§4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A LÝ THUYẾT Định nghĩa (P) // (Q) (P) (Q) = Tính chất (1,2 – Quan trọng) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) Nếu hai mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng Nếu đường thẳng d song song với mp(P) có mp(Q) chứa d song song với (P) Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Cho điểm A (P) đường thẳng qua A song song với (P) nằm mp(Q) qua A song song với (P) Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng giao tuyến chúng song song với Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lí Thales đảo: Giả sử hai đường thẳng d d lấy điểm A, B, C A , B, C cho: AB BC CA A' B ' B 'C ' C ' A' Khi đó, ba đường thẳng AA, BB, CC nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song với mặt phẳng Hình lăng trụ hình hộp SGK Một số định lý khác * Định lý Menelaus Cho tam giác ABC D, E, F nằm đường thẳng BC, CA, AB Khi định lý phát biểu D, E, F thẳng hàng FA DB EC 1 FB DC EA * Định lý Ceva: Định lý Gọi M, N, P ba điểm tương ứng nằm ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Lúc đó, ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy BM CN AP 1 MC NA PB B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: CM hai mặt phẳng song song Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi E F trung điểm SA CD a) Chứng minh mp(OEF) song song với mp(SBC) b) Gọi M trung điểm SD N trung điểm OE Chứng minh MN song song với mp(SBC) Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm B’C’ a) Chứng tỏ mp(AA’M) cắt BC N AN//A’M b) Chứng minh đường thẳng AC’ song song với mp(BA’M) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (AB’C’) (A’BC) Dạng 2: tìm thiết diện Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi M trung điểm SA, N trung điểm SC a) Xác định thiết diện mặt phẳng cắt mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SBD) b) Xác định thiết diện mặt phẳng cắt mặt phẳng qua N song song với mặt phẳng (SBD) c) Gọi I, J giao điểm mặt phẳng nói với AC Chứng minh IJ= AC Giải: S M N D K A I F O J C E H B Ví dụ : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Trên đường thẳng BA lấy điểm M cho A nằm B M, MA= AB a) Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua M, B’ trung điểm E C’ AC b) Tính tỉ số B’ A’ C D F B E K Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, điểm N thuộcAcạnh D’C’ M cho AM: MD=D’N:NC’ a) Chứng minh MN//(C’BD) b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua MN song song với (C’BD) A M D E B F C J A’ D’ N B’ I BTVN - §4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG C’ DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp (a) - Bước 1: Tìm hai đường thẳng a,b cắt mặt phẳng - Bước 2: Lần lượt chứng minh - Bước 3: Kết luận a P (b) b P (b) (a ) P (b) Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng đồng phẳng Gọi I, J, K trung điểm AB, CD, EF Chứng minh (ADF) // (BCE) (DIK) // (JBE) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, CD a Chứng minh (OMN) // (SBC) b Tìm giao điểm I ON (SAB) c Gọi G = SI ∩ BM, H trọng tâm ΔSCD Chứng minh GH // (SAD) d Gọi J trung điểm AD, E thuộc MJ Chứng minh OE // (SCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm BC, CD, SC a Chứng minh (MNP) // (SBD) b Tìm giao tuyến (SAB) (SCD) c Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Suy giao điểm SA (MNP) d Gọi I = AP ∩ SO, H = AM ∩ BO Chứng minh IH // (MNP) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA CD a, Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC) b, I trung điểm SC J điểm nằm mp(ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ // mp(SAB) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’, BB’, CC’ Gọi I I’ tương ứng trung điểm cạnh BC B’C’ a) Chứng minh AI//A’I’ b) Tìm giao điểm IA’ với mặt phẳng (AB’C’) c) Tìm giao tuyến (AB’C’) (A’BC) Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm BC, AB, SB, AD a Chứng minh (MNP) // (SAC) PQ // (SCD) b Gọi I giao điểm AM BD, J thuộc SA cho AJ = JS Chứng minh I J // (SBC) c Gọi K thuộc AC Tìm giao tuyến (SKM) (MNC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi I, H, G, P, Q trung điểm DC, AB, SB, BG, BI a Chứng minh (IHG) // (SAD) PQ // (SAD) b Tìm giao tuyến (SAC) (IHG); (ACG) (SAD) Bài Cho hai hình vng ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên AC BF lấy M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD; AF M’, N’ a, Chứng minh: (CBE) // (ADF) b, Chứng minh: mp (DEF)//mp(MNN’M’) c, Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp I M, N di động Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành với AB = a; AD = 2a, mặt bên SAB tam giác vuông cân A Trên AD lấy M, đặt AM = x (0 < x < 2a) Mặt phẳng qua M song song với mp(SAB) cắt BC; SC; SD N, P, Q a, Chứng minh MNPQ hình thang vng b, Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp I M chạy AD c, Tính diện tích MNPQ theo a x Bài 10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi H,I,K trung điểm SA,SB,SC a) Chứng minh (HIK)// (ABCD) b) Gọi M giao điểm AI KD, N giao điểm DH CI Chứng minh (SMN) //(HIK) Bài 11 Cho hình hộp ABCD.A’B'C'D' a) Chứng minh (BA'D) // (B'D'C) b) Chứng minh AC' qua trọng tâm G G' tam giác A'BD CB'D' Bài 12 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng: a) (BDA’)//(B’D’C) b) Đường chéo AC’ qua trọng tâm G1 G2 tam giác BDA’ B’D’C c) G1 G2 chia đoạn AC’ thành phần d) Các trung điểm cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B nằm mặt phẳng Bài 13 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a) Chứng minh CB’//(AHC’) b) Tìm giao tuyến d mp (AB’C’) (A’BC) Chứng minh d//(BB’C’C) c) Xác định thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (H,d) DẠNG 2: TÌM THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG Thiết diện qua điểm đường thẳng song song với mặt phẳng Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với mặt phẳng (Q) Phương pháp Dựa vào tính chất: Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song phải cắt mặt phẳng cịn lại giao tuyến chúng song song Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) a Khi (P) (R) = a’,a’ // a a’ qua M Ta tìm thêm giao điểm a’ với cạnh đa giác (R) Tiếp tục trình với giao điểm dựng thiết diện Bài 14.Cho tứ diện ABCD gọi M, N trung điểm cạnh AB CD , E điểm chia BC theo tỉ số BE:EC = : Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua H song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện cho Bài 15.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi M, N, E trung điểm cạnh AB, AD, SC Trên đoạn AM lấy điểm K Xác định thiết diện tạo mặt phẳng qua K song song với (MNE) cắt hình chóp Bài 16.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD Trên đoạn AC lấy điểm K Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp Bài 17.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm SC, H giao điểm đường chéo đáy hình chóp Trên đoạn AH lấy điểm M Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp Bài 18.Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b; tam giác SBD Mặt phẳng (α) di động song song với mp(SBD) qua I đoạn AC a, Xác định thiết diện hình chóp cắt mp b, Tính diện tích thiết diện theo a, b x = AI Bài 19.Cho tứ diện ABCD, gọi G1; G2; G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD a, Chứng minh (G1G2G3) // mp(BCD) b, Tìm thiết diện tứ diện cắt mp(G1G2G3) Tính diện tích thiết diệntheo diện tích tam giác BCD c, M di động tứ diện cho G1M // (ACD) Tìm tập hợp điểm M Thiết diện qua điểm song song với hai đường thẳng chéo Bài 20.Cho tứ diện ABCD Gọi E; F; J theo thứ tự trung điểm BC; BD; AD song song với BJ, mp a, Thiết diện mp Mp qua EF qua BJ song song với CD cắt tứ diện hình gì? b, Xác định thiết diện mp cắt tứ diện Chứng minh // mp Chứng minh HE; KF c, AC AD cắt H, K Gọi I giao điểm AC mp AB đồng quy M d, Giả sử tam giác ABC ABD vng B Tính chu vi tam giác MHK biết chu vi tam giác ACD a Bài 21.Cho hình chóp SABC, I trung điểm SB J nằm đoạn SC cho trọng tâm tam giác ABC a, Xác định thiết diện hình chóp với mp(OIJ), gọi s diện tích thiết diện JC JS O b, mặt phẳng qua M nửa