O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ.[r]
(1)* Chuyên đề 2:
Hàm số đồ thị (Hàm số y = ax+b y = ax2)
A.KIếN THứC CƠ BảN :
1 Hµm sè: y = ax + b (a 0)
a)TÝnh chÊt :
* TX§ : ∀ x R.
* Sù biÕn thiªn :
+ Nếu a > hàm số đồng biến R + Nếu a < hàm số nghịch biến R
b) Đồ thị: Là đờng thẳng song song với đồ thị y = ax
- Nếu b 0 cắt trục Oy điểm có tung độ b.Trùng với đồ thị y = ax b =
(b đợc gọi tung độ gốc)
c) Cách vẽ đồ thị: Lấy hai điểm khác thuộc đờng thẳng y = ax + b (a 0) Biểu diễn hai điểm hệ trục Oxy kẻ đờng thẳng qua hai điểm
Cơ thĨ nh sau :
- Cho x = ⇒ y = b ta đợc điểm A ( ; b) thuộc trục 0y
- Cho y = ⇒ x = − b
a ta đợc điểm B ( − b
a ; 0) thuéc trôc 0x
Vẽ đờng thẳng qua A B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) * Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) gọi đờng thẳng y = ax + b d) Chỳ ý :
- Đờng thẳng y = ax + b (a 0) cã a gäi lµ hƯ sè gãc
- Ta có: tg = a (Trong góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a 0) với chiều dơng trục Ox)
- NÕu a > th× : < < 900
- NÕu a < th× : 900 < < 1800
Minh Ho¹ : y
(2)y = ax + b ( a > )
x α
x
y = ax + b ( a <0 )
e.Quan h ệ gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng
Xét hai đường thẳng : (d1) : y= a1x + b1
(d2) : y= a2x + b2
a) (d1) cắt (d2) ⟺ a1 ≠ a2
b) (d1) // (d2) ⟺ {
a1=a2
b1≠ b2
c) (d1) ≡ (d2) ⟺ {
a1=a2
b1=b2
d) (d1) ⊥ (d2) ⟺ a1 . a2 = -1
f) Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị h m sà ố y = f(x) ⟺ yA = f(xA)
2 Hµm sè: y = ax2 (a 0)
a) TÝnh chÊt :
*TX§ : ∀ x R.
* Sù biÕn thiªn :
- Nếu a > hàm số đồng biến với x > ; nghịch biến vứi x <
- Nếu a < hàm số đồng biến với x < ; nghịch biến với mi x >
b)Đặc điểm giá trị hµm sè y = ax2 (a 0)
Khi a > : Giá trị hàm số > với x khác y = x = ⇒ giá trị nhỏ hàm số đạt đợc x =
(3)c) Đặc điểm đồ thị hàm số : y = ax2 (a 0)
- Là đờng cong ( Parabol) qua gốc toạ độ nhận trục Oy trục đối xứng. * Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành O điểm thấp đồ thị * Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hồnh O điểm cao đồ thị Minh hoạ :
y y
y=ax2 ( a > ) x
x
y=ax2 ( a < )
3 Điểm thuộc không thuộc đồ thị hàm số.
*) Điểm thuộc đờng thẳng
- §iĨm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a 0) vµ chØ yA = axA + b
- §iĨm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a 0) vµ chØ yB= axB + b
*) §iĨm thc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a 0 )
- §iĨm A(x0; y0) (P) y0 = ax02
- §iĨm B(x1; y1) (P) y1 ax12
4 T ơng giao đ ờng cong Parabol y = ax2 (a 0) đ ờng th¼ng y = bx + c
-Toạ độ giao điểm (Nếu có) Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng
(d) : y = bx + c nghiệm hệ phơng trình:
y =ax2
y=bx +c
¿
{¿ ¿ ¿
¿
- Hay phơng trình hồnh độ giao điểm (nếu có) ( P ) ( d) nghiệm ph-ơng trình : ax2 = bx + c (1) Vậy:
+ §êng thẳng (d) không cắt (P) phơng trình (1) vô nghiệm.
