Bài giảng Giải tích 1 – PGS.TS. Tô Văn Ban

Bài giảng Giải tích 1 – PGS.TS. Tô Văn Ban cung cấp kiến thức bao gồm giới hạn, liên tục; đạo hàm, vi phân; tích phân; chuỗi. Để nắm chi tiết kiến thức phục vụ cho học tập và nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

PGS TS TƠ VĂN BAN BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I (Phiên bê ta II: 03-09 / 2010) Hà nội - 2010 M ỤC L ỤC Mục lục Lời nói đầu Các ký hiệu hay sử dụng Chương I Giới hạn, liên tục §1.1 Số thực 1.1.1 Mở đầu 1.1.2 Các tính chất sơ cấp số thực 1.1.3 Các tính chất  1.1.4 Đường thẳng thực mở rộng 1.1.5 Lực lượng ,  § 1.2 Giới hạn dãy số 1.2.1 Hội tụ - Phân kỳ 1.2.2 Dãy đơn điệu § 1.3 Hàm biến số 1.3.1 Các phương pháp biểu diễn hàm số 1.3.2 Hàm chẵn, lẻ, 1.3.3 Hàm số ngược 1.3.4 Các hàm sơ cấp 1.3.5 Một số hàm thông dụng khác 1.3.6 Mơ hình tốn học § 1.4 Giới hạn hàm số 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Các tính chất giới hạn hàm số 1.4.3 Các phép toán giới hạn 1.4.4 Sử dụng VCB, VCL để tìm giới hạn § 1.5 Sự liên tục 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Các tính chất sơ 1.5.3 Các tính chất hàm liên tục đoạn kín 1.5.4 Bổ sung giới hạn 1.5.5 Một số ví dụ Chương Đạo hàm, vi phân §2.1 Đạo hàm vi phân cấp 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các phép toán với đạo hàm điểm 2.1.3 Đạo hàm hàm hợp 2.1.4 Đạo hàm hàm ngược 2.1.5 Đạo hàm theo tham số 2.1.6 Bảng đạo hàm 2.1.7 Đạo hàm phía, đạo hàm vơ 2.1.8 Vi phân 2.1.9 Đạo hàm hàm ẩn §2.2 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Quy tắc Leibnitz 2.2.3 Vi phân cấp cao §2.3 Các định lý giá trị trung bình 2.3.1 Định lý Rolle 2.3.2 Định lý Lagrange 2.3.3 Quy tắc L'Hơpital §2.4 Cơng thức Taylor 2.4.1 Thiết lập công thức 2.4.2 Khai triển Marlourin số hàm sơ cấp 2.4.3 Ứng dụng § 2.5 Các ứng dụng đạo hàm 2.5.1 Quy tắc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, bé 2.5.2 Lồi, lõm, điểm uốn 2.5.3 Khảo sát hàm số y  f (x) 7 11 12 15 16 18 18 23 30 30 37 37 39 40 42 42 42 43 46 47 48 48 51 52 55 56 59 59 59 60 61 61 62 63 64 64 66 68 68 69 70 70 70 72 74 76 76 77 78 80 80 80 80 2.5.4 Khảo sát đường cong cho dạng tham số 2.5.5 Khảo sát đường cong cho dạng tọa độ cực 2.5.6 Mối quan hệ vận tốc Chương III Tích phân § 3.1 Tích phân 3.1.1 Định nghĩa, tính chất 3.1.2 Bảng tích phân 3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 3.1.4 Tích phân bất định số lớp hàm sơ cấp § 3.2 Tích phân xác định 3.2.1 Định nghĩa tính chất mở đầu 3.2.2 Các lớp hàm khả tích 3.2.3 Các tính chất tích phân xác định 3.2.4 Cách tính tích phân xác định 3.2.5 Tính gần tích phân xác định § 3.3 Ứng dụng tích phân xác định 3.3.1 Tính diện tích hình phẳng 3.3.2 Độ dài đường cong 3.3.3 Thể tích vật thể 3.3.4 Diện tích mặt cong 3.3.5 Tọa độ trọng tâm 3.3.6 Moment tĩnh, moment qn tính, cơng… 3.3.7 Định lý biến thiên toàn cục 3.3.8 Hai lược đồ áp dụng tổng qt § 3.4 Tích phân suy rộng 3.4.1 Tích phân với cận vơ hạn 3.4.2 Tích phân hàm khơng bị chặn 3.4.3 Một số ví dụ Chương Chuỗi § 4.1 Chuỗi số 4.1.1 Định nghĩa 4.1.2 Điều kiện cần chuỗi hội tụ 4.1.3 Tiêu chuẩn Cauchy 4.1.4 Các tính chất phép tốn § 4.2 Chuỗi số dương 4.2.1 Các tính chất mở đầu 4.2.2 Các quy tắc khảo sát hội tụ § 4.3 Chuỗi với dấu 4.3.1 Chuỗi đan dấu 4.3.2 Hội tụ tuyệt đối § 4.4 Chuỗi hàm số 4.4.1 Sự hội tụ, miền hội tụ 4.4.2 Hội tụ 4.4.3 Tính chất chuỗi hàm hội tụ § 4.5 Chuỗi lũy thừa 4.5.