Đang tải... (xem toàn văn)
Tính diện tích tam giác BKC mà chưa biết số đo cạnh đáy và chiều cao nên ta phải tìm mối quan hệ giữa diện tích tam giác BKC với diệ n tìch tam giác khác.. AM cắt BN tại D.. So sánh SOA[r]
(1)I MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA.
Trong chương trình tốn học lớp 5, em học cơng thức tính diện tích hình tam giác:
Ta có cụng thức: S = a h; => a = S : h h = S : a
S diện tìch hình tam giác; a số đo độ dài cạnh đáy; h chiều cao cạnh đáy tam giác
Từ cơng thức này, nhấn mạnh cho tất tốn có liên quan đến hình tam giác xoay quanh mối quan hệ đến diện tích, cạnh đáy, đường cao ứng với tam giác Tuy vậy, tốn có trình độ nâng cao học sinh lúng túng xuất phát từ đâu, cách giải nào? Chính tơi đưa số ví dụ quan trọng giúp học sinh vận dụng cơng thức tính diện tích hình tam giác cách sáng tạo linh hoạt hơn, cụ thể:
1 Tr ườ ng h ợ p : Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy) có chiều cao nhau (hoặc chung chiều cao) diện tích hai tam giác
Ví d ụ : Cho tam giác ABC Trên cạnh BC ta lấy điểm D Hãy so sánh diện tích tam giác ABD ADC
Nh
ậ n xét : Hai tam giác ABD ADC có chung chiều cao hạ từ đỉnh A Muốn so sánh diện tích chúng ta phải so sánh hai cạnh đáy chúng (hình 8)
Gi ả i :
Hai tam giác ABD ADC có đáy BD = DC (Vì tốn cho D điểm cuả BC) chiều cao AH chung
Vậy : SABD = SADC
2 Tr ườ ng h ợ p 2: Hai tam giác có đáy nhau(hay chung đáy), tam giác có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần diện tích gấp 2, 3, 4… lần.
Ví d ụ : Cho tam giác ABC Trên chiều cao AH ta lấy điểm E cho AH = EH x Hãy so sánh diện tích tam giác ABC EBC
Nhận xét:Hai tam giác ABC EBC có chung đáy BC nên để so sánh diện tích ta phải so sánh chiều cao hạ từ đỉnh E A xuống đáy BC
Gi ả i: Nối E với B với C
Hai tam giác ABC EBC có chung đáy BC có chiều cao
(2)3.Trường hợp : Hai tam giác có chiều cao ( chung chiều cao) tam giác
có đáy gấp 2, 3, 4… lần diện tích gấp 2, 3, 4… lần. Ví dụ: Cho tam giác ABC
Kéo dài BC thêm đoạn CD = BC x
Nối A với D So sánh diện tích tam giác ADB ABC
Nhận xét : Hai tam giác
ADB ABC có chung chiều cao từ đỉnh A nên để so sánh diện tích cuả tam giác ta cần so sánh đáy BC BD
Hai tam giác ABC ABD có chung chiều cao AH đáy.BD = x BC (vì CD = x BC)
Vậy SABD =3 x SABC
4.Tr ườ ng h ợ p 4: Hai tam giác có diện tích nhau, đáy (hoặc chiều cao) chiều cao (hoặc đáy) nhau.
Ví d ụ : Hai tam giác ABC DBC có diện tích Hãy so sánh chiều cao AH DK hạ từ đỉnh A D xuống đáy BC
Nhận xét : Hai tam giác ABC DBC có diện tích nên để so sánh chiều cao AH DK ta phải tìm mối liên hệ hai đáy ứng với chiều cao AH
Gi ả i:
(3)Mặt khác tam giác ABC DBC có diện tích lại cịn có chung đáy BC nên suy chiều cao AH DK hạ từ đỉnh A D xuống đáy BC phải Vậy AH = DK So sánh chiều cao AH CK hạ từ A C xuống BD
Ví d ụ : Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm D cho nối B với D BD chia tam giác ABC thành tam giác có diện tích ADB BDC
Nhận xét: Muốn giải toán trước hết phải tìm vị trí điểm D cạnh AC tức ta phải so sánh AD DC
(GV hướng dẫn)
Để so sánh chiều cao AH CK ta phải tìm mối quan hệ diện tích tam giác ABD BDC, quan hệ cạnh đáy ứng với chiều cao AH CK
Gi ả i
Hai tam diện tích có chung chiều cao hạ từ đỉnh B nên đáy AD= DC hay D điểm AC
Mặt khác tam giác ABD BDC lại có chung đáy BD nên chiều cao AH =CK
Ví d ụ 3: Hai tam giác ABC ADC có diện tích chiều cao AH = CK So sánh BC AD
Giải
Theo ra:SABC = S ADC
Mặt khác tam giác lại có chiều cao AH = CK nên suy đáy cuả chúng phải
Vậy BC = AD
(4)Ví dụ : Cho tam giác ABC.Trên BC lấy điểm D cho nối A với D ta tam giác ABD gấp lần diện tích tam giác ADC Hãy so sánh chiều cao BH CK hạ từ đỉnh B C xuống AD
a) Nh ậ n xét :
- Tìm vị trí điểm D cạnh BC So sánh chiều cao BH CK ta phải tìm mối quan hệ diện tích tam giác ABD ADC, mối quan hệ cạnh đáy ứngvới chiều cao BH CK
Gi ả i
Theo ra:SABD = x SADC
mà hai tam giác lại có chung chiếu cao hạ từ đỉnh A nên đáy BD = x DC
Mặt khác tam giác ABD ADC lại có chung đáy AD nên chiều cao BH = x CK
Ví d ụ 2: Cho tam giác ABC Trên BC kéo dài phía C lấy điểm D cho diện tích tam giác ABD gấp lần diện tích tam giác ABC So sánh BD BC
Nh
