TÍNH số đo góc

TÍNH SỐ ĐO GĨC Dễ dàng tính số đo góc tam giác đều, tam giác vng cân, tính góc tam giác cân biết góc nó, tính góc tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền Nhưng gặp nhiều tốn tính số đo góc phức tạp nhiều, điều địi hỏi sáng tạo Khi giải tốn tính số đo góc, cần ý: Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hướng chứng minh Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vng cân, tam giác cân, hình vẽ Ví dụ 28(18) ABC AH AM Tính góc tam giác biết đường cao đường trung tuyến A chia góc thành ba góc Giải (h 26): Vẽ MK ⊥ AC MK = ∆KAM = ∆HAM (cạnh huyền - góc nhọn) nên MK = MH Do MB MC MC = MK = µ = 30° · · C HAC = 60° BAC = 90° 2 ∆MKC vng có nên Suy , , µ = 60° B Chú ý đến liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, Ví dụ 29(8) µA = 60° ABC Tam giác có Các tia phân giác góc D E I DIE thứ tự , cắt Tính góc tam giác Giải :Vẽ tia phân giác góc (xem ví dụ 8) I ∆BIC BC cắt K B C , cắt cạnh đối diện theo , xuất hai cặp tam giác Ví dụ 30*(9) Tam giác CD = 2CB Tính ABC ·ADB µ = 45° C µ = 120° B CB D có , Trên tia đối tia lấy điểm cho Giải (h.27): Ta có CH = CB ·ACD = 60° , vẽ thêm DH ⊥ AC Ở hình vẽ xuất tam giác cân CBH · CDH = 30° CH = CD , , suy BHD · CBH = 30° , ·ABH = 45° – 30° = 15° Ta có · BAH = 15° nên ∆AHB cân Từ ∆AHD tam giác vuông cân Vậy ·ADB = 45° + 30° = 75° Ví dụ 31(9) Lấy lại ví dụ 27 Hướng giải : Vẽ ∆EBC làm xuất ∆ECA = ∆DAC (c.g.c) Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc Xem ví dụ 24 Một ví dụ khác: Ví dụ 32 (9) Tính góc tam giác AD = DC = CB ABC cân A biết cạnh Giải (h.28) Đặt ABC có µA = x ·ACD = x µA + B µ +C µ = 180° Vậy nên · µ = 2x CDB = 2x B , , x + x + x = 180° tức µA = 36° B µ =C µ = 72° x = 36° ∆ABC có , x = 180° AB có điểm D cho Xét trường hợp số đo góc: xảy (ví dụ góc nhọn, góc ) Ví dụ 33(18) Cho tam giác ABC · BAC H AH = BC , trực tâm , Tính ∆ABC A Nhận xét : Bài tốn khó vẽ xác góc có giá trị xác định mà ta lại chưa biết Trong tốn có liên quan đến trực tâm tam giác, ta thường xét trường hợp trực tâm nằm trong, nằm ngoài, trùng với đỉnh tam giác Do ta phải µA < 90° µA > 90° µA = 90° H xét trường hợp (cịn trường hợp khơng xảy AH = BC A trùng , không thoả mãn ) Giải: a) Xét trường hợp ∆AHE = ∆BCE Đổi chỗ · BAC = 135° (h.29) (cạnh huyền - góc nhọn) suy b) Xét trường hợp A µA < 90° H µA > 90° AE = BE Do · BAE = 45° hình 29a cho nhau, ta hình 30 Ta có · BHC = 45° nên c) Xét trường hợp µA = 90° , Khi H trùng A , không thoả mãn AH = BC , loại Như góc BAC 45° 135° Bài tập µ = 60° C µ = 30° B AC D E 130*(16) Tam giác có , Lấy điểm cạnh , điểm cạnh ·ABD = 20° ·ACE = 10° CE AB K BD cho , Gọi giao điểm Tính góc KDE tam giác ABC µA = 90° B µ < 90° µ C BC AH 131*(16) Cho tam giác ( , , ), kẻ vng góc với Vẽ điểm D E AB HD AC HE I cho đường trung trực , đường trung