Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống KêI.. ðể dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: Khi ñó Các giá trị ñặc trưng Mẫu cụ thể Giá trị trung bình x x n1 1 ....
Trang 1Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê
I Phần Xác Suất
1 Xác suất cổ ñiển
• Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
• A1, A2,…, An xung khắc từng ñôi ⇔ P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
• Ta có
o A, B xung khắc ⇔ P(A+B)=P(A)+P(B)
o A, B, C xung khắc từng ñôi ⇔ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
o P A( ) 1= −P A( )
• Công thức xác suất có ñiều kiện: ( / ) ( )
( )
P AB
P A B
P B
( )
P AB
P B A
P A
• Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
• A1, A2,…, An ñộc lập với nhau ⇔ P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An)
• Ta có
o A, B ñộc lập ⇔ P(AB)=P(A).P(B)
o A, B, C ñộc lập với nhau ⇔ P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C)
• Công thức Bernoulli: ( ; ; ) k k n k
n
B k n p =C p q − , với p=P(A): xác suất ñể biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p
• Công thức xác suất ñầy ñủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An ñược gọi là một phép phân
hoạch của Ω
i j
n
A A i j i j n
⇔
o Công thức xác suất ñầy ñủ:
1
n
i
=
o Công thức Bayes:
( ) ( / ) ( / )
( )
i
P A P B A
P A B
P B
= với P B( )=P A P B A( 1) ( / 1)+P A( 2) ( /P B A2) + +P A( n) ( /P B A n)
2 Biến ngẫu nhiên
a Biến ngẫu nhiên rời rạc
• Luật phân phối xác suất
với p i =P X( =x i),i=1, n
Ta có:
1 1
n i i
p
=
=
f(
{a f(X) b}=
i
i
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
Trang 2• Hàm phân phối xác suất
≤
i
x x
• Mode
ModX=x k ⇔ p k =max{p i i: =1, }n
• Median
0, 5
MedX
<
>
< ≤
∑
∑i k
i k
i
x x k
k
x x
p
P X x x
• Kỳ vọng
1
n
i
=
1
n
i
=
• Phương sai
VarX =E X − EX
1
n
i
=
b Biến ngẫu nhiên liên tục
• f(x) là hàm mật ñộ xác suất của X ( ) 1
+∞
−∞
⇒ ∫ f x dx= ,
b
a
P ≤ ≤ =∫ f x dx
• Hàm phân phối xác suất
−∞
x
X
F x P X x f t dt
• Mode
0
ModX =x ⇔ Hàm mật ñộ xác suất f(x) của X ñạt cực ñại tại x0
• Median
e
x
−∞
• Kỳ vọng
EX x f x dx ( )
+∞
−∞
E ϕ X ϕ x f x dx
+∞
−∞
= ∫
Trang 3• Phương sai
VarX =E X − EX với EX2 x f x dx2 ( )
+∞
−∞
c Tính chất
• E C( )= C Var C, ( )= , C là một hằng số 0
E kX =kEX Var kX =k VarX
• E aX( +bY)=aEX +bEY
E XY =EX EY Var aX +bY =a VarX +b VarY
• σ( )X = VarX : ðộ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX
3 Luật phân phối xác suất
a Phân phối Chuẩn (Normal Distribution) (X ~ N µ σ( ; 2))
• X Ω = ℝ , EX=ModX=MedX=( ) µ, VarX =σ2
• Hàm mñxs
2 2
2
1 ( , , )
2
−
−
=
x
µ σ
µ σ
σ π
• Với µ= = 0,σ 1: X ~N(0,1) (Standard Normal Distribution) có hàm mñxs
2
2
1 ( )
2
−
=
x
π (Hàm Gauss)
• P(a X b) (b− µ) (a− µ)
2
2 0
1 ( )
2
t x
π
−
• Cách sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ Máy 570MS Máy 570ES Máy 570 ES Plus
Khởi ñộng gói Thống kê Mode Mode
SD
Mode STAT 1-Var
AC
Mode STAT 1-Var
AC Tính
2
2 0
1 ( )
2π
−
ϕ =∫
x z
2
2
1 ( )
2π
−
−∞
= ∫
x z
Shift 3 2 z ) =
Shift 3 1 z ) =
Shift 1 7 2 z ) =
Shift 1 7 1 z ) =
Shift 1 5 2 z ) =
Shift 1 5 1 z ) =
Lưu ý: F z( )=0, 5+ ϕ( )z
Trang 4Excel:
f (x, , ) N mD t(x, , , 0)
f (x, 0,1) N mD t(x, 0,1, 0)
or is
or is
=
1
(x) P(0 X x) N mD t(x, 0,1,1) 0.5 N mSD t(x) 0.5
P(a X b) N mD t(b, 0,1,1) N mD t(a, 0,1,1) N mSD t(b) N mSD t(a) (z) N mInv(z 0.5, 0,1) N m Inv(z 0.5)
−
b Phân phối Poisson (Poisson Distribution) (X ~P λ ( ))
• X Ω = ℕ , EX( ) =VarX = λ ModX=k⇔λ-1≤ ≤ k λ
!
