Cực trị số phức, min max số phức và thủ thuật phá đảo

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.... Xem hướng dẫn trên lớp?[r]

(1)

CỰC TRỊ SỐ PHỨC Kỹ năng:

 Phương pháp đại số.  Phương pháp hình học.  Phương pháp bđt modun.  Phương pháp casio.

Một số tính chất cần nhớ

1 Mơđun số phức:

 Số phức z a biđược biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ



OM

được gọi mơđun số phức z Kí hiệu

2 2

z = a + bi = a + b

 Tính chất

  2  



z a b zz OM  z 0, z ,z  0 z0

 z z ' z z '   

, '

'  ' 

z z

z

z z  z  z'  z z' z z'

 kz k z k ,  



 Chú ý:

2

2 2 2 2 2

2 ( )

          

z a b abi a b a b a b z z z z

Lưu ý:

 z1z2 z1 z2 dấu xảy  z1kz k2 0  z1 z2 z1  z2 dấu xảy  z1 kz k2 0  z1z2  z1  z2 dấu xảy  z1 kz k2 0  z1 z2  z1  z2 dấu xảy  z1 kz k2 0

  

2 2

1  1 2 

z z z z z z



2

 

z z z z

  z

2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M

axby c 0 (1)

    

z a bi z c di (2)

(1)Đường thẳng :axby c 0 (2) Đường trung trực đoạn AB với

   

A a b B c d, , ,  x a 2 y b 2 R2

  

z a bi R

Đường tròn tâm I a b ;  , bán kính R

2

(2)

  

z a bi R

 2  2

2

    

r x a y b R

hoặc

   

r z a bi R

Hình vành khăn giới hạn hai đường

tròn đồn tâm I a b ; , bán kính

,

r R

 

2

   

 

  



y ax bx c c x ay by c

Parabol

   

 

2

2 1

 

 

x a y c

b d

1 2

     

z a b i z a b i a

 1

Elip

 2

Elip 2aAB A a b,  1, 1 ,B a b2, 2 Đoạn AB nếu2 a AB

 2  2

2

 

 

x a y c

b d

Hypebol

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm zMin Khi ta có

 Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b 



2

1

2



  

  

   



Min

z z a b

a b

z i

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Tìm zmin Ta có

 Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với

   

A a; b , B c;d



 

   

2 2

2

,

2

  

 

  

Min

a b c d

z d O AB

a c b d

Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng

Ví dụ 1:

(3)

          

z a bi z c di z a bi z c di

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi   z c di Khi ta biến đổi

   

       a bi   c di      

iz a bi iz c di z z z b ai z d ci

i i

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R0 z z  R Tìm zMax, zMin Ta có  Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trịn tâm I a; b  bán kính R



2

0 2

0

       

 

      

 

Max

Min

z OI R a b R z R

Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

a bi R

iz a bi R z

i i

 

     

(Chia hai vế cho

i )

z b R

   

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R z a bi  R(Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

c di z a bi R z a bi R 2R 2

c di c di c d

 

       

  

Hay viết gọn

1

0

z R

z z z R z

z z

    

(Chia hai vế choz0 ) Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip.

TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2a , a c Khi ta có

 Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z Elip:

2

2 2

y x

1 a a  c 



2

 

 

 

 

Max

Min

z a

z a c

(4)

Thỏa mãn 2a  z1 z2

Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có

Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z z  z z 2a , z 1 z2 2avà z ,z1  c, ci ) Tìm

Max, Min P z z0

Đặt

1

2 2

z z 2c

b a c

  

 

  



Nếu

1

z z

z

2 

  Max

Min

P a

P b

 





 (dạng tắc)

Nếu  

1

0

z z

z a

2

z z k z z

 

 

 

   



1 Max

1 Min

z z

P z a

2

z z

P z a

2

 

  

  



   

 

Nếu  

1

0

z z

z a

2

z z k z z

 

 

 

   



1 Max

z z

P z a

2 

  

Nếu z0 z1 z0 z2 1 2

Min

z z

P z b

2 

  

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT. Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số.

(5)

Xem hướng dẫn lớp. Dạng 3: Tả phí lù.

Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh

Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z3i   z i Tìm số

phức có mơđun nhỏ nhất?

A z 1 2i B

1

5

 

z i

C

1

5

 

z i

D z 1 2i Hướng dẫn giải

Chọn C.

Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x y ,  

       2  2  2

3 3

                 

z i z i x y i x y i x y x y

6 4 2

 y  x  y  x y   x y   x y

 

2

2 2 1 5 4 1 5

5 5

 

             

 

z x y y y y y y

Suy

5 

z

2

5

  

y x

Vậy

1

5

 

z i

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yi x y,  

       2  2  2

3 3

                 

z i z i x y i x y i x y x y

6 4

 y  x  y  x y   x y 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z3i   z i đường thẳng d x:  2y 0

Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A

Phương án B:

1

5

 

z i

có điểm biểu diễn

1 ; 5

 

 

 

 

d

nên loại B

Phương án D: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2d nên loại B

Phương án C:

1

5

 

z i

có điểm biểu diễn

1

;

5

 

 

 

  d

(6)

Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình :

 x y 

Vậy

 

min 2

1 5

,

5

1



   



z d O

Cách 4: Cơng thức tính nhanh.

BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi  z Tìmzmin ? 2

0

1

2



  

  

   



Min

z z a b

a b

z i

BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Tìmzmin ?

   

2 2

2

  



  

Min

a b c d

z

a c b d

Câu 2: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z z3 8 Gọi M, m giá trị

lớn nhỏ z Khi M m

A 4 B 4 C 7 D 4

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách : Đại số

Gọi z x yi với x y;  

Ta có 8 z z3  z 3 z 2z  z 4 Do Mmax z 4

Mà    

2 2 2

3 3 3

                 

z z x yi x yi x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

 2  2  2  2  2

8 1.   1 3   1     3  

 

x y x y x y x y

 2   2 

8 2 18 2 18 64

  x  y   x  y  

2 7 2 7 7

 x y   x y   z 

Do Mmin z 

Vậy M m  4

(7)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà elip

   

1

2

2 2

3; , 0,

8

1

16

4

  

 



 

     



 



      



 

F F

y x

a

b a c

Do

4

7

  



   



  



Max

Min

z a

M m

z b

Cách 3: Tổng quát

Cho số phức zthỏa mãn z c z c 2 ,a a c   ta ln có

 Tập hợp điểm biểu diễn z Elip

2

2  2 1



y x

a a c



2

 

 

 

 

Max

Min

z a

z a c

Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 3 i 1 Giá trị lớn

1  

z i

A. 13 2 B.4 C.6 D. 13 1

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1: Gọi z x yi ta có z 3 i x yi 3 i x 2y 3i Theo giả thiết    

2

   

x y

nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm

đường tròn tâm I2; 3 bán kính R1.

Ta có      

2

1 1 1

             

z i x yi i x y i x y

Gọi M x y ;  H1;1    

2

1

   

HM x y

Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường trịn

Phương trình

2 :

3    

  

x t

HI

y t

, giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn:

2

9

13

   

tt t

nên

3

2 ; , ;

13 13 13 13

   

   

   

   

M M

(8)

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 i 1 Giá trị lớn w   z i

Ta có z 3 i  1 z 3 i  1 z 1 i 2 i  1 w 2  i 1 (Đường tròn tâm I3, ,  R1 )

Vậy

2

w    2   1 13

Max OI R

Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   R 0, ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn I a b , , bk R )

2

     

 

    

 

Max

Min

z OI R a b R

Ngoài ta ln có cơng thức biến đổi z a bi   z a bi

Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt

2

 



z i A

iz Mệnh đề sau

đây đúng?

A. A 1 B. A 1 C. A 1 D. A 1

Chọn A.

Cách 1: Đặt Có  

2

, ,

     

a a bi a b a b

(do z 1)

   

 

2

2 2

2

2 2

   



  

    

a b i a b

z i A

iz b ai b a

Ta chứng minh

 

2

2 2

4

1

 



 

a b

b a

Thật ta có

 

     

2

2 2

4

1 2

2

 

         

 

a b

a b b a a b

b a

Dấu “=” xảy a2 b2 1

Vậy A 1

Cách : Trắc nghiệm

Chọn

1

2

1

1 2 34

1

2 17





    



 

z

z i

A A

(9)

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức

5

1

  i

A

z

A 5 B 4 C 6 D 8

Cách 1: Ta có:

5 5

1 1

  i   i   

A

z z z

Khi z i  A6

 Chọn đáp án C.

Cách 2:

5

1 

  i z i  

A z i

z z

Theo

2

1 5 5

         

Max

z z i i z i

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn Mmax giá trị nhỏ Mmin biểu

thức

2 1 1

    

M z z z

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2 C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax 4; Mmin 2

Ta có:

2

1

     

M z z z

, z 1 M  5 Mmax 5

Mặt khác:

3 3 3

3

1 1 1

1 1,

2 2

1

     

      



z z z z z

M z

z

min

1 1

    

z M M

 Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho số phức z thỏa z  Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức



z i

P

z .

