ lớn:
θ 2Tcos F
(theo định lý cosin tam giác)
N) ( , 32 2.18,7.cos F
Bài 2.2: Một vật đƣợc ném lên theo mặt phẳng nghiêng tạo với phƣơng nằm
ngang góc = 150 Tính hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng Biết
thời gian xuống vật n = lần thời gian lên1
Hướng dẫn: Từ giả thiết tx = 2tl mà quãng
đường dài nhau, suy mối liên hệ ax
al Viết phương trình định luật II Newton cho hai chiều lên xuống chiếu lên chiều chuyển động Giải hệ phương trình để tìm
Gọi hệ số ma sát
Quãng đƣờng lên xuống Khi lên vật chuyển động chậm dần (al < 0), xuống vật chuyển động nhanh dần (ax > 0)
x 2 x x x x a n a n t t a a t a t a
S
l l
l l
l
1Giống với 13 trang 183, giáo trình Q
(32)Viết phƣơng trình định luật II Newton cho vật Chọn chiều dƣơng chiều chuyển động
+) Khi vật chuyển động lên:
l
l P F ma
ma F
Pt ms t ms
θ) cos μ g(sinθ a
ma cosθ μmg sinθ
mg
l l
+) Khi vật chuyển động xuống:
x ms
t x ms
t F ma P F ma
P
θ) cos μ g(sinθ a
ma cosθ μmg sinθ
mg x x
Mà: al n2ax đó:
1)sinθ (n
θ cos 1)μ (n
θ) cos μ g(sinθ n
θ) cos μ
g(sinθ 2 2
tanθ
1 n
1 n μ 22
tanθ
5 μ
Bài 2.3: Một vật khối lƣợng m = 1kg buộc vào đầu dây có chiều dài l = 30cm, đầu kia dây đƣợc giữ cố định điểm O Cho vật chuyển động tròn mặt
phẳng ngang, sợi dây hợp với phƣơng thẳng đứng góc = 600 Hãy xác định
vận tốc v, sức căng T dây
Hướng dẫn: Lực căng xác định trong mối liên hệ với trọng lực lực hướng tâm Sau đó, áp dụng biểu thức chuyển động trịn bán kính R để suy vận tốc v
+) Tính lực căng T:
Vật m chịu tác dụng lực căng T trọng lực P Tổng hợp lực
một lực hƣớng vào tâm Fhtvà gây chuyển động tròn vật
P T Fht
Chiếu lên phƣơng chuyển động (phƣơng v) ta đƣợc:
0
Fht (vì Fht v)
P Tcosθ
cosθ P
T 19,6 (N)
5 ,
8 , 60 cos
mg
0
+) Tìm vận tốc v:
Trong chuyển động tròn ta có:
v O
l
θ T
m
P
ht
(33)R mv F
2
ht (với R bán kính quỹ đạo: R = lsin Fht = Tsin)
sinθ mv Tsinθ
2
l m
θ sin T v
2
l
2,1 (m/s)
1
60 in
19,6.0,3.s
Bài 2.4: Một ngƣời khối lƣợng m1 = 60kg đứng thang máy có khối lƣợng m2
= 300kg Thang máy chuyển động lên với gia tốc a = 0,8 m/s2 Tính lực căng
của dây cáp treo thang máy, lực ngƣời nén lên sàn, hai trƣờng hợp thang máy chuyển động:
a) Nhanh dần b) Chậm dần
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho hệ người thang máy, chiếu lên chiều chuyển động để tìm lực căng dây cáp treo Áp lực người lên sàn ngược chiều với lực mà sàn tác dụng lên người, viết phương trình định luật II Newton cho riêng người để suy lực nén
a) Lực căng dây cáp áp lực người lên sàn thang máy chuyển động
nhanh dần đều:
Áp lực người lên sàn (W ):
W m a W m a P W ma ( mg)
P1 1 1 1 1 W m1(ag)
(N) 636 9,8)
60.(0,8
W
b) Lực căng dây cáp áp lực người lên sàn thang máy chuyển động
chậm dần đều:
a m T P
Chiếu lên chiều chuyển động a < 0: a) m(g T
ma T
mg
T(m1m2)(ga) (60300)(9,80,8)3240 (N) Áp dụng định luật II Newton cho hệ
ngƣời thang máy:
a m
F (với F tổng ngoại lực)
a m T P
(với m = m1+m2) Chiếu lên chiều chuyển động a > 0:
g) m(a T
ma T
mg
T(m1m2)(ag)
N) ( 3816 )
8 , (0,8 300) (60
T
P T
Quái! Tầng mở Bị
hack à?
Tầng nhà T5
(34)Áp lực người lên sàn (W ):
1 1
1 m a W m a P
P
W
W m1a ( m1g) Wm1(ga) 60.9540 (N)
Bài 2.5: Một ngƣời nặng 72kg ngồi sàn treo nặng 12kg nhƣ hình vẽ Hỏi ngƣời phải kéo dây với lực để sàn chuyển động nhanh dần đều lên cao đƣợc 3m thời gian 2s Tính áp lực ngƣời lên sàn
Hướng dẫn: Từ giả thiết chuyển động nhanh dần đều lên cao 3m thời gian 2s suy gia tốc của chuyển động Viết phương trình định luật II Newton cho hệ (người sàn treo) để tìm lực căng Áp dụng định luật II cho người để tìm áp lực người lên sàn
* Tìm lực kéo dây treo:
Gia tốc chuyển động lên trên:
) (m/s 1,5
2 2.3 t
2S a at at t v
S 0 2 2
Gọi m1 m2 khối lƣợng ngƣời sàn Áp dụng định luật II Newton cho
hệ ngƣời sàn ta đƣợc:
a m T P
Chiếu lên chiều chuyển động (hƣớng lên trên):
mg 2T ma 2T m(g a) (m1 m2)(g a) (g a)
m m
T 1
(N) 474,6 1,5)
(9,8
12 72
T
* Áp lực W người lên sàn: áp dụng định luật II Newton cho riêng ngƣời:
T P a m W a
m T W
P1 1 1 1
Chiếu lên chiều chuyển động:
ma ( mg) T
W 1 1 Wm1(ag)T
(N) 339 474,6
) , (1,5 72
W
Bài 2.6: Hãy xác định gia tốc vật m1, m2 lực căng T dây
trong hệ mơ tả hình vẽ Cho biết dây không co giãn, bỏ qua ma sát, khối
lƣợng rịng rọc dây khơng đáng kể1
1Giống với 11 trang 183, giáo trình Q
1
P
1
m
2
m
(35)Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho hai vật m1 m2 Chiếu
lên phương chuyển động giải hệ phương trình để tìm gia tốc, lực căng Chú ý mối quan hệ gia tốc hai vật
+) Đối với vật m2:
2
2 T T m a
P
(2) g m 2T a m a m 2T g
m2 2 2
Mà a1 2a2(vì qng đƣờng vật đƣợc gấp đơi qng đƣờng vật đƣợc
trong khoảng thời gian, gia tốc tỷ lệ với quãng đƣờng: a = 2S/t2)
Do đó, từ (1) (2) ta có hệ hai phƣơng trình bậc ẩn:
g m 2T a m g m T a 4m g m 2T a m g m T a 2m g m 2T a m g m T a m 2 2 2 2 2 1
Cộng vế hệ phƣơng trình ta đƣợc:
g m 4m m 3m g g m 4m m 2m m g) (a m T g m 4m m 2m a 2 2 2 2 2
Suy ra: a1 2a2
2 1 m 4m m 2m g a
Các lực căng là:
g m 4m m 3m T T T T 2
1 ; T2 T1T3 2T 4m m g
m 6m T 2
2
Bài 2.7: Một vật A khối lƣợng m1 buộc vào đầu dây vắt qua ròng rọc, đầu
một vòng B khối lƣợng m2 trƣợt dọc sợi dây Tính gia tốc chuyển động
vòng B, lực ma sát sợi dây vòng B A chuyển động đều, ban đầu hệ đứng yên Bỏ qua khối lƣợng ròng rọc ma sát
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho vật chiếu lên chiều dương hướng lên
Áp dụng định luật II Newton cho vật m1 m2 chiếu theo phƣơng chuyển động ta đƣợc
(giả sử vật m1 chuyển động xuống):
+) Đối với vật m1:
1 1
1 T m a
P
1
1g T m a
m
(vì T1 = T3 = T4 = T)
(1) g m T a
m1 1 1
m m T
(36)+) Đối với vòng B khối lượng m2
2 2
2 T m a
P
(trong T2 chuyển thành lực ma sát vòng B sợi dây)
2
2g T m a
m
(a2 > vịng B chuyển động xuống dƣới, nhanh dần)
g m m g m
T g m
T g m a
2
2
2
g
m m a
2
2
(vì T mg
1
)
Lực ma sát sợi dây vòng B: Fms Tm1g
Bài 2.8: Một vật khối lƣợng m đứng yên đỉnh mặt phẳng nghiêng nhờ
lực ma sát Cho biết chiều dài mặt phẳng nghiêng S = 1m, góc = 300, hệ số ma
sát vật mặt phẳng nghiêng = 0,6 Hỏi1:
a) Mặt phẳng nghiêng chuyển động với gia tốc amax (so với mặt đất)
bao nhiêu để vật đứng yên nêm
b) Nếu gia tốc chuyển động mặt phẳng nghiêng a0 = m/s2 bao
nhiêu lâu vật trƣợt đến chân mặt phẳng nghiêng
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton trường hợp chuyển động hệ quy chiếu phi quán tính Điểm mấu chốt là: vật nằm nguyên nêm áp lực vào mặt nêm đủ lớn để tạo ma sát giữ vật (Fms ≥ N) Trong
hệ quy chiếu phi qn tính phản lực của mặt nêm khơng tính thơng qua thành phần trọng lực: N ≠ Pcos
Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ:
1 Đề thi kỳ cuối kỳ không vào dạng tập chuyển động hệ quy chiếu phi quán tính, nhƣ
các từ 2.8 đến 2.14 thuộc chƣơng
Áp dụng định luật II Newton cho vật m1,
m2 chọn chiều dƣơng hƣớng lên
+) Đối với vật A khối lượng m1:
0 a m T
P1 1 (vì chuyển động đều)
0 T g m1
(vì T1 = T2 = T)
g m T 1
θ P
t
P
qt
F
ms
F N
x y
O
0
a
1
m
2
m A
B
1
P
2
P
(37)Khi vật chuyển động phía bên phải với gia tốc a xuất lực quán tính F kéo vật phía bên trái qt
a) Tìm gia tốc amax nêm để vật đứng yên:
Vì vật đứng yên khi: F0 (với F tổng ngoại lực tác dụng lên vật)
0 N F
F
P qt ms
+) Chiếu phương trình lên trục Ox:
(1) μN a
mcosθ
mgsinθ max
(vật đứng yên FmsN Khi Fms = N ứng với gia tốc amax nêm) +) Chiếu phương trình lên trục Oy:
) ( a
msinθ mgcosθ
N a
msinθ mgcosθ
N max max
Thế (2) vào (1) ta đƣợc:
mgcosθ msinθa μ
a mcosθ
mgsinθ max max
gcosθ sinθa μ
a cosθ
gsinθ max max
gsinθ μgcosθ
a μsinθ a
cosθ max max
cosθμsinθamax μcosθsinθg
g μsinθ cosθ
sinθ μcosθ amax
g
μ θ cot
1 cotθ μ amax
9,8 0,165 (m/s ) 0,6
30 cot
1 30
0,6.cot
0
b) Thời gian vật trượt đến chân dốc mặt phẳng nghiêng chuyển động với gia tốc
a0 = 1m/s2:
Khi nêm chuyển động với gia tốc a0 > amax vật chuyển động từ đỉnh đến
chân mặt phẳng nghiêng Ta có phƣơng trình theo định luật II Newton:
a m N F
F
P qt ms
(với a gia tốc vật chuyển động xuống chân mặt phẳng nghiêng) Chiếu lên hai trục Ox Oy ta đƣợc:
0 0
0
a msinθ mgcosθ
N
ma μN a
mcosθ mgsinθ
0 a msinθ mgcosθ
N
ma μN a
mcosθ mgsinθ
m
a msinθ mgcosθ
μ a mcosθ mgsinθ
m
μN a
mcosθ mgsinθ
a 0 0
0
0 μ gcosθ sinθa
a cosθ gsinθ
a
(38)sinθ μcosθ a cosθ μsinθ
g
a 0
Thời gian vật chuyển động từ đỉnh đến chân mặt phẳng nghiêng:
2 a 2S t at S
1
0 cosθ μsinθ
a μcosθ sinθ g 2S t
1,43 (s)
0,6sin30 cos30 0,6cos30 sin30 9,8 2 0
0
Bài 2.9: Một chậu nƣớc trƣợt mặt dốc có góc nghiêng so với phƣơng ngang là Hệ số ma sát trƣợt chậu mặt dốc < tan Hãy xác định góc
nghiêng mặt nƣớc so với mặt dốc
Hướng dẫn: Khảo sát chuyển động một phân tử nước hệ quy chiếu phi quán tính chậu nước Khảo sát chuyển động chậu nước hệ quy chiếu quán tính mặt phẳng nghiêng Kết hợp để tìm góc nghiêng Giả thiết cho < tan α chỉ điều kiện để chậu nước trượt mặt dốc không sử dụng làm kiện để giải bài toán
Xét phân tử nƣớc nằm điểm O, khối lƣợng m0 Bỏ qua lực liên
kết phân tử O với phân tử khác
Khi chậu nƣớc trƣợt xuống dƣới xuất lực quán tính tác dụng vào phân tử O Chọn hệ quy chiếu phi quán tính chậu nƣớc, áp dụng định luật II Newton hệ quy chiếu ta có:
0
F0 (với F0 tổng ngoại lực tác dụng lên phân tử nƣớc O)
0 F N
P0 qt
Chiếu phƣơng trình lên Ox Oy có chiều nhƣ hình vẽ, ta đƣợc:
cosα g m cosβ N : Oy sinβ N a m sinα g m : Ox 0 0
(với a gia tốc chậu trƣợt)
0 cosα β tan g m a m sinα g m cosβ cosα g m N sinβ N a m sinα g m 0 0 0 0 (*) cosα β tan g a sinα
g
Xét chậu nƣớc có khối lƣợng m hệ quy chiếu quán tính mặt phẳng nghiêng, ta có:
(39)a m F
N
P ms
Chiếu phƣơng trình theo phƣơng Ox Oy ta đƣợc:
cosα mg N
ma μN sinα mg
cosα mg N : Oy
ma μN sinα mg : Ox
sinα μcosα
g a ma cosα μmg sinα
mg
Thay giá trị a vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:
cosα β tan g a sinα
g
sinα μcosα gtanβcosα
g sinα
g
0 cosα β tan cosα μ sinα
sinα
μ β tan
β tan
μ
βarctan(μ)
Bài 2.10: Một ngƣời đứng cân bàn đặt xe nhỏ Khi xe chuyển động
không ma sát mặt phẳng nghiêng góc so với phƣơng nằm ngang
ngƣời thấy trọng lƣợng cịn 3/4 trọng lƣợng xe đứng yên
Hãy xác định góc
Hướng dẫn: Khảo sát chuyển động của người hệ quy chiếu phi quán tính là xe nhỏ khảo sát chuyển động hệ (người xe) hệ quy chiếu quán tính là mặt phẳng nghiêng
+) Xét người hệ quy chiếu bàn cân Áp dụng định luật II Newton:
0 N F
P qt
Chiếu phƣơng trình lên Oy:
0 P N sinα
Fqt
0 P sinα F P P sinα
Fqt qt
0 mg sinα
ma
(với a gia tốc bàn cân so với mặt phẳng nghiêng)
(*) 4a
g sinα
x
O
N
qt
F
y
P
(40)+) Xét hệ xe người: Áp dụng định luật II Newton
a M sinα
P (với P M trọng lƣợng khối lƣợng hệ) Chiếu theo phƣơng chuyển động ta đƣợc:
sinα g a Ma sinα
Mg
Thay giá trị a vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:
sinα
1 sinα
4g g 4a
g
sinα
4 α sin2
2 α
sin
30 α
Bài 2.11: Một sợi dây không co giãn vắt qua rịng rọc cố định có khối lƣợng khơng đáng kể Một đầu dây treo vật khối lƣợng m, đầu dây có khỉ khối lƣợng 2m bám vào Con khỉ leo lên dây với gia tốc a’ so với dây Hãy tìm gia tốc a khỉ mặt đất
Hướng dẫn: Coi mặt đất hệ quy chiếu quán tính K, dây hệ quy chiếu phi quán tính K' Khảo sát chuyển động khỉ vật trong hệ K'
Gọi:
+ a gia tốc khỉ so với mặt đất
+ a0 gia tốc dây so với mặt đất
+ a' gia tốc khỉ so với dây
Suy ra: a a'a0 Trƣớc hết, tìm a0
Xét hệ quy chiếu phi quán tính sợi dây: + Đối với vật khối lƣợng m:
0 F T
Pv v qtv (vì vật khơng chuyển động so với dây)
Chọn chiều dƣơng hƣớng lên chiếu theo phƣơng chuyển động ta đƣợc:
(1) ma T
mg 0
+ Đối với khỉ khối lƣợng 2m:
' a 2m F
T
Pk k qtk
Chọn chiều dƣơng hƣớng lên chiếu theo phƣơng chuyển động ta đƣợc:
m
(41)(2) 2ma' 2ma
T
2mg 0
Trừ vế (1) (2) ta đƣợc:
2ma' 3ma
mg 0
3 g 2a' a
2a' 3a
g 0 0
Gia tốc a khỉ so với mặt đất là:
0
a ' a
a a a'a0 (vì a0 hƣớng xuống dƣới)
3 g 2a' a' a
3 g a' a
Bài 2.12: Sự quay Trái Đất xung quanh trục làm mặt nƣớc sông không nằm mặt phẳng nằm ngang Hãy xác định phía bờ sơng bên nào mức nƣớc cao tính độ chênh lệch mức nƣớc đó, biết sơng nằm ở bán cầu phía bắc chảy từ bắc xuống nam Độ rộng sông l, vận tốc dòng
chảy v, vĩ độ nơi , vận tốc góc Trái Đất quay quanh trục , bỏ
qua lực quán tính ly tâm1
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho phân tử nước hệ quy chiếu phi quán tính dạng chuyển động tròn (bề mặt trái đất) Trong phương trình xuất thêm lực Coriolis, chiếu phương trình lên bề mặt nước của dịng sơng suy độ chênh cao h
Xét phân tử nƣớc bề mặt sông Đối với hệ quy chiếu đất quay, phân tử nƣớc chịu tác dụng lực Coriolis2:
] ω , v 2m[ FC
Xét mặt cắt vng góc với dịng sơng nhìn từ bắc xuống nam thì: bờ phải (hữu ngạn dịng sơng) có mực nƣớc cao bờ trái khoảng h
Các lực tác dụng vào phần tử nƣớc: áp dụng định luật II Newton cho phân tử
0 F N
P C (do phân tử nƣớc đứng n hệ quy chiếu dịng sơng)
1Giống với 32 trang 188, giáo trình Q
1 2 Lực Coriolis
C
F vng góc với mặt phẳng chứa v ω có chiều cho v, ω FC tạo thành tam
diện thuận (quy tắc vặn đinh ốc) Nhƣ vậy, vật thể chuyển động bắc bán cầu vật bị lệch bên phải theo hƣớng chuyển động Tƣơng tự vật chuyển động nam bán cầu vật bị lệch bên trái theo hƣớng chuyển động Đối với dịng sơng chuyển động từ bắc xuống nam, tác dụng lực Coriolis dịng nƣớc bị đẩy phía tây (hữu ngạn) cột nƣớc phía tây cao phía đơng Tuy nhiên, thực tế khơng phải dịng sơng uốn sang phải bắc bán cầu ngồi tác dụng lực Coriolis hƣớng dịng cịn phụ thuộc vào cấu trúc địa hình đứt gãy địa chất,…
ω
C
F
v
ω
South North
N
C
F
P
l
h
(42)Chiếu phƣơng trình lên mặt phẳng dịng sơng ta đƣợc:
cosα F sinα P cosα F sinα
P C C
cosα sin
2mvω sinα
mg
(với vĩ độ góc v ω)
cosα sin
2vω sinα
g
gh 2vωsin sin
2vω tanα
g
l g
sin ω 2v
h l
Bài 2.13: Một đoàn tàu hỏa khối lƣợng m chuyển động dọc theo đƣờng xích đạo từ đơng sang tây với vận tốc v tƣơng đối so với mặt đất Biết Trái Đất
luôn quay quanh trục với vận tốc , bỏ qua ma sát, xác định lực
tác dụng đƣờng ray lên đoàn tàu1
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho đồn tàu hệ quy chiếu phi qn tính bề mặt Trái Đất Đoàn tàu chịu thêm hai lực quán tính: lực quán tính ly tâm lực Coriolis Chiếu lên phương bán kính Trái Đất suy phản lực N đường ray lên đoàn tàu
Xét hệ quy chiếu mà Trái Đất quay từ tây sang đơng với vận tốc góc
Áp dụng định luật II Newton cho đồn tàu, ta có:
a m F N P
Flt C
Chiếu lên phƣơng dây dọi (phƣơng qua tâm Trái Đất) chọn chiều dƣơng hƣớng vào tâm Trái Đất ta đƣợc:
R v m sin90 2mvω N
mg mRω
2
2
Phản lực (N) đƣờng ray tác dụng lên đoàn tàu là:
R v m 2mvω mRω
mg N
2
2
R v 2vω Rω
g m N
2
1Giống với 33 trang 188, giáo trình Q
1
N
FC
Flt
P
(43)Bài 2.14: Một cốc đựng nƣớc hình trụ quay quanh trục đối xứng hƣớng theo
phƣơng thẳng đứng với vận tốc góc Hãy xác định phƣơng trình mơ tả dạng
mặt nƣớc cốc1
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho phần tử nước cốc (vì phần tử nước đứng yên so với mặt nước nên xuất hiện lực quán tính ly tâm, khơng có lực Coriolis) Chiếu phương trình lên mặt phẳng nước sau lấy tích phân hai vế
Xét phần tử nƣớc điểm M Các lực tác dụng phản lực, trọng lực, lực qn tính ly tâm Ta có:
0 F N
P lt
(vì phần tử nƣớc đứng yên xét hệ quy chiếu mặt nƣớc) Chiếu lên mặt phẳng nƣớc:
0 cosα F sinα
P lt PsinαFltcosαmgsinαmxω2cosα
(với x khoảng cách từ phần tử đến trục quay – bán kính quay phân tử)
g xω tanα xω
tanα g cosα xω sinα g
2
2
Mà:
dx dy
tanα (xét gần phần tử nƣớc)
Do đó: xdx
g ω dy g
xω dx
dy
Tích phân vế phƣơng trình trên:
2 x g ω y dx x g ω dy
2 2
2
x 2g ω y
Phương trình biểu diễn phụ thuộc y vào x có dạng Parabol mặt nước trong cốc mặt bậc hai Paraboloid
1Giống với 34 trang 188, giáo trình Q
1
dy
dx
ω
N
lt
F
P M
(44)CHƢƠNG 3: CÔNG VÀ NĂNG LƢỢNG
A LÝ THUYẾT
3.1 Năng lƣợng, công công suất
a) Năng lượng:
Năng lượng đại lượng đặc trưng liên quan đến trạng thái hay nhiều vật1 Năng lƣợng tồn dạng: động năng, năng, công,…
b) Công:
Xét chất điểm chuyển động dƣới tác dụng lực F Biểu thị A12 công lực F tác dụng lên chất điểm làm chất điểm dịch chuyển từ vị trí đến vị trí thì:
(2)
(1)
12 Fdr
A (3.1) (với dr vi phân quãng đƣờng dịch chuyển)
Công lực đại lƣợng dùng để đo mức độ biến thiên lƣợng Cơng hàm q trình (phụ thuộc vào q trình tác dụng lực lên chất điểm)
c) Cơng suất:
+ Cơng suất trung bình đƣợc đo tỷ số công thực đƣợc (A) khoảng thời gian cần thiết (t) để thực cơng đó:
t A P
+ Cơng suất tức thời:
dt
dr F dt dA t
A lim P
0
t PF.v (3.2)
Công suất đại lượng đặc trưng cho tốc độ sinh công nhanh hay chậm lực Công suất tốc độ biến thiên lượng
3.2 Động năng, định lý biến thiên động năng2
a) Động năng:
Theo định luật II Newton:
dt dv m a m F
Do đó:
mv d dA dv
v m dr dt dv m dr F dA
1
Xem giáo trình Q2, trang 69
2 Định lý biến thiên động năng, định lý biến thiên năng, định luật bảo toàn hay đƣợc sử dụng
(45)+ Đại lƣợng
mv
K (3.3) đƣợc gọi động chất điểm
chuyển động với vận tốc v (K ≥ 0)
b) Định lý biến thiên động năng:
Khi vật chuyển động từ vị trí đến vị trí dƣới tác dụng lực F thì:
2
1
1
v
v v
v
2 (2)
(1)
12 mv d(K)
2 d dr F
A A12 K2 K1 (3.4)
Độ biến thiên động chất điểm khoảng thời gian công của ngoại lực đặt vào chất điểm khoảng thời gian
3.3 Thế năng, định lý biến thiên
a) Các khái niệm:
- Trường lực khoảng khơng gian mà vật chịu tác dụng
của loại lực (lực hàm tọa độ)
- Nếu trƣờng lực có cơng lực phụ thuộc vào điểm đầu vào điểm cuối trƣờng lực gọi trường lực Lực trƣờng lực gọi lực
+ Công lực quãng đƣờng khép kín
+ Công mà lực thực quãng đƣờng tổng công thành phần + Hai trƣờng lực quan trọng: trƣờng hấp dẫn trƣờng đàn hồi
- Thế (U) vật trƣờng lực dạng lƣợng gắn liền với vị trí vật
b) Định lý biến thiên năng:
Trong trƣờng hấp dẫn:
Công mà trọng lực làm di chuyển vật từ vị trí tới vị trí 2:
(2)
(1) (2)
(1) (2)
(1)
12 Fdr Fdrcosθ Fdz
A
(với góc F dr ; dz vi phân theo độ cao)
2
z
z
12 mg dz mgz mgz
A
2
1
(với z1 > z2) A12 U1U2 (3.5)
Trong trƣờng đàn hồi:
Công mà lực đàn hồi thực làm lị xo thay đổi từ vị trí x1 đến vị trí x2 là:
2
1
1
x
x x
x
12 Fdx kxdx
A
2 x k x k A
2 2
1
(46) Định lý biến thiên trƣờng lực thế:
Độ giảm vật từ vị trí đến vị trí cơng lực thực hiện dịch chuyển vật từ vị trí đến vị trí
1Mối quan hệ U lực
F điểm M:
M
M Fdr
U
z z
y y
x x
' U F
' U F
' U F
U grad F
Mặt đẳng thế:
- Mặt xác định không gian U(x, y, z) = const gọi mặt đẳng Công mà lực dịch chuyển chất điểm mặt đẳng
- Đối với trƣờng hấp dẫn mặt đẳng mặt cầu
3.4 Cơ năng, định luật bảo toàn
a) Cơ năng:
Cơ E vật (hay hệ vật) tổng động vật (hệ vật) đó: E = K + U
b) Định luật bảo toàn năng:
Xét vật chuyển động trƣờng từ vị trí đến vị trí Cơng lực thực đƣợc:
2 1
2 1
2 12
2 12
U K U K K
K U U K
K A
U U A
E1 E2 (3.7)
Vậy, vật chuyển động trường bảo toàn
3.5 Va chạm2
Va chạm cố vật tác dụng lên lực khoảng thời gian ngắn
a) Va chạm đàn hồi3:
Là va chạm mà động tồn phần hệ va chạm khơng đổi Các vật lại gần xa mà thay đổi lƣợng bên chúng
1
Mục xem cho biết
2 Không thiết phải nhớ cách thiết lập công thức
(47)Xét trƣờng hợp va chạm đàn hồi xuyên tâm hai vật có khối lƣợng m1
m2, khối lƣợng ban đầu v1 v2, vận tốc sau va chạm v’1 v’2:
+ Áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng:
2 1 2
1v m v mv' m v'
m
v v' m v' v (1)
m1 1 1 2 2 2
+ Áp dụng định luật bảo toàn (trƣờng hợp có động năng):
2 ' v m ' v m v m v
m1 12 2 22 1 12 2 22
m1v12v'12m2v'22v22 (2)
Từ (1) (2) ta có hệ phƣơng trình:
2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ' v v ' v v v ' v m ' v v m v ' v m ' v v m v ' v m ' v v m
(lấy phƣơng trình chia cho phƣơng trình 1)