k
k
−λ λ ∈ ℕ
Excel:
P(X k) P on(k, , 0)
P(X k) P on(k, ,1)
P(a X b) P on(b, ,1) P on(a, ,1)
oiss oiss
c Phân phối Nhị thức (Binomial Distribution) (X ~B n p( ; ))
• X( )Ω ={0 n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k⇔(n+1)p− ≤ ≤1 k (n+1)p
• P(X=k)=C k n p q k n k− , q = 1− , ≤ ≤ ∈ ℕ p 0 k n k,
• Nếu (n≥30; 0,1< <p 0, 9;np≥5,nq≥5) thì X ~B n p( ; )≈N( ;µ σ2) với
,
P(X=k)≈ 1 f(k− µ), 0 ≤ ≤ ∈k n k,
P(a≤X<b)≈ ϕ(b− µ)− ϕ(a− µ)
• Nếu (n≥30, ≤ 0,1,p np<5) thì X ~B n p( ; )≈P( )λ với λ =np
!
k
k
−λ λ
• Nếu (n≥30, ≥p 0,9,nq<5)
n k
n k
−
− ℝ với λ =nq
Excel:
P(X k) Bin m t(k, n, p, 0)
P(X b) Bin m t(b, n, p,1)
P(a X b) Bin m t(b, n, p,1) Bin m t(a, n, p,1)
o Dis
o Dis
d Phân phối Siêu bội (HyperGeometric Distribution) (X ~H N N( ; A; ))n
• X( )Ω ={max{0;n−(N−N A)} min{n;N }}A
Trang 5• EX=np, VarX=npq
1
N n N
−
− với
A N p N
= , q=1-p
k n k
n N
C
−
−
• Nếu N 20
n > thìX ~H N N( ; A; )n ≈B n p( ; ) với N A
p N
= (X=k) C k n k n k, ( ), 1
P ≈ p q − ∈k X Ω = − q p
Excel:
A
P(X=k)=HypGeomDist(k, n, N, N )
Trang 6ðặt X
σ
−
=
Sơ ñồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:
≥
<
với λ =np
N>20n p= N A
N , q=1-p
n 30 0,1 p 0, 9
np 5
nq 5
≥
< <
≥
1
⇒P X =k ≈ f k µ
,
µ= =σ
HyperGeometric:
X~H(N;NA;n)
k n k
N N N n N
P X k
C
−
−
Poisson: X~P( )λ
!
