Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì[r]
(1)BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 1 Góc hai mặt phẳng
( ) ( ),( ) ,
( )
a P P Q a b
b Q
Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng
( ), ( ),
a P a c
b Q b c
( ),( )P Q a b,
Chú ý: 00 ( ),( )P Q 900
2 Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), =
( ),( )P Q Khi đó: S = S.cos
3 Hai mặt phẳng vng góc
(P) (Q) ( ),( )P Q 900
Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau:
( ) ( ) ( )
( )
P a P Q
a Q
4 Tính chất
( ) ( ),( ) ( ) ( )
( ),
P Q P Q c a Q
a P a c
( ) ( )
( ) ( )
, ( )
P Q
A P a P
a A a Q
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
B – BÀI TẬP
Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với
B Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước C Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ln qua đường thẳng cố định
D Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 2:Chọn mệnh đề mệnh đề sau đây:
A Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường song song với đường
B Cho đường thẳng a , mặt phẳng chứa a
C Cho hai đường thẳng chéo a b , luôn có mặt phẳng chứa đường vng góc với đường thẳng
D Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng chứa a mặt phẳng
chứa b . Hướng dẫn giải:
(2)Câu 3:Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng có cạnh bên vng góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên mặt phẳng chứa mặt đáy Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?
A Có ba cặp mặt phẳng vng góc với B Có hai cặp mặt phẳng vng góc với C Có năm cặp mặt phẳng vng góc với D Có bốn cặp mặt phẳng vng góc với Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 4:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với B Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt
D Một mặt phẳng P đường thẳng a không thuộc P vng góc với đường thẳng
b //P a
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 5:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Nếu hình hộp có bốn mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật B Nếu hình hộp có ba mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật C Nếu hình hộp có hai mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật D Nếu hình hộp có năm mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 6:Trong mệnh đề sau đây, hãy tìm mệnh đề
A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với B Nếu hai mặt vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng sẽ vng góc với mặt phẳng
C Hai mặt phẳng vng góc với cắt theo giao tuyến d Với mỗi điểm
A thuộc mỗi điểm B thuộc ta có đường thẳng AB vng góc với d
D Nếu hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng giao tuyến d
có sẽ vng góc với
Hướng dẫn giải:
Theo Định lí 2tr109 SGK HH 11 CB Chọn D
Câu 7:Cho hai mặt phẳng vng góc với gọi d
I Nếu a ad a . II Nếu d d d
III Nếu b d b () b () IV Nếu () d () () () () Các mệnh đề :
A I, II III B III IV C II III D I, II IV Hướng dẫn giải:
Chọn D
Câu 8:Cho hai mặt phẳng P và Q cắt điểm M không thuộc P Q Qua M có mặt phẳng vng góc với P Q ?
A 1 B 2 C 3 D Vô số
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 9:Cho hai mặt phẳng P Q , a đường thẳng nằm trên P Mệnh đề sau sai ?
(3)C Nếu a cắt Q P cắt Q D Nếu P / / Q a/ / Q Hướng dẫn giải:
Gọi b= P Q //a b a/ / Q Chọn B
Câu 10:Chọn mệnh đề mệnh đề sau đây:
A Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước
B Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời a Ln có mặt phẳng b chứa a và
b
C Cho hai đường thẳng a b vng góc với Nếu mặt phẳng chứa a mặt phẳng
chứa b .
D Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác Hướng dẫn giải:
Chọn B
Câu 11: Cho hai mặt phẳng P Q song song với điểm M không thuộc P và
Q Qua M có mặt phẳng vng góc với P Q ?
A 2 B 3 C 1 D Vô số
Hướng dẫn giải:
Qua M dựng đường thẳng d vng cóc với P Q Khi có vơ số mặt phẳng xoay quanh d thỏa yêu cầu toán
Chọn D.
Câu 12:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với
B Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng sẽ vng góc với mặt phẳng
C Hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng song song với D Cả ba mệnh đề sai
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 13:Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?
A Một mặt phẳng ( ) đường thẳng a khơng thuộc ( ) vng góc với đường thẳng
b () song song với a
B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với C Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cắt
D Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với Hướng dẫn giải:
b
a
Đáp án A
a
(4)R Q
P
Đáp án C sai.
b a
Đáp án D sai
Chọn A.
Câu 14:Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?
A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với
B Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với D Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Hướng dẫn giải:
R Q
P
Đáp án A đúng
a
Qua đường thẳng có vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng B đúng
a
Đáp án C đúng.
M
Qua điểm có vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Đáp án
D sai.
Câu 15:Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?
A Cho đường thẳng a vng góc với đường thẳng b b nằm mặt phẳng P Mọi mặt phẳng Q chứa a vng góc với b P vng góc với Q
B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b mặt phẳng P chứa a, mặt phẳng Q chứa b P vng góc với Q
C Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng P , mặt phẳng Q chứa a P vng góc với Q
D Qua điểm có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước Hướng dẫn giải:
b
a P
P
Đáp án A đúng.
b a
Q P
(5)a
P
Đáp án C đúng.
a
Đáp án D đúng.
Câu 16:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với
B Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước
C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với hai mặt phẳng cắt cho trước
D Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với Hướng dẫn giải:
Qua điểm có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước, đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng cắt đã cho Chọn C
Câu 17:Cho , ,a b c đường thẳng Mệnh đề sau đúng? A Cho a Mọi mặt phẳng chứa b vng góc với b a
B Nếu a mặt phẳng b chứa a ; mặt phẳng chứa b
C Cho a nằm mặt phẳng b Mọi mặt phẳng chứa a vng góc với b thì
D Cho //a b , mặt phẳng chứa ctrong c c ba vng góc với mặt phẳng
a b, .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 18: Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời a Chỉ mệnh đề cácb mệnh đề sau:
A mặt phẳng ( )Q chứa b đường vng góc chung a b mp(Q)a B mặt phẳng ( )R chứa b chứa đường thẳng 'b a mp R a
C mặt phẳng ( )a chứa a , mp( ) chứa b ( ) ( ) D mặt phẳng ( )P chứa b mặt phẳng ( )P ^a Hướng dẫn giải:
Chọn A
Giả sử AB đoạn vng góc chung a b mp Q AB b, mà
, , ,
aAB a b a AB b amp Q
Câu 19: Cho mệnh đề sau với hai mặt phẳng vng góc với với giao tuyến
m
a, b, c, d đường thẳng Các mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Nếu bm b b . B Nếu bm d .
(6)Do a , am, ( ) ( ) nên a
Câu 20:Chỉ mệnh đề mệnh đề sau:
A Cho hai đường thẳng song song a b đường thẳng c cho ca c, b Mọi mặt phẳng ( ) chứa c vng góc với mặt phẳng a b, .
B Cho a( ) , mặt phẳng chứa a C Cho a , mặt phẳng chứa b vng góc với a b D Cho a , b a( ) b . Hướng dẫn giải:
Câu A sai a b, trùng
Câu C sai a b, cắt nhau, mặt phẳng a b, không vng góc với a
Câu D sai a b, chéo vng góc với nhau, ta gọi mặt phẳng chứa a , song song với b mặt phẳng chứa b song song với a //
Chọn B
Câu 21:Mệnh đề sau đúng?
A Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng sẽ vng góc với mặt phẳng
B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng vng góc với C Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với
D Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến hai mặt phẳng sẽ vng góc với mặt phẳng
Hướng dẫn giải:
Mệnh đề A sai xảy trường hợp hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng
Mệnh đề B sai xảy trường hợp hai mặt phẳng song song Mệnh đề C sai xảy trường hợp hai mặt phẳng vng góc Chọn đáp án D
Câu 22:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Hai đường thẳng khơng cắt nhau, khơng song song chéo
B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song Hướng dẫn giải:
Mệnh đề sai cịn trường hợp chéo trùng Mênh đề C sai cịn trường hợp hai đường thẳng chéo
Mênh đề D sai cịn trường hợp hai mặt phẳng vng góc với
Chọn B.
Câu 23:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước
B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước
C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước
D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước
(7)* Có vơ số đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước, chúng nằm mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước “Có đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước”: SAI * Có vô số mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước, trường hợp: đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước :Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước”: SAI
* Có vố số mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ”Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước”: SAI
Chọn D
Câu 24:Cho hình chóp S ABC có đường cao SH Xét mệnh đề sau: (I) SA SB SC .
