chuyen de on toan vao lop 10

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán Biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn Phần I tổng hợp kiến thức I Các phép biến đổi thức Hằng đẳng thức đáng nhớ ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) ( a b ) = a2 b ( a b ) = a3 3a2b + 3ab2 b3 a3 b3 = ( a b ) ( a + ab + b2 ) ( a b ) = a2 2ab + b2 ( a + b ) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 + b3 = ( a + b ) ( a ab + b ) 2 Một số phép biến đổi thức bậc hai - Đều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A - Các công thức biến đổi thức A2 = A A = B A B (A 0;B > 0) A B = A 2B (A 0;B 0) A = B B C AB (AB 0;B 0) ( a + b + c) = a2 + b + c + 2ab + 2bc + 2ca AB = A B (A 0;B 0) A 2B = A B (B 0) A B = A 2B (A < 0;B 0) A B = A B (B > 0) B C( A mB) C C( A m B) (A 0;A B2 ) = (A 0;B 0;A B) A B A B A B A B Các dạng tập Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Phơng pháp: Bớc 1: Trục thức mẫu (nếu có) Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bớc 3: Đa biểu thức dấu Bớc 4: Rút gọn biểu thức Bớc 5: Tính số trị (nếu tham số) Dạng 2: Rút gọn biểu thức Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức Bớc 2: Trục thức mẫu có (nếu có) Bớc 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bớc 4: Đa biểu thức dấu Bớc 5: Rút gọn biểu thức Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức Bớc 2: Biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái Cũng có phải biến đổi hai vế biểu thức trung gian = II Phơng trình bậc hai Định nghĩa: Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng ax + bx + c = (a 0) Công thức nghiệm: Ta có = b2 4ac - Nếu < phơng trình vô nghiệm b - Nếu = phơng trình có nghiệm kép x1,2 = 2a b b + - Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 2a 2a b c Hệ thức Viet: Nếu phơng trình có nghiệm x1; x2 S = x1 + x = ; P = x1.x = a a Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình ax + bx + c = (a 0) Ta sử dụng định lí Viet để tính biểu thức x1, x2 theo a, b, c S1 = x12 + x 22 = ( x1 + x ) 2x1x = b2 2ac a2 S2 = x13 + x 23 = ( x1 + x ) 3x1x ( x1 + x ) = S3 = x x = ( x1 x ) = 3abc b3 a3 ( x1 + x ) 4x1x = b2 4ac a2 ứng dụng hệ thức Viet a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình ax + bx + c = (a 0) c - Nếu a + b + c = x1 = 1; x = a c - Nếu a - b + c = x1 = -1; x = a b) Tìm hai số biết tổng tích: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P x, y hai nghiệm ph ơng trình bậc hai X2 - SX + P = c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình ax + bx + c = (a 0) có hai nghiệm x1; x2 ax + bx + c = a ( x x1 ) ( x x ) d) Xác định dấu nghiệm số: Cho phơng trình ax + bx + c = (a 0) c - Nếu < phơng trình có hai nghiệm trái dấu a > - Nếu c phơng trình có hai nghiệm dấu a > > > c c - Nếu > phơng trình có hai nghiệm dơng Nếu > phơng trình có hai nghiệm âm a a b b a > a < Các dạng toán bản: Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm c Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm = b2 4ac a Trong trờng hợp cần chứng minh có hai phơng trình ax + bx + c = ; a' x + b' x + c ' = có nghiệm ngời ta thờng làm theo hai cách sau: Cách 1: Chứng minh + Cách 2: 1. Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích Phơng pháp: Bớc 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P x, y hai nghiệm ph ơng trình bậc hai X2 SX + P = Bớc 2: Giải phơng trình X2 - SX + P = Bớc 3: Kết luận Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm b c Bớc 2: Tính S = x1 + x = ; P = x1.x = , theo m a a Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề theo S, P với ý x12 + x 22 = S2 2P ; 1 S 1 S2 2P + = ; + = x1 x P x12 x 22 P2 Dạng 4: Hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm b c Bớc 2: Tính S = x1 + x = ; P = x1.x = , theo m a a Bớc 3: Khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc tham số m ( ) x13 + x 23 = S S2 3P ; Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với hệ thức cho trớc Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm b c Bớc 2: Tính S = x1 + x = ; P = x1.x = , theo m a a Bớc 3: Giải phơng trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bớc 4: Kết luận III Hệ phơng trình Hệ phơng trình bậc hai ẩn số: Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số: - Nhân vế hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phơng trình hệ đối - Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực phơng trình mới, có phơng trình mà hệ số hai ẩn (tức phơng trình ẩn số) - Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc suy nghiệm hệ phơng trình cho Cách 2: Sử dụng phơng pháp - Dùng quy tắc biến đổi hệ phơng trình cho để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình ẩn - Giải phơng trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ cho Hệ phơng trình đối xứng a) Hệ đối xứng loại I: Nếu ta thay đổi vai trò x, y phơng trình không thay đổi Phơng pháp: Đa hệ phơng trình theo hai biến là: S = x + y P = xy với điều kiện S 4P b) Hệ đối xứng loại II: Nếu ta thay đổi vai trò x, y phơng trình chuyển thành phơng trình Phơng pháp: Trừ hai phơng trình với để nhận dợc phơng trình có dạng tích số Chú ý hệ phơng trình có nghiệm (x0; x0) (tức x = y) Nếu hệ phơng trình có nghiệm (x, y) phơng trình có nghiệm (y, x) IV Phơng trình quy phơng trình bậc (bậc hai) Phơng trình chứa ẩn mẫu số: Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa phơng trình bậc (bậc hai) Bớc 3: Giải phơng trình bậc (bậc hai) Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối: Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Bớc 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đa phơng trình bậc (bậc hai) Bớc 3: Giải phơng trình bậc (bậc hai) Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phơng trình trùng phơng: ax + bx + c = (a 0) Phơng pháp: Bớc 1: Đặt x2 = t Bớc 2: Biến đổi đa phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phơng trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + d = b + c Phơng pháp: Bớc 1: Đặt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k với k = ( ad + bc ) Bớc 2: Biến đổi đa phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai Bớc 4: So sánh với điều kiện tìm nghiệm x Phơng trình hồi qui a) Dạng 1: Phơng trình có dạng ax + bx + cx + bx + a = (a 0) Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế phơng trình cho x2 Bớc 2: Đặt t = x + với điều kiện t đa phơng trình bậc hai ẩn t x Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai Bớc 4: So sánh với điều kiện tìm nghiệm x b) Dạng 2: Phơng trình có dạng ax bx + cx bx + a = (a 0) Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế phơng trình cho x2 Bớc 2: Đặt t = x đa phơng trình bậc hai ẩn t x Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai Bớc 4: So sánh với điều kiện tìm nghiệm x Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn Phơng trình có dạng ax + bx + cx + dx + e = với e d ;e0 = a b ữ Phơng pháp: 2 d d d d d d Bớc 1: Đặt t = x + t = x + ữ = x + + ữ x + ữ = t bx bx b bx b bx Bớc 2: Đa phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phơng trình có dạng ( x + a ) + ( x + b ) = c Phơng pháp: a+b a b a b x+a = t+ ;x + b = t 2 Bớc 2: Đa phơng trình trùng phơng ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình trùng phơng Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Bớc 1: Đặt t = x + V Hàm số Hàm số bậc y = ax + b (a 0) - Hàm số bậc hàm số đợc cho công thức y = ax + b a - Hàm số bậc xác với giá trị x R có tính chất đồng biến a > 0; nghịch biến a < - Đồ thị hàm số bậc đờng thẳng Cắt trục tung điểm B(0; b) Cắt trục hoành điểm b A ;0 ữ (trong a gọi hệ số góc, b gọi tung độ góc) a - Các đờng thẳng có hệ số góc a tạo với trục Ox góc Nếu gọi góc hợp bới đờng thẳng tia Ox a = tg - Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) thì: a = a' (d) cắt (d) a a (d) song song (d) b b' a = a' (d) trùng (d) (d) (d) a.a = -1 b = b' Hàm số y = ax2 (a 0) - Hàm số có tính chất: Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị hàm số Parabol với đỉnh