Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a... nội tiếp được trong đường tròn tâm O..[r]
(1)CHƯƠNG 2
MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU
BÀI 1 MẶT NÓN
1/ Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng ( )P , cho đường thẳng d,D cắt tại Ovà chúng tạo thành góc b với
0
0 < <b 90 Khi quay mp P( ) xung quanh trục D với góc b không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay
đỉnh O (hình 1)
+ Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón
+ Đường thẳng D gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2b gọi là góc ở đỉnh
hình hình 2/ Hình nón tròn xoay
Cho DOIM vuông tạiI quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2)
+ Đường thẳngOI gọi là trục, Olà đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón
+ Hình tròn tâmI , bán kínhr =IMlà đáy của hình nón 3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáyrvà đường sinh là l thì có:
+ Diện tích xung quanh: Sxq =p .r l + Diện tích đáy (hình tròn):
2
.
day
S =pr
+ Diện tích toàn phần hình nón: Stp =Sxq+Sday
+ Thể tích khối nón:
2
1 . 1 .
3 3
non day
V = S h= pr h
4/ Tính chất:
* Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinhÞ Thiết diện là tam giác cân
+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón
* Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
(2)+ Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nónÞ giao tuyến là nhánh của hypebol
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nónÞ giao tuyến là đường parabol
Bài Một hình nón tròn xoay có đường cao h=20cm, bán kính đáy r =25cm a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho
b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó
c/ Một thiết diện qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là12 cm( ) Tính diện tích thiết diện đó
ĐS: a/ ( )
2
125 41
xq
S = p cm
b/ ( )
3
12500 3
non
V = p cm
c/ ( )
2
20.25 500
SAB
SD = = cm
Bài Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh là a Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâmOcủa hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuôngA B C D' ' ' '
ĐS: ( )
2 5
4
xq
a
S =p Ðvdt
( )
3
1 12
V = pa Ðvtt
Bài Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng a 2 a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh là S
b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng
c/ Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, cho mp SBC( )tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC
ĐS: a/ ( )
2 2
2
xq
a
S =p Ðvdt
;
( )
2 1 2
2
tp
a
S =p +
b/ ( )
3 2
12 a
V = p Ðvtt
c/ ( )
2 2
3
SBC
a
SD = Ðvdt
Bài Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS,Olà tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằnga 2và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600
a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên
b/ GọiI là một điểm đường cao SO của hình nón cho tỉ số
1 3 SI
SO = Tính diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón
ĐS: a/ ( )
2
xq
S =pa Ðvdt
; ( ) 3 2 tp a
S = p Ðvdt
.; ( )
3 6
12 a
V =p Ðvtt
b/ ( )
2
18
td
a
S = p Ðvdt
Bài Cho hình nón đỉnhSvới đáy là đường tròn tâmO, bán kínhR, chiều cao của hình nón bằng 2R GọiI là
một điểm nằm mặt phẳng đáy choIO =2R Giả sửAlà điểm nằm đường tròn (O R, ) cho OA ^OI
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo thành
b/ GọiM là một điểm di động SA IM, cắt mặt nón tại điểm thứ hai làN Chứng minh rằng N di động một đường thẳng cố định
c/ Chứng minh rằng hình chiếu K của O IM di động một đường tròn cố định qua trực tâm H của DSAI
ĐS:
2 5
xq
S =pR
;
3
2 3
R
V = p
Bài Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy R và chiều cao h Trong tất cả các mặt phẳng qua đỉnh của hình nón, hãy xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó
ĐS: Nếu ASB <· 900, maxSDSAM =hR Nếu ASB ³· 900, ( )
2
1 max
2
SAM
SD = h +R
(3)Bài Cho khối nón tròn xoay có đường cao h=avà bán kính đáy là 5
4 a r =
Một mặt phẳng( )P qua đỉnh
của khối nón và có khoảng cách đến tâm Ocủa đáy bằng 3