(II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
(III) Tam giác ABC tam giác đều. (IV) H trực tâm tam giác ABC
Các yếu tố chưa đủ để kết luận S ABC hình chóp đều?
A (III) (IV) B (II) (III) C (I) (II) D (IV) (I) Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 25: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác Trong mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A S ABC hình chóp mặt bên tam giác cân đỉnh S
B S ABC hình chóp góc mặt phẳng chứa mặt bên mặt phẳng đáy
C S ABC hình chóp mặt bên tam giác cân. D S ABC hình chóp mặt bên có diện tích nhau. Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu 26:Trong lăng trụ đều, khẳng định sau sai? A Đáy đa giác
B Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy C Các cạnh bên đường cao
D Các mặt bên hình bình hành Hướng dẫn giải:
A Vì lăng trụ nên cạnh Do đáy đa giác đều.
B Vì lăng trụ lăng trụ đứng nên mặt bên vng góc với đáy.
C Vì lăng trụ lăng trụ đứng nên cạnh bên vng góc với đáy.
D Vì lăng trụ lăng trụ đứng nên cạnh bên vuông góc với đáy Do các
mặt bên hình vng
Chọn D.
Câu 27:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
(8)D Nếu hình hộp có sau mặt hình lập phương Hướng dẫn giải:
Đây câu hỏi lý thuyết
Chọn đáp án B
Câu 28:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Nếu hình hộp có hai mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật B Nếu hình hộp có năm mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật C Nếu hình hộp có bốn mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật D Nếu hình hộp có ba mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
A sai đáy hình bình hành B
C sai đáy hình bình hành D sai đáy hình bình hành
Câu 29:Hình hộp ABCD A B C D hình hộp tứ diện AB C D A Hình lập phương B Hình hộp chữ nhật
C Hình hộp thoi D Đáp số khác
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Câu 30:Hình hộp ABCD A B C D trở thành hình lăng trụ tứ giác phải thêm điều kiện sau đây?
A Tất cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy B Có mặt bên vng góc với mặt đáy đáy hình vng C Các mặt bên hình chữ nhật mặt đáy hình vng D Cạnh bên cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Câu 31:Hình hộp ABCD A B C D hình hộp tứ diện ’ ’ ’ ’ AA B D’ ’ ’ có cạnh đối vng góc A Hình lập phương B Hình hộp tam giác
C Hình hộp thoi D Hình hộp tứ giác Hướng dẫn giải:
Ta có AA'B'D', A'D' AB', A'B' AD' suy Hình hộp ABCD A B C D hình lập phương. ’ ’ ’ ’
Câu 32:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?
A Góc mặt phẳng P mặt phẳng Q góc nhọn mặt phẳng P mặt phẳng (R) mặt phẳng Q song song với mặt phẳng R
B Góc mặt phẳng P mặt phẳng Q góc nhọn mặt phẳng P mặt phẳng
R mặt phẳng Q song song với mặt phẳng R (hoặc Q R
) C Góc hai mặt phẳng ln góc nhọn
D Cả ba mệnh đề Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
D/ C/
B/
A/
D C
(9)Câu 33: Cho hình chóp tam giác S ABC với đường cao SH Trong mệnh đề sau mệnh đề nào
A H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cạnh bên nhau B H trung điểm cạnh đáy hình hộp có mặt bên vng góc với mặt đáy. C H trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC góc mặt phẳng chứa
mặt bên mặt phẳng đáy
D Hthuộc cạnh đáy hình chóp có mặt bên vng góc với đáy Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Câu 34:Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?
A Hình lăng trụ tam giác có hai mặt bên hình chữ nhật hình lăng trụ đứng B Hình chóp có đáy đa giác có cạnh bên hình chóp C Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác hình lăng trụ
D Hình lăng trụ có đáy đa giác hình lăng trụ Hướng dẫn giải:
Giả sử lăng trụ ABC A B C có mặt bên ' ' ' AA B B' ' , AA C C' ' hình chữ nhật,
đó ta có
'
' '
AA AB
AA ABC
AA AC
Vậy ABC A B C ' ' ' lăng trụ đứng. Theo định nghĩa hình chóp hình lăng trụ ta có đáp án B, C
Đáp án D sai.
Câu 35: Cho P và Q hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến chúng đường thẳng
m Gọi a b c d, , ,
đường thẳng Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu a P và am a Q . B Nếu cm c Q . C Nếu bmthì b P hoặc b Q . D Nếu d m d P . Hướng dẫn giải:
Áp dụng hệ 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm
trong mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng
(10)DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
Phương pháp:
Để tính góc hai mặt phẳng H ta thực theo cách sau:
Cách Tìm hai đường thẳng a,b vng góc với hai mặt phẳng α Ox Oy Oz Khi , ,
góc hai đường thẳng , ,A B C góc hai mặt phẳng OA OB OC 1 OABC.
OBA ABC OCB
Cách Tìm hai vec tơABC A B C ' ' ' có giá vng góc với ABAC a AA , 'a M
khi góc hai mặt phẳng AB xác định M
Cách Sử dụng công thức hình chiếu 'B C , từ để tính cos ta cần tính a b
Cách Xác định cụ thể góc hai mặt phẳng sử dụng hệ thức lượng tam giác để tính Ta
thường xác định góc hai mặt phẳng theo hai cách sau:
a)
Tìm giao tuyến M N, Chọn mặt phẳng AB BC,
Tìm giao tuyến
, a b,
b)
Tìm giao tuyến SB
Lấy M N P Dựng hình chiếu , , ' ', , AB BC C D ABCD A B C D ' ' ' ' MN Dựng BD
Phương pháp có nghĩa tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng AD vng góc với ' giao tuyến MN điểm giao tuyến
Câu 1:Cho tứ diện ABCD có ACAD BC BD Gọi I trung điểm CD Khẳng định nào
sau sai?
(11)B Góc hai mặt phẳng ACD BCD AIB C BCD AIB
D ACD AIB Hướng dẫn giải:
Tam giác BCD cân B có I trung điểm đáy CD CDBI (1)
Tam giác ACD cân A có I trung điểm đáy CD CDAI (2)
(1) (2) CDABI Vậy A: sai Chọn A
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD , có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh A góc 600
A , cạnh
6
a SC
SC vng góc với mặt phẳng ABCD Trong tam giác SAC kẻ
IK SA K Tính số đo góc BKD
A 60 B 45 C 90 D 30 Hướng dẫn giải:
Ta có 2
;( 3)
CS CA
CH a CA AI a
CS CA
;
1
2
IK CH a IB ID
với H hình chiếu C lên SA , K hình chiếu I lên SA
Vậy chọn đáp án C
Câu 3:Cho tứ diện ABCD Góc ABC ABD Chọn khẳng định khẳng định sau?
A
1 cos
3
B
1 cos
4
C 600. D
1 cos
5
Hướng dẫn giải:
Đặt AB a Gọi I trung điểm AB.
Tam giác ABC cạnh a nên CI AB
3
a CI
Tam giác ABD nên DI AB
3
a DI
Do đó, ABC , ABD CI DI, CID
Tam giác CID có
2 2
2
2 2
2
3
1
4
cos
3
2 3
2
2
2
a a a
a
IC ID CD
a
IC ID a a
(12)Câu 4:Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên
và mặt đáy
A
1
2 . B
1
3 . C
1
√3 . D
1
√2 .
Hướng dẫn giải:. Chọn C
Giả sử gọi hình chóp tứ giác có tất cạnh a S ABCD có đường cao SH
Ta có: SCD ABCD CD Gọi M trung điểm CD
Dễ chứng minh SM CD HM CD
SCD , ABCD SM HM, SMH
Từ giả thiết suy SCD tam giác cạnh a có SM là đường trung tuyến
3
a SM
1 cos
3
2
a HM
SM a
Câu 5: Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SAB SAC vng góc với mặt phẳng ABC,
tam giác ABC vng cân A có đường cao AH HBC Gọi O hình chiếu vng góc của A lên SBC Khẳng định sau sai ?
A SCABC B O SH .