trực Gọi ·AIC ·AKB AC K DE AB thứ tự giao điểm với Tính , ABC 132*(16) Tam giác ·ADB ABC có AH vng góc với BC , đường phân giác BD ·AHD = 45° , Tính ABC O K 133*(17) Tam giác có giao điểm đường phân giác, giao điểm đường BC OK ABC trung trực, đường trung trực Tính góc tam giác µ = 60° C µ = 45° · B ABC Bx CBx = 15° 134(9) Cho tam giác có , Trong góc vẽ tia cho · Bx I ICB AB A Đường vng góc với cắt Tính ABC ABC µ = 75° C µ = 45° B BC D có , Trên cạnh lấy điểm cho 135(16) Cho tam giác · · BAD = 45° DC C ADC CBE E Đường vuông góc với cắt tia phân giác góc Tính ABC ABE ACF 136*(18) Cho tam giác Vẽ phía ngồi tam giác tam giác , Gọi BC H I ABE FIH trung điểm , trực tâm tam giác Tính góc tam giác 137 (9) Tam giác ABC cân A có µA = 20° Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC , vẽ tia Cx cho ·ACx = 60° D , tia lấy điểm cho CD = CB Tính ·ADC 138(9) Giải ví dụ 27 cách khác 139*(9) Cho tam giác ABC vng cân ·AEB 15° E có góc đáy Tính 140*(9) Tam giác BH = AC Tính ABC · BHC 141*(9) Cho tam giác ·ABD Tính vng A có A E , điểm µ = 75° B nằm tam giác cho Trên tia đối tia AB ∆EAC lấy điểm H cân cho ABC cân A có µA = 100° Trên tia AC lấy điểm D cho AD = BC µA = 100° · ABC MBC = 10° M 142*(9) Tam giác cân có , điểm nằm tam giác cho , · ·AMB MCB = 20° Tính ABC µA = 108° ABC µA = 100° 143*(9) Tam giác cân có · ·AMB MCB = 18° , Tính 144*(9) Tam giác cân có · · MCB = 20° MAC Tính , điểm , điểm M M nằm tam giác cho nằm tam giác cho · MBC = 12° · MBC = 30° , , BC K MK Hướng dẫn: Vẽ điểm cho đường trung trực , sau chứng minh AK = AB phản chứng 145*(9) Tam giác Trên cạnh AC ABC lấy điểm cân có E µ =C µ = 50° B cho Trên cạnh ·ABE = 30° Gọi I BC lấy điểm D giao điểm cho AD · CAD = 30° BE Chứng minh tam giác 146*(10) Điểm IDE tam giác cân, tính góc tam giác M nằm bên tam giác ·AMB MA : MB : MC = 1: : Tính 147*(10) Điểm ·AMB M ABC nằm bên tam giác vuông cân ABC cho B cho MA : MB : MC = : : Tính µA = 20° M N có Các điểm , theo thứ tự thuộc · · · BCM = 50° CBN = 60° MNA AB AC cạnh bên , cho , Tính 148** (9) Cho tam giác ABC cân A TÍNH SỐ ĐO GĨC · · · · 130.(h108) Ta thấy KBC = KBE , KCB = KCD Do vẽ I giao điểm tia phân giác · · · KBC KBI = 20 , KCI = 10 · · · · Ta có BKC = 120° KI phân giác góc BKC nên BKI = CKI = 60° Sau chứng minh KE = KD KI Đáp số: 120°,30°,30° µ 131 Trường hợp A < 90° (h.109) IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆HIK nên HA tia · phân giác góc Do AHC = 90° nên HC tia phân giác góc ngồi đỉnh H Các tia phân · giác góc ngồi đỉnh H K ∆HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB ⊥ IC BK ⊥ KC Chứng minh tương tự, µ Trường hợp A > 90° (h.110) ∆HIK có IB, KC tia phân giác góc trong, IC , KB tia · · phân giác góc ngồi Ta có AIC = AKB = 90° Chú ý: µ Trong trường hợp B > 90 , ∆HIK có IB KB tia phân giác góc trong, IC KC