5 a
a/ Hãy xác định thiết diện củamp P( )đối với khối nón Tính diện tích khối thiết diện đó b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón
c/ Tính thể tích của khối nón tạo nên hình nón đó
Bài Trong không gian cho DOIM vuông tại I có IOM =· 300và cạnh IM =a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó
b/ Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón
Bài Một hình nón tròn xoay có chiều cao h=30cm và bán kính đáy bằng 20cm a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao Tính diện tích của thiết diện
b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
Bài 10 Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằnga a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng
c/ Một mặt phẳng qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc600 Tính diện tích của thiết diện được tạo nên
Bài 11 Hình nón có bán kính đáy bằng 2a, thiết diện qua trục là một tam giác đều a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón
b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện
Bài 12 Một hình nón có bán kính đáy bằng 2cm, góc ở đỉnh bằng 600 a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng
Bài 13 Một hình nón có đỉnh S, bán kính đáy r =10cm
a/ Tính diện tích thiết diện mp P( )cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc
b/ Gọi Glà trọng tâm của thiết diện và mặt phẳng( )a qua G , đồng thời vuông góc với trục của hình nón Tính diện tích của thiết diện mặt phẳng( )a cắt hình nón
Bài 14 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích bằng 12a2 a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng
c/ Mặt phẳng( )P qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài bằng 2 3a Tính góc tạo bởi mặt phẳng( )P và mặt phẳng đáy
Bài 15 Mặt nón tròn xoay có đỉnh là S,O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600
a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên
b/ GọiI là một điểm đường cao SO của hình nón cho tỉ số 2 SI
SO = Tính diện tích của thiết diện quaI và vuông góc với trục của hình nón
Bài 16 Cho hình chóp tam giác đềuS ABC. có cạnh bên bằnga, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng300 Hình nón đỉnhScó đường tròn đáy nội tiếp tam giác đềuABC (được gọi là hình nón nội tiếp hình chóp)
a/ Tính thể tích của hình chópS ABC.
b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên
Bài 17 Cho hình chóp đều S ABCD. có chiều cao
· ( 0)
, , 45 90
SO =h SAB =a < <a
(4)∆
A D
B C
l
r
r
Bài 18 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng2a a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên
b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là 2 a
Tính diện tích của thiết diện tạo thành đó
Bài 19 Đường sinh của hình nón bằng13a, chiều cao là12a Một đường thẳngdsong song với đáy của hình nón và cắt hình nón Khoảng cách từ đường thẳngdấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là 6avà2a Tính độ dài đoạn thẳngdnằm phần hình nón
Bài 20 Cho hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn tâm O Mặt phẳng ( )a qua đỉnh, cắt đáy theo một dây cung AB, cho AOB =· 600vàmp a( )hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc 300
a/ Tính góc ·ASB
b/ Cho diện tích của tam giác SAB bằng b Tính diện tích xung quanh của hình nón
Bài 21 Cho hình chóp tam giác đều S ABC. nội tiếp hình nón Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều S ABC. là V
Bài 22 Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia) Sao cho hai đỉnh cách một đoạn là a Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là 2avà của hình nón nhỏ là 2b.Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở hình nón lớn
Bài 23 Cho hình nón có đường caoSO =hvà bán kính đáy R GọiM là điểm đoạn OS, đặt OM =x (0 x< <h)
a/ Tính diện tích thiết diện( )G vuông góc với trục tạiM
b/ Tính thể tích của khối nón đỉnhOvà đáy( )G theoR h x, , Xác địnhxsao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất Bài 24 Cho hình nón tròn xoay đỉnhS Trong đáy của hình nón đó có hình vuôngABCD nội tiếp, cạnh bằng a