C SAH SBC D
SBC , ABC SBA Hướng dẫn giải:
Ta có
SAB ABC
SAC ABC SA ABC SA BC
SAB SAC SA
BC AH
BC SAH BC SH
BC SA
.
Mặt khác, AH BC nên SBC , ABC SH AH, SHA . Chọn D
Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc BAD 600 Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy ABCD
3
a SO
Gọi E trung điểm BC F là trung điểm BE Góc hai mặt phẳng SOF SBC
A 90 o B 60 o C 30 o D 45 o
(13) BCD nên DEBC Mặt khác OF DE// BCOF (1). Do SOABCD BCSO (2)
Từ (1) (2), suy BCSOF SBC SOF
Vậy, góc giữaSOF SBC 90 o
Câu 7:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có SA SB SC a Góc giữa hai mặt phẳng SBD ABCD bằng
A 30o. B 90o. C 60o. D 45o.
Hướng dẫn giải:
Gọi H chân đường vng góc S xuống mặt phẳng đáy ABCD ( SH ABCD)
SA SB SC a hình chiếu: HA HB HC H tâm đường tròn ABC
Mà tam giác ABC cân B (vì BA BC a ) tâm H phải nằm BD SH SBD
Vậy có
SH ABCD
SBD ABCD
SH SBD
nên góc
SBD , ABCD 90o
Chọn B
Câu 8:Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy ABCD hình vng tâm O Các cạnh bên các
cạnh đáy a Gọi M trung điểm SC Góc hai mặt phẳng MBD ABCD bằng: A 90 B 60 C 45 D 30
Hướng dẫn giải:
Gọi M ' trung điểm OC Có
2
1
2 2
MBD
a a
S MO BD a
;
2
1 1
2
2 4
BM D
a
S M O BD a a
Do
0
2
cos 45
2
BM D
BMD
S S
Vậy chọn đáp án C
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông A Cạnh AB a nằm mặt phẳng P , cạnh AC a 2,
AC tạo với P góc 60 Chọn khẳng định khẳng định sau?0 A ABC tạo với P góc 45 B BC tạo với P góc 30
C BC tạo với P góc 45 D BC tạo với P góc 60
(14)Gọi H hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng P Khi đó, AC P, AC AH, CAH 600
BC P, BC AH, CBH Tam giác AHC vuông H nên
sin sin 2.sin 60
2
CH a
CAH CH AC CAH a
AC
Tam giác CHB vuông H nên
0
2
6
2
sin 45
2
a
CH a
BC a a
Chọn C
Câu 10:Cho hình chóp S ABC có SAABC đáy ABC vng A Khẳng định sau sai ?
A SAB ABC B SAB SAC
C Vẽ AH BC H, BC góc AHS góc hai mặt phẳng SBC ABC D Góc hai mặt phẳng SBC SAC góc SCB
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: SAABC SAB ABC nên đáp án A đúng.
,
ABAC ABSA AB SAC SAB SAC
Nên đáp án B
;
AH BC BCSA BC SAH
,
SH BC SBC ABC SHA
Nên đáp án C
Ta có: SBC SACSC nên đáp án D sai.
Câu 11:Cho tứ diện ABCD có ACAD BC BD Gọi I trung điểm CD Khẳng định
nào sau sai ?
A Góc hai mặt phẳng ACD BCD góc AIB B BCD AIB
C Góc hai mặt phẳng ABC ABD góc CBD D ACD AIB
Hướng dẫn giải:
(15)Ta có:
ABC ABD AB
BC AB
BD AB
ABD , ABC CBD . Nên đáp án C sai
Câu 12:Cho hình chóp S ABC có SAABC ABBC, gọi I trung điểm BC Góc hai
mặt phẳng SBC ABC góc sau đây?
A Góc SBA B Góc SCA C Góc SCB D Góc SIA Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: BCSA BC, AB BCSB
, ,
SBC ABC BC
AB BC AB ABC
SB BC SB SBC
SBC , ABC SBA .
Câu 13:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SAABCD, gọi O tâm hình vuông ABCD Khẳng định sau sai?
A Góc hai mặt phẳng SBC ABCD góc ABS B Góc hai mặt phẳng SBD ABCD góc SOA C Góc hai mặt phẳng SAD ABCD góc
SDA
D SAC SBD Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có:
, D,
SAD ABCD AD
AB AD AB ABCD
SA A SA SAD
SAD , ABCD SAB
.
Nên đáp án C sai.
Câu 14:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O Biết SOABCD,
SO a đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính a Gọi góc hợp mặt bên
(16)A
2 . B
3
2 C
6
6 . D 6
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi M trung điểm CD
Khi CD OM CD SO ,
CD SM SCD ABCD SMO
Ta có: R OA a AC2a AB AD a 2. tan a SO OM OM
Câu 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA= 2AB Góc SAB ABC Chọn khẳng định khẳng định sau?
A 600. B
1 cos C cos D cos
Hướng dẫn giải: C
Gọi O tâm tam giác ABC
Gọi COAB H suy H trung điểm AB( ABC đều)
OH AB
và
1 3
3
AB AB
OH CH
Tìm góc SAB ABC
( )
SAB ABC AB
OH AB
SO AB SO ABC
SH AB
(1)
Ta có
, ( )
, ( )
SAB ABC AB
OH AB OH ABC
SH AB SH SAB
(SAB);(ABC) SH OH ; SHO
Từ (1) suy
2
2 15
2
2
AB
SH SA AH AB AB
Từ ta có :
3
6
cos
15
(17)Câu 16:Cho tam giác cân ABC có đường cao AH a 3, BC3 ,a BC chứa mặt phẳng P . Gọi A' hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng P Biết tam giác 'A BC vuông A' Gọi góc P ABC Chọn khẳng định khẳng định sau?
A 600 B 450 C
2 cos
3
D 300 Hướng dẫn giải:
Ta có
'
' '
BC AA
BC A AH BC A H
BC AH
.
Do đó:
'
, ' , ' '
, '
ABC A BC BC
ABC A BC AH A H AHA
BC AH BC A H
Mặt khác, tam giác 'A BC vuông A' nên
1
'
2
a
A H BC
Ta có
3
' 2
cos
2
a A H
AH a
Chọn D
Câu 17: Trong không gian cho tam giác SAB hình vng ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc Gọi H, K trung điểm AB, CD Ta có tan góc tạo hai mặt phẳng SAB SCD :
A
3 . B
2
3 . C
3
3 . D
3 . Hướng dẫn giải:
Ta có: SSAB SCD
Gọi d SAB SCD với d S d AB CD ;
Do đó: d SAB SCD
Mặt khác: SAB ABCD; mà HK AB hv HK SAB Vì H trung điểm AB SH AB SH d (vì
d AB )
d SK
(theo định lí ba đường vng góc)
Do đó: KSH góc SAB SCD
Mà SH đường cao SAB đều cạnh
2
a a SH
Xét SHK vng Hcó:
2 tan
3
HK a
SH a
(18)Câu 18:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O khoảng cách từ A đến BD
2
a
Biết SAABCD SA2a Gọi góc hai mặt phẳng ABCD và
SBD
Khẳng định sau sai?
A SAB SAD B SAC ABCD C tan D SOA. Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi AK khoảng cách từ A đến BD Khi
2
a AK
BDAK, BDSA
SBD , ABCD SK A tan SA 5.
AK
Vậy đáp án D sai.
Câu 19:Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD hình thoi, AC2a Các cạnh bên vng góc với đáy AA Khẳng định sau sai ?a
A Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật
B Góc hai mặt phẳng AA C C BB D D có số đo 60 C Hai mặt bên AA C BB D vng góc với
hai đáy
D Hai hai mặt bên AA B B AA D D
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: cạnh bên vng góc với đáy, đáy hình thoi nên
Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật
Hai mặt bên AA C BB D vuông góc với hai đáy
Hai hai mặt bên AA B B AA D D suy đáp án A,C,D đúng.
Mặt khác hai đáy ABCD A B C D hình thoi nên AA C C BB D D Suy đáp án B sai
Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi a góc 1 1
giữa hai mặt phẳng A D CB1 (ABCD) Chọn khẳng định
đúng khẳng định sau?
A a =450 B a =300 C.