(4)+ Đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
B.MộT Số DạNG BàI TậP THƯờNG GặP :
Dang : Tìm giá trị tham số để hầm số hàm số bậc nhất, đồng biến, nghịch biến :
1) Bài toán : Cho hàm số y = ax + b ( chứa tham số m ) Tìm m để hàm số
y = ax + b hàm số bậc nhất,đồng biến ,nghịch biến ?
Ph
ơng pháp giải :
- Hµm sè y = ax + b lµ hµm sè bËc nhÊt ⇔ a ¿ 0
- Hàm số y = ax + b đồng biến ⇔ a > 0
- Hµm sè y = ax + b nghÞch biÕn ⇔ a < 0
2) VÝ dơ :
Ví dụ : (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)
Tìm giá trị tham số m để hàm số bậc y = (m - 2)x + đồng biển R.
Gi¶i :
Hàm số y = (m - 2)x + hàm đồng biến ⇔ m 0 m2 Vậy với m > hàm số cho đồng biến
Ví dụ (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2009-2010,Ngày thi : 08/7/2009)
Hàm số y = 2009x + 2010 đồng biến hay nghịch biến R? sao?
Gi¶i :
Vì hàm số có hệ số a = 2009 > hàm số cho hàm số đồng biến.
Ví dụ : (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm hc 2006-2007,Ngy thi : 17/6/2006)
Tìm m dể hàm sè y = (2m-1)x + lµ hµm sè bËc
Giải :
Hàm số y = (2m - 1)x + lµ hµm bËc nhÊt ⇔
1
2
(5)VËy víi
m
hàm số cho hàm số bậc
VÝ dơ : Cho hµm sè : y = ( m-3)x + ( tham sè m )
a) Tìm m để hàm số cho hàm bậc ?
b) Tìm m để hàm số cho đồng biến ?
c) Tìm m để hàm số cho nghịch biến ?
Gi¶i :
a) Hàm số cho hàm bậc ⇔ m-3 ¿ 0 ⇔ m ¿ 3
b) Hàm số cho đồng biến ⇔ m - > ⇔ m >
c) Hàm số cho nghịch biến ⇔ m - < ⇔ m < 3
* KL :
Dang : Tính giá trị hàm số:
1) Bài toán : Cho hµm sè y = ax + b (a ¿ 0) y = ax2 (a 0)
Tính giá trị hàm số x = k
Ph
ơng pháp giải :
Thay x = k vào hàm số để tìm y
2) VÝ dơ :
a) Cho hµm sè y = x - Tại x = y có giá trị (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2009- 2010 , Ngày thi: 10/7/2009)
b) Cho hµm sè f(x) = 2x2 Tính f(1); f(-2) (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth năm học
2010-2011,Ngày 01/07/2010)
Giải:
a) Thay x = vào hàm số y = x- ta đợc y = 4-1=3 Vậy x = y có giá trị
b) Ta cã f(1) = 2.12 = 2
f(-2) = 2.(-2)2 = 2.4 = 8.
