TÍNH số đo góc

TÍNH SỐ ĐO GĨC Dễ dàng tính số đo góc tam giác đều, tam giác vng cân, tính góc tam giác cân biết góc nó, tính góc tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền Nhưng gặp nhiều tốn tính số đo góc phức tạp nhiều, điều địi hỏi sáng tạo Khi giải tốn tính số đo góc, cần ý: Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hướng chứng minh Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vng cân, tam giác cân, hình vẽ Ví dụ 28(18) Tính góc tam giác ABC biết đường cao AH đường trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Giải (h 26): Vẽ MK  AC KAM  HAM (cạnh huyền - góc nhọn) nên MK  MH Do MK  MB MC MC  MK  �  30� � � 2 MKC vng có nên C Suy HAC  60� , BAC  90�, �  60� B Chú ý đến liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, Ví dụ 29(8) � Tam giác ABC có A  60� Các tia phân giác góc B , C cắt cạnh đối diện theo thứ tự D , E cắt I Tính góc tam giác DIE Giải :Vẽ tia phân giác góc I BIC cắt BC K , xuất hai cặp tam giác (xem ví dụ 8) Ví dụ 30*(9) � � Tam giác ABC có B  45� , C  120� Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD  2CB Tính � ADB Giải (h.27): � � Ta có ACD  60�, vẽ thêm DH  AC CDH  30�, CH  CD , suy CH  CB � Ở hình vẽ xuất tam giác cân CBH BHD CBH  30�, � �  15� ABH  45�– 30� 15� Ta có BAH nên AHB cân Từ AHD tam giác vng cân � Vậy ADB  45� 30� 75� Ví dụ 31(9) Lấy lại ví dụ 27 Hướng giải : Vẽ EBC làm xuất ECA  DAC (c.g.c) Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc Xem ví dụ 24 Một ví dụ khác: Ví dụ 32 (9) Tính góc tam giác ABC cân A biết cạnh AB có điểm D cho AD  DC  CB Giải (h.28) � � � � Đặt A  x ACD  x , CDB  x , B  x �C �  180� ABC có � A B nên x  x  x  180�tức x  180� � � � Vậy x  36� ABC có A  36�, B  C  72� Xét trường hợp số đo góc: xảy (ví dụ góc nhọn, góc ) Ví dụ 33(18) � Cho tam giác ABC , trực tâm H , AH  BC Tính BAC Nhận xét : Bài tốn khó vẽ xác góc A ABC có giá trị xác định mà ta lại chưa biết Trong tốn có liên quan đến trực tâm tam giác, ta thường xét trường hợp trực tâm nằm trong, nằm ngoài, trùng với đỉnh tam giác Do ta phải � � � xét trường hợp A  90�hoặc A  90�(còn trường hợp A  90�khơng xảy H trùng A , không thoả mãn AH  BC ) Giải: � a) Xét trường hợp A  90�(h.29) �  45� AHE  BCE (cạnh huyền - góc nhọn) suy AE  BE Do BAE � b) Xét trường hợp A  90� � Đổi chỗ A H hình 29a cho nhau, ta hình 30 Ta có BHC  45�nên �  135� BAC � c) Xét trường hợp A  90�, Khi H trùng A , không thoả mãn AH  BC , loại Như góc BAC 45�hoặc 135� Bài tập � � 130*(16) Tam giác ABC có B  60�, C  30� Lấy điểm D cạnh AC , điểm E cạnh ABD  20�, � ACE  10� AB cho � Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE � � � 131*(16) Cho tam giác ABC ( A  90�, B , C  90�), kẻ AH vng góc