Không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết galois

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hình Hiếu Trung KHƠNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHĨM CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hình Hiếu Trung KHƠNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHĨM CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS Chuyên ngành : Hình học tôpô Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc Thầy Nguyễn Thái Sơn Nhờ đó, tơi có ý thức trách nhiệm việc thực Tơi xin phép bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính mến Tơi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy Cơ khoa TốnTin Phịng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bạn bè cổ vũ, động viên để an tâm học tập nghiên cứu Mặc dù nỗ lực khả thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Mong Q Thầy Cơ góp ý để luận văn hoàn thiện MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa nhóm ví dụ 1.2 Không gian phủ 1.3 Cái nâng 1.4 Phân loại không gian phủ 1.5 Nhóm  11 1.6 Phép biến đổi phủ 12 Chương PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN 17 2.1 Tích tự 17 2.2 Cấu trúc không gian phủ 19 Chương MỐI QUAN HỆ GIỮA NHĨM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS 29 3.1 Đa tạp Riemann có độ cong thiết diện 29 3.2 Phát triển nhóm 32 3.3 Đa tạp Riemann phẳng 34 3.4 Tinh thể 2-D 3-D 46 3.5 Liên quan lý thuyết Galois không gian phủ 54 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 MỞ ĐẦU Tôpô đại số môn học đặc thù ngành tôpô - hình học Sử dụng kiến thức tơpơ để giải toán đại số ngược lại, trong cơng cụ chủ lực nhóm Nhóm xem hàm tử từ phạm trù không gian tôpô vào phạm trù nhóm Từ ta chuyển tốn tơpơ tốn lý thuyết nhóm Ngược lại nhờ tôpô đại số mà ta giải nhiều tốn thú vị lý thuyết nhóm Ví dụ sử dụng lý thuyết đồ thị ta chứng minh nhóm nhóm tự nhóm tự Để tính nhóm khơng gian tơpơ có nhiều cách, cách thông dụng dùng ánh xạ phủ Liên hệ với ánh xạ phủ ta nghiên cứu tác động nhóm bới nhóm cảm sinh nhóm Bên cạnh ta tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ không gian tôpô ứng dụng chúng hình học đại số lí thuyết số Điểm quan trọng lý thuyết Galois tương quan nhóm đối xứng mở rộng trường thân mở rộng trường, cung cấp cho ta mối liên kết lý thuyết trường lý thuyết nhóm Các phủ khơng gian tôpô trang bị cách định nghĩa tương tự Ở đây, phủ không gian tôpô X thực chất không gian tôpô với ánh xạ Y → X cho Y X “đồng dạng” địa phương Lí thuyết Galois phủ đóng vai trị kết nối đối xứng phủ nhóm bản, đóng vai trị nhóm Galois Hơn vai trị lí thuyết Galois phủ phép so sánh đơn đặc biệt xem xét đường cong, ta thành lập mối liên kết trực tiếp phủ mở rộng trường ( z ) Riemann Nếu xét trường hợp phủ mặt cầu với ba điểm cực biên ta tìm mối tương quan đường cong đại