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ 4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ 4.5.3 Tính chất chuỗi lũy thừa 4.5.4 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 4.5.5 Ứng dụng 4.5.6 Tính tổng số chuỗi 4.5.7 Một số ví dụ 4.5.8 Sự tồn hàm liên tục không khả vi § 4.6 Chuỗi Fourier 4.6.1 Chuỗi lượng giác 4.6.2 Chuỗi Fourier Tài liệu tham khảo 85 87 94 96 96 96 98 98 104 112 112 113 115 118 125 128 128 129 131 132 133 133 133 134 137 137 141 142 149 149 149 150 151 151 152 152 153 156 156 157 159 159 160 161 162 162 163 164 165 167 169 176 178 179 179 179 186 KÝ HIỆU HAY SỬ DỤNG Ký hiệu ,   , *   n (a; b), [a; b], (a; b], |a| [x] {x} n! Max A (MinA) lim x n Ý nghĩa tập số thực, tập số thực dương tập số tự nhiên 0,1,2,…, tập số 1, 2, tập số nguyên 0;  1;  2;  tập số hữu tỷ không gian Euclide thực n chiều khoảng suy rộng  : khoảng, đoạn, nửa khoảng trị tuyệt đối số thực a, phần nguyên số thực x {x} phần phân (lẻ) số thực x x = x - [x] ; tập hợp gồm phần tử x giai thừa n ! = n phần tử lớn (nhỏ nhất) tập A giới hạn dãy số xn n  giới hạn hàm số f(x) x dẫn đến a lim f (x) x a lim f (x), ( lim f (x)) giới hạn hàm số f(x) x dần đến a từ bên phải (từ bên trái) x a  x a  hàm số; - giá trị hàm f điểm x hàm ngược hàm f(x) f(x) 1 f (x) f : A B df x  dx ' f  (x ) (f ' (x )) f ' x ; f (n) (x); d n f (x) ánh xạ từ A vào B; - hàm số với tập xác định A, tập giá trị chứa B đạo hàm bậc hàm f(x) đạo hàm phía phải (trái) hàm f(x) x0 đạo hàm bậc n hàm f(x) dx n df, d f, vi phân cấp một, cấp 2, hàm f(x)   f (x) dx tích phân suy rộng loại I hàm f(x) [a;  ) a f (x)  o (g(x)) f (x)  O(g(x)) f (x)  g(x) VCB  # (☼), (☼) f(x) vô bé bậc cao so với vô bé g(x) f(x) vô bé bậc so với vô bé g(x) f x  vô bé tương đương với vô bé g(x) vô bé kết thúc chứng minh kết thúc ví dụ bắt đầu (kết thúc) mục, phần… bỏ qua lần đọc PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 Chương GIỚI HẠN, LIÊN TỤC § 1.1 SỐ THỰC 1.1.1 Mở đầu a Giới thiệu Chúng ta có hiểu biết tốt số hữu tỷ từ thời học phổ thơng; có hiểu biết định số vô tỷ, số thực Để hiểu chúng sâu sắc xác, người ta phải xây dựng hệ thống tiên đề xác cho số thực Sau loại số mà loài người nhận thức lịch sử phát triển mình: * Các số tự nhiên khác không 1, 2, , n, ký hiệu * ; * Các số tự nhiên 0, 1, , n, ký hiệu  * Bởi  thiếu phần tử mà cộng với 0, người ta đưa vào số nguyên âm ,  2,  1, 0, 1, 2, , ký hiệu  Trong  khơng có phần tử mà nhân với 2, 3, Vậy người ta đưa thêm vào  phần tử dạng p / q , số hữu tỷ p  *  , q   , p    , ký hiệu  Trong đại số ta biết  trường q  Trong  khơng có phần tử kiểu 2, e, , , gọi số vô tỷ Cần đưa vào  số vô tỷ để  - tập số thực - rộng  Có nhiều cách xây dựng tập số thực dùng số thập phân vơ hạn tuần hồn, lát cắt Dedekin, Chúng ta đưa phương pháp xây dựng số thực sau đây, dễ hiểu chấp nhận rộng rãi b Tiên đề số thực Chúng ta công nhận tồn tập hợp số thực, ký hiệu  , có trang bị hai luật hợp thành (phép toán)  quan hệ thứ tự  sau cho: i) ( , , ) trường, cụ thể là: (☼) 1) Phép cộng có tính chất kết hợp: a, b, c  , (a  b)  c  a  (b  c) 2) Phép cộng có tính chất giao hốn: a, b  , a  b  b  a -PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 3)  có phần tử trung lập với phép cộng, ký hiệu 0, thỏa mãn điều kiện: a  , a    a  a 4) a   có phần tử đối, ký hiệu a thỏa mãn điều kiện: a  (a)  (a)  a  5) Phép nhân có tính chất kết hợp: a, b, c  , (a.b).c  a.