A

3

4 B.1 C.2. D.

2

Ta có

1

| |

  i   

P

z z Mặt khác:

1

| |

 i   

z z

Vậy, giá trị nhỏ P là

2 , xảy z2 ; i giá trị lớn P

2 xảy z2 i

(10)

A 26 17  B 26 17  C 26 17  D 26 17  Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi z x yi; x;y  z 2i x y 2i Ta có:  2  2

1

       

z i x y

Đặt x 1 sin ; t y 2 cos ; tt  0; 2

         

2 2

2 3sin 3cos 26 sin cos 26 17 sin ;

 z i   tt    tt  t        

max

26 17 26 17 26 17 17

   z i    z i    

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i 3 Tìm mơđun lớn số phức z i

Ta có  

2

1 4 3 17

             

Max

z i z i i z

(đáp án A)

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P 1 z 3 1 z

A 15 B C 20 D 20

Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có:

2 2

1 1 1;1

           

z x y y x x

Ta có:        

2 2 2

1 1 3

             

P z z x y x y x x

Xét hàm số f x   1 x 3 1  x; x   1;1  Hàm số liên tục   1;1 với

 1;1

 

x

ta có:  

     

1

0 1;1

5

2

       

 

f x x

x x

Ta có:

    max

4

1 2; 6; 20 20

5

 

      

 

ff f P

 Chọn đáp án D.

Cách 2: (Casio)

Từ z 1, đặt

sin cos  

   

 

x t

z x yi

y t

Thay vào P dùng mode đáp án D Cách 3: Hình học (Xem video live thầy)

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ

của biểu thức

2

1

    

P z z z

Tính giá trị M m

A

13

4 B

39

4 C 3 D

(11)

Gọi z x yi; x;y Ta có: z  1 z z 1

Đặt t 1, ta có 0z  1 z z     1 t 0; 

Ta có    

2

1 1 2

2 

          t

t z z z z z x x

Suy  

2

2 1  2  .   1  2  1 2  1  2 3

z z z z z z z z z x x t

Xét hàm số  

2 3 , 0;

     

f tt tt

Bằng cách dùng đạo hàm, suy

  13   13

max ;

4

   

f t f t M n

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

2

4

 

z z

Khẳng định sau đúng?

A

3

6

 

z 

B 1 z  1.

C 1 z  1. D

2

3

 

z 

Áp dụng bất đẳng thức u v  u v , ta 2

2

2 z  4 z 4  4 z  z  z  0  z  1.

2 2 2

2 z z z 4  z  4 z 2 z  0  z  1.

Vậy, z nhỏ 1,  z i i z lớn 1,  z i i  Chọn đáp án B.

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i 2 Tìm mơđun lớn số phức z

A  B 11 5 C 5 D 5 Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có:    

2

1 2

       

z i x y

Đặt x 1 sin ;t y 2 cos ; tt  0; 2 Lúc đó:

         

2 2 2 2

1 sin 2 cos sin cos sin ;

               

z tt tt t

 

2

9 sin  ; 5

         

 

 

(12)

max

 z   đạt

5 10

5

  

 

z i

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i 2 Tìm mơđun lớn số phức z Ta có

2

1 2 2

          

Max

z i z

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  2 i  10 Tìm mơđun lớn số phức z

A B C D 3

Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có:

1  10 1  10  22  42

1  

                



i

i z i i z z i x y

i

Đặt x 2 sin ;t y 4 cos ; tt  0; 2 Lúc đó:

  2 2     2 2    

2

2 sin cos 25 sin cos 25 sin ;

              

z tt tt t

 

2

25 20 sin  5; 5

      

 

z t

max

 z  đạt z 3 i  Chọn đáp án B.

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z  2 i  10 Tìm mơđun lớn số phức z

Ta có

1  10 10

1

 

          

 

i

i z i z z i

i i

2

2 5

    

Max z

Câu 14: Gọi z x yi x y R ,   số phức thỏa mãn hai điều kiện

2

2 26

   

z z

3

2

 

z i

đạt giá trị lớn Tính tích xy

A



xy

B

13 

xy

C

16 

xy

D



xy

Cách 1: Đặt z x iy x y R ,   Thay vào điều kiện thứ nhất, ta

2  

(13)

Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

3

18 18 sin

4

2

  

        

 

P z i t

Dấu xảy

3 3

sin

4 2

   

      

 

 

tt z i

Câu 15: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z 4 i  z 2i Tìm mơđun nhỏ số phức

2 

z i

A B C D 3

Cách 1: Gọi z x yi; x;y

Ta có:      

2 2

2 2 4

                 

z i z i x y x y x y y x

Ta có:      

2 2 2 2

2 12 36 18 18

             

z i x y x x x x x

min

2 18

 z i  

z 3 i

Cách 2: z 4 i  z 2i  z2i 6 i z2i 4i  w 6  i w 4 i Trong w z 2i (quay dạng toán 1)

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i 3 Tìm mơđun nhỏ số phức z 1i

A B 2 C D

Cách 1: Gọi z x yi; x;y  z 1 i x 1  y1i Ta có:  2  2

1 9

       

z i x y

Đặt x 1 sin ; t y 2 cos ; tt  0; 2

   

2 2

min

1 sin cos 10 cos 2

 z i  tt    t  i z  i     

,

 

z i

Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)

Ta có  

2

1 3 1

             

Min

z i z i i z i

(14)

2

   

M z z i

đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z i

A z i 2 41 B z i 3

C z i 5 D z i  41

Gọi z x yi; x;y Ta có:      

2

3 :

       

z i C x y

: tâm 3; 4

I

R Mặt khác:

     

2 2 2 2

2   :

                 

 

 

M z z i x y x y x y d x y M

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d  C có điểm chung

 ;  23 23 10 13 33

2 

 d I d  R M    M   M

 2  2 max

4 30 5

33 41

5

3

     



            



    

 

x y x

M z i i z i

y

x y

Câu 18: Cho số phức  

,

1

 

 

  

m i

z m

m m i

Tìm mơđun lớn z

A B C

1

2. D.2.

Ta có:  

2 2 max

1

1 ;

1 1

 

          

    

m i m i

z z z z i m

m m i m m m

Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z 2 i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ

nhất là:

A 1 B 1 C 2 D 2 .

(15)

Cách 1: Gọi z x yi, x y,   Ta có:

2

2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

            

z i x y i x y

Tập hợp điểm mặt phẳng Oxybiểu diễn số phức z đường tròn ( )C

tâm I(2; 2)và bán kính R1.

 2

1

    

z i x y IM

, với I2; 2 tâm đường tròn, M điểm chạy đường

tròn Khoảng cách ngắn M giao điểm đường thẳng nối hai điểm

0;1 , 2; 2

N Oy I

với đường tròn (C)

min    1

IM IN R

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ

Ta có  

2

2 2 1

              

Min

z i z i i z i

Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa z2i  z i Tìm số phức z

biểu diễn điểm Msao cho MA ngắn với A1, 3

A.3  i B.1 3 i C.2 3 i D. 2 3i

Gọi M x y ,  điểm biểu diễn số phức z x yi x y R ,   Gọi E1, 2  điểm biểu diễn số phức 2 i

Gọi F0, 1  điểm biểu diễn số phức i

Ta có : z2i   z i MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trục EF x y:   0

Để MA ngắn MAEF M  M3,1 z 3 i => Đáp án A.

Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z 2 i 

1   

(16)

A B C D

Hướng dẫn giải: Chọn B.

Gọi z x yi x y,   z 2 ix 1  y2i

Ta có:        

2 2

1 5

            

z i x y x y

Suy tập hợp điểm M x y ;  biểu diễn số phức z thuộc đường trịn  C tâm I1; 2  bán kính R

Dễ thấy O C , N1; 1    C Theo đề ta có:

 ;   

M x y C

là điểm biểu diễn cho số phức zthỏa mãn:

   

1 1

          

w z i x yi i x y i

 2  2

1 1

 z  i x  y MN

Suy z 1 i đạt giá trị lớn  MNlớn

Mà M N,  C nên MNlớn MN đường kính đường trịn  C

 I trung điểm    

2

3; 3 3 3

         

MN M z i z

Câu 22: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  Tìm giá trị lớn

nhất T  z i z 2 i

A maxT8 B maxT 4 C maxT 4 D maxT8

Chọn B

       

2 1 1

            

T z i z i z i z i

Đặt w z Ta có w 1 Tw1i w 1i Đặt w x y i Khi

2 2 2

2

  

w x y

       

         

 

2 2

2

1 1

1 1 1

2 2 4

       

        

   

T x y i x y i

x y x y

(17)

Vậy maxT 4

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z 3 i 1 Giá trị lớn z 1 i

A 13 2 B 4 C 6 D 13 1

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN) Lời giải

Cách 1: Đặt z a bi a b   ,   , ta có z 3 i  1 a 2  b 3i 1  22  32  22  32  

 a  b   a  b  

Đặt

2 sin cos

  



 



a t

b t

(vì  

2

sin cos

  tt 

) Khi z  1 i a1  1 b i  12 1 2

 a   b 

xét biểu thức    

2

1

   

P a b

Ta có        

2 2 2 2

1 sin cos sin sin cos cos

            

a b tt tt tt

 2 

sin cos 13 sin cos

14 sin cos

    

   

tt tt

tt P

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta      

2 2 2 2 2

6 sintt4 costt  4 sin cos

6 sin cos 2 52 sin cos 52 13 14 13

 tt tt  P      

Vậy      

2

1 1 14 13 13 13

           

z i a b

Chọn A.