2 2 1 v ' v v ' v v ' v m ' v v m
Giải phƣơng pháp ta đƣợc:
1 2 2 2 1 m m v m m v 2m ' v m m v m m v 2m ' v (3.8)1
+ Nếu m1 = m2 thì:
1 v ' v v ' v
; hai vật trao đổi vận tốc cho
+ Nếu m2 >> m1 thì:
2 v 2v ' v v ' v
b) Va chạm mềm:
Va chạm mềm trƣờng hợp đặc biệt va chạm không đàn hồi Sau va chạm vật dính vào Gọi v vận tốc hai vật sau va chạm
+ Áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng:
m m v
' v m ' v m v m v
m1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
2 2 1 m m v m v m v
1 Bài toán xét trƣờng hợp va chạm xuyên tâm Trong trƣờng hợp va chạm không xuyên tâm kết thu
(48)+ Cơ hệ khơng đƣợc bảo tồn Một phần động biến thành nhiệt dạng lƣợng khác Kí hiệu E
2 ' v m ' v m v m v m W W ΔE 2 2 1 2 2 1 đ
đ1 2
Mà: v'1v'2v suy ra:
2 2 2 1 v m m v m v m
ΔE
2 2 1 2 2 1 m m v m v m m m v m v m ΔE 2 2
1 v v
m m
m m
ΔE
2 v v m m m m ΔE 2 2
(3.9)
Phần động tiêu hao phụ thuộc vào vận tốc tương đối vật trước va chạm
B BÀI TẬP
Bài 3.1: Một vật khối lƣợng m đƣợc ném lên dọc mặt phẳng nghiêng góc
so với phƣơng nằm ngang Cho biết vận tốc ban đầu v0, hệ số ma sát ,
tính quãng đƣờng đƣợc vật đến dừng lại công lực ma sát quãng đƣờng
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho vật, chiếu lên phương để tìm gia tốc Có gia tốc suy quãng đường được, từ quãng đường suy công lực ma sát
Vật chuyển động chậm dần lên đỉnh dốc Áp dụng định luật II Newton cho vật ta đƣợc:
a m F
N
P ms
Chiếu lên trục Ox Oy nhƣ hình vẽ, ta đƣợc:
cosα mg N ma sinα P μN cosα mg N : Oy ma sinα P μN : Ox a sinα g cosα g μ ma sinα mg cosα mg μ
μ cosα sinα
g
a
* Quãng đường mà vật được:
2aS v
(49)2aS v20
2a v S
μ cosα sinα
2g v S
* Công lực ma sát là:
S cosα mg μ dS cosα mg μ NdS μ dS F A S S S ms
ms
sinα cosα μ 2g v cos mg μ A
ms
tanα μ mv μ A
ms
Bài 3.2: Một vật chuyển động từ đỉnh dốc phẳng DC có độ cao h dừng lại sau khi đƣợc đoạn nằm ngang CB Cho AB = s, AC = l, hệ số ma sát xe mặt đƣờng đoạn DC CB Tính hệ số ma sát gia tốc xe trên đoạn đƣờng nói
Hướng dẫn: Áp dụng định lý biến thiên quãng đường từ D đến B: độ giảm công ngoại lực (trong trường hợp lực ma sát) để tìm Viết phương trình định luật II Newton cho vật đoạn đường DC, CB để tìm gia tốc tương ứng
* Tìm hệ số ma sát :
Ta có: UD AmsDC AmsCB (định lý biến thiên năng)
mg.CB μ DC cosα mg μ
mgh
μ.CB DC
cosα μ
h
h μ.AC μ.CB μ AC CB μ.AB μs
s h μ
* Gia tốc xe đoạn đường:
+) Trên đoạn đƣờng DC:
Áp dụng định luật II Newton cho vật:
1
ms ma
F N
P
Chiếu lên phƣơng chuyển động chọn chiều dƣơng hƣớng xuống:
1
ma cosα μmg sinα
mg a1 gsinαμcosα
l
(50)+) Trên đoạn đƣờng CB:
Áp dụng định luật II Newton cho vật chiếu lên phƣơng chuyển động:
2
ms ma
F N
P
μmg ma2 a2 μg
s gh a2
Bài 3.3: Từ độ cao H dọc theo mặt phẳng nghiêng dài l = H/3 tạo với phƣơng ngang góc = 300 ngƣời ta cho cầu trƣợt không ma sát sau rơi trên mặt phẳng nằm ngang Va chạm đƣợc coi hồn tồn đàn hồi Tìm độ cao
hmax mà cầu nâng lên đƣợc sau va chạm
Hướng dẫn: Va chạm hoàn toàn đàn hồi và vật chuyển động trường lực Vận tốc tại D vận tốc theo thành phần trục Ox B (do vật khơng lượng q trình chuyển động) Áp dụng định luật bảo toàn năng A D để tìm hD
Vật trƣợt khơng ma sát va chạm C hồn toàn đàn hồi nên vật đƣợc bảo toàn: EA = EB = EC = ED
+ Cơ A: EA mgH
+ Cơ B:
m mgh E
2 v mv
2 mgh
E B B
B
B B
B
+ Cơ D:
D D
D mv
2 mgh E
Mà: vD vDx vBx (vì D điểm cao sau va chạm với đất) Do đó:
B B
2 D
2 B D
D mv cos α mgh cos α E mgh
2 mgh
E
Cơ đƣợc bảo toàn nên: EA = ED
B B
2 D
A mgh cos α E mgh
E
B
2
D cos α mgH mgh
mgh
mgH
(vì EB = EA = mgH)
B
2
D cos α H h
h
H
sinα
3 H H H α cos H h
H α cos H
hD B
0 2
D sin30 cos 30
3 H H sinα H α cos H
h
H
8 H H
hD
Vậy độ cao lớn mà vật đạt đƣợc: H hmax
H A
B
C
(51)Bài 3.4: Một vòng đệm nhỏ A trƣợt từ đỉnh đồi nhẵn độ cao H tới bờ dốc thẳng đứng chuyển động tiếp không gian rơi xuống bãi đất nằm ngang nhƣ hình vẽ Hỏi độ cao h bờ dốc thẳng đứng phải để
khi trƣợt xuống khỏi bờ dốc vòng đệm A bay xa đạt đƣợc khoảng cách Smax, tính
khoảng cách
Hướng dẫn: Áp dụng định luật bảo toàn cơ tìm vận tốc B Viết phương trình quỹ đạo vòng đệm bắt đầu rời B tìm h cho vịng đệm bay xa
Vật chuyển động từ đồi đến B Tại B vật bắt đầu chuyển động nhƣ bị ném ngang1 Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ
Phƣơng trình chuyển động vật bắt đầu rời khỏi B là:
2 B
x 2v
g y
Trong cơng thức y độ cao h x khoảng cách S mà vật bay xa đƣợc Do đó:
(*) g
2hv S
S 2v
g h
2 B
2 B
Mà vật chuyển động bề mặt nhẵn (không ma sát) nên đƣợc bảo toàn:
2 B
B v
2 gh gH mv
2 mgh
mgH v2B 2gHh
Thay giá trị B
v vào biểu thức (*):
h H h g
h H g 2h g
2hv S
2
B
Để đạt đƣợc khoảng cách Smax hHh đạt max
Mà: hHh hHh (theo bất đẳng thức Cauchy) Suy ra:
h H h Smax
2 H h
Do đó:
2 H H H h H h
Smax Smax H
Vậy, độ cao h = H/2 vịng đệm bay đoạn xa H
1 Xem chƣơng “Động học chất điểm”, mục 1.3b, nội dung chuyển động vật bị ném ngang Có thể áp
dụng ln phƣơng trình quỹ đạo vịng đệm bắt đầu rời B mà chứng minh
x H
h
A
(52)Bài 3.5: Hai nặng m1 m2 = nm1 đƣợc nối với hai đầu dây đƣợc vắt qua
rịng rọc Giả thiết dây khơng co giãn khối lƣợng ròng rọc đƣợc bỏ qua Vật
m2 đƣợc nâng lên độ cao h2 = 30cm cho m1 chạm đất, sau thả cho m2
rơi xuống Hỏi độ cao h1 mà m1 đạt đƣợc m2 chạm đất
Hướng dẫn: Vật m2 chuyển động xuống
và kéo vật m1 lên Do có động ban đầu
nên m1 kéo lên độ cao h2 tiếp tục lên (h1 > h2) Áp dụng định luật bảo toàn
năng cho tồn hệ để tìm vận tốc m1 nảy
lên đến độ cao h2 Áp dụng định luật bảo toàn năng cho riêng vật m1 từ lúc độ cao h2 đến
nó dừng lại suy h1
Cơ hệ đƣợc bảo toàn Khi m2 vừa chạm đất m1 đƣợc nâng lên
đoạn h2, lúc hệ có vận tốc v Định luật bảo toàn cho hệ:
2 2 2 v m m gh m gh
m
2 1 2 2 2 2 m m m m 2gh v v m m gh m gh m
Khi vật m1 lên đến độ cao h2 khơng dừng lại có vận tốc v Vật m1
đi thêm đoạn đạt tới độ cao h1 Áp dụng định luật bảo toàn cho vật m1:
1 2
1 mv mgh
2 gh
m
2g m m m m 2gh 2gh 2g v 2gh h gh v
gh
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1)m (n nm h m m m m h h m m m m h h h n nh h
1
Bài 3.6: Một cầu nhỏ trƣợt không ma sát theo máng nghiêng mà phần cuối uốn thành vịng trịn bán kính R Hỏi:
a) Phải thả cầu cho trƣợt không vận tốc ban đầu độ cao H để nó khơng rời khỏi máng điểm cao quỹ đạo
b) Trong trƣờng hợp vật thả độ cao h không thỏa mãn điều kiện câu a, hãy tính độ cao h’ mà vật rời khỏi rãnh
Hướng dẫn: Sử dụng định luật bảo tồn phương trình định luật II Newton cho cầu độ cao h', suy mối liên hệ H h' Quả cầu không rời khỏi máng điểm cao quỹ đạo điểm phản lực N tác dụng lên cầu
1
m h230cm
2
m
(53)a) Độ cao H để cầu không rời khỏi rãnh điểm cao quỹ đạo:
Quả cầu trƣợt không ma sát, đƣợc bảo toàn độ cao h'
(*) g v h' H mv
2 mgh' mgH
2
2
Phƣơng trình định luật II Newton cho cầu độ cao h' thuộc máng là:
a m N P
(với P trọng lực, N phản lực máng a gia tốc hƣớng tâm) Chiếu lên phƣơng bán kính, chiều dƣơng hƣớng vào tâm ta đƣợc:
R v m N cosα mg
2
R v m N R
R h' mg
2
mv RN R
h'
mg
m RN R
h' g
v2
Thay giá trị
v vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:
g
m RN R
h' g h' g v h' H
2
(**) 2mg
RN
R h' h'
H
Để cầu không bị rơi điểm cao quỹ đạo (h' = 2R) phản lực rãnh tác dụng lên cầu N ≥ Do đó:
2 R 2R H
R h' h'
H
H2,5R
b) Trong trường hợp vật thả độ cao h nhỏ H, tính độ cao h' mà cầu rời khỏi rãnh:
Tại điểm mà cầu bắt đầu rời khỏi rãnh phản lực tác dụng lên cầu (N = 0) Từ phƣơng trình (**) ta có:
R 3h' 2h R
h' 2h' 2h
R h' h'
h
3 R 2h h'
H h R h'
P R
N
(54)Bài 3.7: Một viên đạn khối lƣợng m bay theo phƣơng nằm ngang đâm vào vật khối lƣợng M đƣợc treo sợi dây độ dài l (hình vẽ) dừng lại
đó Ngƣời ta thấy sợi dây bị lệch góc so với phƣơng thẳng đứng Hãy xác
định vận tốc viên đạn trƣớc đâm vào vật M số phần trăm động ban
đầu viên đạn biến thành nhiệt năng1
Hướng dẫn: Bài toán va chạm mềm Áp dụng định luật bảo toàn hệ tính từ lúc va chạm trở để tìm vận tốc chung hệ Áp dụng định luật bảo tồn động lượng để tìm vận tốc trước va chạm
* Vận tốc viên đạn trước đâm vào vật M:
Giả sử hệ cô lập, vận tốc viên đạn trƣớc va chạm v, sau va chạm v' Động lƣợng hệ trƣớc sau va chạm đƣợc bảo toàn:
(*) ' v m m M v ' m)v (M
mv
Cơ hệ (tính từ thời điểm bắt đầu va chạm trở đi) đƣợc bảo toàn:
v' M mg (1 cosα)
2 m M gh m M ' v m
M 2 2
l α) cos (1 g '
v
l
Thay giá trị v' vào phƣơng trình (*):
2 α sin g m m M α) cos (1 g m m M ' v m m M
v l l
α sin g m m M
v l
* Số phần trăm động ban đầu biến thành nhiệt ():
K ' E K
η (với K động ban đầu đạn, E' sau hệ)
α) cos (1 2g m m M m m)gh (M mv m)gh (M mv m)gh (M mv 2 2 2 l
M m
M m M m h m M mh
.100%
m M M η
1Giống với 15 trang 183, giáo trình Q
(55)Bài 3.8: Một hạt neutron khối lƣợng m va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử C khối lƣợng M, sau va chạm chuyển động theo phƣơng vng góc với phƣơng ban đầu Biết M = 12m Hỏi lƣợng hạt neutron giảm
bao nhiêu lần sau va chạm1
Hướng dẫn: Va chạm hoàn toàn đàn hồi Áp dụng định luật bảo toàn động lượng bảo toàn Giải hệ phương trình suy tỷ số lượng (tồn dạng động năng) hạt neutron trước sau va chạm
Gọi vận tốc trƣớc sau va chạm neutron v v'
Neutron va chạm đàn hồi với hạt nhân nguyên tử C nên động lƣợng hệ đƣợc bảo toàn: V M ' v m v
m (m khối lƣợng neutron, M khối lƣợng hạt nhân)
Độ lớn:
2 2
MV '
mv
mv (vì vv')
2 2 2 V M ' v m v
m
2 2 V m M ' mv
mv
Áp dụng định luật bảo toàn cho hệ (trƣờng hợp có động năng):
2 2 2 MV ' mv mv MV ' mv
mv
Do ta có hệ phƣơng trình:
2 2 2 2 2 2 V M m M ' mv V M m M mv MV ' mv mv V m M ' mv mv
Tỷ số lƣợng hạt neutron (tồn dƣới dạng động năng) trƣớc sau va chạm: Mm M Mm M M m M M m M V M m M V M m M ' mv mv ' mv mv η 2 2 2 2 2 2 m M m M η
1Giống với 16 trang 184, giáo trình Q
(56)Mà M = 12m nên:
11 13 11m 13m η
Vậy, sau va chạm lượng neutron giảm 13/11 lần
Bài 3.9: Một ngƣời khối lƣợng M = 70kg đứng yên mặt băng Ngƣời ném theo phƣơng ngang hịn đá khối lƣợng m = 3kg với vận tốc ban đầu v =
8m/s Tìm khoảng giật lùi ngƣời trƣợt băng Cho biết hệ số ma sát = 0,02
Giả sử ngƣời giật lùi phía sau với vận tốc V Áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng:
mv MV v
m V
M v
M m V
Theo định lý động năng: độ biến thiên động ngƣời công ngoại lực tác dụng (trong trƣờng hợp công lực ma sát) Ta có:
.S F MV
2 A
MV
0 ms ms (S quãng đƣờng giật lùi)
g μ
V S g.S μ V Mg.S μ
MV
1 2 2
2
M mv g μ
1
S
= 0,3(m)
Bài 3.10: Một súng đƣợc đặt xe chuyển động theo quán tính đƣờng sắt với vận tốc V Nòng súng hƣớng theo chiều chuyển động
xe tạo với sàn xe góc Khi súng bắn viên đạn khối lƣợng m, vận
tốc xe chở súng giảm lần Tìm vận tốc v viên đạn (so với súng) khi khỏi nòng Khối lƣợng xe súng M
Hướng dẫn: Viết phương trình bảo tồn động lượng cho hệ chiếu lên chiều chuyển động
Chiếu phƣơng trình lên phƣơng ngang (phƣơng mặt đất) chọn chiều dƣơng chiều chuyển động xe:
mV mvcosα
3 V M V m
M
cosα m
mV
V M V m M v
cosα 3m
2MV v
v
V
Xét hệ gồm xe đạn Tổng ngoại lực tác dụng lên hệ nên động lƣợng hệ đƣợc bảo toàn:
V v m
3 V M V m
(57)CHƢƠNG 4: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN
A LÝ THUYẾT
4.1 Khối tâm hệ chất điểm
a) Khối tâm hệ chất điểm:
Hệ chất điểm tập hợp nhiều chất điểm (hạt) phân bố rời rạc liên tục
Khi hệ chất điểm đặt trường trọng lực điểm đặt lực tổng hợp tác dụng lên hệ gọi khối tâm hệ (hay trọng tâm hay tâm quán tính)
+ Vị trí khối tâm C hệ (trƣờng hợp hạt phân bố rời rạc), khối lƣợng hạt mi vị trí ri(xi,yi,zi):
M r m m
r m
r i i
i i i
C
(4.1) (với M mi khối lƣợng toàn hệ)
M z m z
; M
y m y
; M
x m
xC i i C i i C i i
+ Vị trí khối tâm C hệ (trƣờng hợp hạt phân bố liên tục):
M r dm
rC (với Mdm)
M dm.z z
; M dm.y y
; M dm.x
xC C C
(dm vi phân khối lƣợng điểm có tọa độ r(x,y,z))
b) Phương trình chuyển động khối tâm:
Gọi F tổng ngoại lực tác dụng lên hệ Áp dụng định luật II Newton ta có:
) ( a m
F i i (tổng nội lực nên không xét)
Mà:
M r m
rC i i MrC miri Đạo hàm hai vế theo thời gian:
i i C i i
C
v m v
M r
m dt
d dt dr
M (*)
(2) M
a m a
a m a
M v
m dt
d dt dv
M i i C i i C i i
C
Từ (1) (2) suy ra:
M F
(58)1Khối tâm hệ chất điểm tác dụng ngoại lực tổng hợp
F chuyển động chất điểm có khối lượng khối lượng M tồn hệ gia tốc aC F/M
Động lƣợng toàn phần hệ:
Pi mivi
P Kết hợp với công thức (*) ta đƣợc:
C
v M
P (4.3)
Động lượng toàn phần hệ động lượng chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng hệ, chuyển động với vận tốc vận tốc khối tâm
4.2 Vật rắn, chuyển động tịnh tiến vật rắn
a) Vật rắn lý tưởng:
Là hệ chất điểm liên tục mà khoảng cách chất điểm hệ không thay đổi suốt trình chuyển động
Các khái niệm khối tâm, động lƣợng hệ chất điểm đƣợc áp dụng để khảo sát vật rắn
b) Chuyển động tịnh tiến vật rắn2:
Mọi chất điểm vật rắn chuyển động theo quỹ đạo giống sau khoảng thời gian chất điểm vật rắn tịnh tiến có véctơ vận tốc véctơ gia tốc
Phƣơng trình chuyển động tịnh tiến vật rắn:
Fi mia
(điều kiện: Fi phải phƣơng chiều với nhau)
4.3 Phƣơng trình vật rắn quay xung quanh trục cố định3
Phƣơng trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i:
i i
i m a
F (Fi lực tác dụng lên chất điểm thứ i) 4Nhân có hƣớng hai vế với r i
] a r [ m ] F r
[ i i i i i (với [βri])
i i i
i i i i
i
i r [β r ] m β.r r.(r.β) β.mr
m
(vì ri βri.β0)
1 Đây định luật II Newton cho hệ chất điểm
2 Bài tập không vào dạng chuyển động tịnh tiến vật rắn
Nội dung quan trọng! Phải nhớ cách thiết lập cơng thức (4.4) đề thi cuối kỳ thƣờng cho câu hỏi:
"Thiết lập phương trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định"
4 Xem cơng thức tính tích có hƣớng véctơ phần Phụ lục “Kiến thức chuẩn bị”, mục
ω
i
r
i
v
i
(59)Đặt: Mi [ri Fi] gọi mômen lực tác dụng lên chất điểm thứ i Ta có:
2 i i
i β.mr
M
Xét toàn vật rắn (hệ chất điểm):
i i i
i
i i
i β.mr [r F] β mr
M
Tổng nội lực hệ nên mômen tổng ứng với ngoại lực tác dụng lên hệ Đặt
i ir
m
I gọi mơmen qn tính vật rắn Do đó:
β I
M (4.4)1
Mômen ngoại lực trục quay tích số mơmen qn tính vật với gia tốc góc mà vật nhận
4.4 Mơmen qn tính vật rắn, định lý Steiner – Hugen
a) Mơmen qn tính vật rắn trục quay:
Mơmen qn tính vật rắn trục đƣợc cho công thức:
i ir
m
I (4.5)
(với mi ri khối lƣợng khoảng cách tới trục chất điểm thứ i)
Nếu khối lƣợng vật rắn phân bố liên tục thì:
M
dm r I
b) Định lý Steiner – Hugen:
Mơmen qn tính I vật rắn trục bất kỳ mômen qn tính vật trục song song với qua khối tâm C cộng với tích khối lượng vật bình phương khoảng cách hai trục
Biểu thức:
2
Md I
I
C
(4.6)
4.5 Mômen động lƣợng vật rắn, biến thiên và bảo toàn mômen động lƣợng
a) Đối với chất điểm:
Mômen động lƣợng chất điểm có khối lƣợng m điểm O cố định véctơ cho bởi: l [rP] lrPsinθPh (hình vẽ)
1 Đây biểu thức định luật II Newton cho vật rắn quay xung quanh trục cố định Cần phân biệt khái
niệm “mơmen lực” với “mơmen qn tính vật” Mômen lực đặc trƣng cho độ mạnh yếu tác nhân làm vật rắn quay (ví dụ thơng số mômen xoắn cực đại động đốt trong) Mơmen qn tính vật đặc trƣng cho sức ì vật rắn so với trục quay
C
Δ
Δ
M
C
(60)Biến thiên động lƣợng theo thời gian: dt dv m r v m dt dr v m r dt d dt dl ] F r [ ] a m r [ ] a m r [ ] v m v [ M dt dl
Nếu M0 const
dt
d
l l
b) Đối với hệ chất điểm:
Mơmen động lƣợng tồn hệ: L li [ri mivi]
+ Mômen động lượng vật rắn quay: L [ri mivi] [ri mi[ωri]]
i i i i i i
iωr m r(r.ω) ω mr
m LIω (4.7)
+ Biến thiên bảo toàn mômen động lượng:
dt dv m r v m dt dr ] v m r [ dt d dt dL i i i i i i i i i
v m v r m a [r F ] dt dL i i i i i i i i M dt dL (4.8)
( M ứng với ngoại lực tác dụng lên hệ, tổng nội lực 0)
Nếu M0 L const
dt
dL
Biến thiên mômen động lượng vật rắn tổng mômen ngoại lực tác dụng lên vật Khi khơng có mơmen ngoại lực tác dụng mơmen động lượng được bảo toàn
4.6 Động vật rắn quay quanh trục cố định
Xét vật rắn tập hợp hạt có vận tốc khác Động vật là:
i iv m K
Mà: vi ωri (vận tốc góc hạt nhau)
i i 2 i
i ω mr
2 ) r (ω m
K Iω2
2
K (4.9)
(61)B BÀI TẬP
Bài 4.1: Tính tọa độ khối tâm vật đồng tính có chiều dày khơng đổi, kích thƣớc nhƣ hình vẽ
Hướng dẫn: Coi hệ gồm hai vật phần chưa bị cắt (A) phần cắt (B) Xác định khối tâm phần cắt (B) khối tâm hệ hai vật, suy tọa độ khối tâm phần chưa bị cắt (A)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ, điểm O trùng với tâm hình nhữ chật chƣa bị cắt
Do hình bị cắt đối xứng qua trục Ox nên khối tâm hình cịn lại nằm trục Ox y =
Hệ có hình: hình A hình cần tìm hồnh độ khối tâm x1, hình B hình bị cắt
và có hồnh độ khối tâm x2:
Tọa độ khối tâm hệ hình (A B) trùng với gốc tọa độ O (0, 0)
0 m m x m x m B A B A
Vì vật đồng tính có độ dày đồng nên thay khối lƣợng diện tích tƣơng ứng Suy ra:
0 S S x S x S B A B A Mà h a
x2 (trọng tâm tam giác cân)
6 2h 3a h a
x2
Ta có: bh ab S ; bh
SB A
Do đó:
A B B A B A x S S x S S x S x S 2h 3a 2a h h 2h 3a a h h 2h 3a bh ab bh
x1
2a h 2h 3a h x1
Vậy tọa độ khối tâm vật cần tìm là:
2
6 h a ; h a . h
Khi bị khoét bên
phải khối tâm vật dịch chuyển sang trái hoành độ mang giá trị âm
(62)Bài 4.2: Một thuyền đứng yên mặt nƣớc lặng Khối lƣợng thuyền M = 140kg, chiều dài thuyền L = 2m, mũi thuyền có ngƣời khối lƣợng m1 =
70kg, thuyền có ngƣời khác khối lƣợng m2 = 40kg Hỏi hai ngƣời
tiến lại đổi chỗ cho thuyền dịch đoạn bao nhiêu? Bỏ qua sức cản nƣớc
Hướng dẫn: Hệ gồm thuyền hai người hệ kín nên động lượng bảo tồn, suy vị trí khối tâm hệ cố định Viết biểu thức tọa độ khối tâm hệ trước sau người đổi chỗ Cho hai biểu thức suy độ dịch chuyển thuyền
Xét hệ gồm thuyền hai ngƣời Chọn trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ, gọi độ dịch chuyển thuyền x
Vì hệ kín (khơng có ngoại lực tác dụng) nên động lƣợng hệ đƣợc bảo toàn
const V ) m m (M const
P 1
(với V vận tốc chung hệ) Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên suy ra:
const r dt r d V C C
(vị trí khối tâm hệ cố định)
+ Tọa độ ngƣời thuyền chƣa đổi chỗ:
L/2 x : M L x : m x : m 2 1
+ Tọa độ ngƣời thuyền đổi chỗ:
x L/2 x' : M x ' x : m x L ' x : m 2 1
+ Vị trí khối tâm hệ cố định ngƣời đổi chỗ cho nhau, suy ra:
Mx' ' x m ' x m Mx x m x m M m m Mx' ' x m ' x m M m m Mx x m x m 2 1 2 1 2 2 1 2 2
1
Δx L M Δx m Δx) (L m ML L
m2 1 2
L (m m M)Δx
2 M m M
m2 1 1 2
(63)(m) 0,24 250
60 140
40 70
2 70) (40
Δx
Bài 4.32: a)Tìm mơmen qn tính đồng chất trục
vng góc với qua trung điểm thanh, khối lƣợng m độ dài L
b) Tìm mơmen qn tính khối trụ đồng chất khối lƣợng m, bán kính R, trục đối xứng dọc
c) Tìm mơmen qn tính khối cầu đồng chất khối lƣợng m, bán kính R, trục đối xứng
Hướng dẫn: Chia vật thành vi phân khối lượng vô nhỏ, tìm mơmen qn tính vi phân khối lượng lấy tích phân tồn vật suy kết
a) Mơmen qn tính đồng chất đường thẳng trung trực thanh:
i ir
m I
Chọn yếu tố vi phân có độ dài dx, khối lƣợng dm cách trục khoảng x Mômen quán tính đoạn dx, khối lƣợng dm là:
dx x L m x dm
dI
Mơmen qn tính so với trục :
L/2
0 L/2
0 L/2
L/2
-2 L
x 3L 2m dx x L 2m dx
x L m dI I
12 mL I
2
b) Mơmen qn tính khối trụ đồng chất, bán kính R trục đối xứng dọc:
Chọn yếu tố vi phân có dạng lớp trụ bán kính r, độ dày dr nhƣ hình vẽ, cho điểm nằm lớp trụ cách trục
Khối lƣợng lớp trụ: m πR
rdr 2π dm 2
Mơmen qn tính lớp trụ độ dày dr, bán kính r:
dr r R 2m mr
πR rdr 2π r
dm
dI 2 2
Mơmen tồn khối trụ:
R
0 R
0
3
4 r R 2m dr
r R 2m dI
I
2 mR I
2
1
Dấu trừ "-" chứng tỏ thuyền dịch chuyển ngƣợc chiều với chiều chuyển động ngƣời có khối lƣợng lớn
2 Dạng không đề thi cuối kỳ Chỉ cần nhớ cơng thức mơmen qn tính
dr
R
r
dx
x
(64)c) Mơmen qn tính khối cầu đồng chất, khối lượng m, bán kính R trục đối xứng nó:
Chia khối cầu thành khối trụ bán kính r, độ dày dz đặt chồng lên Áp dụng kết câu b
Khối lƣợng khối trụ độ có dày dz, bán kính r:
dz 4R 3mr m
πR
dz r π
dm 3
2
2
Mơmen qn tính khối trụ khối lƣợng dm:
dz 8R 3mr
dmr
dI 3
4
Mômen qn tính tồn khối cầu:
R
0
2 2 R
R
3 (R z ) dz
4R 3m dz
r 8R
3m dI
I
5
5 5
3 R
0
3 R
15 4R
3m
R R R 4R
3m
z z 2R z R 4R
3m
mR I
Bài 4.4: Trong đĩa đồng chất hình trịn bán kính R, khối lƣợng m, ngƣời ta kht hai lỗ trịn bán kính r có tâm đối xứng với qua tâm đĩa cách tâm đĩa khoảng a Hãy tính mơmen qn tính phần đĩa cịn lại đối
với trục qua tâm đĩa vng góc với mặt phẳng đĩa1
Hướng dẫn: Mômen quán tính có tính chất cộng Lấy mơmen qn tính đĩa đặc chưa khoét trừ tổng mơmen qn tính lỗ kht đối với trục qua tâm
Gọi mơmen qn tính đĩa chƣa bị khoét I0, mômen quán tính lỗ kht I1
thì mơmen quán tính đĩa sau khoét là: I = I0 – 2I1
+ Mơmen qn tính đĩa chƣa bị khoét trục qua tâm:
2
0 mR
2
I (theo kết 3b)
1Giống với trang 163, giáo trình Q
2
R
a r
dz
R
r
(65)+ Mômen quán tính lỗ khoét trục qua tâm đĩa:
2
1 mr ma
2
I (định lý Steiner – Hugen)
(m1 khối lƣợng hình bị khoét, m R
r m 2
2
1 )
Mômen qn tính phần đĩa cịn lại trục qua tâm:
2 2 2 2 2 2 R ma 2r R mr mR ma R r mr R r 2 mR 2I I
I
222 42
R r R a 2r R m I
Bài 4.5: Hai vật khối lƣợng m1 m2 nối với dây vắt qua
ròng rọc khối lƣợng m Dây không co giãn, ma sát trục rịng rọc bỏ qua
Tìm gia tốc góc rịng rọc tỷ số sức căng T1/T2 phần dây nối với
các vật trình chuyển động
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho vật m1, m2 để tìm lực
căng T1, T2 tác dụng lên rịng rọc Viết phương trình chuyển động quay
của ròng rọc suy gia tốc góc Thay ngược trở lại biểu thức T1, T2 để tìm tỷ số sức căng T1/T2
* Tìm gia tốc góc rịng rọc:
Chọn chiều dƣơng nhƣ hình vẽ
Chiếu phƣơng trình định luật II Newton áp dụng cho vật m1 lên chiều dƣơng:
βR m a m P
T1 1 1 1 (1) (R bán kính vật m) Chiếu phƣơng trình định luật II Newton áp
dụng cho vật m2 lên chiều dƣơng:
βR m a m T
P2 2 2 2 (2) Phƣơng trình vật m quay:
β mR ) T R(T Iβ
M 2 1 (3)
Rút T1, T2 từ (1) (2) thay vào (3) ta đƣợc:
β mR βR) m g m βR m g R(m β mR βR) m P βR m
R(P2 2 1 1 2 2 1 1
m m m β
2 R ) m
Rg(m2 1 1 2
2 m m m m m R g β 1 m m m '
T1 T2'
T
2
(66)* Tỷ số sức căng T1/T2:
Từ (1) suy ra: T1 P1m1βR m1gm1βR m1(gβR)
m/2 m m m/2 2m g m R m/2 m m m m R g g m T 2 1 1
Từ (2) suy ra: T2 P2 m2βRm2gm2βR m2(gβR)
m/2 m m m/2 2m g m R m/2 m m m m R g g m T 1 2 1 2
Tỷ số sức căng:
m/2 2m m/2 m m m/2 m m m/2 2m g m g m T T 2 2 m) (4m m m) (4m m T T 2
Bài 4.6: Trên hình trụ đặc đồng chất khối lƣợng m1 bán kính R, ngƣời ta
quấn sợi mảnh Một đầu sợi có buộc vật có khối lƣợng m2 Tại
thời điểm t = hệ bắt đầu chuyển động Bỏ qua ma sát trục hình trụ, tìm
phụ thuộc theo thời gian của1:
a) Vận tốc góc hình trụ b) Động tồn hệ
Hướng dẫn: Vận tốc góc hình trụ phụ thuộc vào thời gian thơng qua gia tốc góc Lực căng T sợi dây sinh mơmen tác động làm hình trụ quay Viết phương trình chuyển động quay hình trụ và suy gia tốc góc Động tồn hệ tổng động chuyển động quay m1 với động
năng chuyển động tịnh tiến m2
a) Sự phụ thuộc vận tốc góc theo thời gian t:
t β
ω (với gia tốc góc quay)
Ta có: MTR (M mơmen ngoại lực trục quay)
Mà: MIβ (phƣơng trình chuyển động quay m1)
I TR β β I
TR
(I mơmen qn tính vật hình trụ)
Vật m2 chịu tác dụng lực căng T hƣớng lên trọng lực P hƣớng xuống
Phƣơng trình định luật II Newton cho vật m2:
a m P
T 2 (a gia tốc dài: a βR )
(67)Chiếu phƣơng trình lên phƣơng chuyển động, chiều dƣơng hƣớng lên: a) (g m T a m g m T a m P
T 2 2 2 2
Thay giá trị T vào biểu thức ta đƣợc:
β m 2m R m g 2m R m R)R β (g m I a)R (g m I TR β 2 2
2
2
2 2 2m m R g 2m β R m g 2m m 2m β
Vậy, phụ thuộc vận tốc góc hình trụ theo thời gian là:
βt
ω 2 2m m R gt 2m ω
b) Động toàn hệ theo thời gian t:
Động toàn hệ tổng động chuyển động quay vật m1
với động chuyển động tịnh tiến vật m2:
2
2 2 2 2 2 R m I ω R ω m Iω v m Iω
K
2
2 2 2 2 2 2 m m R 2m m R gt 2m m m R ω R m R m ω 2 2 2m m t g m K
Bài 4.7: Hai đĩa nằm ngang quay tự xung quanh trục thẳng đứng qua
tâm chúng Các mômen quán tính đĩa với trục I1 I2, cịn
vận tốc góc 1 2 Sau đĩa rơi xuống đĩa dƣới, hai đĩa ma
sát chúng sau thời gian bắt đầu quay nhƣ vật thống Hãy tìm1:
a) Vận tốc góc hệ hai đĩa đƣợc hình thành nhƣ b) Cơng lực ma sát
Hướng dẫn: Hệ lập, áp dụng định luật bảo tồn mơmen động lượng Biểu diễn mômen động lượng vật rắn quay theo mơmen qn tính vận tốc góc (cơng thức 4.7), suy vận tốc hệ hai đĩa Công lực ma sát độ biến thiên động hệ (định lý động năng)
1Giống với trang 165, giáo trình Q
(68)a) Vận tốc góc hệ hai đĩa:
Khơng có ngoại lực tác dụng vào hệ nên mômen động lƣợng đƣợc bảo tồn: L = const
+ Mơmen động lƣợng hệ trƣớc hai đĩa chập thành một:
2 1
1 L Iω I ω
L
+ Mômen động lƣợng hệ sau hai đĩa chập thành một:
ω ) I
(I1 2 (mômen quán tính có tính chất cộng)
Theo định luật bảo tồn mơmen động lƣợng:
I ω (I I )ω ω
I1 1 2 2 1 2
2 2 1 I I ω I ω I ω
b) Công lực ma sát:
Áp dụng định lý động năng: độ biến thiên động công ngoại lực
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
ms I ω
2 ω I I I ω I ω I ) I (I ω I ω I )ω I (I
A
I ω I ω 2I I ωω I ω (I I ) I ω (I I )
) I 2(I 2 2 2 1 2 2 2 2
2
2
2
1 ω ω
) I 2(I I I
(dấu " – " chứng tỏ động hệ giảm)
Vậy, cơng lực ma sát có độ lớn: 22
1
ms ω ω
) I 2(I I I A
Bài 4.8: Tính gia tốc khối tâm viên bi lăn không trƣợt mặt
phẳng nghiêng góc so với phƣơng nằm ngang
Hướng dẫn: Viên bi chuyển động chất điểm có khối lượng khối lượng viên bi và đặt khối tâm Áp dụng cơng thức trong chuyển động thẳng có gia tốc chất điểm Vận tốc cuối mặt phẳng nghiêng viên bi xác định thông qua định luật bảo toàn cơ (thế ban đầu động chuyển động quay cộng với động chuyển động tịnh tiến cuối mặt phẳng nghiêng)
Giả sử vận tốc chân dốc viên bi v
+ Bỏ qua lực ma sát Áp dụng định luật bảo toàn năng:
h
(69)2
Iω mv
mgh
(với I mômen qn tính viên bi có dạng khối cầu, viên bi thực đồng thời chuyển động tịnh tiến chuyển động quay)
2
2 ω
mR mv
mgh
( mR2
5
I đƣợc chứng minh 3b)
2 2
2 2
R v R v gh ω
R v
gh
7 10gh v
v 10
7 gh v
5
gh
+ Vật chuyển động nhƣ chất điểm vị trí khối tâm, có khối lƣợng m:
l l
l
2 v a v
2a v
v 2a
2
2
2
l l
gh
7 10gh
a gsinα
(70)CHƢƠNG 5: DAO ĐỘNG VÀ SÓNG CƠ1
A LÝ THUYẾT
5.1 Dao động điều hịa, biến đổi bảo tồn lƣợng
a) Dao động điều hòa:
Là dao động tuần hồn đại lƣợng x cần khảo sát biến thiên tuần hoàn theo thời gian, theo quy luật hình sin cos xung quanh vị trí gốc
) t Asin(ω
x (5.1)
Trong đó: + A biên độ dao động (m)
+ vận tốc góc (rad/s) + pha ban đầu (rad)
+ (t + ) pha dao động thời điểm t (rad)
- Chu kỳ (T): khoảng thời gian ngắn mà độ dịch chuyển x có giá trị nhƣ cũ
ω 2π T (s)
- Tần số (f): số dao động thời gian giây
2π ω T
1
f (Hz)
- Vận tốc dao động điều hòa:
) t cos(ω Aω '
x dt dx
v t
- Gia tốc dao động điều hòa:
x ω ) t sin(ω Aω
'' x dt dv
a t
Phƣơng trình tổng quát dao động điều hịa:
Ta có: x''ω2x x''ω2x0 (5.2)
b) Biến đổi bảo toàn lượng dao động điều hòa:
Xét dao động lắc lò xo Theo định luật II Newton: '
x' m ma F
Theo định luật Hooke: Fkx
0 x m
k ' x' kx ' x' m kx '
x'
m
(71)
Đặt:
m k
ω suy ra: x''ω2x 0
Vậy, dao động lắc lò xo dao động điều hịa, tần số góc Phƣơng trình (5.2) có dạng phƣơng trình vi phân cấp với hệ số số, nghiệm tổng quát phƣơng trình là:
) t Asin(ω
x (đây phƣơng trình dao động điều hịa)
+ Động dao động:
) t (ω cos A k ) t (ω cos ω A m mv
K 2 2
+ Thế dao động:
) t (ω sin A k kx
U 2
+ Cơ năng: kA const
2 U K
E (5.3)
5.2 Tổng hợp hai dao động phƣơng có tần số gần nhau, tƣợng phách
a) Tổng hợp hai dao động:
Xét chất điểm tham gia dao động điều hịa phƣơng nhƣng có tần số khác đủ nhỏ:
) t cos(ω A
x
) t cos(ω A
x
2 2
2
1 1
1
(sai khác 1 2 đủ nhỏ)
Dao động tổng hợp đƣợc xác định theo nguyên lý chồng chất:
) t cos(ω A
) t cos(ω A
x x
x 1 2 1 1 1 2 2 2
Đặt:
2 ω ω ω 1
; ωω1ω2;
2
2
1
; 12 Phương trình dao động tổng hợp:
) t cos(ω C(t)
) t sin(ω B(t)
x (5.4)
với:
t Δω cos ) A (A C(t)
t Δω sin ) A (A B(t)
1
1
(72)Biên độ A dao động tổng hợp:
(t) C (t) B
A(t)
A(t)A12 A22 2A1A2cos(ΔωtΔ) (5.5)
2
2 max
A A A
A A A
Biên độ A(t) biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số góc ωω1ω2 có giá trị nằm giá trị cực đại Amax cực tiểu Amin
Chu kỳ biến thiên biên độ:
2
2
T T
T T Δω
2π τ
(biên độ dao động tổng hợp biến thiên chậm theo thời gian: τ T1,T2)
b) Hiện tượng phách:
Khi A1 = A2 cơng thức (5.4) trở thành:
) t cos(ω t
2 Δω cos 2A
x
(5.6)
Giá trị lớn biên độ tổng hợp 2A lúc gây tƣợng phách
5.3 Sóng ngang sóng dọc
Sóng lan truyền kích động mơi trường Sóng
lan truyền đƣợc mơi trƣờng đàn hồi
+ Sóng ngang: phƣơng truyền sóng vng góc với phƣơng dao động
phần tử mơi trƣờng mà sóng truyền tới
+ Sóng dọc: phƣơng dao động phần tử mơi trƣờng trùng với phƣơng
truyền sóng
5.4 Phƣơng trình truyền sóng đại lƣợng đặc trƣng
a) Phương trình truyền sóng:
Giả sử hàm f(r,t) hàm mô tả dao động chất điểm mơi trƣờng sóng truyền
qua: f(r,t)f(x,y,z,t) Xét hàm sóng truyền theo phƣơng Ox ta có: f(x,t)
+ Tại O(0, 0) thì: f(0,t)f(t)
+ Xét dịch chuyển từ O đến M khoảng thời gian
v x
với v vận tốc
truyền sóng Kích động M giống kích động O thời điểm v x
(73) v x t f t) f(x, v x t ' ' f v ' '
f x 2 ;
v x t ' ' f ' ' f t
Do đó: f ''t (x,t)v2f ''x (x,t) (5.7)
(đây phƣơng trình truyền sóng trƣờng hợp chiều)
+ Phương trình truyền sóng trường hợp tổng quát:
f '' (r,t) f'' (r,t) f'' (r,t)
v t) , r ( ' '
f t x y z
b) Sự truyền sóng đại lượng đặc trưng:
Xét kích động điểm O có dạng đơn giản: t
cosω A t) f(O,
Tại vị trí x mà dao động giống điểm O có phƣơng trình:
v x T 2π ωt cos A v x ω ωt cos A v x t ω cos A t) f(x, x λ 2π ωt cos A t)
f(x, (5.8) với bƣớc sóng
Vận tốc truyền pha dao động:
Cố định pha dao động: const v x t ω
Đạo hàm theo thời gian ta đƣợc:
0 dt dx v ω ω v x dt d ω ω v x t ω dt
d
dt dx v dt dx v 1 dt dx
v (5.9)
Vận tốc truyền pha vận tốc truyền sóng
5.5 Hiện tƣợng giao thoa sóng, sóng dừng
a) Giao thoa sóng:
Hai sóng kết hợp hai sóng có tần số hiệu số pha không đổi theo thời gian
(74) ) t cos(ω A x ) t cos(ω A x 2 1
Dao động tổng hợp có dạng: x Acos(ωt)với:
2 1 2 1 2 2 2 cos A cos A sin A sin A tan ) cos( A 2A A A A
+ Nếu r r k2π
λ 2π
k2π 1 2
2
1
r1 r2 kλ (5.10), dao động thành phần pha với nhau, biên độ A có giá trị cực đại: AA1A2 Tập hợp điểm có biên độ cực đại gọi mặt bụng sóng
+ Nếu r r 2k1π
λ 2π π
1
2k 1 2
2 λ k r
r1 2
(5.11)
các dao động thành phần ngƣợc pha với nhau, biên độ A có giá trị cực tiểu:
| A A |
A 1 2 Tập hợp điểm có biên độ cực tiểu gọi nút sóng
b) Sóng đứng, sóng dừng:
Sóng đứng trường hợp giao thoa sóng biên độ tần số ngược chiều với
Hàm mơ tả sóng tới sóng phản xạ có dạng:
x λ 2π t ω cos A x x λ 2π t ω cos A x
Dao động tổng hợp: xcosωt λ 2π cos 2A x x
x 1 2 (5.12)
+ Nếu x1 λ 2π cos λ k
x biên độ dao động cực đại
+ Nếu x0 λ 2π cos λ k x
biên độ dao động cực tiểu
Sóng dừng hình thành giao thoa sóng tới sóng phản xạ bề mặt môi trường đàn hồi (mật độ phân tử lớn hơn) có chuyển pha
ωt sin x λ 2π sin 2A
x (5.13)
Hai điểm đầu cuối nút sóng: f(0,t)f(x,t)0
(75)5.6 Hiệu ứng Doppler1
Là hiệu ứng mà đặc trưng sóng (tần số, chu kỳ, bước sóng) máy thu ghi nhận phụ thuộc vào trạng thái chuyển động tương đối nguồn phát máy thu
Gọi vận tốc chu kỳ dao động sóng nguồn phát nguồn đứng yên v0,
T0 Nguồn phát chuyển động với vận tốc u, máy thu chuyển động với vận tốc v
* Khi máy thu nguồn phát tiến lại gần nhau, sóng thu có:
+ Chu kỳ:
v v
u v T T
0
0
+ 2Tần số:
u v
v v f T
1 f
0
0
(5.14)
* Khi máy thu nguồn phát tiến xa nhau, sóng thu có:
+ Chu kỳ:
v v
u v T T
0
0
+ Tần số:
u v
v v f T f
0
0
(5.15)
B BÀI TẬP
Bài 5.1: Xác định chu kỳ dao động bé cột thủy ngân có khối lƣợng m = 200g
đƣợc đổ vào vào ống cong (hình vẽ) có nhánh bên phải tạo góc = 300 so
với phƣơng thẳng đứng Diện tích thiết diện lịng ống S = 0,5cm2 Bỏ qua
độ nhớt thủy ngân3
Hướng dẫn: Thủy ngân nhánh đứng di chuyển xuống lượng thủy ngân nhánh xiên dâng lên cùng lượng Trọng lực kéo thủy ngân xuống thì lớn lực đẩy thủy ngân lên xuất sự chênh lệch lực Sự chênh lệch nguyên nhân gây dao động bé
Dao động bé cột thủy ngân dao động khoảng nhỏ Giả sử thủy ngân nhánh đứng có độ dịch chuyển nhỏ x xuống phía dƣới Khi thủy ngân nhánh xiên dâng lên đoạn x.cos theo phƣơng thẳng đứng
1 Hiệu ứng quan trọng thực tiễn, đƣợc ứng dụng để chế tạo máy bắn tốc độ; radar phịng
khơng,…Chỉ khác máy sử dụng sóng điện từ mà khơng dùng sóng
2
Khi máy thu tiến lại gần nguồn phát tần số sóng tăng lên, nghe chói tai Tƣơng tự, máy thu tiến xa nguồn phát tần số sóng giảm
3 Giống 22 trang 186, giáo trình Q
(76)+ Trọng lực kéo phần thủy ngân xuống đoạn x nhánh đứng: P = –Sgx ( mật độ khối lƣợng, chọn chiều dƣơng hƣớng lên) + Lực làm di chuyển khối thủy ngân lên nhánh xiên:
F = Sgx.cos
Chênh lệch lực: ΔFPFSρgx(1cosθ)
Độ chênh lệch nguyên nhân gây dao động bé cột thủy ngân Theo định luật II Newton:
' mx' ) cosθ gx(1
Sρ ma
ΔF
0 x m
) cosθ g(1
Sρ ' x' ) cosθ gx(1
Sρ '
mx'
Do đó, dao động cột thủy ngân dao động điều hịa
Vận tốc góc dao động:
m ) cosθ g(1
Sρ ω
Chu kỳ dao động:
ω 2π T
) cosθ g(1
Sρ m 2π
T
Bài 5.2: Một hệ học đƣợc bố trí nhƣ hình vẽ Góc mặt phẳng nghiêng
mặt phẳng ngang Hệ số đàn hồi lò xo k Khối lƣợng vật m1
và m2 Khối lƣợng lò xo ròng rọc không đáng kể Dây không co giãn
Chứng minh hệ dao động điều hoa kéo vật khỏi vị trí cân một đoạn nhỏ Xác định tần số góc dao động
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho vật trước sau kéo vật khỏi vị trí cân Giải hệ suy dạng phương trình vi phân cấp cần tìm (phương trình 5.2)
Chọn chiều dƣơng chiều lên vật m1 (chiều xuống vật m2) Khi hệ vị trí cân (đứng n), lị xo có độ giãn l Ta có:
g m gsinα m
F gsinα m F T
g m P T
2
đh
đh
2
(1)
Khi kéo vật khỏi vị trí cân bằng, vật có li độ x lị xo có độ giãn (l + x) Hệ
bắt đầu chuyển động, phƣơng trình định luật II Newton viết cho vật:
a m ' T g m : m
a m gsinα m
' F ' T : m
2
2
1
đh
(lực căng lực đàn hồi thay đổi)
1
m
2
m
T
(77)Cộng vế hai phƣơng trình hệ: )a m (m gsinα m kx F g m )a m (m gsinα m ' F g
m2 đh 1 1 2 2 đh 1 1 2
(vì F'đhk(lx)klkx Fđh kx)
0 kx )a m (m )a m (m kx α) gsin m F g m
( 2 đh 1 1 2 1 2
(m1 m2)x'' kx x m m k ' ' x
Vậy hệ dao động điều hòa quanh vị trí cân Tần số góc dao động là:
2 m m k ω
Bài 5.3: Năng lƣợng toàn phần dao động tử điều hòa đơn giản E0, biên
độ dao động dao động tử x0 Tính động Eđ Et dao
động tử
2 x x
Li độ x dao động tử Eđ = Et?
Giả sử dao động có phƣơng trình đơn giản: xx0sin(ωt)
* Động dao động x = x0/2:
Năng lƣợng toàn phần dao động tổng động năng: E0 = Eđ + Et
Ta có: 20
2
0
0 mω x
2 kx
E
Khi x = x0/2 ta đƣợc:
6 π t ω t) sin(ω t) sin(ω x x
0
+ Động dao động:
π cos x mω t) (ω cos x mω mv
Eđ 2 02 2 20 đ E0 E
+ Thế dao động:
0 đ
t E E
E t E0
4 E
* Li độ x động năng:
2 t) (ω cos x mω t) (ω cos x mω E E E
Eđ t đ 0 20 20
2 t) sin(ω t) (ω
sin2
Li độ cần tìm là: xx0sin(ωt)
2 x x
(78)Bài 5.4: Một cầu đƣợc treo vào lò xo, thực dao động điều hòa theo phƣơng thẳng đứng với tần số xác định Nếu truyền cho điểm treo dao động điều hòa theo phƣơng thẳng đứng với tần số 20 Hz 24 Hz hai trƣờng hợp phách đƣợc sinh có tần số Hỏi với tần số dao động điểm
treo, tần số phách lớn gấp đôi1
Hướng dẫn: Lị xo điểm treo có tần số dao động gần dao động tổng hợp xảy tượng phách Tần số phách tần số biểu thức tính biên độ dao động tổng hợp Cho hai tần số phách nhau, suy ngược tần số điểm treo
Gọi vận tốc góc dao động lò xo 1 điểm treo 2 Đặt:
| ω ω | ω ; ω ω
ω 1 1 2
Dao động lò xo điểm treo biên độ A, dao động tổng hợp có dạng:
t) cos(ω t Δω cos 2A x
Tần số phách:
2π ω ω 2π Δω
f 1
Khi tần số điểm treo 20Hz 24Hz tần số phách ( = 2f):
44π 48π 40π ω 2π 2π ω 2π 2π ω 1
1
(lấy dấu trừ trƣờng hợp trái dấu nhau)
Gọi ω2' vận tốc góc dao động điểm treo cho tần số phách lớn gấp đôi:
2 2
1 ω ' ω 2ω
2π ω ω 2π ' ω ω 52π ' ω 36π ' ω 2.48π 44π ' ω 2.40π 44π ' ω 2 2
Tần số dao động điểm treo là:
/2π 52π ' f /2π 36π ' f 2π ' ω ' f 2 2 26 ' f 18 ' f 2 (Hz)
Bài 5.5: Khi cộng hai dao động điều hòa phƣơng dao động tổng hợp một điểm có dạng x = a cos 2,1t cos 50t, t tính giây Tìm tần số góc của dao động thành phần chu kỳ phách dao động tổng hợp
Hướng dẫn: Tương tự Áp dụng công thức tổng hợp hai dao động có tần số gần nhau, tượng phách
Hai dao động thành phần có biên độ A, tần số góc 1 2 Dao động
tổng hợp có dạng:
t) cos(ω t Δω cos 2A x
Trong đó: ω|ω1ω2 |;
2 ω ω ω 1
(79)
Suy ra:
50
ω ω
1 , 2
ω ω
2
2
9 , 47 ω
1 , 52 ω
2
(rad/s)
Chu kỳ phách dao động tổng hợp:
Δω 2π
T 1,5(s) 4,2
2π
Bài 5.6: Hai lắc vật lí thực dao động bé xung quanh trục nằm
ngang với tần số 1 2 Các mơmen qn tính chúng trục
tƣơng ứng I1 I2 Ngƣời ta đƣa lắc trạng thái cân bền gắn
chặt chúng với Tần số dao động bé lắc hợp thành bao nhiêu1
Hướng dẫn: Viết phương trình dao động từng lắc chưa gắn với nhau, sử dụng phương trình chuyển động quay lắc quanh trục vng góc với mặt phẳng dao động chứa điểm treo Sau gắn chặt chúng với nhau, kết hợp với mômen quán tính có tính chất cộng để suy phương trình dao động chung hệ lắc Từ tính được tần số góc
Xét hai lắc vật lý khối lƣợng m1 m2 dao động xung quanh vị trí cân
với góc nhỏ
+ Khi chưa gắn hai lắc với nhau:
Con lắc lệch khỏi vị trí cân xuất mơmen lực phục hồi: sinα
mg M l
Do nhỏ nên sin Suy ra: Mmglα
Mômen lực tƣơng ứng với mômen chuyển động quay nên:
' ' α I
M (với I mơmen qn tính " gia tốc góc)
Suy ra: α
I mg ' ' α α mg ' ' α
I l l (*)
Dao động bé lắc dao động điều hịa quanh vị trí cân Tần số
của dao động là: mg ω I I
mg
ω
l l
+ Khi gắn hai lắc với nhau:
Phƣơng trình dao động điều hịa (*) trở thành: α
I I
)g m (m ' ' α
2
2
1
l
1 Xem lý thuyết lắc vật lý, trang 128, giáo trình Q
m
(80)Mà: α I I I ω I ω ' ' α I ω g m I ω g m 2 2 2 2 2 1 l l
Tần số dao động bé lắc hợp thành:
2 2 2 I I I ω I ω ω
Bài 5.7: Để xác định vận tốc âm khơng khí phƣơng pháp cộng hƣởng âm, ngƣời ta dùng ống có pittơng màng âm bịt kín những đáy ống Tìm vận tốc âm, khoảng cách vị trí pittơng mà ngƣời ta quan sát đƣợc tƣợng cộng hƣởng tần số f = 2000 Hz l = 8,5cm
Vị trí quan sát đƣợc tƣợng cộng hƣởng bụng sóng (ví dụ hai vị trí A B nhƣ hình vẽ)
Bƣớc sóng âm:
(cm) 17 , 2
λ l
Vận tốc âm cần tìm:
T λ
v vλf 17.102.2000340 (m/s)
Bài 5.8: Một ngƣời đứng cạnh đƣờng ray vị trí A quan sát tàu hỏa chạy
qua Khi tàu tiến lại phía A, ngƣời đo đƣợc tần số cịi tàu f1 = 219 Hz
Khi tàu chạy xa khỏi A, ngƣời đo đƣợc tần số cịi tàu f2 = 184 Hz
Tìm vận tốc u đoàn tàu tần số f0 còi tàu (nếu tàu đứng yên) Biết vận
tốc sóng âm khơng khí v0 = 340m/s
Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tính tần số sóng âm nguồn phát lại gần xa máy thu (công thức (5.14) (5.15)) phần lý thuyết hiệu ứng Doppler
+ Khi tàu tiến lại gần A:
219 u 340 340 f u v v f f 0 0
1 (1)
+ Khi tàu tiến xa A:
184 u 340 340 f u v v f f 0 0
2 (2)
Từ (1) (2) ta có hệ phƣơng trình:
(81)
(m/s) 29,5
u
(Hz) 200
f0
Vậy, tần số còi tàu đứng yên 200Hz vận tốc đoàn tàu 29,5m/s (hay 106,2 km/h) Khi tàu tiến lại gần người quan sát tần số âm tăng lên (nghe chói tai hơn) tiến xa người quan sát tần số âm giảm
Bài 5.9: Một ngƣời đứng vị trí P sân ga quan sát hai đoàn tàu A B
chuyển động ngƣợc hƣớng nhƣ hình vẽ Vận tốc đồn tàu A vA = 15m/s,
còi tàu A phát với tần số f0 = 200 Hz Vận tốc đoàn tàu B vB = 30m/s
Vận tốc sóng âm khơng khí v = 340m/s Hỏi ngƣời quan sát đo đƣợc bƣớc
sóng 1 tần số f1 đồn tàu A bao nhiêu? Ngƣời lái tàu B nghe đƣợc tần
số f2 từ còi tàu A bao nhiêu?
