+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu….. II[r]
(1)Chuyên đề : Rút gọn biểu thức
A NỘI DUNG
*Kiến thức lý thuyết cần ý:
1 Những đẳng thức đáng nhớ:
2.Các công thức biến đổi thức: √A có nghĩa A≥0
√A2
=|A|
√AB=√A √B ( Với A ; B ) √A
B= √A
√B ( Với A ; B > ) √A2B=¿A∨√B ( Với B )
A √B = √A2B ( Với A ; B ) A √B = - √A2B ( Với A < ; B ) √A
B=
1
|B|√AB ( Với AB B )
2
( )
0, )
C C A B
A A B
A B
A B
(víi
A √B=
A√B
B ( Với B
> )
( )
0, 0, )
C C A B
A B A B
A B
A B
(víi
10
3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức.
1 (A+B)2 = A2 +2AB +B2
2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2
3 A2 –B2 = (A-B )(A+B)
4 (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
5 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3
A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)
(2)Các tính chất phân thức Sử dụng tính chất ta có thể nhân với biểu thức liên hợp tử
( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn.
* Các dạng tập:
- Rút gọn biểu thức số
- Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đế: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến;
+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức;
+ Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến
* DẠNG1 : RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
I.Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ √20−√45+3√18+√72
b/ ( √28− 2√3+√7¿√7+√84
1
d/ 200 :
2 2
c/
(√6+√5)2−√120
Giải:
a/ √20−√45+3√18+√72 = √22 5−√32 5+3√32 2+√62
= 2√5 −3√5+9√2+6√2
= (2− 3)√5+(9+6)√2=15√2−√5 b/ (√28− 2√3+√7)√7 +√84 = √22
√7 −2√3.√7+√7 √7+√22.21 = 2 −2√21+7+2√21
= 14+7+(2− 2)√21=21 c/ (√6+√5)2−√120 = 6+2√30+5 −√22 30
(3)+
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:
a/
1
5
A
b/
4
B
c/
1 2
2 3
C
Giải:
a/
1
5
A
5
5
5 3
3
5
b/
4
6
B
2
3 3
2 3
3 3 1 1 2
2
2 3
c/
1 2
2 3
C
1
2 3 3
3 3 2
3 3
2
1 1
/ 200 : 10 :
2 2 2
1
2 8 2 12 64 54
4
d
(4)
2 2
3 3 3
2 3 3 3 3 3 3
1
3 3 3
3 3
+ Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau:
a/
2
2 2 2 9
b/ 2 3 2
c/
2
4
8
2 5
Giải:
a/
2
2 2 2 9
BĐVT ta có :
2
2 2 2 2 4 VP
Vậy đẳng thức chứng minh.
b/ 2 3 2
BĐVT ta có :
2 3
2 3
2
2
3
4
2
3 3 1 3 3
2 2 VP
Vậy đẳng thức chứng minh.
c/
2
4
8
2 5
BĐVT ta có :
2
2 2 2
4 2
2 5 2 5 2 5
(5)
2 2
2 2
5
2 5 5
2 5
5 VP
Vậy đẳng thức chứng minh.
+ Ví dụ 4: So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ 2 3 10
b/ 2003 2005 2 2004
c/ Giải:
a/ 2 3 10
Ta có:
2
2 2 6 5 24
Và
2
10 10 5 5 25
Vì 24 < 25 => 24 < 25=> 5 24 5 25
Hay
2
2 10 2 3 10
b/ 2003 2005 2 2004
Ta có:
2
2003 2005 2003 2005 2003.2005
4008 2004 2004 1 4008 2004 21 Và
2
2
2 2004 4.2004 2.2004 2004
Vì
2 2
2
2
2004 2004 2004 2004
4008 2004 4008 2004
2003 2005 2004 2003 2005 2004
c/
Ta có: 3 32 75
Và 52 45
(6)*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
Nhận xét biểu thức Phán đoán phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán:
+ Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo.
2
A A + Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc
hai
hoặc đưa đẳng thức
+ Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu…
II Bài tập:
1 Thực phép tính: a/ 12 75 27 : 15 ; b/ 252 700 1008 448;
c/ 2 2 72 20 2 .
2 Rút gọn biểu thức sau:
a/
2 3
;
2
b/ 2 ;
c/
2 3 2
:
2
3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ 3 và 2 2 6;
b/
7 21
4 5;
c/ 14 13 2 3 11.