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 i 1 Giá trị lớn z 1 i

Ta có z 3i   1 z 3i   1 z i   2i 1 2

Max

z i 13

       

Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho số phức z w, thỏa mãn

2 ,

z  i  z i w iz 

Giá trị nhỏ biểu thức w

A

2

2 . B 2 2. C 2. D

3 2

Lời giải

Cách 1: Đặt z a bi a b   ,  , z 2 2i a  2 b 2i z 4i a b 4i Nên ta có      

2 2

a  b a  b  a b   b  a

Khi      

2

1 1 1

w iz   a bi i    b ai  w  a  b  a  a

(18)

Dễ thấy  

2

2 1 2

1

2 2 2

 

           

  w

a a a w

Chọn A Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (dạng 1)

Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  z4 10 Giá trị lớn giá

trị nhỏ z

A 10 B 5 C 4 D 5

Hướng dẫn giải. Gọi z x yi, x y,   Theo giả thiết, ta có z z4 10

     2  2  

4 10 4 10

 x yi  x yi   x y  x y  

Gọi M x y ;  , F1 4; 0 F24; 0.

Khi    MF1MF2 10 nên tập hợp các điểm M z  đường elip  E

Ta có c4; 2a10 a5 b2 a2 c2 9

Do đó, phương trình tắc  E

2

1

25 

y x

Vậy max z OA OA ' 5 minz OB OB ' 3 Chọn D

Câu 26:Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 i  z 2i Biết số phức z x yi,

x y,  

có mơđun nhỏ Tính

2  

P x y .

A P10. B P8. C P16. D P26.

Hướng dẫn giải.

Cách 1: Gọi z x yi, x y,   Ta có z 4 i  z 2i  x 2  y 4i  x y 2i  22  42  22

 x  y  x  y 2 2

4 16 4

 x  x y  y x y  y

4 16

 x y   y  x.

Do    

2

2 2 4 2 8 16 2 2 8 2 2

           

z x y x x x x x

Dấu " " xảy  x 2 y2 Vậy P2222 8 Chọn B. Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (bài tập 1)

Câu 27:Tìm giá trị lớn z biết z thỏa mãn điều kiện

2

1

3

 

 



i z i

A max z 1 B max z 2 C max z  D max z 3

(19)

Ta có

 

2

1 1 1

3

 

             

 

i

z iz i z z i

i i

Vì   i  1 nên max z  r1 r2   1 2 Chọn B.

Câu 28:(THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện

1i z  1 7i 

Tìm max z

A max z 4 B max z 3 C max z 7 D max z 6

Hướng dẫn giải.

Ta có

1  1 3 

1 

           



i

i z i i z z i

i .

Vì 3 4 i 5 nên

2 2

max z  r r  1 4 6

Chọn D

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt

2

 



z i A

iz Mệnh đề sau đúng?

A A 1 B A 1 C A 1 D A 1

(THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải

Từ giả thiết, ta có  

2

2 2

2 

        



z i

A A iz z i A Azi z i

iz

 

2

2 

     



A i

A i z Ai z

Ai Mà  

2

1 2

2 

       



A i

z A i Ai

Ai

Đặt A x yi x y ,  ,    2x2y1i   y 2xi

 2  2

2 2 2 2

4 2 4 4

 x  y  y x  x  y  y x y  y  x y 

Vậy môđun

2 1.

  

A x y

Chọn A.

Câu 30: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2  8 6i z1 z2 2 Tìm giá trị lớn của

1

 

P z z

A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2.

(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải

 Bổ đề. Cho hai số phức z1 z2, ta ln có    

2 2

1  1 2  

z z z z z z

Chứng minh. Sử dụng công thức   

1  1 1

z z z z z z

2



z z z

(20)

     

   

2

1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 2 2

1 2

2

        

       

    

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z zđpcm

 Áp dụng   , ta  

2

2 2

1  1  4 1  4  1 1 1

z z z z z z z z

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta   2

1 2 2 26

    

P z z z z

Chọn B.

Câu 31: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2  8 6i z1 z2 2 Tìm giá trị lớn của

1

 

P z z

A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2.

(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải

 Bổ đề. Cho hai số phức z1 z2, ta ln có    

2 2

1  1 2  

z z z z z z

Chứng minh. Sử dụng công thức   

1  1 1

z z z z z z

2



z z z

Khi

     

   

2

1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 2 2

1 2

2

        

       

    

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z zđpcm

 Áp dụng   , ta  

2

2 2

1  1  4 1  4  1 1 1

z z z z z z z z

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta   2

1 2 2 26

    

P z z z z

Chọn B.

Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn

   

2

      

z z z i z i

Tính min| |w , với số phức w z 2 i

A

3 min| |

2 

w

B min| | 2w  C min| | 1w  D

1 min| |

2 

w

Lời giải

Ta có          

2 2

2

2 2

            

z z z z i z i z i

Khi đó, giả thiết

       1

1

  

           

    



z i

z i z i z i z i

(21)

TH1 Với z 1 2i, ta có w z 2 i 1 2i 2 i1 w 1 TH2 Với z 2 i  z 3i   , đặt z x yi x y ,  , ta có

   2  3  12  22  12  32

  x  y i  x  y i  x  y  x  y  y

Do  

2

1

2 2 2

2

              

w z i x i i x i w x

Chọn A

Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn

1

 

z

z Tổng giá trị lớn

nhất giá trị nhỏ z

A 3 B C 13 D 5

Lời giải

Ta có

2

1  1  1

          

   

a z a z z z

z z z z

 2  2

2

2 2

2

1

   



z z z  z z z z

z z z

Khi

    2

4 2 4

;

2

     

 

       

 

 

a a a a

z z a z z z

Vậy

2

4

max ; 13

2

  

 

a a  a a     

z z M m a

Chọn C

Câu 34:(THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn  

10

1 2 i z   2i

z Mệnh đề sau đúng?

A

3

2

2  z  B

1

2 z  2 C z 2 D 

z

Lời giải

Cách Từ giả thiết, ta có    

10 10

1 2 i z   2 i 2 i z   2 i

z z

   

10 10

2 2

 z  z i  i  z   z  i 

z z

Lấy môđun hai vế   , ta

    z 2 2 z  12  10

(22)

Đặt t , ta có      

2 10 2 2 4 2

2 5 10

            

tt tt tt t

t

Vậy môđun số phức z

1

2

  z 

Cách Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết câu 26) để tìm z Cách Đặt z a bi a b   ,   cz, thay vào đẳng thức cho

     2

2

10 10

1 2 2

10 10

2

                          a bi

Gt i c i i c i

a bi c

a b

c i c

c c

Suy

2

10 10

2

10 10

2 1

                        a a c c c c b b c c c

c nên    

 2

2

4

10 10

2 

    a b 

c c

Giải ta có c1 mà c0 nên c1 hay z 1 Do

1

2 z 2 Chọn B

Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn

, 

M M Số phức z(4 ) i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N,  Biết rằng

, , , 

M M N N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z4i

A

1

2 B

2 C D 13 Lời giải

Gọi M x y ;   M x' ; y

     

 

4 ;

4 3

' ;

               

N x y x y

i z x y x y i

N x y x y

Dễ thấy MM'NN' vng góc với Ox nên để MM N N' ' hình chữ nhật

Khi

 2  2

' '

' ' 5

                     MM NN

MN M N x y z x xi z i x x

MN Ox

Ta có

 52  42 12 92 1 5min

2 2 2

          

x x x z i

Chọn C

Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  Tìm giá trị

(23)

2

    

T z i z i

A maxT8 B maxT4 C maxT4 D maxT8

Lời giải

Đặt z x yi x y ,  , ta có   2

1 2

         

z x yi x y

 12 2 2 1 2 2 2 1  

 x y   x  x y   x y  x 

Lại có T   z i z 2 i  x y1i  x 2y 1i  2  2  2

2 2 2

1 2

 x  y  x  y  x y  y  x y  x y

Kết hợp với   , ta T 2x2y 2 2 x 2y  2x y  2 2 x y  Đặt t x y, T f tt  2t2 2 với t   1;1 

Ta có

  1    max  

' ; ' 1

2

       

 

f t f tt f t f

tt Chọn B.

Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z  2 Tính giá trị lớn biểu thức

2

    

T z i z i

A maxT8 2. B maxT 8. C maxT 4 2. D maxT 4.

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt z x yi x y ,   , ta có:

1 2

     

z x yi

 2 2  

1 2 *

 x y   x y  x

Lại có: T  z i z 2 i  x y1i x y 1i  2  2  2

2 1 2 1

 x  y  x  y

2 2 1 2 4 2 5  x y  y  x y  x y

Kết hợp với  * , ta được:

2 2 2

     

T x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta

 2   2 2

1  2 2 

         

 

T x y x y

Vậy maxT4.

Câu 38: Cho w sin  icos với 0

   

thỏa mãn

w 1 2 w

(24)

Giá trị

2018

26 w

 

  

 

P

A.P232018 B.P232018 C.P232018i D.P292018 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:  

2

w  1 sin icos   1 cos 2 isin 2  w 1  2 cos  

2

2 w  sin  cos  2

Từ giả thiết:

w 1 2 w cos

4 

     

   

2

2 2

w w w

2 2

  i    i  

Vậy P232018.

Câu 39: Cho số phức z1  2 i z,  2 i số phức zthay đổi thỏa mãn

2

1 16

   

z z z z

Gọi M

và mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2 m2

A 15. B 7 C 11 D 8

Lời giải Chọn D.

Gọi Mlà điểm biểu diễn z.

Gọi A2;1, B2;1 Gọi I0;1 trung điểm AB

2 2 2

1 16 16

      

z z z z MA MB

2

2 2 16

2

  AB 

MA MB MI

2  MI

Suy tập hợp điểm Mlà đường tròn tâm I0;1 bán kính R2

Ta lại có : IM IO OMIM IO 1OM3.

(25)

1  1 

z M M

2  M  m  . Bài tương tự

Câu 40: Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1 1 i 2 z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức

1 z z

?

A m 1 . B m2 2. C m2. D m2 2 .

Lời giải

Chọn D.

Đặt z1 a bi a b; ,    z2  b ai

   

1

 z  z  a b  b a i

Nên    

2

1     

z z a b b a z

Ta lại có 2z1 1 i z1  1 i z1 

1 2  z  

Suy z1 z2  2.z1 2 2 .

Dấu " " xảy 110

a b

Vậy mmin z1 z2 2 2 .

Câu 41: Gọi số phức z x yi x y; ,   thỏa điều kiện

2

2 26

   

z z

z 2 5i lớn Tính T  x y

A T  2 B T  2 C T  2 D T  2

Lời giải Chọn A.

Giả sử z x yi x y; ,  

Ta có    

2 2 2 2 2 2

2 26 2 26

             

z z x y x y x y

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C tâm gốc tọa độ O, bán kính



R .

Ta có      

2

2 5

     

z i x y

Vì   2

2  9

nên điểm N2; 5 thuộc đường tròn  C

Gọi M x y ;  điểm thuộc  C ,      

2 5

      

z i x y MN

(26)

Suy z 2 5i lớn  MN lớn  MN đường kính  C

 2; 5

 M  

Vậy z 2 5i

Câu 42: Cho z1, z2là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i  2 iz , biết z1 z2 1 Tính giá trị

biểu thức: Pz1z2

A.

3 

P

B. P 2. C.

2 

P

D. P 3.

Lời giải Chọn D.

HD: Cách Ta có:

2

2z i  2 iz  2z i  2 iz (2z i )(2z i ) (2 iz)(2 iz)

2

4 2 2

 z z iz iz i   iz iz i z z  z z

2

1

1 1

 z z  z   z   z 

z2 1 Chú ý:

2

   (2  )(2  ) (2  )(2  )

a a a z i z i z i z i z i

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1, z2 đường trịn tâm O bán kính R1

Gọi M z1( ), M z2( )2  OM1OM2 1

Ta có: 1  1    1

  

z z OM OM M M OM M

Mà 1  1  

  

z z OM OM OM OM

với M điểm thỏa mãn OM MM1 hình thoi cạnh 1 OM 3 P

Cách Đặt z x yi, x y,  , ta có 2z i 2x(2y 1)i 2iz 2 y xi

Khi đó:

1

2 2 2

2

1

2 (2 1) ( 2) 1

1

 



               

  

z

z i iz x y y x x y z

z

Sử dụng công thức  

2 2 2

1  1 2   1  3 1 

z z z z z z z z z z

Chọn D.

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 i 4 Gọi M m giá trị lớn giá trị

nhỏ z 2 i Tính giá trị tổng SM2m2.

A S82. B S34. C S68. D S36.

Lời giải Chọn C.

Cách 1: (Phương pháp hình học)

Đặt số phức z x iy, x y,   có điểm biểu diễn hình học P x y ,  y

O x

M

(27)

Ta có        

2 2

1 2 16

           

z i x y x y

Vậy tập hợp điểm P đường trịn tâm I1; 2, bán kính R4

Ta có    

2

      

z i x y AP

, với A2; 1  Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy:

max

3 4

      

 

     

 

M AP AP IA R

m AP AP IA R .

Vậy ta suy    

2

2 3 4 3 4 68

      

S M m

Cách 2: (Phương pháp đại số)

Công cụ bản: z1  z2 z1z2 z1 z2 , với số phức z1, z2 Áp dụng, ta có: z  2 i z 2 i  3 i  z 2 i  3 i  4 2 M 4

z  2 i z 2 i  3 i  z1 2 i  3 i 3 4  m3 4

Vậy ta có    

2

2 3 4 3 4 68

      

S M m

Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức z z z, ,1 thỏa z1 z2 6 z1 z2 6 Tìm giá

trị nhỏ biểu thức

 1  2  1  2

      

P z z z z z z z z z z

A. 30 B 36 2. C. 50. D. 50 2.

Lời giải Chọn B.

Gọi A B M, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, , từ giả thiết ta suy tam giác OAB vuông cân O tốn quy tìm giá trị nhỏ của

2

  

P MA MB MO MA MO MB. Ta chứng minh toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c , ACb, BCa, ta có  

1

   

MB MC MC MA MA MB

bc ca ab

Chứng minh: dùng toán kinh điển  

2 2

     

 

xyc yza zxb x MA y MB z MC

x y z

; ;

 a  b  c

(28)

và

2 2

 

   aMA bMB cMC

xyc yza zxb abc

MA MB MC từ sử dụng   suy hệ thức   . Áp dụng tốn ta có P36 2, chọn B.

Ta chứng minh tốn   ngôn ngữ số phức.

Gọi tọa độ điểm A B C M, , , mặt phẳng phức u v w x, , , a v w , bw u , c u v , MA x u, MB x v , MC x w Khi bất đẳng thức   tương đương

1

     

  

     

x v x w x w x u x u x v u v u w v w v u w u w v

   

     

   

     

x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v

Mặt khác :

   

           

    

           

x v x w x w x u x u x v x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v u v u w v w v u w u w v

Mà

   

     

  

     

x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v nên suy  

Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

     

P z i z i

A B 3. C 2. D

4

3 .

(29)

Gọi điểm biểu diễn z M Khi M nằm đường tròn tâm I0; ,  R1. Gọi tọa

độ điểm A 2; ,  B 2; 3  đó:

2 2

       

P z i z i MA MB

Gọi

1 ;

 



 

 

K

ta có:

1

 

IK IM

IM IA Vậy IMK IAM hai tam giác đồng dạng Khi đó: MA 2MK. Vậy P 2MK MB 

Theo bất đẳng thức tam giác: P 2MK MB   2BK

Vậy Min P   2BK3

Câu 46: Với hai số phức z1 z2 thoả mãn z1z2  8 6i z1 z2 2, tìm giá trị lớn Pz1 z2

A P4 B P2 26 C P 5 D P34 2 .

(30)

Vì hai số phức z1 z2 thoả mãn z1z2  8 6i z1 z2 2 nên

1

2

1

8

2

   



  



  



z i z

z z

 

1

2

4

2

   

 

    



 

 

z i

z z  *

Gọi A, B hai điểm biểu diễn hai số phức z1 z2 từ  * suy A B, nằm đường trịn  C có tâm I4; 3, bán kính R1 AB đường kính đường trịn

 C

Như Pz1 z2 OA OB .

Ta có  

2 2

2 52

2



      

OA OB AB

OI OA OB

Suy 52OA2OB2 2OA OB  

2 2 2

2 52 52 104

 OA OB OA OB  OA OB  

1 104 26

 Pz  z OA OB  

Dấu xảy OA OB .