Dang : Viết phơng trình đờng thẳng ( xác định hàm số ) y = ax + b biết đờng thẳng ( đồ thị hàm số ) thoả mãn điều kiện cho trớc :
(6)y = ax + b biết đờng thẳng ( đồ thị hàm số ) thoả mãn điều kiện cho trớc tìm a,b
1)Bài tốn : Xác định hàm số y = ax + b biết :
a) Hệ số góc a đồ thị qua A( x0 ;y0 )
b) Đồ thị song song với đờng thẳng y = a’x + b’ qua A( x0 ;y0 )
c) Đồ thị vng góc với đờng thẳng y = a’x + b’ qua A( x0 ;y0 )
d) Đồ thị ®i qua A( x0 ;y0 ) vµ B( x1;y1 )
e) Đồ thị qua A( x0 ;y0 ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x1
f) Đồ thị qua A( x0 ;y0 ) cắt trục tung điểm có tung độ y1
Ph
ơng pháp giải :
a) Thay h s góc vào hàm số ,Vì đồ thị qua A( x0 ;y0 ) nên thay x = x0 ;
y = y0 vào hàm số ta tìm đợc b
b) Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đờng thẳng y = a x + b ’ ’ nên a = a’ thay a = a’ vào hàm số làm tơng tự phần b
c) Vì đồ thị hàm số y = ax + b vuông với đờng thẳng y = a x + b ’ ’ nên ta ta có a.a’
= ta tìm đợc a = -1
a' ,thay a = -1
a' vào hàm số làm tơng tự phần b. d) Vì đồ thị hàm số y = ax + b qua A( x0 ;y0 ) B( x1;y1 ) nên ta có hệ phơng
tr×nh :
y0= ax0+ b y1= ax1+ b
¿
{¿ ¿ ¿
¿ (1) ; Giải hệ phơng trình (1) ta tìm đợc a v b
e) Đồ thị hàm số y = ax + b qua A( x0 ;y0 ) cắt trục hoành điểm có hoành
bng x1 tức đồ thị hàm số y = ax + b qua A( x0 ;y0 ) B ( x1;0 ).Sau ú lm
tơng tự phần d
f) Đồ thị hàm số y = ax + b qua A( x0 ;y0 ) cắt trục tung điểm có tung độ
bằng y1 tức đồ thị hàm số y = ax + b qua A( x0 ;y0 ) B ( 0; y1) sau ú lm
t-ơng tự phần d
2) VÝ dô :
(7)a) Đờng thẳng (d) qua hai điểm A( -1; 3) vµ B ( 2; -4)
b) Đờng thẳng (d) qua M (-2; 5) song song với đờng thẳng:
(d’): y = -
2x +
c) Đờng thẳng (d) qua N (-3; 4) vng góc với đờng thẳng y = 2x +
Gi¶i :
Gọi đờng thẳng (d): y = ax + b ( a, b số ) a) Vì (d) qua hai điểm A( -1; 3) B ( 2; -4)
nªn ta cã:
−a + b= 3
2 a +b =−4
¿ {¿ ¿ ¿
¿ ⇔
a =−7
3
b =2
3
¿
{¿ ¿ ¿
¿
Vậy phơng trình đờng thẳng (d): y =
7 3x - +
b) Vì (d) song song với đờng thẳng: (d’): y = -
2x + ⇒
7
a
=-⇒ (d): y = 3x b - +
mà (d) qua M (-2; 5) nªn ta cã: = 14
3 +b ⇒ b =
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y =
7 3x - +
c) Đờng thẳng (d) qua N (-3; 4) vng góc với đờng thẳng y = 2x +
nªn ta cã: a.2 = -1 ⇒ a =
vµ =
2+b ⇒ b = 2
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y =
1 2x - +
VÝ dô : Cho hµm sè y = (m2 – 2).x + 3m + Tìm giá trị m biÕt:
a) Đồ thị (d) hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + b) Đồ thị (d) hàm số vng góc với đờng thẳng y = -3x -2 c) Đồ thị (d) qua điểm A (2; 3)
Gi¶i
(8)Nªn ta cã:
m2−2=3
3 m+ 2≠2
¿
{¿ ¿ ¿
¿ ⇔
m=±√5
m≠0
¿
{¿ ¿ ¿
¿ ⇔ m=±
VËy m=±
b) Vì đồ thị (d) hàm số vng góc với đờng thẳng : y = -3x -2
Nªn ta cã: (m2 - ).(- 3) = -1 ⇔ 3m2 -6 = 1 ⇔ m2 =
7
3 ⇔ m=±
VËy m=±
c) Vì đồ thị (d) qua điểm A( 2; 3) nên ta có : = 2m2 - + 3m + 2
⇔ 2m2 +3m -5 =
Ta có a + b + c = theo hệ định lí Viet phơng trình có hai nghiệm :
m1 = - 1; m2 =
5
VËy m1 = - 1; m2 =
5
-Dang 4: Tìm toạ độ giao điểm hai đờng thẳng, đờng thẳng Parabol.