với BC Vẽ điểm D E cho AB đường trung trực HD , AC đường trung trực HE Gọi I AIC , � K thứ tự giao điểm DE với AB AC Tính � AKB � 132*(16) Tam giác ABC có AH vng góc với BC , đường phân giác BD , AHD  45� Tính � ADB 133*(17) Tam giác ABC có K giao điểm đường phân giác, O giao điểm đường trung trực, BC đường trung trực OK Tính góc tam giác ABC � � � 134(9) Cho tam giác ABC có B  60�, C  45� Trong góc ABC vẽ tia Bx cho CBx  15� � Đường vng góc với AB A cắt Bx I Tính ICB � � 135(16) Cho tam giác ABC có B  75�, C  45� Trên cạnh BC lấy điểm D cho �  45� � BAD Đường vng góc với DC C cắt tia phân giác góc ADC E Tính CBE 136*(18) Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABE , ACF Gọi I trung điểm BC , H trực tâm tam giác ABE Tính góc tam giác FIH � 137 (9) Tam giác ABC cân A có A  20� Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC , vẽ � � tia Cx cho ACx  60�, tia lấy điểm D cho CD  CB Tính ADC 138(9) Giải ví dụ 27 cách khác 139*(9) Cho tam giác ABC vuông cân A , điểm E nằm tam giác cho EAC cân E có góc đáy 15� Tính � AEB � 140*(9) Tam giác ABC vng A có B  75� Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho � BH  AC Tính BHC � 141*(9) Cho tam giác ABC cân A có A  100� Trên tia AC lấy điểm D cho AD  BC � Tính ABD � � 142*(9) Tam giác ABC cân có A  100�, điểm M nằm tam giác cho MBC  10� , �  20� � MCB Tính AMB � � 143*(9) Tam giác ABC cân có A  108�, điểm M nằm tam giác cho MBC  12� , �  18� � MCB , Tính AMB � � 144*(9) Tam giác ABC cân có A  100�, điểm M nằm tam giác cho MBC  30�, �  20� � MCB Tính MAC Hướng dẫn: Vẽ điểm K cho BC đường trung trực MK , sau chứng minh AK  AB phản chứng � � � 145*(9) Tam giác ABC cân có B  C  50� Trên cạnh BC lấy điểm D cho CAD  30� � Trên cạnh AC lấy điểm E cho ABE  30� Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh tam giác IDE tam giác cân, tính góc tam giác 146*(10) Điểm M nằm bên tam giác ABC vuông cân B cho MA : MB : MC  1: : Tính � AMB 147*(10) Điểm M nằm bên tam giác ABC cho MA : MB : MC  : : Tính � AMB � 148** (9) Cho tam giác ABC cân A có A  20� Các điểm M , N theo thứ tự thuộc � � � cạnh bên AB , AC cho BCM  50�, CBN  60� Tính MNA TÍNH SỐ ĐO GĨC � � � � 130.(h108) Ta thấy KBC  KBE , KCB  KCD Do vẽ I giao điểm tia phân giác � � � KBC KBI  20 , KCI  10 � � � � Ta có BKC  120�và KI phân giác góc BKC nên BKI  CKI  60� ,30� ,30� Sau chứng minh KE  KD KI Đáp số: 120� � 131 Trường hợp A  90�(h.109) IB, KC tia phân giác góc ngồi HIK nên HA tia � phân giác góc Do AHC  90�nên HC tia phân giác góc ngồi đỉnh H Các tia phân � giác góc ngồi đỉnh H K HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB  IC Chứng minh tương tự, BK  KC � Trường hợp A  90�(h.110) HIK có IB, KC tia phân giác góc