0
60
a = . D a =900
(19)a góc hai mặt phẳng A D CB1 (ABCD) a =·MNP
Ta có
0
tan MP 45
NP
a= = Þ a=
Chọn đáp án A
Câu 21:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có tâm O SAABCD Khẳng định nào sau sai ?
A Góc hai mặt phẳng SBC ABCD góc ABS B SAC SBD
C Góc hai mặt phẳng SBD ABCD góc SOA D Góc hai mặt phẳng SAD ABCD góc SDA Hướng dẫn giải:
Ta có: SBC ABCD CD
, ,
AB BC AB ABCD
SB BC SB SBC
(SBC); ABCD ABS
Vậy A
Ta có:
BD AC BD SAC BD SA
Mà BDSBD SAC SBD Vậy B đúng
Ta có: SBD ABCDBD
, ,
AO BD AB ABCD
SO BD SO SBD
(SBD); ABCD SOA
Vậy C
Ta có: SAD ABCDBD
, ,
AB AD AB ABCD
SA AD SA SAD
(SAD); ABCD SAB 900
Vậy D sai
Câu 22:Tính cosin góc hai mặt tứ diện
A B C D Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm AC BH AC DH; AC Góc hai mặt tứ diện BHD
Ta có
3
a
BH DH
Trong tam giác BHD có :
2 2 2 . .cos
(20)
2 2
2 3 23 .cos
4 4
1 cos
3
a a a
a BHD
BHD
Câu 23:Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA SB Góc SAB SAD Chọn khẳng định khẳng định sau?
A cos B cos
C 600. D
2 cos
3
Hướng dẫn giải:
Gọi độ dài cạnh hình chóp .S ABCD a Gọi I là
trung điểm SB ta có DI SB (vì tam giác SBD đều) và
AI SB (vì tam giác SAB đều) Vậy, góc hai mặt phẳng
(SAB) (SAD) góc AID
Ta có : AD a 2 (đường chéo hình vng),
3
a AI DI (đường cao tam giác đều)
Áp dụng định lý cosin cho góc I tam giác AID ta có :
2
2
2 2
3
2
2 1
cos( )
2 3 3
2
2
a a
a
AI DI AD
AID
AD DI a a
Vậy cos
Câu 24:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc ABC 600 Các cạnh
, ,
SA SB SC
3
a
Gọi góc hai mặt phẳng SAC ABCD Giá trị tan bao nhiêu?
A 2 B 3 C 5 D
Hướng dẫn giải:
Do AB BC ABC 600 nên tam giác ABC đều.
Gọi H hình chiếu A lên ABCD
Do SA SB SC nên H tâm đường tròn ngoại tiế tam
giác ABC
Ta có :
, , ,
SAC ABCD AC
SO AC HO AC
SAC ABCD SO HO SOH.
(21)Mặt khác,
1 3
3
a a
HO BO
,
2
2
4 3
a a a
SH SB BH
Câu 25: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D AB2 ,a
AD DC a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA a 2 Chọn khẳng định sai
trong khẳng định sau?
A SBC SAC
B Giao tuyến SAB SCD song song với AB C SDC tạo với BCDmột góc 600
D SBC tạo với đáy góc 450 Hướng dẫn giải:
+Ta có:
BC SA
BC SAB
BC AB
MàBCSBC SBC SAC (A đúng)
+
/ /
/ /
SAD SAB S
AB CD
SAD SAB Sx AB
AB SAB
CD SCD
B đúng
+SCD BCD CD
Ta có:
, ,
AD CD AD BCD
SD CD SD SCD
Suy góc SDC vàBCD SDA
tanSDA SA SDA 54 44'
AD
(C sai)
Vậy chọn C
Câu 26:Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB AA a ,AD2a Gọi góc đường chéo A C đáy ABCD Tính
A 20 45 . B 24 5 . C 30 18 . D 25 48 . Hướng dẫn giải:.
Chọn B.
Từ giả thiết ta suy ra: AA ABCD AC hình chiếu
vng góc A C lên mặt phẳng ABCD
A C ABCD , A C AC , A CA
Áp dụng định lý Pytago tam giác ABC vng B ta
có:
2 2 4 5
AC AB BC a a a AC a 5.
Áp dụng hệ thức lượng tam giác AA C vuông A ta
(22)1 tan
5
AA a
AC a
24
.
Câu 27: Cho hình lập phương ABCD A B C D Xét mặt phẳng ' ' ' ' A BD' Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?
A Góc mặt phẳng A BD' mặt phẳng chứa cạnh hình lập phương mà
tan
2
B Góc mặt phẳng A BD' mặt phẳng chứa cạnh hình lập phương mà
sin
3
C Góc mặt phẳng A BD' mặt phẳng chứa cạnh hình lập phương phụ thuộc vào kích thước hình lập phương
D Góc mặt phẳng A BD' mặt phẳng chứa cạnh hình lập phương Hướng dẫn giải:
' ' ' '
ABCD A B C D hình lặp phương nên hình chiếu tam giác
'
A BD lên mặt chứa cạnh hình lặp phương tam
giác Gọi S diện tích tam giác này1
Lại có S1 SAB D' cos
Vậy chọn đáp án D
Câu 28:Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a đường cao SH cạnh đáy Tính số đo góc hợp cạnh bên mặt đáy
A 30 B 45 C 60 D 75
Hướng dẫn giải:. Chọn C.
+ Vì SH ABC ANABC SH AN hay SH AH
AH hình chiếu vng góc SA lên ABC
SA ABC, SA AH, SAH
+ Gọi M , N trung điểm AC , BC
Vì ABC tam giác cạnh a nên dễ tính :
3
a AN
Từ giả thiết suy H trọng tậm ABC
2 3
3 3
a a
AH AN
+ Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHA vuông H ta có:
tan
3
SH a
SAH
AH a
60
SAH
(23)Câu 29:Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao
a√2
2 Tính số đo
góc mặt bên mặt đáy
A 30 B 45 C 60 D 75
Hướng dẫn giải:. Chọn B.
Giả sử hình chóp đã cho S ABCD có đường cao SH
Ta có: ABCD SCD CD
Gọi M trung điểm CD dễ chứng minh SM CD và HM CD.
ABCD , SCD HM SM, SMH .
Mặt khác:
1
2
a
HM AD
Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHM vuông H , ta có :
2
tan
2
SH a
SMH
HM a
45
SMH
Câu 30:Tính cosin góc hai mặt tứ diện
A √3
2 . B √
2
3 . C
1
2 . D
1
3 .
Hướng dẫn giải:. Chọn D.
Giả sử tứ diện đã cho ABCD có cạnh a Ta có: ABC BCD BC
Gọi E trung điểm BC Khi dễ dàng chứng minh AEBC DEBC.
ABC , BCD AE DE, AED
Ta dễ tính được:
3
a AEDE
Áp dụng hệ định lý cô sin tam giác AED ta có:
2 2
2
2 2
2
3
1
4
cos
3
2 3
2
2
2
a a a
a
AE DE AD
AED
a
AE DE a a
Câu 31: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a 3 Gọi j góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Chọn khẳng định trong khẳng định sau?
A
10 cos
2
B
1 cos
2
C
10 sin
2
D
1 sin
2
(24)Ta có SB SD= = 2a
Vì DSCD=DSCB (c.c.c) nên chân đường cao hạ từ B D đến SC hai tam giác trùng
và độ dài đường cao Þ BH DH=
Do (·(SBC),(SCD)) =DHB· =j
Ta có
2 2 2
2
2
1 1 1 5
4
BD a
OB OD
BH DH a
BH SB BC a a a
= = =
= + = + = Þ = =
Lại có BH =DH O trung điểm BD nên HO^BD hay
HOB
D vuông O
2
2 2 30
5 10
a a
OH = BH -OB = ổỗỗ ữ ỗử ổữ ỗ- ữửữ = a
è ø è ø
Ta có
30
6 10
10
sin ;sin
2 2
5
OH OB
BH BH
j j
= = = = = =
Chọn đáp án C
Câu 32:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) bao nhiêu?