Câu 47: Giả sử z z1, hai số số phức z thỏa mãn

  

iz i

z1 z2 2. Giá trị lớn của 

z z

A 4 B 2 C 3 2. D 3

Lời giải Chọn A.

(31)

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 đường kính Dựng hình bình hành

OMNP ta có z1z2 OP2 3.

Ta có    

2 2

1  2 

z z z z 2

1 2

z  z  z z 16  z1  z2 4

Dấu xảy

khi z1 z 2 MNOI.

Câu 48: Cho hai số phức z,  thỏa mãn z   z 2i ;  z m i với m  tham số Giá trị m để

ta ln có  2 là:

A

7

 

  

m

m . B

7

 

  

m

m C 3m7. D 3m7. Lời giải

Chọn B.

Đặt z a ib a b  , ,   có biểu diễn hình học điểm M x y ; 

1

   

z z i  x 1iy   x y 2i  x 12y2  x32y 22

2 4

  x  x  y  2x y  3

Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x y  3 0

Ta có:  2  z m i  2  x m  y1i 2

 2  12

 x m  y   MI2 5

với Im; 1  Mà ta có MId I ,

Nên MI2  d I , 

2

2 5

 

 m 

2 10

  m 

2 10

   

 

  



m m

3

 

   

m

m .

Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho zlà số phức thỏa mãn z 1 i 2 Tìm giá trị lớn biểu thức

2

     

P z i z i

A.18 B 14 10 C 38 10 D 16 10

Lời giải

Chọn C.

(32)

Do    

2

1 1

       

z i x y

suy M thuộc đường trịn tâm I1; 1 , bán kính

2 

R

Đặt A2;1 , B2; , E0; 2 trung điểm AB Khi

2

     

P z i z i

 22  12  22  32

 x  y  x  y 2

MA MB

2

 ME  AB 2

2 10

 ME  .

Do E nằm ngồi đường trịn, nên MEMax EI R  2 10 PMax38 10 Cách 2 :

2

     

P z i z i x22y 12x 22y 32

=2x22y2 8y18 2

2 18

 x  y  y  P .

Suy tọa độ điểm M thỏa mãn     2

2

2 18

1

     

 

   

 

x y y P

x y

   

 

2

1

: 12 22

    

  

    

 

x y

x y P

Hệ có nghiệm d I ,   R  P 38 8 10  38 10  P 38 10 38 10

 PMax  .

Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 108)Cho số phức z1  2 ,i z2  2 i số phức zthay

đổi thỏa mãn

2

1 16

z z  z z 

Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2 m2 bằng

A.15 B.7 C.11 D.8

Lời giải: Chọn D. Cách 1:

Gọi số phức z x yi với x y  , Ta có

2

1 16

(33)

Ta có | |z min OMmin, | |z max OMmax. Đường thẳng OI có phương trình y 0

OIcắt( )C điểm phân biệt A B, có tọa độ nghiệm hệ

2 2 3 0

0

x y x

y

    

  

(1, 0); ( 3,0)

A B

  .

Ta có OA OM OB  nên | |z minOA,| |z maxOB. Khi M2 m2  9 8

Cách 2:

2

1 16

z z  z z   x2y22x 3 0

Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu

diễn số phức zlà đường trịn ( )C có tâm I ( 1, 0) bán kính R 2  z 1 Ta có: z    z 1 1 zmin 1 , z    z 1 3  zmax 3

Cách 3:

2

1 16

z z  z z   x2y22x 3 0

Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C có tâm I ( 1, 0) bán kính R 2

Ta có OMmin OI R , OMmax OI R  zmin 1, zmax 3 CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 i  Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị

nhỏ z Giá trị biểu thức

2

M m

Mn



A.12 B.

1

2 C.

4

3 D.8

Lời giải: Chọn C.

Gọi số phức z x yi với x y  , , | |z  x2y2 Ta có: z 4 i   

2

2 ( 4)

x y

     x2 y2 15 4(x 2 )y

    

Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:|x2 |y  5(x2y2)  | |z Khi ta có bất phương trình | |z 15 | | z  | | 5z 

Do

2

M m

Mn





Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i|z | i  Gọi M mlần lượt giá trị lớn

và giá trị nhỏ z2i Giá trị biểu thức M2m2 bằng

(34)

Lời giải: Chọn B.

Gọi z x yi (với x y  , ) có điểm M x y( ; ) biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Ta có z 1 i  z 2 i 

x 12 y 12 x 32 y 22

        

x 12 y 2 x 32 y 2

            

(1)

Số phức z2i x y2i có điểm M x y ; 2 biểu diễn z2i mặt phẳng tọa độ.

Đặt A(1;3), (3; 4)B , từ (1) ta có AMBM

Mặt khác AB  nên M  thuộc đoạn AB Khi M  z 2imaxOB5 , m z 2imin

10

OA

  .

Vậy M2m2 35 Nhận xét:

- GTLN, GTNN câu dạng đạt đầu A B,

- Một sai lầm thường gặp đánh giá zmin d O AB ;  góc OAB góc tù nên khơng tồn điểm M đoạn AB cho OM AB.

Câu 53:(Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn z 4 i  5 Gọi M m, lần

lượt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức

2

   

P z z i

Khi modun số phức

w M mi

A.2 314 B 1258 C.3 137 D.2 309

Lờigiải

Chọn B.

Cách 1: Giả sử z x yi x y R ,   ta có z 4 i     

2

3

 x  y 

Ta có P4x2y3  4x 32y 4  P 23

Ta có        

2 2

4 20  100

         

 x y   x y 

Suy 10 P 23 10 13 P 33 suy M33,m13 ta w33 13 i

w  1258

Cách 2: Gọi z x yivớix y,  

Ta có:    

2

3 5

       

z i x y

Suy ra, tập hợp điểm M x y ;  biểu diễn cho số phức z hệ tọa độ Oxy đường tròn C tâm I3; 4 bán kính R 5.

Lại có:    

2 2 2 2

2

                

P z z i x y x y P x y P

(35)

Ta thấy M  C

Điều kiện để  cắt  C là:  

23

, 10 23 10 13 33

2 

   P         

d I R P P

Suy ra: m13,M33và w33 13 i w  1258.

Cách 3:

Gọi z x yi với x y,  

Ta có    

2 2 2

2

        

P x y x y x y

suy

4

2

 

P x

y

Từ        

2

2 2

3 5

2

   

               

 

P x

z i x y f x x

Ta có    

4 11

2 10 16

2

   

       

 

P x

f x x P x

  0,2 1,6

    

f x x P

Suy y0,1P1,7

Thay x y, vừa tìm vào f x  ta    

2

0, 2P 1,6 3  0,1P1,7 4  0

Ta giải P33 P13 Đây tương ứng GTLN GTNN P

Vậy M33,m13 Khi đó,   1258

Câu 54:Biết số phức z x yi, x y,   thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z   z 3i biểu thức

1

     

P z i z i

đạt giá trị nhỏ Tính P x 2y

A

61 10 

P

B

253 50 

P

C

41 

P

D

18 

P

Lời giải

Chọn A

Theo giả thiết z   z 3i  x yi x4  y3i  2  2

2 4 3

 x y  x  y

2 2 8 16 6 9  x y x  x y  y

8 25  x y  .

Ta có        

2 2

1

       

P x y x y

Xét điểm E1;1; F2; 3  M x y ;  Khi đó, PME MF .

Bài tốn trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất.

(36)

Đường thẳngEE qua điểm E1; 1  có VTPT   3; 4 

 

EE

n u

nên có phương trình

   

3 x1  y 0  3x 4y 7 0

Gọi H giao điểm EEvà  Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình

3

8 25

  



 



x y

71 25 19 50 

    

   

x

y

suy

71 19

;

25 50

 

 

 

 

H



E đối xứng với E qua H nên

117 25 44 25



    

 

 

E

E x

y

Ta có ME + MF = ME + MF E F .

Dấu xảy  Mlà giao điểm E F đường thẳng 

Đường thẳng E F qua điểm F2; 3  có VTPT 31;167



EE n

có phương trình

   

31 x 167 y3 0  31 +167 + 439 = 0x y

Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình

31 167 439

8 25

  



 



x y

67 50 119

50 

    

   

x

y

Vậy

61

10

  

P x y

Câu 55: Gọi z z1, nghiệm phương trình z 2 i   z 2i thỏa mãn z1 z2  Biết w

số phức thỏa mãn w 2  i 2 Tìm GTNN biểu thức Pw z1  w z2 .

A 1 3 B 2 3 C 2 D. 6.

Lời giải.

Chọn D

Giả sử z x yi x y R ,   ta có z 2 i   z 2i  x0suy tập hợp điểm biểu diễn

1,

z z là trục tung.