Biết rằng:
· 2 , 0( 450)
ASB = a < <a
Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón
BÀI 2 MẶT TRỤ
1/ Mặt trụ tròn xoay
Trongmp P( )cho hai đường thẳngDvàlsong song nhau, cách một khoảngr Khi quaymp P( )quanh trục cố địnhDthì đường thẳnglsinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ
+ Đường thẳng Dđược gọi là trục + Đường thẳnglđược gọi là đường sinh
+ Khoảng cáchrđược gọi là bán kính của mặt trụ
2/ Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhậtABCDxung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnhABthì đường gấp khúc
ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ
+ Đường thẳngAB được gọi là trục + Đoạn thẳngCDđược gọi là đường sinh
+ Độ dài đoạn thẳngAB =CD =hđược gọi là chiều cao của hình trụ
(5)3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq =2prh + Diện tích toàn phần của hình trụ:
2
2. 2 2
tp xq Ðay
S =S + S = prh+ pr
+ Thể tích khối trụ: V =B h. =pr h2
4/ Tính chất:
+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr) bởi một mp a( ) vuông góc với trục D thì ta được đường tròn có tâm D và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó
+ Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr) bởi một mp a( )không vuông góc với trục D cắt tất
cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2 sin
r
j , đó j là
góc giữa trục D và mp a( ) với00< <j 900
+ Chomp a( )song song với trụcDcủa mặt trụ tròn xoay và cáchDmột khoảngk
- Nếuk<rthìmp a( )cắt mặt trụ theo hai đường sinhÞ thiết diện là hình chữ nhật - Nếuk=rthìmp a( )tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh
- Nếuk>rthìmp a( )không cắt mặt trụ
Bài Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm( )và có bán kính đáy bằng 10 cm( ) Người ta kẻ hai bán kính đáy OA và O B' 'lần lượt nằm hai đáy, cho chúng hợp với một góc bằng300 Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB' và song song với trục của khối trụ đó
a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ
b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ
ĐS: a/ ( )
2
' ' 200 2 3
ABB A
S = - cm
b/ ( )
2
400
xq
S = p cm
; ( )
2 600
tp
S = p cm
( )
3
2000
V = p cm
Bài Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông
a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó
b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho
c/ GọiV là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ và V ' là thể tích khối trụ Hãy tính tỉ số ' V
V
ĐS: a/
2
2 4
xq
S = prl= pr
b/ ( )
3
4
V = r Ðvtt
c/
2 ' V
V =p
Bài Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh acó hai đỉnh liên tiếp A B, nằm đường tròn
đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc450 Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ
ĐS:
2 3 3 2
;
2 16
xq
a a
S =p V =
Bài Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằng S, khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?
ĐS: khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có 6
S R
p =
và 2. 6 S h
p =
(6)Bài Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn(O R, )và(O R', ) Biết rằng tồn tại dây cungABcủa đường tròn( )O choDO AB' đều vàmp O AB( ' )hợp với mặt phẳng chứa đường tròn( )O một góc 600 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ
ĐS:
2
6 7; 3 7
7 7
R R
S = p V = p
Bài Trong không gian cho hình vuôngABCD cạnh a GọiI H, lần lượt là trung điểm của các cạnhABvà CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trụcIH, ta được một hình trụ tròn xoay
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó
b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói
Bài Một khối trụ có bán kính đáy bằngRvà có thiết diện qua trục là một hình vuông a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ
b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp đường tròn đáy của hình trụ)
Bài Một hình trụ có bán kính đáy là 20 cm( ), chiều cao là 30 cm( ) a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng
c/ Cho hai điểmAvàBlần lượt nằm hai đường tròn đáy, cho góc giữa đường thẳngABvà trục của hình trụ bằng 600 Tính khoảng cách giữa đường thẳngABvà trục của hình trụ
Bài Một khối trụ có bán kính đáy bằng 10 cm( )và chiều cao bằng 10 cm( ) GọiA B, lần lượt là hai điểm hai đường tròn đáy, cho góc được tạo thành giữa đường thẳngABvà trục của khối trụ bằng 300
a/ Tính diện tích của thiết diện quaABvà song song với trục của khối trụ b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy quaAvà quaB
c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung củaAB và trục của khối trụ
Bài 10 Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', có bán kínhrvà có đường cao h=r 2 GọiAlà một điểm đường tròn tâm Ovà B là một điểm đường tròn tâm O'sao cho OA vuông góc với O B'
a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO'là những tam giác vuông Tính thể tích tứ diện này
b/ Gọi mp a( )đi quaAB và song song với OO' Tính khoảng cách giữa trục OO' và mp a( )
c/ Chứng minh rằng mp a( )tiếp xúc với mặt trụ trục OO'có bán kính bằng 2 2 r
dọc theo đường sinh
Bài 11 Một hình trụ có bán kính đáy bằng 30 cm( )và có chiều cao h=30( )cm a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên
b/ Một đoạn thẳng có chiều dài60 cm( )và có hai đầu mút nằm hai đường tròn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
Bài 12 Hình chóp tam giác đều S ABC. cóSA=SB =SC =avà góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằngb a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp
b/ Các mặt bên SAB SBC SCA, , cắt hình trụ theo những giao tuyến thế nào? Bài 13 Một hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4p
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên
b/ Mộtmp a( )song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABA B1 1 Biết một cạnh của
thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 1200 Tính diện tích của thiết diện này Bài 14 Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF A B C D E F ' ' ' ' ' ' có cạnh đáy bằng a, chiều cao h
(7)Bài 15 Cho hình lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình thang cân với đáy nhỏAB =a, đáy
lớn CD =4a, cạnh bên bằng 5
2 a
và chiều cao hình lăng trụ làh
a/ Chứng minh rằng có một hình trụ nội tiếp được hình lăng trụ đã cho b/ Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đó
Bài 16 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O'lấy điểm B cho AB =2a.Tính thể khối tứ diện OO AB'
Bài 17 Bên hình trụ tròn xoay có một hình vuôngABCDcạnhanội tiếp mà đỉnh liên tiếpA B, nằm đường tròn đáy thứ của hình trụ, đỉnh còn lại nằm đường tròn đáy thứ của hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 450.Tính diện tích và thể tích của hình trụ đó
BÀI 3
MẶT CẦU - MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
I Mặt cầu
1/ Định nghĩa: Tập hợp các điểmM không gian cách điểmOcố định một khoảngRgọi là mặt cầu tâmO,
bán kínhR, kí hiệu là: S O( ;R)hay{ /M OM =R}
2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
Cho mặt cầuS O( ;R)và một điểmAbất kì, đó:
+ Nếu OA=R Û A S OỴ ( ;R) Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OA và OB là hai bán kính cho OA = -OB
uuur uuur
thì đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu
+ Nếu OA<R Û A nằm mặt cầu + Nếu OA>R Û A nằm ngoài mặt cầu
Þ Khới cầu S O( ;R)là tập hợp tất cả các điểm M cho OM £ R.
3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S O( ;R) và một mp P( ) Gọi d là khoảng cách từ tâmOcủa mặt cầu đến mp P( ) và H là hình chiếu của O mp P( ) Þ d=OH
+ Nếu d<R Û mp P( ) cắt mặt cầu S O( ;R)theo giao tuyến là đường tròn nằm mp P( )có tâm là H và bán kính r =HM = R2- d2 = R2- OH2 (hình a)
+ Nếu d>R Û mp P( ) không cắt mặt cầu S O( ;R) (hình b)
+ Nếu d=R Û mp P( ) có một điểm chung nhất Lúc này, ta gọi mặt cầu S O( ;R) tiếp xúc ( )
mp P
Do đó, điều kiện cần và đủ để mp P( )tiếp xúc với mặt cầu S O( ;R) là d O mp P( , ( )) =R (hình c)
A A A
(8)Hình a Hình b Hình c
4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S O( ;R)và một đường thẳng D Gọi H là hình chiếu của O đường thẳng D và d=OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng D Khi đó:
+ Nếu d>R Û D không cắt mặt cầu S O( ;R)
+ Nếu d<R Û D cắt mặt cầu S O( ;R)tại hai điểm phân biệt
+ Nếu d=R Û D và mặt cầu tiếp xúc (tại một điểm nhất) Do đó: điều kiện cần và đủ để
đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu là d=d O( ,D =) R Định lí: Nếu điểmAnằm ngoài mặt cầuS O( ;R) thì:
+ QuaAcó vô số tiếp tuyến với mặt cầu S O( ;R)
+ Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng
+ Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm mặt cầu S O( ;R) II Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
1/ Các khái niệm bản
a/ Trục của đa giác đáy: là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy
Þ Bất kì mợt điểm nào nằm trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
b/ Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó
Þ Bất kì mợt điểm nào nằm đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
c/ Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vng góc với đoạn thẳng đó
Þ Bất kì một điểm nào nằm mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
a/ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp
b/ Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
+ Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương)
C ’
A B
D
D ’
B ’ I A ’
C
A
C ’ I
d
(9)Þ Tâm làI , là trung điểm củaAC'
+ Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương)
Þ Bán kính:
' 2 AC R =
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
Xét hình lăng trụ đứng
' ' ' ' 3 n 3 n
A A A A A A A A , đó có đáy
1 n
A A A A và ' ' ' ' 3 n
A A A A nội tiếp đường tròn( )O
và( )O' Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
+ Tâm: I vớiI là trung điểm củaOO'
+ Bán kính:
'
1 n
R=IA =IA = =IA .
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh còn lại dưới góc vuông.
* Hình chóp S ABC. có SAC· =SBC· =900 + Tâm: I là trung điểm củaSC
+ Bán kính: 2 SC
R = =IA =IB =IC
* Hình chóp S ABCD. có SAC· =SBC· =SDC· =900 + Tâm: I là trung điểm củaSC
+ Bán kính: 2 SC
R = =IA =IB =IC =ID
d/ Hình chóp đều
Cho hình chóp đềuS ABC.
+ Gọi Olà tâm của đáyÞ SOlà trục của đáy + Trong mặt phẳng xác định bởiSOvà một cạnh bên,
chẳng hạn mp SAO( ), ta vẽ đường trung trực của cạnhSA là D cắt SA tại M và cắt SO tại I Þ I là tâm của mặt cầu
+ Bán kính:
Ta có:
SM SI
SMI SOA
SO SA
D : D Þ =
Bán kính là:
2
.
2
SM SA SA
R IS IA IB IC
SO SO
= = = = = = =
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp S ABC. có cạnh bênSA ^đáy(ABC )và đáyABC nội tiếp được đường tròn tâmO Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC. được xác định sau:
+ Từ tâmOngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳngdvuông góc vớimp ABC( )tạiO + Trong mp d SA( , ), ta dựng đường trung trực Dcủa cạnhSA, cắtSAtạiM , cắt dtại I
I
Þ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kínhR =IA =IB =IC =IS =
+ Tìm bán kính:
Ta có: MIOBlà hình chữ nhật
C ’ D ’ O O ’ I A 1 A
2 A3 A n A ’ 1 A ’ A ’ 3 A ’ n S A I C B S A
B CD
I S A B C D O I ∆ M A S
M I ∆
(10)XétDMAI vuông tạiM có:
2
2 2
2 SA R =AI = MI +MA = AO +ỗ ữổ ửỗỗ ữữ
ữ ỗố ứ .
f/ ng tron ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán
Tóm lại : Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bất kỳ. + Dựng trụcD của đáy
+ Dựng mặt phẳng trung trực( )a của một cạnh bên bất kì + ( )a ầ D = ịI I la tõm mt cầu ngoại tiếp hình chóp + Bán kính: khoảng cách từI đến các đỉnh của hình chóp
4/ Diện tích và thể tích mặt cầu
+ Diện tích mặt cầu:
2
4
C
S = pR
+ Thể tích mặt cầu:
3
4 3
C
V = pR
Bài Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 450 a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC. Tính thể tích khối cầu này
b/ Gọi G là trọng tâm của DSBC Tính khoảng cách từ G đến mp SAB( ) c/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng SC và AB
Bài Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a, và O là tâm của đáy Mặt bên hợp với mặt đáy góc 300
a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.