A 300 B 450 C 900 D 600 Hướng dẫn giải:
Ta có: SCBD (vì BDAC BD, SA)
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI SC ta có SC(BID) Khi
(SBC),(SCD)BID
Trong tam giác SAC , kẻ đường cao AH
2
a AH
Mà O trung điểm AC OI AH nên
a OI
Tam giác IOD vuông O có tanOID 3 OID 600 Vậy hai mặt phẳng (SBC) (SCD) hợp với góc 600
Câu 33: Lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy a Gọi M điểm cạnh AA sao
cho
3
a AM
Tang góc hợp hai mặt phẳng MBC ABC là:
A
2 . B 2. C
1
2 D
(25)Hướng dẫn giải:
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó,
A O ABC .
Trong mặt phẳng ABC, dựng AH BC Vì tam giác ABC
đều nên
3
a AH
Ta có
BC AH
BC A HA BC MH
BC A O
.
Do đó, MBC , ABC MH AH, MHA
Tam giác MAH vuông A nên
3
3
tan
2
a AM
AH a
Chọn D
Câu 34: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD, SA x Xác định x để hai mặt phẳng SBC SCD tạo với góc 60o
A
2
a x
B
a x
C x a D x2a Hướng dẫn giải:
* Trong SAB dựng AI SB ta chứng minh AI SBC (1) Trong SAD dựng AJ SD ta chứng minh AJ SCD (2)
Từ (1) (2) góc (SBC), (SCD) AI AJ, IAJ
* Ta chứng minh AI AJ Do đó, góc IAJ 60o AIJ AI AJ IJ
SAB
vng A có AI đường cao AI SB SA AB
SA AB AI
SB
(3)
Và có SA2 SI SB
2
SA SI
SB
(4)
Ta chứng minh IJ BD //
IJ SI
BD SB
SI BD IJ
SB
(4)
2
2
SA BD SB (5)
Thế (3)&(5) vào AI IJ
SA BD AB
SB
AB SB SA BD
a x 2a2 x a x2a2 2x2 x a
Chọn C
Câu 35:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SOABCD SO a, đường trịn nội tiếp ABCD có bán kính a Tính góc hợp mỡi mặt bên với đáy.
(26)Chọn C
Ta có SO(ABCD) OM ON OP OQ, , , vng góc với
, , ,
AB BC CD DA
Theo định lí ba đường vng góc ta có
, , ,
SM AB SN BC SPCD SQDA
Từ suy SMO SNO SPO SQO Xét tam giác SMO vng O ta có
tanSMO 3 SMO60
Vậy mỗi mặt bên hợp với đáy góc 600
Câu 36:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông tại
,
B SA ABC
Gọi E F,
trung điểm cạnh ABvà AC Góc hai mặt phẳng SEF SBC :
A CSF B BSF C BSE D CSE
Hướng dẫn giải:
Ta có:
SEF SBC Sx EF/ / / /BC
BC AB
BC SAB
BC SA
,
BC SE BC SB
,
SB Sx SE Sx
Góc hai mặt phẳng SEF SBC : BSE
Chọn C
Câu 37:Cho tam giác ABC có cạnh a nằm mặt phẳng P Trên đường thẳng vng góc với P B C, lấy D E, nằm phía P cho
3
,
2
BD a CE a
Góc P ADE bao nhiêu?
A 300 B 600 C 900 D 450 Hướng dẫn giải:
Gọi ABC , ADE
Ta có:
2 3
4
ABC
a
S
Mặt khác, ta có:
2
2 2
4
a a
AD AB BD a
,
2 2 3 2
AE AC CE a a a.
Gọi F trung điểm EC, ta có DF BC a
Do
2
2 2
4
a a
DE DF FE a
Suy tam giác ADE cân D
Gọi H trung điểm AE, ta có
2
2
4
a a
DH AD AH a
(27)Suy
2
1 3
.2
2 2
ADE
a a
S DH AE a
Vậy
2
2
3
cos 60
2
o ABC
ADE
a S
S a
Chọn B
Câu 38: Cho góc tam diện Sxyz với xSy 1200, ySz 600, zSx 900 Trên tia Sx , Sy, Sz lần lượt lấy điểm A B C, , cho SA SB SC a Góc hai mặt phẳng (SAB) (ABC) :
A 150 B 90 0 C 450 D 600 Hướng dẫn giải:
Chọn B
Áp dụng định lí Cơsin tam giác SAB , ta có AB a Tam giác SAC vuông cân S nên AC a 2 ; tam giác SBC nên BC a
Vì AC2BC2 AB2 nên tam giác ABC vuông C Gọi H trung điểm AB ta có
( )
HA HB HC
SH ABC
SA SB SC
Mà SH (SAB) nên (SAB)(ABC) Vậy
(SAB), (ABC ) 900
Câu 39:Cho tam giác ABC cạnh a Gọi d d đường thẳng qua B, C B C, vng góc
với ABC P mặt phẳng qua A hợp với ABC góc 600 P cắt d d B, C D và
E biết
6
,
2
AD a AE a
đặt DAE Chọn khẳng định khẳng định sau?
A
2 sin
6
B 600 C
3 sin
6
D 300 Hướng dẫn giải:
Ta có: SABC SADE.cos với
, 60
ABC ADE
Do
2
2
0
3
3
cos cos 60
ABC ADE
a
S a
S
Mặt khác,
2
1
.sin 3.sin sin
ADE
a a
(28)(29)DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC, CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Phương pháp:
* Chứng minh hai mặt phẳng vng góc
Để chứng minh (P) (Q), ta chứng minh cách sau: Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a (Q)
Chứng minh ( ),( )P Q 900
* Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Để chứng minh d (P), ta chứng minh cách sau:
Chứng minh d (Q) với (Q) (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q) Chứng minh d = (Q) (R) với (Q) (P) (R) (P)
Sử dụng cách chứng minh đã biết phần trước
Câu 1:Cho tứ diện ABCD có ABBCD Trong BCD vẽ đường cao BE DF cắt ở
O Trong ADC vẽ DK AC K Khẳng định sau sai ?
A ADC ABE B ADC DFK C ADC ABC D BDCABE Hướng dẫn giải:
* Ta có
CD BE
CD ABE
ADC ABE
CD AB
CD ADC
Vậy “ADC ABE ”: ĐÚNG
*
DF BC
DF ABC
DF AB DF AC
AC DFK
SC ABC
ADC DFK
DK AC
AC ADC
Vậy “ADCDFK”: ĐÚNG
* Ta có
CD BE
CD ABE
BDC ABE
CD AB
CD BDC
Vậy “BDCABE”: ĐÚNG * “ADC ABC”: SAI Chọn C
Câu 2:Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC ABD vng góc với DBC Gọi BE
và DF hai đường cao tam giác BCD , DK đường cao tam giác ACD Chọn khẳng định
sai khẳng định sau?
(30)Hướng dẫn giải:
Ta có:
ABC BCD
ABD BCD AB BCD
ABC ABD AB
Mặt khác:
CD BE
CD ABE
CD AB
nên câu A
đúng
ABC BCD
ABC BCD BC DF ABC
DF BC
nên câu C
đúng
Theo ta có DF ABC nên DF AC
Vậy ta có
AC DF
AC DKF ACD DKF
AC DK
Do câu D đúng.
Chọn B
Câu 3:Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D Khẳng định sau không đúng? A Tồn điểm O cách tám đỉnh hình hộp.
B Hình hộp có mặt hình chữ nhật
C Hai mặt ACC A BDD B vng góc nhau.
D Hình hộp có đường chéo đồng qui trung điểm mỗi đường Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 4:Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SBC SAC vng góc với đáy ABC Khẳng định sau sai ?
A Đáy đa giác
B Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy
C Các cạnh bên đường cao D Các mặt bên hình bình hành Hướng dẫn giải:
Ta có:
SBC ABC
SAC ABC SC ABC
SC SBC SAC
Do
(31)
C Sai 'A SB hai mặt phẳng SAB SBCphải vng góc với theo giao tuyến SB
D Ta có:
SC ABC
SAC ABC
SC SAC
theo giao tuyến AC
Mà BK đường cao ABC BK AC BK SAC Vậy D đúng
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5:Cho hình lăng trụ ABCD A B C D Hình chiếu vng góc ’ ’ ’ ’ A’ lên ABC trùng với trực tâm H tam giác ABC Khẳng định sau không đúng?
