Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tuần Chương 2: Ma trận - Định thức - Hệ PTTT Hệ phương trình tuyến tính I Tổng quát Hệ m phương trình, n ẩn: a11 + a12 + a13 + + a1n a21 + a22 + a23 + + a2n = b2 am1 + am2 + am3 + + amn = bn Hệ (1) cịn viết = b1 (1) a11 a12 a13 a1n x1 b1 a b a a a 22 23 2n x2 21 2 = am1 am2 am3 amn xm bm A X B AX = B II Hệ Cramer Hệ (1) hệ Cramer m = n det A = Định lí det Ai , ∀i = 1, n det A (Trong Ai ma trận thay cột i A vecto cột B) Hệ Cramer có nghiệm X = A−1 B hay xi = III Giải HPTTT phương pháp Gauss B1 Viết ma trận A cạnh vecto cột B ma trận A B2 Biến đổi sơ cấp hàng đưa A ma trận bậc thang Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập B3 Biện luận theo rankA Định lí Kronecker - Capelli Nếu rankA = rankA hệ (1) vơ nghiệm Nếu rankA = rankA = n hệ (1) có nghiệm Nếu rankA = rankA < n hệ (1) có vơ số nghiệm IV Hệ phương trình tuyến tính Hệ (1) gọi hệ phương trình tuyến tính B = O Có hai trường hợp Nếu rankA = n: hệ có nghiệm X = O Nếu rankA < n: hệ có vơ số nghiệm Hệ Nếu A ma trận vuông cấp n, hệ AX = O có nghiệm ⇔ det A = V Các ví dụ Giải hệ phương trình sau hệ Cramer x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 =2 b) x1 − 2x2 + x3 a) 2x1 + x − 2x3 = 3x1 + x2 + 5x3 x1 + 2x2 − x3 = =3 =3 = 13 Giải −1 a) Xét ma trận A = 2 −1 −1, ta có det A = = ⇒ Hệ cho hệ Cramer −1 Ta có det A1 = 1 −1 = 3, −1 −1 det A2 = −1 = 0, det A3 = 1 =3 −1 det A1 det A2 det A3 , , = (1, 0, 1) nghiệm hệ det A det A det A 1 b) Xét ma trận B = 1 −2 1, ta có det B = −6 = ⇒ Hệ cho hệ Cramer Vậy (x1 , x2 , x3 ) = Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Ta có det B1 = 13 Vậy (x1 , x2 , x3 ) = 1 −2 = −6, det B2 = = 0, det B1 det B2 det B3 , , det B det B det B 3 = −12 det B3 = −2 13 13 = (1, 0, 2) nghiệm hệ Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss x1 − x2 + x3 − 3x4 x1 − x2 + x3 =2 b) 2x1 + x2 − x3 − x4 a) 2x1 + x2 − x3 = 2x1 + x3 + x4 x1 + 2x2 − x3 = =5 = −2 =8 Giải −1 2 Thực biển đổi sơ cấp, ta có a) Xét ma trận bổ sung A = −1 −1 −1 −1 h3 − h2 → h3 A −−−−−−−−→ −3 −3 −−−−−−−→ −3 −3 −2 −2 0 1 h2 − 2h1 → h2 h3 − h1 → h3 Nhận thấy rankA = rankA = nên hệ phương trình có nghiệm x − x + x = Từ ma trận sau biến đổi sơ cấp, ta hệ x2 − 3x3 = −3 x =1 Giải hệ, ta nghiệm (x1 , x2 , x3 ) = (1, 0, 1) −1 −3 Thực biến đổi sơ cấp, ta có b) Xét ma trận bổ sung B = −1 −1 −2 1 −1 −3 −1 −3 3h3 − 2h2 → h3 B −−−−−−−−→ −3 12 −−−−−−−−−→ −3 12 −1 −2 0 11 18 h2 − 2h1 → h2 h3 − 2h1 → h3 Do hệ có vơ số nghiệm thỏa mãn Đặt x4 = t, từ ma trận bổ sung sau biến đổi sơ 16t 11t 4t ,6 − ,t cấp, ta nghiệm (x1 , x2 , x3 , x4 ) = + , − 3 Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Cho hệ phương trình x1 + x2 − 2x3 2x1 + x2 − x3 mx1 + x2 + x3 =a =b =c a, b, c, m ∈ R a) a) Tìm m để hệ có nghiệm b) Cho (a, b, c) = (0, 0, 0) Biện luận theo m số nghiệm phương trình Giải 1 −2 a) Xét ma trận tạo hệ số ẩn A = −1 −1 m 1 Hệ có nghiệm ⇔ det A = ⇔ m −2 −1 −1 = ⇔ −3m − = ⇔ m = −2 1 b) Với m = −2 det A = nên hệ phương trình hệ Cramer, hệ có nghiệm (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0) Với m = −2 hệ phương trình trở thành x1 + x2 − 2x3 2x1 − x2 − x3 −2x1 + x2 + x3 =0 =0 =0 Giải hệ trên, ta thấy hệ có vơ số nghiệm Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập If you fall asleep, you will dream If you study now, you will live your dream ... rankA = rankA hệ (1) vơ nghiệm Nếu rankA = rankA = n hệ (1) có nghiệm Nếu rankA = rankA < n hệ (1) có vơ số nghiệm IV Hệ phương trình tuyến tính Hệ (1) gọi hệ phương trình tuyến tính B = O Có... trường hợp Nếu rankA = n: hệ có nghiệm X = O Nếu rankA < n: hệ có vơ số nghiệm Hệ Nếu A ma trận vng cấp n, hệ AX = O có nghiệm ⇔ det A = V Các ví dụ Giải hệ phương trình sau hệ Cramer ... nghiệm phương trình Giải 1 −2 a) Xét ma trận tạo hệ số ẩn A = −1 −1 m 1 Hệ có nghiệm ⇔ det A = ⇔ m −2 −1 −1 = ⇔ −3m − = ⇔ m = −2 1 b) Với m = −2 det A = nên hệ phương trình hệ