SONG SONG HAI mặt PHẲNG SONG SONG (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung, kí hiệu    P   Vậy    P   �    �    � Định lý tính chất  Nếu mặt phẳng    chứa hai đường thẳng cắt a, b hai đường thẳng song song với mặt phẳng       P   � a �   ,b �   � a�b  M �    P   Vậy � � aP   ,bP   �  Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho Hệ Nếu d P      có đường thẳng song song với d qua d có mặt phẳng song song với    Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba chúng song song Hệ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cho điểm không nằm mặt phẳng    Mọi đường thẳng qua A song song với    nằn mặt phẳng qua A song song với    �A �   , A �   � �A �d � d �   Vậy � d P    � �    P   �  Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với �    P   �  �   bPa � Vậy �        �    a � Hệ Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn Định lí Ta-lét (Thales) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ �    P   P   � AB AB � d1 �    A1 ,d1 �    B1 ,d1 �    C1 � 1  2 � B1C1 B2C2 � d �   A , d �   B , d �   C   2   �2   2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Định lí Ta-lét( Thales) đảo Cho hai đường thẳng d1 ,d2 chéo điểm A1 , B1 ,C1 d1 , điểm A2 , B2 ,C2 d2 cho A1B1 A 2B2  Lúc đường thẳng B1C1 B2C2 A1A , B1B2 ,C1C2 song song với mặt phăng Hình lăng trụ hình chóp cụt 4.1 Hình lăng trụ Cho hai mặt phẳng song song      ' Trên    cho đa giác A1A2 An Qua đỉnh A1 , A , , A n vẽ đường thẳng song song với cắt   ' A1' , A 2' , , An' Hình gồm hai đa giác A1A2 An , A1' A2' An' hình bình hành A1A1' A 2' A2 , A 2A2' A3' A3 , , An An' A1' A1 gọi hình lăng trụ A1A2 An A1' A2' An' Lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 4.2 Hình chóp cụt Cho hình chóp S.A1A2 An Một mặt phẳng không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy hình chóp cắt cạnh bên SA1 ,SA2 , ,SAn A1' , A 2' , An' Hình tạo thiết diện A1' A2' An' đáy A1A2 An với tứ giác A1' A2' A2 A1 , A 2' A3' A3A2 , , An' A1' A1An gọi hình chóp cụt A1' A2' An' A1A2 An B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta thực theo hai hướng sau: - Chứng minh mặt phẳng có hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng �a �   ,b �   � �a�b  I �    P   � �aP   � bP   � - Chứng minh hai mặt phẳng song song với măt mặt phẳng thứ ba �    P   �  P  �     �    P   � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các ví dụ Ví dụ Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O , gọi M , N trung điểm SA ,SD Chứng minh  OMN  / /  SBC  Lời giải: Ta có M ,O trung điểm SA , AC nên OM đường trung bình tam giác SAC ứng với cạnh SC OM PSC � OM PSC � � OM P SBC  Vậy � SC � SBC  �  1 Tương tự, Ta có N ,O trung điểm SD , BD nên ON đường trung bình tam giác SBD ứng với cạnh SB OM / /SB � ON PSB � � OM P SBC  Vậy � SB � SBC  �  2 Từ  1  2 ta có � OM P SBC  � � ON P SBC  �  OMN  P SBC  � � OM �ON  O � Ví dụ Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M , N cho AM  BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M , N cắt AD AF M ' N ' Chứng minh: a)  ADF  P BCE  b)  DEF  P MM ' N ' N  Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � �AD PBC � AD P BCE  a) Ta có � �BC � BCE  � �AF PBE � AF P BCE Tương tự � �BE � BCE  � �AD � ADF  �  ADF  P BCE  Mà � �AF � ADF  b) Vì ABCD  ABEF  hìnhvng nên AC  BF Ta có MM ' PCD � NN ' P AB � AM ' AM  AD AC AN ' BN  AF BF  1  2  3 Từ  1 ,  2  3 ta AM ' AN '  � M ' N ' PDF AD AF � DF P MM ' N ' N  Lại có NN ' P AB � NN ' PEF � EF P MM ' N ' N  � �DF P MM ' N ' N  �  DEF  P MM ' N ' N  Vậy � �EF P MM ' N ' N  Bài toán 