A BB C C hình chữ nhật.’ ’ B AA H’ A B C’ ’ ’
C BB C C’ ’ AA H’ D AA B B’ ’ BB C C’ ’ Hướng dẫn giải:
Ta có BCA AH’ nênBCBB’,nếu AA B B’ ’ BB C C’ ’ thì BC AB vơ lý H trùngA.
Chọn D
Câu 6:Cho hình chóp S ABC có SAABC đáy ABC là
tam giác cân A Gọi H hình chiếu vng góc A lên SBC Khẳng định sau đúng? A H SB . B H trùng với trọng tâm tam giác SBC
C H SC . D H SI (I trung điểm BC ).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi I trung điểm BC AI BC mà BCSA
BC SAI
Khi H hình chiếu vng góc A lên SBC Suy
H SI .
Câu 7:Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SBC SAC vng góc với đáy ABC Khẳng định sau sai?
A SC ABC
B Nếu A hình chiếu vng góc A lên SBC ASB. C SAC ABC
D BK đường cao tam giác ABC BK SAC.
(32)Ta có:
SAC SBC SC
SAC ABC SC ABC
SBC ABC
.
Gọi A hình chiếu vng góc A lên SBC,
khi AASBC AABC ABC Suy đáp án B sai
Câu 8:Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SAB SAC vng góc với đáy ABC, tam giác
ABC vuông cân A có đường cao AH, (HBC) Gọi O hình chiếu vng góc A lên
SBC
Khẳng định sau đúng?
A SCABC B SAH SBC
C O SC . D Góc SBC ABC góc SBA. Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có:
SAB SAC SA
SAC ABC SA ABC
SAB ABC
.
Gọi H trung điểm BC AH BC
mà BC SA BCSAH SBC SAH Khi O hình chiếu vng góc
của A lên SBC
Thì suy O SI SBC , ABC SHA . Vậy đáp án B đúng.
Câu 9:Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông cân A.H trung điểm
BC Khẳng định sau sai ?
A Các mặt bên ABC A B C hình chữ nhật B AA H mặt phẳng trung trực BC
C Nếu O hình chiếu vng góc A lên A BC O A H . D Hai mặt phẳng AA B B AA C C vuông góc
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Vì ABC tam giác vng cân A AB AC BC nên mặt bên lăng trụ không
(33)Câu 10:Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D Khẳng định sau khơng đúng? A Hình hộp có mặt hình chữ nhật
B Hai mặt ACC A BDD B vng góc nhau. C Tồn điểm O cách tám đỉnh hình hộp.
D Hình hộp có đường chéo đồng qui trung điểm mỗi đường Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: ABCD hình chữ nhật nên AC khơng vng góc với BD
Suy hai mặt ACC A BDD B khơng vng góc với
Vậy đáp án B sai.
Câu 11:Cho hình lập phương ABCD A B C D Mặt phẳng 1 1 A BD1 không vng góc với mặt phẳng
nào đây?
A AB D1 . B ACC A1 1. C ABD1. D A BC1 1.
Hướng dẫn giải: * Gọi I AB1A B1 .
Tam giác A BD có 1 DI đường trung tuyến nên
DI A B.
1
DA AA B B DAA B
1
1
1
A B DI
A B AB D
A B AD
nên A * Ta có
1 1
1
BD AC
BD ACC A A BD ACC A
BD AA
nên B
* Gọi J AD1A D1 .
Tam giác A BD có BJ đường trung tuyến nên 1 BJ A D1 .
1
BA AA D D BAA D
1
1
1
A D BJ
A B ABD
A D BA
nên C Chọn D
Câu 12:Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằnga Khẳng định sau sai? A Tam giác AB C tam giác
B Nếu góc AC ABCD
2 cos
3
ACC A
(34)D Hai mặt AA C C BB D D hai mặt phẳng vuông góc với Hướng dẫn giải:.
Chọn C
+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp C đáp án sai. Từ giả thiết dễ dàng tính AC a 2.
Mặt khác ABCD A B C D hình lập phương nên suy AA C 90
Xét tứ giác ACC A có / /
90
AA CC
AA CC a
AA C
ACC A hình chữ
nhật có cạnh a a
Diện tích hình chữ nhật ACC A : S a a 2a2 2 (đvdt) đáp án C sai.
+ Cách 2: Chứng minh đáp án A, B, D suy đáp
án C sai.
Câu 13:Cho hình chóp S ABC có đường cao SH Xét mệnh đề sau:
I) SA SB SC .
II) Htrùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
III) Tam giác ABC tam giác đều. IV) H trực tâm tam giác ABC
Các yếu tố chưa đủ để kết luận S ABC hình chóp đều?
A I II B II III C III IV D IV I Hướng dẫn giải:.
Chọn A
Câu 14:Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a Khẳng định sau sai? A Hai mặt ACC A BDD B vng góc nhau.
B Bốn đường chéo AC, A C , BD, B D a 3. C Hai mặt ACC A BDD B hai hình vng nhau. D AC BD.
Hướng dẫn giải:. Chọn C
Vì theo giả thiết ABCD A B C D ta dễ dàng được:
+
AC BD
AC BB
BD cắt BB nằm BB D D
AC BB D D
Mà BDBB D D ACBD đáp án
D đúng.
+
AC ACC A
ACC A BB D D
AC BB D D
đáp án A đúng.
+ Áp dụng đình lý Pytago tam giác B A D vuông A ta có:
2 2 2 2
B D B A A D a a a .
(35)2 2 2 3
BD BB B D a a a BDa 3 Hồn tồn tương tự ta tính độ dài đường
chéo cịn lại hình lập phương a đáp án B đúng.
+ Xét tứ giác ACC A có / /
3
90
AC A C
AC A C a
ACC A
AA CC a
ACC
hình chữ nhật hồn tồn tương tự ta
chỉ BDD B hình chữ nhật có cạnh a a 3.
Hai mặt ACC A BDD B hai hình vng đáp án C sai.
Câu 15:Cho hình lăng trụ ABCD A B C D Hình chiếu vng góc A lên ABC trùng với trực tâm H tam giác ABC Khẳng định sau không đúng?
A AA B B BB C C B AA H A B C
C BB C C hình chữ nhật D BB C C AA H
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi K hình chiếu vng góc A lên BC
, ,
H AK BC AK BC A H BC AA H
AA H A B C
BB C C AA H
BC BB
nên đáp án B,C,D đúng.
Câu 16:Hình hộp ABCD A B C D trở thành hình lăng trụ tứ giác phải thêm điều kiện sau đây?
A Tất cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy B Cạnh bên cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy C Có mặt bên vng góc với mặt đáy đáy hình vng D Các mặt bên hình chữ nhật mặt đáy hình vng Hướng dẫn giải:
Chọn D
Theo lí thuyết lăng trụ tứ giác lăng trụ đứng có đáy hình vng
Câu 17:Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D có cạnh đáy a , góc hai mặt phẳng
ABCD và ABC có số đo 60 Cạnh bên hình lăng trụ bằng:
A 3a B a C 2a D a Hướng dẫn giải:.
Chọn B
Ta có: ABCD ABC AB
Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được: ABBB C C mà
C B BB C C AB C B
Mặt khác: CBAB.
ABCD , ABC CB C B, CBC 60
(36)
tanCBC CC CC CB.tanCBC a.tan 60 a
CB
Câu 18: Cho hai mặt phẳng vng góc P Q có giao tuyến Lấy A, B thuộc lấy
C (P), D (Q) cho ACAB, BDAB ABAC BD Thiết diện tứ diện
ABCD cắt mặt phẳng qua A vng góc với CD hình gì?
A Tam giác cân B Hình vng C Tam giác D Tam giác vng Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm BC Vì tam giác ABC vng cân A nên AI BC.
Ta có
P Q
P Q d BD P BD AI
Q BD d
AI BC
AI BCD AI CD
AI BD
.