số định nghĩa trường số phủ tôpô Những khám phá cung cấp cho ta phương pháp mã hóa thơng tin nhóm Galois số hữu tỉ theo liệu tổ hợp Tóm lại, ghi nhằm khơi gợi mối liên kết đầy mẻ tôpô cổ điển giải tích phức với phát triển mẻ hình học đại số số học từ cho ta góc nhìn khác với nhóm Galois Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 2: PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN Chương 3: MỐI QUAN HỆ GIỮA NHĨM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức Tơpơ đại số liên quan đến nhóm bản, khơng gian phủ, phân loại khơng gian phủ, nhóm  phép biến đổi phủ 1.1 Định nghĩa nhóm ví dụ 1.1.1 Nhóm Cho không gian tôpô X , đường X ánh xạ liên tục  : I  [0;1]  X Mọi không gian tôpô liên thông đường địa phương, Hausdorf ánh xạ không gian tôpô liên tục Cho hai đường   với điểm cuối  (1)  với điểm đầu  (0)  Khi tích  đường  nối với  Một đường mà điểm đầu điểm cuối trùng gọi đường đóng Ta chọn điểm x  X gọi điểm sở Tập hợp tất đường đóng với điểm gốc x kí hiệu ( X , x) Cho đường đóng   ( X , x) ta định nghĩa  1  1 (t )   (1  t ) Trên ( X , x) ta định nghĩa quan hệ tương đương , ký hiệu   ,   hai tương đương đồng luân tương đối I , nghĩa có ánh xạ liên tục G : I  I  X cho: G (t , 0)   (t ) G (t ,1)   (t ) G (0, s)   (0)   (0)   (1)   (1)  G(1, s) Thương ( X , x)/ có nhóm cấu trúc với phép nhân định nghĩa tích hai đường định nghĩa Nghịch đảo lớp tương đương [ ] đường đóng  kí hiệu [ 1 ] Con đường đóng  1 đồng luân tương đối I , đến đường đóng cố định x : t  x mà chúng đồng nhóm Đồng luân xác định bởi:   ( st ) G (t , s )    ( s(1  t ))   t   t 1 Tập hợp lớp tương đương đường đóng x kí hiệu  ( X , x) Mỗi phần tử 1 ( X , x) kí hiệu [ ] , [ ] , … Trên 1 ( X , x) ta trang bị phép nhân [ ][ ]  [ ] 1 ( X , x) với phép nhân lập thành nhóm gọi nhóm X (với điểm gốc x ) Một không gian tôpô gọi đơn liên khơng gian tơpơ liên thơng đường nhóm điểm tầm thường Hai nhóm 1 ( X , x) 1 ( X , y) với x  y đẳng cấu khơng tắc Thật vậy, X liên thơng đường nên có  : I  X với  (0)  x 1  (1)  y Khi ánh xạ     cảm sinh đẳng cấu 1 ( X , y) 1 ( X , x) mà phụ thuộc vào  khơng tắc Một ánh xạ f : ( X , x)  (Y , y ) cảm sinh đồng cấu f # : 1 ( X , x)  1 (Y , y) f # ([ ])  [ f  ] với   1 ( X , x) Nếu không gian co rút nhóm tầm thường Nếu f : ( X , x)  (Y , y ) tương đương đồng luân f # đẳng cấu Quả cầu S n đơn liên với n  đường đóng đồng luân tương đối I đến đường đóng cố định Trong phần ta  ( S , x) Ta gán cho đường đóng S số lần mà quấn quanh vịng trịn với dấu dương âm theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ chiều quay kim đồng hồ 1.2 Không gian phủ 1.2.1 Định nghĩa Một không gian phủ không gian X không gian X với một ánh xạ p : X  X thỏa điều kiện sau đây: Với x  X tồn lân cận U x X để p 1 (U x ) hợp rời tập mở X cho p đồng phôi từ p 1 (U x ) vào