wWw.VipLam.Net PHÂN LOẠI BÀI TẬP CHƯƠNG III Tên DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bài tập dành cho HS TB – Yếu PP quy nạp Bài (SGK_82) CMR với n N*, ta có đẳng thức: a ) 3n 1 b) n(3n 1) 1 1 2n n n 2 c) 12 22 32 n Bài (SGK_83) CMR số đường chéo đa giác lồi n cạnh n(n 3) Bài 1.2 (BT_94) Chứng minh đẳng n(n 1)(2n 1) Bài (SGK_82) CMR với n N*, ta có: Bài tập dành cho HS Khá – Giỏi a) n + 3n + 5n chia hết cho thức sau (với n N*) a)12 32 52 (2n 1) b) 13 23 33 n3 n(4n 1) n (n 1) n b) + 15n – chia hết cho Bài 1.3 (BT_95) Chứng minh với n c) n + 11n chia hết cho N*, ta có Bài (SGK_82) CMR với số tự nhiên a) 11 n +1 n n n+1 chia hết cho 133 Bài 1.4 (BT_95) Chứng ming bất đẳng > 2n + thức sau (với n Bài (SGK_83) Cho Sn 2n – b) 2n – 3n + n chia hết cho 2, ta có đẳng thức: a) > 3n +1 b) + 12 a) 1 1.2 2.3 n( n 1) với n N* n+2 2n N*) > 2n + 2n b) sin α + cos α a) Tính S1, S2, S3 Bài 1.7 (BT_95) Cho n số thực a1, a2, a3, b) Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng …, an thỏa mãn điều kiện – 1< minh quy nạp i 1, n CMR với với n Bài 1.1 (BT_94) Chứng minh đẳng thức sau (với n N*) a) 3n – 1 n(3n 1) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) với N*, ta có + a1 + a2 + … + an Bài 1.8 (BT_95) CMR với số thực thực a1, n1 n b) 27 (3 3) a2, a3, …, an (với n Bài 1.5 (BT_95) Với giá trị số tự |a1 + a2 + + an| nhiên n ta có: Bài 2(BT_122) Chứng minh đẳng thức N*), ta có |a1| +|a2| + … +|an| Gửi tặng Smod VipLam.Net: Nguyễn Thị Huyền Trân wWw.VipLam.Net n n a) > 2n + n b) > n + 4n + n c) > + 7n ? Bài (SGK_107) Chứng minh với sau với n 1 A n a) 1.2.3 2.3.4 n( n 1)( n 2) * n �N , ta có: n a) 13 – chia hết cho N* n( n 3) 4(n 1)(n 2) b) Bn 10 b) 3n + 15 chia hết cho Bài 1(BT_121) CMR: n(n 1) n(n 1)(n 2) a) n – n chia hết cho với số tự nhiên n b) Tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài (BT_122) Chứng minh bất đẳng thức n–1 a) b) Dãy số n–3 > n(n + 2) với n > 3n – với n Bài 1(SGK_92) Viết năm số hạng tổng quát Bài 3(SGK_92) Dãy số (un) cho bởi: un cho công thức u1 = 3; un + = n , n �1 2n b) un n 1 n a) un 2n n � 1� 1 � c) un � � n� n d) un n a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức quy nạp Bài 2(SGK_92) Cho dãy số (un), biết: Bài 5(SGK_92) Trong dãy số (un) sau, un = –1, un+1 = un + với n �3 dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Chứng minh phương pháp quy nạp: un a) un = 2n – 1.b) un n(n 2) = 3n – un sin n cos n c) un 2n d) Bài 4(SGK_92) Xét tính tăng, giảm dãy Bài 2.2(BT_106) Cho dãy số (un) số (un) biết: a) un n n 1 b) un n với un = n – 4n + a) Viết công thức truy hồi dãy số Gửi tặng Smod VipLam.Net: Nguyễn Thị Huyền Trân wWw.VipLam.Net un (1) (2 1) n c) n d) un 2n 5n Bài 2.1(BT_106) Viết năm số hạng đầu khảo sát tính tăng, giảm dãy số (un), biết n a) u = 10 – 2n 2n un n c) n b) u = d) un n–7 n n n b) Chứng minh dãy số bị chặn c) Tính tổng n số hạng đầu dãy số cho Bài 2.3(BT_106) Cho dãy số (un) n với un = + (n – 1)2 a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Tìm cơng thức truy hồi n Bài 2.5 (SGK 106) Cho dãy số (u ) c) Chứng minh dãy số tăng bị chặn u1 � xác định công thức � un 1 un 3n � Bài 2.4(BT_106) Dãy số (un) xác a) Tìm công thức số hạng tổng quát u1 � định công thức � un 1 un n3 (n �1) � b) Chứng minh dãy số tăng a) Tìm cơng thức số hạng tổng qt Bài 6(SGK_107) Cho dãy số un, biết u1 b) Tính số hạng thứ 100 dãy số = 2, un+1 = 2un – với n �1 Bài 2.6(BT_107) Tìm