k
k
λ
Binomial: X~B(n;p)
( ) n k k n k
P X =k =C p q −
( ; )
N µ σ
2 2
( ) 2
1
2
x
µ σ
µ σ
σ π
−
−
=
Standard Normal: Y~ N(0;1)
2
2
1
2
y
π
−
=
Trang 7II Phần Thống Kê
1 Lý thuyết mẫu
a Các công thức cơ bản
Các giá trị ñặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
X
n
+ +
x
n
+ +
=
X
S
n
x
s
n
1
=
−
n X
S
n
1
=
−
n x
s
n
b ðể dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:
Khi ñó
Các giá trị ñặc trưng Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình x x n1 1 x n k k
n
+ +
= Phương sai không hiệu chỉnh 2 ( 1 )2 1 ( )2
x
s
n
Phương sai hiệu chỉnh
2 ( 1 ) 1 ( )
1
=
−
x
s
n
c Phân tổ thống kê
- Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm Tuy nhiên thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với
32 1
k = n+
, với x là phần nguyên của x
- Trường hợp phân tổ ñều ta ñược khoảng cách mỗi tổ là xmax xmin
h
k
−
d Sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính các giá trị ñặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; )a b hay ( ; ]a b thì ta sử dụng giá trị ñại diện cho miền ñó là
2
a b+
ñể tính toán
i
x x1 x2 … x k
i
n n1 n2 … n k
Trang 8Tác vụ 570MS 570ES
Bật chế ñộ nhập tần số Không cần Shift Mode ↓ 4 1
Khởi ñộng gói Thống kê Mode Mode SD Mode STAT 1-Var
Nhập số liệu
1
x Shift , n1 M+
⋮
k
x Shift , n k M+
Nếu n = i 1 thì chỉ cần
nhấn
i
x M+
1
x =
⋮
k
x =
1
n =
⋮
k
n =
Xác ñịnh:
• Kích thước mẫu (n)
• Giá trị trung bình
( x )
• ðộ lệch chuẩn không
hiệu chỉnh ( ˆs x)
• ðộ lệch chuẩn hiệu
chỉnh (s x)
Shift 1 3 = Shift 2 1 = Shift 2 2 = Shift 2 3 =
Shift 1 5 1 = Shift 1 5 2 = Shift 1 5 3 = Shift 1 5 4 =
2 Khoảng tin cậy
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể
Trường hợp 1 (σ ñã biết)
• Khoảng tin cậy ñối xứng
1
2
n
α
ϕ = − α → α ⇒ ε = α σ ⇒ ( − ε + ε
• Khoảng tin cậy bên trái
n
α
ϕ = − α → α ⇒ ε = α σ ⇒ (−∞ + ε
• Khoảng tin cậy bên phải
n
α
ϕ = − α → α ⇒ ε = α σ ⇒ ( − ε;+∞
Trường hợp 2 (σ chưa biết, n≥30)
• Khoảng tin cậy ñối xứng
1
2
s
n
α
ϕ = − α → α ⇒ ε = α ⇒ ( − ε + ε
Trang 9• Khoảng tin cậy bên trái
n
α
ϕ = − α → α ⇒ ε = α ⇒ (−∞ + ε
• Khoảng tin cậy bên phải
n
α
ϕ = − α → α ⇒ ε = α ⇒ ( − ε;+∞
Trường hợp 3 (σ chưa biết, n<30)
• Khoảng tin cậy ñối xứng
s
n
α
• Khoảng tin cậy bên trái
n
• Khoảng tin cậy bên phải
n
b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ của tổng thể
• Khoảng tin cậy ñối xứng
(1 ) 1
2
n
α
ϕ = − α → α ⇒ ε = α − ⇒ ( − ε + ε
• Khoảng tin cậy bên trái
(1 )
n
α
• Khoảng tin cậy bên phải
(1 )
n
α
c) Khoảng tin cậy cho phương sai của tổng thể
Trường hợp 1 ( µ chưa biết)
- Nếu ñề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác ñịnh s2 (bằng máy tính bỏ túi)
• Khoảng tin cậy 2 phía
1
2
α
− −
α → χ = χ
( 1; ) 2
α
−
χ = χ
⇒