đường thẳng BC mp song song trùng với mp(OIJ) BM x x 0 mp Đặt BC Tìm x để cắt hình chóp c, Biện luận theo x dạng thiết diện hình chóp với mp d, Gọi H(x) diện tích thiết diện nói câu c Tính H(x) theo s x Bài 22.Cho hình chóp SABCD có E giao điểm AD BC Mp(P) song song với SE cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự J, K, H, I a, Tứ giác IJKH hình gì? b, Tìm điều kiện cần đủ để tứ giác IJKH hình bình hành Bài 23.Cho tứ diện ABCD có AD = a; BC = b; AB = c Lấy M AB, mặt phẳng qua M song song với AD BC cắt cạnh AC, CD, BD N, P, Q a, Tứ giác MNPQ hình gì? b, Đặt AM = x Tính cạnh tứ giác MNPQ c, Muốn tứ giác MNPQ hình chữ nhật phải có thêm điều kiện gì? Tìm diện tích tứ giác trường hợp Tìm vị trí M AB để tứ giác có diện tích lớn THIẾT DIỆN VỚI LĂNG TRỤ Bài 24.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M N trung điểm cạnh AA’ AC a) Dựng thiết diện hình lăng trụ với mp(MNB’) b) Dựng thiết diện hình lăng trụ với mp(MNP), với P trung điểm B’C’ Bài 25 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi O' tâm hình bình hành A'B'C'D'; K trung điểm CD; E trung điểm BO' a Chứng minh E nằm mặt phẳng (ACB’) b Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua K song song với (EAC) Bài 26.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M điểm thuộc AD Dựng thiết diện hình hộp cắt (P) qua M song song với BD AC’ Bài 27.Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F trung điểm OA OB OE, H điểm thuộc AA’ cho AH = HA’ Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) trường hợp: a Qua F song song với B’E A’O b Qua M song song với A’E OH Bài 28.Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’ cho AM : MD D’N : NC’ Dựng thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua MN song song với mp(C’BD) Bài 29.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi C’ trung điểm SC , M điểm di dộng cạnh SA , () mặt phẳng qua C’M song song với BC Xác định thiết diện mà () cắt hình chóp S.ABCD Khi thiết diện hình bình hành ? Bài 30.Cho hình chóp SABC, mp(P) di động song song với mp(ABC) cắt SA; SB; SC A’; B’; C’; D’ Tìm tập hợp điểm chung mặt phẳng (A’BC), (B’AC), (C’AB) Bài 31.Từ đỉnh hình bình hành ABCD vẽ nửa đường thẳng song song chiều Ax; By; Cz; Dt không nằm mp(ABCD) Một mp cắt nửa đường thẳng A’; B’; C’; D’ a, Chứng minh (Ax; By) // (Cz; Dt) b, Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành c, Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bài 32.Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt SA; SB; SC; SD A’; B’; C’; D’ Chứng minh điều kiện cần đủ để A’B’C’D’ hình bình hành mp(P) // (ABCD) Bài 33.Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O, E trung điểm SB Biết tam giác Mp ACE AC = OD = a di động song song với mp(ACE) qua I OD, mp cắt AD, CD, SC, SB, SA M, N, P, Q, R a, Nhận xét tam giác PQR tứ giác MNPR b, Tìm tập hợp giao điểm MP NR I di động đoạn OD c, Tính diện tích MNPQR theo a x = DI Xác định x để diện tích lớn Bài 34.Cho hình chóp SABCD đáy hình thang với cạnh đáy AB; CD với CD = pAB (0 < p < 1) Gọi S0 diện tích tam giác SAB DM x mp(SAB) Đặt AD x 1 mặt phẳng qua M cạnh AD song song với a, Xác định thiết diện hình chóp SABCD với mp Tính diện tích thiết diện theo S0, p, x S0 b, Tính x để diện tích thiết diện Bài 35.Cho tứ diện ABCD cạnh a, Mp(P) qua A song song với BC, cắt BD CD M, N, đặt BM 2 = x Tính AM MN AN 10 ... phẳng (P) qua MN song song với (C’BD) A M D E B F C J A’ D’ N B’ I BTVN - ? ?4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG C’ DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp (a) - Bước 1: Tìm hai đường thẳng... VÀ SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG Thiết diện qua điểm đường thẳng song song với mặt phẳng Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với mặt phẳng (Q) Phương pháp Dựa vào tính chất: Nếu mặt phẳng cắt hai. .. qua điểm song song với hai đường thẳng chéo Bài 20.Cho tứ diện ABCD Gọi E; F; J theo thứ tự trung điểm BC; BD; AD song song với BJ, mp a, Thiết diện mp Mp qua EF qua BJ song song với