02: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA    VỚI HÌNH CHĨP KHI BIẾT   VỚI MỘT MẶT PHẲNG    CHO TRƯỚC Phương pháp: - Để xác định thiết diện trường hợp ta sử dụng tính chất sau - Khi    P      song song với tất đường thẳng    ta chuyển dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word �    P   �    P   � �    �    d' Pd, M �d' Sử dụng �    �    d � �M �  �  �     - Tìm đường thẳng d mằn    xét mặt phẳng có hình chóp mà chứa d ,    Pd nên cắt mặt phẳng chứa d ( có) theo giao tuyến song song với d Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M , N trung điểm AB,CD Xác định thiết diện hình chóp cắt    qua MN song song với mặt phẳng  SAD  Thiết diện hình gì? A.Tam giác B.Hình thang C.Hình bình hànhD.Tứ giác Lời giải: � �M � SAB �   Ta có �  SAB � SAD   SA � �  SAB �    MK PSA , K �SB �N � SCD  �   � � Tương tự �    P SAD  �  SCD  � SAD   SD � �  SCD  �    NH PSD , H �SC Dễ thấy HK     � SBC  Thiết diện tứ giác MNHK Ba mặt phẳng  ABCD  , SBC     đôi cắt theo giao tuyến MN , HK , BC , mà MN PBC � MN PHK Vậy thiết diện hình thang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O có AC  a, BD  b Tam giác SBD tam giác Một mặt phẳng    di động song song với mặt phẳng  SBD  qua điểm I đoạn AC AI  x   x  a a) thiết diện hình chóp cắt    hình gi? A.Tam giác B.Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành b) Tính diện tích thiết diện theo a, b x Lời giải: a) Trường hợp Xét I thuộc đoạn OA �I �   � ABD  � � Ta có �    P SBD  �  ABD  � SBD   BD � �    � ABD   MN PBD , I �MN �N �   � SAD  � � Tương tự �    P SBD  �  SAD  � SBD   SD � �  SAD  �    NP PSD , P �SN Thiết diện tam giác MNP �    P SBD  � � Do �  SAB � SBD   SB � MP PSB Hai tam giác MNP BDS có cặp cạnh �  SAB �    MP � tương ứng song song nên chúng đồng dạng, mà BDS nên tam giác MNP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Trường hợp Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp ta thiết diện tam giác HKL  hv b) Trường hợp I thuộc đoạn OA Ta có SBCD BD b2 SMNP �MN �  ,   � SBCD � 4 �BD � Do MN PBD � MN AI 2x   BD AO a � SMNP �2x � b2x2  � �SBCD  a2 �a � Trường hợp I thuộc đoạn OC , tính tương tự ta có 2 a x b2 b2  a x �HL �  � �SBCD  [ ]  a a2 �BD � SMNP �b2x2 � ; I �(OA ) � a Vậy Std  � �b  a x ; I � OC  � a2 � Bài toán 03: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES Phương pháp: Định lí Thales thừng ứng dụng nhiều toán tỉ số hay toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng cố định Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD M , N điểm thay cạnh AB,CD cho AM CN  MB ND a) Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng cố định b) Cho AM CN   P điểm cạnh AC thiết diện hình MB ND chóp cắt  MNP  hình gì? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A.Tam giác B.Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành c) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP diện tích thiết diện A k k B 2k k C k D k Lời giải: AM CN  nên theo định lí Thales đường thẳng MN , AC , BD MB ND a) Do song song với mặt phẳng    Gọi    mặt phẳng qua AC song song với BD    cố định    P   suy MN song song với   cố định b) Xét trường hợp AP  k , lúc MP PBC nên BC P MNP  PC Ta có : �N � MNP  � BCD  � � �  BCD  � MNP   NQ P BC ,Q �BD �BC P MNP  � �BC � BCD  Thiết diện tứ giác MPNQ Xét trường hợp AP �k PC Trong  ABC  gọi R  BC �MP Trong  BCD  gọi Q  NR �BD thiết diện tứ giác MPNQ Gọi K  MN �PQ Ta có SMNP PK  SMPNQ PQ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHƠNG GIAN A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Phép chiếu song song Cho mặt phẳng    