1) Bài toán : Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) (với a ¿
a ).’
Tìm toạ độ giao điểm (d) v (d)
Ph
ơng pháp giải :
- Cách : Vẽ đồ thị hai hàm số y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) hệ
trục toạ độ Oxy,sau tìm toạ độ giao điểm ( có )
- Cách : Hoành độ giao điểm (d) (d’) nghiệm phơng trình :
ax + b = a’x + b’ (1)
Giải phơng trình (1) tìm x = x sau thay x = x tìm đợc vào (d) (d’)
tìm y= y Toạ độ giao điểm A (x ; y )
- Cách : Toạ độ giao điểm y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) l nghim ca
hệ phơng trình :
y = ax + b y = a'x + b'
¿
{¿ ¿ ¿
(9)Giải hệ phơng trình (2) tìm đơc x = x ;y = y Toạ độ giao điểm A (x ; y
0 )
2) Bài toán 2:
Cho hai ng thng y = ax + b (d) parabol y = ax2 (P) Tìm toạ độ giao điểm
cđa (d) (P)
Ph
ơng pháp giải :
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình : ax + b = ax2 (1)
Giải phơng trình (1) tìm x sau thay x tìm đợc vào (d) (P) tìm y tơng ứng,
Toạ độ giao điểm A (x ; y)
3) VÝ dô :
Cho hai hµm sè y= x+3 (d) vµ hµm sè y = 2x + (d’)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ
b)Tìm toạ độ giao điểm có hai đồ thị
*Nhận xét : Gặp dạng toán học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số tìm toạ độ giao điểm (x;y) nhiên gặp x y không số nguyên tìm toạ độ đồ thị gặp khó khăn tìm xác giá tri x; y
Gi¶i:
a) Vẽ đồ thị hai hàm số ( HS tự vẽ )
b) Hoành độ giao điểm nghiệm phơng trình:
x + = 2x +
2x – x = –
x = Thay x = vào y = x + ta đợc y = + = 5
Vậy toạ độ giao điểm (d) (d’) A ( 2;5 )
Dang 5: Tìm điều kiện tham số để đờng thẳng đồng quy :
1)Bài toán : Cho ba đờng thẳng: y = ax+ b (d) ; y = a’x+ b’ (d’) y = a’’x+ b’’ (d’’)
Trong y = a’’x + b’’ chứa tham số m.
Ph
(10)- Toạ độ giao điểm (d) (d’) nghiệm hệ phơng trình
y = ax + b y = a'x + b'
¿
{¿ ¿ ¿
¿
(1)
Giải hệ phơng trình (1) tìm đơc x = x ;y = y Toạ độ giao điểm A (x ; y
0 )
- Để đờng thẳng cho đồng quy (d’’) phải qua A (x ; y ).
- Thay A (x ; y ) vào phơng trình đờng thẳng (d’’) ta đợc phơng trình ẩn
m,giải phơng trình tìm m
- Kết luËn :
2.Ví dụ : Cho đờng thẳng lần lợt có phơng trình:
(d1) y = x +
(®2) y = - x +
(d3) y= (m2-1)x + m2 - (víi m1)
Xác định m để đờng thẳng (d1) ,(d2), (d3) đồng quy
Gi¶i:
- Vì ¿ - nên (d1) (d2) cắt Hoành độ giao điểm A (d1) ,(d2) là
nghiệm phơng trình : -x + = x + x = 1
thay x = vào y = x+1 ⇒ y = ⇒ A (1;2) để đờng thng ng quy thỡ (d3)
phải qua điểm A nªn ta thay x = ; y = vào phơng trình (d3) ta có:
= (m2-1)1 + m2 - m2 = m = ± 2
Vậy với m = m = -2 đờng thẳng (d1) ,(d2), (d3) đồng quy
Dang 6: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trục tung, cắt điểm trục hoành
6.1: Điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trục tung.