Trong ACD, dựng đường thẳng qua A vng góc với CD cắt CD H Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng tam giác AHI
Vì AI BCD AI HI nên tam giác AHI tam giác vuông I Chọn D
Câu 19: Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với và
;
ACAD BC BD a CD x với giá trị x hai mặt phẳng ABC ABD vng
góc
A 3
a
B 2
a
C
2
a
D 3
a
Hướng dẫn giải:
YCBT CJD vuông cân J
2
2 2
4 2( )
2
AB a a a
IJ IC ID x AI x x
( Với I trung điểm CD ; J trung điểm AB)
(37)DẠNG 3: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU, CHU VI VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB a , BC b , CC Độ dài đường chéoc
AC là
A AC' a2b2c2 B AC' a2b2c2 C AC' a2b2 c2 . D AC' a2 b2 c2 . Hướng dẫn giải:
Từ sách giáo khoa, đường chéo hình hộp chữ nhật
2 2
'
AC a b c
Chọn A
Câu 2:Cho hình hộp ABCD A B C D có AB a , BC b , CC Nếuc
2 2
ACBDB D a b c hình hộp là
A Hình lập phương B Hình hộp chữ nhật C Hình hộp thoi D Hình hộp đứng Hướng dẫn giải:
ACBD hình bình hành ABC D hình chữ nhật
BDB D hình bình hành BDD B hình chữ nhật
ACB D hình bình hành ADC B hình chữ nhật
Chọn B
Câu 3: Cho hai mặt phẳng P Q vng góc với Người ta lấy giao tuyến d hai
mặt phẳng hai điểm A B cho AB Gọi C điểm 8 P , D điểm
Q
cho AC , BD vng góc với giao tuyến d AC , 6 BD 24 Độ dài CD là: A 20 B 22 C 30 D 26 Hướng dẫn giải:
(38)Ta có P Q
P Q d BD P BD BC
Q BD d
Tam giác BCD vuông B nên
2 2
24 10 26
CD BD BC
Chọn D
Câu 4:Cho ba tia Ox , Oy , Oz vng góc đôi Trên Ox , Oy , Oz lấy điểmA, B, C choOA OB OC a Khẳng định sau sai?
A O ABC hình chóp đều.
B Tam giác ABC có diện tích
2 3
2
a S
C Tam giác ABC có chu vi
3 2 a p
D Ba mặt phẳng OAB, OBC, OCA vng góc với đôi Hướng dẫn giải:.
Chọn C
+ Áp dụng định lý Pytago tam giác OAB vng O ta có:
2 2 2 2
AB OA OB a a a AB a 2.
Hoàn toàn tương tự ta tính BCAC a 2.
ABC
tam giác Mặt khác theo giả thiết
OA OB OC a mặt bên hình chóp O ABC là các tam giác cân O O ABC hình chóp đáp án
A đúng.
+ Chu vi ABC là:
2pAB AC BC a 2a 2a 3 a 2 đáp án
C sai.
+ Nửa chu vi Diện tích ABC là:
3
2
a p
Diện tích ABC là:
3
3
3 3 2 2 3
2
2 2 2
a a a a a a a a
S a
(đvdt).
đáp án B đúng.
+ Dễ chứng minh
OA OBC OAB OBC OA OAB OAC OBC OA OAC , OB OAC OAB OAC OB OAB .
đáp án D đúng.
Câu 5:Cho hình thoi ABCD có cạnh a vàA Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng60
ABCD
O ( O tâm ABCD ), lấy điểm S cho tam giác SAC tam giác Khẳng định sau đúng?
(39)B Hình chóp S ABCD có mặt bên tam giác cân. C a SO
D SA SB hợp với mặt phẳng ABCD góc Hướng dẫn giải:.
Chọn C
Xét ABD có A , AB AD a60 ABD tam giác đều
cạnh a Vì O tâm ABCD nên suy AO đường trung
tuyến ABD cạnh a nên dễ tính
3
a AO
2
AC AO a
.
Mặt khác theo giả thiết SAC tam giác đều
3
SA SC AC a
3 2 a SO a
Câu 6:Cho hình chóp cụt ABC A B C với đáy lớn ABC có cạnh a Đáy nhỏ A B C có
cạnh
a
2 , chiều cao
a OO
Khẳng định sau sai? A Ba đường caoAA, BB, CC đồng qui S
B
a AABBCC
C Góc mặt bên mặt đáy góc SIO (I trung điểm BC ). D Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ A B C Hướng dẫn giải:.
Chọn B
+ Đáp án A đúng.
+ Gọi I trung điểm BC Từ giả thiết dễ dàng
1 AA OO SA SO
SO OO a
Mặt khác ABC tam giác cạnh a , có AI đường trung
tuyến
3
a AI
3
3
a a
AO
Áp dụng định lý Pytago SOA vuông O ta có:
2
2
2 2 12
3
a a
SA SO AO a
3 a SA 3 a AA
Vì ABC A B C hình chóp cụt nên
3
a AABBCC
đáp án B sai. + Ta có: SBC ABCBC Vì SBC cân S I trung điểm BC nên suy ra
SI BC Mặt khác ABC tam giác có I trung điểm BC AI BC.
SBC , ABC SI AI, SI OI, SIO
đáp án C đúng.
.sin . 2 .2
2 4
1 . .
.sin
ABC
A B C
AB AC A
S AB AC A B A C
S A B A C A A B A C A B A C
(40)Câu 7:Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD A B C D cạnh đáy nhỏ ABCD 3
a
và cạnh đáy lớn A B C D a Góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính chiều cao OO hình chóp cụt đã cho
A 6 a OO B a OO C a OO D a OO Hướng dẫn giải:.
Chọn A
Ta có SOA B C D B D SOB D O D hình chiếu vng góc SD lên A B C D
SD ABCD, SD O D, SD O 60
Từ giả thiết dễ dàng
1 AA OO SA SO .
Vì A D C tam giác vng cân D có D O đường cao nên ta có:
2 2 2
1 1 1
D O A D D C a a a
2
2
a D O
2
a D O
Áp dụng hệ thức lượng SD O vng O ta có:
tan 60 SO
O D
2
.tan 60
2
a a
SO O D
1 6
3
a a
OO SO
Câu 8:Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF A B C D E F có cạnh bên a ADD A hình vng Cạnh đáy lăng trụ bằng:
A a B 2
a
C
3
a
D
2
a
Hướng dẫn giải:.
Chọn B
Tổng số đo góc hình lục giác 4.180 720 Vì ABCDEF là hình lục giác nên mỡi góc hình lục giác ABCDEF là 120 FAB120 Vì ABCDEF hình lục giác nên ta suy ra:
+ AD tia phân giác góc FAB EDC
60
2
FAB FAD
+ Tam giác AFD vuông F
Xét tam giác AFD vng F có FAD AD a 60 ta suy ra:
cos
1
.cos cos 60
2
AF FAD
AD
a
AF AD FAD a a
(41)A 2
a
B a C
3
a
D a
Hướng dẫn giải:. Chọn A
Từ giả thiết ta sauy ABC vuông cân B
45
BAC BCA
Áp dụng hệ thức lượng ABC vuông cân B có
45
BAC cạnh AC a , ta có:
cosBAC AB AC
cos cos 45 2
2
a
AB AC BAC a a
Câu 10:Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy 3a cạnh bên 2a Gọi G G trọng tâm hai đáy ABC A B C Khẳng định sau nói AA G G ?
A AA G G hình chữ nhật có hai kích thước 2a và3a B AA G G hình vng có cạnh 2a
C AA G G hình chữ nhật có diện tích 6a2 D AA G G hình vng có diện tích bằng8a2 Hướng dẫn giải:.
Chọn B
Gọi M trung điểm BC Khi ta dễ dàng tính :
2 3
2
AM a a
Vì G trọng tâm tam giác ABC nên:
2
.3
3
AG AM a a AA
AA G G
hình vng có cạnh 2a
Câu 11: Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vuông góc với và
AC AD BC BD a , CD2x Tính AB theo a x ?
A
2
2
AB a x
B AB a2 x2
C
2
2
AB a x
(42)Gọi H trung điểm CD Vì tam giác ACD cân A tam giác BCD cân B nên
AH CD, BH CD. Ta có
ACD BCD
ACD BCD CD AH BCD AH BH
ACD AH CD
2 2
ACD BCD c c c AH BH BC CH a x
Tam giác AHB vuông H nên
2 2 2
AB AH BH a x
Chọn C
Câu 12: Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vuông góc với và
ACAD BC BD a , CD2x Gọi I J, trung điểm AB CD Tính IJ theo
a x ?