b/ Gọi G là trọng tâm của DACD Tính khoảng cách từ G đến mp SAB( ) c/ Tính thể tích khối chóp SGBC.
d/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng AG và SC
B
∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền
O
Hình vuông: O là giao
điểm đường chéo
O
Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo
O O
∆ đều: O là giao điểm của đường trung tuyến (trọng
tâm)
∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh
∆
(11)Bài Cho hình chópS ABC. có đáyABC là tam giác vuông tại A, choAB =a AC, =a 3, mặt bên SBC là tam giác đều và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy
a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC.
b/ Tính khoảng cách từB đến mp SAC( )
c/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CB và SA
Bài Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,AB =a BC; =a 3 Cạnh bên
( )
SA^ ABC
Mặt bên (SBC)hợp với mặt đáy góc 450 a/ Tìm diện tích và thể tích khối cầu qua các điểm S A B C, , ,
b/ Trên cạnh SB lấy điểm I cho
1 4 AI
MI = Tính khoảng cách từ I đến mp SAC( ).
Bài Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD)
a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC. b/ Tính thể tích khối chópS ABCD.
c/ Tính góc giữa đường thẳng SA và CD
d/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD
Bài Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vuông tâm O cạnh a, các mặt(SAC)và(SBD)cùng vuông góc với mặt đáy(ABCD), mặt bên(SCD)tạo với đáy một góc 450
a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC.
b/ Gọi G là trọng tâm VSAB Tính khoảng cách của điểm G đến mp SAD( ) c/ Tính khoảng cách đường thẳng SA và BC
Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có cạnh BC =a 2 và biết A B' =3a
a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' b Tính thể tích khối chóp A BCB C. ' '
c Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và A C'
d Gọi I là giao điểm của AC' và A C' Tính khoảng cách từ I đến mp BCC B( ' ')
Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' 'có đáy là tứ giác đều cạnh a và biết rằngBD'=a 6 a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' '
b Mặt phẳng (ACD') chia khối lăng trụ thành phần Tính thể tích của khối đa diện đó
Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có đường chéo A C' =a Biết rằng A C' hợp với
( )
mp ABCD
một góc 300 và hợp với mp ABB A( ' ') một góc 450 a/ Tính thể tích khối hộp chữ nhật
b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' '
Bài 10 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vuông tâm O, cạnh a SA, ^(ABCD) Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 300
a/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. b/ Tính thể tích khối chóp SOCD.
c/ Tính khoảng cách từ O đến mp SBC( )
d/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng SB và AC
Bài 11 Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a
(12)b/ Tính khoảng cách từ tâm của đáy ABC đến mp SAB( ) c/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng SC và AB
Bài 12 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng 3a và O là tâm của đáy a/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chópS ABCD.
b/ Gọi M là trung điểm CD Tính khoảng cách từ M đến mp SBC( ) c/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng MO và SC
Bài 13 Cho hình chópS ABC. có đáyABC là tam giác vuông tại C SA, ^(ABC) Biết rằng: AB =a 3, ,
BC =a SB tạo với mp ABC( )một góc 600
a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC. Tính diện tích mặt cầu này
b/ Tính khoảng cách từ C đến mp SAB( )
c/ Trên cạnh AB lấy điểm M cho
1 3 AM
MB = Tính khoảng cách từ M đến mp SBC( ) d/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng AC và SB
Bài 14 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng a a/ Tính thể tích của khối chóp S ABC.
b/ Tính diện tích và thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.
c/ Gọi G là trọng tâm của DSAC Tính khoảng cách từ G đến mp SCD( )
Bài 15 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật và SA ^(ABCD SA), =a AC, =a 2 a/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích và thể tích của mặt cầu đó
b/ Tính thể tích của khối chóp SOBC.