Cho (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2
Để (d1) cắt (d2) điểm trục tung
1 2
(11)Gi¶i (1)
Gi¶i (2) chọn giá trị thoả mÃn (1)
6.2: Điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trục hoành.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
Để (d1) cắt (d2) điểm trục hoành
1
1 2
a a (1)
b b
(2)
a a
* MéT Sè BàI TOáN LIÊN QUAN ĐếN HàM BậC HAI
Bài to¸n 1: Cho (P): y = ax2 (a ≠ 0) vµ (d): y = bx + c Tìm tọa độ giao điểm
(d) (P)
Ph
ơng pháp giải :
Cỏch : Dùng đồ thị ,vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) y = bx + c cùng
một mặt phẳng toạ độ sau tìm toạ độ giao điểm
Cách : Dùng phơng trình hồnh độ :
-Hồnh độ giao điểm có (P) (d) có nghiệm phơng trình :
ax2 = bx + c (*)
Giải phơng trình (*) tìm nghiệm
- Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = bx +c y = ax2 để tìm tung
độ giao điểm
* Chú ý: Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ca (d) v (P).
Bài toán 2: Cho (P): y = ax2 (a ≠ 0) vµ (d): y = bx + c ( chøa tham sè m )
Tỡm m để:
a) (d) (P) cắt ⟺ phương trình (V) có hai nghiệm phân bit
(12)Ph
ơng pháp gi¶i :
-Hồnh độ giao điểm có (P) (d) có nghiệm phơng trình :
ax2 = bx + c (*)
a) (d) (P) cắt ⟺ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
b) (d) (P) tiếp xúc với ⟺ phương trình (*)có nghiệm kép c) (d) (P) khơng giao ⟺ phương trình (*) vụ nghim
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Trong hàm số sau hàm số hàm số bậc nhất? Xác định a, b tính
đồng biến, nghịch biến hàm số
1) y = - 0,3 x 2) y = - 2x2 3) y = 2(x 2) 4) y = -2,5x
5)y = ( 1) x3 6)y + = x -
Bài 2: Tìm ĐK tham số để hàm số hàm số bậc nhất.
1)y = (m - 3)x +5 2) y = (2 - 4m)x - 3)y = (1 - 2m)x + 2
4)y = mx - 2x + 5) y = 7 m (x -1) 6)y =
100
m x m
Bµi 3: Cho hµm sè y = (m + 1)x - ; y = (6 - 2m)x +
a) Tìm m để hàm số đồng biến b) Tìm m để hàm số nghịch biến
Bài 5: Cho hàm số : y = ( m – 1).x + m (d)
a)Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến ?
b)Tìm m để đồ thị hàm số song song với trục hoành c)Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A( - ; 1)
d)Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng có phương trình: x – 2y =
e)Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm A có hồnh độ b»ng
(13)a)Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = - 2x b)Khi x = hàm số có giá trị
c)Đồ thị hàm số qua điểm A(1;2)
Bµi 7:
a)Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(1;3)và song song với đờng thẳng y= x
b)Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(1;2) B(2;3)
Bài 8: Cho hàm số: y = -x + m Hãy xác định m biết:
a)Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ b)Đồ thị hàm số qua điểm A(-1;2)
c)Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ -1
Bµi : Cho hµm sè y = (m - 1)x + m.
a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đồ thị y = mx + 3?
b)Tìm m để đồ thị hàm số vng góc với đồ thị y = -mx + 1?
Bµi 10 : Cho parabol (P) : y=−
1 2x
2
a)VÏ parabol (P)
b)Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(-2; -2) tiếp xúc với (P)
Bài 11: Cho parabol (P): y = -x2 đờng thẳng (d); y = 2x + m
a)VÏ parabol (P)
b)Tìm giao điểm (P) (d) m = -15
c)Xác định m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt? (d) tiếp xúc với (P)? d)Xác định m để (d) cắt (P) điểm có hồnh độ –
Bµi 12* : Cho Parabol ( P) y = x2
2 xác định điểm M (P) cho khoảng