4.Cho A 11 96
2
1
B
(7)a/
2
2 5 5 20 33
;
b/ 10 5 10 5 2 10;
c/
1 1
1 2 3 99 100
*DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I Các ví dụ:
* Ví dụ 1: Cho biểu thức
1 1
:
1
a M
a a a a a
với a >0 a 1
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 a 1
a/
1 1 1
:
1 2 1
a M
a a a a a
¿(
√a(√a −1)+
√a − 1):
√a+1
(√a −1)2
¿ 1+√a
√a(√a − 1)
(√a −1)2
√a+1 =
(1+√a)(√a− 1)2
√a(√a −1) (√a+1)=
√a −1 √a
b/ Ta có M=√a− 1 √a =1−
1
√a , a > => √a>0 =>
1
√a>0 nên 1−
1
√a<1 Vậy M <
* Ví dụ 2: Cho biểu thức
P=(
√x −√x −1−
x − 3 √x −1−√2)(
2
√2 −√x−
√x+√2
√2 x − x)
a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P
c/ Tính giá trị P với x=3 −2√2
Giải:
a/ Biểu thức P có nghĩa chỉ :
¿
√x >0
√x −1 ≥ 0
√2−√x ≠0
√x −1 −√2 ≠0
¿{ { {
(8)⇔ x>0 x ≥1 x ≠2 x ≠ 3 ⇔
¿x ≥ 1
x ≠2 x ≠ 3
¿{ { {
b/ Đkxđ : x ≥ 1; x ≠2 ; x ≠ 3
P=(
√x −√x −1−
x − 3 √x −1−√2)(
2
√2 −√x−
√x+√2
√2 x − x)
¿[ (√x+√x −1)
(√x −√x − 1)(√x +√x −1)−
( x −3)(√x −1+√2) (√x −1 −√2) (√x −1+√2)][
2
√2 −√x−
√x +√2
√x(√2−√x)]
¿[√x +√x − 1
x − ( x −1) −
( x −3 )(√x − 1+√2) ( x −1) −2 ]
2√x −√x −√2
√x(√2 −√x)
¿(√x+√x −1
x − x +1 −
( x − 3)(√x −1+√2)
x −3 )
−(√2 −√x)
√x(√2 −√x)
¿(√x+√x − 1−√x −1 −√2).−1
√x=
(√x −√2).(− 1)
√x =
√2 −√x √x
c/ Thay x=3 −2√2=(√2− 1)2 vào biểu thức P=√2−√x
√x , ta có:
P=√2−√(√2 −1)
√(√2 −1)2 =
√2 −|√2 −1| |√2−1| =
√2−√2+1
√2 −1 ¿
√2 −1=√2+1
* Nhận xét về phương pháp giải:
Theo thứ tự thực phép tính ta phải làm phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ khơng Tại vậy? Bởi quy đờng mẫu tính tốn phức tạp Ta trục thức mỗi mẫu, kết nhanh chóng
* Ví dụ 3: Cho biểu thức
A= 2 x x +3−
x+1
3 − x−
3 −11 x
x2− 9 với x ≠ ± 3 a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A <
c/ Tìm x nguyên để A nguyên
Giải:
(9)
A= 2 x x+3−
x +1
3 − x−
3 −11 x
x2− 9 =
2 x
x +3+ x +1 x −3−
3 −11 x ( x+3 )( x −3) 2 x (x −3)+( x +1) ( x+3 )− (3− 11 x )
( x+3 )( x −3) =
2 x2−6 x +x2+3 x +x +3 −3+11 x ( x+3 )( x −3)
3 x2+9 x ( x+3 )( x − 3)=
3 x ( x +3) ( x+3 )( x −3)=
3 x
x −3
b/ Ta có A= 3 x
x − 3 , A < tức
3 x
x −3<2⇔
3 x
x −3−2<0⇔
3 x − 2( x −3)
x − 3 <0 ⇔ x −2 x +6
x −3 <0⇔ x +6x −3<0 (∗)
Dễ thấy x + > x – Bất phương trình (*) có nghiệm
¿
x +6>0 x − 3<0
¿{
¿
⇔− 6<x<3 Vậy với −6< x<3 A <
c/ Ta có A= 3 x x − 3=3+
9
x −3∈ Ζ ⇔
9
x −3∈ Ζ ⇔ x −3 ∈U (9) Mà U (9)={±1 ;±3 ;± 9} nên ta có:
x – = - <= > x = ( tm đkxđ ) x – = < => x = ( tm đkxđ ) x – = - <= > x = ( tm đkxđ ) x – = < = > x = ( tm đkxđ ) x – = - <=> x = - ( tm đkxđ ) x – = <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 A nhận giá trị nguyên