góc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị + Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hoành, O điểm cao đồ thị Các dạng toán Dạng 1: Xác định hàm số bậc (phơng trình đờng thẳng) Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ax + b = y0 Các kết nêu phần lý thuyết Dạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a 0) Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 ax02 = y0 Dạng 3: Tìm giao điểm hai đồ thị Phơng pháp: Lập phơng trình hoành độ giao điểm Giải phơng trình, từ tìm toạ độ giao điểm Dạng 4: Tơng giao đờng thẳng Parabol Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a 0) Parabol y = Ax (A 0) Xét phơng trình hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1) Ta có số giao điểm hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình - Đờng thẳng cắt Parabol phơng trình (1) có nghiệm - Đờng thẳng không cắt Parabol phơng trình (1) vô nghiệm - Đờng thẳng tiếp xúc Parabol phơng trình (1) có nghiệm kép VI Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Phơng pháp chung - Chọn ẩn số xác định điều kiện ẩn số (đơn vị tính) ẩn số thờng đại lợng cha biết toán Việc chọn ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lợng cha biết toán - Biểu diễn mối tơng quan đại lợng biết đại lợng cha biết - Lập phơng trình (hay hệ phơng trình) - Giải phơng trình (hay hệ phơng trình) - Nhận định kết trả lời Các dạng toán Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn Dạng 1: Các toán chuyển động - Dựa vào quan hệ ba đại lợng S: quãng đờng; t: thời gian; v: vận tốc vật chuyển động công thức S = v.t - Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ giải toán chuyển động thuyền sông ta có: v = v0 + v3; v2 = v0 v3 v1 vận tốc thuyền xuôi dòng, v vận tốc thuyền ngợc dòng, v0 vận tốc riêng thuyền, v3 vận tốc dòng chảy Dạng 2: Các toán suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành đơn vị thời s gian); t: thời gian để hoàn thành công việc; s: lợng công việc làm N = t Dạng 3: Các toán làm chung làm riêng, vòi nớc chảy chung chảy riêng Dựa vào kết sau - Nếu x (hoặc ngày) làm xong công việc (hoặc ngày) làm đợc công việc x 1 - Nếu giờ: Đối tợng A làm đợc công việc, đối tợng B làm đợc công việc lợng công việc mà y x 1 hai làm đợc + công việc x y a - Nếu làm đợc công việc a làm đợc công việc x x Dạng 4: Các toán xếp, chia sản phẩm (hàng hóa ) Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho xe; t: số xe chở hàng; s: s tổng số lợng hàng hoá kho N = t Dạng 5: Các toán tìm số Dựa vào mối liên hệ hàng số Chú ý: ab = 10a + b ; abc = 100a + 10b + c Dạng 6: Các toán liên quan đến tỉ số % m Chú ý kết sau: m% A nghĩa A 100 A m m Số A m% số B nghĩa = hay A = B B 100 100 m Số A sau tăng lên m% đợc số có giá trị A + A 100 Dạng 7: Các toán có nội dung hình học Chú ý đến hệ thức lợng tam giác, công thức tính chu vi, diện tích hình Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn b b' C cạnh đối VII Các toán hình học phẳng Hệ thức lợng tam giác vuông a) Một số hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông A Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH ta có b2 = a b c2 = a c 2 b +c =a h2 = b c c h 1 a h = b c = + c' h2 b c B b) Tỉ số lợng giác góc nhọn H a - Các tỉ số lợng giác góc nhọn đợc định nghĩa nh sau: cạnh đối cạnh kề sin = cos = cạnh huyền cạnh huyền cạnh đối cạnh kề tg = cotg = cạnh kề cạnh đối cạnh kề - Với hai góc phụ ta có sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg - Một số góc đặc biệt sin300 = cos600 = sin450 = cos45 = 2 tg450 = cot g45 = t g300 = cot g60 = co t g300 = t g600 = 3 c) Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với côsin góc kề Mỗi cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân tang góc đối nhân với côtang góc kề d) Một số công thức tính diện tích tam giác a.h a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB S= (h đờng cao ứng với cạnh a) S= = = 2 2 S = p.r (p nửa chu vi, r bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) a.b.c S= (R bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác) 4R S = p ( p a ) ( p b ) ( p c ) (p nửa chu vi tam giác) cos300 = sin600 = Đờng tròn: a) Sự xác định đờng tròn Tính chất đối xứng đờng tròn - Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R - Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên đờng tròn - Qua ba điểm không thẳng hàng, vẽ đợc đờng tròn - Đờng tròn có tâm đối xứng, tâm đờng tròn Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đờng kính b) Đờng kính dây cung đờng tròn Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây - Trong đờng tròn, dây lớn đờng kính - Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây - Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây - Trong đờng tròn: Hai dây chúng cách tâm Trong hai dây không nhau, dây lớn gần tâm c) Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đờng tròn Căn vào số điểm chung 0, 1, đờng thẳng đờng tròn mà ta định nghĩa vị trí: đờng thẳng đờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt ứng với vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng bán kính R đờng tròn có liên hệ: d > R; d = R; d < R Ta có định lí - Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn vuông góc với bán kính qua tiếp điểm - Nếu đờng thẳng qua điểm đờng tròn vuông góc với bán kính qua điểm đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn d) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm e) Đờng tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác - Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đờng tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi ngoại tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác giao điểm đờng phân giác góc tam giác - Đờng tròn qua ba đỉnh tam giác gọi đờng tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác gọi nội tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đờng trung trực tam giác - Đờng tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đ ờng tròn bàng tiếp tam giác Tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác giao điểm hai đờng phân giác hai góc tam giác giao điểm tia phân giác góc hai đ ờng phân giác góc không kề với f) Vị trí tơng đối hai đờng tròn Căn vào số điểm chung 0, 1, hai đờng tròn mà ta định nghĩa vị trí: Hai đờng tròn không giao nhau, tiếp xúc nhau, cắt Do tính chất đối xứng đờng tròn, hai đờng tròn cắt giao điểm đối xứng với qua đờng nối tâm, hai đờng tròn tiếp xúc giao điểm nằm đờng nối tâm g) Góc với đờng tròn: + Góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi góc tâm Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ Số đo nửa đờng tròn 1800 + Góc nội tiếp: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đờng tròn hai cạnh chứa dây cung đờng tròn Cung bên góc gọi cung bị chắn Trong đờng tròn số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn + Góc tạo tiếp tuyến dây cung: Cho đờng tròn (O), A tiếp điểm, xAy tiếp tuyến (O) A, AB dây cung Góc tạo tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi góc tạo tiếp tuyến dây cung Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung số đo cung bị chắn Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn + Góc có đỉnh bên đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh bên đờng tròn chắn hai cung: cung nằm bên góc cung nằm bên góc đối đỉnh cung Số đo có đỉnh bên đ ờng tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Góc có đỉnh bên đờng tròn: Số đo góc có đỉnh bên đờng tròn nửa hiệu hai cung bị chắn Chú ý: Trong đờng tròn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn góc vuông ngợc lại góc vuông nội tiếp chắn nửa đờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d Rn - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l = 180 I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2 R 2n lR - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n 0: S = = 360 Các dạng toán Dạng 1: Chứng minh hai góc Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc góc thứ ba - Chứng minh hai góc với hai góc khác - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đôi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba - Hai góc nhọn tù có cạnh đôi song song vuông góc - Hai góc so le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây trơng ứng hai cung đờng tròn hai đờng Tính chất tiếp tuyến cắt Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: vị trí so le trong; vị trí so le ngoài; vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc Cách chứng minh: - Chúng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác - Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác - Đờng kính qua trung điểm dây dây không qua tâm - Chúng phân giác hai góc kề bù - Tính chất đờng chéo hình thoi, hình vuông Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy Cách chứng minh: - Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng 180 - Dựa vào hai góc đối đỉnh - Dựa vào hai đờng thẳng qua điểm song song với đờng thẳng khác - Dựa vào hai góc có cạnh trùng - Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 6: Chứng minh hai tam giác * Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có cạnh góc nhọn Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn - Có cạnh huyền cạnh góc vuông - Cạnh góc vuông đôi Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam giác thờng: - Có hai góc đôi (g-g) - Có góc xen hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c) - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ - Có cạnh huyền cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc - Dựa vào phơng tích đờng tròn VIII Các toán hình học không gian Hình lăng trụ: Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt song song gọi đáy cạnh không thuộc hai đáy song song với Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác Sxq = p l (p chu vi thiết diện thẳng, l độ dài cạnh bên) Lăng trụ đứng: Sxq = p h (p chu vi đáy, h chiều cao) V = B h (B diện tích đáy, h chiều cao) Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c kích thớc hình hộp chữ nhật) V = a b c Các đờng chéo hình hộp chữ nhật d = a2 + b + c Hình lập phơng: V = a3 (a cạnh) Hình chóp: Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt khác tam giác có chung đỉnh Hình chóp hình chóp có đáy đa giác mặt bên Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp gọi hình chóp cụt Hình chóp đều: Sxq = n a d (n số cạnh đáy; a độ dài cạnh đáy; d độ dài trung đoạn) Stp = Sxq + B (B diện tích đáy) V= B.h Hình chóp cụt đều: Sxq = ( n.a + n.a' ) d (n số cạnh đáy; a, a cạnh đáy; d trung đoạn chiều cao mặt bên) V = V1 + V2 (V1 thể tích hình chóp cụt; V2 thể tích hình chóp trên) V = h B + B'+ B.B' (B, B diện tích đáy, h chiều cao) 3 Hình trụ: Hình trụ hình sinh bới hình chữ nhật quay xung quanh cạnh - Diện tích xung quanh: Sxq = R h (R bán kính đáy; h chiều cao) - Diện tích toàn phần: Stp = R h + R2 - Thể tích hình trụ: V = S h = R2 h (S diện tích đáy) Hình nón: Hình nón hình sinh tam giác vuông quay xung quanh cạnh góc vuông Hình nón cụt phần hình nón đáy thiết diện vuông góc với trục Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq = R l (R bán kính đáy; l đờng sinh) - Diện tích toàn phần: Stp = R l + R2 - Thể tích: V = .R h (h chiều cao) Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2) l (R1; R2 bán kính hai đáy; l đờng sinh) - Diện tích toàn phần: Stp = (R1 + R2) l + (R12 + R22) - Thể tích: V = .h.(R12 + R 22 + R1 R ) (h chiều cao) Hình cầu: - Diện tích mặt cầu: S = R2 (R bán kính) - Thể tích hình cầu: V = .R 3 IX Bất đẳng thức toán tìm cực trị Định nghĩa: a>bab>0ba B A >C 1/ B > C AC > BC,C > 3/ A > B AC < BC,C < A > B > AC > BD 5/ C > D > 2/ A > B A + C > B + C A > B A +C >B+C 4/ C > D 6/ A > B > 0, n N* An > Bn 7/ A > B > 0,n N,n n A > n B A n > A m ,A > n,m N* 9/ n m A < A ,0 < A < n > m Một số BĐT bản: ( a + b) 1 A < B với AB > 8/ A > B > với AB < A B 2n +1 2n +1 a > b a > b 10/ n N 2n+1 a > 2n+1 b a a 4ab a + b a+b a b ab 1 1 (với a, b > 0) (với a, b, c > 0) + + + a b a+b a b c a+b+c 1 n2 a b + + + (Với a1, a2, , an > 0) + (với ab > 0) a1 a2 an a1 + a + + an b a a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a1, a2, , an số thực không âm, ta có: n a1 + a2 + + an n a1 + a2 + + an Dạng 1: Dạng 2: a1a2 an ữ a1a2 an n n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an n S S * Nếu a1 + a2 + + an = S (const) Max ( a1a2 an ) = ữ xảy a1 = a2 = = an = n n * Nếu a1a2 an = P (const) Min ( a1 + a2 + + an ) = n n P xảy a1 = a2 = = an = n P Hệ quả: Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a1, a2, , an (n 2) n số dơng 1, 2, n cho 1+ + + n = thì: a1 a1 a1 1a1 + 2a2 + + nan Dấu xảy a1 = a2 = = an b) Bất đẳng thức: CauChy Bunhiakowski Schwarz (CBS) Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a1, a2, , an; b1, b2, , bn đó: (a )( Dấu đẳng thức xảy Hệ quả: ) + a22 + + an2 b12 + b 22 + + bn2 ( a1b1 + a 2b2 + + a nbn ) a1 a2 a = = = n b1 b2 bn ( ) * Nếu a1x1 + a2x2 + + anxn = c (const) Min x12 + x 22 + + x n2 = c2 xảy a12 + a22 + + an2 x1 x x = = = n a1 a2 an * Nếu x12 + x 22 + + x 2n = c2 (const) x1 x x = = = n a1 a2 an x1 x xn = c a12 + a 22 + + an2 = = = a1 a2 an Max { a1x1 + a2 x + + an x n } = c a12 + a 22 + + an2 Min{ a1x1 + a2 x + + an x n } Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 2 ( a + a + + an ) Dạng khác CBS: a1 + a2 + + an b1 b2 bn b1 + b2 + + bn Phần II Một số dạng tập tự luyện Bài tập biểu thức a +2 Bài 1: Cho biểu thức : P = + a +3 a+ a a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P < x x +3 x +2 x +2 : + + Bài 2: Cho biểu thức: P = ữ ữ ữ x + 1ữ x x x5 x +6 a) Rút gọn P b)Tìm giá trị a để P < x 1 x x + : Bài 3: Cho biểu thức: P = x x + 9x ữ ữ x + ữ ữ a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = a a Bài 4: Cho biểu thức P = + : ữ a + 1ữ a a a + a a 1ữ ữ a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P < c) Tìm giá trị P a = 19 + a3 a(1 a)2 a Bài 5: Cho biểu thức: P = : + a ữ a ữ ữ 1+ a ữ 1+ a a b) Xét dấu biểu thức M = a.(P- ) x +1 2x + x x +1 2x + x + 1ữ: + Bài 6: Cho biểu thức: P = ữ 2x + ữ 2x 2x + 2x ữ a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = + 2 x x Bài 7: Cho biểu thức: P = : 1+ ữ ữ x x + x x ữ x 1ữ x + a) Rút gọn P b) Tìm x để P 2a + + a3 a Bài 8: Cho biểu thức: P = aữ ữ a3 a + a + ữ + a ữ a) Rút gọn P b) Xét dấu biểu thức P a a) Rút gọn P ( ) x+2 x +1 Bài 9: Cho biểu thức P = 1: + x x x + x +1 a) Rút gọn P a a 1+ a Bài 10: Cho biểu thức : P = + a ữ a ữ 1+ a) Rút gọn P Bài 11: Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P x +1 ữ x ữ b) So sánh P với a aữ ữ a b) Tìm a để P < x x 3x + x + 1ữ ữ: ữ x +3 x x9 ữ x b) Tìm x để P < Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 10 Bài 20: Cho (P) y = x đờng thẳng (d) y=ax + b Xác định a b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1; 0) tiếp xúc với (P) Bài 21: Cho hàm số y = x + x + a) Vẽ đồ thị hàn số b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình x + x + = m Bài 22: Cho (P) y = x đờng thẳng (d) y = 2x + m a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) x Bài 23: Cho (P) y = (d) y = x + m a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B c) Xác định đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') qua giao điểm (d') (P) Bài 24: Cho hàm số y = x (P) hàm số y = x + m (d) a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức tính khoảng cách hai điểm áp dụng Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B Bài 25: Cho điểm A(-2; 2) đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x + 1) a) Tìm a để hàm số y = a.x (P) qua A b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) qua A vuông góc với (d1) c) Gọi A B giao điểm (P) (d 2) ; C giao điểm (d 1) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam giác ABC Bài 26: Cho (P) y = x đờng thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hoành độ lầm lợt -2 4 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) c) Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng hoành độ x 2;4 cho tam giác MAB có diện tích lớn x2 điểm M (1; -2) a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M