(b.c) 6) Phép nhân có tính chất giao hốn: a, b  , a.b  b.a 7)  có phần tử trung hòa với phép nhân, ký hiệu 1, thỏa mãn điều kiện: a.1  1.a  a 8) Mọi phần tử a    {0} có phần tử nghịch đảo, ký hiệu a 1 , thỏa mãn điều kiện a a 1  a 1.a  9) Phép nhân phân phối với phép cộng: a, b, c  , a.(b  c)  a.b  a.c (☼) ii)  quan hệ thứ tự toàn phần  , cụ thể là: 1)  có tính chất phản xạ: a  , a  a 2)  có tính chất phản đối xứng: a  b a, b  ,   a  b b  a a  b 3)  có tính chất bắc cầu: a, b, c  ,  a c b  c a  b 4)  quan hệ thứ tự toàn phần: a, b     b  a Nếu a, b   a  b, a  b , ta nói a nhỏ b viết a  b iii) Giữa phép toán , quan hệ thứ tự  có mối liên hệ sau đây: 1) a  b  a  c  b  c 2) d  0, a  b  a.d  b.d iv) Mỗi tập không trống bị chặn có cận Các địi hỏi i) - iv) xem tiên đề số thực Riêng tiên đề iv) cần có giải thích tỷ mỉ sau c Cận, bị chặn Ta nói x   cận (hay biên trên) tập hợp A   a  A, a  x -PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 Ta nói y   cận (hay biên dưới) tập hợp A   a  A, y  a Ta nói x phần tử lớn (hay giá trị lớn nhất) tập hợp A   x  A x cận A: x  A a  A, x  a  Ký hiệu phần tử lớn tập hợp A Max(A) Tương tự điều khái niệm phần tử nhỏ Ký hiệu phần tử nhỏ tập hợp A Min(A) Khi A hữu hạn, ta dùng ký hiệu Max(a1 , , a n ) hay Max a i thay cho ký 1 i  n hiệu Max a1, , a n  Tập A   gọi bị chặn tồn (ít nhất) cận Tương tự ta hiểu khái niệm bị chặn Tập hợp A gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Supremum Phần tử bé cận tập hợp A, tồn tại, gọi cận A, ký hiệu Sup(A) (đọc supremum tập hợp A) Phần tử lớn cận tập hợp A, tồn tại, gọi cận A, ký hiệu Inf(A) Có thể xảy trường hợp Sup(A)  A (và) Inf (A)  A Chẳng hạn A  (a; b) Dễ thấy tiên đề iv) tương đương với: iv') Mỗi tập không trống bị chặn có cận d Nhúng  vào  (☼) Ta biết tốt  Ta có  - gọi số thực Bây ta xây dựng ánh xạ f :    cho đơn ánh f   Như nêu trên, dùng để ký hiệu phần tử trung lập phép nhân  n   ta xác định số thực f(n), ký hiệu n.1 sau: -PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 -*  n   1    n.1   n    ( 1)   ( 1) Bây q  ,  m  , n  * cho q  (1.1.1) m Ta xác định số thực f(q), n ký hiệu q.1, sau: q.1  (m.1).(n.1)1 Rõ ràng vế phải số thực Mặt khác, định nghĩa hợp lý q có m'  m  biểu diễn khác: q     từ chỗ n'  n  m 'n  n 'm  (m.1).(n '.1)  (m '.1)(n.1) ; nhân vế với số thực (n '.1) 1 (n.1) 1 ta (m.1).(n.1)1  (m '.1).(n.1).(n.1)1.