đường thẳng  cắt    Với điểm M không gian, đường thẳng qua M song song với  cắt    điểm M ' xác định Điểm M ' gọi hình chiếu song song điểm M mặt phẳng    theo phương  Mặt phẳng    gọi mặt phẳng chiếu, phương  gọi phương chiếu Phép đặt tương ứng điểm M với hình chiếu M '    gọi phép chiếu song song lên    theo phương  Ta kí hiệu Ch     M   M ' Tính chất phép chiếu song song  Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm  Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng  Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song song hặc trùng  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng Hình biểu diễn số hình khơng gian mặt phẳng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  Một tam giác coi hình biểu diễn tam giác tùy ý cho trước ( tam giác cân, đều, vuông…)  Một hình bình hành coi hình biểu diễn hình bình hành tùy ý cho trước ( Hình vng ,hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…)  Một hình thang coi hình biểu diễn hình thang tùy ý cho trước, miễn tỉ số độ dài hai cạnh đáy bảo tồn  Hình elip hình biểu diễn hình tròn B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tốn 01: VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH  H  CHO TRƯỚC Phương pháp: Để vẽ hình biểu diễn hình  H  ta cần xác định yếu tố bất biến có hình  H  - Xác định yếu tố song song - Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB - Trong hình  H ' phải đảm bảo tính song song tỉ số điểm M chia đoạn AB Các ví dụ Ví dụ Hình thang hình biểu diễn hình bình hành khơng Lời giải: Hình thang khơng thể coi hình biểu diễn hình bình hành hai cạnh bên hình thang khơng song song cặp cạnh đối hình bình hành song song ( tính song song khơng bảo tồn) Ví dụ Vẽ hình biểu diễn tứ diện ABCD lên mặt phẳng  P  theo phương chiếu AB( AB không song song với  P  ) Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vì phương chiếu l đường thẳng AB nên hình chiếu A B giao điểm AB  P  Do AB � P   A ' �B' Các đường thẳng qua C , D song song với AB cắt  P  C ', D ' C ', D ' hình chiếu C , D lên  P theo phương AB Vậy hình chiếu tứ diện ABCD tam giác A 'C ' D ' Bài toán 01: CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp: Để tính tỉ số điểm M chia đoạn AB( tính MA ) ta xét phép MB Chiếu song song lên mặt phẳng    theo phương l không song song với AB cho ảnh M , A , B ba điểm M ', A ', B' mà ta tính M 'A' , M ' B' MA M ' A '  MB M ' B' Các ví dụ Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A ' B'C ' D ' Xác định điểm M , N tương ứng đoạn AC ', B' D ' cho MN song song với BA ' tính tỉ số A.2 B.3 C.4 D.1 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word MA MC ' Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng  A ' B'C ' D ' theo phương chiếu BA ' Ta có N ảnh M hay M giao điểm B' D ' ảnh AC ' qua phép chiếu Do ta xác định M , N sau: Trên A ' B' kéo dài lấy điểm K cho A ' K  B' A ' ABA ' K hình bình hành nên AK / / BA ' suy K ảnh A AC ' qua phép chiếu song song Gọi N  B' D '�KC ' Đường thẳng qua N song song với AK cắt AC ' M Ta có M , N điểm cần xác định Theo định lí Thales , ta có MA NK KB'    MC ' NC ' C ' D ' Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A ' B'C ' D ' Gọi M , N trung điểm CD CC ' a) Xác định đường thẳng  qua M đồng thời cắt AN A ' B b) Gọi I , J giao điểm  với AN A ' B Hãy tính tỉ số A.2 B.3 C.4 D.1 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word IM IJ a) Giả sử dựng đường thẳng  cắt AN BA ' Gọi I , J giao điểm  với AN BA ' Xét phép chiếu song song lên  ABCD  theo phương chiếu A ' B Khi ba điểm J , I , M có hình chiếu B, I ', M Do J , I , M thẳng hàng nên B, I ', M thẳng hàng Gọi N ' hình chiếu N An' hình chiếu AN Vì I �AN � I '�AN ' � I '  BM �AN ' Từ phân tích suy cách dựng: - Lấy I '  AN '�BM - Trong  ANN ' dựng II ' PNN ' ( có NN ' PCD ' ) cắt AN I - Vẽ đường thẳng MI , đường thẳng cần dựng b) Ta có MC  CN ' suy MN '  CD  AB Do I ' trung điểm BM Mặt khác II ' P JB nên II ' đường trung bình tam giác MBJ , suy IM IM  IJ �  IJ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 61 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O M trung điểm SC a) Tìm giao điểm I SD với  AMN  b) Tính SI ID 62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Cọi N trung điểm SD I , J trung điểm AB ON Chứng minh IJ P SBC  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 63 Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B'C ' Trên đường thẳng BA lấy điểm M cho A nằm B M , MA  AB a) Xác định thiết diện lăng trụ cắt    qua M , B' trung điểm E AC b) Gọi D  BC � MB' E  Tính tỉ số BD CD 64 Cho tứ diện ABCD Gọi M , P trung điểm cạnh AD , BC N điểm cạnh AB cho AN  AB a) Tìm giao điểm Q DC với  MNP  b) Tính tỉ số DQ DC 65 Cho tứ diện ABCD , M điểm cạnh DB ,    mặt phẳng qua M song song với AD , BC a) Xác định thiết diện hình chóp với    b) Xác định vị trí M để thiết diện hình thoi c) Xác định vị trí    để diện tích thiết diện lớn 66 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm mặt đối diện với đỉnh A , B,C , D A ', B',C ', D ' Gọi M , N , P ,Q , R,S trung điểm cặp cạnh đối tứ diện a) Chứng minh AA ', BB',CC ', DD ' đồng qui G ( G gọi trọng tâm tứ diện, AA ', BB',CC ', DD ' gọi đường trọng tuyến tứ diện) b) Chứng minh bảy đoạn thẳng AA ', BB',CC ', DD ', MN , PQ, RS đồng quy 67 Cho tứ diện ABCD , G trọng tâm tam giác BCD M điểm thuộc miền tam giác BCD Đường thẳng qua M song song với AG cắt mặt phẳng  ABC  , ACD  , ABD  P ,Q , R http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Chứng minh MP  MQ  MR không đổi M di động tam giác BCD b) Xác định vị trí điểm M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn 68 Cho tứ diện ABCD cạnh a Trên cạnh BC ,CD lấy điểm M , N cho MC CN  ,  Trên trung tuyến AP tam giác ABD lấy điểm I MB CD cho PA  Tính diện tích thiết diện tạo thành cắt tứ diện  MNP  PI 69 Cho hình hộp ABCD.A ' B'C ' D ' Xác định điểm M , N đoạn AC ', B' D ' tương ứng cho MN PBA ' tính tỉ số MA MC ' 70 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi E trung điểm SC Mặt phẳng    thay đổi chứa AE cắt SB,SD M , N Xác định vị trí M , N cạnh SB,SD cho đạt giá trị lớn ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 61 a) Gọi E  AN �CD , F  AN �BC I  EM �SD I  SD � AMN  b) Ta có BF P AD � BF NB   Từ AD ND BF FC  �  AD AD � EC FC   ED AD Kẻ CJ / /SD , J �EI Ta có MC CJ ID ED IS MS EC  ;  �   MS IS CJ EC ID MC ED http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word SM SN  SB SD Vậy IS  ID 62 Ta có ON PSB � SBC  � ON P SBC   1 Tương tự ON / / BC � SBC  � ON P SBC   1 , 2 suy  ONI  P SBC  IJ � ONI  � IJ P SBC   2 Từ mà 63 a) Trong  ABB' A ' gọi K  MB'�AA ' Trong  ABC  gọi D  ME �CB Thiết diện tứ giác DEKB' b) Kẻ EF P AB F �CB Khi EF đường trung bình tam giác ABC EF  AB Xét tam giác DBM ta có FD EF 1   � FD  BF  FC , tức D BD BM 2 trung điểm FC BD 3 CD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 64 a) Trong  ABC  gọi E  AC �NP ,  ACD  gọi Q  EM �CD � Q �CD � �� � Q  CD � MNP  Q �EM � MNP  � b) Kẻ AF PCD , F �AD , kẻ KP P AN , K �AC Ta có AF MA   � AF  DQ DQ MD AF EA  QC EC Do KP   1 ,  2 1 AB  3AN  AN nên 2 AN  KP � EA AN EA   �  EK KP EC  3 Từ  1 , 2 , 3 suy QD FA EA    QC QC EC � QD  