tia phân giác góc ngồi µ Trong trường hợp C > 90° , ∆HIK có IB KB tia phân giác góc ngồi, IC KC tia phân giác góc · · Trong trường hợp này, ta có AIC = AKB = 90° · 132 (h.111) Để vẽ hình xác, ta vẽ ∆BHD có BHD = 135° , vẽ điểm A , sau vẽ điểm C Xét ∆ABH ta có: · µ Ta lại có HAx = A2 Do Mặt khác, xét + ABD ta có · µ + 90° HAx = ·ABH + 90° = B µ + 90° ⇒ µA2 = B µ + 45° µA2 = B ( 1) µA2 = B µ2+D µ1 ( 2) µ Từ (1) (2) suy D1 = 45° µ µ 133 (h.112) O giao điểm đường trung trực ∆ABC nên OB = OC , B1 = C µ µ µ µ BC đường trung trực OK nên BO = BK , CO = CK , B1 = B , C = C µ2 =B µ 3,C µ =C µ3 B K giao điểm đường phân giác nên µ µ µ µ µ µ Đặt B1 = B = B = C = C = C = α · · · · Ta lại có OA = OB nên OBA = OAB, OA = OC nên OCA = OAC , · · · BAC = OBA + OCA = 3α + 3α = 6α µ · · Xét ∆ABC ta có A + ABC + ACB = 180° nên 6α + 2α + 2α = 180° , suy α = 18° Vậy µ =C µ = 36°, µA = 108° B · 134 (h.113) Chú ý ABC = 60° nên BC lấy BK = BA ∆ABK đều, AK = AB Cịn ∆ABI vng cân nên AI = AB Vậy ∆IAC = ∆KAC (c.g.c) suy · · ICA = KCA = 45° Do ICB = 90° 135 (h.114) ∆CDE có CE tia phân giác góc C , DA tia phân giác góc ngồi o µ D nên EA tia phân giác góc ngồi E Do E1 = 30 nên · DEA = ( 180o − 30o) : = 75o ∆ADB = ∆ADE ( g c.g ) ⇒ DB = DE o Tam giác BDE cân có góc đỉnh 120 nên · · DBE = 30o Vậy CBE = 30o 136 (h.115) Từ hình vẽ, ta dự đoán ∆FIH nửa tam giác đều, tia đối tia IH , ta lấy điểm K cho IK = IH o o · · Gọi BAC = α HAF = 90 + α , (nếu α ≤ 90 ), ( ) · · KCF = 360o − ICK + ·ACB + ·ACF , o · · · Từ ta KCF = 90 + α Do HAF = KCF o Trường hợp α > 90 chứng minh tương tự Như · ∆AHF = ∆CKF ( c.g c ) ⇒ FH = FK , ·AFH = CFK , Hình 115 o · HFA = 60 HFK 90o,60o,30o tam giác Các góc ∆FIH 137 (h.116) Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa AC , o · vẽ tia Cy cho ACy = 60 , tia cắt AB E o µ ∆CBE có B = 80 , · · CEB = ·ACE + CAE = 60o + 20o = 80o Nên tam giác cân, suy  CB = CE.  Do ∆ACD = ∆ACE ( c.g.c ) o · · Vậy ADC = AEC = 100 Hình 116 o · ∆ABC ( h.117 ) 138 Cách Vẽ tam giác ADE nằm CAE = 80 Do · ∆CAE = ∆ABC ( c.g.c ) ⇒ CE = CA, ·ACE = BAC = 20o Ta có · · ∆ACD = ∆ECD ( c.c.c ) ⇒ ACD = ECD = 10o Cách 2: Vẽ tam giác ACK nằm ∆ABC (h.117) Chứng minh ∆DKC cân có đáy · = 70° , ·ACD = 10° DC , góc đỉnh 40° , dó KCD Cách Vẽ tam giác AFB ( F C phía AB , h.118) · · Tính AFC , chứng minh ACD = BFC · · · 139 (h.119) BAE = 75° , EAC = ECA = 15° Ta thấy 75° − 15° = 60° góc tam giác Do giải cách sau: Cách Vẽ tam giác ACD phía ngồi ∆AEC ∆AEB = ∆AED (c.g.c) suy ·AEB = ·AED · Ta tính AED Do DA = DC , EA = EC nên DE đường trung trực AC · ·AED = AEC = 75° Do Cách Vẽ ∆AEK phía ∆AEC chứng minh ∆AKB = ∆AEC (c.g.c), ∆BKE = ∆BKA (c.g.c) Cách Trong ∆ABC vẽ ∆AKB = ∆AEC chứng minh ∆AEK Cách Vẽ ∆CEH phía ngồi ∆AEC chứng minh ∆ABH 140 (h.120) Chú ý 75° − 15° = 60° góc tam giác Ta vẽ ∆BEC ( E H · phía