ậ n xét: (HD giải GV) Muốn so sánh BD BC ta phải tìm mối quan hệ diện tích tam giác ABD ABC, tìm mối quan hệ chiều cao hạ từ đỉnh xuống đáy BC BD Gi ả i:
Theo ta có: S ABD = SABC x
Mặt khác tam giác lại có chung chiều cao AH suy đáy BD tam giác ABD phải gấp đáy BC tam giác ABC
(5)6 Tr ườ ng h ợ p 6: Hai tam giác có diện tích nhau, chúng có phần diện tích chung các phần diện tích cịn lại tam giác
Ví dụ: Cho tam giác ABC DBC có diện tích AC DB cắt I Hãy so sánh diện tích AIB v DIC.à
Gi
ả i : Theo ta có: SABC = SDBC Mặt khác tam giác có diện tích lại có chung hình IBC nên phần diện tích cịn lại chúng phải Vậy SAIC = SDIC
II.MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO.:
Sau học sinh biết cách giải toán trung gian nêu đặc biệt nắm kết luận, tơi giới thiệu số tốn nâng cao mà giải toán yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt, sáng tạo tổng hợp kiến thức học
Bài toán 1: cho tam giác ABC có góc A góc vng, AB = 30cm, AC = 45cm M điểm trên cạnh AB cho AM = 20cm Từ M kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC điểm N Tính diện tích tam giác AMN
Nh
ậ n xét: (HD giải GV)
Muốn tính diện tích tam giác vng AMN biết AM = 20cm ta cần tính AN Mà AC = 45cm nên cần tính NC
Tam giác BNC có chiều cao AB = 30cm nên để tính đáy NC ta cần biết SBNC Diện tích tam giác BNC tính thơng qua diện tích tam giác BMC Gi ả i
Nối M với C, B với N Diện tích tam giác BMC là: 45 x (30- 20) : = 225 (cm2) Vì MN // BC nên tứ giác BMNC hình thang
(6)tức chiều cao cuả hình thang BMNC) Độ dài đoạn NC là: 225 x : 30 = 15 (cm) Diện tích tam giác AMN : 20 x (45- 1) : = 300(cm2).
Đáp số: 300 cm2.
Bài tốn : Cho tam giác có diện tích 12 cm2 Cạnh AB = cm
AC = cm Kéo dài thêm AB đến M AC đến N cho BM = CN = cm Hỏi diện tích tam giác AMN bao nhiêu?
Cách 1: Nhận xét: Tam giác AMN có AM = + = 10 cm
Để tính diện tích cần tính chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AM(hoặc AN = + = cm)
Để tính diện tích ta cần tính chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy.Mặt khác chiều cao hạ từ N xuống đáy AM lại chiều cao tam giác ABN nến cần tìm diện tích tam giác ABN tốn giải
Gi ả i
Nối B với N ta có : Chiều cao BH là:
12 x : 5=4,8 (cm)
Diện tích tam giỏc ANB là:
(5+2)x 4,8 : = 16,8 (cm2) Chiều cao NK là: 16,8 x : =4.2 (cm) Diện tích tam giác AMN : ( 8+2) x 4,2 : =21 (cm2)
Đáp số : 21 cm2
Cách 2: Nh
ậ n xét : ( HD giải GV) SAMN so sánh với SANB SANB so sánh với SABC => SAMN so sánh với SABC
SANB =
SABC ( chung chiều cao hạ từ đỉnh
B, đáy AN=
2
AC)
(7)Mà SABC = 12cm2 nên ta tính SAMN
12
=16,8 (cm2)
( chung chiều cao hạ từ N, đáy AM=
2
AB)
Diện tích tam giác AMN là:16,8 x 21(
cm2) Đáp số: 21 cm2
Bài toán 3: Cho tam giác ABC với M cạnh AB, N điểm đoạn MB, P điểm cạnh AC, Q điểm đoạn PC Tính diện tích tam giác ABCD 16cm2
Nhận xét: SMNPQ = SABQ – SAMP – SNBQ
Như ta cần tính: SABQ = ? cm2
SAMP = ? cm2 SNBQ = ? cm2 Gi
ả i
Nối B với Q; B với P ta có:
SABQ =
SABC ( chung chiều cao hạ từ B,đáy AQ =
AC)
Diện tích tam giác ABQ là: 16
=12 (cm2)
SNQB =
SABP ( chung chiều cao hạ từ điểm Q, đáy NB =
AB)
Diện tích tam giác NBQ là: 12
= (cm2)
SAMP =
SABP (1) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AM =
AC)
SABP =
SABC (2) (vì chung chiều cao hạ từ điểm B, đáy AP =
(8)Từ (1) (2) ta có: SAMP =
SABC Diện tích tam giác AMP là: 16
= 4(cm2) Diện tích tứ
giác MNPQ là: 12 – – = 5(cm2) Đáp số : cm2
Bài toán 4: Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác, đường thẳng AO cắt cạnh BC M Đường thẳng BO cắt CA N Cho biết diện tích tam giác AOB cm2, diện tích BOM AON cm2 Tính diện tích tam giác ABC.
Nh
ậ n x ộ t : SABC = SAOB + SAOC + SBOC Mà SAOB= cm2 nên để tính SABC
ta cần so sánh: SAOB với SABC SBOC với SABC
=> SABC so sánh với SAOB Sau tính SABC
Giải Ta cú: SABM SABN = + = (cm2) Nối O với C hạ đường cao OK; AH; OP; BQ
Ta thấy: OK =
AH (vỡ SBOM =
SABM, chung đáy BM)
SBOC =
SABC (vì chung đáy BC, chiều cao OK AH) OP =
BQ (vì SAON =
SABN, chung đáy AN)
SAOC =
SABC (vì chung đáy AC, chiều cao OP
QB)
Mặt khác: SAOB = SABC – (SAOC + SBOC)
Hay SAOB = SABC - ( SABC + SABC) SAOB = SABC
Diện tích tam giacsABC là: :
= 6(cm2)
(9)Bài toán 5: Cho tam giác ABC có diện tích 420cm2 N điểm cạnh AC P điểm nằm cạnh AB cho AP = PB Các đoạn thẳng BN CP cắt K Hãy tính diện tích tam giác BKC?