(n '.1) 1  (m'.1)(n '.1) 1 Vậy, hai biểu diễn q cho kết Rõ ràng ánh xạ f đơn ánh Vậy ta đồng  với {.1, q  }  f () tập hợp  Như vậy, coi  phận  (☼) e Các loại khoảng Có loại khoảng suy rộng sau  1) a; b   x   : a  x  b , 2) [a; b)   x   : a  x  b , 3) (a; b]  x   : a  x  b , 4) (a; b)   x   : a  x  b , 5) [a;  )   x   : a  x , 6) (a;   )  x   : a  x , 7) (; a]  x   : x  a , 8) ( ; a)  x   : x  a 9) (;   )   Các khoảng a; b  ; (; a]; [b;  ); (;  ) : đóng (a; b); ( ; a); (b;   ); ( ;   ) : mở [a; b); (a; b] : nửa đóng, nửa mở a, b : mút khoảng o Khoảng I bỏ mút, có, gọi phần I, ký hiệu I 10 -PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 Khoảng I, lấy thêm mút gọi bao đóng I, ký hiệu I 1.1.2 Các tính chất sơ cấp số thực a Các bất đẳng thức Các bất đẳng thức số thực mà biết từ phổ thông đúng, chẳng hạn x    ; x 0  x  y x, y, u, v  ,   xu  yv 0  u  v Các bất đẳng thức Cauchy, Cauchy-Bunhiacopski-Schwartz nghiệm Bất đẳng thức Mincopski (Bất đẳng thức tam giác  n ) 1/2 n n  n 2 (x  y )  x    i  i  yi2 i   i 1 i 1  i1   hay || x  y ||  || x ||  || y || (1.1.2) Chứng minh Bình phương vế đưa bất đẳng thức C-B-S b Giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối số thực x số thực, ký hiệu |x|, xác định  x x  0, | x |  x  x Gía trị tuyệt đối có tính chất biết, ví dụ n n |  x i |   | x i |, i 1 i 1 x, y  , Max(x, y)  (x  y  | x  y |), Min(x, y)  (x  y  | x  y |), | x |  | y |  | x  y |, | a |  b   b  a  b c Khoảng cách thông thường  ĐN Khoảng cách (thông thường)  ánh xạ d:    (x, y)  d(x, y) | x  y | Số d(x, y) gọi khoảng cách điểm x y (hay từ x đến y) Tính chất Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa giá trị tuyệt đối -PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 11 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 1) x, y  , d(x, y)  0; d(x, y)   x  y : tính xác định dương 2) x, y  , d(x, y)  d(y, x) : tính đối xứng 3) x, y, z  , d(x, y)  d(y, z)  d(x, z) : bất đẳng tam giác 1.1.3 Các tính chất  a Cận Chúng ta nhắc lại tiên đề cận đúng: Mọi tập A không trống bị chặn có cận Sup(A) Hệ Mọi tập A khơng trống bị chặn có cận Inf(A) Ví dụ 1.1 Tìm cận cận (nếu có) tập hợp  (1)n  E n  , n  *  n   1 1 1 1  Giải E    1;  ;  ;  ;  16 2  k  * ,  u 2k  u 2k 1  u 2k 1  2k 1 2k 1 2k  1  u2    2k 4 1 1       u1, 2k  2k  3    u2  Như u1    u n   u 2  Sup(E)  Max(E)  u  / 4, Inf (E)  Min(E)  u1  1 / # Định lý 1.1 Cho A   tập khơng trống Khi (*)  M môt cân trên, M  Sup(A)     0, a  A : M    a  M (**) Chứng minh a) "  " : Cần Giả sử M  Sup(A) Vậy M cận Ta giả sử không xảy (**), nghĩa    0, a  A, a  M  0 Như vậy, M   cận A Rõ ràng M    M Vậy M không cận nhỏ nhất, mâu thuẫn b) "  " : Đủ Giả sử xảy (1) (2) Như M cận Giả sử M khơng cận nhỏ Vì A bị chặn (ít M) nên tồn cận nhỏ M' M  M Đặt   M  M  Theo (**), a  A : M    M  (M  M)  M  a  M 12 -PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 ... 4.6 .1 Chuỗi lượng giác 4.6.2 Chuỗi Fourier Tài liệu tham khảo 85 87 94 96 96 96 98 98 10 4 11 2 11 2 11 3 11 5 11 8 12 5 12 8 12 8 12 9 13 1 13 2 13 3 13 3 13 3 13 4 13 7 13 7 14 1 14 2 14 9 14 9 14 9 15 0 15 1 15 1 15 2 15 2... 13 3 13 4 13 7 13 7 14 1 14 2 14 9 14 9 14 9 15 0 15 1 15 1 15 2 15 2 15 3 15 6 15 6 15 7 15 9 15 9 16 0 16 1 16 2 16 2 16 3 16 4 16 5 16 7 16 9 17 6 17 8 17 9 17 9 17 9 18 6 KÝ HIỆU HAY SỬ DỤNG Ký hiệu ,   , *   n (a;... 330.0 19 20 18 60 19 76 332.0 19 30 2070 19 78 335.3 19 40 2300 19 80 338.5 19 50 2520 19 82 3 41. 0 19 60 3020 19 84 344.3 19 70 3700 19 86 347.0 19 80 4450 19 88 3 51. 3 19 90 5300 19 90 354.0 2000 611 5 2 010 6909