U x Ánh xạ p gọi phủ, không gian X gọi không gian đáy phủ không gian X gọi khơng gian tồn thể phủ Với x  X p 1 ( x) gọi thớ qua x 1.2.2 Ví dụ Ánh xạ exp :  S xác định exp(t )  e2 it Lấy điểm x tùy ý đường trịn Ta có x  e2 it với t  Xét lân cận U  e2 (t k ) , k    ;   Lấy x '  cho t  2 x '  Khi exp 1 (U )  {S j  | j  } , S j   x  | x   x '   1 j  j  ; x '  2  Ta thấy S j tập mở rời đôi exp |S đồng phôi từ j S j vào U Vậy không gian phủ S 1.2.3 Ví dụ Trong ví dụ ta chùm phân thớ phân thớ nghĩa 44 (ei , A1 ) nên ta có biểu thức   (v, Ak )  (1e1    i ei , A1 Ai ) với  j  1 Vì  v V Do  j  trường hợp Ak  A1 A i  A  j  I khơng xoắn  chứa nhóm chuẩn tắc giáo hoán L' (ei  e j , I ), (e1   em , I ) ,  i, j  m  / L ' đẳng cấu với nhóm cyclic nhiên  khơng đẳng cấu với tích nửa trực tiếp L' sinh / m Tuy / m xoắn tự 3.3.16 Bổ đề Cho Fn nhóm tự N phần tử sinh G  Fn / R với nhóm chuẩn tắc R Khi nhóm hốn tử [ R , R ] nhóm chuẩn tắc Fn Fn / [ R, R] không xoắn Chứng minh Khẳng định suy trực tiếp Để chứng minh khẳng định ta lấy e    Fn / [ R, R] Nếu   R / [ R, R]  có bậc vơ hạn Vì  giả sử   R lấy nhóm Fn sinh R  Ta có  / [,  ] nhóm giao hốn tự [, ]  [R, R] ,  phần tử xoắn Fn / [ R, R]   [ ,  ] 1 Ta có [ ,  ]  R 1 ( a r )( b r j )(r 1  a )(r j   a )  ( a r  a )( a b r j r  a b )( b r j   b ) nằm R   R (trái với giả thiết) 3.3.17 Bổ đề Cho R  Fn nhóm chuẩn tắc hữu hạn cấp m nhóm tự Fn N  Khi tác động liên hiệp nhóm hữu hạn G  Fn / R R / [ R, R ] hiệu nghĩa g  G với g  G , r  R cho grg 1[ R, R]  r[ R, R] g  e Chứng minh Giả sử điều ngược lại cho g '  Fn / R phần tử đại diện g  Fn / R , F  Fn nhóm sinh R g' Cho q bậc q 1 g  G {e, g , ,g } tập đầy đủ lớp đại diện cho F / R Theo mệnh đề 1, F nhóm tự s phần tử sinh R FNmm1 nên ta có 45 s  ( N  1)m q (9) Ta có [ F , F ][ [ R, R] F / [ R, R] nhóm giao hốn tự chứa nhóm ( R / [ R, R ] ) đẳng cấu với s  Nm  m  Nm  m 1 Vì (10) Từ (9) (10) suy s  N  suy R nhóm giao hốn lớn Fn / [ R, R] 3.3.18 Hệ Mỗi nhóm hữu hạn G có lưới cấp m nhóm tinh thể học khơng xoắn   E (m) chứa L nhóm phép chuyển dịch G  / L Tương đương có đa tạp Riemann phẳng compact với nhóm holonom G tuyến tính 3.3.19 Mệnh đề Cho M M ' đa tạp Riemann phẳng compact có số chiều tương ứng m m ' với nhóm   1 (M , x)  '  1 (M ', x ') Nếu m  ' đẳng cấu m  m ' có đẳng cấu tuyến tính lên cảm sinh vi phơi tuyến tính (khơng thiết đẳng cự) M M ' Chứng minh Cho L    m L '   ' m Khi L L ' nhóm chuẩn tắc giao hốn lớn nhóm tương ứng chúng đẳng cấu  :    ' thiết có đẳng cấu từ L vào L ' Ký hiệu đẳng cấu T Đặc biệt m  m ' ta thu dãy khớp với sơ đồ giao hoán cho với ánh xạ T , ,  đẳng cấu: 0 L  G 0 T     L'  '  G'  với G G ' nhóm hữu hạn O(m) Từ phân tích tích nửa trực tiếp E(m)  m O(m) , với (v, g ), (u, h)   ta có (v, g )(u, h)  (v  gu, gh) 46 T (v)   ( g ).T (u ),  ( gh)   T (v)  T ( g.u ),  ( gh)  Nói cách khác ta có  ( g )  TgT 1 suy cảm sinh vi phôi đa tạp phẳng M M ' Vì khơng chuyển động Euclid nên vi phôi cảm sinh không thiết đẳng cự 3.3.20 Ví dụ Trong ví dụ ta việc giả sử  nhóm E ( m) cần thiết định lý không ta thay phép biến đổi Affin Cho U nhóm ma trận tam giác cấp 3x3 với đường chéo Khi U vi phơi liên quan đến mêtric bất biến trái ds U không phẳng Tác động trái U trường phép biến đổi Affin đẳng cự với ds khơng chuyển động Euclid Lấy U Z  U nhóm chứa ma trận hệ số nguyên Ta có U Z tác động phép biến đổi trái nhóm đẳng cấu gián đoạn thật U liên quan đến ds M  U Z \ U đa tạp compact Tuy nhiên U khơng chứa nhóm chuẩn tắc giao hốn bậc hữu hạn Ta có tác động U Z U phép biến đổi affin  U mà đẳng cự Euclid Thật đơn giản để tổng qt hóa ví dụ để chứa nhóm gián đoạn thật phép biến đổi Affin m , m  với không gian thương compact 3.4 Tinh thể 2-D 3-D Hiểu cấu trúc tinh thể yếu tố quan trọng phát triển lý thuyết nhóm rời rạc chuyển động Euclide Về mặt toán học, cấu trúc tinh thể (được kí hiệu ( L, G ) ) bao gồm mạng tinh thể L  m với nhóm nhỏ hữu hạn G  GL(m, ) (được gọi nhóm điểm tài liệu hóa học) để lại L bất biến mạng Theo định 47 lý đại số, việc cho G L có nhiều mở rộng nhóm hữu hạn dạng (6) Câu hỏi nảy sinh cho nhóm hữu hạn liệu có G mạng bất biến L  m Rõ ràng L tồn g ( L) tồn với g nằm chuẩn hóa tử N G G GL(m, ) bất biến qua G Vì nguyên nhân để định rõ hai G -mạng bất biến L L ' G -tương đương chúng phân biệt phần tử N G Ví dụ G  {e} tất mạng m G -tương đương Ta nên định nghĩa quan hệ tương đương tập cấu trúc tinh thể Cho cấu trúc tinh thể ( L, G ) g  GL(m, ) (g( L),g Gg 1 ) cấu trúc tinh thể Vì ta định nghĩa hai cấu trúc tinh thể tương đương chúng phân biệt phần tử g  GL(m, ) Trong phần ta xét cấu trúc tinh thể có số chiều 3.4.1 Ví dụ Cho G  / n nhóm giao hốn cấp n tác động lên 2k Ta muốn xác định mạng n bất phép quay R k với góc quay n biến qua G Nếu n  G  {I } mạng bất biến qua G Hơn nữa, G nằm tâm GL(2, ) tất mạng G -bất biến Nếu G  / mạng L bất với góc quay chiều dài nhỏ nhất, 2 Cho  v1  L vectơ khác vectơ – khơng có v2  R2 (v1 ) L '  L mạng sinh v1 , v2 Cho w vectơ có chiều dài nhỏ L \ L ' Vì tính bất biến L L ' qua G  / theo giả thiết chiều dài nhỏ nên ta giả sử góc w v1 nằm khoảng  2 ,   Nhưng vectơ w  v1 có chiều dài lớn   chiều dài w (trái với giả thuyết) Do L '  L Chuẩn hóa tử GL(2, )   SO(2) Do tất G  / - mạng bất biến /3 G 48 - tương đương với tập sinh vectơ v1 , v2  R2 (v1 ) Mạng bất biến qua G  / suy với / - mạng bất biến giống / -mạng bất biến Lấy G  / ta chứng minh tương tự Cho v1  L vectơ khác vectơ-không với chiều dài nhỏ nhất, v2  R (v1 ) L ' mạng sinh v1 , v2 Cho w  L \ L ' vectơ với chiều dài nhỏ Theo tính nhỏ giả thiết / - bất biến nên ta suy w chọn để góc w  2  v1 nằm khảng  ,   w  v1 vectơ có độ dài ngắn   độ dài w Do L'  L tất / -mạng bất biến /4- tương đương với mạng tiêu chuẩn sinh e1  (1;0) e2  (0;1) Cuối giả sử n  n  cho v1 vectơ khác vectơ-không với chiều dài nhỏ L Đặt  R ( k 1) n  2k  n w  R2 ( k 1) n  2k  n  vectơ w  v1 có chiều dài ngắn chiều dài vectơ v1 Do với n  n  khơng có / n -mạng bất biến Với n  , toàn cấu  : / n  GL(2, ) liên hợp với SO (2) Thật vậy, giá trị riêng  (1) bậc n đơn vị nghĩa chúng e 2 ik n với k n nguyên tố suy  (1) liên hợp với ma trận chuyển cấp 2x2 Cho n  , hai giá trị riêng  (1) -1 trường hợp  (1) phép quay với góc quay  có sở v1 , v2 cho  (1)(v1 )  v1 ,  (1)(v2 )  1 Hai trương hợp phân biệt theo det(  (1))  1 Cho G /  / Để phân biệt hai sở / ta viết G {e, s}  {e ',s} Khi 49 có sở v1 , v2 cho ma trận ( s, e ') (e,s') trực giao với  1  1  (e, e ')    , (e', e)     1  1 /  / nên ta giả sử v1 , v2 sở Vì thay G trực chuẩn tắc e1 , e2 Ta định nghĩa nhóm hữu hạn SO(3) Bước định nghĩa cấu trúc 3-D định nghĩa mà nhóm hữu hạn tạo mạng bất biến 3.4.2 Bổ đề Cho e  g  SO(3) mà giữ mạng L  bất biến Khi   2 g phép quay với góc quay góc , , ,  3 Chứng minh Giả sử g phép quay với góc quay khác  vL độc lập tuyến tính với trục quay g Đặt  g mặt phẳng quay g Khi vectơ v  g (v) g (v)  g (v) độc lập tuyến tính nằm L   g Vì trường hợp chiều g khơng thể quay với góc quay 2 n  n  n Chú ý đặc biệt bổ đề loại trừ nhóm khối hai mươi mặt ( A5 ) nhóm điểm chiều Sử dụng bổ đề này, chúng định nghĩa tất nhóm điểm chiều Chúng làm cho dễ dàng tách tập nhóm điểm thành lớp Các nhóm vẽ từ việc quay nhóm / n mặt phẳng Các nhóm vẽ từ nhóm nhị diện Dn  / n  / tác động mặt phẳng Các nhóm vẽ từ nhóm tính đối xứng riêng tứ diện lập phương Mỗi trường hợp chia nhỏ theo nhóm chứa SO(3) chứa phép nghịch đảo I phép đối xứng Ta trình bày thành bảng đầy đủ danh sách 32 nhóm điểm Để thuận tiện cho việc giới thiệu vài kí 50 hiệu Ta sử dụng biểu diễn sau:  1 0   1 0         [ x, y, z ] ,  0 1  [ x, z, y] ,  0 1 0 0     Nhóm tính đối xứng riêng tứ diện đẳng cấu với nhóm biến đổi B3 nhóm lập phương đối xứng 48 bậc B3' chứa nhóm đối xứng riêng lập phương số Theo bảng có nhiều nửa giải thích ngoại trừ số cột cuối mà giải thích ngắn gọn: Lớp G  SO  3 I  G I  G L I I  ( I )  1 /  I  [ x, y, z] /  ( I ) / I  [x, y, z ] /3 /  ( I ) /  /4 /  [y, x, z] / /  ( I ) / /  [ y, x, z ] / /6 /  [ x, y, z] / /  ( I ) / /  [ y, x, z ] / /  [x, y, z ] / D2  ( I ) D2 /  [ x, y, z] /  [y, x, z ] / D3  ( I ) D3 /  [ y, x, z] / /  [x, y, z ] / D4  ( I ) D4 /  [ x, y, z] / 4 D2  [ y, x, z ]D2 2 D2  D2  D4    2 D6  /  [y, x, z ] / D6  ( I ) D6  [ y , x, z] /   D3  [ y , x, z ]D3 A4 A4  ( I ) A4  B3' B3  B3'  ( I ) B3' A4  [ y, x, z] A4 Tác động nhóm giao hoán / n , n  2,3, 4, định nghĩa cột thứ bảng Vì tác động nhóm nhị diện 51 Dn , n  2,3, 4, Chú ý D2  ( I ) D2 ( / 2)3 Z /  [ x, y, z ]Z / D2  [ y, x, z ]D2 Z /  [ x, y, z ]Z / , D2  [ y, x, z ]D2 v1 , v2 , v3 kí hiệu sở L , độ dài vi kí hiệu li Aij kí hiệu góc vi v j Để thuận tiện cho việc giải thích l1  l2 , l3 tùy ý với l3  l1  l2 lớp tương đương có lưới với l3  l1  l2 Lưới sau có nhiều tính đối xứng xem trường hợp suy biến lưới trước (Triclinic) - v1 , v2 , v3 ba vectơ độc lập tuyến tính  (Monoclinic) - l1 , l2 , l3 A23  A13  A12  (Orthorhombic) - l1 , l2 , l3 Aij   (Tetragonal) - l1  l2 , l3 Aij   (Hexagonal) - l1  l2 , l3 A23  A13  2 (Trigonal) - l1  l2  l3 A12  A23  A13   (Cubic) - l1  l2  l3 Aij  Bảy mạng lưới liệt kê mạng thừa nhận nhóm đối xứng hữu hạn cho Trong tinh thể học, bảy loại gọi lớp Bravais nguyên thủy Ngoài cịn có bảy mạng khơng ngun thủy có nguồn gốc từ phía Kết mười bốn lưới gọi lưới Bravais Lưới sinh mạng monoclinic với vectơ Ba lưới bắt nguồn từ lưới orthorhombic (a) Bằng cách bổ sung vectơ (v1  v2 ) ; (v1  v2 ) 52 (b) Bằng cách bổ sung vectơ (v1  v2 )  v3 ; (c) Bằng cách bổ sung vectơ 1 (v1  v2 ), (v2  v3 ) (v3  v1 ) 2 (v1  v2  v3 ) thành lưới Lưới thu cách bổ sung vectơ Tetragonal Hai lưới bắt nguồn từ lưới cubic: (a) Bằng cách bổ sung vectơ (v1  v2  v3 ) ; (b) Bằng cách bổ sung vectơ 1 (v1  v2 ), (v2  v3 ) (v3  v1 ) 2 Có thể định nghĩa lớp tương đương cấu trúc tinh thể,ta phải định nghĩa tất nhóm mở rộng dạng (6) Đây vấn đề tầm thường giải đòi hỏi trường hợp dài dòng theo trường hợp xây dựng Trong chiều có 17 nhóm, chiều có 230 nhóm chiều có 4783 nhóm Chỉ số nhóm tinh thể khơng xoắn Thật vậy, chiều có hai nhóm Z nhóm khơng xoắn xây dựng ví dụ 3.4.1 với m  Nhóm thứ hai nhóm chai Klein Trong ba chiều có 10 nhóm tinh thể khơng xoắn nhóm chứa SE (3) để không gian quỹ đạo \ đa tạp định hướng chiều Một liệt kê nhóm đưa ví dụ sau: 3.4.3 Ví dụ Khơng khó để mơ tả nhóm đa tạp Rieman phẳng M compact định hướng chiều Các ma trận điều khoản sau liên quan đến sở chuẩn 1 3 : với M hình xuyến chiều Nhóm điểm G  / tác động qua ma trận 53  1 0    A   1   0 1   với  sinh   (e3 , A),1  (e1 , I ),  (e2 , I ) Nhóm điểm G  / tác động     A     với    qua ma trận  0   0  1   sinh   (e3 , A),  (e1 , I ),  ( e1  e2 , I ) Đây nhóm đẳng cấu với nhóm mơ tả ví dụ 4.4.1 với m  Nhóm điểm G  / sinh phép quay cho ma trận  1    A  1 0 0 1   với  sinh   (e3 , A),1  (e1 , I ),  (e2 , I ) Nhóm điểm G  /  / với hệ sinh tác động ma trận  1 0  1 0      A   1  , B   1   0 1  0 1      với  sinh   (e3 , A),   (e1 , I ),1  (e2 , I ) Nhóm điểm G  / tác động phép quay với góc quay sinh: k hệ 54     A     Nhóm   2  0   0  1   sinh   (e3 , A),  (e1 , A),  ( e1  e2 , I ) 3.5 Liên quan lý thuyết galois không gian phủ Trong tổng quan này, tập trung vào lý thuyết phủ khơng gian tơpơ cách sử dụng chúng hình học đại số lý thuyết số Bản chất nó,lý thuyết Galois lý thuyết tương ứng nhóm