Hướng dẫn: Tương tự 8, áp dụng công thức hiệu ứng Doppler
+ Tần số sóng phát từ đồn tàu A đo P:
A
1
v v
v f f
209,2 (Hz)
15 340
340 200
+ Bước sóng phát từ đoàn tàu A đo P là:
1
f v
λ 1,625 (m) 200
15 340
+ Tần số sóng phát từ đồn tàu A đến người lái tàu B:
A B
2
v v
v v f f
227,7 (Hz)
15 340
30 340
200
A
(82)CHƢƠNG 6: TRƢỜNG HẤP DẪN1
A LÝ THUYẾT
6.1 Định luật vạn vật hấp dẫn
Nội dung: Lực tương tác hai chất điểm (khối lượng m1 m2) có phương
nằm đường thẳng nối hai chất điểm, có chiều ln lực hút, có độ lớn tỷ lệ thuận với tích khối lượng hai chất điểm tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách chúng
Biểu thức:
r r r
m m G F
F12 21 12 12 (6.1)
Độ lớn: 12 21
12
r m m G F F
(với G số hấp dẫn: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 r12 hƣớng từ m1 đến m2) + Đối với hai vật có kích thƣớc khơng q nhỏ so với khoảng cách chúng biểu thức lực hấp dẫn trƣờng hợp tổng quát:
ij ij
i j
2 ij
j i 21
12
r r
r m m G
F
F
6.2 Trƣờng hấp dẫn, trƣờng hấp dẫn
a) Trường hấp dẫn:
Trƣờng hấp dẫn môi trƣờng tồn xung quanh vật có khối lƣợng tác dụng lực hấp dẫn lên vật có khối lƣợng khác đặt
b) Thế trường hấp dẫn:
Thế vật có khối lƣợng m trƣờng hấp dẫn vật khối lƣợng M đƣợc tính cơng mà lực hấp dẫn di chuyển vật m từ điểm xa vơ cùng:
r hd r
hdds F ds
F
U (dấu trừ Fhd ln ngƣợc chiều với ds)
(r khoảng cách ban đầu từ vật m đến vật M, ds vi phân dịch chuyển)
r r
2
s GMm ds
s Mm G
r Mm G
U (6.2)
(s khoảng cách từ vật m đến vật M trình di chuyển, chọn vô 0)
1 Nội dung ôn tập liên quan đến phần lý thuyết chƣơng 6, đặc biệt định luật vạn vật hấp dẫn ba định
(83) Thế vật trường hấp dẫn Trái Đất:
Giả sử Trái Đất có khối lƣợng M, bán kính R Vật có khối lƣợng m, cách bề mặt Trái Đất khoảng h
+ Thế vật m nằm sát mặt đất:
R Mm G
+ Thế vật m cách mặt đất khoảng h:
h R
Mm G
Quy ƣớc chọn mốc mặt đất Khi đó, vật m cách mặt đất khoảng h là:
h) R(R
h GMm h
R R
1 GMm R
Mm G h R
Mm G Uh
Vì h nhỏ so với R nên bỏ qua h cạnh R, ta đƣợc: h R GM m Uh 2
Mà 2
R GM
g gia tốc trọng trƣờng (g 9,78 m/s2) Do đó: Uh mgh
6.3 Các định luật Keppler chuyển động hành tinh trƣờng hấp dẫn1
a) Định luật Keppler 1:
Mọi hành tinh chuyển động quỹ đạo hình elip Mặt Trời trong tiêu điểm2
b) Định luật Keppler 2:
Trong trình chuyển động, đường nối hành tinh với Mặt Trời qt diện tích khoảng thời gian
c) Định luật Keppler 3:
Bình phương chu kỳ quay hành tinh tỷ lệ với lập phương bán trục lớn quỹ đạo hành tinh
3 2
a GM
4π T
(6.3)
3/2
2
a ~ T a
~
T
(G số hấp dẫn, M khối lƣợng Mặt Trời, a bán trục lớn quỹ đạo)
6.4 Các vận tốc vũ trụ
a) Vận tốc vũ trụ cấp 1:
Là vận tốc tối thiểu phải truyền cho vật để trở thành vệ tinh Trái Đất
1 Cần hiểu ghi nhớ ba định luật Keppler để giải thích số tƣợng
(84)Lực hấp dẫn vật Trái Đất đóng vai trị lực hƣớng tâm cho chuyển động quay vật:
R v m R
Mm G
2
R GM
v1 6371,111.9,817,9 km/s
b) Vận tốc vũ trụ cấp 2:
Là vận tốc tối thiểu phải truyền cho vật để khỏi sức hút Trái Đất trở thành hành tinh Mặt Trời
Cơ vật đƣợc bảo tồn Tại vị trí xa Trái Đất, vật Do đó, động ban đầu ban đầu:
km/s 11,2
v R
2GM v
R Mm G mv
1
2
2
c) 1Vận tốc vũ trụ cấp 3:
Là vận tốc tối thiểu phải truyền cho vật để thoát khỏi hệ Mặt Trời vào vũ trụ:
5 , 29 30Rg
v3 30v129,513,8km/s
B BÀI TẬP
Bài 6.1: Tính lực hấp dẫn đồng tính có chiều dài L, khối lƣợng m1
lên cầu nhỏ khối lƣợng m2 đặt cách đầu khoảng a
Hướng dẫn: Quả cầu nhỏ coi chất điểm Chia đồng tính thành yếu tố vi phân dx, xác định lực hấp dẫn yếu tố vi phân dx tác dụng lên quả cầu nhỏ Lấy tích phân tồn để tìm lực hấp dẫn tồn gây ra
Chia đồng tính thành vi phân chiều dài dx, khối lƣợng dm, cách cầu nhỏ khoảng x Lực hấp dẫn tác dụng lên cầu tổng lực hấp dẫn đoạn dx tác dụng lên
Khối lƣợng đoạn vi phân dx: dx L m dm
Lực hấp dẫn đoạn dx tác dụng lên m2 có độ lớn:
2 2
2
x dx L
m m G x
dm.m G
dF (G số hấp dẫn)
Lực hấp dẫn tổng hợp F tác dụng lên cầu nhỏ m2 có: + Điểm đặt m2
+ Phƣơng trùng với đƣờng thẳng chứa
1 Xem cách tính vận tốc vũ trụ cấp trang 110, giáo trình Q
1
m
m
L a
x
(85)+ Chiều từ m2 phía (vì lực hấp dẫn ln lực hút)
+ Độ lớn:
GmLm a1 a 1L
x L
m m G x dx L
m m G dF
F
L a
a
1 L
a
a 2
1
L) a(a
m m G
F
Bài 6.2: Bên cầu đồng tính tâm O, bán kính R, khối lƣợng M có
một lỗ hình cầu bán kính rR/2 Tính lực hút phần cịn lại cầu
lên cầu nhỏ khối lƣợng m đặt cách tâm O khoảng d = 2R nhƣ hình vẽ
Hướng dẫn: Tìm lực hấp dẫn toàn quả cầu (O, R) chưa khoét lực hấp dẫn phần bị khoét có dạng khối cầu (O', r) tác dụng lên chất điểm m Lực hấp dẫn phần lại bằng hiệu chúng
Lực hấp dẫn cầu tâm O, bán kính R, khối lƣợng M tác dụng lên chất điểm m cách O khoảng 2R:
2
1
4R Mm G (2R)
Mm G
F
Lực hấp dẫn cầu tâm O', bán kính r = R/2, khối lƣợng M' tác dụng lên m cách O' khoảng 3R/2:
2
2
9R m ' 4M G
2 3R
m ' M G
F
Mà:
8 M M /3 R 4π
/3 r 4π '
M 3
3
Do đó: 2
R 18
Mm G F
Lực hấp dẫn (lực hút) phần lại tác dụng lên chất điểm m có độ lớn:
1 2 2 2
18R Mm G 4R Mm G F F
F 2
R GMm 36
7 F
Bài 6.3: Chứng minh lực hấp dẫn lớp vỏ hình cầu đồng tính khối lƣợng M tác dụng lên hạt khối lƣợng m nằm vỏ cầu
Hướng dẫn: Hạt m đặt vị trí A lớp cầu Tại A dựng hai góc khối rất nhỏ đối đỉnh với nhau, hai góc khối bị chắn hai chỏm cầu tương ứng hai bên Chứng minh cho lực hấp dẫn hai chỏm cầu gây A cân nhau, suy phần góc khối cịn lại hình thành cặp lực hấp dẫn triệt tiêu
O
A R
r
'
(86)Xét hạt m đặt vị trí A bên lớp cầu (hình vẽ) Từ A vẽ góc khối d nhỏ đối đỉnh với bị chắn diện tích hai bên dS ds Gọi khoảng cách từ A đến dS a, từ A đến ds b Vì góc d nhỏ nên coi mặt cầu hai bên có bán kính lần lƣợt a b Ta có1
:
dθ a
dS ; dsb2dθ 2
2
b a ds dS
(1)
+ Lực hấp dẫn dS gây A có độ lớn:
2
a m dS.σ G
F
(với σ mật độ khối lƣợng mặt lớp cầu) + Lực hấp dẫn ds gây A có độ lớn:
2
b m ds.σ G
f
Do đó, ta có: 2
2
2
a b ds dS b
ds : a dS f
F
(2)
Từ (1) (2) suy F = f Mà F f phƣơng, ngƣợc chiều nên lực hấp dẫn tổng hợp A dS ds gây (chúng triệt tiêu với nhau)
Ứng với vi phân góc khối d ln có lực phƣơng, ngƣợc chiều độ lớn nên chúng triệt tiêu Do đó, xét tồn lớp cầu (ứng với góc khối = 4) lực hấp dẫn tổng hợp tác dụng lên vật m
Bài 6.4: Một điểm phải cách tâm Trái Đất khoảng để lực hấp dẫn tổng hợp Trái Đất Mặt Trăng khơng? Cho biết khối lƣợng Trái Đất lớn khối lƣợng Mặt Trăng 81 lần, khoảng cách tâm hành tinh lớn bán kính R Trái Đất 60 lần
Hướng dẫn: Lực hấp dẫn tổng hợp điểm cần tìm phải nằm đường nối tâm Trái Đất với tâm Mặt Trăng Áp dụng biểu thức định luật vạn vật hấp dẫn và giải toán cách lập hệ phương trình
Giả sử A điểm mà lực hấp dẫn tổng hợp Trái Đất Mặt Trăng Gọi khoảng cách từ A đến tâm Trái Đất x, khoảng cách từ A đến tâm Mặt Trăng y (điều kiện: < x, y < 60R)
1
Góc khối góc đặc khơng gian ba chiều (đơn vị: steradian) Nếu chỏm cầu S, bán kính R, chắn góc khối tâm diện tích chỏm cầu là: S = .R2
A M
81m 60R m0
x
m y
b
a O
A
(87)Ta có: x + y = 60R (1)
Tổng lực hấp dẫn suy ra: 2
0
y m.m G x
M.m
G
(với M, m, m0 lần lƣợt khối lƣợng Trái Đất, Mặt Trăng chất điểm đặt A)
(2) x 81y y
m x
81m y
m x
M 2
2
2
2
Từ (1) (2) ta có hệ phƣơng trình:
0 x x) 81(60R
x 60R y
0 x 81y
x 60R y
0 x 81y
60R y
x
2 2
2
2
0 R 7290 243Rx
2x
80x 9720Rx
R
291600
67,5R x
54R x
Dựa vào điều kiện x, chấp nhận x = 54R
Vậy, khoảng cách từ điểm cần tìm đến tâm Trái Đất 54R
Bài 6.5: Một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời theo elip cho khoảng cách cực tiểu Mặt Trời r, khoảng cách cực đại R Tìm chu kỳ quay xung quanh Mặt Trời (khối lƣợng Mặt Trời M)
Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức định luật Keppler
Theo định luật Keppler 3: bình phƣơng chu kỳ quay hành tinh tỷ lệ với lập
phƣơng bán trục lớn quỹ đạo hành tinh
3
2
a GM
4π T
a GM
4π
T
Mà:
2 r R
a nên chu kỳ cần tìm là:
3
2 r R GM
4π T
2GM r) R ( π T
3
R
r
(88)Bài 6.6: Một thiên thể chuyển động tới Mặt Trời; cách xa Mặt Trời
có vận tốc v0, cánh tay đòn véc tơ v tâm Mặt Trời l Tìm khoảng 0
cách nhỏ mà thiên thể lại gần Mặt Trời
Hướng dẫn: Hệ gồm Mặt Trời thiên thể hệ kín Áp dụng định luật bảo tồn mơmen động lượng định luật bảo tồn lượng (cơ năng) cho thiên thể Giải hệ phương trình để tìm khoảng cách nhỏ mà thiên thể lại gần Mặt Trời
Gọi khối lƣợng Mặt Trời M, khối lƣợng thiên thể m, khoảng cách nhỏ cần tìm r Xét hệ gồm Mặt Trời thiên thể (hệ kín)
+ Áp dụng định luật bảo tồn mơmen động lƣợng cho thiên thể:
) ( r v v v m r mv ]
v m r [ ] v m R
[
1
1
l
l
(v1 vận tốc thiên thể điểm gần Mặt Trời điểm có r v1)
+ Khi thiên thể xa hấp dẫn Khi chuyển động lại gần Mặt Trời hấp dẫn giảm dần (thế mang giá trị âm), độ giảm độ tăng động (định luật bảo toàn cho hệ kín) Do đó:
2
1 mv
2 mv r
Mm G
0
2 2
0
1 v v
r 2GM )
v m(v r GM
m
(2)
Thế phƣơng trình (1) vào phƣơng trình (2) ta đƣợc:
2 2 2
2 2
2 2
2
2
r v v 2GMr r
r v r
v r
2GMr v
r v r
2GM
l l
l
0 v 2GMr r
v20 20
l (có dạng phƣơng trình bậc hai r)
Tính biệt thức ':
2 2
v M G ac b' '
Δ l
Ta thấy, ' > nên phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt:
0
v
r M
l
1
v
m
(89)
a Δ' b' r
a Δ' b' r
2
(chấp nhận nghiệm r1, loại nghiệm r2 r2 < 0)
Khoảng cách nhỏ mà thiên thể lại gần Mặt Trời là:
2
0 2
0
2 2
v GM v
v M G v
v M G GM a
Δ' b'
r l l
M G
v M G v
GM
v v M G GM
v v GM
2
2 2
0
0 2 2
l l
GM v v
GM r
2 2
0
(90)CHƢƠNG 7: CƠ SỞ CỦA THUYẾT TƢƠNG ĐỐI HẸP1
7.1 Phép biến đổi Galileo
Phép biến đổi Galileo đƣợc xây dựng từ chuyển động hệ quy chiếu quán tính Xét hệ quy chiếu K đứng yên, có hệ tọa độ Oxyz gắn với
Một hệ quy chiếu K' với hệ tọa độ O'x'y'z' chuyển động dọc theo trục Ox với vận tốc v, trục O'y' // Oy, O'z' // Oz Giả sử thời điểm t vật có tọa độ (x,y,z) ứng với K (x', y', z') ứng với K'
Phép biến đổi Galileo từ hệ quy chiếu K' sang hệ quy chiếu K:
t' t
z' z
y' y
vt x' x
(7.1)
Phép biến đổi Galileo từ hệ quy chiếu K sang hệ quy chiếu K':
t t'
z z'
y y'
vt x x'
Khoảng cách hai điểm A B hệ quy chiếu nhau:
2 2 2 2
1 2 2
2 x ) (y y ) (z z ) (x' x' ) (y' y' ) (z' z' )
(x
AB
Khoảng thời gian hệ quy chiếu không đổi:
t' t t'
t' t
t2 1 2 1
Trong phạm vi học cổ điển (cơ học Newton): thời gian có tính tuyệt đối, khơng gian có tính tƣơng đối, khối lƣợng vật bất biến Khi gặp chuyển động nhanh xấp xỉ vận tốc ánh sáng thời gian, khơng gian khối lƣợng vật phụ thuộc vào chuyển động – vấn đề mà học cổ điển không giải đƣợc Phép biến đổi Galileo với trƣờng hợp vận tốc v nhỏ so với vận tốc ánh sáng (v << c)
1 Chƣơng không nằm nội dung ôn tập nêu số vấn đề lý thuyết để tham khảo
x
x'
O' x'
y'
z' O
x
y
(91)7.2 Các tiên đề thuyết tƣơng đối hẹp Einstein
Thuyết tƣơng đối hẹp nghiên cứu chuyển động xấp xỉ không nhỏ so với vận tốc ánh sáng Thuyết dựa tiên đề sau:
+ Mọi định luật vật lý hệ quy chiếu quán tính
+ Vận tốc ánh sáng chân không hệ quy chiếu Vận tốc có giá trị c = 3.108 m/s vận tốc cực đại tự nhiên
7.3 Phép biến đổi Lorentz
Phép biến đổi Lorentz đƣợc xây dựng sở hai tiên đề thuyết tƣơng đối hẹp Einstein Giả sử có hai hệ quy chiếu K K' Hệ K' chuyển động với vận tốc v so với hệ K dọc theo trục Ox Khi ta có:
2 2
2
2 2
2
c v
x c
v t ' t
z ' z
y ' y
c v
vt x ' x
c v
' x c
v ' t t
' z z
' y y
c v
' vt ' x x
(7.2)
Với x, y, z, t x', y', z', t' tọa độ thời điểm tƣơng ứng K K'
Trong học tƣơng đối tính: thời gian khơng gian có tính tƣơng đối, khối lƣợng vật phụ thuộc vào hệ quy chiếu Khi v << c phép biến đổi Lorentz trở thành phép biến đổi Galileo
Sự ngắn lại vật thể chuyển động (sự co ngắn Lorentz):
2
c v 'l
l (7.3) (với l độ dài vật đứng yên)
Sự chậm lại lại thời gian chuyển động:
2
c v Δt '
Δt (7.4) (t khoảng thời gian hệ đứng yên)
7.4 Cơ học tƣơng đối tính
Khối lượng vật tăng lên chuyển động:
2
c v
m m
(7.5) (m
(92) Động lượng vật tăng lên chuyển động:
2
c v
P P
(P
0 = m0v động lƣợng vật đứng yên)
Phương trình động lực học tương đối tính:
dt P d F
2
c v
v m dt
d
F (7.6)
Sự tương đương khối lượng lượng:
2
mc
E (7.7)
2
c v
E E
(với E
(93)PHẦN II: NHIỆT HỌC
CHƢƠNG 8: NHIỆT LƢỢNG VÀ NGUYÊN LÝ THỨ I CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC
A LÝ THUYẾT
8.1 Nguyên lý thứ nhiệt động lực học
a) Nguyên lý thứ nhiệt động lực học:
Nếu hai vật cân nhiệt với vật thứ chúng cân nhiệt với nhau, hay: vật có tính chất gọi nhiệt độ hai vật cân nhiệt với
chúng có nhiệt độ
b) Sự nở nhiệt chất rắn:
+ Sự nở dài: vật rắn có chiều dài l, tăng nhiệt độ thêmT chiều dài tăng thêm đoạn l
ΔT α
Δl l (với hệ số nở dài)
+ Sự nở khối: Một vật rắn tích V, tăng nhiệt độ thêm T thể tích tăng thêm V
ΔT V β
ΔV (với hệ số nở khối, vật rắn đồng chất đẳng hƣớng = 3)
c) Phương trình truyền nhiệt (cho trường hợp dẫn nhiệt):
Giả sử truyền nhiệt từ vị trí đến vị trí kim loại, ta có:
L T T S k
H 1
(8.1)
Trong đó: + H tốc độ dẫn nhiệt
+ k hệ số truyền nhiệt, phụ thuộc vào chất kim loại + S diện tích mặt cắt ngang (tiết diện)
+ T1 T2 nhiệt độ vị trí vị trí + L khoảng cách từ vị trí đến vị trí
8.2 Nguyên lý thứ nhiệt động lực học
a) Một số khái niệm:
Hệ nhiệt động khoảng không gian chứa đầy vật chất Một hệ nhiệt
động đƣợc gọi đồng tính chất vật lý phần tử hệ nhƣ
Nội (U) tổng lượng phần tử hệ Động chuyển
(94)Nhiệt lượng (Q) lượng trao đổi hệ nhiệt động mơi trường có sự chênh lệch nhiệt độ Nhiệt lƣợng liên quan đến chuyển động hỗn loạn
phần tử hệ Nhiệt lƣợng hàm trình Quy ƣớc: + Q > hệ nhận nhiệt từ môi trƣờng
+ Q < hệ tỏa nhiệt môi trƣờng
Công (A) lượng trao đổi hệ nhiệt động môi trường chúng tương tác với Công liên quan đến chuyển động có trật tự tất phần tử
trong hệ Công hàm trình Quy ƣớc: + A > hệ thực công môi trƣờng + A < hệ nhận công từ môi trƣờng
b) Nguyên lý thứ nhiệt động lực học:
Cách phát biểu thứ nhất:
Nhiệt lượng cung cấp cho hệ nhiệt động dùng để sinh công biến đổi nội của hệ
ΔU A
Q (8.2)1
Trong đó: + Q nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ + A công hệ sinh
+ U biến thiên nội hệ Cách phát biểu thứ hai:
Nội hệ hàm số đơn giá (chỉ có giá trị) trạng thái chỉ biến đổi hệ chịu tác động môi trường xung quanh
A Q dU
Cách phát biểu thứ ba:
Không thể sinh công mà không thay đổi nội nhận nhiệt lượng từ bên ngồi (khơng thể chế tạo động vĩnh cửu loại I – loại động không cần lƣợng
mà sinh công)
0 Q
0 ΔU
A
8.3 Áp dụng nguyên lý cho số trình đặc biệt
a) Quá trình đẳng tích (V = const):
ΔU Q PdV A
2
1
V
V
Nếu hệ nhận nhiệt (Q > 0) nội tăng, hệ tỏa nhiệt nội giảm
1 Công thức (8.2) nội dung trọng tâm chƣơng Bài thi thƣờng dạng phát biểu nội dung nguyên lý
(95)b) Q trình đoạn nhiệt (khơng trao đổi nhiệt với môi trường):
ΔU A
0
Q
Nếu hệ sinh công (A > 0) nội giảm, hệ nhận cơng nội tăng
c) Q trình khép kín (chu trình):
A Q
ΔU
Nếu hệ nhận nhiệt (Q > 0) hệ sinh cơng, hệ tỏa nhiệt hệ nhận công
8.4 Nhiệt dung nhiệt chuyển trạng thái
a) Nhiệt dung:
Nhiệt dung lƣợng nhiệt cần thiết để truyền cho hệ làm hệ tăng thêm đơn vị nhiệt độ
ΔT Q
C (8.3)
(T biến thiên nhiệt độ truyền cho hệ lƣợng nhiệt Q)
b) Nhiệt dung riêng:
Nhiệt dung riêng lƣợng nhiệt cần thiết để truyền cho đơn vị khối lƣợng hệ làm cho tăng thêm đơn vị nhiệt độ
ΔT m
Q
c (8.4) (m khối lƣợng toàn hệ)
c) Nhiệt dung mol:
Nhiệt dung mol lƣợng nhiệt cần thiết để truyền cho mol chất làm nhiệt độ tăng thêm đơn vị nhiệt độ
ΔT Q m
μ
Cm (8.5)
Trong đó: + m khối lƣợng chất (hệ nhiệt động) + µ khối lƣợng mol chất
d) Nhiệt chuyển trạng thái:
Nhiệt chuyển trạng thái (nhiệt chuyển pha) lƣợng nhiệt cần thiết làm chuyển trạng thái hoàn toàn đơn vị khối lƣợng chất
m Q
λ (8.6) (m khối lƣợng toàn chất)
(96)B BÀI TẬP
Bài 8.1: Một cầu kim loại lọt khít qua vịng dây kim loại nhiệt độ phịng
Nung nóng cầu, khơng nung vịng dây, cầu cịn lọt qua vịng dây kim loại đƣợc không?
Nung nóng vịng dây, khơng nung cầu, cầu cịn lọt qua vịng dây kim loại đƣợc khơng?
Lời giải:
+ Khi giữ nguyên vịng dây, đem cầu nung nóng thể tích cầu tăng lên (do có nở khối) cầu khơng lọt qua vịng dây
+ Khi giữ ngun cầu, đem vịng dây nung nóng vịng dây bị cong lên cịn đƣờng kính khơng thay đổi cầu lọt qua vịng dây
Bài 8.2: Giả sử có thang nhiệt độ ký hiệu Z Nhiệt độ sôi nƣớc theo
thang Z 600Z, điểm ba nƣớc –150Z
Tìm thay đổi Z vật theo thang Z, thay đổi theo thang
Fahrenheit F = 560F
Nhiệt độ vật theo thang Fahrenheit tính theo thang Z -960Z
Lời giải:
+ Tìm thay đổi Z:
Ta có, nhiệt độ sơi điểm ba nƣớc theo thang F lần lƣợt 2120F 320F
Biên thiên Z ứng với biến thiên F = 560F: 56 23,3 Z
32 212
15) ( 60
ΔZ
+ Tìm nhiệt độ vật theo thang Fahrenheit:
Biến thiên 10Z ứng với biến thiên độ F: 2,4 F
15) ( 60
32
212
Khi nhiệt độ vật theo thang Z –960Z tính theo thang F đƣợc:
F 162,4 15)].2,4
( 96 [
32
Bài 8.3: Độ dài ray 00C 12m Nhiệt độ cao năm
nơi đặt ray 420C Nhiệt độ lúc đặt ray 200C Hỏi phải đặt ray với khoảng
cách tối thiểu hai để đảm bảo an toàn Cho hệ số nở dài của vật liệu làm ray = 11.10-6K-1
Độ dài ray 200C: l = 12 + .12.T = 12 + 240
Khi tăng nhiệt độ từ 200
C lên 420C nở dài thêm đoạn:
(97) Khoảng cách an toàn tối thiểu hai ray:
l
d d22α(12240α)
(mm) 2,9 (m)
10 , ) 10 11 240 12 ( 10 11
22
Bài 8.4: Khối lƣợng riêng vật hàm số nhiệt độ Hệ số nở khối
vật Hỏi nhiệt độ biến thiên T biến thiên theo T nhƣ nào?
Khi nhiệt độ biến thiên T thể tích vật biến thiên V Mà khối lƣợng m vật không đổi nên khối lƣợng riêng biến thiên lƣợng:
ΔV) (V
ΔV ρ
ΔV) V(V
ΔV m
V m ΔV V
m Δρ
Thay ΔVβV.ΔT vào phƣơng trình ta đƣợc:
T) Δ β V(1
T Δ βV ρ
T) V.Δ β (V
T V.Δ β ρ Δρ
T Δ β
T Δ β ρ Δρ
Dấu trừ thể khối lƣợng riêng tỷ lệ nghịch với nhiệt độ Khi nhiệt độ tăng khối lƣợng riêng giảm, nhiệt độ giảm khối lƣợng riêng tăng
Bài 8.5: 1Tính nhiệt lƣợng cần cung cấp cho miếng nƣớc đá khối lƣợng m =
720g nhiệt độ –100C để biến thành lỏng 150C
Giả thiết ta cung cấp cho miếng nƣớc đá nhiệt lƣợng 210 kJ Hỏi trạng thái nƣớc nhƣ nhiệt độ bao nhiêu? Cho nhiệt dung riêng đá c1 = 2,22 kJ/kg.K, nhiệt dung riêng nƣớc c3 = 4,186 kJ/kg.K,
nhiệt nóng chảy đá = 333 kJ/kg
Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tính nhiệt dung riêng nhiệt chuyển trạng thái Tổng lượng nhiệt cần cung cấp nhiệt làm cho miếng đá tăng từ –100C đến
00C cộng với nhiệt hóa lỏng hồn tồn 720g miếng đá cộng với nhiệt làm cho nước đá tăng từ 00C đến 150
C
* Nhiệt lượng cần thiết để 720g đá –100C biến thành lỏng 150C:
+ Nhiệt lƣợng cần cung cấp để miếng đá tăng từ –100C đến 00
C:
ΔT mc
Q1 1 (m khối lƣợng, c1 nhiệt dung riêng đá, T biến thiên nhiệt độ)
(kJ) 16
) 10 ( 22 , ,
Q1
+ Nhiệt lƣợng cần để miếng đá 00
C tan hết:
λm
Q2 (m khối lƣợng nhiệt nóng chảy)
(kJ)
, 239 333.0,72
Q2
+ Nhiệt lƣợng cần để nƣớc 00C tăng đến 150C:
(98)
ΔT mc
Q3 3 (m khối lƣợng, c3 nhiệt dung riêng nƣớc lỏng, T biến thiên nhiệt độ)
(kJ) , 45 ) 15 ( 186 , ,
Q3
Tổng hiệt lƣợng cần cung cấp:
3
1 Q Q
Q
Q 16239,845,2301 (kJ)
* Trạng thái nước cung cấp lượng nhiệt 210 kJ:
Miếng đá –100
C cần lƣợng nhiệt 16 kJ để chuyển 00C Còn lại lƣợng nhiệt 194 kJ khơng đủ cho miếng đá chuyển hẳn sang thể lỏng Nhƣ vậy, tồn hỗn hợp gồm nước lỏng miếng đá 00C Khối lƣợng nƣớc lỏng là:
(kg) 0,58 333 194 λ q
m1 , khối lƣợng miếng đá lại: m2 = 0,72 – m1 = 0,14 (kg)
Bài 8.6: Một tƣờng cách nhiệt gồm lớp:
Lớp thứ dày La, hệ số dẫn nhiệt
ka Lớp thứ tƣ dày Ld = 2La, hệ số dẫn nhiệt
kd = 0,5ka Lớp thứ hai lớp thứ ba có độ
dày nhƣ làm chất Nhiệt độ T1 = 250C, T2 = 200C T5 = –100C
Sự dẫn nhiệt trạng thái dừng Hỏi nhiệt độ T4 T3 bao nhiêu1
Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tính tốc độ dẫn nhiệt (cơng thức 8.1) cho lớp Vì dẫn nhiệt trạng thái dừng nên tốc độ dẫn nhiệt qua lớp Giải hệ phương trình suy nhiệt độ T3, T4
Sự dẫn nhiệt trạng thái dừng nên tốc độ truyền nhiệt qua lớp nhƣ nhau:
d c b
a H H H
H
d d c c b b a a L T T S k L T T S k L T T S k L T T S
k
(S tiết diện)
d d c c b b a a L T T k L T T k L T T k L T T
k
+ Nhiệt độ T4 là:
2 d d a a d d a a T T T T k L L k L T T k L T T k
Mà: Ld = 2La; kd = 0,5ka suy ra:
5 a a a a T T T T T T T T 0,5k 2L L k
4 4(T T ) T
T
1 Giống với trang 226, giáo trình Q
a
k kb kc kd
1
(99)C 10 10 20) 4(25
T4
+ Nhiệt độ T3 là:
Tƣơng tự ta có:
3
4 c c b b c
4 c b
3 b
T T
T T k L L k L
T T k L
T T k
Vì lớp thứ lớp thứ có độ dày nhƣ làm chất nên suy kb = kc Lb = Lc Do đó:
3 3
2
3 T T T T
T T
T T
1
2 T T T
3
15 C
2 10 20
T3 o
Bài 8.7: Một chất khí giãn từ thể tích 1m3 tới 4m3 theo đƣờng B giản đồ PV
nhƣ hình vẽ Sau đƣợc nén trở thể tích 1m3 theo đƣờng A C Tính
cơng khí thực chu trình1
Hướng dẫn: Cơng mà hệ thực tích phân áp suất theo thể tích Cơng theo q trình diện tích phần giới hạn đồ thị P(V) theo q trình với trục hồnh Khi thể tích tăng (giãn khí) cơng dương, thể tích giảm (nén khí) cơng âm Cơng mà hệ thực chu trình khép kín tổng cơng q trình liên tiếp
Cơng khí thực q trình B:
(kJ) 75
1) 10).(4 (40
2 PdV PdV
A
4
1 V
V 1_B_3
3
1
Cơng khí thực trình A:
(kJ) 120
3 40 PdV
PdV A
1
4 V
V 3_4_A_1
1
3
Cơng khí thực q trình C:
1 Giống với trang 227, giáo trình Q
) V(m3 P(Pa)
B
C A
4
(100)(kJ) 30
3 10 PdV
PdV A
1
4 V
V 3_C_2_1
1
3
Công khí thực chu trình 1_3_2_1:
3_C_2_1 1_B_3
1_3_2_1 A A
A 753045 (kJ)
Cơng khí thực chu trình 1_3_4_1:
3_4_A_1 1_B_3
1_3_4_1 A A
A 7512045 (kJ)
Bài 8.8: Một chất khí chịu q trình biến đổi theo đồ thị giản đồ PV
Tính nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc chu trình1
Hướng dẫn: Sử dụng công thức nguyên lý I nhiệt động lực học Vì chu trình khép kín nên nội năng không thay đổi, nhiệt lượng hệ nhận công mà hệ thực môi trường
Theo nguyên lý I nhiệt động lực học: Q = A + U
Mà nội U phụ thuộc vào trạng thái hệ nên chu trình khép kín ABCA thì: U = Q = A
+ Công hệ thực trình AB:
60 ) ).( 30 10 (
AAB
+ Cơng hệ thực q trình BC:
90 )
1 ( 30
ABC (vì q trình hệ nhận cơng từ mơi trƣờng) + Cơng hệ thực q trình CA:
Trong q trình thể tích hệ không thay đổi nên hệ không nhận công nhƣ không sinh công: ACA 0
Nhiệt lượng hệ nhận tồn chu trình ABCA:
CA BC
AB A A
A A
Q 609030 (đơn vị lƣợng)2
1Giống với trang 227, giáo trình Q
1
2 Dấu trừ chứng tỏ hệ nhận công tỏa nhiệt
P(Pa)
A
B C
(101)Bài 8.9: Một chất khí bị biến đổi từ trạng thái đầu A tới trạng thái cuối B theo ba cách khác nhƣ mô tả giản đồ PV Trong trình theo đƣờng 1, khí nhận nhiệt lƣợng 10PiVi Tính theo PiVi nhiệt lƣợng khí nhận đƣợc biến
thiên nội khí q trình theo đƣờng đƣờng
Hướng dẫn: Do có trạng thái cuối B nên biến thiên nội của hệ trình nhau (nội hàm trạng thái, khơng phụ thuộc vào q trình đi theo đường nào) Áp dụng biểu thức nguyên lý I suy biến thiên nội Tính cơng khí thực trong trình suy nhiệt lượng khí nhận tương ứng
Theo nguyên lý I nhiệt động lực học: Q = A + U
Vì nội hàm trạng thái nên biến thiên nội hệ trình 1, 2, nhau: U1 = U2 = U3
* Xét trình theo đường 1:
Ta có: Q1 = 10PiVi (giả thiết)
Cơng mà hệ thực đƣợc: i i i i
1
1 PdV 1.(5 1)PV 4PV
A
Biến thiên nội hệ:
1
1 ΔU ΔU Q A
ΔU 10PiVi 4PiVi 6PiVi
* Xét trình theo đường 2:
Công mà hệ thực đƣợc: i i i i
5
1
2 (1 1,5).(5 1)PV 5PV
2 PdV
A
Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc theo đƣờng 2:
2
2 ΔU A
Q 6PiVi 5PiVi 11PiVi
* Xét q trình theo đường 3:
Cơng mà hệ thực hiện:
i i i i
1
3 (0,5 1).(5 1)PV 3PV
2 PdV
A
Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc theo đƣờng 3:
3
3 ΔU A
Q 6PiVi 3PiVi 9PiVi
A B
2
1
3
) V(Vi )
P(Pi
(102)Bài 8.10: 1Khí thực chu trình nhƣ hình vẽ Tính nhiệt lƣợng khí trao đổi
trong trình CA, biết trình AB hệ nhận nhiệt lƣợng QAB = 20J,
quá trình BC đoạn nhiệt công hệ thực tồn chu trình 15J
Hướng dẫn: Theo chu trình khép kín, biến thiên nội hệ bằng Do đó, tổng nhiệt lượng cung cấp cho hệ công hệ sinh Có tổng nhiệt nhiệt lượng q trình AB, BC tính nhiệt lượng trao đổi trình CA
Xét chu trình khép kín ABCA biến thiên nội hệ
A Q A ΔU
Q
+ Quá trình AB: QAB = 20
+ Quá trình BC: QBC = (vì đoạn nhiệt nên hệ khơng trao đổi nhiệt với MT)
Nhiệt lượng trao đổi trình CA:
AB BC
CA Q Q Q
Q QCA AQAB 15205(J)
Nhƣ vậy, q trình nén khí đẳng áp CA hệ tỏa nhiệt môi trƣờng xung quanh (QCA < 0)
1Giống với trang 178, giáo trình Q
12
C A
B P
(103)CHƢƠNG 9: THUYẾT ĐỘNG HỌC CHẤT KHÍ
A LÝ THUYẾT
9.1 Chất khí lý tƣởng Quãng đƣờng tự trung bình
a) Chất khí lý tưởng:
Mẫu học chất khí lý tưởng tập hợp vơ số phân tử khí:
+ Chuyển động hỗn loạn không ngừng Các phân tử khí khơng tƣơng tác với trừ va chạm, va chạm đàn hồi
+ Kích thƣớc phân tử khí nhỏ so với khoảng cách chúng
+ Cƣờng độ chuyển động phân tử khí tỷ lệ với T
+ Ở nhiệt độ, động trung bình phân tử nhƣ nhau:
const v
m
Eđ i i2
b) Quãng đường tự trung bình1:
2 B
d Pπ
T k
λ (9.1)
Trong đó: + kB số Boltzmann, kB = 1,38.10-23 J/K
+ T nhiệt độ tuyệt đối (K) + P áp suất chất khí (Pa)
+ d đƣờng kính phân tử khí (m)
c) Định luật Boyle – Mariotte:
Trong trình đẳng nhiệt khối khí, tích áp suất thể tích đại lượng không đổi
const PV
const
T (9.2)
d) Định luật Gay – Lussac:
+ Trong trình đẳng tích khối khí, tỷ số áp suất nhiệt độ đại lượng không đổi
const T
P const
V (9.3)