A
2
2
a x
IJ
B
2
2
a x
IJ
C
2
2
a x
IJ
D
2
2
a x
IJ
Hướng dẫn giải:
Ta có:
CD AJ
ACD BCD AJ BCD AJ BJ
ACD BCD CD
Vậy
tam giác ABJ vng J
Ta có: AJ BJ a2 x2
Do tam giác ABJ vuông cân J Suy ra
2
2
2
a x
AJ
IJ
Chọn C
Câu 13:Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy bằng60 Tính độ dài đường cao SH
A
a SH
B
3
a SH
C.
2
a SH
D
3
a SH
Hướng dẫn giải:.
(43)Ta có: SBC ABC BC Gọi M , N trung điểm cạnh BC AC Dễ chứng minh SM BC AM BC .
SBC , ABC SM AM, SMA SMH 60
Ta dễ tính được:
3
a AM
Vì H chân đường cao hình chóp S ABC nên H trùng với
trọng tâm tam giác ABC
1 3
3
a a
MH AM
Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHM vuông H ta có :
tanSMH SH MH
tan 3.tan 60 3
6 6
a a a a
SH MH SMH
Câu 14:Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có AB AA a , BC2a, CA a Khẳng định sau sai?
A Đáy ABC tam giác vuông.
B Hai mặt AA B B BB C vng góc
C Góc hai mặt phẳng ABC A BC có số đo 45 D AC 2a
Hướng dẫn giải:. Chọn D
+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp D đáp án sai Từ giả thiết dễ dàng suy CCAA a
Áp dụng định lý Pytago tam giác ACC vng C ta có:
2 2 5 2 6
AC AC CC a a a ACa 6 đáp án D
sai.
+ Cách 2: Chứng minh đáp án A, B, C
suy đáp án D sai.
Câu 15:Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a góc 600
A , cạnh
6
a SC
SC vng góc với mặt phẳng ABCD Trong tam giác SCA kẻ
IK SA K Tính độ dài IK được
A 2
a
B 3
a
C 3
a
D 2
a
Hướng dẫn giải:
Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS
IK AI
SC SA
SC AI IK
SA
(44)BCD
ABD cạnh a
3
a
IA IC
AC a
SAC
vuông C SA SC2AC2 =
2
2
6
3
a
a
=
3 2
a
Vậy
a IK
Chọn A
Câu 16:Cho tam giác ABC mặt phẳng P Biết góc mặt phẳng P mặt phẳng ABC Hình chiếu tam giác ABC mặt phẳng P tam giác A B C Tìm hệ thức liên hệ diện tích tam giác ABC diện tích tam giác A B C
A SA B C' ' ' SABC.cot B SA B C' ' ' SABC.sin
C SA B C' ' ' SABC.tan D SA B C' ' ' SABC.cos
Hướng dẫn giải:
Qua B kẻ mặt phẳng Q // P cắt AA CC; A C1;
khi SA B C SA BC1
Góc mặt phẳng P mặt phẳng ABC góc mặt phẳng ABCvà BA C1 1
Kẻ AH BF A H1 BF
1 1
1
.cos
.cos
A BC
ABC
S A H BF
AH BF
S
(45)DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG.
Phương pháp:
Cho mặt phẳng đường thẳng a khơng vng góc với Xác định mặt phẳng chứa a và
vng góc với
Để giải toán ta làm theo bước sau: Chọn điểm A a
Dựng đường thẳng b qua A vng góc với Khi mp a b , mặt phẳng
Câu 1: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng, SA^(ABCD) Gọi ( )a mặt phẳng chứa AB vng góc với (SCD), ( )a cắt chóp S ABCD theo thiết diện hình gì?
A hình bình hành B hình thang vng C hình thang khơng vng D hình chữ nhật Hướng dẫn giải:
Dựng AH ^CD
Ta có
( )
CD SA
CD SAD
CD AD
ü ^ ï Þ
^ ý
^ ùỵ .
Suy CD^AH
mà AH Ì (SCD) suy AHÌ ( )a Do ( )a º (AHB)
Vì ( )a //CD nờn ( )a ầ(SAD)=HK CD K SC// ( ẻ ) Từ thiết diện hình thang ABKH
Mặt khác AB^(SAD) nên AB^AH
Vậy thiết diện hình thang vng A H
Chọn đáp án B
Ta có
2
2, ,
2
a a
AC a OC SO SC OC
, mà
1
2
a
SO OC OM SC
Chon A
Câu 2:Cho hình chóp S ABCD với ABCD hình chữ nhật tâm O có AB a AD , 2 a SA vng góc với đáy SA a Gọi P là mặt phẳng qua SO vuông góc với SAD Diện tích thiết diện P hình chóp S ABCD bao nhiêu?
A
2
2
a
B
2
2
a
C
2
2
a
D a2
(46)Gọi MN đoạn thẳng qua O vng góc AD (M N, thuộc AD BC, ) ta có MN SAD nên
SMN thiết diện cần tìm.
SMN vng M nên
2
2
SMN
SM MN
S a
Chọn B
Câu 3:Cho hai mặt phẳng vng góc ( )P ( )Q có giao tuyến Lấy A, B thuộc lấy
C ( )P , D ( )Q cho ACAB, BDAB AB AC BD a Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt mặt phẳng ( ) qua A vng góc với CD là?
A
2 2
12
a
B
2 2
8
a
C
2 3
12
a
D
2 3
8
a
Hướng dẫn giải:
Chọn C Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q BD P
BD Q BD
Gọi H trung điểm BC , ta có
AH BC
AH CD
AH BD
Trong mặt phẳng (BCD), kẻ HI CD ta có CD(AHI) Khi mặt phẳng ( ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác AHI
Mặt khác tam giác ABC vuông cân A nên BC a . Trong tam giác vuông BCD , kẻ đường cao BK
2
a BK
a HI
Vậy: thiết diện cần tìm tam giác AHI vng H có diện tích
2 3
12
a S
Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông tại ’ ’ ’ A, với AB c ,
AC b , cạnh bên AA’ Mặt phẳng h P qua A’ vuông góc với ’B C Thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng P có hình:
(47)Hướng dẫn giải:
Gọi ( )P mặt phẳng qua A' vng góc với BC TừA' ta dựng ' 'A K B C' ', Vì (ABC) ( BCC B' ') nên A K' 'B C' ' A K' ' ( BCC B' ') A K' 'BC' (1).
Mặt khác mặt phẳng (BCC B' ') dựng 'K xB C' và cắt B B' điểm N (2) (điểm đề chưa có cho tạm điểm N ).
Từ (1)và (2)ta có :
' ' '
' ( ' ' ) ' '
BC A K
BC A K N
BC K N
Chọn đáp án A
Câu 5:Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Cắt hình lập phương mặt phẳng ' ' ' ' trung trực AC Thiết diện hình gì?'
A Hình vng B Lục giác
C Ngũ giác D Tam giác
Hướng dẫn giải:
Ta có AC hình chiếu AC lên ' (ABCD) mà AC^BD nên AC'^BD, (1)
Ta có
( ' ' )
' ' ( ' '
AD AA B B
A B AD
A B AA B B
ü
^ ï Þ
^ ý
Ì ùỵ
Li cú 'A B^AB' suy ' ( ' ' )
' ' , (2) ' ( ' ' )
A B AB C D
AC A B
AC AB C D
ü
^ ù ị
^ ý
è ùỵ
Từ (1) (2) suy AC' ( '^ A BD), (3)
Mặt phẳng trung trực AC mặt phẳng ' ( )a qua trung điểm I AC ' ( )a ^AC', (4)
Từ (3) (4) suy
( ) qua ( )//( ' )
mp I
A BD a a
ìï í ïỵ Do
Qua I dựng MQ BD// Dựng
//A'D NP// ' ' //
//B'C//A'D //
MN
B D BD QK
KH BD
Mà
2
a
MN =NP PQ QK= = =KM =
Suy thiết diện lục giác
Chọn đáp án B
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh .a Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC Diện tích thiết diện
A
2 3
a S
B S a C
2 3
a S
2
3
(48)
Ta có mặt phẳng trung trực ACcắt hình lập phương ABCD A B C D theo thiết diện lục giác
đều MNPQRDS cạnh
1
2
a B C
Khi
2
1 2 3
6
2 2
a a