c/ Gọi G là trọng tâm của DABC Tính khoảng cách từ G đến mp SAD( ) d/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng AG và SC
Bài 16 Cho hình chóp S ABCD. có ABCD là nửa lục giác đều và SA ^(ABCD) a/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b/ GọiH K L, , là chân đường cao vẽ từAcủa các tam giác: DSAB,DSAC,DSAD Chứng minh rằng các điểmA B C D H K L, , , , , , nằm một mặt cầu
Bài 17 Cho hình chópS ABC. có
· ( )
, 120 , , 2
AB =AC =a BAC = SA^ ABC SA= a
a/ Tính thể tích của khối chóp S ABC.
b/ Tìm diện tích và thể tích khối cầu qua các điểmS A B C, , ,
c/ Gọi G là trọng tâm của DSAB Tính khoảng cách từ G đến mp SBC( )
Bài 18 Cho hình chópS ABC. cómp SBC( ) ^mp ABC( ) và SC =b SA, =SB =AB =AC =a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho Tìm diện tích và thể tích của nó
Bài 19 Cho hình chópS ABCD. cóABCDlà hình vuông cạnhavà DSABlà tam giác đều Mặt phẳng (SAB) (^ ABCD)
a/ Tính thể tích của hình chópS ABCD.
b/ Tìm góc giữa haimp SAB mp SCD( ), ( )
c/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho Tìm diện tích và thể tích khối cầu đó
Bài 20 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'đáy là tam giác vuông tạiA AC, =a ACB,· =avàBC 'hợp với mặt
phẳng(ACC A' ')một gócb a/ Tính thể tích lăng trụ đã cho
(13)Bài 21 Cho lăng trụ tam giác đềuABC A B C ' ' 'có cạnh đáy bằnga, bán kính đường tròn ngoại tiếp một mặt bên là a
a/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho
b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Tính diện tích và thể tích khối cầu đó
Bài 22 Ba đoạn thẳng SA SB SC, , đôi một vuông góc với tạo thành một tứ diện SABC, SA=a, ,
SB =b SC =c
a/ Tính thể tích khối SABC,
b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó
Bài 23 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' 'có cạnh đều bằng và bằng a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp đó và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp đó
Bài 24 Cho hình chópS ABC. là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằngavà cạnh bên bằnga 2 Một mặt cầu qua đỉnhAvà tiếp xúc với hai cạnh SB SC, tại trung điểm của mỗi cạnh
a/ Chứng minh mặt cầu đó qua trung điểm củaAB AC,
b/ Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳngSAlàD Tính độ dài đoạn thẳngAC SD,
Bài 25 Hình chópS ABCD. cóSA=alà chiều cao của hình chóp và đáyABCDlà hình thang vuông tạiA B, có
, 2
AB =BC =a AD = a Gọi E là trung điểm củaAD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópSCDE Tìm diện tích và thể tích mặt cầu đó
Bài 26 Cho tam giác vuông cânABCcó cạnh huyềnAB =2a Trên đường thẳngdđi quaAvà vuông góc với
mặt phẳng(ABC)lấy một điểmSkhácAta được tứ diệnSABC a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABC
b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnSABC trường hợp mp SBC( )tạo vớimp ABC( ) một góc
0
30
Bài 27 Cho hình chópS ABC. cóDABC đều cạnhavàmp SBC( ) ^mp ABC( ), SC =SB =a 2 a/ Tính góc giữa mp SAB mp SAC( ), ( ) và khoảng cách từB đếnmp SAC( )
b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đã cho
c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC. Tính diện tích và thể tích khối cầu này
Bài 28 Cho hình chópS ABCD. cóABCDlà hình chữ nhật, AB =a AD, =2a Hai mặt bên(SAD SAB) (, ) cùng vuông góc vớimp ABCD SA( ), =a GọiOlà tâm của hình chữ nhật
a/ Tính thể tích hình chópO SCD.
b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABCD. Tính diện tích và thể tích khối cầu đó Bài 29 Cho hình chóp S ABCD. có ABCDlà hình thang vuông, đáy lớn AD =2a, đường cao
,
AB =a BC =a,SA^(ABCD SA), =a.
a/ Tính thể diện tích toàn phần và thể tích hình chóp
b/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnS ABD.