• Khoảng tin cậy bên trái
2
1
χ
n
Trang 10• Khoảng tin cậy bên phải
2
2
χ
n
Trường hợp 2 ( µ ñã biết)
1
k
i i i
=
• Khoảng tin cậy 2 phía
2 ( ; ) 2 α
α → χ = χ
n , 12 2
( ;1 ) 2
α
−
χ = χ
n
⇒
• Khoảng tin cậy bên trái
2
1
χ
n
• Khoảng tin cậy bên phải
2
2
χ
n
3 Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê
a) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về giá trị trung bình của tổng thể
Trường hợp 1 (σ ñã biết)
• H o:µ = µ o,H1:µ ≠ µ o
1
2
o
x
ϕ = − α → α = − µ
σ
- Nếu
2
z >zα: Bác bỏ Ho
- Nếu
2
z ≤zα: Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ o,H1:µ < µ o
(zα) 0,5 z ,z x o n
σ
- Nếu z< −zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≥ −zα: Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ o,H1:µ > µ o
(zα) 0,5 z ,z x o n
σ
- Nếu z>zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≤zα: Chấp nhận Ho
Trang 11Trường hợp 2 (σ chưa biết, n ≥30)
• H o:µ = µ o,H1:µ ≠ µ o
1
2
o
x
s
α
ϕ = − α → α = − µ
- Nếu
2
z >zα: Bác bỏ Ho
- Nếu
2
z ≤zα: Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ o,H1:µ < µ o
(z ) 0,5 z ,z x o n
s
α
- Nếu z< −zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≥ −zα: Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ o,H1:µ > µ o
(z ) 0,5 z ,z x o n
s
α
- Nếu z>zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≤zα: Chấp nhận Ho Trường hợp 3 (σ chưa biết, n<30)
• H o:µ = µ o,H1:µ ≠ µ o
( 1; ) 2
2
o n
x
s
α
−
− µ α
- Nếu
( 1; ) 2
n
t t α
−
> : Bác bỏ Ho
- Nếu
( 1; ) 2
n
t t α
−
≤ : Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ o,H1:µ < µ o
s
- Nếu t< −t(n− α1; ): Bác bỏ Ho
- Nếu t≥ −t(n− α1; ): Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ o,H1:µ > µ o
s
- Nếu t>t(n− α1; ): Bác bỏ Ho
- Nếu t≤t(n− α1; ): Chấp nhận Ho b) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về tỉ lệ của tổng thể
Trang 12• H o:p= p o,H1:p≠ p o
1
o
f p k
α
ϕ = − α → α = = −
−
- Nếu
2
z >zα: Bác bỏ Ho
- Nếu
2
z ≤zα: Chấp nhận Ho
• H o:p= p o,H1:p< p o
o
f p k
α
−
- Nếu z< −zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≥ −zα: Chấp nhận Ho
• H o:p= p o,H1:p> p o
o
f p k
α
−
- Nếu z>zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≤zα: Chấp nhận Ho c) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về phương sai của tổng thể
Trường hợp 1 ( µ chưa biết)
- Nếu ñề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính ñể xác ñịnh s
1
H σ = σ H σ ≠ σ
1
2
α
− −
α → χ = χ
( 1; ) 2
α
−
χ = χ
2 2
2
o
χ = −
σ
- Nếu
2
1
χ > χ
χ < χ
: Bác bỏ H0
- Nếu χ ≤ χ ≤ χ : Chấp nhận H12 2 22 o
1
H σ = σ H σ < σ
1 ( − −α 1;1 )
2 2
2
o
n− s
χ =
σ
- Nếu χ < χ : Bác bỏ H2 12 0
- Nếu χ ≥ χ : Chấp nhận H2 12 o
1
H σ = σ H σ > σ
2 (n− α1; )
2 2
2
o
n− s
χ =
σ
Trang 13- Nếu χ > χ : Bác bỏ H2 22 0.