Nh
ậ n xét : ( HD giải GV)
Tính diện tích tam giác BKC mà chưa biết số đo cạnh đáy chiều cao nên ta phải tìm mối quan hệ diện tích tam giác BKC với diện tìch tam giác khác. Gi
ả i
SABN = SNCK (1) (Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy
AN = NC)
SAKN = SNKC (2) (Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy
AN = AC)
Từ(1) (2) ta có SABK = SBCK
SPBC =
SAPC (3) (Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy PB =
AP)
SPKB =
SAPK (4) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy PB =
AP)
Từ (3) (4) ta cú: SBKC =
SAKC
Nếu gọi SBKC phần SABK phần SAKC phần Vậy SABc = + + = (phần)
Diện tích tam giác BKC là: 420 : = 84 (cm2)
Đáp số: 84 cm2
Bài toán 6: Cho tam giác ABc Trên cạnh AB lấy điểm D, E cho AD = DE = EB, cạnh AC lấy điểm M, N cho AM + MN = NC Tính diện tích tứ giác DEMN cm2.
Nh
ậ n xét : ( HD giải GV) SDENM = SDEM + SMEN
Để tính SABC ta cần so sánh SDEM SMEN với diện tích tam giác có liên quan đến tam giác ABC Gi
ả i
SDEM =
SAEM (Vì chung chiều cao hạ từ từ đỉnh M, đáy DE =
AE )
SMEN =
SMEC (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy MN =
(10)SDEM + SMEN =
( SDENM + SMEN) Hay SDENM=
SAEC (1) Mặt khác
SAEC =
SABC (2) ( chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AE =
AB)
Từ (1) (2) ta cú: SDENM =
SABC
SABC = :
= 18 (cm2)
Đáp số: 18 cm2
Bài toán 7: Cho tam giác ABC M điểm cạnh CA cho CN = NA AM cắt BN D Hãy tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ADB 20 cm2.
Nh
ậ n xét : SABC = SADB + SADC + SBDC
Để tính SABC cần tính diện tích tam giác ADC diện tích tam giác BDC Giải
SABN =
SBNC (1) (vì chung chiều
cao hạ từ B, đáy
AN =
NC)
SAND =
SNDC (2)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy AN
NC)
Từ (1) (2) ta có: SADB =
SBDC
Diện tích tam giác BDC là: 20:
(11)SAMC =
SBDM (3) (Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy MC = BM) SMDC =
SNDM (4) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy MC =
BM)
Từ (3) (40 ta có: SADC =
SADB
Diện tích tam giác ADC là: 20
= 10 (cm2)
Vậy diện tích tam giác ABC là: 20 + 10 + 60 = 90 (cm2) Đáp số: 90 cm2
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có cạnh AB = cm có diện tích 36 cm2 Trên BC lấy điểm M cho BM = MC Qua M người ta vẽ đường thẳng cắt BA kéo dài K cho diện tích tam giác KBM = 36 cm2.
a) Tính đoạn BK
b) AC MK cắt O So sánh SOAK : SOCM Giải
a) Nối M với A ta có: SABM =
SABC (vì chung
chiều cao hạ đỉnh A, đáy
BM =
BC)
Mà SABC = SKBM = 36 cm2 nên
SABM =
SKBM (Hai tam giác KBM tam giác
ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy
AB =
BK)
Đoạn BK dài : :
= 12 (cm) Đoạn AK dài là: 12 – = (cm)
b)Theo ta có: SABC = SKBM (hai tam giác có chung hinh tứ giác ABMO nên phần diện tích cịn lại chúng nhau) Vậy SOAK = SOCM
Đáp số: a) cm; b) SOAK = SOCM
Bài toán 9: Cho tam giác ABC Trờn cạnh BC lấy điểm M cho
BM =
MC; cạnh CA lấy điểm N cho NC =
NA Đường thẳng MN cắt cạnh AB kéo
(12)a)Tính diện tích phần đó, biết SABC = 36 cm2 b) Tính KA : KB
Nh
ậ n xét : Đường thẳng MN chia tam giác ABC thành phần tam giác MNC tứ giác ABMN để tính diện tích phần trước ta cần tính tìm diện tích tam giác MNC Tam giác MNC chưa biết cạnh đáy chiều cao nên muốn tính diện tích tam giác MNC ta cần tim mối quan hệ tam giác MNC với tam giác liên quan.Cụ thể: So sánh SMNC với SAMC
- So sánh SAMC với SABC
- Từ học sinh rút kết luận
Gi ả i
a) Nối A với M ta có:
SAMC =
SABC (1) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy CM =
CB) SMNC =
SAMC (2) (vì
chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy CN =
CA)
Từ (1) (2) ta có: SMNC =
SABC Diện tích tam giác MNC là:
36
= 30 (cm2)
Diện tích tứ giác ABMN là: 36 – = 30 (cm2)
b)SKNC =
SKNA (3) (vì chung chiều
cao hạ đỉnh K, đáy NC = NA) SMNC =
SMNA (4) (vì chung chiều
đáy NC = =
NA)
Từ (3) (4) ta có: SKMC =
SKMA (5)
Mặt khác: SKMC = SKMB (6)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy MB =
MC)
Từ (5) (6) ta có:
SKMA = SKMB hay SKMB =
(13)Hai tam giác KMB KMA lại có chung đáy từ đỉnh M nên đáy KB =
KA
Đáp số : a) cm2 30 cm2
b) KB =
KA
Bài tốn 10: Cho tam giác ABC có AB = 1,5 cm Trên cạnh Bc lấy điểm M cho BM = MC cạnh AC lấy điểm N cho AN = NC Đường thẳng MN đường thẳng AB cắt P
a) tính độ dài đoạn thẳng MP MN b) So sánh độ dài đoạn thẳng MP MN Nhận xét: Tôi hướng dẫn để học nhận thấy: Muốn tính AP ta phải so sánh SANP với SABN Muốn so sánh diện tích hai tam giác ta cần so sánh với tam giác trung gian.Vậy tìm tam giác tam giác trung gian