trong, IC , KB tia � � phân giác góc ngồi Ta có AIC  AKB  90� Chú ý: � Trong trường hợp B  90 , HIK có IB KB tia phân giác góc trong, IC KC tia phân giác góc ngồi � Trong trường hợp C  90�, HIK có IB KB tia phân giác góc ngồi, IC KC tia phân giác góc � � Trong trường hợp này, ta có AIC  AKB  90� � 132 (h.111) Để vẽ hình xác, ta vẽ BHD có BHD  135� , vẽ điểm A , sau vẽ điểm C Xét ABH ta có: � � �  90� HAx ABH  90� B � � Ta lại có HAx  A2 Do Mặt khác, xét  ABD ta có �  90�� � �  45� 2� A2  B A2  B  1 � �2  D �1 A2  B  2 � Từ (1) (2) suy D1  45� � � 133 (h.112) O giao điểm đường trung trực ABC nên OB  OC , B1  C1 � � � � BC đường trung trực OK nên BO  BK , CO  CK , B1  B , C  C �2  B �3 , C �2  C �3 B K giao điểm đường phân giác nên � � � � � � Đặt B1  B  B  C  C  C   � � � � Ta lại có OA  OB nên OBA  OAB, OA  OC nên OCA  OAC , �  OBA �  OCA �  3  3  6 BAC � � � Xét ABC ta có A  ABC  ACB  180�nên 6  2  2  180�, suy   18� Vậy �C �  36� B ,� A  108� � 134 (h.113) Chú ý ABC  60�nên BC lấy BK  BA ABK đều, AK  AB Cịn ABI vng cân nên AI  AB Vậy IAC  KAC (c.g.c) suy �  KCA �  45� ICA Do ICB  90� 135 (h.114) CDE có CE tia phân giác góc C , DA tia phân giác góc ngồi o � D nên EA tia phân giác góc ngồi E Do E1  30 nên �   180o  30o :  75o DEA ADB  ADE  g c.g  � DB  DE o Tam giác BDE cân có góc đỉnh 120 nên o �  30o � DBE Vậy CBE  30 136 (h.115) Từ hình vẽ, ta dự đốn FIH nửa tam giác đều, tia đối tia IH , ta lấy điểm K cho IK  IH o o � � Gọi BAC   HAF  90   , (nếu  �90 ),   �  360o  ICK � � KCF ACB  � ACF , o � � � Từ ta KCF  90   Do HAF  KCF o Trường hợp   90 chứng minh tương tự Như � , AHF  CKF  c.g c  � FH  FK , � AFH  CFK 90o,60o,30o tam giác Các góc FIH 137 (h.116) Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa AC , Hình 115 o � HFA  60 HFK o � vẽ tia Cy cho ACy  60 , tia cắt AB E o � CBE có B  80 , � � �  60o  20o  80o CEB ACE  CAE Nên tam giác cân, suy  CB  CE.  Do ACD  ACE  c.g c  o � � Vậy ADC  AEC  100 Hình 116 o � ABC  h.117  138 Cách Vẽ tam giác ADE nằm ngồi CAE  80 Do �  BAC �  20o CAE  ABC  c.g.c  � CE  CA, ACE Ta có �  10o ACD  ECD  c.c.c  � � ACD  ECD Cách 2: Vẽ tam giác ACK nằm ABC (h.117) Chứng minh DKC cân có đáy �  70� � DC , góc đỉnh 40�, dó KCD , ACD  10� Cách Vẽ tam giác AFB ( F C phía AB , h.118) � � Tính AFC , chứng minh ACD  BFC � � � 139 (h.119) BAE  75�, EAC  ECA  15� Ta thấy 75� 15� 60�là góc tam giác Do giải cách sau: Cách Vẽ tam giác ACD phía AEC AEB  � AED AEB  AED (c.g.c) suy � � Ta tính AED Do DA  DC , EA  EC nên DE đường trung trực AC � AEC � AED   75� Do Cách Vẽ AEK phía ngồi AEC chứng minh AKB  AEC (c.g.c), BKE  BKA (c.g.c) Cách Trong ABC vẽ AKB  AEC chứng minh AEK Cách Vẽ CEH phía ngồi AEC chứng minh ABH 140 (h.120) Chú ý 75� 15� 60�là góc tam giác Ta vẽ BEC ( E H � Do EBK  BCA (c.g.c) phía BC) Gọi K trung điểm BH EBK  15� � suy K  90� 0 � � Ta có BEH cân, BEH  150 nên CEH  150 , BEH  CEH (c.g.c) Suy �  CHE � � BEH Vậy BHC  30 142 (h.121) Chú ý CME  CMB (c.g c) CM tia phân giác góc C nên tia CA lấy CE  CB � � ME  MB BME  60 Do EBM đều, BM  BE Ta tính � ABE  � ABM  300 , ABM  ABE (c.g c ) , � � AMB  AEB  70 143 (h 123) Trên tia CA lấy điểm E cho CE  CB Ta có CME  CMB (c.g c) � � ME  MB BME  60 Do EBM đều, suy BE  BM (1) 0 � � CEB cân C có C  36 nên CEB  72 � Ta tính BAE  72 nên ABE cân, suy AB  BE (2) Từ (1) (2) suy BA  BM Từ � AMB  780 144 (h.124) Vẽ điểm K cho BC đường trung trực MK � ,� ACK  60� Đặt AB  AC  a Ta Ta tính ABK  70� � tính BKC 130 (1) Nếu AK  a thì: � � � - Xét AKB có ABK  AKB tức 70� AKB � � � - Xét AKC có ACK  AKC tức 60� AKC � Suy 130� BKC , trái với (1) � Tương tự, AK  a 130� BKC , trái với (1) Vậy AK  a Do ACK Từ MC  KC  AC � � Tam giác ACM cân C , ACM  20�nên MAC  80� � �  50� , DAB 145 (h.125) ABD cân D (vì DBA  50� ) � Ta lại có ABI  30� Áp dụng kết � 51, lấy K BI cho BAK  10�, ta chứng minh AK  AD (1) � �  70� , EAK Ta tính AEB  70� nên AKE cân, AK  EK (2) Từ (1) (2): AD  EK � � ∆IAK cân (vì IKA = 400, IAK = 400) nên IA  IK � Từ ID  IE Ta tính được: DIE  100 , 146 (h.126) Vẽ MBK vuông cân B (K A nằm phía BM) Đặt A MA  a; MB  2a; MC  3a ∆ABK = ∆CBK (c.g.c) suy AK  CM  3a M Xét ∆ MBK vuông cân B: MK  MB2  BK   2a   2a c  8a2 � K B Xét AMK ta có: H 126 MA2  MK  a2  8a2  � 9a2  MK � Nên AMK  90 (định lý Py- ta- go đảo) � Vậy AMB  135 147 (h.127) Vẽ tam giác MBK (K A nằm phía BM) Đặt MA  3a, MB  4a, MC  5a Hãy chứng minh ABK  CBM để suy A K KA  MC  5a Từ tính � AMK  900 M � Đáp số: AMB  150 C B h 157 � 148 (h.128) Lấy D cạnh AB cho AD  AN DN / / BC , AND  80 Ta cần tính � DNM Gọi I giao điểm CD BN tam giác BIC, DIN tam giác Ta chứng minh MN tia phân giác góc DNI cách chứng minh ∆ MDN  MIN � Ta có MDI  40 (1) � Cần tính MID Chú ý ∆ BCM có hai góc Nên BC = BM, BI = BM Ta có ∆ BIM cân có góc 0 � � đỉnh 200 nên BIM  80 , suy MID  40 0 � Dễ dàng chứng minh MNA  30  80  110 ... 36�, B  C  72� Xét trường hợp số đo góc: xảy (ví dụ góc nhọn, góc ) Ví dụ 33(18) � Cho tam giác ABC , trực tâm H , AH  BC Tính BAC Nhận xét : Bài tốn khó vẽ xác góc A ABC có giá trị xác định...  60� Tính MNA TÍNH SỐ ĐO GĨC � � � � 130.(h108) Ta thấy KBC  KBE , KCB  KCD Do vẽ I giao điểm tia phân giác � � � KBC KBI  20 , KCI  10 � � � � Ta có BKC  120�và KI phân giác góc BKC... KD KI Đáp số: 120� � 131 Trường hợp A  90�(h.109) IB, KC tia phân giác góc ngồi HIK nên HA tia � phân giác góc Do AHC  90�nên HC tia phân giác góc ngồi đỉnh H Các tia phân � giác góc ngồi