- Nếu χ ≤ χ : Chấp nhận H2 22 o
4 Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh tham số của 2 tổng thể
a) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh giá trị trung bình của 2 tổng thể Trường hợp 1 (σ σ ñã biết) 1, 2
• H o:µ = µ 1 2,H1:µ ≠ µ 1 2
1
2
x x
α
ϕ = − α → α = −
- Nếu
2
z>zα: Bác bỏ Ho
- Nếu
2
z ≤zα: Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ 1 2,H1:µ < µ 1 2
α
- Nếu z< −zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≥ −zα: Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ 1 2,H1:µ > µ 1 2
α
- Nếu z>zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≤zα: Chấp nhận Ho Trường hợp 2 (σ σ chưa biết, 1, 2 n n1, 2≥30)
• H o:µ = µ 1 2,H1:µ ≠ µ 1 2
1
2
x x
α
ϕ = − α → α = −
+
- Nếu
2
z >zα: Bác bỏ Ho
- Nếu
2
z ≤zα: Chấp nhận Ho
Trang 14• H o:µ = µ 1 2,H1:µ < µ 1 2
s s
α
+
- Nếu z< −zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≥ −zα: Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ 1 2,H1:µ > µ 1 2
s s
α
+
- Nếu z>zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≤zα: Chấp nhận Ho Trường hợp 3 (σ = σ chưa biết, 1 2 n n1, 2<30)
• H o:µ = µ 1 2,H1:µ ≠ µ 1 2
1 2
2
,
n n
x x
s
n n
α + −
− α
+ , với
2
s
n n
=
- Nếu
1 2
2
n n
+ −
> : Bác bỏ Ho
- Nếu
1 2
2
n n
+ −
≤ : Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ 1 2,H1:µ < µ 1 2
1 2
2
,
n n
x x
s
n n
+ , với
2
s
n n
=
- Nếu
1 2
2
n n
+ −
< − : Bác bỏ Ho
- Nếu
1 2
2
n n
+ −
≥ − : Chấp nhận Ho
• H o:µ = µ 1 2,H1:µ > µ 1 2
1 2
2
,
n n
x x
s
n n
+ , với
2
s
n n
=
- Nếu
1 2
2
n n
+ −
> : Bác bỏ Ho
- Nếu
1 2
2
n n
+ −
≤ : Chấp nhận Ho
Trang 15b) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh tỉ lệ của 2 tổng thể
+
+
• H o:p1= p2,H1:p1≠ p2
1
f f
f f
n n
α
ϕ = − α → α = −
- Nếu
2
z >zα: Bác bỏ Ho
- Nếu
2
z ≤zα: Chấp nhận Ho.
• H o:p1= p2,H1:p1< p2
f f
n n
α
- Nếu z< −zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≥ −zα: Chấp nhận Ho
• H o:p1= p2,H1:p1> p2
f f
n n
α
- Nếu z>zα: Bác bỏ Ho
- Nếu z≤zα: Chấp nhận Ho
c Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh phương sai của 2 tổng thể
- µ µ chưa biết nên tính s1, 2 1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu ñề bài chưa cho
o
H σ = σ H σ ≠ σ
-
2 1
2 2
s
2
<
>
F F
F F : Bác bỏ Ho
- Nếu F1≤F≤F : Chấp nhận H2 o
o
H σ = σ H σ < σ
-
2 1
2 2
s
- Nếu F<F : Bác bỏ H1 o
- Nếu F ≤F : Chấp nhận H
Trang 16• 2 2 2 2
o
H σ = σ H σ > σ
-
2 1
2 2
s
- Nếu F >F : Bác bỏ H2 o
- Nếu F≤F : Chấp nhận H2 o
5 Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu
r
−
=
Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: ɵy= A+ Bx
B
−
=
−
A
n
−
b Trong trường hợp sử dụng bảng tần số:
Ta tính theo công thức thu gọn như sau:
n n x y n x n y r
−
=
Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: ɵy= A+ Bx với
n n x y n x n y
B
−
=
−
n y B n x A
n
−
i
x x 1 x 2 … x k i
y y 1 y 2 … y k
i
n n 1 n 2 … n k
Trang 17c Sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:
Tác vụ CASIO 570MS CASIO 570ES
Bật chế ñộ nhập tần số Không cần Shift Mode ↓ 4 1
Khởi ñộng gói Hồi quy
Nhập số liệu
1
x , y Shift , 1 n M+ 1
⋮
k
x , y Shift , k n M+ k
1
i
n = thì chỉ cần nhấn i
x , y M+ i
1
x =
⋮
k
x =
1
y =
⋮
k
y =
1
n =
⋮
k
n =
Xác ñịnh:
• Hệ số tương quan
mẫu (r)
• Hệ số hằng: A
• Hệ số ẩn (x): B
Shift 2 3 = Shift 2 1 = Shift 2 2 =
Shift 1 7 3 =
Shift 1 7 1 = Shift 1 7 2 =
Lưu ý: Máy ES nếu ñã kích hoạt chế ñộ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì
không cần kích hoạt nữa
………