Giả sử A B, điểm biểu diễn cho z z1, 2, ta có z1 z2   AB Giả sử w a bi a b R ,   M điểm biểu diễn cho số phức

w, ta có w 2  i 2 (a 3)2(b 2)2 4suy tập hợp

(37)

Ta có PMA MB , gọi E hình chiếu vng góc I lên trục tung, ta thấy P nhỏ

khi E trung điểm AB suy

6

 

MA MB

,

6

2

 

MinP

Câu 56: Cho z số phức thỏa z 1 i 2 Tìm giá trị lớn biểu thức

2

     

P z i z i

A 18. B 38 10 . C 18 10 . D 16 10 .

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi z x yi x y ,  

Ta có:    

2

1 2 1

            

z i x yi i x y

2 2

2 2 2

 x y  x y   x y  x y (*) Theo ra:

2 2

             

P z i z i x yi i x yi i

 2  2  2  2  2 2

2 18

 x  y  x  y  x y  y

Thay (*) vào P ta được:

   

4 12 22 12 38

       

P x y x y

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta

     2 2  2  2  2 2

4  12 1 38 12    1  38 12 38 10 38  

 

x y x y

Vậy Pmax8 10 38

Câu 57: Giả sử z z1, hai số số phức z thỏa mãn

  

iz i

z1 z2 2. Giá trị lớn của 

z z

A 4 B 2 C 3 2. D 3

(38)

Ta có iz 2 i 1 i z i 1 1 z i 1 1.

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta có z1z2 OP2 3.

Ta có    

2 2

1  2 

z z z z 2

1 2

z  z  z z 16  z1  z2 4

Dấu xảy

khi z1 z 2 MNOI.

Câu 58: Xét số phức  z a bi a b,   thỏa mãn z 2 3i 2 2 Tính P2a b khi

1

    

z i z i

đạt giá trị lớn

A P1 B P3. C P3. D P7

Lời giải Chọn B

Gọi z x yivới x y,  

Ta có:    

2

2 2

       

z i x y

Suy ra, tập hợp điểm M x y ;  biểu diễn cho số phức z hệ tọa độ Oxy đường tròn  C tâm I2; 3 bán kính R 8.

Gọi A1; 6 , B7; 2 J3; 2 là trung điểm AB.

Đặt P  z 6i z 2 i suy  

2

   

P MA MB MA MB

(BĐT Bunhiacopxki)

Phương trình đường trung trực của AB là:

3    

  

x t

y t.

Ta có:

2

2 2

2

   AB

MA MB MJ

(39)

Vì M chạy đường trịn , J cố định nên MJ IJ R

Do  

2 4 IJ 

P R AB

nên  

2 2 ax IJ  m

P R AB

Dấu « = » xảy MAMB ba điểm M I J, , thẳng hàng Điều thỏa mãn nhờ



IA IB

Do đó: M  C , tọa độ M nghiệm hệ:

 2  2  2  2

3

2

3

2 5

x t x t x x

y t y t y y

t t

x y t t

         

 

   

        

   

     

 

       

 

 

Mặt khác :

4; 5   2 130

M P MA MB

M0;1 P MA MB  2 50. Vậy đểPMax thìM4; 5 Suy 2a b 3

Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong số phức z thoả mãn z 2 4 i 2, gọi z1 z2là số phức có

mơ-đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1và z2

A 8i. B 4. C 8. D 8.

Lời giải Chọn D

Gọi z x yi x y, ,   M x y ;  điểm biểu diễn số phức z

Theo giả thiết z 2 4 i 2  x yi  2 4 i 2    

2

2 4

 x  y 

Suy      

2

: 4

    

M C x y

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 4 i 2 đường tròn  C có

tâm I2; 4 bán kính R2

Đường OI có phương trình y2x cắt đường tròn  C hai điểm

10 20 ;

5

   

 

 

A

,

10 20 ;

5

   

 

 

B

(40)

Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi (a b,   b0) thỏa mãn z 1.

Tính P2a4b2

2

 

z z

đạt giá trị lớn

A P4 B P 2 . C P2 D P 2 2.

Cách 1:

Từ giả thiết có a2b2 1 b2  1 a2 0 với a  1;1 z z1.

Ta có

3 2

z z 2

1

z z 

z z

2

 z z z 2bi2a2 b2 2abi

 2  

2

 a  b  b ab i 2 a2 b22b 2ab2

 22 2 2

2

 a  b b  a 2 2a2 1 2 1 a22a 12

2 4

 a  a  a

Xét  

3

4

   

f a a a a

, với   1 a 1.

 

12

   

f a a a

;  

2

0 12

     

f a a a

 

1

1;1

2

1;1



  

  

    

a

Bảng biến thiên:

Suy  1;1  

1 13

max

2

 

 

  

 

a f a f

, đạt

1 

a

,

2

4 

b

Vậy

2

 

     

 

P a b

Cách 2:

Ta có zcosx i sinx z3 cos 3x i sin 3x Vì b0 nên sinx0, cosx  1;1. Khi

3

2

 

z z cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

cos cos 2 sin sin 

(41)

cos cos 22 sin sin 2

 x x  x x

2 sin sin 2 2 cos sin 2

  x x  x x

2 2

4 sin sin sin sin cos sin

  x x x x x x

2

4 16 sin cos sin

  x x x

 2  2

4 16

   tt t   16tt3 4t2  16 8

với tcosx  1;1 Đặt f tt  16tt3  16 8, t  1;1

  48 8 16 0

    

f tt t

 

1

1;1

2

1;1



  

  

    

t

 1;1  

1

max 13

2

 

 

   

 

t f t f

1 cos

 t  x

Khi đó:

2 2

1

2

    



a

a b

a b .

Vậy

2

 

     

 

P a b

Nhận xét: đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z , 1 z hai số phức thỏa mãn 22 z i  2 iz , biết z1 z2 1 Tính giá trị biểu thức

1

 

P z z

A

3 

P

B P 2. C

2 

P

D P Lời giải

Chọn D.

Cách 1.

+ Đặt z x yi, x y,  , ta có 2z i  2 iz  2x2y 1i 2 yxi

 2  2

2 2 2

4x  2y  2 y x  4x 4y  4y  1 4y y x

2

1 1

(42)

+ Sử dụng công thức: z z1, 2  ta có  

2 2

1  1 2 

z z z z z z

Suy P

Cách 2.

+ Biến đổi: iz2  i iz 2  z 2i Ta có

2

1

2z i  z 2i  2z i  z 2i  z  1 z z 1

+ Sử dụng cơng thức bình phương mơ đun

 

2 2 2 2 2

1  2 1,  mz nz m z mnz z cos z z n z

Trong z z góc 1, 2 MON với M, N điểm biểu diễn số phức z z trên1, 2

mặt phẳng phức

   

2 2

1 2 2 2

1

1 , ,

2

          

z z z z z z z z cos z z cos z z

Vậy  

2 2

2

1 1 2 1, 3

        

P z z z z z z cos z z P

Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:T  z i z 2 i .

A maxT8 2. B maxT4. C maxT4 2. D maxT8 Lời giải

Chọn B.

Đặt z x yi x y R ,  , ta có

2

1 2 ( 1)

         

z x yi x y

 2 2

1 2

 x y   x y  x

(*)

Lại có T  z i z 2 i  x (y1)i  x ( y 1)i

2 2 2 2

( 1) ( 2) ( 1)

 x  y  x  y  x y  y  x y  x y

Kết hợp với (*), ta T  2x2y 2 2 x 2y 2(x y ) 2  2( x y ) Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có

2( ) 2( ) 2(2( ) 2( ))

            

T x y x y x y x y .

Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5z i   z 3i 3z 1i Tìm giá trị lớn M biểu

thức:z 3 i ?

A

10 

M

B M 1 13 C M4 D M9

(43)

2 2 2 x (y 1)  (x1) (y 3) 3 (x 1) (y1)

2 2 2

5 ( 1) 10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)  x  y  x  y  x  y

2 2 2

25 ( 1)  10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) 

 x  y    x  y  x  y  

2 ( 1)2 20 2 5  x  y   z i 

2 (4 2) 2 5

             

P z i z i i z i i

Câu 64: Cho hai số phức z, thỏa mãn z   z 2i ;  z m i với m  tham số Giá trị của

m để ta ln có  2 5 là:

A

7

 

  

m

m . B

7

 

  

m

m C 3m7. D 3m7. Lời giải

Chọn B.

1

   

z z i  x 1iy   x y 2i  x 12y2  x32y 22 4

  x  x  y  2x y  3

Ta có:  2  z m i  2  x m  y1i 2  2  12

 x m  y   MI2 5

Nên MI2  d I , 

2

2 5

 

 m 

2 10

  m 

2 10

   

 

  



m m

3

 

   

m

m .

Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn

1

3 2

  

z

z i Tìm giá trị lớn biểu thức P  z i z 7 i

A. 20. B 10 C. 12 D 4 5.

Lời giải

Chọn A.