Gi ả i
a) SPBM = SPMC (1) (vì chung chiều cao hạ từ dỉnh P, đáy MB = MC) SNBM = SNMC (2) (vì chung chiều cao hạ từ dỉnh N, đáy MB = MC)
Từ (1) (2) ta có: SPBM = SPNC
Mặt khác SPAN = SPNC (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AN = NC) Vậy gọi SPNC phần SPAN phần SPBN phần
Diện tích tam giác ABN là: – = (phần)
Hay SPAN = SABN Hai tam giác PAN ABN lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh N nên đáy AP = AB
Đoạn AP dài là: 1,5 = (cm)
b SPAN = SABC (3) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy PA = AB)
SPAN = SABN (4)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy PA = AB) Từ (3) (4) ta có: SPNC = SBNC (5) Mặt khác: SBNC = SMNC (6)
(14)Từ (5) (6) ta có: SPNC = SMNC (5)
Hai tam giác PNC MNC có chung chiều cao hạ từ đỉnh C, nên đáy PN = MN = MN
Đáp số: a cm; b) MP = MN
Bài toán 11: Cho tam giác ABC có D, E điểm canh AB, AC Hãy so sánh diện tích tam giác AEC vớii diện tích tam giác ABC
M diểm BC Đoạn AM cắt đoan thẳng DE I Hãy so sánh AI MI Nh
ậ n xét: - So sánh diện tích tam giác ADE ABC ta cần so sánh qua tam giác trung gian tam giác ABE
- So sánh AI IM ta xem AI IM đáy hai tam giác Sau dựa vào giả thiết để so sánh tam giác
Gi ả i
Nối B với E ta có: SADE=
SABE (1) (vì chung chiều cao hạ từ
đỉnh E, đáy AD = AB) SABE =
SABC (2)
(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy
AE =
AB)
Từ (1) (2) ta có : SADE =
SABC
.b, Nối B với I, C với I ta được:
SADM =
SABM(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD = AB) SAEM =
SACM (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AE =
AB)
SADM + SAEM =
(SABM + SACM) Hay SADEM =
SABC
Theo câu a, SADE =
SABC nên SDEM =
SABC
Hay SADE = SDEM
(15)Hai tam giác ADI DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy AI = IM
Đáp số: a, =
SABC ;
b, AI = IM
Bài toán 12 :Cho tam giác ABC, D điểm nằm cạnh AB cho AD =
AB E điểm
nằm rên cạnh AC cho AE=
AC Một đường thẳng qua A cắt đoạn thẳng DE I cắt
cạnh BC M
So sánh diện tích tam giác ADE tam giác ABC So sánh đoạn thẳng AI AM
Nh
ậ n xét : Tương 11 Giải
a, SADE =
SABE (1)
(vì chung chiều cao hạ từ đ ỉnh E, đáy
AD = AB) SABE =
SABC (2)
Từ (1) (2) suy :
SADE =
SABC
b, SADM =
SADM (3)(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD= AB) SAME =
SAMC (4) Từ (3) (4) ta có:
SADM + SAME=
(SADM + SAMC) Hay SADME = SABC
Theo câu a, SADE =
SABC nên SADE =
SADME hay SADE =
SDME
Hai tam giác ADE DEM có chung đáy DE nên chiều cao AK =
2
MH
Ta lại có SADI =
SDMI(vì chung đáy DI, chiều cao AK =
MH) Hai tam giác ADI DIM có
chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy AI =
(16)hay AI =
AM
Đáp số: a, SADE =
SABC : b, AI =
AM
Bài tốn 13: Cho hình thang ABCD có đáy AB CD AC BD cắt O M điểm cạnh đáy AB đường thẳng OM cắt cạnh đáy CD N
So sánh đoạn CN với ND
Nhận xét: CN DN hai cạnh đáy cuả tam giác ODN ONC
Hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh O nên để so sánh CN ND ta phải so sánh diện tích cuả tam giác
Mặt khác tam giác lại có chung đáy ON nên để so sánh diện tích ta cần so sánh chiều cao DH CK Hai chiều cao DH CK ta so sánh dựa vào tam giác có liên quan Gi ả i
SBMD = SAMC (1)(vì đáy AM = BM, chiều cao hạ từ đỉnh D C chiều cao cuả hình thang ABCD)
đáy OM nên chiều cao DH = CK SAOM = SBOM (2) (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh O đáy AM = BM) Từ (1) (2) ta có:
SDOM = SCOM
Hai tam giác DOM COM có chung OM
Ta lại có: SODN = SONC (vì chung đáy ON, chiều cao DH = CK)
Hai tam giác ODN OCN lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh O nên đáy CN = ND
Bài tốn 14: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp lần đáy AB Hai đường chéo AC BD cắt O
a, So sánh đoạn thẳng OB với OD, OA với OC
(17)a, SADC = SABC
(vì CD = AB, chiều cao hạ từ đỉnh A C chiều cao hình thang ABCD)
Hai tam giác ADC ABC có chung đáy AC nên chiều cao DH = x BK SADO = x SABO (vì chung đáy OA, chiều cao DH = x BK) Hai tam giác AOD AOB có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy OD = x OB
Hồn tồn tương tự ta có OC = x OA
SACD = SBCD (vì chung chiều cao chiều cao cuả hình thang ABCD) Hai tam giác ACD BCD ó chung hình OCD nên ta có SAOD = SBOC Nếu coi SAOB phần SAOD SBOC phần
Hai tam giác AOD DOC có chung chiều cao DH, OC = x OA Nên SDOC = x SAOD = x = (phần)
Như SABCD = + + + = 16 (phần)
Diện tích tam giác AOD là: 32 : 16 x = (cm2) Diện tích tam giác OCD là: 32 : 16 x = 18 (cm2)
Đáp số: a, OD = x OB ; OC = x OA b, SAOD = cm2 SDOC =18 cm2.