* Ví dụ 4: Cho biểu thức
B=( 2 x+1
√x3− 1− √x x+√x +1).(
1+√x3
1+√x −√x) với x ≥ 0 x ≠ 1 a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ : x ≥ 0 x ≠ 1
a/ B=( 2 x+1
√x3− 1− √x x+√x +1).(
1+√x3
1+√x −√x)
¿2 x+1 −√x(√x −1)
(√x −1).(x +√x+1).[
(√x +1)(x −√x +1)
√x +1 −√x]
¿ 2 x+1 − x +√x
(√x − 1).(x +√x+1).(1 −2√x+x)
¿ x+√x +1
(√x −1).(x +√x +1).(√x −1)
2
=√x − 1
(10)Vậy với x = 16 B =
* Ví dụ 5: Cho biểu thức A=[(
√x+
1
√y)
2
√x +√y+
1
x+
1
y]:√
x3+y√x+x√y+√y3
√x3y+√xy3 với x > , y >
a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y > 0
a/ A=[(
√x+
1
√y)
2
√x +√y+
1
x+
1
y]:√
x3+y√x+x√y+√y3
√x3y+√xy3
¿(√x+√y
√xy
√x +√y+ x + y
xy ):
(√x +√y)(x −√xy+ y)+√xy(√x+√y)
√xy(√x +√y)
¿(
√xy+
x + y
xy ):
(√x +√y)(x + y ) √xy ( x + y )
¿(√x +√y)
2
xy
√xy
√x+√y=
√x+√y √xy
b/ Ta có (√√x −√√y)2≥0⇔√x +√y − 2√√xy ≥ 0
⇔√x+√y ≥ 2√√xy
Do đó A=√x+√y √xy ≥
2√√xy
√xy =
2√√16
√16 =1 ( xy = 16 )
Vậy A =
4 16
x y
x y
xy
*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2
(Đây dạng tốn có tính tổng hợp cao)
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… tốn chưa cho)
Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận.
Bước 4: Làm câu hỏi phụ theo yêu cầu toán
(11)+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện toán để nhận nghiệm, loại nghiệm kết luận.
II Bài tập:
Bài1: Cho biểu thức
2
2
1 :
3 27 3
x A
x
x x x
1) Rút gọn A
2) Tìm x để A < –1
Bµi 2: Cho biÓu thøc
x x x x x
A =
2 x x x
a) Rót gän biĨu thøc A;
b) Tìm giá trị x để A > -
Bµi 3: Cho biĨu thøc
x 10 x
B = : x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị x để A >
Bµi 4: Cho biĨu thøc
1
C =
x x x x x 1 a) Rót gän biĨu thøc C;
b) Tìm giá trị x để C <
Bµi 5: Rót gän biÓu thøc :
a)
2
2
x x x x
D =
x x x x
;
b)
x x x x
P = 1
x x
;
c)
1 x
Q = :
x x x x x x
;
d)
x x H =
x
(12)Bài 7: Cho biểu thức
2x x P =
x
vµ
3
x x 2x
Q =
x
a) Rót gän biĨu thøc P vµ Q;
b) Tìm giá trị x P = Q
Bài 8: Cho biểu thøc B=(1−x −3√x
x −9 ):(
9 − x
x +√x − 6− √x − 3
2 −√x− √x −2
√x +3) a) Rót gän biĨu thøc B
b) Tìm x để B >
c) Với x > ; x , Tìm giá trị lớn biểu thức B( x + 1)
Bµi 9: Cho biĨu thøc
3x 9x 1
P = :
x
x x x x
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm số tự nhiên x để
1
P số tự nhiên;
c) Tính giá trị P với x =
Bµi 10: Cho biĨu thøc :
x x x x
P = :
x x x x x
a) Rót gän biĨu thøc P;
b) Tìm x để
1 5
P 2 .
Bµi 11: Cho
2x x x 10
A
x x x x x x
víi x Chứng minh
rằng giá trị A không phụ thuộc vào biến số x
Bài 12: Cho biÓu thøc
M = ( √a+1 √ab+1+
√ab+√a √ab− 1 −1):(
√a+1 √ab+1−
√ab+√a √ab − 1 +1)
a) Rót gän M
(13)