BC) Gọi K trung điểm BH EBK = 15° Do ∆EBK = ∆BCA (c.g.c) suy µ K = 90° 0 · · Ta có ∆BEH cân, BEH = 150 nên CEH = 150 , ∆BEH = ∆CEH (c.g c ) Suy · · · BEH = CHE Vậy BHC = 30 142 (h.121) Chú ý ∆CME = ∆CMB (c.g c ) CM tia phân giác góc C nên tia CA lấy CE = CB · ⇒ ME = MB BME = 60 Do ∆EBM đều, BM = BE Ta tính ·ABE = ·ABM = 300 , ∆ABM = ∆ABE (c.g c) , · · AMB = AEB = 70 143 (h 123) Trên tia CA lấy điểm E cho CE = CB Ta có ∆CME = ∆CMB (c.g c ) · ⇒ ME = MB BME = 60 Do ∆EBM đều, suy BE = BM (1) 0 µ · ∆CEB cân C có C = 36 nên CEB = 72 · Ta tính BAE = 72 nên ∆ABE cân, suy AB = BE (2) Từ (1) (2) suy BA = BM Từ ·AMB = 780 144 (h.124) Vẽ điểm K cho BC đường trung trực MK · · Ta tính ABK = 70°, ACK = 60° Đặt AB = AC = a Ta · tính BKC = 130 (1) Nếu AK > a thì: · · · - Xét ∆AKB có ABK > AKB tức 70° > AKB · · · - Xét ∆AKC có ACK > AKC tức 60° > AKC · Suy 130° > BKC , trái với (1) · Tương tự, AK < a 130° < BKC , trái với (1) Vậy AK = a Do ∆ACK Từ MC = KC = AC · · Tam giác ACM cân C , ACM = 20° nên MAC = 80° · · 145 (h.125) ∆ABD cân D (vì DBA = 50°, DAB = 50° ) · Ta lại có ABI = 30° Áp dụng kết 51, lấy · = 10° , ta chứng minh K BI cho BAK AK = AD (1) A M · · Ta tính AEB = 70°, EAK = 70° nên ∆AKE cân, AK = EK (2) K B Từ (1) (2): AD = EK H 126 · · ∆IAK cân (vì IKA = 400, IAK = 400) nên IA = IK · Từ ID = IE Ta tính được: DIE = 100 , 146 (h.126) Vẽ ∆MBK vuông cân B (K A nằm phía BM) Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a ∆ABK = ∆CBK (c.g.c) suy AK = CM = 3a Xét ∆ MBK vuông cân B: c MK = MB2 + BK = ( 2a) + ( 2a) = 8a2   Xét ∆AMK ta có: MA2 + MK = a2 + 8a2 =  9a2 = MK · Nên AMK = 90 (định lý Py- ta- go đảo) · Vậy AMB = 135 147 (h.127) Vẽ tam giác MBK (K A nằm phía BM) Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Hãy chứng minh ∆ABK = ∆CBM để suy A K KA = MC = 5a Từ tính ·AMK = 900 M · Đáp số: AMB = 150 C B h 157 · 148 (h.128) Lấy D cạnh AB cho AD = AN DN / / BC , AND = 80 Ta cần tính · DNM Gọi I giao điểm CD BN tam giác BIC, DIN tam giác Ta chứng minh MN tia phân giác góc DNI cách chứng minh ∆ ∆MDN = ∆MIN · Ta có MDI = 40 (1) · Cần tính MID Chú ý ∆ BCM có hai góc Nên BC = BM, BI = BM Ta có ∆ BIM cân có góc 0 · · đỉnh 200 nên BIM = 80 , suy MID = 40 0 · Dễ dàng chứng minh MNA = 30 + 80 = 110 ... điểm D cho Xét trường hợp số đo góc: xảy (ví dụ góc nhọn, góc ) Ví dụ 33(18) Cho tam giác ABC · BAC H AH = BC , trực tâm , Tính ∆ABC A Nhận xét : Bài tốn khó vẽ xác góc có giá trị xác định mà...vng góc, tam giác đều, Ví dụ 29(8) µA = 60° ABC Tam giác có Các tia phân giác góc D E I DIE thứ tự , cắt Tính góc tam giác Giải :Vẽ tia phân giác góc (xem ví dụ 8) I ∆BIC... CD = CB Tính ·ADC 138(9) Giải ví dụ 27 cách khác 139*(9) Cho tam giác ABC vuông cân ·AEB 15° E có góc đáy Tính 140*(9) Tam giác BH = AC Tính ABC · BHC 141*(9) Cho tam giác ·ABD Tính vng