Gọi z x yi, x y,  

1

 

z

(44)

2

4  x y  x y  .

Lại có P  z i 2z 7 i      

2 2

2 1 2 4 7

 x  y  x  y

4 8 72

 x y   x y .

Mặt khác  

2

4x8y 8 4x 8y72 5.80  4x8y 8 2 4x 8y7220

Suy P20.

Câu 66: Cho số phức z a bi (a,b số thực) thỏa mãn z  z 4 i có môđun nhỏ giá trị

của Pa b là?

A

3

4. B 4. C 2. D 3.

Lời giải Chọn D.

Ta có:

3

    

a bi a bi i  a2b2 a 32 b 42

6 25

 a b 

25 

 a b

Mô đun số phức z là:

2

 

z a b

2

25

  

   

 

b

b  

2

100 225

36

 

 b 15

6 

Số phức zmin  b2

3

 a

3  P

Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 i  z 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất.

A z 1 i. B z 2 2i. C z 2 2i. D 3 2 i. Lời giải

Chọn C.

Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z 4 i  z 2i

   

 2  2  2

2 2

2

4 16 4

4 16

4

      

         

  

a b i a b i

a b a b

a a b b a b b

(45)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki

 2  2 2  2 2 2 2 16 a b  1 a b  z a b 8

2 

z

Dấu  xảy

2 2

1

4 

 

       

   

a b

a b z i

a b

Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4 i  z 2i Số phức z có mơ đun bé bằng

A.3 B 2 C. 2. D 4

Lời giải Chọn C

Đặt z x yi x y ,   Khi z 4 i  z 2i  x yi  4 i  x yi 2i  22  42  22

 x  y x  y  4x 4y16 0  x y  0 .

Số phức có mơ đun nhỏ khoảng cách từ O đến đường thẳng :x y  0 .

 

min

4

; 2

2

   

z d O

Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z z1; thỏa mãn z1z2 5 z1 z2 1 Giá trị lớn

(46)

A. 26 B.

26

2 C.9 D.

1  Lời giải Chọn A.

Ta gọi M N điểm biểu diễn số phức , z z1; 2. Từ giả thiết : z1z2 5 OM ON 5

                         

 

2

OI

  

vớiI trung điểm đoạn thẳngMN

1

z  z   OM ON 1                             MN   . Ta có

2 2

2

OM ON MN

OI   

2 2 2O MN I OM ON     13 

Pz  z OM ON  P2 12 12 OM2ON2 26

Vậy Pmax  26

Câu 70: Cho hai số phức z z1; thỏa mãn z1z2 5 z1 z2 1 Gọi ,M m giá trị lớn

giá trị nhỏ biểu thức Pz1  z2 Khi mơ đun số phức

M m i :

A. 76 B.76 C.2 10 D.2 11

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N điểm biểu diễn số phức , z z1; 2. Từ giả thiết : z1z2 6 OM ON 6

                            OI   

với I trung điểm đoạn thẳngMN

1 2

z  z   OM ON 2                             MN   . Ta có

2 2

2

OM ON MN

OI   

2 2 2O MN I OM ON     20 

Pz  z OM ON  P2 1 12 2 OM2ON2

40 

Vậy maxP2 01 M

Pz  z OM ON

                            OM ON

   6  . Vậy minP 6 m.

Suy M m i  40 36  76

Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn

5

2

i z  

Giá trị lớn biểu thức P2z 1 4i  z 1 5i là:

A.2 B.3 C.3 D.

5 .

Lời giải

(47)

Ta gọi M x y điểm biểu diễn số phức z ( ; )

5

2

i z    2

2

x y

   

Suy

5 ( ; ) (0;3);

2

M x y C I R 

 

 

Khi đó:

4

2z i

P    z  i z

1

2 i z i

      2 MA  MB

,

với  

1

;2 ; 1;5

A  B

 

Ta có:

1 ;

IA   

 



 

;IB  1;

suy IB2.IA

 

Theo định lý Stewart ta có:

2 5

5

2 2

MA  MB  MI  

   2MA2MB2 15

(Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ

MI MA AB

                                      

  

3

MA AB

  1 

MA MB MA

    

3MA 3MB

 

 

Suy ra:

 

2 2 . .cos ,

9 9

MI  MA  MB  MA MB               MA MB 2 cos AMB

9MA 9MB 9MA MB

  

2 2

2

4

9 9

MA MB AB

MA MB MA MB

MA MB

   

    

 

2 2

2

3MA 3MB 9AB

  

2

2MA MB

 

2 2 3 MI AB   15  ) Vậy

P MA MB  2 2.MA MB    

2 2 2 2

2 2MA MB

  

45

 3

Câu 72: Cho hai số phức

1 3

,

2 2

  i   i

z z

Gọi z số phức thỏa mãn 3z 3i  3 Đặt

,

M n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức Tz z z z z Tính modun số

phức w M ni 

A.

2 21

3 B 13 C.

4

3 D

Lời giải

Giả sử z x yi x y R, ,   Ta có

2

3 3 1( )

3

 

      

 

 

z i x y C

Gọi

 ; , 1; , 1;

2 2

   



   

   

K x y A B

(48)

Ta có , ,A B O thuộc đường trịn ( )C ABO  TMin2OA2

Gọi K thuộc cung OB Ta có KA OB OA BK AB OK    KA KB OK 

4

2 2.2

3

 T KA R TMax

2

4 21

w

3

 

     

 

 

Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn 5 z i   z 3i 3z 1i Tìm giá trị lớn M z 3 i ?

A

10 

M

B M 1 13 C M4 D M9.

Lời giải Chọn D

Gọi A1; , B 1; ,  C0;1 C trung điểm AB

Suy

2 2

2 2 2 10

2



MA MB  AB    

MC MA MB MC

Mặt khác 5z i   z 3i 3 z 1 i 5MCMA3MB 10 MA2MB2

 

2

25 10 10

 MC  MC   MC

Mà z 3 i     z i  4i  z i   2 4i MC2 54

Dấu “ = “ xẩy z 2 5i.

Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46]

Cho số phức z thỏa mãn

3

1 2

2

     



z i z i

z i

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2  

P z i

A

1 

P

B P 2. C 3. D

1 .

Lời giải Chọn A

Áp dụng tính chất:

2 2

1 2

    

z z z z z z

Ta có:

2 2

3

1 2 2 2

2

 

              

 

 

 z i z i z i z i z i

z i

4

2

(49)

Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z z thỏa mãn điều kiện1,

1 1

2 z  i z  z  2i

z2  i 10 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1 z2 ?

A 10 1 B 3 1 C 101 1 D 101 1

+) Gọi z1  a bi a b; ,  .

Nên    

2

1 1

2 2 2

4

          a

z i z z i a b b b

Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z Parabol 1

4 x

y

+) Gọi z2  a bi, a b,  .

Khi    

2

2   10  1  10   1

z i a b

Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn 2      

2

10 1

   

C x y

tâm I10;1 bamns kính r1.

1

z z nhỏ MN

nhỏ

Ta có: MN IN IM MNIM IN IM 1.

Nên MN nhỏ IM nhỏ nhất.

Ta có:

   

2

10 4 45

4

   

          

   

x x

IM x x

45

(50)

Vậy z1 z2 MN3 1  z1 z2 3 1 .

Câu 76: [2D4-4] Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1 1 i 2 z2 iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức

1 z z

A m2 2 . B m 1 . C m2 2. D m2.

Ta có z1 z2 z1 iz1  1 i z  2.z1

Đặt z1 a bi với (a b,  ) theo đề ta có    

2

1

   

a b

(*) Ta cần tìm GTLN 2

2

 

m a b

Đặt ta2b2 Ta có: (*) 4a22a 1 b2 2b 1 2(a b ) 2  t.

Mà      

2 2 2 2 2

1 ( 1)

    

a b a b

(**) nên

 2

2 t 4(a b ) 8t tt2  12  4 0  6 2   t 6 2 Kết hợp với ta2b2 0 suy 0  t

Suy m 2t  12 2 2 2

Dấu "=" xảy (**) xảy 11 

a b

Kết hợp (*) ta z1    1  i Vậy giá trị lớn m 2 2 .

Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 3i5 2

2  2 4

iz i

Tìm giá trị lớn biểu thức T2iz13z2 .

A 313 16 . B 313. C 313 8 . D 313 5

(51)

Ta có z1 3i5 2  2iz1 6 10i 4.

Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn  T1 có tâm I16; 10  có bán kính R1 4

Mặt khác, iz2 2 i 4 3z2 3 i 12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2 điểm N nằm đường tròn  T2 có tâm I26; 3 có bán kính R2 12.

Ta thấy 2iz13z2  2iz1  3z2  MN.