1 Xem thêm cách thiết lập công thức (9.1) trang 67, giáo trình Q
4 Bài thi cuối kỳ không vào dạng này!
2
1
T P T P
(1) (2) P
V O
2 1V P V
P
P
V O
(1)
(104)+ Trong trình đẳng áp khối khí, tỷ số thể tích nhiệt độ đại lượng khơng đổi
const T
V const
P (9.4)
e) Phương trình trạng thái khí lý tưởng1:
Xét mol khí lý tƣởng chuyển từ trạng thái (1) với P1, V1, T1 đến trạng thái (3) với P3, V3, T3
Dựng đƣờng đẳng nhiệt qua (1) (3) Cho hệ thực trình đẳng nhiệt từ (1) đến (2) q trình đẳng tích từ (2) đến (3)
+ Áp dụng định luật Boyle – Mariotte cho trình đẳng nhiệt từ (1) đến (2):
2
1V PV
P (*)
+ Áp dụng định luật Gay – Lussac cho trình đẳng tích từ (2) đến (3):
3 3
3 2
T T P P T
P T
P
Thay giá trị P2 vào (*) ta đƣợc:
2
1 V
T T P V P
Mà T2 = T1 (quá trình đẳng nhiệt), V2 = V3 (quá trình đẳng tích) nên:
const T
PV T
V P T
V P V
T T P V P
3 3
1 3
1
1
Chọn điều kiện tiêu chuẩn: P0 = 1,013.105 Pa, V0 = 22,4.10-3 m3, T = 273,160 K
31 , 16
, 273
10 , 22 10 013 , T
PV
Đặt: 8,31 const T
PV
R xét hệ gồm n mol khí lý tƣởng, ta đƣợc:
nRT
PV (9.5)
9.2 Phƣơng trình thuyết động học phân tử
a) Phương trình thuyết động học phân tử2:
Xét bình chứa có hình lập phƣơng cạnh L
1 Phải nhớ cách thiết lập công thức (9.5)
2 Không cần nhớ cách chứng minh công thức (9.6) Xem thêm phần chứng minh (9.6) trang 47, giáo trình Q
(2)
2
1
T V T V
(1) P
V O
(1)
(3)
(2) P
V O
1
P
3
P
2
P
1
(105)Lực tác dụng lên thành bình theo phƣơng phân tử gây ra:
2 t
v L
N m
f
+ m khối lƣợng phân tử khí + N tổng số phân tử khí bình
+v2t vận tốc bình phƣơng trung bình:
n v v
n
1 i
2 i
t
với n số phân tử khí va chạm với thành bình (n = N/3)
Áp suất gây thành bình:
t
2 v
L N m L
f
P mn0v2t
1
P (9.6)
(với 3
L N
n mật độ phân tử khí)
Phương trình (9.6) phương trình thuyết động học phân tử
b) Nhiệt độ theo quan điểm thuyết động học phân tử:
Theo phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng (lấy n = mol):
2 t A
t A
t
0 v
R mN R V v V N m R V v n m R PV T RT
PV
t
v R μ
T (9.7) (với NA số Avogadro µ khối lƣợng mol)
c) Động trung bình phân tử chuyển động tịnh tiến:
Từ phƣơng trình (9.7) suy ra:
μ 3RT v2t
Động phân tử: T
N R μ 3RT m mv E
A
t
đ
k T
2
Eđ B (9.8)1 (với kB số Boltzmann)
Nếu coi nhiệt độ theo phƣơng nhƣ động tịnh tiến trung bình theo phƣơng là:
T k E E
Eđx đy đz B
1 Công thức (9.8) đƣợc xây dựng cho trƣờng hợp phân tử chuyển động tịnh tiến theo phƣơng Ox, Oy, Oz
(106)Từ công thức (9.6) thay đ
t 2E
mv ta đƣợc:
k T
2 n 2E n
P 0 đ 0 B Pn0kBT (9.9)
(đây dạng khác phƣơng trình thuyết động học phân tử)
9.3 Định luật phân bố phân tử theo vận tốc Maxwell1
Hàm mật độ Maxwell:
2 2RT
v μ 3/2
v e RT 2π
μ 4π f(v)
2
(9.10)
Trong đó:
+ v vận tốc chuyển động nhiệt phân tử + µ khối lƣợng mol
+ R số khí lý tƣởng (R = 8,31) + T nhiệt độ tuyệt đối
Xác suất để phân tử có vận tốc nằm khoảng (v1, v2):
1
v
v
1 v v ) f(v)dv
P(v
+ Vận tốc trung bình số học:
μ π 8RT v.f(v)dv
v
0
+ Vận tốc quân phƣơng:
μ 3RT f(v)dv
v v
0
t
+ Vận tốc có xác suất cực đại:
μ 2RT vP
9.4 Định luật phân bố phân tử theo Boltzmann
a) Cơng thức khí áp:
Áp suất khí độ cao z:
T k
E z
B z
.e P P
(9.11) (với P0 áp suất mốc năng)
(Ez = mgz phân tử khí có khối lƣợng m, độ cao z)
(107)b) Định luật phân bố Boltzmann:
Mật độ khí độ cao z:
T k
E z
B z
e n n
(9.12) (với n0 là mật độ khí mốc năng)
Mật độ khí vị trí so với vị trí 1:
T k
E E
B
e n n
(với n1 n2 lần lƣợt mật độ khí vị trí 2)
9.5 Sự phân bố lƣợng theo bậc tự
a) Khái niệm bậc tự do:
Bậc tự (i) phần tử số tọa độ độc lập cần thiết để xác định vị trí phần tử khơng gian
+ Đối với khí đơn nguyên tử: i = + Đối với khí lƣỡng nguyên tử: i = + Đối với khí đa nguyên tử: i =
b) Định luật phân bố lượng theo bậc tự (định luật Maxwell):
Động trung bình phân tử phân bố theo bậc tự
lượng ứng với bậc tự kBT
2
9.6 Nhiệt dung khí lý tƣởng
a) Nội trạng thái ứng với nhiệt độ T:
nRT
i
U (9.13) (i số bậc tự do, n số mol chất khí)
b) Nhiệt dung mol đẳng tích (CV)1:
ΔT n
Q
CV (*)
Mà q trình đẳng tích cơng A = 0, theo ngun lý I nhiệt động lực học:
T nR
i ΔU Q ΔU A
Q
Thay giá trị Q vào biểu thức (*) ta đƣợc:
ΔT 2n
T n.R i
CV R
2 i
CV (9.14)
1 Nhiệt dung mol đẳng tích nhiệt dung mol xét q trình đẳng tích khí lý tƣởng Xem định nghĩa
(108)c) Nhiệt dung mol đẳng áp (CP):
Nhiệt dung mol đẳng áp:
ΔT n
Q CP
Q trình đẳng áp (P = const), cơng mà hệ thực là:
ΔT nR nRT
nRT )
V P(V
A 2 1 2 1
Theo nguyên lý I nhiệt động lực học:
T nR
i ΔT nR ΔT n C ΔU A
Q P
R
2 i R
CP R
2 i CP
(9.15)
9.7 Cơng q trình đẳng nhiệt, đoạn nhiệt
a) Cơng q trình đẳng nhiệt:
Quá trình đẳng nhiệt (T = const) biến thiên nội U = A = Q
Phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng:
V nRT P
nRT
PV
Cơng q trình đẳng nhiệt:
2
1
1
1
V V V
V V
V
lnV nRT V
dV nRT PdV
Q
A
2 1
2
P P ln nRT V
V ln nRT Q
A (9.16) (P1V1 = P2V2 đẳng nhiệt)
b) Cơng q trình đoạn nhiệt:
Q trình đoạn nhiệt: Q =
A ΔU nRT2 T1
2 i
A (9.17)
c) Phương trình đoạn nhiệt:
Đặt:
V P
C C
γ gọi số đoạn nhiệt Ta có phƣơng trình đoạn nhiệt:
+ Mối quan hệ P V: PVγ const (9.18)
+ Mối quan hệ T P: TP γ const
γ -1
(9.19)
(109)B BÀI TẬP
Bài 9.1: Một xylanh chứa 12l ôxi nhiệt độ 200C, áp suất 15atm Nếu nhiệt độ
tăng lên đến 350C thể tích giảm xuống cịn 8,5l áp suất cuối khí
bao nhiêu1
Theo phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng:
const nR
T PV nRT
PV
2 2
1
T V P T
V P
(với trạng thái đầu trạng thái cuối hệ)
2
2 1
V T
T V P
P 22,26 (atm)
293.8,5 308 12
15
Bài 9.2: Hệ 0,12 mol khí lý tƣởng đƣợc giữ ln ln nhiệt độ 100C tiếp xúc
với nguồn nhiệt Thể tích ban đầu khối khí 1,3l Khí thực q trình sinh cơng 14J Tìm thể tích áp suất khối khí cuối q trình
Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tính cơng q trình đẳng nhiệt (cơng thức 9.16) tìm thể tích cuối q trình V2 Có thơng số đầu q trình V1, n, R, T1
suy P1 Sử dụng định luật Boyle – Mariotte cho trình đẳng nhiệt, suy áp suất
cuối trình P2
* Thể tích khối khí cuối trình:
Vì trình đẳng nhiệt nên cơng thực đƣợc tính nhƣ sau:
1
V V ln nRT
A (với V1 V2 thể tích đầu cuối q trình)
nRT A V
V ln
1
2 nRT
A
2 V.e
V 1,3.e0,12.8,31.283 1,3.e0,0496 1,366( )
14
l
* Áp suất khối khí cuối q trình:
Áp suất đầu trình:
(Pa) 217083
1,3.10 283 0,12.8,31 V
nRT P
nRT V
P 3
1
1
1
Vì trình đẳng nhiệt nên PV = const, suy áp suất cuối trình:
2 2
1
1V P V
P
2 1
V V P
P 206594 (Pa)
1,366 217083.1,3
1Giống với trang 254, giáo trình Q
1 Thống lấy giá trị nhiệt độ tuyệt đối T = 273oK ứng với 0oC,
(110)Bài 9.3: Khơng khí tích 0,2 m3 áp suất 1,2.105 Pa đƣợc giãn đẳng nhiệt đến áp suất khí sau đƣợc làm lạnh dƣới áp suất không đổi
khi đạt đƣợc thể tích ban đầu Tính cơng khí sinh ra1
Hướng dẫn: Khí thực q trình đẳng nhiệt (1) đẳng áp (2) Quá trình giãn nở đẳng nhiệt hệ sinh cơng, q trình nén khí đẳng áp thì hệ nhận cơng từ mơi trường Cơng mà hệ thực hiện tổng công thành phần
Lấy áp suất khí quyển: P2 = 1,013.105 (Pa)
+ Công mà hệ thực trình giãn đẳng nhiệt:
2 1
P P ln nRT
A (với V1 thể tích ban đầu khí)
2 1 1
P P ln V P
A 4066 (J)
10 013 ,
10 , ln , 10 ,
1 5
5
5
+ Cơng q trình nén khí đẳng áp:
Quá trình (1) đẳng nhiệt nên:
) (m 0,237 1,013.10
2 , 1,2.10 P
V P V V
P V
P 5
5
2 1 2
2
1
Cơng q trình (2):
2
V
V
2 PdV
A P dV P2(V1 V2) 1,013.105(0,2 0,237)
V
V
1
2
(J) 3748 A2
(q trình hệ nhận cơng)
Cơng mà hệ thực tồn trình:
2
1 A
A
A 40663748318 (J)
Bài 9.4: Một mol khí ơxi ban đầu 00C đƣợc đốt nóng áp suất khơng đổi Tính
nhiệt lƣợng cần cung cấp để thể tích khí tăng lên gấp đơi2
Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức định luật Gay – Lussac (biểu thức 9.4) cho trình đẳng áp, kết hợp với giả thiết V2 = 2V1, suy
mối liên hệ nhiệt độ T1 = 2T2, suy biến thiên
nhiệt độ T Nhiệt lượng cung cấp cho hệ trong trình đẳng áp là: Q = nCPT
1
Giống với trang 204, giáo trình Q12
2Giống với trang 204, giáo trình Q
12
(1)
1
V V2
1
P
2
P
O (2) P
V
1
V V2
P
O P
V
(111)Vì trình đẳng áp nên:
1
1 2
2
1 2T ΔT T T T
V T V T T
V T
V
(vì V2 = 2V1)
Nhiệt dung mol đẳng áp: R
i Cp
với i = bậc tự phân tử Oxi
Nhiệt lƣợng cần cung cấp cho hệ:
ΔT nC
Q p 8,31.273 7940(J)
7 RT
i
1
Bài 9.5: Do nhận nhiệt lƣợng 22J nên khối khí thay đổi từ thể tích 50cm3 đến
100cm3 áp suất đƣợc giữ không đổi 1atm1
a) Tính độ biến thiên nội khối khí
b) Nếu lƣợng khí 2.10-3
mol nhiệt độ thay đổi c) Nhiệt dung mol đẳng áp
Hướng dẫn: Áp dụng nguyên lý I tính biến thiên nội Áp dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng cho hai thời điểm, suy biến thiên nhiệt độ Có nhiệt lượng trao đổi, có biến thiên nhiệt độ suy nhiệt dung mol đẳng áp.
a) Độ biến thiên nội khối khí:
Theo nguyên lý I nhiệt động lực học:
A Q
ΔU 22 PdV Q P(V2 V1)
V
V
2
1
(1at = 1,013.105
Pa)
(J) , 16
, 22 50).10
(100 1,013.10
22
b) Lượng nhiệt thay đổi:
Từ phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng: PV = nRT
2
2
1
1
nRT V
P
nRT V
P
(với P1 = P2 = P trình đẳng áp)
V2 V1
nR P T
T 100 50.10 304,8 (K) 8,31
2.10
1,013.10 6
3
c) Nhiệt dung mol đẳng áp:
ΔT n
Q
Cp
K mol
J 36,1
.304,8 2.10
22
3
(112)
Bài 9.61: Một hệ chứa mol khí Heli giãn nở dƣới áp suất không đổi nhiệt độ tăng lên lƣợng T = 200C
a) Tính nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ q trình b) Tính độ biến thiên nội hệ
c) Tính cơng khí thực giãn nở
Hướng dẫn: Nhiệt lượng cung cấp tính thông qua nhiệt dung riêng đẳng áp Độ biến thiên nội tính dựa lý thuyết nhiệt dung khí lý tưởng (cơng thức 9.13) Từ biểu thức nguyên lý I nhiệt động lực học suy cơng khí thực hiện.
a) Nhiệt lượng cung cấp cho hệ trình giãn nở đẳng áp:
ΔT nC
Q p RΔT
i n
(với i = Heli khí đơn nguyên tử)
(J) , 2077 20
8,31 5
Q
b) Độ biến thiên nội hệ:
ΔT R i n U
8,31.20 1246,5 (J)
3
5
c) Cơng khí thực giãn nở:
Theo nguyên lý I nhiệt động lực học:
A ΔU
Q AQΔU 2077,51246,5831 (J)
Bài 9.72: Ở nhiệt độ 200C, dƣới áp suất 75cmHg quãng đƣờng tự trung bình
của phân tử khí Nitơ Argon là: N = 27,5.10-6cm Ar = 9,9.10-6cm
a) Tính tỷ số bán kính phân tử N2 Ar
b) Tính quãng đƣờng tự trung bình phân tử khí Argon 200C
dƣới áp suất 15cmHg 400C dƣới áp suất 75cmHg
a) Tỷ số bán kính phân tử N2 Ar:
Quãng đƣờng tự trung bình phân tử:
2 B
B
r Pπ
T k d
Pπ
T k
λ (*) (với r bán kính phân tử)
2 λ π 4P
T k r B
Vậy tỷ số bán kính phân tử N2 Ar:
1 Giống với trang 254, giáo trình Q
(113)
T k
2 λ π 4P λ π 4P
T k r
r
B Ar N
B Ar
N
2
2
N Ar Ar
N
λ λ r
r
5 25
9 27,5.10
9,9.10
6
b) Tính quãng đường tự trung bình phân tử khí Ar:
+ Ở 200C áp suất 15 cmHg:
Từ công thức (*) ta thấy, giữ nguyên nhiệt độ quãng đƣờng tự trung bình () tỷ lệ nghịch với áp suất P Mà P giảm lần (từ 75cmHg xuống 15cmHg) nên quãng đƣờng tự trung bình tăng lên lần:
Ar '
Ar 5λ
λ 5.9,9.106 4,95.105 (cm)
+ Ở 400C áp suất 75cmHg:
Tƣơng tự, giữ nguyên áp suất tỷ lệ thuận với nhiệt độ T Mà T tăng lên lần (từ 200C đến 400
C) nên quãng đƣờng tự trung bình tăng lên lần:
Ar ''
Ar 2λ
(114)CHƢƠNG 10: ENTROPI VÀ NGUYÊN LÝ THỨ II CỦA
NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC1
A LÝ THUYẾT
10.1 Quá trình thuận nghịch bất thuận nghịch
a) Quá trình thuận nghịch:
Quá trình thuận nghịch trình nhiệt động mà hệ biến đổi từ trạng thái sang trạng thái 2, sau hệ tiến hành theo chiều ngược lại q trình ngược hệ qua tất trạng thái trung gian trình thuận
Đặc điểm:
+ Nhiệt lƣợng hệ nhận vào trình thuận nhiệt lƣợng hệ tỏa trình nghịch
+ Cơng mà hệ thực q trình thuận cơng mà hệ nhận đƣợc q trình nghịch
+ Khi trở lại trạng thái cũ, nội hệ không thay đổi
+ Sau q trình thuận nghịch, mơi trƣờng xung quanh khơng xảy biến đổi
b) Quá trình bất thuận nghịch:
Quá trình bất thuận nghịch trình nhiệt động mà hệ tiến hành theo chiều ngược lại, hệ không qua tất trạng thái trung gian trình thuận
Đặc điểm:
+ Công nhiệt q trình thuận q trình nghịch khơng đƣợc bảo tồn + Sau q trình bất thuận nghịch, mơi trƣờng xung quanh bị biến đổi
chịu tác dụng q trình
10.2 Động nhiệt máy lạnh Hai cách phát biểu nguyên lý II nhiệt động lực học
a) Động nhiệt cách phát biểu nguyên lý thứ II theo Thomson:
Động nhiệt loại máy biến nhiệt lượng thành công thực chu trình
Động nhiệt lấy lƣợng nhiệt Q1 từ nguồn nóng nhả lƣợng nhiệt Q2 vào nguồn
lạnh, q trình sinh công A
Đại lƣợng đặc trƣng cho khả sinh công động nhiệt gọi hiệu
suất động nhiệt, đƣợc tính tỷ số cơng A sinh lƣợng nhiệt nhận
vào Q1:
1
1 Q
Q Q Q
A
η (10.1)
(115)
Nguyên lý thứ II nhiệt động lực học theo Thomson: (phát biểu cho động nhiệt)
Không thể tồn tự nhiên trình mà kết biến nhiệt lượng hồn tồn thành cơng mà khơng để lại dấu vết cho mơi trường xung quanh
Hay: Không thể chế tạo động vĩnh cửu loại II (loại động sinh công bằng lƣợng nhận đƣợc)
b) Máy lạnh cách phát biểu nguyên lý thứ II theo Clausius:
Máy lạnh loại máy tiêu thụ công để vận chuyển nhiệt lượng từ nguồn lạnh sang nguồn nóng Máy lạnh sử dụng cơng A để lấy lƣợng nhiệt Q2 từ nguồn lạnh
và truyền cho nguồn nóng lƣợng nhiệt Q1
Đại lƣợng đặc trƣng cho khả vận chuyển nhiệt lƣợng từ nguồn lạnh sang nguồn nóng gọi hệ số làm lạnh (hệ số thực hiện) máy lạnh, đƣợc tính tỷ số lƣợng nhiệt Q2 lấy đƣợc từ nguồn lạnh công A cần thiết để lấy lƣợng nhiệt đó:
2
2
Q Q
Q A
Q K
(10.2)
Nguyên lý thứ II nhiệt động lực học theo Clausius: (phát biểu cho máy lạnh)
Khơng thể có trình mà kết truyền nhiệt lượng từ nguồn lạnh sang nguồn nóng mà khơng để lại dấu vết cho mơi trường xung quanh
Hay: Nhiệt tự động truyền từ mơi trường lạnh sang mơi trường nóng Hay: Không thể chế tạo máy lạnh vĩnh cửu (loại máy lạnh đƣa nhiệt lƣợng từ nguồn lạnh sang nguồn nóng mà khơng sử dụng cơng từ bên ngoài)
Hai cách phát biểu nguyên lý II nhiệt động lực học theo Thomson Clausius hoàn tồn tƣơng đƣơng
10.3 Chu trình Carnot
a) Chu trình Carnot:
Chu trình Carnot chu trình thuận nghịch đơn giản mà có khả sinh cơng, gồm q trình đẳng nhiệt thuận nghịch trình đoạn nhiệt thuận nghịch xen kẽ
b) Hoạt động chu trình Carnot:
Gồm trình:
+ Từ A B: trình giãn nở khí đẳng nhiệt nhiệt độ T1, thể tích tăng nhanh
từ VA đến VB, áp suất giảm chậm từ PA đến PB, hệ nhận lƣợng nhiệt Q1 từ mơi trƣờng
+ Từ B C: q trình giãn nở khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi trƣờng ngồi (Q = 0), thể tích tăng chậm từ VB đến VC, áp suất giảm nhanh từ PB đến
PC, nhiệt độ giảm từ T1 đến T2
1
Q
2
Q
0 Q
P
V
const T1
const T2
Q
A
B
(116)+ Từ C D: trình nén khí đẳng nhiệt nhiệt độ T2, thể tích giảm nhanh từ
VC đến VD, áp suất tăng chậm từ PC đến PD, hệ tỏa lƣợng nhiệt Q2 cho môi trƣờng + Từ D A: q trình nén khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi trƣờng bên ngồi (Q = 0), thể tích giảm chậm từ VD đến VA, áp suất tăng mạnh từ PD
đến PA, nhiệt độ tăng từ T2 đến T1
Hệ trở trạng thái ban đầu tiếp tục chu trình
c) Hiệu suất chu trình Carnot:
1
Q Q Q
η (chu trình Carnot chạy theo chiều thuận động nhiệt)
Trong đó: Q1 lƣợng nhiệt nhận từ nguồn nóng có nhiệt độ T1
Q2 lƣợng nhiệt tỏa nguồn lạnh có nhiệt độ T2
Mà:
A B 1
V V ln nRT
Q ;
D C 2
V V ln nRT
Q (1)
Phƣơng trình đoạn nhiệt cho trình BC DA:
1 γ C C γ B
BV T V
T (với
V P
C C γ )
1 γ D D γ A
AV T V
T
Mà TA = TB = T1, TC = TD = T2 Chia vế hai phƣơng trình ta đƣợc:
D C A B
γ
D C
γ
A B
V V V V V
V V
V
(2)
Thay (2) vào (1) thay (1) vào biểu thức tính hiệu suất:
A B
A B A B
A B
D C A
B
V V ln T
V V ln T V V ln T
V V ln nRT
V V ln nRT V
V ln nRT η
1 1
2
T T T Q
Q Q
η (10.3)
(117) Định lý Carnot hiệu suất:
Hiệu suất động thuận nghịch chạy với hai nguồn nhiệt cho trước bằng nhau, khơng phụ thuộc vào hệ dùng để sinh công cách chế tạo máy Hiệu suất động bất thuận nghịch nhỏ hiệu suất động thuận nghịch:
Hiệu suất động bất kỳ:
1
T T T
η (10.4)
10.4 Biểu thức định lƣợng nguyên lý II nhiệt động lực học Entropy
a) Biến thiên định lượng nguyên lý II nhiệt động lực học:
Theo công thức (10.3) hiệu suất chu trình bất kỳ:
1
2
Q Q Q
Q Q
η (vì Q2 < theo quy ƣớc)
Theo định lý Carnot hiệu suất (công thức 10.4):
1
2
T T η T
T T
η
Suy ra:
T Q T Q Q Q T T T
T Q Q
2
1
2
2
2
Khi chu trình làm việc với nhiều nguồn nhiệt ta đƣợc:
0 T Q
n
1
i i
i
Nếu nhiệt độ thay đổi liên tục từ trạng thái (1) đến trạng thái (2) thì1:
0 T
Q
(2)
(1)
(10.5)
(biểu thức 10.5 biểu thức biến thiên định lƣợng nguyên lý II)
b) Hàm Entropy Nguyên lý tăng Entropy:
Đại lƣợng T
Q
biến số đại diện cho tính chất nội hệ
gọi biến số Entropy (S) Do đó:
T Q ΔS
T Q
dS (*)
Xét chu trình thuận nghịch (1a2b1):
2b1 1a2
2b1 1a2
1a2b1 T
Q T
Q
T Q T
Q
T Q
1
Lƣu ý: ký hiệu T
Q
mà không ký hiệu T
Q
(118)Xét chu trình bất thuận nghịch (1a2b1) bao gồm q trình thuận nghịch (1a2) trình bất thuận nghịch (2b1) Ta có:
12 2a1
2b1 2b1
1a2 1a2b1
ΔS T
Q T
Q
T Q T
Q
T
Q
Đối với trình bất thuận nghịch:
T Q
ΔS (**)
Kết hợp (*) (**) suy ra:
T Q ΔS
Đối với hệ nhiệt động lập, Q0 suy ra: S = Vậy với trình nhiệt động học bất kỳ: ΔS0 (10.6)
Nguyên lý tăng Entropy: Trong trình nhiệt động học bất kỳ, chuyển từ trạng thái cân sang trạng thái cân khác, Entropy hệ môi trường giữ nguyên (đối với trình thuận nghịch) ln ln tăng (đối với q trình bất thuận nghịch)
Định lý Nerst:
Khi nhiệt độ tiến tới (Kelvin) Entropy vật tiến tới
c) Entropy khí lý tưởng:
+ Quá trình đẳng nhiệt (T = const):
T Q T
Q
ΔS (10.7) (với Q nhiệt lƣợng trao đổi)
+ Quá trình đẳng tích (V= const):
Nhiệt lƣợng trao đổi: QnCVdT
2
1
T
T V
T dT nC T
Q ΔS
1 V
T T ln nC
ΔS (10.8)
+ Quá trình đẳng áp (P = const): Nhiệt lƣợng trao đổi: QnCPdT
2
1
T
T P
T dT nC T
Q ΔS
1 p
T T ln nC
ΔS (10.9)
+ Quá trình đoạn nhiệt (Q = 0):
0 T
Q
(119)+ Quá trình bất kỳ:
Theo nguyên lý I: QdUdA QnCVdTPdV
Mà:
V nRT P
nRT
PV Suy ra:
V dV nRT dT
nC
Q V
Vậy biến thiên Entropy hệ:
) (
) (
V )
2 (
)
( V
dV nR T dT nC T
Q ΔS
1
2 V
V V ln nR T T ln nC
ΔS (10.11)
d) Ý nghĩa Entropy:
(120)B BÀI TẬP
Bài 10.1: Một tủ lạnh dùng công 150J để lấy nhiệt lƣợng 560J từ buồng lạnh Tính1:
a) Hệ số làm lạnh tủ
b) Nhiệt lƣợng tỏa môi trƣờng
a) Hệ số làm lạnh tủ:
Hệ số làm lạnh đƣợc tính tỷ số lƣợng nhiệt lấy đƣợc từ nguồn lạnh cơng cần thiết để lấy lƣợng nhiệt đó:
A Q K
3,733 15
56 150
560
b) Nhiệt lượng tỏa môi trường:
Nhiệt lƣợng Q1 tỏa môi trƣờng tổng lƣợng nhiệt lấy đƣợc từ nguồn lạnh
với công sử dụng Trong trình này, cơng biến hồn tồn thành nhiệt để chuyển vào nguồn nóng
2
1 A Q
Q 150560 710(J)
Bài 10.2: Một mol khí đơn ngun tử đƣợc đun nóng đẳng tích từ nhiệt độ 300K đến nhiệt 600K sau giãn đẳng nhiệt đến áp suất ban đầu đƣợc nén đẳng áp
đến thể tích ban đầu Hãy tính2:
a) Nhiệt lƣợng hệ hấp thụ chu trình b) Cơng hệ sinh chu trình
c) Hiệu suất chu trình
Hướng dẫn: Nhiệt lượng hệ hấp thụ một chu trình tổng nhiệt lượng q trình q trình 2, cịn q trình hệ nhả nhiệt vào mơi trường phần lượng hao phí Cơng sinh chu trình cơng có ích q trình trừ cơng phải cung cấp cho hệ trình (quá trình đẳng tích nên hệ khơng sinh cơng khơng nhận cơng) Chu trình làm việc động nhiệt nên hiệu suất của chu trình tỷ số cơng sinh lượng nhiệt nhận vào
a) Nhiệt lượng hệ hấp thụ chu trình (hệ hấp thụ nhiệt từ nguồn nóng): + Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc q trình đun nóng đẳng tích (q trình 1):
1 Giống với trang 236, giáo trình Q 12
2Giống với trang 236, giáo trình Q
12
1 1,V,T
P
2 2,V,T
P
1
Q Q2
P
V
3 3,V,T
P
3
(121)(J) 3739,5 300)
8,31.(600
3 ) T (T R
i n ΔT nC
Q1 V 2 1
+ Nhiệt lƣợng hệ nhận trình giãn khí đẳng nhiệt (q trình 2):
1 2
2 2
P P ln nRT P
P ln nRT
Q (vì P3 = P1)
Vì trình đầu đẳng tích nên ta có:
2 T T P P T
P T P
1 2
2
1
Suy ra: 8,31.600.ln2 3456 (J)
P P ln nRT Q
1 2
2
Nhiệt lượng hệ hấp thụ từ nguồn nóng chu trình:
2
1 Q
Q
Q 3739,53456 7195,5(J)
b) Cơng sinh chu trình:
Cơng sinh chu trình tổng cơng q trình 3: + Q trình đẳng nhiệt U =
(J) 3456 Q
A2 2
+ Quá trình đẳng áp nên: A PdV P1(V1 V3) V
V
1
3
(*)
Mà: P2V2 P3V3 (vì trình đẳng nhiệt) Kết hợp với P3 = P1 ta đƣợc:
1 2 3
1 2
P V P V V
P V
P
Thay giá trị V3 vào biểu thức (*) ta có: 1 2
2 1
3 PV P V
P V P V P
A
(J) 2493 600)
8,31(300 )
T nR(T
A3 1 2
Công hệ sinh chu trình:
3
2 A
A
A = 3456 – 2493 = 963 (J)
c) Hiệu suất chu trình:
Hiệu suất chu trình tỷ số cơng sinh nhiệt lƣợng nhận đƣợc:
Q A
η 13,4 (%)
7195,5 963
(122)Bài 10.3: Một hệ khí đơn nguyên tử thực chu trình nhƣ hình vẽ Quá trình BC đoạn nhiệt với PB = 10 atm, VB = 10-3 m3 VC = 8.10-3 m3 Tính1:
a) Nhiệt lƣợng hệ hấp thụ đƣợc chu trình b) Nhiệt lƣợng hệ tỏa mơi trƣờng chu trình c) Hiệu suất chu trình
Hướng dẫn: Trong chu trình, hệ hấp thụ nhiệt q trình đẳng tích AB tỏa nhiệt trình đẳng áp CA Hiệu suất chu trình tỷ số công sinh (A = Q1 – Q2) nhiệt lượng nhận (Q1).
a) Nhiệt lượng hệ hấp thụ chu trình: ) T (T nC ΔT nC Q
Q1 AB V V B A
Giả sử n = 1mol Ta có:
(K) 121,9 8,31 10 10.1,013.1 R V P T RT V P B B B B B
B
Quá trình BC đoạn nhiệt suy ra:
const PVγ
γ C B B C A γ C B B C γ C C γ B B V V P P P V V P P V P V P
với
3 C C γ V P (atm) 3125 , 8.10 10 10 P P / -3 -C
A
Q trình AB đẳng tích suy ra:
(K) 3,8 10 121,9 0,3125 P T P T T P T P B B A A B B A
A
Nhiệt lượng hệ hấp thụ chu trình là:
) T (T nC
Q1 V B A 8,31.(121,9 3,8)
3
(J) 1472 Q1
b) Nhiệt lượng hệ tỏa mơi trường chu trình:
Q nC ΔT nC (T T )
Q2 CA P P A C R(T T )
i
QC A C
1 Giống với trang 237, giáo trình Q 12
B P
B
P
(123)Mà: 30,5 (K)
8,31
.8.10 10 13 0,3125.1,0 R
V P T RT
V P
3
C C C C
C
C
(J) , 554 30,5)
.8,31.(3,8
5
Q2
c) Hiệu suất chu trình:
Hiệu suất () chu trình tỷ số cơng sinh nhiệt lƣợng nhận vào
1
Q A η
1
Q Q Q
η 0,6232 62,32 (%) 1472
554,7
1472
Bài 10.4: Một động nhiệt chạy theo chu trình Stirling nhƣ hình vẽ Các trình AB CD đẳng nhiệt Các q trình BC DA đẳng tích Động sử
dụng n = 8,1.10-3
mol khí lý tƣởng, thực 0,7 chu trình 1s Nhiệt độ nguồn nhiệt động T1 = 950C T2 = 240C, VB = 1,5VA Tính1:
a) Cơng động thực chu trình b) Cơng suất động
c) Nhiệt lƣợng cung cấp cho khí chu trình d) Hiệu suất động
Hướng dẫn: Trong chu trình, cơng chỉ xuất trình AB CD, áp dụng cơng thức tính cơng q trình đẳng nhiệt (cơng thức 9.16) Cơng suất tính bằng công sinh đơn vị thời gian (1s) Nhiệt lượng cung cấp cho hệ có q trình AB DA (vì q trình BC CD giảm áp suất nén khí nên hệ tỏa nhiệt, là phần lượng hao phí mơi trường) Hiệu suất tính tỷ số cơng sinh ra nhiệt lương nhận
a) Công động thực chu trình:
Vì q trình BC DA đẳng tích nên hệ không thực công nhƣ không nhận công Q trình AB giãn khí đẳng nhiệt, hệ thực cơng (A > 0) Q trình CD nén khí đẳng nhiệt, hệ nhận cơng từ mơi trƣờng (A < 0)
Ta có: VA = VD, VB = VC, VB = 1,5VA
Nguồn nhiệt T1 động dùng để cung cấp cho hệ giãn khí đẳng nhiệt,
nguồn nhiệt T2 đóng vai trị nhƣ nguồn lạnh hệ tỏa nhiệt Do đó:
C 24 T T T
C 95 T T T
0
D C
0 B A
1 Giống với trang 277, giáo trình Q
1 Hoặc tƣơng tự 5.1 trang 133, giáo trình Q3
P A
A
V
C
V B
D
B
V
1
T
2
(124)Các trình AB CD đẳng nhiệt, biến thiên nội hệ Do đó:
1,5 10(J)
368.ln 8,31
8,1.10 V
V ln nRT Q
A
A B AB
AB
(J) 8,1 1,5
1 297.ln 8,31
8,1.10 V
V ln nRT Q
A
C D CD
CD
Cơng thực chu trình:
CD
AB A
A
A 108,1 1,9(J)
b) Công suất động cơ:
Cơng suất động đƣợc tính cơng sinh đơn vị thời gian (1s): Hệ thực chu trình thời gian: 1/0,7 (s)
Công suất:
t A
P 1,33 (W)
, /
1,9
c) Nhiệt lượng cung cấp cho khí chu trình:
Hệ nhận nhiệt lƣợng trình AB DA (vì trình BC đẳng tích giảm áp, q trình CD đẳng nhiệt giảm thể tích nên hệ tỏa nhiệt môi trƣờng):
+ Nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ q trình giãn khí đẳng nhiệt AB:
(J) 10 A
QAB AB
+ Nhiệt cung cấp cho hệ trình tăng áp, đẳng tích DA:
368 297 7,2 (J)
31 , 10 , T nC
QDA V 3
(giả sử hệ chứa khí đơn nguyên tử, bậc tự i = 3)
Nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ chu trình:
DA AB
1 Q Q
Q 107,2 17,2(J)
d) Hiệu suất động cơ1:
1
Q A
η 0,1105 11,05 (%)
17,2
1,9
Bài 10.5: 2Tính độ tăng entropi q trình biến đổi 1g nƣớc 00C thành
nƣớc 1000C Biết nhiệt hóa nƣớc 2,25.106J/kg nhiệt dung riêng
nƣớc 4,18.103 J/kg.K
Hướng dẫn: Tính tổng độ tăng Entropy hai trình: trình biến đổi 1g nước từ 00C đến 1000C q trình hóa hoàn toàn 1g nước 1000
C.