đối xứng mở rộng trường với mở rộng trường, cung cấp liên kết lý thuyết nhóm lý thuyết trường Các phủ khơng gian tô pô cung cấp cách hiểu Ở phủ không gian tôpô X không gian tôpô với ánh xạ Y  X cho Y X "trông giống nhau" địa phương Lý thuyết Galois lớp phủ tương ứng đối xứng lớp phủ nhóm bản, nhóm thứ hai đóng vai trị nhóm Galois Đây thực phép so sánh trường hợp đường cong thiết lập liên kết trực tiếp phủ tôpô mở rộng trường ( z ) quay trở lại Riemann Nếu xem xét cách cụ thể trường hợp lớp phủ với ba điểm quan trọng, điều cách vô thiết lập tương ứng đường cong đại số xác định trường số lớp phủ tơpơ Những phủ dễ dàng nhận hình vẽ đơn giản Chúng cung cấp cách để mã hóa thơng tin nhóm Galois số hữu tỷ dạng liệu tổ hợp 55 Nhìn chung, ghi nhằm gợi ý số kết nối hấp dẫn lớp topo giải tích phức phát triển đại nhiều hình học đại số số học,mà cung cấp cách để nghiên cứu nhóm Galois 3.5.1 Nhóm phủ tôpô Galois Cho ( X , ) khơng gian tơpơ điểm Nhóm ( X , ) nhóm đường đóng bắt đầu kết thúc •, biến dạng hữu hạn Kí hiệu • 1 ( X , )  1 ( X ) Cấu trúc nhóm cho hợp thành đường đóng Ta xét không gian tôpô tác động thật sự, để tránh hiểu nhầm ta gọi chúng CW-phức đa tạp tơpơ Ta đưa tính chất đặc trưng nhóm dạng phủ Cho không gian tôpô X , phủ Y X không gian tôpô Y , với ánh xạ f : Y  X cho với điểm p  X có lân cận U p p tập T (với tôpô rời rạc) với sơ đồ giao hoán f 1 (U p )  T  U p f Up với ánh xạ nêu đồng cấu Bằng trực giác, tính địa phương quanh điểm p , ảnh ngược f phủ X liệt kê tập T Phủ gọi tầm thường U p  X , để tránh trường hợp thừa nhận Y liên thơng 3.5.2 Ví dụ Xét vòng tròn S  {z  ,| z | 1} Ánh xạ z  z n ánh xạ phủ vịng trịn với nó, với tập T nhóm cyclic / n Một phủ khác cho f :  S1 , f (t )  exp(2 it ) Một đường đóng X ánh xạ  : S1  X tương đương ánh xạ  :[0;1]  X cho  (0)   (1) Một đường đóng thơng thường khơng nâng đến phủ ánh xạ  đoạn 56 nâng đến  ' x   (0)  '(0)   '(1) Nếu ta cố định x   (0) y   '(1)  f 1 ( x) phụ thuộc vào lớp đồng luận  ta có ánh xạ 1 ( X , x)  f 1 ( x) toàn ánh Nếu ta cố định y  f 1 ( x) ta xem 1 (Y , y) nhóm 1 ( X , x) gồm đường đóng cho  '(1)  y 3.5.3 Ví dụ Nếu X liên thông đơn liên nghĩa 1 ( X , x)  phủ X thiết tầm thường Bất kì khơng gian tơpơ ln có khơng gian phủ phổ dụng Đây không gian tôpô liên thông đơn liên X với phủ p : X  X cho phủ liên thơng khác f : Y  X có phủ g : X  Y thỏa fg  p Nếu ta cố định x  X với phủ liên thông f : Y  X có điểm y  Y cho f (y)  x với phủ phổ dụng p : ( X , x)  ( X , x) phủ f : (Y , y)  ( X , x) ta có ánh xạ g : ( X , x)  (Y , y) cho g ( x)  y Ta có: Nếu Y phủ phổ dụng X 1 ( X ) có tương ứng 1-1 với thớ f 1 ( x) 3.5.4 Ví dụ Nếu nhóm G tác động gián đoạn thật X (nghĩa với quỹ đạo G p ta tìm phủ mở hợp tập khơng giao gp U gp hốn vị G ) ánh xạ X  X / G phủ Galois 3.5.5 Ví dụ Phủ phổ dụng S (đồng