Bài tốn 15: Cho hình thang ABCD có đáy bé AB = 14 cm, đáy lớn CD = 26 cm Trên BC lấy điểm N, nối MN
a, Chứng ỏ MN // AB CD
b, Tính diện tích hình thang ABCD biết diện tích tam giác NCD 78 cm2. Nh
ậ n xét: Muốn chứnh tỏ MN // AB CD ta phải chứng tỏ chiều cao hạ từ đỉnh M N xuống đáy CD ( AB)
Gi ả i
a, Nối A với C, M với C
Ta có : SMCD =
SACD (vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy MD =
(18)Hai tam giác MCD ACD có chung
đáy CD nên chiều cao ME =
AH
Nối D với B, D với N
Ta có: SNCD =
SBCD(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy NC =
BC)
Hai tam giác NCD BCD có chung đáy CD nên chiều cao NF =
BK
Mặt khác BK = AH nên NF = ME hay MN // CD AB
b, Độ dài cuả chiều cao NF : 78 x : 26 = (cm) Độ dài cuả chiều cao hình thang ABCD : x = 12 (cm)
Diện tích hình thang ABCD : (14 + 26) x 12 : = 240 (cm2) Đáp số: a, MN // AB CD
b, SABCD = 240 cm2.
(19)III NHỮNG BÀI TỐN HAY VÀ KHĨ.
Bài Hình chữ nhật ABCD có chu vi 68cm chia thành hình chữ nhật hình vẽ bên Tính diện tích ABCD.
Giải
Gọi chiều dài hình chữ nhật nhỏ a, chiều rộng hình chữ nhật nhỏ b Vậy chiều dài hình chữ nhật lớn a2 = b 5 Hay a4 = b 10 (1) Chiều rộng hình chữ nhật lớn là: a +b hay a2 + b2 (2) thay a2 ta có b 5+ b2 = b 7 (3)
Vậy chiều dài hình chữ nhật là: 10 = 20 (cm) Chiều dài hình chữ nhật là: = 14 (cm) Diện tích ABCD là: 20 14 = 280 (cm2) đáp số: 280 cm2
Bài Tính diện tích phần tô đậm, AB = FH = HE = GC = 1
2DG E, F trung điểm AD BC (Xem hình vẽ) Biết diện tích hình EHGD 3cm2 Tìm diện tích hình thang ABCD.Giải.Gọi đường cao hình EGHD h đường cao hình thang ABCD h2
Diện tích hình thang EGHD là:
2(2 a +a) h =
2 (3 a) h
hình thang EGHD:
2 (3 a +a ) h =
2 (4 a ) h =
2 (8 a ) h
Tỉ lệ diện tích hình thang EGHD diện tích hình thang ABCD là:
1
2(3 a) h :
2 (8 a ) h =
a a
=
8
Vậy SABCD là: :
8 = (cm 2)
(20)Bài Một hình chữ nhật gấp dọc theo đường chéo hình vẽ
Diện tích hình thu 8diện tích hình chữ nhật ban đầu Biết diện tích hình tam giác AIC 18 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu
Giải
Khi gấp theo đường chéo vậy diện tích hình chữ nhật giảm phần diện tích AIC (xem hình vẽ)
Do diện tích hình thu
SABCD Nên SAIC = - =
3 SABCD
Vậy SABCD = 18 :
8 = 48 (cm 2)
Đáp số: 48 cm2.
Bài Cho hình chữ nhật ABCD hình chữ nhật BGFE hình vẽ Hình chữ nhật BGFE có diện tích 24 cm2 Biết
CE =
3DC Tính diện tích hình chữ nhật ABCD
Giải
(xem hình vẽ)
SBCE =
2 24 = 12 (cm 2)
vì chiều cao tam giác BCE cao hình chữ nhật BEGF)
Mặt khác SBCE =
3SBCD ( CE =
3DC chung chiều cao hạ từ B xuống DC)
Suy SBDC = 12 :
3 = 36 (cm 2)
Mà SBCD =
(21)SBCE =
2 S BGFE (vì chung đáy chiều dài hình chữ nhật có chiều cao chiều
Vậy SABCD = 36 :
2 = 72 (cm 2)
Đáp số: SABCD = 72 cm2
Bài 5.Hình bên tạo hai hình vng có độ dài là: 5cm 4cm Tính diện tích hình BEC
Giải
Ta có AC = 5+4 = cm; AB = BE = cm; CD = DE = cm; EF = 1cm
Suy SABC =
2AB AC = 45
2 (cm 2)
SCDE =
2CD DE= (cm 2)
SBEF =
2BF EF = 2(cm
2)
Tổng diện tích hai hình vng ABCD CDEG là:
5 +44 = 41 (cm2) Diện tích hình BEC là:
41 – (45 +8+
5
2) = (cm 2)
(22)
Bài Hình vng ABCD tạo tam giác hai hình vng nhỏ Biết hai tam giác đỉnh B đỉnh D hai tam giác vng cân (Tức có hai cạnh bên vuông nhau) BN = DM = 10 cm Tính diện tích ABCD
Giải
Do ABCD hình vng, hai tam giác đỉnh B đỉnh D tam giác vuông cân Nên suy hai tam giác đỉnh A đỉnh C hai tam giác vng cân Mặt khác có hai hình vng nhỏ Nên MN = NP Suy AN = BN => AB = 30cm
.Vậy diện tích tam giác ABCD là: 30 30 = 900 (cm2)
Đáp số : 900 cm2
6 Trong hình bên, A B hai hình vng nằm hình vng to Tìm tỉ lệ diện tích A B
Giải
Kẻ hai đường chéo hai hình A B hai đường thẳng song song với chúng hình vẽ Nhận thấy nửa hình vng to chia thành hình tam giác nhỏ nhau, hình A có
tổng diện tích hình Vậy tỉ số diện tích hình A với nửa hình vng là: : = (nửa hình vng to)
+ Kẻ đường chéo hình vng B ta nhận thấy :
(23)Vậy tỉ số diện tịch hình b so với nửa hình vng to : : =
2 (nửa hình vng to)
Tỉ lệ diện tích hình A so với hình B là: 9:
1 =
8
Đáp số :
Một số tốn có lời văn giải sẵn mang Thương hiệu Tạ Văn Khôi
Bài 11 : Một người mang cam đổi lấy táo lê Cứ cam đổi táo và lê, táo đổi lê Nếu người đổi hết số cam mang 17 quả táo 13 lê Hỏi người mang cam ?