1 Không đƣợc nhầm với biểu thức tính hiệu suất chu trình thận nghịch Carnot: 2 Giống với trang 237, giáo trình Q
12
2
(125)Gọi c1 nhiệt dung riêng nƣớc, c2 nhiệt hóa nƣớc
+ Độ tăng Entropy trình biến đổi 1g nƣớc từ 00C đến 1000
C:
273 373 ln 4,18.10 10
273 373 ln mc T
dT mc T
Q
S 1 3
373
273 1
(J/K) , S1
+ Độ tăng Entropy trình biến 1g nƣớc 1000
C thành hoàn toàn:
T Q T
Q
ΔS2 (vì trình đẳng nhiệt)
(J/K)
373 10 10 25 , T
m c ΔS
3
2
Độ tăng Entropy tồn q trình:
2
1 ΔS
ΔS
ΔS 1,36 7,3 (J/K)
Bài 10.6: 1Tính độ biến thiên Entropi trình thuận nghịch biến
đổi 6g khí H2 từ thể tích V1 = 10l, áp suất P1 = 1,5 atm đến thể tích V2 = 60l áp
suất P2 = atm
Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức tính độ tăng Entropy cho q trình (biểu thức 10.11) Để tìm nhiệt độ trạng thái đầu trạng thái cuối áp dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng.
Độ tăng Entropy cho trình bất kỳ:
1
2 V
V V ln nR T T ln nC
ΔS
Số mol khí H2: n = 6/2 = Từ phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng suy ra:
(K) 61 8,31
3
.10 10 1,5.1,013 nR
V P T
2
1
1
(K) 243,8 8,31
3
.6.10 1.1,013.10 nR
V P T
2
2
2
(J/K) 86,3 10
60 ln 8,31 61 243,8 ln
.8,31
ΔS
(bậc tự i = 5)
Bài 10.7: Một hệ gồm n mol khí lƣỡng ngun tử thực chu trình gồm quá trình AB, BC, CD, DA nhƣ hình vẽ Hãy tính cơng hệ sinh ra, nhiệt hệ nhận đƣợc biến thiên nội hệ trình theo giá trị nhiệt độ T1, T2 giá trị Entropi S1, S2, S3 hệ
Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức nguyên lý I nhiệt động lực học kết hợp với các biểu thức tính độ biến thiên Entropy trình
(126)
* Quá trình AB:
Biến thiên nội năng: ΔUAB0 (vì trình đẳng nhiệt)
Nhiệt lƣợng nhận vào:
1 AB
2
T Q S S T
Q
ΔS QABT1(S2 S1)
Công sinh ra: AAB QAB AAB T1(S2 S1)
* Quá trình BC:
Biến thiên nội năng: RΔT
i n
ΔUBC BC RT2 T1
5n
ΔU
Nhiệt lƣợng nhận vào:
EC BE
BC
T Q T
Q T
Q S
S
(vì S hàm trạng thái nên biến thiên S không phụ thuộc vào đƣờng đi)
EC
T Q S
S (vì trình BE đẳng Entropy: SBE = 0)
2 CE
3
T Q S
S QBC T2S3 S2 (vì QCE = QBC)
Cơng sinh ra: ABC QBC ΔUBC BC 2 2 RT2 T1
2 5n S
S T
A
* Quá trình CD:
Biến thiên nội năng: ΔUCD 0 (vì trình đẳng nhiệt)
Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc:
2 CD
1
T Q S
S QCD T2(S1S3)
Công sinh ra: ACD QCD ACD T2(S1 S3)
1
S
A B
D C
T
1
T
2
T
2
(127)* Quá trình DA:
Biến thiên nội năng: RΔT
i n
ΔUDA DA RT1 T2
5n
ΔU
Nhiệt lƣợng nhận vào: QDA 0 (vì q trình đẳng Entropy)
Cơng sinh ra: ADA ΔUDA DA RT2 T1
2 5n
A
Bài 10.8: Một hệ khí thực chu trình nhƣ hình vẽ Tính: a) Cơng sinh chu trình
b) Nhiệt lƣợng hệ nhận từ nguồn nhiệt độ cao chu trình c) Hiệu suất chu trình
a) Cơng sinh chu trình: + Cơng sinh q trình AB:
1
1 AB
AB Q T S S
A (vì trình đẳng nhiệt nên U = 0)
+ Công sinh q trình BC DA có giá trị ngƣợc dấu nên triệt tiêu với (quá trình đẳng Entropy, Q = A = –U):
2
V DA
BC A nC T T
A
+ Cơng q trình CD:
2
2 CD
CD Q T S S
A (vì trình đẳng nhiệt nên U = 0)
Công thực chu trình:
CD
AB A
A
A T1S2 S1T2S1S2 T1T2S2S1 (J)
b) Nhiệt lượng hệ nhận chu trình:
Hệ nhận nhiệt lƣợng trình AB (quá trình CD hệ tỏa nhiệt):
2 1
1 AB
1 Q T S S
Q (J)
A B
D
C T
1
T
2
T
S
2
S
1
(128)c) Hiệu suất chu trình:
1
Q A
η
1
1 2
S S T
S S T T η
1
2
T T T
T T
Bài 10.9: Quá trình biến đổi mol khí đa ngun tử đƣợc trình bày giản đồ TS nhƣ hình vẽ Biết nhiệt lƣợng hệ nhận q trình AB gấp đơi nhiệt lƣợng tỏa q trình BC Tính:
a) Nhiệt lƣợng hệ trao đổi chu trình b) Cơng hệ nhận đƣợc q trình BC
Hướng dẫn: Nhiệt lượng hệ trao đổi trong chu trình tổng nhiệt lượng trao đổi trình AB BC (vì q trình CA đẳng Entropy nên hệ khơng trao đổi nhiệt, Q = 0) Áp dụng biểu thức nguyên lý I nhiệt động lực học cho q trình BC suy cơng mà hệ nhận trình
Quá trình CA đẳng Entropy (đoạn nhiệt) nên QCA = Quá trình AB hệ nhận
nhiệt lƣợng (Q > 0), q trình BC hệ tỏa nhiệt mơi trƣờng (Q < 0)
a) Nhiệt lượng hệ trao đổi chu trình:
+ Nhiệt lƣợng hệ trao đổi trình đẳng nhiệt AB:
) S (S T Q T
Q T
Q
ΔS AB 1 2 1
1 AB B
A
AB
+ Nhiệt lƣợng hệ trao đổi trình BC:
) S (S T Q
2
Q 2 1
AB
BC
Nhiệt lƣợng hệ trao đổi chu trình: (S S )
2 T Q
Q
Q 2 1
BC
AB
b) Cơng hệ nhận q trình BC:
Theo nguyên lý I: R(T T)
2 i n ) S (S T ΔU
Q
A 2 1 2 1
BC BC
BC
R(T T )
2 i n ) S (S T
A 1 2 1 2
BC
T
1
T
2
T
A B
C
1
(129)KẾT LUẬN
Các nội dung trình bày dựa chủ yếu vào đề cƣơng môn học Cơ – Nhiệt dành cho sinh viên khoa Vật lý, Trƣờng ĐHKHTN, ĐHQGHN nên khái quát đƣợc vấn đề Phần lý thuyết nêu ngắn gọn khái niệm biểu thức áp dụng mà không sâu vào chứng minh, phân tích Những bạn có nhu cầu tìm hiểu thêm xem giáo trình mục “Tài liệu tham khảo” (cuối file) Theo ý kiến cá nhân, bạn nên tham khảo tối thiểu hai giáo trình: Q2 Q4
Trong kỳ học, nội dung ôn tập trọng tâm khác (tuy không nhiều), giảng viên môn trao đổi, thống thông báo tới sinh viên trƣớc kết thúc mơn học Thƣờng chƣơng khơng có nội dung ơn thi, chƣơng chƣơng nêu lý thuyết áp dụng giải thích tƣợng
Trƣớc làm tập cần xem kỹ lý thuyết ghi nhớ công thức quan trọng đƣợc đóng khung đánh số thứ tự theo chƣơng Đa số trƣờng hợp cần hiểu cách thiết lập nhớ công thức cuối Cá biệt có số trƣờng hợp yêu cầu ghi nhớ cách thiết lập, nhƣ công thức: (2.5); (3.4); (3.5); (3.6); (4.4); (4.8); (9.5); (10.3);… Nếu chƣa hiểu phép biến đổi trình thiết lập cơng thức xem lại kiến thức Tốn học phần “Phụ lục: Kiến thức chuẩn bị”, trang 160)
Cuối cùng, để nắm vững môn Cơ - Nhiệt nói riêng kiến thức Vật lý nói chung, cần xếp thời gian hợp lý cho việc ôn luyện ý quan sát, liên hệ với thực tiễn
Chúc bạn học tốt!
* Ghi chú: (phần dành riêng cho bạn cần ôn cấp tốc, trạng thái “hoang mang” trước thi mục tiêu để qua môn cần điểm trung bình)
- Thi kỳ: thi có lý thuyết hay khơng cịn tùy thuộc vào lớp, giảng
viên quy định Phần tập giống hồn tồn thay số so với tập đề cƣơng Xem lại thuộc chƣơng 2, 3, 4; cụ thể bài: 2.1 đến 2.7 (chƣơng 2); 3.1 đến 3.10 (chƣơng 3); 4.1, 4.2; 4.4 đến 4.8 (chƣơng 4)
- Thi cuối kỳ:
+ Lý thuyết: định lý động năng; định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng
của chất điểm hệ chất điểm; khối tâm công thức tọa độ khối tâm (trƣờng hợp hạt phân bố rời rạc); phƣơng trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định (rất quan trọng); nội dung, biểu thức nguyên lý I nhiệt động lực học áp dụng giải thích tƣợng (rất quan trọng), vẽ chu trình Carnot
+ Bài tập: Bài tốn bình thông (đề 2, 4, trang 124; đề 4, 5, trang
132); toán xoay quanh nguyên lý I nhiệt động lực học (tính nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ, tính cơng sinh biến thiên nội hệ); tính hiệu suất chu trình Carnot; tập chƣơng 2, 3, (xem đề thi cuối kỳ)
(130)NỘI DUNG ÔN TẬP
1 Nội dung ôn tập kỳ II năm học 2013 – 2014
a) Lý thuyết:
1 Động lƣợng vật, xung lƣợng lực Định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng
2 Động năng, định lý động
3 Định luật biến thiên bảo toàn Hệ chất điểm, khối tâm
5 Phƣơng trình vật rắn quay quanh trục cố định
6 Động vật rắn quay
7 Định lý biến thiên định luật bảo tồn mơmen động lƣợng
8 Chuyển động trƣờng xuyên tâm Các định luật Keppler Các tiên đề thuyết tƣơng đối hẹp Phép biến đổi Lorentz 10 Nguyên lý số nhiệt động lực học
11 Nguyên lý thứ I nhiệt động lực học
12 Động trung bình phân tử chuyển động tịnh tiến
13 Nhiệt dung mol đẳng tích nhiệt dung mol đẳng áp 14 Định luật phân bố phân tử theo vận tốc Maxwell 15 Va chạm phân tử Quãng đƣờng tự trung bình
16 Chu trình Carnot Định lý Carnot hiệu suất động nhiệt
17 Hai cách phát biểu nguyên lý thứ II nhiệt động lực học Thomson Clausius
18 Biểu thức định lƣợng nguyên lý thứ II nhiệt động lực học Entropy Ý nghĩa Entropy
b) Bài tập:
+ Chƣơng 2: Động lực học chất điểm + Chƣơng 3: Công lƣợng + Chƣơng 4: Chuyển động vật rắn
+ Chƣơng 8: Nguyên lý thứ nhiệt động lực học + Chƣơng 9: Động học chất khí
(131)2 Nội dung ôn tập kỳ I năm học 2014 – 2015
a) Lý thuyết:
1 Động lƣợng chất điểm, hệ chất điểm Xung lƣợng lực Định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng chất điểm hệ chất điểm
2 Động Định lý động
3 Định luật bảo toàn vật chuyển động trƣờng Hệ chất điểm Khối tâm
5 Phƣơng trình vật rắn quay quanh trục cố định Động vật rắn quay
7 Định lý biến thiên bảo tồn mơmen động lƣợng hệ chất điểm Ba định luật Keppler (phát biểu)
9 Các tiên đề thuyết tƣơng đối hẹp Phép biến đổi Lorentz (phát biểu, viết biểu thức, không cần chứng minh)
10 Nguyên lý số nhiệt động lực học 11 Nguyên lý thứ nhiệt động lực học
12 Phƣơng trình thuyết động học phân tử
13 Nhiệt dung mol đẳng tích đẳng áp cho mol khí lý tƣởng
14 Định luật phân bố phân tử theo vận tốc Maxwell (biểu thức ý nghĩa) 15 Va chạm phân tử Quãng đƣờng tự trung bình
16 Chu trình Carnot Hiệu suất động nhiệt làm việc theo chu trình Carnot 17 Hai cách phát biểu nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học Thomson
của Clausius
18 Biểu thức định lƣợng nguyên lý thứ nhiệt động lực học Entropy, ý nghĩa Entropy
b) Bài tập:
+ Chƣơng 2: Động lực học chất điểm (bài 2.1 – 2.8) + Chƣơng 3: Công lƣợng (bài 3.1 – 3.8) + Chƣơng 4: Chuyển động vật rắn (bài 4.1 – 4.8)
+ Chƣơng 8: Nội nguyên lý thứ nhiệt động lực học (bài 8.7 – 8.9) + Chƣơng 9: Thuyết động học chất khí (bài 9.3 – 9.6)
+ Chƣơng 10: Entropy nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học (chủ yếu tập hiệu suất, 10.3 10.4)
(132)3 Nội dung ôn tập kỳ II năm học 2014 – 2015
a) Lý thuyết:
1 Động lƣợng chất điểm, hệ chất điểm Xung lƣợng lực Định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng chất điểm hệ chất điểm
2 Động Định lý động
3 Định luật bảo toàn vật chuyển động trƣờng Hệ chất điểm Khối tâm
5 Phƣơng trình vật rắn quay quanh trục cố định Động vật rắn quay
7 Định lý biến thiên bảo tồn mơmen động lƣợng hệ chất điểm Ba định luật Keppler (phát biểu)
9 Các tiên đề thuyết tƣơng đối hẹp Phép biến đổi Lorentz (phát biểu, viết biểu thức, không cần chứng minh)
10 Nguyên lý số nhiệt động lực học 11 Nguyên lý thứ nhiệt động lực học
12 Phƣơng trình thuyết động học phân tử
13 Nhiệt dung mol đẳng tích đẳng áp cho mol khí lý tƣởng
14 Định luật phân bố phân tử theo vận tốc Maxwell (biểu thức + ý nghĩa)
15 Va chạm phân tử Quãng đƣờng tự trung bình
16 Chu trình Carnot Hiệu suất động nhiệt làm việc theo chu trình Carnot 17 Hai cách phát biểu nguyên lý thứ nhiệt động lực học Thomson
của Clausius Chứng minh hai cách phát biểu tƣơng đƣơng
18 Biểu thức định lƣợng nguyên lý thứ nhiệt động lực học Entropy ý nghĩa Entropy
b) Bài tập:
+ Chƣơng 2: Động lực học chất điểm (bài 2.1 – 2.10) + Chƣơng 3: Công lƣợng (bài 3.1 – 3.10) + Chƣơng 4: Chuyển động vật rắn (bài 4.1 – 4.8)
+ Chƣơng 8: Nội nguyên lý thứ nhiệt động lực học (bài 8.7 – 8.9) + Chƣơng 9: Thuyết động học chất khí (bài 9.3 – 9.6)
+ Chƣơng 10: Entropy nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học (chủ yếu tập hiệu suất, 10.1 – 10.4)
(133)4 Nội dung ôn tập kỳ I năm học 2015 – 2016
a) Lý thuyết:
1 Động lƣợng vật, xung lƣợng lực Định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng
2 Động – định lý động
3 Định luật biến thiên bảo toàn Hệ chất điểm Khối tâm
5 Phƣơng trình vật rắn quay quanh trục cố định Động vật rắn quay
7 Định lý biến thiên định luật bảo tồn mơmen động lƣợng Chuyển động trƣờng xuyên tâm Các định luật Keppler Các tiên đề thuyết tƣơng đối hẹp Phép biến đổi Lorentz 10 Nguyên lý số nhiệt động lực học
11 Nguyên lý thứ I nhiệt động lực học
12 Động trung bình phân tử chuyển động tịnh tiến 13 Nhiệt dung mol đẳng tích nhiệt dung mol đẳng áp
14 Định luật phân bố phân tử theo vận tốc Maxwell 15 Va chạm phân tử Quãng đƣờng tự trung bình
16 Chu trình Carnot Định lý Carnot hiệu suất động nhiệt
17 Hai cách phát biểu nguyên lý thứ II nhiệt động lực học Thomson Clausius
18 Biểu thức định lƣợng nguyên lý thứ II nhiệt động lực học Entropy Ý nghĩa Entropy
b) Bài tập:
+ Chƣơng 2: Động lực học chất điểm + Chƣơng 3: Công lƣợng + Chƣơng 4: Chuyển động vật rắn
+ Chƣơng 8: Nguyên lý thứ I nhiệt động lực học
+ Chƣơng 9: Động học chất khí
+ Chƣơng 10: Nguyên lý thứ II nhiệt động lực học
* Cấu trúc điểm: + Phần Cơ học: điểm (lý thuyết điểm, tập điểm)
(134)MỘT SỐ ĐỀ THI CUỐI KỲ
1 Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã mơn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất, Mơi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc
Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1:
a) Phát biểu chứng minh định lý động b) Phát biểu định luật bảo toàn lƣợng, cho ví dụ
Câu 2: Một vật có khối lƣợng m bay theo phƣơng ngang
và đâm vào vật khác có khối lƣợng M đƣợc treo bằng sợi dây chiều dài l dừng lại Sợi dây bị lệch góc so với phƣơng thẳng đứng (hình 1) Xác định vận tốc vật m trƣớc đâm vào vật M
Câu 3: Vẽ trình bày vắn tắt chu trình Carnot
Câu 4: Trạng thái ban đầu 1mol khí lý tƣởng đƣợc xác định thơng số P1,
V1, T1 Tính cơng cần thiết để làm tăng thể tích khối khí lên gấp hai lần thể tích ban đầu trƣờng hợp sau:
a) Theo trình đẳng áp b) Theo trình đẳng nhiệt
c) Vẽ trình giản đồ PV
d) Tính nhiệt độ khối khí cuối q trình đẳng áp (a) e) Tính áp suất khối khí cuối q trình đẳng nhiệt (b)
Lời giải:
Câu 1:
a) Phát biểu chứng minh định lý động năng:
+ Định lý động năng:
Độ biến thiên động chất điểm khoảng thời gian công của ngoại lực đặt vào chất điểm khoảng thời gian
+ Chứng minh:
Công lực F làm chất điểm di chuyển từ vị trí đến vị trí 2: ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012
α
M
m
v
(135)
(2)
(1) (2)
(1)
12 Fdr Fdr
A (với dr vi phân quãng đƣờng dịch chuyển)
Mà:
dt dv m ma
F nên suy ra:
2 mv
mv
mv dv mv dr
dt dv m Fdr
A
2
2 v
v (2)
(1) (2)
(1) (2)
(1) 12
2
1
A12 K2 K1 (điều phải chứng minh)
b) Phát biểu định luật bảo tồn lượng, cho ví dụ:
+ Định luật bảo toàn lƣợng:
Năng lượng không tự sinh không tự đi, chuyển hóa từ dạng năng lượng sang dạng lượng khác từ hệ sang hệ khác
+ Ví dụ:
Khi hai vật va chạm mềm với nhau, phần động ban đầu chuyển hóa thành nhiệt Nhƣng tổng lƣợng hệ trƣớc sau va chạm đƣợc bảo toàn
Trong động đốt trong, nhiệt lƣợng đốt cháy nhiên liệu chuyển hóa thành công làm di chuyển piston Một phần lớn nhiệt lƣợng thất ngồi mơi trƣờng nhƣng tổng lƣợng thất với cơng sinh nhiệt lƣợng nhận vào
Câu 2: Xác định vận tốc vật m trƣớc đâm vào vật M1: Sợi dây bị lệch góc so với phƣơng
thẳng đứng vật M bị đƣa lên độ cao h Giả sử hệ cô lập, vận tốc vật m trƣớc va chạm v, sau va chạm v'
Động lƣợng hệ trƣớc sau va chạm đƣợc bảo toàn:
(*) ' v m
m M v ' m)v (M
mv
Cơ hệ (tính từ thời điểm bắt đầu va chạm M đƣợc đƣa lên độ cao h) đƣợc bảo toàn:
v' M mg (1 cosα)
2 m M gh
m M '
v
m
M 2 2
l
α) cos (1 g '
v
l Thay giá trị v' vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:
2 α sin g m
m M α) cos (1 g m
m M
v l l
2 α sin g m
m M
v l
1 Xem thêm 3.7; chƣơng
α
M
m
v
l
(136)Câu 3: Vẽ trình bày vắn tắt chu trình Carnot:
Chu trình Carnot chu trình thuận nghịch đơn giản mà có khả sinh cơng, gồm q trình đẳng nhiệt thuận nghịch trình đoạn nhiệt thuận nghịch xen kẽ
* Hình vẽ:
* Hoạt động chu trình Carnot gồm trình:
+ Từ A B: q trình giãn nở khí đẳng nhiệt nhiệt độ T1, thể tích tăng nhanh
từ VA đến VB, áp suất giảm chậm từ PA đến PB, hệ nhận lƣợng nhiệt Q1 từ môi trƣờng
+ Từ B C: q trình giãn nở khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi trƣờng ngồi (Q = 0), thể tích tăng chậm từ VB đến VC, áp suất giảm nhanh từ PB đến
PC, nhiệt độ giảm từ T1 đến T2
+ Từ C D: q trình nén khí đẳng nhiệt nhiệt độ T2, thể tích giảm nhanh từ
VC đến VD, áp suất tăng chậm từ PC đến PD, hệ tỏa lƣợng nhiệt Q2 cho môi trƣờng + Từ D A: q trình nén khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi trƣờng bên ngồi (Q = 0), thể tích giảm chậm từ VD đến VA, áp suất tăng mạnh từ PD
đến PA, nhiệt độ tăng từ T2 đến T1
Hệ trở trạng thái ban đầu tiếp tục chu trình
Câu 4: Trạng thái ban đầu 1mol khí lý tƣởng đƣợc xác định thơng số P1, V1, T1 Tính cơng cần thiết để làm tăng thể tích khối khí lên gấp lần (V2 = 2V1):
a) Theo trình đẳng áp (P = const):
PdV PdV P dV P(V V)
A 1 2 1
V
V V
V V
V
2
1
1
1
1
1 PV
A
b) Theo trình đẳng nhiệt (T = const):
2 P V
V P P V P V
P
2 1 2
1
Mà:
V V P P V P PV const
PV 1
1
1
(với V1 ≤ V ≤ V2)
Do đó:
1 1 V
V 1 V
V 1 V
V
V V ln V P V dV V P dV V
V P PdV A
2
1
1
1
ln2 V P A2 1 1
1
Q
2
Q
0 Q
P
V
const T1
const T2
Q
A
B
(137)c) Vẽ trình giản đồ PV:
+ Quá trình (1) từ A B q trình đẳng áp Cơng mà hệ thực diện tích hình chữ nhật ABV2V1
+ Quá trình (2) từ A C q trình đẳng nhiệt Cơng mà hệ thực diện tích hình thang cong ACV2V1
d) Tính nhiệt độ khối khí cuối q trình đẳng áp (1):
Vì trình đẳng áp nên:
2
1
T V T V
1
1
2 2T
V T V T
e) Tính áp suất khối khí cuối trình đẳng nhiệt (2):
Vì trình đẳng nhiệt nên: P1V1P2V2
1
2 P
2 V
V P P
V P
1
V V2
2
P
1
P (1)
(2)
A B
(138)2 Đề thi cuối kỳ I năm học 2011 – 2012 (đề riêng cho K56 CLC KHMT)
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã môn học: PHY 1100 12 Số tín chỉ: 03 Dành cho sinh viên: K56 CLC Khoa học Môi trƣờng Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu (2đ): Định nghĩa khối tâm thành lập cơng thức tính tọa độ khối tâm
hệ chất điểm
Câu (2đ): Thiết lập phƣơng trình chuyển động quay vật rắn quanh
một trục cố định
Câu (2đ): Một vật có khối lƣợng m = 2kg, đƣợc treo đầu sợi dây dài l =
40cm; vật quay mặt phẳng nằm ngang với vận tốc không đổi cho sợi dây vạch mặt nón Biết sợi dây tạo với phƣơng thẳng đứng góc = 300
Tìm vận tốc góc vật lực căng dây
Câu (2đ): Có hai bình chứa hai loại khí khác thơng với ống
thủy tinh có khóa Thể tích bình thứ lít, bình thứ hai lít Lúc đầu ta đóng khóa, áp suất hai bình lần lƣợt 1at 3at Sau mở khóa nhẹ nhàng để hai bình thông cho nhiệt độ không thay đổi
Tính áp suất chất khí hai bình thông
Câu (2đ): Một vô lăng hình đĩa trịn, đồng chất, có khối lƣợng m = 500 kg, bán kính
r = 20cm quay xung quanh trục với vận tốc n = 480 vịng/ phút Tác dụng mơmen hãm lên vơ lăng Tính mơmen hãm hai trƣờng hợp:
a) Vô lăng dừng lại sau hãm 50 giây
b) Vô lăng dừng lại sau quay thêm đƣợc N = 200 vòng
Lời giải:
Câu 1: Định nghĩa khối tâm thành lập cơng thức tính tọa độ khối tâm hệ chất điểm:
* Khối tâm hệ chất điểm:
Hệ chất điểm tập hợp nhiều chất điểm (hạt) phân bố rời rạc liên tục
Khi hệ chất điểm đặt trường trọng lực điểm đặt lực tổng hợp tác dụng lên hệ gọi khối tâm hệ (hay trọng tâm hay tâm quán tính)
* Thành lập cơng thức tính tọa độ khối tâm C:
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
(139)Giả sử hệ có n hạt phân bố rời rạc thì:
M r m m
m m
r m r m r m
r i i
n
1
n n
2 1
C
(với ri mi vị trí khối lƣợng chất điểm thứ i, M tổng khối lƣợng hệ)
M z m M
y m M
x m M
z y x m
rC i i i i i i i i i i
M z m z
; M
y m y
; M
x m
xC i i C i i C i i
(với x, y, z tọa độ khối tâm C)
Trong trường hợp hạt phân bố liên tục thì:
M dm.z z
; M dm.y y
; M dm.x
xC C C
(dm vi phân khối lƣợng điểm có tọa độ (x,y,z))
Câu 2: Thiết lập phƣơng trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định
Xét vật rắn chuyển động quay xung
quanh trục Gia tốc góc
dt ω d
β đại
lƣợng M [ri Fi] tổng mômen
ngoại lực trục quay Thiết lập mối quan hệ β M thiết lập phƣơng trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định
Phƣơng trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i:
i i
i m a
F (Fi lực tác dụng lên chất điểm thứ i) Nhân có hƣớng hai vế với r : i
] a r [ m ] F r
[ i i i i i (với [βri])
i i i
i i i i
i
i r [β r] m β.r r.(r.β) β.mr
m
(vì ri βri.β0)
Đặt: Mi [ri Fi] gọi mômen lực tác dụng lên chất điểm thứ i
trục Ta có:
ω
i
r
i
v
i
m
(140)2 i i
i β.mr
M
Xét toàn vật rắn (hệ chất điểm):
i i i
i
i i
i β.mr [r F] β mr
M
Tổng nội lực hệ nên mômen tổng ứng với ngoại lực tác dụng lên hệ Gọi đại lƣợng
i ir
m
I gọi mơmen qn tính vật rắn Do đó:
i i
i β m r
M MIβ
Mômen ngoại lực trục quay tích số mơmen qn tính vật với gia tốc góc mà vật nhận
Câu 31: Ta có: m = 2kg, l = 40cm, = 300 Vật m chịu tác dụng lực căng T
và trọng lực P Tổng hợp lực
là lực hƣớng vào tâm Fhtvà gây
chuyển động tròn vật
P T
Fht (*)
* Lực căng T sợi dây:
Chiếu (*) lên phƣơng chuyển động (phƣơng vận tốc dài v) chọn chiều dƣơng hƣớng xuống, ta đƣợc:
0
Fht (vì Fht v)
P Tcosα
cos P
T 22,6(N)
/ 2.9,8 30
cos mg
0
* Vận tốc góc vật:
a m
Fht (đây gia tốc pháp tuyến, hƣớng vào tâm quỹ đạo tròn)
Chiếu lên phƣơng bán kính:
m RTsin v
R mv Tsin
R mv F
2
ht
(R bán kính quỹ đạo)
Mà:
R v ω ωR
v (liên hệ vận tốc dài vận tốc góc)
sin m
Tsin Rm
Tsin ω
l ml
T
ω 5,315(rad/s)
,
22,6
1 Xem thêm 2.3, chƣơng
m
ht
F
P v O
l
(141)Câu 41:
Ta có: V1 = lít, V2 = lít, P1 = 1at, P2 = 3at, T = const
Giả sử hai loại khí khơng phản ứng với Sau mở khóa khí hai bình tràn sang Xét riêng loại khí (nếu xét khí bình coi bình chân khơng):
+ Áp suất khí thứ gây ra: giảm từ P1 đến P1' nhiệt độ khơng đổi mà
thể tích tăng lên
+ Tƣơng tự, áp suất khí thứ hai gây giảm từ P2 đến P2'
Theo định luật Dalton2, áp suất bình sau mở khóa tổng áp suất thành phần:
' P ' P P 1 2
Vì trình đẳng nhiệt nên: PV = const
(at) 0,4 5.10
2.10 V V
V P ' P ) V (V ' P V
P 3
3
2
1 1
2 1
1
Tƣơng tự: 1,8(at)
5.10 3.10 V V
V P ' P ) V (V ' P V
P 3
3
2
2 2
2 2
2
Áp suất hỗn hợp khí hai bình thơng nhau:
P' P ' P 1 2
2
2 1
V V
V P V P P
0,41,8 2,2(at)
Câu 5:
Hướng dẫn: Từ lúc tác dụng mơmen hãm vơ lăng quay chậm dần Áp dụng biểu thức chuyển động tròn biến đổi (biểu thức 1.13) phương trình cơ chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định (phương trình 4.4)
Ta có: m = 500 kg, r = 20cm, n = 480 vịng/phút
Gọi M mơmen lực trục quay (mơmen hãm cần tìm), vận tốc góc, gia tốc góc Ta có phƣơng trình động lực học chuyển động quay trịn biến đổi đều:
t β ω
ω 0 (với 0 vận tốc góc chƣa tác dụng mômen hãm)
2β ω
ω
2
(với góc quay thêm tác dụng mômen hãm)
Mà: MβI (phƣơng trình chuyển động quay vật rắn)
a) Vô lăng dừng lại sau hãm 50 giây:
Vô lăng quay chậm dần dừng lại sau 50 giây Khi dừng lại =
1
Dạng bình thơng thƣờng có đề thi cuối kỳ
2 Định luật Dalton: Ở nhiệt độ xác định, chất khí khơng phản ứng với áp suất tồn phần
(142)Vận tốc góc chƣa tác dụng mômen hãm:
(rad/s) 6π
1 60 480.2π ω0
ω ω0 βt 16π 50β π (rad/s ) 25
8
β
Mơmen qn tính vật rắn trục quay1:
2
mr I
Do đó, mơmen hãm cần tìm là:
mr2
1 π 25
8 I
β
M mπr2
50
M 500π0,2 3,2π(Nm) 50
8
b) Vô lăng dừng lại sau quay thêm N = 200 vòng:
Góc quay thêm sau tác dụng mơmen hãm: (rad)
400π 200.2π
Mà: ω2ω20 2β
) (rad/s π
25 800π
π 16 800π
ω β
800π β
ω
2 2
0
0
Mômen hãm:
βI
M mπr2
50
M 3,2π (Nm)
(143)
3 Đề thi cuối kỳ I năm học 2012 – 2013
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất, Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc
Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu (3đ): Hãy trình bày định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng cho chất điểm
và hệ chất điểm
Câu (3đ): Một vật nhỏ trƣợt không ma
sát theo máng nghiêng từ độ cao H mà phần cuối máng đƣợc uốn thành vịng trịn bán kính R Hãy tính độ cao h mà vật rời khỏi máng Độ cao H phải có giá trị tối thiểu nhƣ để vật nhỏ không rời khỏi máng điểm cao phần quỹ đạo tròn
Câu (2đ): Hãy phát biểu viết biểu thức toán học cho nguyên lý thứ nhiệt
động lực học
Câu (2đ): Có hai bình cầu đƣợc nối với ống có khóa, đựng
chất khí lý tƣởng nhiệt độ Áp suất khí bình thứ 2.105 N/m2,
bình thứ hai 106
N/m2 Mở khóa nhẹ nhàng để hai bình thơng với cho nhiệt độ khí khơng đổi Khi cân bằng, áp suất hai bình 4.105 N/m2 Tìm thể tích
của bình cầu thứ hai biết thể tích bình cầu thứ 15 dm3
Lời giải:
Câu 1: Định luật biến thiên bảo toàn động lƣợng cho chất điểm, hệ chất điểm:
* Đối với chất điểm:
Độ biến thiên động lượng chất điểm khoảng thời gian xung lượng ngoại lực tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian
1
t
t
dt F J P
Δ (với F ngoại lực tác dụng)
Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm động lượng bảo tồn:
const P
0 F dt
P
d
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 – 2013
H
(144)* Đối với hệ chất điểm:
Động lƣợng hệ tổng động lƣợng chất điểm khối lƣợng hệ nhân với vận tốc khối tâm:
C
i Mv
P P
Độ biến thiên động lượng hệ chất điểm (vật) khoảng thời gian đó xung lượng ngoại lực tác dụng lên vật khoảng thời gian
J P Δ
Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên hệ động lƣợng hệ đƣợc bảo tồn
const P
0 dt
P
d
Câu 21:
* Độ cao h mà vật bắt đầu rời khỏi máng:
Vật nhỏ trƣợt không ma sát, đƣợc bảo toàn độ cao h
) ( g v h H mv
2 mgh mgH
2
2
Phƣơng trình định luật II Newton cho vật độ cao h:
a m N P
(với P trọng lực, N phản lực máng a gia tốc hƣớng tâm) Chiếu lên phƣơng bán kính, chiều dƣơng hƣớng vào tâm:
R v m N cosα mg
2
R v m N R
R h mg
2
mv RN R
h
mg
m RN R
h g
v2
Thay giá trị
v vào phƣơng trình (1) ta đƣợc:
g
m RN R
h g h g v h H
2
) ( 2mg
RN
R h h
H
Tại điểm mà vật nhỏ bắt đầu rời khỏi rãnh phản lực tác dụng lên vật (N = 0) Từ phƣơng trình (2) suy ra:
1 Xem 3.6, chƣơng
H
h R
P R
N
(145)R 3h 2H R h 2h 2H R h h
H
3 R 2H h
* Tìm độ cao H để vật nhỏ không rời khỏi máng điểm cao quỹ đạo tròn:
Để vật nhỏ không bị rơi điểm cao quỹ đạo (h = 2R) phản lực rãnh tác dụng lên cầu phải khơng âm (N ≥ 0) Từ (2) suy ra:
2 R 2R 2R H R h h
H H2,5R
Câu 3: Nội dung biểu thức nguyên lý I nhiệt động lực học:
* Nội dung:
Nhiệt lượng cung cấp cho hệ dùng để sinh công biến đổi nội hệ
* Biểu thức:
ΔU A Q
Trong đó: + Q nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ + A công sinh
+ U biến thiên nội hệ Câu 41:
Cho: P1 = 2.105 N/m2; P2 = 106 N/m2; P = 4.105 N/m2; V1 = 15dm3; T = const
+ Áp suất khí bình thứ gây (coi bình thứ hai chân khơng): giảm từ P1 đến P1' nhiệt độ khơng đổi mà thể tích tăng lên
+ Áp suất khí bình thứ hai gây giảm từ P2 đến P2'
Theo định luật Dalton, áp suất bình sau mở khóa tổng áp suất thành phần:
' P ' P P 1 2
Vì trình đẳng nhiệt nên: PV = const
2 1 1 1 1 V V V P ' P ) V (V ' P V P Tƣơng tự: 2 2 2 2 V V V P ' P ) V (V ' P V P
Áp suất hai bình thơng nhau:
2 1 2 2 1
1 PV PV PV P V
V V V P V V V P P ' P ' P
P
2 V P P P P V
15.10 5.10 (m ) 5(dm )
10 4.10
4.10
2.10 3 3
6 5
(146)4 Đề thi cuối kỳ I năm học 2013 – 2014
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất, Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc
Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu (2đ): Thiết lập phƣơng trình chuyển động quay vật rắn quanh
một trục cố định
Câu (2đ): Một vật rắn có khối lƣợng m = 2kg, đƣợc treo đầu sợi dây dài l =
40cm; vật quay mặt phẳng nằm ngang với vận tốc không đổi cho sợi dây vạch mặt nón Biết sợi dây tạo với phƣơng thẳng đứng góc = 300 Tìm vận tốc góc vật lực căng dây
Câu (2đ): Một ôtô khối lƣợng tấn, tắt máy chuyển động xuống dốc có
vận tốc không đổi V = 54km/h Hỏi động ô tô phải có công suất để chuyển động lên dốc nói với vận tốc 54km/h Cho biết góc dốc (sin = 0,04), hệ số ma sát ô tô mặt đƣờng hai trƣờng hợp: lên dốc xuống dốc nhƣ
Câu (2đ): Trình bày nguyên lý thứ nhiệt động lực học
Câu (2đ): Có hai bình chứa loại khí lý tƣởng, nhiệt độ, thông với
nhau ống có khóa Lúc đầu ngƣời ta đóng khóa, áp suất bình thứ P1
= 2.105 N/m2, bình thứ hai P2 = 106 N/m2 Sau đó, mở khóa nhẹ nhàng để hai bình
thơng cho nhiệt độ không thay đổi Khi cân bằng, áp suất hai bình P = 4.105 N/m2 Tìm thể tích bình thứ hai, biết thể tích bình thứ V1 = 15dm3
Lời giải:
Câu 1:
Xét vật rắn chuyển động quay xung
quanh trục Gia tốc góc
dt ω d
β đại
lƣợng M [ri Fi] tổng mômen ngoại lực trục quay Thiết lập mối quan hệ β M thiết lập phƣơng trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2013 – 2014
ω
i
r
i
v
i
m
(147)Phƣơng trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i:
i i
i m a
F (Fi lực tác dụng lên chất điểm thứ i) Nhân có hƣớng hai vế với r : i
] a r [ m ] F r
[ i i i i i (với [βri])
i i i
i i i i
i
i r [β r] m β.r r.(r.β) β.mr
m
(vì ri βri.β0)
Đặt: Mi [ri Fi] gọi mômen lực tác dụng lên chất điểm thứ i
trục Ta có: Mi β.miri2
Xét tồn vật rắn (hệ chất điểm):
i i i
i
i i
i β.mr [r F] β mr
M
Tổng nội lực hệ nên mômen tổng ứng với ngoại lực tác dụng lên hệ Gọi đại lƣợng
i ir
m
I gọi mơmen qn tính vật rắn Do đó:
i i
i β m r
M MIβ
Mômen ngoại lực trục quay tích số mơmen qn tính vật với gia tốc góc mà vật nhận
Câu 2: Tìm vận tốc góc vật lực căng sợi dây:
Vật m chịu tác dụng lực căng T
và trọng lực P Tổng hợp lực
là lực hƣớng vào tâm Fhtvà gây
chuyển động tròn vật
P T
Fht (*)
* Lực căng T sợi dây:
Chiếu (*) lên phƣơng chuyển động (phƣơng vận tốc dài v) chọn chiều
dƣơng hƣớng xuống, ta đƣợc:
0
Fht (vì Fht v)
P Tcosα
cos P
T 22,6(N)
/ 2.9,8 30
cos mg
0
* Vận tốc góc vật:
a m
Fht (ứng với gia tốc pháp tuyến, hƣớng vào tâm quỹ đạo tròn)
m
ht
F
P v O
l
(148)Chiếu lên phƣơng bán kính:
m RTsin v
R mv Tsin
R mv F
2
ht
(R bán kính quỹ đạo)
Mà:
R v ω ωR
v (liên hệ vận tốc dài vận tốc góc)
sin m
Tsin Rm
Tsin ω
l ml
T
ω 5,315(rad/s)
2 ,
22,6
Câu 3: Tính cơng suất ơtơ:
Công suất:
FV t
FS t
A
P
* Khi xe xuống dốc:
Các lực tác dụng là: P,N,Fms
Vì ơtơ chuyển động nên: PNFms 0
Chiếu lên phƣơng chuyển động, chiều dƣơng hƣớng lên trên:
mgsinα mgcosα
μ Psinα
Fms (1) với hệ số ma sát
* Khi xe lên dốc:
Các lực tác dụng là: P,N, Fms,F Ơ tơ chuyển động đều: PNFms F0
Chiếu lên phƣơng chuyển động, chiều dƣơng hƣớng lên trên:
mgsinα mgcosα
μ F Psinα F
F ms (2) Thay (1) vào (2) ta đƣợc: F 2mgsinα
Vậy, cơng suất cần tìm:
FV
P P2mVgsinα 2.1000.15.9,8.0,04 11760(W)11,76(kW)
Câu 4: Trình bày nguyên lý thứ nhiệt động lực học:
* Nội dung: Nhiệt lượng cung cấp cho hệ nhiệt động dùng để sinh công biến đổi
nội hệ
* Biểu thức:
ΔU A Q
Trong đó: + Q nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ + A công sinh
+ U biến thiên nội hệ
P N
ms
F F
(149)Câu 51: Tính V2
Cho P1 = 2.105 N/m2; P2 = 106 N/m2; P = 4.105 N/m2; V1 = 15dm3; T = const
+ Áp suất khí bình thứ gây ra: giảm từ P1 đến P1' nhiệt độ
khơng đổi mà thể tích tăng lên (coi bình thứ hai chân khơng)
+ Áp suất khí bình thứ hai gây giảm từ P2 đến P2' (coi bình thứ
là chân không)
Theo định luật Dalton, áp suất bình sau mở khóa tổng áp suất thành phần:
' P ' P P 1 2
Vì trình đẳng nhiệt nên: PV = const
2
1 1
2 1 1
V V
V P ' P ) V (V ' P V P
Tƣơng tự:
2
2 2
2 2
V V
V P ' P ) V (V ' P V P
Áp suất hai bình thơng nhau:
2 1 2
1 2
1
1 PV PV PV P V
V V
V P V V
V P P ' P ' P
P
2
2 V
P P
P P V
15.10 5.10 (m ) 5(dm )
10 4.10
4.10
2.10 3 3
6
5
(150)
5 Đề thi cuối kỳ II năm học 2013 – 2014
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã mơn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất, Mơi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc
Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Phát biểu ba định luật Keppler chuyển động hành tinh hệ Mặt
Trời Áp dụng định luật để giải thích câu hỏi sau:
- Tại quỹ đạo Trái Đất quanh Mặt Trời lại đƣợc coi gần đƣờng tròn?
- Tại hành tinh lại chuyển động nhanh gần Mặt Trời chậm xa Mặt Trời?
- Tại chu kỳ quay Sao Hỏa quanh Mặt Trời lại dài chu kỳ quay Trái Đất quanh Mặt Trời?
Câu 2: Phát biểu viết biểu thức nguyên lý thứ nhiệt động lực học Áp dụng
ngun lý để giải thích tƣợng nội hệ khí lý tƣởng tăng hệ bị nén đoạn nhiệt Giải thích khơng thể chế tạo đƣợc động nhiệt vĩnh cửu loại I
Câu 3: Một vật nhỏ trƣợt mặt bàn phẳng nằm ngang AB với vận tốc ban đầu v0
Sau trƣợt hết mặt bàn, vật chuyển động xuống phía dƣới, va chạm hồn tồn đàn hồi với mặt đất điểm C nảy lên (hình 1) Cho biết chiều dài mặt bàn AB = s, chiều cao bàn BH = h, hệ số ma sát trƣợt vật mặt bàn Hãy tính khoảng cách HC kể từ chân bàn đến điểm vật chạm đất độ cao cực đại mà vật đạt đƣợc sau nảy lên
Câu 4: Một hệ chứa n mol khí lý tƣởng giãn nở đẳng áp nhiệt độ tăng từ T1 đến T2
Hãy tính q trình đó:
a) Nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ b) Độ biến thiên nội hệ c) Cơng khí sinh
Áp dụng số cho trƣờng hợp khí đa nguyên tử, n = 3mol, T1 = 300K, T2 = 350K
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II NĂM HỌC 2013 – 2014
A B
H C
(151)Lời giải:
Câu 1:
* Ba định luật Keppler:
+ Định luật Keppler 1: Mọi hành tinh chuyển động quỹ đạo hình elip Mặt Trời tiêu điểm
+ Định luật Keppler 2: Trong trình chuyển động, đường nối hành tinh với Mặt Trời qt diện tích khoảng thời gian nhau
+ Định luật Keppler 3: Bình phương chu kỳ quay hành tinh tỷ lệ với lập phương bán trục lớn quỹ đạo hành tinh
3 2
a GM 4π T
3/2
a ~ T a
~
T
(G số hấp dẫn, M khối lƣợng Mặt Trời, a bán trục lớn quỹ đạo)
* Áp dụng định luật Keppler để giải thích:
+ Quỹ đạo Trái Đất quanh Mặt Trời coi gần đường tròn: Quỹ
đạo thực chất đƣờng elip với hai bán trục chênh không nhiều (a = 151 triệu
km, b = 147 triệu km, độ dẹt:
30,4 a
b a
α ) Vì vậy, số phép tính gần
đúng coi quỹ đạo Trái Đất đƣờng trịn bán kính R = 149,5 triệu km
+ Một hành tinh chuyển động nhanh gần Mặt Trời chuyển động chậm xa Mặt Trời: Định luật Keppler cho biết đƣờng nối hành tinh với
Mặt Trời quét diện tích khoảng thời gian mà gần Mặt Trời khoảng cách từ hành tinh tới Mặt Trời bị ngắn lại nên vận tốc phải tăng lên
+ Chu kỳ quay Sao Hỏa quanh Mặt Trời dài chu kỳ quay Trái Đất quanh Mặt Trời: Định luật Keppler cho biết chu kỳ quay hành tinh quanh Mặt
Trời tỷ lệ thuận với bán trục lớn mũ 3/2: 3/2
a ~
T , tức hành tinh xa Mặt Trời chu kỳ quay lớn Sao Hỏa cách xa Mặt Trời so với Trái Đất (230 triệu km so với 149,5 triệu km) nên chu kỳ quay Sao Hỏa dài chu kỳ quay Trái Đất (687 ngày so với 365 ngày)
Câu 2: Nguyên lý I nhiệt động lực học
* Nội dung: Nhiệt lượng cung cấp cho hệ nhiệt động dùng để sinh công biến đổi
nội hệ
* Biểu thức: QAΔU
Trong đó: + Q nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ + A công sinh
(152)* Áp dụng giải thích:
+ Nội hệ khí lý tưởng tăng hệ bị nén đoạn nhiệt: Hệ bị nén đoạn
nhiệt tức hệ nhận cơng từ bên ngồi mà khơng có trao đổi nhiệt lƣợng Ta có: A
ΔU
Q
Mà A < (do nhận công) nên U > Vậy nội hệ tăng lên
+ Không thể chế tạo động vĩnh cửu loại I: động vĩnh cửu loại I
động sinh cơng mà khơng cần nhận lƣợng từ bên ngồi (khơng nhận nhiệt lƣợng, Q = 0; khơng có biến đổi nội hệ, U = 0) Suy ra:
0 A ΔU Q
A
Vậy, động sinh công mà không nhận nhiệt lƣợng từ bên ngồi khơng biến đổi nội hệ Hay: chế tạo động vĩnh cửu loại I
Câu 3:
Hướng dẫn: để tìm khoảng cách HC ta phải viết phương trình chuyển động vật nhỏ (được coi chất điểm) từ bắt đầu rời B đến chạm đất C Vì va chạm hồn tồn đàn hồi nên áp dụng định luật bảo toàn để tìm độ cao cực đại mà vật đạt sau nảy lên
* Khoảng cách HC kể từ chân bàn đến điểm vật chạm đất:
Khi bắt đầu rời khỏi B, vật chuyển động nhƣ bị ném ngang với vận tốc ban đầu vB Chọn hệ trục Oxy nhƣ hình vẽ (O trùng B) phƣơng trình chuyển động vật
khi rời B là:
g v 2y x
x 2v
g y
2 B
2 B
(*)
+ Tìm vận tốc vật B:
Khi vật chuyển động từ A đến B độ giảm động vật công lực ma sát tác dụng lên vật (định lý động năng)
mgs μ mv
2 mv A
mv mv
1
0
B ms
2 A
B
(với m khối lƣợng vật, s chiều dài mặt bàn: s = AB)
gs 2μ v v gs 2μ v
v2B 20 2B 02
Thay giá trị B
v y = BH = h vào (*) ta đƣợc khoảng cách HC cần tìm:
B
v vD
y
x
D
h s
0
v
A B
C H
(153)gs) 2μ (v
g 2h x
HC 20
* Độ cao cực đại mà vật đạt sau nảy lên:
Do va chạm C hoàn toàn đàn hồi nên đƣợc bảo tồn Do đó:
2 B B
2 D D
B
D mv
2 mgh mv
2 mgh E
E
Mà vD = vB (chỉ có vận tốc theo phƣơng Ox) Do đó: hD hB h
Câu 4: Hệ n mol khí lý tƣởng giãn nở đẳng áp, nhiệt độ tăng từ T1 đến T2:
a) Nhiệt lượng Q cung cấp cho hệ:
Vì trình đẳng áp nên: QnCPT R(T T)
i n
Q 2 1
(với CP nhiệt dung mol đẳng áp, i số bậc tự do)
b) Độ biến thiên nội hệ:
Nội hệ hàm trạng thái: RT i n U
Biến thiên nội hệ: R(T T)
2 i n
U 2 1
c) Cơng khí sinh ra:
Theo nguyên lý I nhiệt động lực học:
) T R(T
i n ) T (T nC ΔU Q A ΔU A
Q P 2 1 2 1
(T T)
2 i i nR ) T R(T i n ) T R(T
i
n 2 1 2 1 2 1 nR(T2 T1)
* Áp dụng số cho trường hợp khí đa nguyên tử (i = 6):
n = 3mol, T1 = 300K, T2 = 350K + Nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ:
(J) 4986 300)
(350 8,31 ) T R(T
i n
Q 2 1
+ Biến thiên nội hệ:
(J) , 3739 300)
(350 8,31 ) T R(T
i n
U 2 1
(154)6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất, Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc
Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu (2 điểm)
Phát biểu chứng minh định luật bảo toàn vật chuyển động trƣờng
Câu (3 điểm)
Một vật khối lƣợng m = 2kg với vận tốc ban đầu không từ đỉnh nêm có độ cao h = 0,5m nghiêng góc = 450 so với mặt bàn Hệ số ma sát vật nêm = 0,1 Cái nêm đƣợc cố định vào mặt bàn có độ cao H = 2m so với sàn Hỏi:
a) Vận tốc vật rời mặt bàn?
b) Vật rơi cách chân bàn khoảng R bao nhiêu?
Câu (3 điểm)
Biểu diễn chu trình Carnot giản đồ PV? Hãy nhận biểu thức cho hiệu suất động nhiệt làm việc theo chu trình Carnot lý tƣởng
Câu (2 điểm)
Hiệu suất lý thuyết động nhiệt cao = 30% Nếu động nhiệt sử dụng bầu khí nhƣ nguồn lạnh với nhiệt độ 300K nhiệt độ nguồn nóng động bao nhiêu?
Lời giải:
Câu 1: Định luật bảo toàn vật chuyển động trường thế:
Trƣờng trƣờng mà công lực tác dụng lên vật phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối Ví dụ: trƣờng hấp dẫn, trƣờng đàn hồi, trƣờng tĩnh điện,…
* Nội dung:
Cơ vật chuyển động trường bảo toàn
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015
m
θ h
H
(155)* Chứng minh:
Xét vật chuyển động trƣờng từ vị trí đến vị trí Cơng lực thế thực đƣợc là:
2
12 U U
A (công lực độ giảm năng)
1
12 K K
A (công lực độ tăng động năng)
2 1
2
1 U K K U K U K
U
2
1 E
E
(với E1 E2 lần lƣợt vật vị trí 2)
Vậy, vật chuyển động trường bảo toàn
Câu 2:
a) Vận tốc vật rời khỏi mặt bàn (tại điểm O): Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ
Vật đƣợc coi nhỏ so với quỹ đạo chuyển động (coi nhƣ chất điểm)
Khi vật chuyển động từ đỉnh đến chân nêm động tăng lên đồng thời giảm vật lƣợng ma sát Áp dụng định luật bảo tồn lƣợng để tìm vận tốc vật O
Chọn mốc mặt bàn Theo định luật bảo toàn lƣợng, vật đỉnh nêm động O cộng với phần lƣợng bị dƣới dạng công lực ma sát
.S F mv
mgh O2 ms (S chiều dài mặt nêm)
θ cot h g μ v gh θ
sin h cosθ mg μ mv
mgh 2O 2O
v2O 2gh(1 μcotθ) vO 2gh(1μcotθ)
(m/s) 2,97
) 45 cot 0,1 9,8.0,5(1
2
* Khoảng cách từ điểm rơi đến chân bàn:
Khi rời khỏi O, vật chuyển động nhƣ bị ném xiên (xuống dƣới) với vận tốc ban đầu vO Phƣơng trình quỹ đạo chuyển động vật rời O là:
2 2 O
x θ cos 2v
g θ
tan x
y
Độ cao mặt bàn H = 2m (tức y = 2) thì:
0 18 9x 9,8x
x 45 cos 2.3
9,8 45
tan x
2 2 2 0
m
θ h
H
R O
x
(156)
9 , x
0,97 x
(loại giá trị âm)
Vậy, khoảng cách từ điểm rơi đến chân bàn 0,97 (m)
Câu 3:
* Biểu diễn chu trình Carnot giản đồ PV:
Chu trình Carnot chu trình thuận nghịch đơn giản mà có khả sinh cơng, gồm q trình đẳng nhiệt thuận nghịch trình đoạn nhiệt thuận nghịch xen kẽ
Hoạt động chu trình Carnot: gồm trình
+ Từ A B: q trình giãn nở khí đẳng nhiệt nhiệt độ T1, thể tích tăng nhanh từ VA đến VB, áp suất giảm chậm từ PA đến PB, hệ nhận lƣợng nhiệt Q1 từ môi trƣờng
+ Từ B C: q trình giãn nở khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi trƣờng ngồi (Q = 0), thể tích tăng chậm từ VB đến VC, áp suất giảm nhanh từ PB đến
PC, nhiệt độ giảm từ T1 đến T2
+ Từ C D: q trình nén khí đẳng nhiệt nhiệt độ T2, thể tích giảm nhanh từ VC đến VD, áp suất tăng chậm từ PC đến PD, hệ tỏa lƣợng nhiệt Q2 cho môi trƣờng
+ Từ D A: q trình nén khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi trƣờng bên ngồi (Q = 0), thể tích giảm chậm từ VD đến VA, áp suất tăng mạnh từ PD
đến PA, nhiệt độ tăng từ T2 đến T1
Sau đó, hệ trở trạng thái ban đầu tiếp tục chu trình
* Thiết lập biểu thức cho hiệu suất động nhiệt làm việc theo chu trình Carnot
lý tưởng:
1
Q Q Q η
Trong đó: Q1 lƣợng nhiệt nhận từ nguồn nóng có nhiệt độ T1
Q2 lƣợng nhiệt tỏa nguồn lạnh có nhiệt độ T2
Mà:
A B 1
V V ln nRT
Q ;
D C 2
V V ln nRT
Q (1) (vì trình đẳng nhiệt)
Phƣơng trình đoạn nhiệt cho trình BC DA: (với
V P
C C γ )
1
Q
2
Q
0 Q
P
V
const T1
const T2
Q
A
B
(157)1 γ C C γ B
BV T V
T
1 γ D D γ A
AV T V
T
Mà TA = TB = T1, TC = TD = T2 Chia vế hai phƣơng trình ta đƣợc:
D C A B
γ
D C
γ
A B
V V V
V V
V V
V
(2)
Thay (2) vào (1) thay (1) vào biểu thức tính hiệu suất:
A B
A B A B
A B
D C A
B
V V ln T
V V ln T V V ln T
V V ln nRT
V V ln nRT V
V ln nRT η
1
T T T η
Hiệu suất động nhiệt làm việc theo chu trình Carnot lý tưởng phụ thuộc vào nhiệt độ nguồn nóng nguồn lạnh
Câu 4: Tìm nhiệt độ nguồn nóng động nhiệt lý tưởng có hiệu suất = 30%:
Gọi nhiệt độ nguồn nóng động T1, nhiệt độ nguồn lạnh T2:
Hiệu suất động cơ: 1η T
T η T T T
T T η
1
2
2
η
T T
1
Động sử dụng bầu khí nhƣ nguồn lạnh với T2 = 300K
(K) 429 0,3
1 300 T1
(158)7 Đề thi cuối kỳ II năm học 2014 – 2015
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất, Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc
Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu Viết biểu thức động lƣợng chất điểm biểu thức xung lƣợng lực
tác dụng lên chất điểm (ghi rõ ràng ký hiệu công thức) Phát biểu chứng minh định lý biến thiên bảo toàn động lƣợng chất điểm
Câu Biểu diễn chu trình Carnot giản đồ PV Nêu rõ trình hoạt
động chu trình Carnot động nhiệt Viết cơng thức tính hiệu suất động nhiệt chạy theo chu trình Carnot (không cần chứng minh)
Câu Hệ gồm hai vật nặng m1 = 0,2 kg m2 = 0,1 kg đƣợc nối với
dây không co giãn mắc qua rịng rọc có khối lƣợng m0 = 0,05 kg bán kính R nhƣ
trên hình Lúc đầu vật m1 đƣợc nâng lên độ cao h = 1m Khi thả ra, vật m1 chuyển động nhanh dần xuống phía dƣới chạm đất Tính gia tốc vật m1
thời gian từ m1 bắt đầu chuyển động chạm đất
Câu Một hệ khí lý tƣởng lƣỡng nguyên tử thực trình giãn nở theo quy
luật P = aV, với a số, thể tích lúc đầu hệ V1, lúc cuối V2 Quá trình
đƣợc biểu diễn giản đồ PV nhƣ hình Hãy tính cơng hệ trao đổi với mơi trƣờng, biến thiên nội hệ nhiệt hệ trao đổi với mơi trƣờng q trình Nêu rõ hệ sinh công hay nhận công? Nội hệ tăng hay giảm? Hệ nhận nhiệt hay tỏa nhiệt? Áp dụng số với a = 2.103 N/m5; V
1 = 0,1m3; V2 = 0,2m3
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 – 2015
R
1
m
2
m h
0
m
Hình V1 V2 V
P
Hình
(159)Lời giải:
Câu 1: Động lượng xung lượng:
* Động lượng chất điểm:
v m P
Trong đó: m v lần lƣợt khối lƣợng vận tốc chất điểm
* Biểu thức xung lượng lực tác dụng lên chất điểm:
Xung lƣợng lực tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian t1 đến t2 đƣợc
định nghĩa bởi:
1
t
t
(t)dt F
J (với F(t) lực tác dụng thời điểm t bất kỳ)
* Định lý biến thiên bảo toàn động lượng chất điểm:
Xét lực tác dụng vào chất điểm thời điểm t Theo phƣơng trình định luật II Newton:
(t)dt F P d dt
P d dt
) v d(m dt
v d m a m (t)
F
Tích phân hai vế ta đƣợc:
1
t
t (2)
(1)
(t)dt F P
d P2 P1 J
Độ biến thiên động lượng chất điểm khoảng thời gian xung lượng ngoại lực tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm động lượng bảo tồn
const P
0 F dt
dP
Câu 2: Chu trình Carnot:
* Biểu diễn chu trình Carnot giản đồ PV:
Chu trình Carnot chu trình thuận nghịch đơn giản mà có khả sinh cơng, gồm q trình đẳng nhiệt thuận nghịch trình đoạn nhiệt thuận nghịch xen kẽ
1
Q
2
Q
0 Q
P
V
const T1
const T2
Q
A
B
(160)Hoạt động chu trình Carnot: gồm trình
+ Từ A B: q trình giãn nở khí đẳng nhiệt nhiệt độ T1, thể tích tăng nhanh từ VA đến VB, áp suất giảm chậm từ PA đến PB, hệ nhận lƣợng nhiệt Q1 từ môi trƣờng
+ Từ B C: q trình giãn nở khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi trƣờng ngồi (Q = 0), thể tích tăng chậm từ VB đến VC, áp suất giảm nhanh từ PB đến
PC, nhiệt độ giảm từ T1 đến T2
+ Từ C D: q trình nén khí đẳng nhiệt nhiệt độ T2, thể tích giảm nhanh từ VC đến VD, áp suất tăng chậm từ PC đến PD, hệ tỏa lƣợng nhiệt Q2 cho môi trƣờng
+ Từ D A: q trình nén khí đoạn nhiệt, hệ khơng trao đổi nhiệt với mơi trƣờng bên ngồi (Q = 0), thể tích giảm chậm từ VD đến VA, áp suất tăng mạnh từ PD
đến PA, nhiệt độ tăng từ T2 đến T1
Sau đó, hệ trở trạng thái ban đầu tiếp tục chu trình
* Biểu thức hiệu suất động nhiệt chạy theo chu trình Carnot:
1 1
2
T T T Q
Q Q
η
Trong đó: Q1 lƣợng nhiệt nhận từ nguồn nóng có nhiệt độ T1
Q2 lƣợng nhiệt tỏa nguồn lạnh có nhiệt độ T2
Câu 3:
Hướng dẫn: Gia tốc a vật m1 gia tốc
chung hệ gồm hai vật m1 m2 Bài toán thuộc
nội dung chương – Chuyển động vật rắn Để tìm được gia tốc dài, ta sử dụng mối liên hệ gia tốc dài và gia tốc góc: a = R Chọn chiều dương chiều chuyển động
* Gia tốc a vật m1:
Theo phƣơng trình chuyển động quay ròng rọc:
Iβ
M (*)
M mômen lực gây chuyển động quay Trong đó: I mơ men qn tính rịng rọc
gia tốc góc chuyển động quay Ta có:
) T R(T R.F
M 1 2 (với F lực tác dụng gây chuyển động quay)
2 0R
m
I (công thức mơmen qn tính khối trụ quay quanh trục)
Viết phƣơng trình định luật II Newton cho hai vật chiếu lên chiều dƣơng:
1
P P2
R
0
m
1
m
2
m
h
1
T
1
T
2
T
2
T
(161) a m P T a m P T a m T P a m T P 2 1 2 1
Do (*) trở thành:
R a R m ) T R(T Iβ
M 1 2 0
)gR m (m )aR m (m aR m aR m a) m P a m
R(P1 1 2 2 0 0 1 2 1 2
2 m m m )g m (m a
3,02 (m/s )
65 196 , , 0,05 0,1).9,8
(0,2
* Khoảng thời gian từ lúc vật m1 bắt đầu chuyển động chạm đất:
Vì chuyển động biến đổi nên ta có:
at h a 2h
t 0,81 (s)
196 130 196/65
2.1
Câu 4:
Hướng dẫn: Cơng hệ trao đổi tích phân áp suất theo thể tích Tính nội của hệ trạng thái đầu cuối theo công thức: U = RT.i/2 với T nhiệt độ hệ được tính dựa vào phương trình trạng thái của khí lý tưởng: PV = nRT (lấy n = 1mol) Nhiệt lượng trao đổi tính theo phương trình nguyên lý nhiệt động lực học: Q = A + U
* Công mà hệ trao đổi với môi trường:
2 V V V V V V V a aVdV P(V)dV
A V22 V12
2 a
A
Do V2 > V1 nên A > hệ thực công môi trƣờng (giả sử a >0) * Độ biến thiên nội hệ:
Nội hai thời điểm:
2 1 1 V 5a R V P R RT i
U (i = khí lƣỡng nguyên tử)
2 2 2 V 5a R V P R RT i
U
Biến thiên nội hệ: 12
2
2 V V
2 5a U U
ΔU
1
V V2 V
(162)* Nhiệt lượng hệ trao đổi với môi trường: Theo nguyên lý nhiệt động lực học:
1 2
1
2 V a V V
V a ΔU A
Q V22 V12
2 3a
Q
Do đó: Q > hệ nhận nhiệt từ mơi trƣờng ngồi
* Áp dụng số với a = 2.103 N/m5; V1 = 0,1m3; V2 = 0,2m3:
+ Công mà hệ thực môi trƣờng:
0,2 0,1 30 (J)
2.10 V
V a
A 2
3
1
2
+ Độ tăng nội hệ:
V V 5.10 0,2 0,1 150 (J)
5a
ΔU 2
1
2
+ Nhiệt lƣợng hệ nhận đƣợc từ môi trƣờng: (J) 180 150 30 ΔU A
(163)8 Đề thi cuối kỳ phụ – hè năm 2015
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã mơn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất, Mơi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc
Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu (2 điểm)
a) Thiết lập phƣơng trình trạng thái khí lý tƣởng b) Trình bày nguyên lý thứ nhiệt động lực học
Câu (2 điểm)
a) Định nghĩa khối tâm thành lập cơng thức tính tọa độ khối tâm hệ chất điểm
b) Thiết lập phƣơng trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định
Câu (2 điểm)
Một vơ lăng hình đĩa trịn, đồng chất, có khối lƣợng m = 500kg, bán kính r = 20cm quay xung quanh trục với vận tốc n = 480 vịng/phút Tác dụng mơmen hãm lên vơ lăng Tính mơmen hãm hai trƣờng hợp:
a) Vô lăng dừng lại sau hãm 50 giây;
b) Vô lăng dừng lại sau quay thêm đƣợc N = 200 vòng
Câu (2 điểm)
Một ô tô chạy với công suất không đổi lên dốc (góc dốc α = 300 so với
mặt phẳng ngang) với vận tốc v1 = 45km/h xuống dốc với vận tốc v2 = 90km/h
Hỏi chạy đƣờng nằm ngang vận tốc ô tô bao nhiêu?