cơng thức số hạng a) Viết năm số hạng đầu dãy tổng quát dãy số sau: b) Chứng minh un = phương pháp quy nạp n–1 + u1 � � a) � un 1 (n �1) � un � u1 � b) � un 1 un � � u1 � c) � � un 1 3un � Bài 2.7(BT_107) Dãy số (xn) biểu diễn trục số tập hợp điểm, kí hiệu A: A = {A0, A1, A2, …, An, …} Gọi B điểm nằm trục số Người ta dựng tam giác đỉnh B hai đỉnh lại thuộc tập hợp A Đặt un số tam giác tạo thành từ B n + điểm A0, A1, A2, …An lập dãy số (un) Gửi tặng Smod VipLam.Net: Nguyễn Thị Huyền Trân wWw.VipLam.Net a) Tính u1, u2, u3, u4 b) CMR u n Cn21 un+1 = un + n + Bài 2.8(BT_107) Cho dãy số (un) thỏa mãn điều kiện n �N * < un < un 1 4un Chứng minh dãy số cho dãy số giảm Bài 7(SGK_107) Xét tính tăng, giảm, bị chặn dã số (un), biết: a) u n n c) n 1 b) u (1) sin n u n 1 n Cấp số Bài 1(SGK_97) Trong dãy số sau, dãy số Bài 4(SGK_98) Trên mặt sàn tầng cộng cấp số cộng Tìm số hạng đầu cơng ngơi nhà cao mặt sân 0,5 m Cầu sai thang từ tầng lên tầng hai gồm 21 a) un = – 2n n c) u = n n b) un d) un bậc, bậc cao 18 cm a) Viết cơng thức tìm độ cao bậc 3n tùy ý so với mặt sân Bài 2(SGK_97) Tìm số hạng đầu cơng sai b) Tính độ cao mặt sàn tầng hai so với cấp số cộng sau, biết: mặt đất u1 u3 u5 � a) � u1 u6 17 � Bài 5(SGK_98) Từ đến 12 trưa, u u3 � b) � u2u7 75 � đồng hồ đánh tiếng, Bài 3(SGK_97) Trong tốn cấp số n cộng, ta thường gặp năm đại lượng u , d, n, u , n S a) Hãy viết hệ thức liên hệ đại lượng Cần phải biết đại lượng để tìm đại lượng cịn lại b) Lập bảng theo mẫu sau điền số thích đanh chuông báo số tiếng rung số Bài 3(SGK_107) Cho hai cấp số cộng có số hạng Tổng số hạng tương ứng chúng có lập thành cấp số hạng khơng Vì ? Cho ví dụ minh họa Bài 8(SGK_107) Tìm số hạng đầu u1 hợp vào ô trống Gửi tặng Smod VipLam.Net: Nguyễn Thị Huyền Trân wWw.VipLam.Net un d -2 -4 27 un n Sn 55 20 530 15 120 -5 -5 u7 u15 60 � � b) � u 42 u 22 1170 � 5u1 10u5 � a) �S 14 �4 Bài 10(SGK_108) Cho tứ giác ABCD có 12 công sai d cấp số cộng (un) biết: 72 số đo (độ) góc lập thành cấp số -205 cộng theo thứ tự A, B, C, D Biết góc C gấp năm lần góc A Tính góc tứ Bài 1(SGK_107) Khi cấp số cộng giác dãy số tăng, giảm, không tăng không Bài 13(SGK_108).CMR số a , b , giảm 2 c lập thành cấp số cộng (abc 1 0) số b c , c a , a b lập thành cấp số cộng Bài 4(BT_122) Cho dãy số (un) u1 1, u2 � � un 1 2un un 1 (n �2) � a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Lập dãy số (vn) với = un+1 – un , chứng minh dãy số cấp số cộng c) Tìm cơng thức tính un theo n Bài 10(BT_123) Có thể có tam giác vuông mà số đo cạnh lập thành cấp số cộng hay khơng ? Bài 11(BT_123) Tính tổng 2n a) 22 23 2n 2 2 b) – + – + … + (-1) n–1 n Bài 12(BT_123) Tìm m để phương trình x 2 – (3m + 5)x + (m + 1) = có nghiệm lập thành cấp số cộng Gửi tặng Smod VipLam.Net: Nguyễn Thị Huyền Trân wWw.VipLam.Net Cấp số Bài 1(SGK_103) Chứng minh dãy số Bài 5(SGK_104) Tỉ lệ tăng dân số tỉnh nhân n �3 � �5 � � � �� n � � � � � � �� cấp số nhân �5 �; �2n �; � � �� � � X 1,4% Biết rắng số dân tỉnh 1,8 triều người Hỏi với mức tăng n Bài 2(SGK_103) Cho cấp số nhân (u ), với cơng bội q sau năm, 10 năm số dân tỉnh X a) Biết u = 2, u = 486 Tìm q b) Biết q , u4 21 Tìm u1 Bài 6(SGK_104) Cho hình vng C1 có cạnh Người ta chia cạnh c) Biết u1 = 3, q = -2 hình vng thành phần băng nối Hỏi số 192 số hạng thứ liền điểm chia cách thích hợp để có Bài 3(SGK_103) Tìm số hạng cấp số hình vuong C2 Từ hình vng C2 lại làm nhân (un) có năm số hạng, biết: tiếp để C3,… Tiếp tục lặp lại trình a) u1 = 3, u5 = trên, ta nhận dãy hình vng C1, C2,… b) u4 – u2 = 25 u3 – u1 = 50 Cn Gọi an số cạnh hình vng Cn Bài 4(SGK_104).Tìm cấp số nhân có số Chứng minh dãy số (an) cấp số hạng, biết tổng năm số hạngđầu nhân 31 tổng năm số hạng sau 62 Bài 11(SGK_108) Biết ba số x, y, z Bài 2(SGK_107) Cho cấp số nhân có u1 < lập thành cấp số nhân ba số x, 2y, 3z công bội q Hỏi số hạng khác lập thành cấp số cộng Tìm cơng bội mang dấu trường hợp sau: cấp số nhân a) q > b) q< Bài 4(SGK_107) Cho hai cấp số nhân có số hạng Tích số hạng tương ứng chúng có lập thành cấp số hạng khơng Vì ? Cho ví dụ minh họa Bài 9(SGK_107) Tìm số hạng đầu u1 công Bài 4.7(BT_121) Cho dãy số (un) u1 � � 2un � u (n �1) n � u n � xn n un un a) Lập dãy số (x ) với n n bội q cấp số nhân (un) biết: b) Tìn cơng thức tính x u theo n 5u6 192 � � a) u 384 �7 Bài 4.8(BT_121) Ba số khác có tổng u2 u5 u4 10 � c) � u6 u3 u5 20 � u4 u2 72 � � b) u u 144 �5 114 coi ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, coi số Gửi tặng Smod VipLam.Net: Nguyễn Thị Huyền Trân wWw.VipLam.Net hạng thứ nhất, thứ tư thứ 25 cấp n Bài 4.1(BT_120).Các dãy số (u ) sau đây, dãy số cộng Tìm số số cấp số nhân a) un = (- 5) c) 2n + n 3n + b) un = (-1) u1 � � � un 1 u n un � � u1 � � un 1 un2 � d) Bài 4.9(BT_121) Cho cấp số nhân a, b, c, d CMR a 2b c ( 1 ) a b3 c3 a b3 c a) n Bài 4.2(BT_120) Cấp số nhân (u ) có b) (ab + bc + cd) u1 u5 51 � � u2 u6 102 � 2 2 2 = (a + b + c )(b + c + d ) a) Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân Bài 4.10(BT_121) Một cấp số cộng cấp số nhân có số hạng dương Biết b) Hỏi tổng số hạng 3069 ? số hạng thứ thứ hai chúng trùng Chứng minh số hạng c) Số 12288 số hạng thứ ? Bài 4.3(BT_120) Tìm số số hạng cấp cấp số cộng không lớn số hạng tương ứng cấp số nhân n n số nhân (u ), biết n Bài 5(BT_122) Cho dãy số (u ) n a) q = 2, u = 96, S = 189 n n b) u = 1, u = 1/8, S = 31/8 Bài 4.4(BT_120) Tìm số hạng đầu cơng � u � �1 � (n 1)un � un 1 � 3n (n �1) a) Viết năm số hạng đầu dãy số n bội cấp số nhân (u ), biết u u 15 � a ) �5 u4 u2 � u2 u4 u5 10 � b) � u3 u5 u6 20 � n b) Lập dãy số (v ) với un n Chứng minh dãy số (vn) cấp số nhân Bài 4.5(BT_121) Bốn số hạng lập thành c) Tìm cơng thức tính un theo n cấp số cộng trừ số cho 2, 6, 7, Bài 6(BT_122) Ba số có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số ta nhận cấp số nhân Tìm số Gửi tặng Smod VipLam.Net: Nguyễn Thị Huyền Trân wWw.VipLam.Net Bài 4.6(BT_121) Viết bốn số xen số 160 để cấp số nhân nhân, số hạng thứ hai, thứ thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để tổng chúng 820 Bài 7(BT_123) Một cấp số cộng cấp số nhân có số hạng thứ 5, số hạng thứ hai cấp số cộng lớn số hạng thứ hai cấp số nhân 10 số hạng thứ ba Tìm số Bài 8(BT_123) CMR ba số lập thành cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng ba số Bài 9(BT_123) Cho cấp số nhân (un) có cơng bội q số số hạng chẵn c Gọi S tổng số hạng có số chẵn l S tổng số hạng có số lẻ CMR q SC Sl Gửi tặng Smod VipLam.Net: Nguyễn Thị Huyền Trân ... cao 18 cm a) Viết cơng thức tìm độ cao bậc 3n tùy ý so với mặt sân Bài 2(SGK_97) Tìm số hạng đầu cơng sai b) Tính độ cao mặt sàn tầng hai so với cấp số cộng sau, biết: mặt đất u1 u3 u5 ... cơng thức tính un theo n Bài 10(BT_123) Có thể có tam giác vng mà số đo cạnh lập thành cấp số cộng hay khơng ? Bài 11(BT_123) Tính tổng 2n a) 22 23 2n 2 2 b) – + – + … + (-1) n–1 n Bài