Bài giải
9 cam đổi táo lê nên 18 cam đổi táo lê Vì táo đổi lê nên 18 cam đổi : + = (quả táo)
Do cam đổi táo Cứ táo đổi lê nên 10 cam đổi lê Vậy cam đổi lê Số cam người mang để đổi 17 táo 13 lê : x 17 + x 13 = 99 (quả)
Bài 38 : Hải hỏi Dương : “Anh phải 30 tuổi phải khơng ?” Anh Dương nói : “Sao già ! Nếu tuổi anh nhân với số có ba chữ số, hai chữ số cuối tuổi anh” Các bạn Hải tính tuổi anh Dương nhé.
Bài giải :
Cách : Tuổi anh Dương không 30, nhân với số có chữ số Vậy chữ số hàng trăm tích Hai chữ số cuối số có chữ số tuổi anh Vậy tuổi anh Dương nhân với tuổi anh Dương 100 tuổi Ta có sơ đồ :
Tuổi anh Dương : 100 : (6 - 1) = 20 (tuổi)
Cách : Gọi tuổi anh Dương (a > 0, a, b chữ số)
Vì khơng 30 nên nhân với số có ba chữ số mà chữ số hàng trăm Ta có phép tính :
Vậy tuổi anh Dương 20
Bài 53 : Không thay đổi vị trí chữ số viết bảng : mà chỉ viết thêm dấu cộng (+), bạn cho kết dãy phép tính 90 được khơng ?
Bài giải :
(24)Để tìm hai cách điền ta có nhận xét sau : Tổng + + + + + + + = 36 ; 90 - 36 = 54
Như muốn có tổng 90 số hạng phải có hai số số có hai chữ số Nếu số có hai chữ số 87 76 mà 87 > 54, 76 > 54 nên Nếu số có hai chữ số 65 ; 65 + 36 - - = 90, ta điền :
8 + + 65 + + + + - 90
Nếu số có hai chữ số 54 khơng thể có tổng 90 54 + 36 - - < 90
Nếu số có hai chữ số 43 ; 43 < 54 nên khơng thể Nếu tổng có số có hai chữ số 43 21 ta có 43 + 21 - (4 + + + 1) = 54 Như ta điền : + + + + 43 + 21 = 90
Bài 56 : Điền số thích hợp theo mẫu :
Bài giải : Bài có hai cách điền :
Cách : Theo hình 1, ta có trung bình cộng (vì (3 + 5) : = 4) Khi hình 2, gọi A số cần điền, ta có A trung bình cộng 13 Do A = (5 + 13) : =
Ở hình 3, gọi B số cần điền, ta có 15 trung bình cộng B Do + B = 15 x Từ tìm B = 22
Cách : Theo hình 1, ta có : x + x = x Khi hình ta có : x + A x A = 13 x 13 suy A x A = 144 Vậy A = 12 (vì 12 x 12 = 144) Ở hình ta có : x + 15 x 15 = B x B
Suy B x B = 289 Vậy B = 17 (vì 17 x 17 = 289)
Bài 108 : Số táo An, Bình Chi An cho 17 quả, Bình cho 19 quả lúc số táo Chi gấp lần tổng số táo cịn lại An Bình Hỏi lúc đầu mỗi bạn có táo ?
Bài giải :
Nếu coi số táo Chi gồm phần tổng số táo An Bình 10 phần Số táo mà An Bình cho : 17 + 19 = 36 (quả)
Vì số táo Chi gấp lần tổng số táo cịn lại An Bình nên số táo lại hai bạn gồm phần Như An Bình cho số phần : 10 - = (phần)
Vậy số táo Chi : (36 : 9) x = 20 (quả)
(25)Bài 113 : So sánh M N biết : M=
2012 2011 2014
2013
vµ N=
2012 2014
2011 2013
Bài giải :
Bài 119 : Trong đợt trồng đầu năm, lớp 5A cử số bạn trồng trồng được 180 cây, học sinh trồng Tính số học sinh tham gia trồng cây, biết số học sinh tham gia số chia hết cho
Bài giải :
Nếu bạn trồng số người tham gia : 180 : = 20 (người)
Vì 180 : = 22 (dư 4) nên số người tham gia nhiều 22 người có người trồng cây, cịn lại người trồng
Theo đầu số người tham gia số chia hết có 21 bạn tham gia
Bài 122 : Cha 43 tuổi Nếu tính sang năm tuổi cha vừa gấp tuổi hiện nay Hỏi lúc tuổi tuổi cha gấp lần tuổi ? Có tuổi cha gấp lần tuổi con khơng ? Vì ?