Cho biết hệ số ma sát k ô tô mặt đƣờng nhƣ trƣờng hợp (lên dốc, xuống dốc nằm ngang)
Câu (2 điểm)
Có hai bình chứa loại khí lý tƣởng, nhiệt độ, thông với ống có khóa Lúc đầu ngƣời ta đóng khóa, áp suất bình thứ P1 =
2.105 N/m2, bình thứ hai P2 = 106 N/m2 Sau đó, mở khóa nhẹ nhàng để hai bình
thông cho nhiệt độ không thay đổi Khi cân bằng, áp suất hai bình P = 4.105 N/m2 Tìm thể tích bình thứ 2, biết thể tích bình thứ V1 = 15dm3
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
(164)Lời giải:
Câu 1:
a) Thiết lập phương trình trạng thái khí lý tưởng:
Xét mol khí lý tƣởng chuyển từ trạng thái (1) với P1, V1, T1 đến trạng thái (3) với P3,
V3, T3
Dựng đƣờng đẳng nhiệt qua (1) (3) Cho hệ thực trình đẳng nhiệt từ (1) đến (2) q trình đẳng tích từ (2) đến (3)
+ Áp dụng định luật Boyle – Mariotte cho trình đẳng nhiệt từ (1) đến (2):
2
1V PV
P (*)
+ Áp dụng định luật Gay – Lussac cho trình đẳng tích từ (2) đến (3):
3 3
3 2
T T P P T
P T
P
Thay giá trị P2 vào (*) ta đƣợc:
2
1 V
T T P V P
Mà T2 = T1 (quá trình đẳng nhiệt), V2 = V3 (quá trình đẳng tích) nên:
const T
PV T
V P T
V P V
T T P V P
3 3
1 3
1
1
Chọn điều kiện tiêu chuẩn: P0 = 1,013.105 Pa, V0 = 22,4.10-3 m3, T = 273,160 K
31 , 16
, 273
10 , 22 10 013 , T
PV
Đặt: 8,31 const T
PV
R xét hệ gồm n mol khí lý tƣởng, ta đƣợc:
nRT PV
b) Trình bày nguyên lý thứ nhiệt động lực học:
Nội dung: Nhiệt lượng cung cấp cho hệ dùng để sinh công biến đổi nội Biểu thức:
ΔU A Q
Trong đó: + Q nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ + A công sinh
+ U biến thiên nội hệ
(1)
(3)
(2) P
V O
1
P
3
P
2
P
1
(165)Câu 2:
a) Định nghĩa khối tâm thành lập công thức tính tọa độ khối tâm hệ chất điểm:
* Khối tâm hệ chất điểm:
- Hệ chất điểm tập hợp nhiều chất điểm (hạt) phân bố rời rạc liên tục
Khi hệ chất điểm đặt trường trọng lực điểm đặt lực tổng hợp tác dụng lên hệ gọi khối tâm hệ (hay trọng tâm hay tâm quán tính)
* Thành lập cơng thức tính tọa độ khối tâm C:
Giả sử hệ có n hạt phân bố rời rạc thì:
M r m m
m m
r m r m r m
r i i
n
1
n n
2 1
C
(với ri mi vị trí khối lƣợng chất điểm thứ i, M tổng khối lƣợng hệ)
M z m M
y m M
x m M
z y x m
rC i i i i i i i i i i
M z m z
; M
y m y
; M
x m
xC i i C i i C i i
(với x, y, z tọa độ khối tâm C)
Trong trường hợp hạt phân bố liên tục thì:
M dm.z z
; M dm.y y
; M dm.x
xC C C
(dm vi phân khối lƣợng điểm có tọa độ (x,y,z))
b) Thiết lập phương trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định:
Xét vật rắn chuyển động quay xung
quanh trục Gia tốc góc
dt ω d
β đại
lƣợng M [ri Fi] tổng mômen ngoại lực trục quay Thiết lập mối quan hệ β M thiết lập phƣơng trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định
Phƣơng trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i:
i i
i m a
F (Fi lực tác dụng lên chất điểm thứ i)
ω
i
r
i
v
i
m
(166)Nhân có hƣớng hai vế với r : i
] a r [ m ] F r
[ i i i i i (với [βri])
i i i
i i i i
i
i r [β r] m β.r r.(r.β) β.m r
m
(vì ri βri.β0)
Đặt: Mi [ri Fi] gọi mômen lực tác dụng lên chất điểm thứ i
trục Ta có:
2 i i
i β.mr
M
Xét toàn vật rắn (hệ chất điểm):
i i i
i
i i
i β.mr [r F] β mr
M
Tổng nội lực hệ nên mômen tổng ứng với ngoại lực tác dụng lên hệ Gọi đại lƣợng
i ir
m
I gọi mơmen qn tính vật rắn Do đó:
i i
i β m r
M M Iβ
Mômen ngoại lực trục quay tích số mơmen qn tính vật với gia tốc góc mà vật nhận
Bài 3: Ta có: m = 500 kg, r = 20cm, n = 480 vòng/phút
Hướng dẫn: Từ lúc tác dụng mơmen hãm vơ lăng quay chậm dần Áp dụng biểu thức chuyển động tròn biến đổi (biểu thức 1.13) phương trình cơ chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định (phương trình 4.4)
Gọi M mômen lực trục quay (mômen hãm cần tìm), vận tốc góc, gia tốc góc Ta có phƣơng trình động lực học chuyển động quay tròn biến đổi đều:
t β ω
ω 0 (với 0 vận tốc góc chƣa tác dụng mơmen hãm)
2β ω ω
0
2
(với góc quay thêm tác dụng mơmen hãm)
Mà: M βI (phƣơng trình chuyển động quay vật rắn)
a) Vô lăng dừng lại sau hãm 50 giây:
Vô lăng quay chậm dần dừng lại sau 50 giây Khi dừng lại = Vận tốc góc chƣa tác dụng mơmen hãm:
(rad/s) 6π
1 60 480.2π ω0
ω ω0 βt 16π 50β π (rad/s ) 25
8
(167)Mơmen qn tính vật rắn trục quay1:
2
mr I
Do đó, mơmen hãm cần tìm là:
mr2
2 π 25
8 I
β
M mπr2
50
M 500π0,2 3,2π(Nm) 50
8 2
b) Vô lăng dừng lại sau quay thêm N = 200 vịng:
Góc quay thêm sau tác dụng mômen hãm: (rad)
400π 200.2π
Mà: ω2 ω20 2β
) (rad/s π
25 800π
π 16 800π
ω β
800π β
ω
2 2
0
0
Mômen hãm:
βI
M mπr2
50
M 3,2π (Nm)
Câu 4: Tìm vận tốc ô tô chạy đƣờng nằm ngang
Cơng suất P xe tích lực tác dụng với vận tốc
Fv P
+ Khi xe lên dốc:
Lực kéo động cân với lực cản (lực cản gồm thành phần trọng lực kéo xuống lực ma sát) Ta có:
μN Psinα
F1 (µ hệ số ma sát) cosα
mg μ sinα mg
F1
α) cos μ sinα mg( v v F
P 1 1 1
(1)
+ Khi xe xuống dốc:
Lực tác dụng động thành phần trọng lực kéo xuống cân với lực ma sát (để xe chuyển động đều):
1 Xem chứng minh cơng thức mơmen qn tính khối trụ 4.3, chƣơng
P P
1
v
2
v
3
(168)N μ Psinα F2
mgsinα mgcosα μ F Psinα N μ
F2 2
α) sin cosα mg(μ v v F
P 2 2 2
(2)
+ Khi xe chạy đường thẳng:
Lực tác dụng vào xe cân với lực ma sát (vì xe chuyển động đều):
3
ms
3v F v μmgv
F
P (3) Từ (1) (2) ta có hệ phƣơng trình:
α) sin α cos mg(μ v cosα μ sinα mg v α) sin cosα mg(μ v P α cos μ sinα mg v P 2
1
α mgsin v α mgsin v α cos mgμ v α cos mgμ
v1 2 2 1
tanα v v v v μ α )sin v v ( α cos ) v v ( μ 2 1 2
(4)
Thay (4) vào (1):
sinα
v v v 2v mg α sin v v v v α sin mg v α cos μ α sin mg v P 2 1 2 1
1
(5)
Thay (5) vào (3):
3 2 1 2
3 tanαmgv
v v v v α sin v v v 2v mg mgv μ P tan ) ( sin tan ) ( sin 2 3 2 v v v v v v v v v v 2 v v α cos v 2v v Thay số: (km/h) 51,96 135 4050 90 45 30 s 2.45.90.co v
3
Câu 5: Tính V2
Cho P1 = 2.105 N/m2; P2 = 106 N/m2; P = 4.105 N/m2; V1 = 15dm3; T = const
+ Áp suất khí bình thứ gây ra: giảm từ P1 đến P1' nhiệt độ
khơng đổi mà thể tích tăng lên từ V1 đến V1 + V2 (coi bình thứ hai chân khơng)
+ Áp suất khí bình thứ hai gây giảm từ P2 đến P2' nhiệt độ khơng
(169) Áp suất bình sau mở khóa tổng áp suất thành phần:
' P ' P P 1 2
Vì trình đẳng nhiệt nên: PV = const
2
1 1
2 1 1
V V
V P ' P ) V (V ' P V P
Tƣơng tự ta có:
2
2 2
2 2
V V
V P ' P ) V (V ' P V P
Áp suất chất khí hai bình thơng nhau:
2 1 2
1 2
1
1 PV PV PV P V
V V
V P V V
V P P ' P ' P
P
2
2 V
P P
P P V
15.10 5.10 (m ) (dm )
10 4.10
4.10
2.10 3 3
6
5
(170)9 Đề thi cuối kỳ I năm học 2015 – 2016
Môn thi: Cơ – Nhiệt
Mã môn học: PHY 1100 Số tín chỉ: 03
Dành cho sinh viên khoa: Sinh học, Hóa học, Tốn-Cơ-Tin học, Địa lý, Địa chất, Môi trƣờng, KT-TV-HDH, Y-Dƣợc
Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu Viết công thức mômen lực tác dụng lên vật mơmen qn tính
vật rắn trục quay cố định (ghi rõ ký hiệu công thức) Dẫn phƣơng trình chuyển động quay vật rắn xung quanh trục cố định
Câu Phát biểu viết biểu thức nguyên lý thứ nhiệt động lực học Áp dụng
ngun lý để giải thích tƣợng nội hệ khí lý tƣởng tăng hệ bị nén đoạn nhiệt Giải tích khơng thể chế tạo đƣợc động vĩnh cửu loại I
Câu Một vật A khối lƣợng m1 = 3kg nằm mặt phẳng nghiêng góc = 300 so
với phƣơng nằm ngang Vật A đƣợc nối với vật B có khối lƣợng m2 = 2kg
sợi dây không co dãn vắt qua rịng rọc cố định có khối lƣợng m0 = 1kg, bán kính
R Hãy xác định gia tốc chuyển động vật, lực căng dây Bỏ qua khối lƣợng sợi dây, ma sát dây với ròng rọc Cho biết hệ số ma sát vật A mặt phẳng nghiêng = 0,1 gia tốc trọng trƣờng g = 9,81 m/s2
Câu Hãy tính hiệu suất động Carnot chạy với hai nguồn nhiệt có nhiệt
độ T1 = 500K T2 = 300K Nếu nhiệt lƣợng động nhận vào chu trình
1 KJ cơng động sinh chu trình bao nhiêu?
Lời giải:
Câu 1:
* Công thức mômen lực tác dụng lên vật:
[r F]
M i i
Trong đó:
+ ri véctơ khoảng cách từ trục quay đến chất điểm thứ i vật
+ Fi lực tác dụng lên chất điểm thứ i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015 – 2016
α
1
m
2
m
0
(171)* Mơmen qn tính vật rắn trục quay cố định:
i ir
m I
Trong đó: + mi khối lƣợng chất điểm thứ i
+ ri khoảng cách từ trục quay đến chất điểm thứ i
* Dẫn phương trình chuyển động quay vật rắn xung quanh trục cố định:
Phƣơng trình định luật II Newton cho chất điểm thứ i:
i i
i m a
F
Nhân có hƣớng hai vế với r : i
] a r [ m ] F r
[ i i i i i mi[ri [βri]] (vì [βri])
mi βri2 ri(riβ) (công thức tích có hƣớng véctơ1)
2 i ir
m β
(vì ri βriβ0)
Mà Mi [ri Fi] mômen lực tác dụng lên chất điểm thứ i trục
quay Do đó:
2 i i
i βmr
M
Xét toàn vật rắn (hệ chất điểm):
i i i
i
i i
i βmr [r F] β mr
M
Tổng nội lực hệ nên mômen tổng ứng với ngoại lực tác dụng lên hệ Đại lƣợng
i ir
m
I mơmen qn tính vật rắn, nên:
i i
i β m r
M MIβ
1 Xem công thức tính tích có hƣớng véctơ phần “Phụ lục”, cuối mục 3, trang 162
ω
i
r
i
v
i
m
(172)Mômen ngoại lực tác dụng lên vật trục quay tích số mơmen qn tính vật với gia tốc góc mà vật nhận
Câu 2:
* Nội dung biểu thức nguyên lý thứ nhiệt động lực học:
+ Nội dung: Nhiệt lượng cung cấp cho hệ nhiệt động dùng để sinh công làm
biến đổi nội hệ
+ Biểu thức: QAΔU
Trong đó: + Q nhiệt lƣợng cung cấp cho hệ + A công sinh
+ U biến thiên nội hệ * Giải thích tượng:
+ Nội hệ khí lý tưởng tăng hệ bị nén đoạn nhiệt: Hệ bị nén đoạn
nhiệt tức hệ nhận cơng từ bên ngồi mà khơng có trao đổi nhiệt lƣợng Do đó: A
ΔU
Q
Mà A < (do nhận công) nên U > Vậy nội hệ tăng lên
+ Không thể chế tạo động vĩnh cửu loại I: động vĩnh cửu loại I loại
động sinh công mà không nhận lƣợng (không nhận nhiệt lƣợng, Q = 0; khơng có biến đổi nội hệ, U = 0) Suy ra:
0 A ΔU Q
A
Vậy, động sinh công mà không nhận nhiệt lƣợng từ bên ngồi khơng biến đổi nội hệ Hay: chế tạo động vĩnh cửu loại I
Câu 3:
Hướng dẫn: Viết phương trình định luật II Newton cho hai vật m1 m2; viết
phương trình chuyển động quay rịng rọc Giải hệ phương trình để suy gia tốc lực căng
+ Phƣơng trình định luật II Newton cho vật m1 chiếu theo chiều dƣơng chọn:
a m F
T
P1 1 ms 1
(1) a m gcosα μm
α gsin m T
a m cosα μP α sin P T
1
1
1
1
+ Phƣơng trình định luật II Newton cho vật m2 chiếu theo chiều dƣơng
chọn:
a m T
P2 2
(2) a m g m T a m T g
m2 2 2 2 2 2
α
1
m
2
m
0
m
2
T
2
P
1
P
1
T
ms
F
' T1
' T2
(173)+ Áp dụng phƣơng trình chuyển động quay ròng rọc: β I ] F R [ β I
M
(với M mômen ngoại lực F gây ra)
(3) a m T T R a R m ) ' T ' R(T Iβ
RF 2 1 0 2 1 0
(vì T2'T2và T1'T1) Thay (1), (2) vào (3) ta đƣợc:
a m a m gcosα μm α gsin m a m g
m2 2 1 1 1 0
a m m m gcosα μm α gsin m g
m2 1 1 0 1 2
g m m m cosα μm α sin m m a 1
9,81 0,43
3 , cos30 , 30 sin
2 0
m/s2
Suy lực căng T1, T2:
0,43) 30 s 0,1.9,81co 30 (9,81sin a) μgcosα α (gsin m
T1 1 T118,55 (N)
m (g a) 2.(9,81 0,43)
T2 2 T2 18,76 (N)
Câu 4:
Động Carnot chạy với hai nguồn nhiệt T1 = 500K T2 = 300K
* Tính hiệu suất động Carnot:
0,4
500 300 500 T T T η (%) 40 η
* Tính cơng động sinh nhiệt lượng nhận vào KJ:
Động nhận nhiệt lƣợng sinh cơng nên đóng vai trị máy nhiệt Từ hiệu suất động cơ, tính đƣợc cơng sinh ra:
A ηQ 0,4.1 Q
A
(174)PHỤ LỤC: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1 Khoảng cách hai điểm biết tọa độ chúng1
+ Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(x1, y1) B(x2, y2) thì:
2 2
2 x ) (y y )
(x
AB
+ Trong hệ tọa độ Oxyz, cho A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2) thì:
2 2 2
2 x ) (y y ) (z z )
(x
AB
2 Định lý sin định lý cos tam giác
Cho tam giác ABC với A, B, C lần lƣợt góc tƣơng ứng tam giác Đặt: a = BC, b = AC, c = AB (hình vẽ):
+ Định lý sin:
2R C sin
c B sin
b A
sin
a
(R bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác)
+ Định lý cosin2
:
cosC 2ab b
a c
cosB 2ac c
a b
cosA 2bc c
b a
2 2
2 2
2 2
3 Các phép toán véctơ
Phép cộng hai véctơ3
:
Cho hai véctơ a b véctơ
b a
c đƣợc xác định theo quy tắc đƣờng chéo hình bình hành
Hoặc xác định theo quy tắc tam giác:
Phép trừ hai véctơ: ab a(b)
1 Áp dụng cho 1.5, chƣơng – “Động học chất điểm”
2Áp dụng cho 1.7, chƣơng – “Động học chất điểm”
3 Phép cộng véctơ dụng cho toán: cộng vận tốc, cộng gia tốc, tổng hợp lực,…
A
B a C
b c
a
b
c
b
c
(175) Tích vơ hướng hai véctơ:
Tích vơ hƣớng hai véctơ a b số c cho:
) b , a ( cos | b | | a | b a c
(với |a| |b| lần lƣợt độ lớn véctơ a véctơ b)
Điều kiện vng góc: a ba.b0
Tích có hướng hai véctơ:
Tích có hƣớng hai véctơ a b véctơ c:
Ký hiệu: c[ab]
Độ lớn: c|a|.|b|sin(a,b)
Điểm đặt: tùy trƣờng hợp cụ thể
Phƣơng nằm đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng chứa a b Chiều cho theo thứ tự a , b, c tạo thành tam diện thuận
Để xác định chiều c ta có nhiều cách khác Nếu sử dụng quy tắc bàn tay phải đơi gặp khó khăn phƣơng c không gian, gây lúng túng cách đặt tay Ở mô tả cách xác định chiều c theo quy tắc vặn đinh ốc, ƣu điểm dễ tƣởng tƣợng
Trƣớc hết, ta cần quy ƣớc: quay đinh ốc chiều kim đồng hồ (hƣớng nhìn từ đầu to đến đầu nhỏ đinh ốc) đinh ốc chuyển động tịnh tiến phía trƣớc ngƣợc lại (hình vẽ)
(mũi tên cong chiều quay mũi tên thẳng chiều tịnh tiến đinh ốc)
Để xác định chiều véctơ c ta dịch gốc hai véctơ a b lại điểm đặt O véctơ c thực theo bƣớc sau:
a b
a b
(176)1) Đặt đầu nhỏ đinh ốc vào điểm O cho đinh ốc vng góc với mặt phẳng chứa a b
2) Quay đinh ốc cho chiều quay từ véctơ a đến véctơ b (tính theo góc nhỏ)
3) Khi đó, chiều tịnh tiến đinh ốc chiều véctơ c Trong hình vẽ
trên, nhìn từ đầu to đến đầu nhỏ, đinh ốc quay ngƣợc chiều kim đồng hồ nên tịnh tiến lên, ngƣợc hƣớng với hƣớng nhìn
Điều kiện phƣơng hai véctơ: a//b[ab]0
Một số ví dụ tích có hƣớng:
+ Tích có hướng ba véctơ1:
Tích có hƣớng ba véctơ a , b, c véctơ d cho:
) b a ( c ) c a ( b ]] c b [ a [
d
Nếu ba véctơ a, b, c đơi vng góc với tích có hƣớng chúng véctơ khơng:
+ Tích hỗn tạp ba véctơ:
Tích hỗn tạp ba véctơ a, b, c số d cho:
] b a [ c ] a c [ b ] c b [ a
d
Điều kiện đồng phẳng: a,b,c đồng phẳng a[bc]0
4 Đạo hàm
Đạo hàm hàm số f(x) x0 giới hạn sau (nếu tồn tại):
Δx Δf lim x
x
) f(x f(x) lim
0 Δx
0 x
x
Ký hiệu:
dx df
f'x
1
Áp dụng trƣờng hợp: Xây dựng biểu thức xác định lực quán tính hệ quy chiếu phi quán tính chuyển động quay đều, xây dựng công thức chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định, tìm mối liên hệ mơmen động lƣợng vật rắn mômen lực trục quay
x
y
z
O
Trong hệ trục tọa độ Oxyz ta có:
] Oy Ox [ Oz
Mối liên hệ vận tốc dài vận tốc góc chuyển động quay: v[ωr]
ω
v
(177)Ví dụ:
+ Vận tốc tức thời đạo hàm quãng đƣờng theo thời gian + Gia tốc tức thời đạo hàm vận tốc theo thời gian
+ Ngoại lực tác dụng lên chất điểm đạo hàm động lƣợng theo thời gian Đạo hàm riêng1 (đối với hàm số biến) điểm (x
0, y0, z0):
0 0 0 x x ' x x x ) z , y , f(x ) z , y f(x, lim f 0 0 0 0 y y ' y y y ) z , y , f(x ) z y, , f(x lim f 0 0 0 0 z z ' z z z ) z , y , f(x z) , y , f(x lim f 0
Ví dụ: mối quan hệ U lực F
k ' U j ' U i ' U U gradien
F x y z (với i, j,k véctơ đơn vị)
5 Tích phân
Tích phân hàm số liên tục f(x) đoạn [a, b] giới hạn sau2:
n i i n b a ) f(x n a b lim dx f(x)
Công thức Newton – Leibnitz:
F(a) F(b)
F(x) dx
f(x) ba
b
a
(với F(x) nguyên hàm f(x))
Ví dụ:
+ Quãng đƣờng tích phân vận tốc theo thời gian:
2 t t dt v(t) S
+ Vận tốc tích phân gia tốc theo thời gian:
2 t t dt a(t) v
+ Công mà hệ nhiệt động thực tích phân áp suất theo thể tích:
V V dV P(V) A
(nếu q trình đẳng tích, V = const A = 0)
1Đạo hàm riêng theo biến coi biến khác số Nội dung đạo hàm riêng đƣợc học mơn Giải
tích – “Phép tính giải tích nhiều biến số”.
2
(178)6 Phƣơng trình vi phân
+ Dạng phương trình vi phân cấp một, có biến phân ly1:
dx f(x) dy g(y)
Cách giải: tích phân hai vế
+ Dạng phương trình vi phân cấp hai nhất2:
0 x ω ''
x (với số thực)
Giải phƣơng trình vi phân ta đƣợc nghiệm: x Asin(ωt), phƣơng trình chất điểm có dao động điều hịa
(179)
TÀI LIỆU THAM KHẢO1
1 Nguyễn Viết Kính – Bạch Thành Cơng – Phan Văn Thích, Vật lý học đại cương, tập – Cơ học Nhiệt học, NXB ĐHQGHN (Quyển – Q1)
2 Nguyễn Huy Sinh, Giáo trình Vật lý Cơ Nhiệt đại cương, tập – Cơ học, NXB Giáo dục Việt Nam (Q2)
3 Nguyễn Huy Sinh, Giáo trình Vật lý Cơ Nhiệt đại cương, tập – Nhiệt động học Vật lý phân tử, NXB Giáo dục Việt Nam (Q3)
4 Nguyễn Huy Sinh, Giáo trình Nhiệt học, NXB Giáo dục (Q4)
5 David Halliday – Robert Resnick – Jearl Walker, Cơ sở vật lý, tập – Cơ học I (bản dịch), NXB Giáo dục Việt Nam (Q5)
6 David Halliday – Robert Resnick – Jearl Walker, Cơ sở vật lý, tập – Cơ học II (bản dịch), NXB Giáo dục Việt Nam (Q6)
7 David Halliday – Robert Resnick – Jearl Walker, Cơ sở vật lý, tập – Nhiệt học (bản dịch), NXB Giáo dục Việt Nam (Q7)
8 Bạch Thành Cơng, Giáo trình Cơ học, NXB Giáo dục (Q8)
9 Tơn Tích Ái, Cơ sở vật lý, tập – Cơ học Nhiệt học, NXB Văn hóa dân tộc (Q9) 10 Lƣơng Duyên Bình (chủ biên), Vật lý đại cương, tập – Cơ Nhiệt, NXB Giáo dục Việt Nam (Q10)
11 Lƣơng Duyên Bình (chủ biên), Bài tập Vật lý đại cương, tập – Cơ Nhiệt, NXB Giáo dục Việt Nam (Q11)
12 Nguyễn Ngọc Long (chủ biên), Vật lý học đại cương, tập 1, NXB ĐHQGHN (Q12)
Các môn học: (dạng file cá nhân tổng hợp)
Hoàng Văn Trọng
1 Microsoft Excel 2010 (sử dụng cho môn THCS 1)
2 Những nguyên lý chủ nghĩa Mác – Lênin (phần 2)
(dành cho sinh viên toàn trƣờng)
3 Cơ – Nhiệt (dành cho sinh viên khoa Vật lý)
4 Điện – Quang (dành cho sinh viên ngồi khoa Vật lý)
5 Giải tích (dành cho sinh viên ngồi khoa Tốn)
6 Xác suất – Thống kê (dành cho sinh viên khoa Toán)
Link download2:
https://www.facebook.com/profile.php?id=100010462090255&sk=photos&collection_t oken=100010462090255%3A2305272732%3A69&set=a.117475731944496.1073741829.100 010462090255&type=3
1
Các bạn nên tham khảo tối thiểu giáo trình: Q2 Q4 (của GS.TS Nguyễn Huy Sinh)
2 Copy link bên dƣới dán vào trình duyệt web Sau tìm tới ảnh môn học cần tham khảo download