DC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 65 �M �   � ABD  � � a) Ta có �AD � ABD  � �AD P   �    � ABD   MN P AD , N �AB Tương tự    � ABC   NP PBC , P �AC    � BCD   MQ PBC,Q �CD Thiết diện tứ giác MNPQ b) Giả sử có điểm M cạnh BD để MNPQ hình thoi Ta có MQ DM DM BC  � MQ  BC DB DB Tương tự  1 MN MB MB.AD  � MN  AD BD BD  2 Do MNPQ hình bình hành nên hình thoi MN  MQ , từ  1  2 ta có DM BC AD.MB = � DM BC  DA  DB  DM  DB BD � DM  BC  AD   AD.BD � DM  Rõ ràng  DM  AD.BD BC  AD AD.BD  BD nên điều kiện M nằm BD thỏa mãn BC  AD Vậy thiết diện hình thoi M nằm cạnh BD cho DM  c) Ta có MQ MD MN MB MQ MN MD  MB  ,  �   1 BC DB DA DB BC AD DB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word AD.BD BC  AD Vì MQ PBC , MN P AD mà BC , AD khơng đổi nên góc MN MQ khơng đổi, SMNPQ  MN MQ sin  (  góc MN MQ ) Ta thấy sin không đổi SMNPQ  MN MQ sin    AD.BC sin   MN MQ AD BC �MN MQ � �AD  BC � AD.BC sin  �AD.BC sin  � � � � � � � � Đẳng thức xảy MN MQ   � M trung điểm BD AD BC Vậy thiết diện thiết diện lớn AD.BC sin  M trung điểm BD 66 a) Gọi N trung điểm cạnh CD , ta dễ thấy A ' �BN B' �AN  ABN  , AA ' BB' cắt điểm G Tương tự chứng minh đường thẳng AA ', BB',CC ', DD ' đôi cắt nhau, mà bốn đường thẳng đôi cắt chúng đòng quy b) Dễ dàng chứng minh G trung điểm MN từ ta có bảy đường thẳng AA ', BB',CC ', DD ', MN , PQ , RS đồng quy G http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 67 a) Gọi I , J , K giao điểm MG với BC ,CD , BD , kẻ MH PGC , H �BC ta có: Ta có MP IG IH SMBC 3SMBC     AG IJ GC SGBC SBCD Tương tự MQ 3SMCD MR 3SMBD  ,  AG SBCD AG SBCD Từ ta có MP  MQ  MR  3AG b) Theo BĐT Cauchy ta có �MP  MQ  MR � MP.MQ.MR ��  AG3 � � �   Đẳng thức xảy  MP MQ MR AG M G 68 Cọi X  MN �BD , E  XP �AD , F  XP �AB Thiết diện tứ giác MNEF Dựng MQ PBD , Q �CD CQ CM   � N trung điểm CD CB QD DX  MQ Ta có DX MQ   DB DB Dựng IJ PXF , J �AB Ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word AF AP 4   � AF  FJ FJ AI 5  1 BF BX BX BX 6BX BX       JF IX ID  DX 5BD 5 � JF  BF  2 BD  BD BX Từ  1 , 2 suy AF  4 AF FJ  FB  FB �  5 AB CM FA CM  �   � FM P AC � AC P MXF  CB AB CB Do � MF PNE Vậy thiết diện MNEF hình thang cân có MF  có AF  2a a , NF  ; AFE 3 a 2a , AE  3 a a2 � EF  EF  AE  AF  2AE.AF cos60  2 2 �FM  EN � a Đường cao hình thang h  EF  �  � � � Diện tích thiết diện S  69 11a2 h MF  NE   24 MA  MC ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 70 Gọi O  AC �BD ,G  AE �SO , G trọng tâm tam giác SAC Dễ thấy G �MN Ta có SSGM SG.SM SM   SSOB SO.SB SB SSGN SG.SN SN   SSOD SO.SD SD � SSMG SSNG �SM SN �    �Mặt khác SSOB SSOD � �SB SB � Suy SSMG SSNG 2SSMG 2SSNG    SSOB SSOD SSBB SSBD  2SSMN 2SM SN  SSBD SBSD �SM SN � SM SN SB SD   �    * � � �SB SD � SBSD SM SN SM SN 1�SM SN � �SB SD � � SM SD SN SB �   �  2  � �SM  SN � � � SB SD 3�SB SD � � � � SN SB SM SD � Đặt a  SM SN � a b� SB SD   2  � ,b  a b  3và SB SD � SM SN � b a� Do a �1,b �1 a b  nên ta có a�[1;2] , từ a b a 3 a 9 6a 2a2     � ,a�[1;2] Ta có b a 3 a a a 3 a � SM SN � a b� 1� �   2  �� � 2 � SB SD � � b a� � � SM SN  )  M �B , N trung điểm SD N �D , M SB SD trung điểm SB Vậy max( http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta thực theo hai hướng sau: - Chứng minh mặt phẳng có hai đường thẳng cắt song song... phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với �    P   �  �   bPa � Vậy �        �    a � Hệ Hai mặt phẳng song song chắn hai cát... nằm mặt phẳng    Mọi đường thẳng qua A song song với    nằn mặt phẳng qua A song song với    �A �   , A �   � �A �d � d �   Vậy � d P    � �    P   �  Cho hai mặt phẳng