có hệ số góc m b) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi c) Gọi x A ; xB lần lợt hoành độ A B Xác định m để x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị nhỏ d) Gọi A' B' lần lợt hình chiếu A B trục hoành S diện tích tứ giác AA'B'B *Tính S theo m; *Xác định m để S= 4(8 + m2 m2 + m + 2) Bài 27: Cho (P) y = Bài 28: Cho hàm số y = x (P) a) Vẽ (P) b) Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 29: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P) y = x đờng thẳng (d) y = mx 2m a) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm b) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định Bài 30: Cho (P) y = x điểm I(0; -2) Gọi (d) đờng thẳng qua I có hệ số góc m a) Vẽ (P) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m R b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn x2 Bài 31: Cho (P) y = đờng thẳng (d) qua điểm I( ;1) có hệ số góc m a) Tìm m cho (d) tiếp xúc (P) b) Tìm m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt x x2 Bài 32: Cho (P) y = đờng thẳng (d) y = + 2 a) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) b) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đờng tiếp tuyến (P) song song với (d) Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 19 Bài 33: Cho (P) y = x a) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 34: Cho (P) y = 2x Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 điểm B có hoành độ x=2 Xác định giá trị m n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) song song với AB (d1 )x + y = m Bài 35: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình cắt điểm (P) (d2 )mx + y = y = 2x Phơng trình bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn Bài 1: Giải phơng trình sau đây: x x 2x - a) b) =2 + =2 x - x+2 x + x +1 Bài 2: Giải biện luận phơng trình theo m: (m 2)x + m2 = Bài 3: Tìm m Z để phơng trình sau có nghiệm nguyên: (2m 3)x + 2m + m - = Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 7x + 4y = 23 Bài 4: Giải hệ phơng trình: 2x 3y = x + 4y = 2x y = a) b) c) 3x + 4y = 4x 3y = 5 + y = 4x + =2 x y = 2x + = x x + y d) e) f) 4x + 2y = x + y = + = 1,7 x x + y mx y = Bài 5: Cho hệ phơng trình : x + my = a) Giải hệ phơng trình theo tham số m b) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 c) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m x 2y = m Bài 6: Cho hệ phơng trình: 2x + y = 3(m + 2) a) Giải hệ phơng trình thay m = -1 b) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ (a 1)x + y = a Bài 7: Cho hệ phơng trình: có nghiệm (x; y) x + (a 1)y = a) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a b) Tìm giá trị a thoả mãn 6x2 17y = 2x 5y c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức nhận giá trị nguyên x+y x + ay = Bài 8: Cho hệ phơng trình: (1) ax + y = a) Giải hệ (1) a = b) Với giá trị a hệ có nghiệm mx y = n Bài 9: Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình có nghiệm 1; nx + my = ( ) ( a + 1) x + y = Bài 10: Cho hệ phơng trình (a tham số) ax + y = 2a a) Giải hệ a = b) Chứng minh với a hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x + y x - (m + 3)y = Bài 11: Cho hệ phơng trình : (m tham số) (m - 2)x + 4y = m - a) Giải hệ m = -1 Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 20 b) Giải biện luận phơng trình theo m x - m y = Bài 12: Cho hệ phơng trình: (m tham số) mx 4y = m + a) Giải hệ m = -1 b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y > ( m + 1) x y = m + Bài 13: Tìm m để hệ phơng trình Có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y nhỏ x + ( m 1) y = Bài 14: Giải hệ phơnh trình minh hoạ bằmg đồ thị x y = x + = y y + = x a) b) x y c) 2y = x y = 3x 12 + =1 4 2x + by = Bài 15: Cho hệ phơng trình : bx ay = a) Giải hệ phơng trình a = b b) Xác định a b để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (1; -2) mx y = 2m Bài 16: Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m: 4x my = + m x + ay = Bài 17: Với giá trị a hệ phơng trình : ax + y = a) Có nghiệm b) Vô nghiệm 2 x + xy + y = 19 Bài 18: Giải hệ phơng trình sau: x xy + y = x + y = Bài 19*: Tìm m cho hệ phơng trình sau có nghiệm: ( x y ) + m ( x y 1) x + y = 2x xy + 3y = 13 Bài 20: GiảI hệ phơng trình: 2 x 4xy 2y = a3 + 2b2 4b + = Bài 21*: Cho a b thoả mãn hệ phơng trình 2 Tính a2 + b2 a + a b 2b = (a + 1)x y = Bài 21: Cho hệ phơng trình a.x + y = a a) Giải hệ phơng rình a= - b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y > Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Toán chuyển động Bài 1: Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc, ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi Bài 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nớc km/h Bài 3: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngựơc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc km/h Bài 4: Một ngời chuyển động quãng đờng gồm đoạn đờng đoạn đờng dốc Vận tốc đoạn đờng đoạn đờng dốc tơng ứng 40 km/h 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng 110km thời gian để ngời quãng đờng 30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 21 Bài 5: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 km/h, xe với vận tốc 45 km/h Sau đợc quãng đờng AB, xe tăng vận tốc thêm km/h quãng đờng lại Tính quãng đ4 ờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút Bài 6: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời đờng khác dài trớc 29 km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian nhiều thời gian 30 phút Bài 7: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 Km ng ợc chiều Sau 1h40 gặp Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ng ợc 9Km/h vận tốc dòng nớc Km/h Bài 8: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp chỗ gặp cách A Km ? Bài 9: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h Sau thời gian, ng ời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h thay đổi đuổi kịp ngời xe máy B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB, ngời xe đạp giảm bớt vận tốc km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 km Tính quãng đờng AB Bài 10: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h Khi đến B ng ời nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 24 km/h Tính quãng đờng AB biết thời gian lẫn 50 phút Bài 11: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau ng ợc từ B A Thời gian xuôi thời gian ngợc 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc Km/h vận tốc riêng ca nô không đổi Bài 12: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu ô tô với vận tốc đó, 60 km đợc nửa quãng đờng AB, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đờng lại Do ô tô đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB Bài 13: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết hai ca nô đến B lúc Bài 14: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 km Sau 30 phút, ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bài 15: Một ca nô chạy sông giờ, xuôi dòng 108 km ngợc dòng 63 km Một lần khác, ca nô chạy giờ, xuôi dòng 81 km ngợc dòng 84 km Tính vận tốc dòng nớc chảy vận tốc riêng (thực) ca nô Bài 16: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 km, 20 phút Tính vận tốc tầu n ớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h Bài 17: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 km Hỏi vận tốc thuyền, biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 km/h Bài 18: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đờng dài 120 km thời gian định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm km/h nửa quãng đờng lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng Bài 19: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 km thời gian quy định Sau đ ợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do đó, để đến B hạn, xe phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô Bài 20: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian định Khi cách B 30 km, ngời nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc đi, nhng tăng vận tốc thêm km/h tới đích sớm nửa giờ.Tính vận tốc xe đạp tren quãng đờng lúc đầu Bài 21: Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô Bài 22: Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc quãng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km quãng đờng lại Do ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB Bài 23: Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu Bài 24: Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô? Bài 25: Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc ô tô Bài 25: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô Bài 26: Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe Bài 27: Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h, ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 22 Bài 28: Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc 3km/h Bài 29: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp Toán suất Bài 1: Hai đội công nhân làm công việc làm xong Nếu đội làm để làm xong công việc ấy, đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong công việc bao lâu? Bài 2: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày vợt mức 6000 đôi giầy hoàn thành kế hoạch định 24 ngày mà vợt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch Bài 3: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá, nhng vợt mức đợc tuần nên hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch định Bài 4: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trớc làm việc đội xe đợc bổ sung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng Bài 5: Hai tổ sản xuất nhận chung mức khoán Nếu làm chung tổ tổ hoàn thành đợc mức khoán Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong mức khoán tổ phải làm ? Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc định Họ làm chung với tổ thứ đợc điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hoàn thành công việc Bài 7: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi ngời làm công việc xong Bài 8: Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên công nhân lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có công nhân ? Biết suất lao động công nhân nh Bài 9: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc giời xong ? Bài 10: Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đ ợc sản phẩm Bài 11: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy ? Bài 12: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm ? Toán thể tích Bài 1: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 2: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng, vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 3: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, bơm đ ợc 15 m3 Do so với quy định, bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa Bài 4: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khoá lại mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút đ ợc bể Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể ? Bài 5: Hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 6: Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nu chảy thời gian nh lợng nớc vòi II lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể Bài 7: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể ? Một số dạng khác Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 23 Bài 1: Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng đ ợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ Bài 2: Một hình chữ nhật có diện tích 300m Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Bài 3: Ba bình tích tổng cộng 120 lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình 1 bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc thể tích Tìm thể tích bình Bài 4: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phòng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có ghế ? Bài 5: Hai vật chuyển động đờng tròn có đờng kính 20m, xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật Bài 6: Một khối lớp tổ chức tham quan ô tô Mỗi xe chở 22 học sinh thừa học sinh Nếu bớt ôtô xếp học sinh ôtô lại Hỏi lúc đầu có ôtô, học sinh Mỗi xe chở không 32 học sinh Bài 7: Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe ? Bài 9: Hai tổ học sinh trồng đợc số sân trờng Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đ ợc tổ hai gấp đôi số tổ Hỏi tổ trồng đợc ? Bài 10: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã bán cho nhà n ớc Biết lần số thóc hợp tác xã thứ bán cho nhà nớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán 280 Bài 11: Để chở số bao hàng ôtô, ngời ta nhận thấy xe chở 22 bao thừa bao Nếu bớt ôtô phân phối bao hàng cho ôtô lại Hỏi lúc đầu có ôtô tất có bao hàng Biết ôtô chở đợc không 32 bao hàng (giả thiết bao hàng có khối lợng nh nhau) Bài 12: Mỗi ngời dán tất tem vào Nếu dán 20 tem tờ không đủ để dán hết số tem Còn tờ dán 23 tem tờ bị bỏ trống Nếu giả sử mà tờ dán 21 tem tổng số tem dán với số tem thực có ng ời 500 tem Hỏi có tờ số tem ngời có ? Bài 13: Tìm số gồm ba chữ số cho ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm hai chữ số lại, ta đợc có ba chữ số lớn số ban đầu 765 đơn vị Bài 14: Một trăm trâu ăn trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm bó, trâu nằm ăn ba bó, trâu già ăn bó Tìm số trâu loại ? Bài 15: Tìm số có chữ số biết đem số chia cho tổng chữ số đ ợc thơng d Còn đem số chia cho tích chữ số đợc thơng d Bài 16: Hai đội cờ thi đấu với Mỗi đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu bình phơng số đấu thủ đội thứ cộng với số đấu thủ đội thứ hai Hỏi đội có đấu thủ ? Bài 17: Hai đội bóng bàn hai trờng A, B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh Biết đấu thủ đội trờng A phải lần lợt gặp đối thủ trờng B lần số trận đấu gấp lần tổng số đấu thủ đội Tìm số đấu thủ trờng Bài 18: Trong gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn toán tham dự Các học sinh giỏi văn tính số ngời quen bạn học sinh giỏi toán nhận thấy : bạn thứ quen bạn; Bạn thứ quen bạn; Bạn thứ quen bạn ; bạn cuối quen tất bạn học sinh giỏi toán Tính số học sinh giỏi văn, giỏi toán Biết học sinh vừa giỏi văn vừa giỏi toán Bài 19: Trong buổi liên hoan, lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải ngồi thêm đủ chỗ ngồi Biết dãy ghế có số ngời ngồi nh ngồi không năm ngời Hỏi lớp học lúc đầu có dãy ghế Bài 20: Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông lúc loại thuyền : Loại thứ nhất, thuyền chở đợc em loại thứ chở đợc em thuyền Hỏi số thuyền loại ? Bài 21: Tìm số N gồm chữ số, biết tổng bình phơng hai chữ số số cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số đợc số có hai chữ số mà chữ số viết thứ tự ngợc lại Bài 22: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2 Bài 23: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 24: Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm Tính hai cạnh góc vuông Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 24 Bài 25: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số mẫu số tăng gấp giá trị phân số Nếu tử số thêm Tìm phân số 24 Hình học phẳng Bài 1: Cho ABC ( A$ = 900 ), đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp c) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC d) CMR: Nếu SABC = SAEHF tam giác ABC vuông cân Bài 2: Cho tam giác ABC (AB > AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc A cắt (O) M Nối OM cắt BC I ã ã ã ã ã a) Chứng minh BMC cân b) BMA ABC > AMC + ACB = BMC c) Đờng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OI // AH d) Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình ? e) Chứng minh AM phân giác góc OAH f) OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chứng minh OE = MB g) Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE h) Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp i) Từ C vẽ tiếp tuyến (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK k) So sánh góc KMC KCB với góc A l) Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M ả MOC ã ã ã ã ã