T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M, I1, I2, N theo thứ tự thẳng hàng

Vậy giá trị lớn MNI I1 2R1R2  313 16

Câu 78: Cho hai số phức z w, thỏa mãn

3

1 2

   

 

    

 

z i

w i w i

Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức

 

P z w

A.

3 2

 

P

B. Pmin  1 C.

5 2

 

P

D.

3 2

 

P

Lời giải

Chọn C. Cách :

Giả sử z a bi a b,   , w x yi x y,  .

3

  

z i  a 32b 22 1

(1)

1 2

    

w i w i  x12y22 x 22y 12

Suy x y 0

 2  2  2  2

         

P z w a x b y a x b x

Từ (1) ta có I3; 2, bán kính r1 Gọi H hình chiếu I d y: x.

Đường thẳng HI có PTTS

3    

  

x t

y t.

3 ; 

   

(52)

 

2

  

M C t

1

1 

   

   

t

1

2 ;

2

 

     

 

t M

,

5

2  

MH

1

3 ;

2

 

     

 

t M

,

5

2  

MH

Vậy

5 2

 

P

Cách :

3

  

z i

điều cho thấy M z  nằm hình trịn tâm I3; 2 bán kính

1 2

    

w i w i

điều cho thấy N w  thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng

 trung trực đoạn AB với A1; ,  B 2;1 

:

 x y 

(Minh hoạ hình vẽ)

  

P z w MN

 

3 5 2

,

2

 

     

P d I R

Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1  a bi z2  c di số phức thỏa mãn:

2 4 z

z1 c d 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức Tac bd cd  Hãy chọn khẳng định M.

(53)

C M11;12 D Không tồn M.

Lời giải

Chọn A.

Ta có  

2 1 10         z

z c d

2           a b

c d .

Khi đó:

  

T ac bd cd     2 2

(5 )

 a b c d c  c  2

2 5

 c   c  c c

Đặt f c( ) 2 c2 10c25 5 c c

Ta có  

4 10

5

2 10 25



   

 

c

f c c

c c

 

2

2 10 25

2

2 10 25

               c c c c c

 c

Dựa vào bảng biến thiên ta có

25

5 13,

4

  

M

Dấu xảy

2          a b c d

3   z z và ax  

M m z

z Khẳng định sau đúng?

A.M  1; 2 B

7 2;        M C 1;        M

D.M2M5.

c   5

2



 



f c  

(54)

Ta có

3

1 1

3

   

    

   

z z z z z z

3

1 1

3

   

        

   

z z z

z z

z

3

1 1

3

   

        

   

z z z

z z z 1             

z z z z

Mặt khác:

3

1 1

3

   

      

   

z z z z z z z z

Suy ra: 1     z z

z z Đặt

1

  

t

z ta được:

3

3   

tt    

2

 tt    t2

Vậy M2.

Câu 81: Cho số phức z x yi với x y, số thực không âm thỏa mãn

3 1     z

z i và biểu thức

   

2

2    1 1 

         



 

P z z i z z z i z i

Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ P Môđun M mi là

A.3. B 1 C 4 D 2

Lời giải Chọn B. Ta có 1     z

z i  z  z 2 i  x y 1

   

2

2    1 1 

         



 

P z z i z z z i z i 2

16 ( )

 x y  xy x y 16x y2  8xy.

Đặt txy ta có

 2

4



 t x y 

Tính giá trị lớn nhỏ P16tt2 , với

1 0;        t

ta Pmax 0; Pmin 1 Vậy M mi 1

Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức

1 3

,

2 2

   

z i z i

Gọi zlà số phức thỏa mãn 3z 3i  3 Đặt M m, giá trị lớn nhỏ biểu thức

1

    

T z z z z z

(55)

A 21

3 B 13 C

4

3 D

Giả sử M A B, , biểu diễn số phức z x yi z z, ,1

Từ giả thiết 3z 3i  3ta có:

2 ( )2

3

  

x y

NênMthuộc đường tròn tâm

1

0; ,

3

 



 

 

I R

Ta có TMO MA MB  .

Để Tmin M trùng O A B, , nên 2

min

1

2 2

2

 

      

 

   

T OA

Để Tmaxthì OMmax (MA MB )max nên OM2R M nằm

chính cung nhỏAB

2 0;

3

 

 

 

M

Do 2

2

3 3

 

         

 

   

max

T OM MA

Vậy

2

2 2 21

w

3

 

      

 

M m

Câu 83: Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau:

 

2

max 2 ,

    

 

  

 

iz i z

w i w

Tìm giá trị nhỏ z w

A.

9

2 . B.

13

2 5. C.

5

2 . D.

1

2 .

Gọi M N, điểm biểu diễn z w, với M x y ;  Ta có iz 2i  z  z 2 i  z

 2  2  2

2 2

 x  y  x y   x y 

(56)

Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ :

  x y  không chứa O, kể cả bờ

Ta có max w 2 ,i w  suy

 

2 2 , 2;

2

      

 



 

 

 



w i NI I

w NO .

Do đó, N thuộc phần chung hai hình

trịn I; 2 O; 2

Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc ngồi điểm E1; 1 Do đó, N1; 1

Ta thấy z w MN nên z w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N

trên .

Ta có

   

 2

2 4.1 13

,

2

   

  

 

d N

Vậy

13

2

 

z w

Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 3i5 2 iz2  2 i 4

Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz13z2 .

A. 313 16 . B. 313. C. 313 8 . D. 313 5 .

(57)

Có z1 3i5 2

3

2 

 a bi i 

i  a6  10b i 4  a62b102 16 nên A I có tâm I6; 10  bán kính R4

Có iz2  2 i 4

3 

   



c di

i i

3   6 12

  d  c i   c 62d 32 122

nên B J có tâm J6; 3, bán kính R 12.

Có T 2iz13z2        

2

      

a c b d a c b d AB

Do A I , B J , IJ 313R R 16 nên ABMax  R RIJ 16 313.

Câu 85: Xét số phức z a bi a b,( ,  ) thỏa mãn z 2 i 2 Tính a b biết biểu thức

1 2

     

S z i z i

đạt giá trị nhỏ

A 4 B 2 C 4 D 3 Lời giải:

Chọn A

Giả thiết

2

3 2 ( ) : ( 3) ( 2)

       

z i T a b

Gọi A( 1; 2), (2; 5), B M a b( ; ) điểm biểu diễn số phức z1 1 ,i z2  2 ,i z3  a bi

Bài tốn trở thành: Tìm M( )T cho biểu thức

 

S MA MB nhỏ nhất

Ta có

2 2

( 1) ( 2)

        

MA a b a b a b

2

2 4

 a b  a b

2

2 ( 2) ( 2)

 a  b  MC với C(2; 2)

Ta có MA2MB2(MB MC ) 2 BC dấu “=”xảy B M C, , theo thứ tự thẳng hàng

Phương trình đường thẳng BC x: 2

M giao của BC ( )T  M(2; 2 3) a b 4   3.

Câu 86: Cho số phức z z z1, 2, thỏa mãn z1  z2 z1 z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

    

P z z z z z

A P6 2 B P3 2 C P6 2 D

9

2

 

P

(58)

Chọn C.

Chọn A B M, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, ,

Dựa vào điều kiện z1  z2 z1 z2 6  OA OB 6, AB6 2. Suy ta có tam giác OAB vng cân O.

Phép quay tâm B góc quay 600 ta có:

B, 60 0 :  

Q A A

 

M M

Do tam giác BMM  AMA M , BMMM

Suy Pz  z z z z OM AM BM OM MM    A M OA. Dấu " " xảy O M M A, , ,  thẳng hàng.

Khi tam giác OBA có OB6, BA BA6 2 OBA  1050.

Từ suy OA OB2BA2  2OB BA .cos1050 6 2

Vậy minP6 2

Câu 87: Cho hai số phức z, thỏa mãn z   z 2i ;  z m i với m  tham số Giá trị m

để ta ln có  2 là:

A

7

 

  

m

m . B

7

 

  

m

m C 3m7. D 3m7. Lời giải

Chọn B.

1

   

z z i  x 1iy   x y 2i  x 12y2  x32y 22

2 4

(59)

Ta có:  2  z m i  2  x m  y1i 2  2  12

 x m  y   MI2 5

Nên MI2  d I , 

2

2 5

 

 m 

2 10

  m 

2 10

   

 

  



m m

3

 

   

m

m .

1

3 2

  

z

z i Tìm giá trị lớn biểu thức P  z i z 7 i

A. 20. B 10 C. 12 D 4 5.

Lời giải

Chọn A.

Gọi z x yi, x y,  

Ta có

1

3

  

z

z i  z 1 z 3i  x 12y2  x2y32 2

4  x y  x y  .

Lại có P  z i 2z 7 i      

2 2

2 1 2 4 7

 x  y  x  y

4 8 72

 x y   x y .

Mặt khác  

2

4x8y 8 4x 8y72 5.80  4x8y 8 2 4x 8y7220