Bài giải : Tuổi cha sang năm : 43 + = 44 (tuổi) Tuổi : 44 : = 11 (tuổi) Tuổi cha tuổi : 43 - 11 = 32 (tuổi)
Khi tuổi cha gấp lần tuổi cha 32 tuổi Ta có sơ đồ tuổi cha gấp lần tuổi sau :
Nhìn vào sơ đồ ta thấy :
Tuổi : 32 : (5 - 1) = (tuổi)
Nếu tuổi cha gấp lần tuổi con, tuổi phần tuổi cha phần Tuổi cha tuổi số phần : - = (phần), cha 32 tuổi ; 32 không chia hết không tuổi cha gấp lần tuổi (vì ta coi tuổi hàng năm số tự nhiên)
Bài 127 : Ba lớp 5A, 5B 5C trồng đầu xuân Trong số lớp 5A lớp 5B trồng nhiều số 5B 5C Số lớp 5B 5C trồng nhiều số 5A 5C Tính số trồng lớp Biết rằng tổng số trồng ba lớp 43
Bài giải :
Cách : Vì số lớp 5A lớp 5B trồng nhiều số lớp 5B 5C cây nên số lớp 5A số lớp 5C Số lớp 5B 5C trồng nhiều số lớp 5A 5C nên số lớp 5B trồng nhiều số lớp 5A
(26)Ba lần số lớp 5C : 43 - (3 + + 1) = 36 (cây) Số lớp 5C : 36 : = 12 (cây)
Số lớp 5A : 12 + = 15 (cây) Số lớp 5B : 15 + = 16 (cây)
Cách : Hai lần tổng số lớp : 43 x = 86 (cây) Ta có sơ đồ :
Số lớp 5A 5C trồng : (86 - - - 1) : = 27 (cây) Số lớp 5B : 43 - 27 = 16 (cây)
Số lớp 5B 5C : 27 + = 28 (cây) Số lớp 5C : 28 - 16 = 12 (cây) Số lớp 5A : 43 - 28 = 15 (cây)
Bài 131 Tính diện tích hình chữ nhật ABCD Biết diện tích hình AIKD 20cm2
và I điểm chia AB thành phần
Lời giải.
Kí hiệu S diện tích hình Nối D với I Qua I C vẽ đường thẳng IP CQ vng góc với BD, IH vng góc với DC
Ta có SADB = SCDB = 1/2 SABCD SDIB = 1/2 SADB (vì có chung đường cao DA, IB = 1/2 AB), SDIB = 1/2 SDBC
Mà tam giác có chung đáy DB
Nên IP = 1/2 CQ SIDK = 1/2 SCDK (vì có chung đáy DK IP = 1/2 CQ) SCDI = SIDK + SDKC = 3SDIK
Ta có : SADI = 1/2 AD x AI, SDIC = 1/2 IH x DC
Mà IH = AD, AI = 1/2 DC, SDIC = 2SADI nên SADI = 3/2 SDIK Vì AIKD phần tơ màu vàng nên SAIKD = 20(cm2) SDAI + SIDK = 20(cm2)
SDAI + 2/3 SADI = 20(cm2) SDAI = (3 x 20)/5 = 12 (cm2)
(27)Bài 35 : Tuổi em lần tuổi tuổi anh tuổi của em Đến tuổi em tuổi anh tổng số tuổi hai anh em 51 Hỏi anh tôi, em tuổi ?
Bài giải : Hiệu số tuổi hai anh em số không đổi
Ta có sơ đồ biểu diễn số tuổi hai anh em thời điểm : Trước (TĐ), (HN), sau (SN) :
Giá trị phần : 51 : (7 + 10) = (tuổi) Tuổi em : x = 12 (tuổi) Tuổi anh : x = 21 (tuổi)
Bài 45 : Trong hội nghị có 100 người tham dự, có 10 người khơng biết tiếng Nga và tiếng Anh, có 75 người biết tiếng Nga 83 người biết Tiếng Anh Hỏi hội nghị có bao nhiêu người biết thứ tiếng Nga Anh ?
Bài giải :
Cách : Số người biết thứ tiếng Nga Anh : 100 - 10 = 90 (người)
SốngườichỉbiếttiếngAnhlà: : 90-75=15(người)
SốngườibiếtcảtiếngNgavàtiếngAnhlà : 83-15=68(người)
Cách : Số người biết thứ tiếng : 100 - 10 = 90 (người)
Số người biết tiếng Nga : 90 - 83 = (người)
Số người biết tiếng Anh : 90 - 75 = 15 (người)
Số người biết thứ tiếng Nga Anh : 90 - (7 + 15) =
Bài 19 : Ba bạn Tốn, Tuổi Thơ có số Nếu lấy 40% số Toán chia đều cho Tuổi Thơ số ba bạn Nhưng Toán bớt số vở của Tốn tổng số Tuổi Thơ Hỏi bạn có ?
Bài giải Đổi 40% = 2/5
Nếu lấy 2/5 số Toán chia cho Tuổi Thơ bạn Tuổi hay Thơ thêm 2/5 : = 1/5 (số Tốn)
Số cịn lại Tốn sau cho :
(28)3/5 - 1/5 = 2/5 (số Toán) Tổng số Tuổi Thơ lúc đầu :
2/5 x = 4/5 (số Toán)
Mặt khác theo đề Toán bớt số Tốn tổng số Tuổi Thơ, ứng với : - 4/5 = 1/5 (số Toán)
Số Toán : : 1/5 = 25 (quyển)
Số Tuổi hay Thơ : 25 x 2/5 = 10 (quyển)
Bài 4: Tìm số thập phân có chữ số phần thập phân, biết chữ số phần mười, phần trăm, phần nghìn phần vạn số theo thứ tự số tự nhiên liên tiếp xếp theo thứ tự tăng dần chữ số số thập phân chữ só khác tổng chữ số (hàng) thập thập phân phần nguyên số đó?
Đề chép sai phải ghi hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn hàng phần vạn đúng.(Khơi)
Giải
Hàng thập phân có chữ số nhỏ 49 = 36 Và lớn 4 =
Đó số: 6,012310,1234; 14, 2345; 18,3456; 22,4567; 26,5678; 30,6789 Bài 5: Biểu đồ ven
Lớp 5A có 30 em tham gia hội tiếng Anh tiếng Trung Quốc, có 25 em nói tiếng Anh 18 em nói tiếng Trung Quốc Hỏi có em nói hai thứ tiếng?