luân với S ) phủ phổ dụng * với phủ cho z  e z , phủ giới hạn mặt phẳng H (cho Im( z )  ) ánh xạ lên đĩa bị thủng đơn vị ( | z | ) 3.5.6 Định lý (Định lý Galois cho không gian tôpô) Nếu phủ p : ( X , x)  ( X , x) không gian phủ phổ dụng có đẳng cấu nhóm nhóm phép biến đổi phủ: 1 ( X , x)  Aut ( p) Hơn nữa, có tương ứng lớp liên hợp nhóm 1 ( X ) phủ X Nhóm chuẩn tắc tương ứng với phủ Galois 57 Tương đương, phủ Galois với nhóm G tương ứng với tồn cấu 1 ( X )  G KẾT LUẬN Trong ba chương Luận văn giải vấn đề đặt ra, nghiên cứu không gian phủ, ánh xạ phủ sử dụng chúng để tính nhóm số không gian tôpô quen thuộc Chúng mạnh dạn sử dụng định lý Van Kampen để tính nhóm số khơng gian tơpơ tích Một phần khác Luận văn tìm hiểu mối quan hệ nhóm với lý thuyết nhóm liên quan tới lý thuyết Galois Đây vấn đề mới, đòi hỏi nhiều thời gian đòi hỏi phải trang bị nhiều kiến thức,nhất kiến thức lý thuyết mở rộng trường Do luận văn này, chúng tơi tiếp cận với khái niệm ban đầu, đặt tảng cho nghiên cứu tiếp tục sau Trong thời gian tới sau hoàn thành luận văn, muốn tiếp tục sâu vào tìm hiểu vấn đề đặt mối liên hệ với lý thuyết Galois 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, Nxb Giáo dục, 2005 [2] Nguyễn Văn Đồnh,Tạ Mân, Nhập mơn Tôpô đại số (Đồng điều đồng luân), Nxb Đại Học Sư Phạm, 2009 [3] Trần Tráng, Tôpô đại cương, Nxb Đại học Sư Phạm Tp.HCM, 2001 [4] A.Tekcan, M.Bayraktar and O.Bizim, On the Covering Spaces and the Automorphism Group of the Covering Space, xuất Balkan Journal of Geometry and Its Applications, Vol 8, No.1, 2003, pp 101-108 [5] David Glickenstein, Covering Spaces (https: //www.math.arizona.edu/ ~glickenstein/math534_1011/coveringspaces.pdf) [6] Dennis Eriksson, Galois theory and covering, Ulf Persson, Normat 59:3, 1–8 2011 [7] Makoto Masummoto, Galois reprentations in fundamental groups and their Lie algebras, 2005 (http://swc.math.arizona.edu/aws/2005/05MatsumotoNotes.pdf) [8] Mehrdad Shahshahani, Differential geometry and topolog (http://math.ipm.ac.ir/shahshahani/diffgeo.html) [9] Samantha Nieveen and Allison Smith, Covering spaces and subgroups of the Free Group, xuất Semantic Scholar (semanticscholar.org), 2006 ... PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN 17 2.1 Tích tự 17 2.2 Cấu trúc không gian phủ 19 Chương MỐI QUAN HỆ GIỮA NHĨM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS. .. MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHĨM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS Trong chương chương nghiên cứu riêng rẻ khái niệm nhóm bản, khơng gian phủ, ánh xạ phủ, tác động không. .. động nhóm bới nhóm cảm sinh nhóm Bên cạnh ta tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ không gian tôpô ứng dụng chúng hình học đại số lí thuyết số Điểm quan trọng lý thuyết Galois tương quan nhóm đối xứng