m) Chứng minh S$ = EOI ; CBC ; ABF = NCM = AON n) Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O) Chứng minh BF = CA Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD a) Chứng minh AI vuông góc với BC ả = IAE ả b) Chứng minh IDE ã d) Cho BAC = 600 Chứng minh DOE Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D, AO kéo dài cắt (O) E a) Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân b) Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c) Tính bán kính (O) biết BC = 24 cm IM = cm Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM Chứng minh c) Chứng minh : AE EC = BE EI a) Tứ giác AMNB hình thang cân b) PH AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c) ON tiếp tuyến đờng tròn đờng kính PH Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F Chứng minh a) Tam giác MAE đồng dạng tam giác MCA ME MC = MF MD b) Tứ giác CEFD nội tiếp c) Khi AB = R tam giác OAM Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC F a) Tứ giác AEHF hình ? b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp c) Chứng minh AE AB = AF AC d) Chứmg minh EF tiếp tuyến chung (O) (I) e) Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 25 a) Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp b) Tính góc AHE c) Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng e) Chứng minh AD = AE f) Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng ? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng: a) EF AC b) DA DF = DC DE c) Tứ giác BDFE nội tiếp Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I a) Chứng minh IA tiếp tuyến (O) b) Chứng minh CK tia phân giác góc ACI c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với ã AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chứng minh : a) AB tiếp tuyến (I; IO) b) MO tia phân giác góc AMN c) MN tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB d) Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi Bài 12: Cho (O;R) (O; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M a) Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M b) Đờng thẳng OO có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c) Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O , M d) Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O, M Bài 13: Cho (O) (O) tiếp xúcngoài A Đờng thẳng Ô cắt (O) (O) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O)) M giao điểm BD CE Chứng minh rằng: a) Góc DME góc vuông b) MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn c) MD MB = ME MC Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp c) Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE b) Chứng minh ADE ABC đồng dạng ã d) Chứng minh BAC = 600 tam giác DME tam giác Bài 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC, cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHA c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI AH d) BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N a) Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b) Tứ giác MNDC nội tiếp c) Chứng minh AC AM = AD AN tích không đổi C, D di động Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc CAx cắt nửa đờng tròn D, tia AD BC cắt E a) Chứng minh tam giác ABE cân B b) Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK AB c) Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T a) Chứng minh OT // AB b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng c) Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 26 d) Tính diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R Bài 19: Hai đờngtròn (O) (O) có bán kính R R ( R > R) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O) F a) Tứ giác AEBD hình ? b) Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c) Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp d) DB cắt (O) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e) Chứng minh MF = DE MF tiếp tuyến (O) Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng tròn tâm O đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O) I a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh BI // AD c) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng MD = MI d) Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O) Bài 21: Từ điểm A bên đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng tròn Gọi I trung điểm dây MN a) Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn b) Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại ? Tính diện tích hình tròn độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O) Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M a) Chứng minh MA = MD b) Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O) Chứng minh E, O, F thẳng hàng Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB b) Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c) Chứng minh DM phân giác góc ADE d) Chứng minh M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A a) Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiếp xúc với BC C b) Hai đờng tròn (O) (O) vị trí tơng đối ? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O) d) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O), (O) Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M B, M C) AM cắt OC N a) Chứng minh tích AM AN không đổi b) Vẽ CD AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c) Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b) Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng c) Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn Bài 27: Cho (O, R) (O, r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO cắt (O) C, cắt (O) D Tiếp tuyến chung AB ( A (O),B (O') ) cắt đòng thẳng OO H Tiếp tuyến chung đờng tròn M cắt AB I a) Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông Chứng minh AB = R.r b) Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD = BB2 + AA2 Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 27 c) Gọi N N lần lợt giao điểm AM với OI BM với OI Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, OI, OH, OH theo R r Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O a) Chứng minh (O, OC) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB b) Gọi D, E theo thứ tự giao điểm thứ hai CA, CB với (O) Chứng minh D, O, E thẳng hàng c) Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E ) a) Chứng minh ABF BDF b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp c) Khi D C di động nửa đờng tròn, chứng tỏ AC AE = AD AF không đổi Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vuông góc M bên (O) Từ A vẽ đ ờng thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng: ã ã a) MAH b) Tam giác ADE cân c) Tứ giác AHBK nội tiếp = MCB Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vuông góc với tia CI C cắt By K Đ ờng tròn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh: a) Tứ giác CPKB nội tiếp b) AI.BK = AC.CB c) APB vuông d) Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn Bài 32: Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O) a) Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng tròn ã ả b) Chứng minh AOC c) Chứng minh BI // MN = BIC c) Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài 33: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vuông góc với AD (E AD) a) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đ ờng tròn nói biết AC = ã 6cm; ACB = 30o < AC ằ ) D điểm thuộc bán kính OC Đờng Bài 34: Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC ( AB vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F a) Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp ã ã b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh: AME = 2.ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến (O) ã d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC (O) biết BC = 8cm; ABC = 60o Bài 35: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D a) Chứng minh CD // AB b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định c) Chứng minh tích KM.KN cố định d) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc Bài 36: Cho đờng tròn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K a) Chứng minh: NKD MAK cân b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK d) Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK // ND Bài 37: Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đ ờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E a) Chứng minh M trung điểm BC b) Chứng minh O1MO2 vuông c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng d) Gọi I trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với d Bài 38: Cho hai đờng tròn tâm O O có R > R tiếp xúc C Kẻ đờng kính COA COB Qua trung điểm M AB, dựng DE AB a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O F CMR ba điểm B, F, E thẳng hàng Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 28 c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O G CMR EC qua G d) *Xét vị trí MF đờng tròn tâm O, vị trí AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 39: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R Dựng Cx, Dy vuông góc với CD Từ điểm E nửa đ ờng tròn, dựng tiếp tuyến với đờng tròn, cắt Cx P, cắt Dy Q a) Chứng minh POQ vuông; POQ đồng dạng với CED R POQ 25 b) Tính tích CP.DQ theo R c) Khi PC= CMR = CED 16 d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng tròn tâm O hình thang vuông CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD Bài 40: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB, COD vuông góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a) Chứng minh I,F,E,O nằm đờng tròn b) Tứ giác CEIO hình ? c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ? Bài 41: Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax c) Hạ BK Ax, BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ tích điểm H Bài 42: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao AD, BK cắt H, BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ? b) Gọi I trung điểm AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng BH c) Chứng minh OI = H; F đối xứng qua AC Bài 43: Cho (O,R) (O ,R ), (với R > R ) tiếp xúc A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O đờng tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O E ã ã a) So sánh AMO với NMC b) Chứng minh N, B, E thẳng hàng OP = R; OP = R c) Xét vị trí PE với đờng tròn tâm O Bài 44: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB Đờng tròn cắt đờng tròn O C D a) Tứ giác ODBC hình ? Tại ? b) Chứng minh OC AD; OD AC c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B Bài 45: Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng tròn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm ) a) Tính góc MPQ biết góc hai tiếp tuyến MP MQ 45 b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh điểm M, P, Q, O, I nằm đờng tròn c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ M chạy d Bài 46: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đờng tròn M Chứng minh: a) OM BC b) Dựng tia phân giác Ax góc A Chứng minh Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F Chứng minh FB EC = FC EB Bài 47: Cho ABC ( AB = AC, A$ < 900 ), cung tròn BC nằm ABC tiếp xúc với AB, AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB Gọi P giao điểm MB, IK Q giao điểm MC, IH Chứng minh a) Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) Tia đối tia MI phân giác góc HMK c) Tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ // BC ã Bài 48: Cho ABC (AC > AB ; BAC > 900) I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F Chứng minh a) Ba điểm B, C, D thẳng hàng b) Tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy Bài 49: Cho đờng tròn (O;R) điểm A với OA = R , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M, N; gọi I trung điểm đoạn MN a) Chứng minh OI MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB, AC Suy A, O, B, C bốn đỉnh hình vuông c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB, AC cung nhỏ BC (O) Bài 50: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R, C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF a) AFC BEC có quan hệ với nh ? Tại ? b) Chứng minh FEC vuông cân Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 29 c) Gọi D giao điểm đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc Bài 51: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB, CD vuông góc với E điểm cung nhỏ BD ( E B;E D ) EC cắt AB M, EA cắt CD N Chứng minh a) AMC đồng dạng ANC b) AM.CN = 2R2 CN c) Giả sử AM = 3MB Tính tỉ số ND Bài 52: Một điểm M nằm đờng tròn tâm (O) đờng kính AB Gọi H, I lần lợt hai điểm cung AM, MB; gọi Q trung điểm dây MB, K giao điểm AM, HI a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP AM P Chứng minh IP tiếp xúc với đờng tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đờng tròn (O) đờng kính AB ã Bài 53: Gọi O trung điểm cạnh BC ABC Vẽ xOy = 600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB, AC lần lợt M, N Chứng minh rằng: a) OBM đồng dạng NCO, từ suy BC2 = BM.CN b) MO, NO theo thứ tự tia phân giác góc BMN, MNC c) Đờng thẳng MN tiếp xúc với đờng tròn cố định, góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox,Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC Bài 54: Cho M điểm nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R ( M A,B ) Vẽ tiếp tuyến Ax, By, Mz nửa đờng tròn Đờng Mz cắt Ax, By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ Bài 55: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB không chứa C D ) Dây ID, IC cắt AB lần lợt M N a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn b) IC AD cắt E; ID BC cắt F Chứng minh EF // AB Bài 56: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B C ) vẽ đờng tròn tâm (O) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt đờng tròn (O) I a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng c) Chứng minh MI tiếp tuyến đờng tròn (O) MI2 = MB.MC Bài 57: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D Chứng minh a) CD // AB b) KM.KN không đổi c) MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định Bài 58: Cho đờng tròn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần l ợt M, N; giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I; giao điểm MD với CN K a) CMR: NKD; MAK cân b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK Bài 59: Cho ba điểm A, B, C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) CMR: CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình ? Tại ? Bài 60: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I; dây BC PD kéo dài cắt K CMR: ả = CKD ã a) CID b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB c) Đờng tròn (AFD) tiếp xúc với PA A Bài 61: Cho (O; R) có dây AB = R cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB; P, Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH, BH với đờng tròn (O); S giao điểm đờng thẳng PB, QA a) CMR: PQ đờng kính đờng tròn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi Bài 62: Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm ) a) CMR: BM // OP b) Đờngthẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ? c) Gọi K giao điểm AN với OP; I giao điểm ON với PM; J giao điểm PN với OM CMR : K, I, J thẳng hàng d) Xác định vị trí P cho K nằm đờng tròn (O) Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 30 Bài 63: Cho đờng tròn (O; R), hai đờng kính AB CD vuông góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O), đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P Chứng minh a) Tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CM CN không đổi d) Khi M di động đoạn AB P chạy mộtđờng thẳng cố định Bài 64: Cho hai đờng tròn (O), (O) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO, AO cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C, D cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai E, F a) CMR: B, F, C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc c) Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng tròn (O), (O) Bài 65: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A B) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C D (D nằm góc BOM) Chứng minh a) Các tia OC, OD tia phân giác góc AOM, BOM b) CA DB vuông góc với AB c) AMB đồng dạng COD d) AC.BD = R2 Bài 66: Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB điểm M đờng tròn Gọi điểm cung AM , MB lần lợt H, I Cãc dây AM HI cắt K a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b) Hạ Chứng minh IP tiếp tuyến (O; R) c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng tròn (O; R) d) CMR M di động thì đờng thẳng HI luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định ã Bài 67: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900 COD = 90 Gọi M điểm nửa đờng tròn cho C điểm chính cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt E F a) Tứ giác OEMF hình ? Tại ? b) CMR: D điểm cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC, OD lần lợt I, K CMR tứ giác OBKM; OAIM nội tiếp đợc Bài 68: Cho ABC (AB = AC), cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC B, C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đ ờng vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR: MI2 = MH MK c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR KI = KB IH = IC hình học không gian Bài 1: Cho hình bình hành ABCD điểm S nằm mp(ABCD) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm SA, SD Tứ giác MNCB hình ? Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G, H theo thứ tự trung điểm AD, CD Lấy điểm E AB, F BC cho: 1 AE = AB;CF = CB 4 a) Chứng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH b) Gọi I giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng Bài 3: Chứng minh rằng: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a Bài 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyến a b CMR: a) Nếu a cắt d M a, b, d đồng qui b) Nếu a // d a, b, d đôi song song 1 Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm D SA cho SD = SA,E AB cho BE = BA Gọi M trung điểm 4 SC, I giao điểm DM AC, N giao điểm IE BC Chứng minh rằng: a) SB // (IDE) b) N trung điểm BC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d (ABC) A Trên d lấy điểm S a) Chứng minh BC SH Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 31 b) Kẻ AI đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI (SBC) c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm Tính BC, SH tính S xq, Stp, V hình chóp S ABC Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng thẳng d vuông góc với mp(ABC), d lấy điểm S a) Chứng minh SA = SB = SC b) Gọi IH đờng cao tam giác SIM CMR: IH (SBC) c) Tính Sxq V hình chóp S ABC biết AB = 3cm ; SA = cm 1 Bài 8: Cho tứ diện S ABC Điểm E SA, F AB cho SE = SA;BF = BA Gọi G, H theo thứ tự trung 3 điểm SC, BC CMR: a) EF // GH b) EG, FH, AC đồng qui Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm a) Chứng minh rằng: SB AC b) Tính SB, BC, SC c) Chứng minh tam giác SAC vuông d) Tính Stp, V Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vuông góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = cm CMR: a) (SAB) (SAD) b) SC BD c) Các tam giác SBC SDC vuông d) Tính Sxq, V hình chóp SABCD Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy hình thoi Biét đờng cao AA = cm, đờng chéo AC = 15 cm , DB = cm a) Tính AB ? b) Tính Sxq, V hình lăng trụ ABCD ABCD c) Tính Sxq, V hình chóp B ABCD Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có AA = cm , góc BAB = 450 Tính Sxq V Bài 13: Hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AD = cm, AB = cm, BD = 13 cm Tính Sxq V ? Bài 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA = 25 cm a) CM: Các tứ giác ACCA, BDDB hình chữ nhật b) CM: AC2 = AB2 + AD2 + AA2 Tính Stp , V ? Bài 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCDcó AB = AA = a góc ACA = 30 Tính Stp V ? Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD ABCD có độ dài cạnh cm a) Tính đờng chéo BD b) Tính Stp V hình chóp A ABD c) Tính Stp V hình chóp A.BCD Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đ ờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc lít nớc ? ( biết dm3 = lít ) Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( gọi thiết diện) hình chữ nhật có diện tích 72 cm Tính bán kính đáy, đờng cao hình trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm Tính S xq V hình trụ Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a) Tính Sxq hình nón b) Tính V hình nón c) Gọi CD dây cung (O; OB)vuông góc với OB CMR: CD (AOB) Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vòng quanh AB Tính bán kính đáy, đ ờng cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600 Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính S xq V Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm a) Tính Sxq hình nón cụt b) Tính V hình nón sinh hình nón cụt Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 32 Bài 24: Một hình thang ABCD có góc A D$ = 900, AB = BC = a , C$ = 600 Tính Stp hình tạo thành quay hình thang vuông vòng xung quanh: a) Cạnh AD b) Cạnh DC Bản quyền thuộc Nguyễn Ngọc Hùng THCS hoàng Xuân Hãn Su tầm biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 33 [...]... khoán Nếu làm chung trong 4 giờ tổ 1 và 6 giờ của tổ 2 thì hoàn 2 thành đợc mức khoán Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao 3 lâu ? Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi tổ thứ hai... việc thì làm xong trong 4 giờ Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? Bài 2: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày... (D) : a) Đi qua điểm A(1; 2 010) b) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0 Bài 9: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4) b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ 2 c) Cắt đờng thẳng -2y + x 3 = 0 d) Song song vối đờng thẳng 3x + 2y = 1 Bài 10: Cho hàm số : y = 2x 2 (P)... ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong ? Bài 10: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20% Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất... 3: Chứng minh rằng: Nếu một mặt phẳng song song với đờng thẳng a của mp(Q) mà (P) và (Q) cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song với a Bài 4: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự là các giao tuyến a và b CMR: a) Nếu a cắt d tại M thì a, b, d đồng qui b) Nếu a // d thì a, b, d đôi một song song 1 1 Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm... 3 a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1 b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4) c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) a) Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0... x1và x2 thoả mãn điều kiện x12 + x 22 = 10 Bài 10: Cho phơng trình x 2 2 ( m 1) x + 2m 5 = 0 a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bài 11: Cho phơng trình x 2 2 ( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số ) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm... trong 10 giờ Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc Bài 7: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong Bài 8: Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc... và (d) b) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d) Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 19 Bài 33: Cho (P) y = x 2 a) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 34: Cho (P) y = 2x 2 Trên (P) lấy điểm A có... làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ? Bài 2: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ? ... hệ hàng số Chú ý: ab = 10a + b ; abc = 100 a + 10b + c Dạng 6: Các toán liên quan đến tỉ số % m Chú ý kết sau: m% A nghĩa A 100 A m m Số A m% số B nghĩa = hay A = B B 100 100 m Số A sau tăng lên... đờng Tính chất tiếp tuyến cắt Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với... hình học không gian Hình lăng trụ: Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt song song gọi đáy cạnh không thuộc hai đáy song song với Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác Sxq = p l (p chu vi thiết