G
Số hS nói đợc tiếng Trung mà không đợc tiếng Anh là: 30 - 18 = 12 (em) Số Hs nói đợc hai thứ tiếng Anh tiếng Trung là: 25 -12 = 13 (em)
Trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái có 200 học sinh đăng kí dự thi Mỗi học sinh đăng kí dự thi mơn: Văn, Tốn Tiếng Anh Kết có 60 em đăng kí thi mơn Tiếng Anh, 106 em đăng kí thi Tốn 45 em đăng kí thi Văn
Hỏi có học sinh đăng kí thi mụn Toỏn v Vn? G
Cách giải nh 4:
Số HS đăng kí thi môn Toán TiÕng ViƯt lµ: 200 - 60 = 140 (em)
Số HS không đăng ki môn TV là: 140 - 45 = 95( em) Số HS thi hai môn lµ:
Trong hội nghị có 500 đại biểu tham dự, đại biểu sử dụng thứ tiếng: Nga, Anh Pháp Theo thống kê BTC, có 60 đại biểu nói thứ tiếng, 180 đại biểu nói tiếng Anh tiếng Nga, 170 đại biểu nói tiếng Nga tiếng Pháp
Hỏi có đại biểu nói thứ tiếng? G
Số đại biểu núi hai thứ tiếng là: 500 - 60 = 440( người) Số đại biểu nói đợc TA là: 440 - 170 = 270 (ngời)
Bài thiếu kiện xin vui lịng gửi lại (Khơi)
Bài 6:
Cho hình thang ABCD có diện tích 50m2, kéo dài AB đoạn BE AB, kéo dài BC một đoạn CG BC, kéo dài CD đoạn DH kéo dài DH CD kéo dài AD đoạn AK AD Tính diện tích hình tứ giác EGAK
(29)
SABC = SABK ( V× BC = BK chung chiều cao hạ từ A xuống BK) S ADC + SABC = SABCD
S ADC + S ADH + SABC + SABK = SABCD Mặt khác SHDA = S HAK
SKAB = SKBE nên S HAK + SKBE = SABCD
S ADC + S ADH + SABC + SABK + S HAK + SKBE = SABCD 3 Lập luận tương tự ta có:
SGHC +SEBC = SABCD
Hay SADC + SADH + SABC + SABK + S HAK + SKBE +S GHC +S EBC = SABCD Hay SGHKE = 50 = 250 (cm2)
Đáp số : 250 cm2
Bài 7:
Chiều rộng HCN ban đầu chiều dài Nếu bớt chiều dài 72m, bớt chiều rộng 8m
được HCN có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng chu vi 160m tính chu vi HCN ban đầu? G
1,5 = 23 Bài tốn chả liên quan đến 1,5
(Nếu bớt chiều dài 72m, bớt chiều rộng 8m thực tế bớt chiều dài số mét là: 72 - = 64 (m) tìm PS 64 m giải Cịn giải sau:)
So với chu vi ban đầu giảm đi: 72 2 + = 160(cm) Tìm chu vi ban đầu 160 +160 = 320 (cm)
Xem lại đầu sai Bài 8:
(30)GBài giải đơn giản nh thể dễ BN = + = (cm)
SMBN = : = 6(cm2) AM = + = (cm) SQAM = : = (cm2) T¬ng tù cã thĨ tù tÝnh
Bài 9:
Cho tam giác ABC có diện tích 400cm2 Trên cạnh AB ta lấy điểm M, cạnh AC lấy
điểm N cho DN = AB AM = MC Nối BM cắt CN O Tính diện tích tam giác BOC
G
Bài 10: Các BT giải phương pháp tính ngược từ cuối
Một bác nông dân mang số trứng chợ bán Lần thứ bán nửa số trứng quả, lần thứ hai bán nửa số trứng lại quả, lần thứ ba bán nửa số trứng lại sau lần bán thứ hai Sau lần bán lại 10 Hỏi người đem chợ bán trứng?
Bài giải lưu đồ đơn giản nhiên, giải theo cách sau: Lần thứ bán
2
số trứng cịn lại sau lần thứ hai mà khơng bán thêm cịn: 10 +1 = 11 (quả)
Sau lần thứ nhất, số trứng lại là: 11 :
= 22 (quả)
Nếu lần thứ bán
số trứng mà khơng bán thêm cịn: 22 + = 23 (quả)
Số trứng lúc đầu là: 23 :
= 46 (quả)
Xem thêm phân số tỉ số để biết thêm cách giải
Có số, lấy số bớt 1000 chia 2, lại bớt 2500 kết cộng thêm lần kết 8000 Hãy tìm số ban đầu?
G
(31)Nếu khơng chia số là: 10479 =20958 Số ban đầu :
20958 + 1000 = tự tính
Tốn vui: Có só người, người ni mèo Mỗi mèo ăn chuột, chuột ăn gié lúa, giẽ lúa có hạt lúa Người ta tính tiết kiệm 16807 hạt lúa khơng bị chuột phá hoại Hỏi có người nuôi mèo?
G
(Gié giẽ đầu bài) Một chuột ăn: = 49 (hạt)
Mỗi mèo tiết kiệm được: 49 =343 (hạt) mèo tiết kiệm được: 343 =2401 (hạt) Số người nuôi mèo là: 16807 : 2401 = (người)
Tìm số tự nhiên, biết chuyển đơn vị từ số thứ sang số thứ hai, chuyển đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba, chuyển đơn vị từ số thứ ba sang số thứ tư chuyển đơn vị từ số thứ tư sang số thứ ta số 15
G
Tổng số là: 15 = 60
Sau nhận số thứ ba hay số thứ tư không chuyển sang số thứ số thứ tư có: 15 +8 = 23
Sau chuyển sang số thứ hai số thứ có: 15 - = Lúc đầu số thứ có: + = 12
Số thứ hai lúc đầu có: 15 - + = 17 Số thứ ba lúc đầu có: 15 - + = 10 Số thứ tư lúc đầu có: 23 - = 21 Hoặc 60 -12 - 17 - 10 = 21
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/